Velkot baltas melnās bumbiņas. Varbūtības papildinājums teorēma: viena (vienaldzīga) notikuma varbūtība no vairākiem nepilnīgiem notikumiem ir vienāda ar to varbūtības summu

Lekcija 1. .

Medicīnas un bioloģiskās fizikas mērķi, mērķi un struktūra. Viņas vieta un loma medicīnas izglītības sistēmā, interpretect savienojumi ar citām biomedicīnas un klīniskām disciplīnām.

Biomedicīnisko procesu varbūtība. Varbūtības teorijas elementi. Nejauša notikuma varbūtība. Varbūtību papildināšanas un vairošanās likums.

Iespējamu pieeju principi diagnostikas uzdevumiem un prognozēšanas slimībām.

Varbūtības teorija

Varbūtības teorijā, likumsakarības, kas pieder nejaušiem notikumiem, vērtībām, procesi tiek pētīti. Ārsti reti domā, ka diagnoze ir varbūtība, un, kā asprātīgs tas ir novērots, tikai patoloģiski pētījumi var būtiski noteikt diagnozi mirušās personas.

2.1. Punkts. Nejaušs notikums. Varbūtība

Ievērojot dažādas parādības, var atzīmēt, ka ir divu veidu saiknes starp apstākļiem s un sākuma vai nepieņemot kādu notikumu Bet.Dažos gadījumos nosacījumu kompleksa (testa) ieviešana noteikti izraisa notikumu Bet.Tātad, piemēram, materiāls ir masa t. 0 jaudas ietekmē F. (stāvoklis S.) paātrinājums iegūst bet= F./ m. 0 (notikums Bet).Citos gadījumos, vairāki atkārtoti atkārtoti testēšanas varbūt vai nav novest pie izskatu notikuma A. Šādi notikumi ir ierasts sauc nejauši: tie ietver pacienta izskatu ar konkrētu slimību pacienta birojā ar konkrētu monētas pusi tās metināšanas laikā utt.

Tas nedrīkst domāt par nejaušām parādībām kā neveiksmīgu, nekas nav radījis. Ir zināms, ka daudzas parādības ir savstarpēji savienotas, atsevišķa parādība ir dažu citu un pati sekas, kas seko nākamajam. Tomēr izsekot kvantitatīvo saikni starp apstākļiem un notikums bieži ir grūti vai pat neiespējami. Tātad, izmetot kaulu (viendabīgu kubu ar numurētām sejām: 1, 2, 3, 4, 5 un 6), kuba galīgais stāvoklis ir atkarīgs no rokas kustības, gaisa pretestības laikā, Kuba novietojums, ievadot virsmu, virsmas funkcijas, uz kurām CUBE samazinājās, un citi faktori, kurus nevar ņemt vērā.

Ikdienas dzīvē attiecībā uz tādiem nejauši notikumijūs izmantojat vārdus "Iespējams", "Iespējams", "maz ticams", "neticami". Dažos gadījumos šāds novērtējums ir vairāk raksturīgs vēlmi runātājs nekā patieso iespēju vai neiespējamību notikumu. Tomēr nejauši notikumi, ja to skaits ir pietiekami liels, ievērojiet noteiktus modeļus. Matemātikas sadaļā tiek sniegts kvantitatīvs novērtējums par nejaušiem notikumiem, ko sauc par matemātikas sadaļu varbūtības teorija.

Varbūtības teorijas studiju modeļi, kas raksturīgi masas (statistiskiem) nejaušiem notikumiem.

Atsevišķi vēsturiski fakti, "pārsteigumi", "katastrofa" ir izolēti, it kā unikāli, notikumi un kvantitatīvi varbūtības spriedumi nav iespējami attiecībā uz tiem. Vēsturiski, varbūtības teorija parādījās saistībā ar mēģinājumiem skaitīt iespēju dažādu rezultātu azartspēlēm. Šobrīd to izmanto zinātnē, tostarp bioloģijā un medicīnā, lai novērtētu praktiski svarīgu notikumu iespējamību. Tikai vizuālie piemēri palika no spēlēm, kas ir ērti izmantot, lai ilustrētu teorētiskās pozīcijas.

Statistiskā varbūtības definīcija.Varbūtība R (a)iebildumsvarbūtības teorijas darbojas kā skaitliska raksturojums, cik vien iespējams izskats konkrētā izlases notikumu ar atkārtotu pārbaudes atkārtošanos.

Pieņemsim, ar 1000 metieniem spēlē dice, skaits 4 pilieni 160 reizes. Ratio 160/1000 \u003d 0,16 parāda relatīvo frekvenci no Fallout Number 4 šajā testa sērijā. Vispārīgāk, kad notiek nejaušs notikums t.reiz sērijā pneatkarīgi testi co relatīvais biežums Ģenēze Šajā testu sērijā vai vienkārši notikuma biežums ir zvans

Ar lielu skaitu testu gadījumā notikumu biežums ir aptuveni nemainīgs: testu skaita pieaugums samazina notikumu biežuma svārstības tuvu pastāvīgajai vērtībai.

Nejauša notikuma varbūtība tiks saukta par ierobežojumu, uz kuru notikumu biežums cenšas ar neierobežotu testu skaita pieaugumu:

(2.2)

Protams, neviens nekad nevarēs veikt neierobežotu skaitu testu, lai noteiktu varbūtību. Tam nav nepieciešams. Praktiski varbūtībai [redzēt (2.2)] Jūs varat veikt relatīvo biežumu pasākuma ar lielu skaitu testu. Tātad, piemēram, no dzimšanas statistikas likumiem, kas izveidota daudzu gadu novērojumiem, iespējamība, ka jaundzimušais būs zēns, tiek lēsts 0,515.

Klasiskā varbūtības definīcija.Ja nav iemeslu testēšanai, kā rezultātā viens negadījums būtu parādījies biežāk nekā citi. (līdzsvara pasākumi idiots) ir iespējams noteikt varbūtību, pamatojoties uz teorētiskiem apsvērumiem. Piemēram, uzziniet, ja liešanas monētas, ieroču ģerboņa emblēmas biežums (notikums Bet).Ir pierādīts, ka dažādi vairāku tūkstošu testu eksperimenti, ka šāda notikuma relatīvais biežums ņem vērtības tuvu k0,5. Ņemot vērā, ka ieroču ģerboņa izskats un monētas pretējā puse (pasākums In in)ir notikumi, ja monēta ir simetrisks, spriedums R (a)= P (b)\u003d 0,5 varētu veikt, nosakot šo notikumu biežumu. Pamatojoties uz notikumu "vienādu iespēju" jēdzienu, ir formulēta vēl viena varbūtības definīcija.

Pieņemsim, ka testa rezultātā tikai viens no tiem plīdzsvara nepilnīgi notikumi (nepilnīgs zvanu notikumi, ja to vienlaicīga īstenošana nav iespējama). Ļaujiet izskatāmajam notikumam Betnotiek t.gadījumi, kurus sauc par labvēlīgu A, tas notiek ar pārējo p - t,nelabvēlīgs Bet.Tad varbūtību var saukt par labvēlīgu gadījumi līdz kopējam līdzsvara skaitam vietējie pasākumi:

P (a) \u003dm./ n. . (2.3)

tā klasiskā varbūtības definīcija.

Apsveriet vairākus piemērus.

1. URN ir 40 bumbiņas: 10 melnas un 30 baltas. Atrodiet varbūtību, ka atklātais izlases nejaušā bumbā būs melna.

Labvēlīgo gadījumu skaits ir vienāds ar melno bumbiņu skaitu URN: t \u003d.10. Kopējais līdzsvara notikumu skaits (vienas bumbas noņemšana) ir vienāds ar kopējo urnu skaitu: p\u003d 40. Šie notikumi ir nepilnīgi, kā viens un tikai viena bumba tiek noņemta. Ar formulu (2.3) mums ir:

R (a)= 10/40 = 1/4.

2. Atrast varbūtību nokrīt pat skaitu, kad throwing spēlējot kaulu.

Throwing kaulu, seši līdzsvara nepilnīgi notikumi tiek īstenoti: izskats viena cipara 1, 2, 3, 4, 5 vai 6, t.e. n \u003d6. Viltus gadījumi ir pilieni no viena no 2, 4 vai 6 numuriem: t \u003d.3. Vēlamā varbūtība:

P (a) \u003dm./ n. – 3/6 = 1/2.

Kā redzams no notikuma varbūtības definīcijām (2.2) un (2.3.) Visiem notikumiem 0  R (a) 1.

Notikumi, kas šajos testos nevar notikt, tiek saukti par neiespējamu: to varbūtība ir vienāda nulle.

Tātad, piemēram, nav iespējams vilkt sarkano bumbu ar baltiem un melniem bumbiņas, nav iespējams iegūt numuru 7 uz spēlē dice.

Notikums, kas nepieciešams ar šo testu notiks, ko sauc par uzticamu, tās varbūtību uz 1.

Uzticama notikuma piemērs ir baltās bumbas ieguve no urna, kurā atrodas tikai baltās bumbiņas.

Dažos gadījumos ir vieglāk aprēķināt notikuma iespējamību, ja to iesniedzat vienkāršāku notikumu kombinācijas veidā. Šis mērķis ir daži no teorēmu teorijas varbūtības.

Varbūtības papildinājums Teorēma:izskatu varbūtība viens (vienaldzīgi kāds) notikums no vairākiem muļķības vietējie pasākumi ir vienādi ar to varbūtību summu. Diviem pretrunīgiem notikumiem

P (A.vai C) \u003d P (a) + p (b).(2.4)

Mēs pierādām šo teoriju. Ļaut būt p - kopējais skaits testi, \\ t t. 1 - gadījumu skaits, kas veicina notikumus a, \\ t t. 2 - gadījumu skaits, kas veicina notikumus In.Gadījumus, kas veicina aizskarošu vai notikumu Bet,vai nu notikumi ,vienāds m. 1 +m. 2 . Tad P (A.vai C) \u003d (t 1 + T. 2 ) / n \u003d t 1 / p + t 2 / P.Līdz ar to, ņemot vērā (2.3), mums ir

P (A.vai C) \u003d P (a) + p (b).

* Atrodiet varbūtību no pilieniem 1 vai 6, kad throwing spēlējot kaulu.

Notikumi Bet(nometot 1) un (6) ir vienāds ar: P (A) \u003d P (c) \u003d1/6, tāpēc no (2.4) mēs atrodam P (A.vai C) \u003d 1/6 + 1/6 \u003d 1/3.

Varbūtību pievienošana ir derīga ne tikai diviem, betun jebkuru nepilnīgu notikumu skaitu.

* URN ir 50 bumbiņas: 10 baltas, 20 melnas, 5 sarkanas un 15 zilas. Atrodiet baltā vai melnā vai sarkanā bumbu izskatu varbūtību ar vienu darbību no bumbas konfiskācijas no urna.

Baltās bumbas noņemšanas iespējamība (notikums Bet)vienāds P (a) \u003d 10/50 \u003d 1/5, melns bļoda (notikums C) - p c (c) \u003d20/50 \u003d 2/5 un sarkans (C Pasgalis) - P c (c) \u003d5/50 \u003d 1/10. No šejienes pēc varbūtību pievienošanas formulas P (A.vai Iebildumsvai c) \u003d P (a) + p (b) + p (c)= 1/5 + 2/5 + + 1/10= 7/10.

Ja divi notikumi ir unikāli un nekonsekventi, tos sauc par pretējo.

Šādi notikumi ir ierasts, lai norādītu, piemēram, Betun .

Divu pretējo notikumu varbūtību summa, \\ t Šādi no varbūtību pievienošanas teorēma ir vienāda ar jauki:

(2.5)

* Mēs ilustrējam taisnīgumu (2.5) iepriekšējā piemērā. Ļaujiet noņemšanai baltā vai melnā vai sarkanā bumba būs notikums Bet 1 , P (a 1 ) = 7/10. Pretējs notikums ir zilas bumbas piegāde. Tā kā zilās bumbas 15, bet kopējais bumbu skaits 50, tad mēs saņemam R () = 15/50 \u003d 3/10 un P (A. 1 ) + P () = 7/10 + 3/10 = = 1.

* Urn ir baltas, melnas un sarkanas bumbiņas. Melnā vai sarkanā bumba piegādes varbūtība ir 0,4. Atrast varbūtību iegūt no baltās bumbas urna.

Apzīmēt Betnotikumu noņemšana melnā vai sarkanā bumbā, P (a) \u003d0,4; pretējs notikums būs balts bumbu konfiskācija, tad uz pamata (2.5) šī notikuma varbūtība R () = 1 - P (a) \u003d= 1 - 0,4 = 0,6.

Notikumu sistēma (a 1 , Bet 2 , ... A. k. ) Zvaniet uz pilnu, ja testējot, viens un tikai viens no šiem notikumiem nāks. Notikumu varbūtības summa, kas veido pilnīgu sistēma ir vienāda ar vienu.

* URN ir 40 bumbas: 20 baltas, 15 melnas un 5 sarkanas. Baltās bļodas izskatu varbūtība (notikums Bet) Vienāds P (a) \u003d20/40 \u003d 1/2, melnā bumbai (notikums C) - p c (c) \u003d15/40 \u003d 3/8 un sarkano bumbu (notikums C) - p c (c)\u003d 5/40 \u003d 1/8. Šajā gadījumā notikumu sistēma Bet 1 , Bet 2 , Bet 3 ir pabeigta; Jūs varat pārliecināties, ka P (a) + p (c) + p (c) \u003d1/2 + 3/8 + + 1/8 = 1.

Varbūtības reizināšanas teorēma:varbūtība kopā neatkarīgu notikumu rašanās ir vienāda ar to varbūtību produktu. Diviem notikumiem

P (A.un C) \u003d P (a) p c).(2.6)

Mēs pierādām šo teoriju. Kopš notikumiem Betun Iebildumsneatkarīgi, katrs no tiem t. 1 Gadījumi ir labvēlīgi Bet,atbilst t. 2 gadījumi ir labvēlīgi In.Tādējādi kopējais gadījumu skaits, kas veicina notikumu kopīgo izskatu Bet un ,vienāds t. 1 T. 2 . Tāpat kopējais vienādu notikumu skaits ir vienāds p 1 p 2 , kur p 1 un p 2 - attiecīgi vienādu notikumu skaits Bet un Iebildums. Ir

* Vienā urn ir 5 melnas un 10 baltas bumbiņas, vēl 3 melnā un 17 balta. Atrodiet iespēju, ka tad, kad pirmā noņemšana bumbas no katra URN, abas bumbiņas būs:

1) melns; 2) balts; 3) Pirmajā urnā tiks izņemta melnā bumba, un otrajā - baltā krāsā; 4) Baltā bumba tiks izņemta pirmajā URN, un otrajā - melnā krāsā.

Varbūtība vilkt melno bumbu no pirmā URN (notikums Bet) Vienāds P (a) \u003d

= 5/15 \u003d 1/3, melnā bumba no otrā urna (notikums In) -P (b)\u003d 3/20, balts bļoda no pirmā URN (notikums Bet ")- P (A ") \u003d10/15 \u003d 2/3 un balta bumba no pirmā URN (notikums In ")-P (b ") \u003d17/20. Mēs atrodam divu patstāvīgu notikumu kopīgā izskata iespējamību saskaņā ar formulu (2.6.):

1) P (A.un C) \u003d P (a) p (c) \u003d(1/3) (3/20) \u003d 3/60 - abas melnās bumbiņas;

2) P (a "un in ") \u003d P (A ") p (in") \u003d(2/3) (17/20) \u003d 17/30 - gan baltās bumbiņas;

3) P (a "un in ") \u003d P (a) p (in ") \u003d(1/3) (17/20) \u003d 17/60 - melnā bumba tiks izņemta pirmajā URN, un otrajā - baltā krāsā;

4) P (a "un b) \u003d P (A ") P (b) \u003d(2/3) (3/20) \u003d 1/10 - Baltā bumba tiks izņemta pirmajā URN, un otrajā - melnā krāsā.

Visi četri iespējamie gadījumi Bet un Iebildums, Bet "un In ", Bet un In ", Bet "un Iebildums veido pilnu pasākumu sistēmu

P (A.un C) + p (a "un In ") + p (aun In ") + p (A"un In in)= 3/60 + 17/30 + 17/60 + 1/10 = 1.

* Atrodiet iespēju, ka visi trīs dēli ģimenē ir trīs bērni. Pieņemsim, ka zēna dzimšanas varbūtība ir vienāda 0,515 un katram nākamajam bērnam nav atkarīgs no iepriekšējo bērnu grīdas.

Ar varbūtības reizināšanas teorēmu, P (A.un Iebildumsun No)= 0,515 0,515 0,515  0.14.

Varbūtības reizināšanas teorēma kļūst sarežģīta, ja nosaka notikuma varbūtību, kas sastāv no divu pasākumu kopīgā izskata atkarīga. Tajāgadījumā, ja notikums ir apmierināts ar nosacījumu, ka kaklasaite un notika, varbūtība kopīgu izskatu divi no šiem notikumiem ir vienāds

P (A.un C) \u003d P (a) p (in / a), (2.8)

kur P (in / a)-nosacīta varbūtībai.E. Varbūtība gadījumā Iebildumsar nosacījumu, ka notikums Betnotika.

* 5 bumbiņu urnā: 3 balti un 2 melni. Atrodiet varbūtību, ka melnbaltās bumbiņas tiks izņemtas secīgi pa vienam.

Varbūtība, ka pirmais balons tiks konfiscēts (notikums Bet), vienāds P (a) \u003d t / p\u003d 2/5. Pēc melnās bumbas noņemšanas URN, 4 bumbiņas paliek: 3 baltas un 1 melnas. Šādā gadījumā Belohara noņemšanas varbūtība (notikums Iebildumspēc notikuma izpildes Bet)vienāds P (in / a) \u003d3/4. Izmantojot (2.8), mēs saņemam

P (A.un C) \u003d.(2/5) (3/4) = 3/10.

Individuālie uzdevumi matemātikā

1. uzdevums.

6 balto bumbiņu urnā, 11 - melns. Tajā pašā laikā, lupatas izņem divas bumbiņas. Atrast varbūtību, ka abas bumbiņas būs:

Lēmums

1) Varbūtība, ka viena no izvilktajām bumbiņām būs balta, ir vienāda ar iespēju izvilkt balto bumbu no visas bumbas daudzuma URN. Šīs izredzes ir tieši tik daudz baltās bumbiņas urnā, un visu iespēju summa ir vienāda ar balto un melno bumbiņu daudzumu.

Iespēja, ka otrā no izvilktajām bumbiņām būs arī balta vienāds

Tā kā viena no baltajām bumbiņām jau ir izvilkta.

Tādējādi iespējamība, ka abas bumbas, kas aizpildītas no bumbiņām, būs balta, kas vienāda ar šo varbūtību produktu, jo šīs iespējas ir neatkarīgas:

vai Divas melnās bumbiņas:

3) iespējamība, ka abas velk bumbiņas būs dažādas krāsas - varbūtība, ka pirmā bumba būs balta, un otrais melns vai Fakts, ka pirmā bumba būs melna, un otrais ir balts. Tas ir vienāds ar atbilstošās varbūtības summu.

Atbilde: 1)

2) 3) .

2. uzdevums.

Pirmajā Urn 6 baltās bumbiņas, 11 - melnas, otrajā - 5 baltā un 2 - melnā krāsā. No katras urnas pēc nejaušības principa tiek noņemts pār bumbu. Atrast varbūtību, ka abas bumbiņas būs:

1) balts, 2) no vienas krāsas, 3) dažādu krāsu.

Lēmums

1) iespējamība, ka abas bumbiņas būs baltas vienādas ar varbūtības problēmu, ka bumba izvilka no pirmā URN būs balts, visticamāk, ka bumba izvilka no otrā dzimšanas būs balts:

2) iespējamība, ka abas izvilktās bumbiņas būs vienāda krāsa, ir iespēja, ka abas bumbiņas būs baltas vai melnas. Tas ir vienāds ar varbūtību summu - izvelciet divas baltas bumbiņas vai Divas melnās bumbiņas:

3) varbūtība, ka bumba izvilka no pirmā urna būs balta, un bumba izvilka no otrā urna - melna, vai Gluži pretēji - pirmā bumba būs melna, un otrais ir balts, vienāds ar atbilstošo varbūtību summu:

Atbilde: 1)

2) 3) .

3. uzdevums.

Starp 24 loterijas biļetēm ir 11 uzvaras. Atrodiet varbūtību, ka vismaz viena no 2 iegādātajām biļetēm būs izdevīga.

Lēmums

Varbūtība, ka vismaz viena no 24 iegādātajām biļetēm būs izdevīga, vienāda ar atšķirību starp vienību un iespējamību, ka neviena no iegādātajām biļetēm būs izdevīga. Un varbūtība, ka neviens no iegādātajām biļetēm nebūs izdevīga, ir varbūtība, ka pirmās biļetes nebūs izdevīgas iespējamībai, ka otrā biļete nebūs izdevīga:

Līdz ar to varbūtība, ka vismaz viena no 24 iegādātajām biļetēm būs izdevīga:

Atbilde:

4. uzdevums.

6. ailē Sīkāka informācija par pirmo pakāpi, 5 - otro un 2 - trešo. Rags tiek veiktas divas detaļas. Kāda ir iespējamība, ka tās ir abas tās pašas šķirnes?

Lēmums

Vēlamā varbūtība ir varbūtība, ka abas daļas būs vai nu 1. vai 2. vai 3. pakāpe, un tas ir vienāds ar atbilstošo varbūtību summu:

Varbūtība, ka abām daļām būs pirmā pakāpe:

Iespēja, ka abas daļas būs otrā pakāpe:

Varbūtība, ka abas daļas būs trešā pakāpe:

Tādējādi varbūtība vilkt 2 daļas vienu šķirni ir:

Atbilde:

5. uzdevums.

Par stundu 0 ≤ t ≤ 1 (t - laiks stundās), viens un tikai viens autobuss ierodas pie apstāšanās.

Lēmums

Autobuss var ierasties jebkurā brīdī t, kur 0 ≤ t ≤ 1 (ja t ir laiks stundās) vai, tas pats, 0 ≤ t ≤ 60 (kur t ir minūte).

Pasažieris ierodas tajā laikā t \u003d 0 un sagaida ne vairāk kā 28 minūtes.

Buse ierašanos pie stacijas šajā laikā vai atlikušās 32 minūšu laikā ir vienlīdzīgi, tāpēc varbūtība, ka pasažieris, kurš ieradās šajā pieturā laikā T \u003d 0, būs sagaidīt autobusu ne vairāk kā 28 minūtes

Atbilde:

8. uzdevums.

Pirmā šāvēja nokļūšanas varbūtība ir 0,2, otrais - 0,2 un trešais - 0,2. Visas trīs bultiņas vienlaicīgi tika atlaista. Atrodiet iespēju, ka:

1) mērķis būs tikai viens šāvējs;

2) Target iekļaus divas bultas;

3) vismaz viens nokrīt mērķī.

Lēmums

1) iespējamība, ka tikai viens šāvējs iekļausies mērķim, kas vienāds ar mērķi mērķa pirmā šāvēja un LASS otro un trešo vai iekļūstot otrā šāvēja mērķa un neizmanto pirmo un trešo vai Trešais šāvējs mērķī ir pirmais un otrais, kas nozīmē vienāds ar atbilstošo varbūtību summu.

Varbūtība, ka pirmais šāvējs nokļūs pie mērķa, un otrais un trešais - būs garām šo varbūtību produktu:

Līdzīgas varbūtības ievadīt otro šāvēju uz mērķi un neizmanto pirmo un trešo, kā arī iekļūšanu trešās un neizmanto pirmo un otro:

, .

Līdz ar to vēlamā varbūtība:

2) iespējamība, ka abas bultas iekļausies mērķim, kas vienāds ar mērķa pirmā un otrā šāvēja mērķi un miglu vai Hitting mērķa pirmā un trešā šāvēja un neizmanto otro vai Vispirms ir otrā un trešā šāvēja un neveiksmju mērķis, kas nozīmē vienāds ar atbilstošo varbūtību summu.

Varbūtība, ka pirmās un otrās bultiņas nonāks mērķī, un trešais - misharned ir vienāds ar šo varbūtību produktu:

Līdzīgas varbūtības, kas saistītas ar pirmo un trešo šāvēju uz mērķi un neatbilstību, ir otrkārt, kā arī pirmā un trešā un neveiksme ir pirmā.

Par diviem nepilnīgiem notikumiem A un šo notikumu varbūtības, kas vienāds ar to varbūtību summu:

P (A vai C) \u003d P (a) + p (b).

3. piemērs:atrast varbūtību zaudējumu 1 il 6, kad throwing spēlējot kaulu.

Notikums (1 zudums) un (zaudējumi 6) ir vienādi ar: P (a) \u003d p (c) \u003d 1/6, tāpēc P (A vai C) \u003d 1/6 + 1/6 \u003d 1/3

Varbūtības papildinājums ir taisnīgs ne tikai diviem, bet arī par jebkuru nepilnīgu notikumu skaitu.

4. piemērs:uRN ir 50 bumbiņas: 10 baltas, 20 melnas, 5 sarkanas un 15 zilas. Atrodiet baltā vai melnā vai sarkanā bumbu izskatu varbūtību ar vienu darbību no bumbas konfiskācijas no urna.

Varbūtība noņemšanas baltā bumbu (notikums a) ir vienāds ar P (a) \u003d 10/50 \u003d 1/5, melnā bļoda (notikums b) ir vienāds ar p (b) \u003d 20/50 \u003d 2/5 un sarkanā bumba (notikums c) vienāds (c) \u003d 5/50 \u003d 1/10. Tādējādi pēc varbūtību pievienošanas formulām mēs iegūstam P (A vai C) \u003d P (A) + P (c) \u003d P (c) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/10 \u003d 7 / 10

Divu pretējo notikumu varbūtības summa, kas izriet no varbūtību pievienošanas teorēmas, ir vienāda ar vienu:

P (a) + p ( ) = 1

Iepriekš minētajā piemērā, noņemot balto, melno un sarkano bumbu, būs notikums a 1, p (a 1) \u003d 7/10. Pretējais notikums 1 ir zilas bumbas piegāde. Tā kā zilās bumbas 15, un kopējais bumbiņu skaits 50, tad mēs saņemam p (1) \u003d 15/50 \u003d 3/10 un P (A) + P () \u003d 7/10 +3/10 \u003d 1.

Ja notikumi ir 1, 2, ... un n ir pilnīga nepilnīgu notikumu pāru sistēma, tad to varbūtību summa ir vienāda ar 1.

Kopumā divu notikumu summas varbūtība, ko aprēķina kā

P (A + C) \u003d P (a) + p (c) - p (AB).

Varbūtības reizināšanas teorēma:

Notikumi A un B tiek saukti neatkarīgs Ja notikuma izskata varbūtība nav atkarīga no tā, vai notikums noticis vai otrādi, šķiet, ka notikuma iespējamība nav atkarīga no tā, vai notikums noticis vai nē.

Neatkarīgu notikumu kopīgā izskata varbūtība ir vienāda ar to varbūtības darbu. Diviem notikumiem P (A un C) \u003d P (a) · p c (c).

Piemērs: Vienā urnā, 5 melnās un 10 baltās bumbiņas, vēl 3 melnā un 17 balta. Atrodiet iespēju, ka tad, kad pirmā noņemšana bumbas no katras urn abas bumbiņas izrādīsies melns.

Risinājums: melnās bumbas vilkšanas varbūtība no pirmā URN (notikums A) - P (a) \u003d 5/15 \u003d 1/3, melnā bumba no otrā urna (notikums b) - p (b) \u003d 3 / 20

P (A un C) \u003d P (a) · p c (c) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20.

Praksē bieži vien ir atkarīga no notikuma iespējamība, ir bijis kāds cits notikums a vai ne. Šajā gadījumā runājiet par nosacīta varbūtība . Pasākuma varbūtība, ja notikums ir noticis. Nosacījuma varbūtība ir apzīmēta ar p (b / a).

Varbūtības reizināšanas teorēma ir sarežģīta, ja notikuma varbūtība ir atkarīga no diviem notikumiem. Gadījumā, kad ir izpildīts notikums, ja notikums ir notikusi, divu šo notikumu kopīgā izskata varbūtība ir vienāda ar

P (A un B) \u003d P (a) p (in / a).

Urn 5 bumbiņas: 3 baltas un 2 melnas. Atrodiet varbūtību, ka melnbaltās bumbiņas tiks izņemtas secīgi pa vienam.

Varbūtība, ka pirmā melnā bumba tiks konfiscēta (notikums a), kas ir vienāds ar p (a) \u003d m / n \u003d 2/5. Pēc melnās bumbas noņemšanas URN, 4 bumbiņas paliek: 3 baltas un 1 melnas. Šajā gadījumā varbūtība noņemot balto bļodu (notikums pēc notikuma a) ir vienāds ar p (in / a) \u003d ¾. Mēs iegūstam p (A un C) \u003d P (a) p (in / a) \u003d (2/5) (3/4) \u003d 3/10.

Ja notikums var notikt tikai ar vienu no H1, H 2, ... N N notikumiem, kas veido pilnīgu nepilnīgu notikumu pāru sistēmu, tad notikuma varbūtība A nosaka formula Pilna varbūtība

P (A) \u003d P (A / N 1) P (H 1) + P (A / N 2) p (H 2) + ... + P (A / N n) p (n n).

Lai aprēķinātu varbūtību p (h i / a) šajā gadījumā formula Bayesa.:

Kontroles jautājumi

1. Noteikt notikumu varbūtību.

2. Kādus notikumus sauc par exefaleea?

3. Kādus pasākumus sauc par uzticamiem?

4. Kādus pasākumus sauc par neiespējamu?

5. Kādus notikumus sauc pretī?

6. Izveidojiet klasisku varbūtības definīciju.

7. Kāda ir ticama notikuma iespējamība? Neiespējams notikums?

8. Nosauciet formulu, lai pievienotu un vairotu varbūtības.

Mājasdarbs

Aizpildiet B. darba piezīmju grāmatiņa Nodarbība 11-12.

Lekciju Nr. 6.

Temats ::: \\ TVarbūtības un matemātiskās statistikas teorijas pamatjēdzieni

Individuālie uzdevumi matemātikā

6 balto bumbiņu urnā, 11 - melns. Tajā pašā laikā, lupatas izņem divas bumbiņas. Atrast varbūtību, ka abas bumbiņas būs:

Iespēja, ka otrā no izvilktajām bumbiņām būs arī balta vienāds

Tā kā viena no baltajām bumbiņām jau ir izvilkta.

Tādējādi iespējamība, ka abas bumbas, kas aizpildītas no bumbiņām, būs balta, kas vienāda ar šo varbūtību produktu, jo šīs iespējas ir neatkarīgas:

3) iespējamība, ka abas izvilktās bumbiņas būs dažādas krāsas, ir varbūtība, ka pirmā bumba būs balta, un otrais melns vai tas, ka pirmā bumba būs melna, un otrais ir balts. Tas ir vienāds ar atbilstošās varbūtības summu.

Atbilde: 1) 2) 3) .

1) balts, 2) no vienas krāsas, 3) dažādu krāsu.

1) iespējamība, ka abas bumbiņas būs baltas vienādas ar varbūtības problēmu, ka bumba izvilka no pirmā URN būs balts, visticamāk, ka bumba izvilka no otrā dzimšanas būs balts:

2) iespējamība, ka abas izvilktās bumbiņas būs vienāda krāsa, ir iespēja, ka abas bumbiņas būs baltas vai melnas. Tas ir vienāds ar varbūtību summu - izvelciet divas baltās bumbiņas vai divas melnās bumbiņas:

3) varbūtība, ka bumba izvilka no pirmā URN būs balts, un bumba izvilka no otrā urna - melnā vai otrādi - pirmā bumba būs melna, un otrais ir balts, vienāds ar summu atbilstošās varbūtības:

Atbilde: 1) 2) 3) .

Starp 24 loterijas biļetēm ir 11 uzvaras. Atrodiet varbūtību, ka vismaz viena no 2 iegādātajām biļetēm būs izdevīga.

Līdz ar to varbūtība, ka vismaz viena no 24 iegādātajām biļetēm būs izdevīga:

Atbilde:

6. ailē Sīkāka informācija par pirmo pakāpi, 5 - otro un 2 - trešo. Rags tiek veiktas divas detaļas. Kāda ir iespējamība, ka tās ir abas tās pašas šķirnes?

Vēlamā varbūtība ir varbūtība, ka abas daļas būs vai nu 1. vai 2. vai 3. pakāpe, un tas ir vienāds ar atbilstošo varbūtību summu:

Varbūtība, ka abām daļām būs pirmā pakāpe:

Iespēja, ka abas daļas būs otrā pakāpe:

Varbūtība, ka abas daļas būs trešā pakāpe:

Tādējādi varbūtība vilkt 2 daļas vienu šķirni ir:

Par stundu 0 ≤ t ≤ 1 (t - laiks stundās), viens un tikai viens autobuss ierodas pie apstāšanās.

Autobuss var ierasties jebkurā brīdī t, kur 0 ≤ t ≤ 1 (ja t ir laiks stundās) vai, tas pats, 0 ≤ t ≤ 60 (kur t ir minūte).

Pasažieris ierodas tajā laikā t \u003d 0 un sagaida ne vairāk kā 28 minūtes.

Atbilde:

Pirmā šāvēja nokļūšanas varbūtība ir 0,2, otrais - 0,2 un trešais - 0,2. Visas trīs bultiņas vienlaicīgi tika atlaista. Atrodiet iespēju, ka:

1) mērķis būs tikai viens šāvējs;

2) Target iekļaus divas bultas;

3) vismaz viens nokrīt mērķī.

1) varbūtība, ka tikai viens šāvējs nokļūs mērķa, kas vienāds ar iespējamību hitting mērķi pirmo šāvēja un neizmanto otro un trešo vai pirmo un trešo mērķa nokļūšanu mērķa vai hit mērķa trešo plionu un Pirmais un otrais, kas nozīmē vienādu atbilstošo varbūtību summu.

Varbūtība, ka pirmais šāvējs nokļūs pie mērķa, un otrais un trešais - būs garām šo varbūtību produktu:

Līdzīgas varbūtības ievadīt otro šāvēju uz mērķi un neizmanto pirmo un trešo, kā arī iekļūšanu trešās un neizmanto pirmo un otro:

Līdz ar to vēlamā varbūtība:

2) iespējamība, ka divas bultas iekļausies mērķa mērķa mērķa mērķa pirmā un otrā šāvēja un kļūdas trešā vai pirmā un trešā šāvēja un monthand otro vai mērķi otrā un otrā Trešais šāvējs un neveiksmes ir pirmās, kas nozīmē vienādas ar summu atbilstošās varbūtības.

Varbūtība, ka pirmās un otrās bultiņas nonāks mērķī, un trešais - misharned ir vienāds ar šo varbūtību produktu:

Līdzīgas varbūtības ievadīt pirmo un trešo šāvēju uz mērķi un neizmanto otro, kā arī pirmo un trešo un neizmanto ir pirmais:

Līdz ar to vēlamā varbūtība:

3) iespējamība, ka vismaz viena bultiņa iekļausies mērķim, kas vienāds ar starpību starp vienību un varbūtību, ka šāvēja iekļausies mērķī. Varbūtība, ka nav bultas nonākt mērķī, ir vienāda ar šo varbūtību darbu:

Atbilde: 1), 2), 3).

Students zina 11 jautājumus no 24 programmas jautājumiem. Katrā eksāmenu biļetē ir trīs jautājumi. Atrodiet iespēju, ka: 1) students zina visus trīs jautājumus; 2) tikai divi jautājumi; 3) tikai viens jautājums par eksāmenu biļeti.

1) Iespēja, ka students zina visas trīs biļetes stundas, ir vienāda ar katra no tām zināšanu varbūtības. Tā kā visi trīs jautājumi ir atšķirīgi un netiek atkārtoti, tad:

2) varbūtība, ka students zina tikai divas stundas biļetes, ir vienāda ar iespējamību, ka viņš zina pirmo un otro jautājumu, un trešais nezina, vai ka viņš zina pirmo un trešo jautājumu, un otro - nezina, vai ka viņš zina otro un trešo jautājumu, un pirmais nezina. Tas ir, šī iespēja ir vienāda ar visu šo varbūtību summu.

Pirmais šī summa:

Šīs summas otrais termiņš:

Un trešais šīs summas termiņš:

Līdz ar to vēlamā varbūtība:

3) varbūtība, ka students zina tikai vienu jautājumu no trim vienādiem pret atšķirību, un varbūtība, ka viņš nezina vienu jautājumu:

Atbilde: 1), 2), 3) .

Pirmajā 6 balto bumbiņu urnā un 11 - melnā krāsā otrajā - 5 balts un 2 - melns. Viena bumba tika pārcelta no pirmā URN, tad viena bumba tika izņemta no otrā urna. Atrodiet iespēju, ka bumba, kas ņemta no otrā urna, bija: 1) balts, 2) melns.

1) varbūtība, ka pēc nejaušības principa ņemšanas no pirmā URN bumbu un Otrā atvērta būs balta:

Ja balonīts no pirmā urna otrajā, izrādījās balts, tad baltās bumbiņas otrajā urn būs seši. Tad varbūtība, ka bumba, kas ņemta no otrā urna, būs balta:

Varbūtība, ka pēc nejaušības principa ņemšanas no pirmā urna balona un mazgā uz otru, izrādīsies melns:

Ja bumba, ignorēt no pirmā urna otrajā, izrādījās melns, tad trīs melnās bumbiņas būs trīs.

Tad varbūtība, ka otrā urna bumba izrādīsies melns:

Un abu šo notikumu iespējamība ir vienāda ar šo varbūtību produktu:

Atbilde: 1) , 2) .

Pirmajā 6 balto un 11 - melno bumbiņu urnā otrajā - 5 baltajās un 2 - melnā krāsā trešajā 7 baltajās bumbiņās. Patvaļīgi izvēlēts urna un no viņas nejauši izņem bumbu. Atrodiet iespēju, ka bumba atklāja:

1) balts, 2) melns.

1) Varbūtība izvēlēties vienu no trim urnām ir 1/3.

Noņemiet balto bumbu varbūtību no pirmā URN:

Tātad, varbūtība izvēlēties pirmo urn un izvelciet balto bumbu no viņas:

Līdzīgi, varbūtība izvēlēties otru balonu un izvelciet balto bumbu no viņas:

Varbūtība izvēlēties trešo balonu un izvelciet balto bumbu:

Varbūtība vilkt baltu bumbu no izlases izvēlētā URN ir vienāds ar šo varbūtību summu:

Varbūtība izvēlēties pirmo urn un velciet melno bumbu no tā:

Līdzīgi, iespējamība, izvēloties otro urni un velciet melno bumbu no tā:

Varbūtība izvēlēties trešo urni un izvelciet melno bumbu:

tā kā trešajā urn visās bumbiņas ir baltas.

Varbūtība velkot melnu bumbu no nejaušības izvēlētā URN ir vienāds ar šo varbūtību summu:

Atbilde: 1), 2).

Vienā no trim URNS 6 baltas un 11 - melnās bumbiņas, otrajā - 5 baltā un 2 - melnā krāsā, trešajā 7 baltajās bumbiņās. Rags izvēlēties no trim urniem un viena bumba tiek izvēlēta no tā vēlreiz. Viņš bija balts. Kāda ir varbūtība, ka: 1) bumba tiek noņemta no pirmā URN, 2) bumba tiek noņemta no otrā URN, 3) bumba tiek izņemta no trešā URN?

Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam Bayes formulu, kuras būtība šādā veidā: ja pirms hipotēzes varbūtības H 1, H 2, ... nn bija vienāds ar p (H 1), p (H 2) , ..., P (nn), un kā rezultātā notikums ir noticis, jaunās (nosacītās) varbūtības hipotēzes tiek aprēķinātas pēc formulas:

Kur P (h i) ir varbūtība hipotēze h i, p (A | h i) ir nosacītā varbūtība notikuma A ar šo hipotēzi.

Apzīmē hipotēzi:

H 1 - pirmā URN, H 2 - otrā urna izvēle, H 3 - trešās URN izvēle.

Pirms rīcības visas šīs hipotēzes ir vienlīdzīgi:

Pēc izvēles izrādījās, ka baltā bumba ir izvilkta. Atrast nosacītas varbūtības:

;

1) Saskaņā ar Bayes formulu A posteriori (pēc pieredzes), varbūtība, ka bumba tika izņemta no pirmā URN, ir:

2) Līdzīgi, varbūtība, ka bumba tika izņemta no otrā URN, kas ir vienāds ar:

3) Līdzīgi, varbūtība, ka bumba tika izņemta no trešā URN, ir vienāds ar:

1) ,

2) ,

3) .

No 24 studentiem, kuri ieradās matemātikas eksāmenā, 6 ir lieliski, 11 - Nu, 5 - viduvēji, 2 ir slikti. Eksāmena biļetēs 20 jautājumi. Lieliski sagatavots students var atbildēt uz visiem 20 jautājumiem, kas labi sagatavoti - uz 16, viduvēji - par 10, slikti - par 5 jautājumiem. Apgriezts nejaušā studentā atbildēja uz visiem trim patvaļīgi uzdotajiem jautājumiem. Atrodiet iespēju, ka šis students ir sagatavots: 1) Teicami, 2) slikti.

Lai atrisinātu šo problēmu, mēs piemērojam bites formulu:

Kur p (h i) ir hipotēzes varbūtība,

P (A | h i) ir nosacījuma varbūtība notikuma A ar šo hipotēzi.

Apzīmē hipotēzi:

H 1 - students, kas sagatavots perfekti, H 2 - students ir labi sagatavots,

H 3 - students ir sagatavots viduvējs, H 4 - students ir labi sagatavots.

Pirms šo hipotēzes prioritāro varbūtību pārbaudes:

, , ,

Pēc pārbaudes pārbaudes viens no studentiem izrādījās, ka viņš atbildēja uz visiem trim jautājumiem. Mēs atradīsim nosacījumus varbūtības, proti, varbūtība atbildēt uz visiem trim jautājumiem ar studentu no katras privātuma grupas:

, ,

, .

1) Saskaņā ar Bayes formulu A posteriori (pēc eksāmena) varbūtība, ka students izraisījis, tika sagatavots perfekti, vienāds ar:

2) Līdzīgi, varbūtība, ka students bija labi sagatavots, vienāds ar:

1) varbūtība, ka students izraisīja izcilu:

2) varbūtība, ka students izraisīja bija slikti:

Monēta tiek izmesta par 11 reizēm. Atrodiet varbūtību, ka emblēma nokrist: 1) 2 reizes, 2) ne vairāk kā 2 reizes, 3) vismaz vienu un ne vairāk kā 2 reizes.

Ja pieredze tiek veikta n reizes, un notikums tajā pašā laikā parādās katru reizi ar varbūtību P (un, attiecīgi, neparādās ar varbūtību 1-0 q), tad varbūtība izskatu šo Pasākuma m laiks tiek novērtēts, izmantojot binomijas sadales formulu:

Kombināciju skaits no n elementiem ar m.

1) B. Šis gadījums p \u003d 0,5 (ieroču ģerboņa uzkrāšanas varbūtība, \\ t

q \u003d 1 - p \u003d 0,5 (skriešanās zuduma varbūtība), \\ t

No šejienes, varbūtība tukšā ģerboņa 2 reizes:

2) šajā gadījumā notikums (ģerbonis) var parādīties 0 reizes, 1 vai 2 reizes, kas nozīmē vēlamo varbūtību:

3) Šajā gadījumā notikums (ieroču ģerbonis) var parādīties 1 vai 2 reizes, kas nozīmē vēlamo varbūtību:

Varbūtība, ka ģerbonis nokristu:

1) tieši 2 reizes vienāds

2) ne vairāk kā 2 reizes:

3) vismaz vienu un ne vairāk kā 2 reizes:

11 ziņojumi tiek pārraidīti pa komunikācijas kanālu, no kuriem katrs ir neatkarīgs no citiem ar varbūtību p \u003d 0,2 izkropļots ar traucējumiem. Atrodiet iespēju, ka: 1) no 11 ziņojumiem Rovno 2 tiks izkropļota ar traucējumiem, \\ t

2) Visi ziņojumi tiks pieņemti bez izkropļojumiem, 3) vismaz divas ziņas tiks izkropļotas.

1) šeit p \u003d 0,2 (izkropļojumu varbūtība), \\ t

q \u003d 1 - p \u003d 0,8 (neizbēgamības varbūtība), \\ t

2) varbūtība pieņemt visus 11 ziņojumus bez izkropļojumiem ir vienāds ar visu varbūtību, ka katra no tām var pieņemt bez izkropļojumiem:

3) vismaz divu ziņojumu izkropļojumi nozīmē, ka var izkropļot divus vai vienu vai vienu ziņojumu:

Varbūtība, ka:

1) no 11 ziņojumiem tiks izkropļoti tieši 2 vienādi,

Nekas cits, izņemot atkal notikumus un. Patiešām, mums ir: * \u003d, * \u003d, \u003d, \u003d. Vēl viens pasākuma Algebra L piemērs ir četru pasākumu kopums :. Faktiski: * \u003d, * \u003d, \u003d,. 2. Divi. Varbūtības teorijas pētījumi izlases notikumi. Tas nozīmē, ka līdz noteiktam laika posmam kopumā runājot, nav iespējams iepriekš pateikt par nejaušo notikumu, un šis notikums notiks vai nē. Tikai...