Osnovna geometrija - Sholaster N.N. Znaki vzporednosti dveh premic

Video tečaj "Dobijte A" vključuje vse teme, potrebne za uspeh opraviti izpit pri matematiki za 60-65 točk. Popolnoma vse naloge 1-13 profilni izpit matematika. Primerno tudi za opravljanje osnovne USE pri matematiki. Če želite izpit opraviti z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za izpit za 10.-11. razrede, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za reševanje 1. dela izpita iz matematike (prvih 12 nalog) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na enotnem državnem izpitu in brez njih ne morejo niti stotočkovni študent niti humanist.

Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in UPORABLJAJTE skrivnosti. Analizirane so bile vse relevantne naloge 1. dela nalog Banke FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam USE-2018.

Tečaj vsebuje 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana iz nič, preprosto in jasno.

Na stotine izpitnih nalog. Težave z besedilom in teorija verjetnosti. Preprosti in si lahko zapomni algoritmi za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčno gradivo, analiza vseh vrst nalog USE. Stereometrija. Zapletene rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorska domišljija. Trigonometrija iz nič - do naloge 13. Razumevanje namesto nabiranja. Vizualna razlaga kompleksnih konceptov. algebra. Korenine, potenci in logaritmi, funkcija in izpeljanka. Osnova za reševanje kompleksnih nalog 2. dela izpita.

Znaki vzporednosti dveh premic

Izrek 1. Če je na presečišču dveh premic sekante:

diagonalno ležeči koti so enaki, oz

ustrezni koti so enaki, oz

vsota enostranskih kotov je torej 180°

črte so vzporedne(slika 1).

Dokaz. Omejujemo se na dokaz primera 1.

Recimo, da sta na presečišču premici a in b s sekantom AB čez ležeča kota enaka. Na primer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo, da je a || b.

Predpostavimo, da premici a in b nista vzporedni. Nato se sekata v neki točki M in posledično bo eden od kotov 4 ali 6 zunanji kot trikotnika ABM. Naj bo zaradi določnosti ∠ 4 zunanji kot trikotnika ABM in ∠ 6 notranji. Iz izreka o zunanjem kotu trikotnika izhaja, da je ∠ 4 večji od ∠ 6, kar je v nasprotju s pogojem, kar pomeni, da se premici a in 6 ne moreta sekati, zato sta vzporedni.

Posledica 1. Dve različni premici v ravnini, ki sta pravokotni na isto premico, sta vzporedni(slika 2).

Komentar. Način, na katerega smo pravkar dokazali primer 1 izreka 1, imenujemo metoda dokazovanja s protislovjem ali redukcijo na absurd. Ta metoda je dobila prvo ime, ker je na začetku sklepanja postavljena predpostavka, ki je nasprotna (nasprotna) tistemu, kar je treba dokazati. Imenuje se redukcija do absurda zaradi dejstva, da z argumentacijo na podlagi podane predpostavke pridemo do absurdnega zaključka (absurda). Prejem takšnega zaključka nas prisili, da zavrnemo začetno predpostavko in sprejmemo tisto, ki je bilo potrebno dokazati.

1. naloga. Konstruiraj premico, ki poteka skozi dano točko M in je vzporedna z dano premico a, ki ne poteka skozi točko M.

Rešitev. Skozi točko M narišemo premico p pravokotno na premico a (slika 3).

Nato skozi točko M narišemo premico b, pravokotno na premico p. Premica b je vzporedna s premico a v skladu s posledico izreka 1.

Iz obravnavanega problema izhaja pomemben zaključek:
Skozi točko, ki ni na dani premici, lahko vedno potegnemo črto, vzporedno z dano premico..

Glavna lastnost vzporednih premic je naslednja.

Aksiom vzporednih premic. Skozi dano točko, ki ni na dani premici, je samo ena premica vzporedna z dano premico.

Razmislite o nekaterih lastnostih vzporednih premic, ki izhajajo iz tega aksioma.

1) Če premica seka eno od dveh vzporednih premic, seka drugo (slika 4).

2) Če sta dve različni premici vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni (slika 5).

Prav tako drži naslednji izrek.

Izrek 2. Če dve vzporedni premici preseka sekansa, potem:

koti leže so enaki;

ustrezni koti so enaki;

vsota enostranskih kotov je 180°.

Posledica 2. Če je črta pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, potem je pravokotna tudi na drugo.(glej sliko 2).

Komentar. Izrek 2 se imenuje obrat izreka 1. Zaključek izreka 1 je pogoj izreka 2. In pogoj izreka 1 je zaključek izreka 2. Vsak izrek nima inverza, tj. če je dani izrek resničen, potem je lahko inverzni izrek napačen.

Pojasnimo to s primerom izreka o navpičnih kotih. Ta izrek je mogoče oblikovati na naslednji način: če sta dva kota navpična, sta enaka. Inverzni izrek bi bil naslednji: če sta dva kota enaka, sta navpična. In to seveda ni res. dva enakih kotov ni nujno, da je navpična.

Primer 1 Dve vzporedni premici prečka tretja. Znano je, da je razlika med dvema notranjima enostranskima kotoma 30°. Poiščite te kote.

Rešitev. Naj slika 6 izpolnjuje pogoj.

Vsak kot, odvisno od njegove velikosti, ima svoje ime:

Pogled kota	Velikost v stopinjah	Primer
Začinjeno	Manj kot 90°
naravnost	Enako 90°. Na risbi je pravi kot običajno označen s simbolom, narisanim z ene strani kota na drugo.
Neumno	Več kot 90°, vendar manj kot 180°
razporejen	Enako 180° Obrnjeni kot je enak vsoti dva prava kota, pravi kot pa je polovica ravnega kota.
Konveksna	Več kot 180°, vendar manj kot 360°
Poln	Enako 360°

Dva vogala se imenujeta povezane, če imata eno stran skupno, drugi dve strani pa tvorita ravno črto:

vogali KRPA in pon sosednji od žarka OP - skupna stran, in drugi dve strani OM in VKLOPLJENO sestavite ravno črto.

Skupna stranica sosednjih kotov se imenuje poševno do ravno, na katerem ležita drugi dve strani, le če si sosednja kota nista enaka. Če so sosednji koti enaki, bo njihova skupna stranica enaka pravokotno.

Vsota sosednjih kotov je 180°.

Dva vogala se imenujeta navpično, če se stranice enega kota dopolnjujejo z ravnimi črtami strani drugega kota:

Kota 1 in 3 ter kota 2 in 4 sta navpična.

Navpični koti so enaki.

Dokažimo, da sta navpična kota enaka:

Vsota ∠1 in ∠2 je ravni kot. In vsota ∠3 in ∠2 je ravni kot. Torej sta ti dve vsoti enaki:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

V tej enakosti je na levi in ​​desni strani enak izraz - ∠2. Enakost ni kršena, če je ta izraz na levi in ​​desni izpuščen. Potem dobimo.

Pod uredništvom Ivanitskaya V.P. - M.: Državna izobraževalna in pedagoška založba Ministrstva za šolstvo RSFSR, 1959. - 272 str.
Prenesi(neposredna povezava) : egnnsholaster1959.djvu Prejšnja 1 .. 11 > .. >> Naprej

Če so sosednji koti enaki, se vsak od njih imenuje pravi kot. Njihova skupna stranica se imenuje pravokotnica na premico, ki jo tvorita drugi dve strani. Prav tako lahko rečemo, da je simetrala ravnega kota pravokotna na premico, ki jo tvorijo njegove stranice.

Izrek. Če so koti enaki, so enaki tudi sosednji koti.

Naj (h, k) = ^. (I, m) in naj bosta ^ (h!, k) in ^ (/", m) sosednja kota, ki jima ustrezata (slika 20). Naj je nadalje / gibanje, pri katerem je ^ (h, k ) se prikaže v (I, tri). S tem gibanjem bo razširjeno ^ (h, K) prikazano v razširjenem (I, /"). Iz tega sledi, da je ^(h", k) preslikan v ^(V, m), tj. ^(h!, k) = ^(V, m).

Izrek. Obstaja simetrala katerega koli kota in poleg tega edinstvena.

Naj je ^ (A, k) drugačen od razvitega in naj je njegova notranjost konveksna. Od točki O (slika 21, a) na njenih straneh odstavimo enaka odseka OA in OB in povežimo točki A in B. V enakokrakem trikotniku AOB A = ^B (§ 8). Če sredino C odseka AB povežemo s točko O, dobimo trikotnika L OS in BOC enaka v prvem predznaku, zato je AOC = BOC, zato je žarek OS simetrala (h, k).

Če (h, k) ni konveksna (na risbi njeno notranje območje ni zasenčeno), potem v skladu s prejšnjim

6}
t^

Izrek, njegova simetrala je žarek m, komplementaren žarku /.

Iz enakosti trikotnikov ACO in BCO sledi tudi, da je ^ ACO = BCO1, to pomeni, da je žarek CO simetrala ravnega kota s stranicama CA in CB.

Naj nam je zdaj dan razgrnjen ^(p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB je prikazan v

(p, q). V tem primeru je žarek CO preslikan v žarek t. Ker je ^(p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO in ^ACO= = (q, t), potem je (p, t) = ^(q, t), tj. simetrala t (p, q).

Naj / je simetrala

(A, A) in Г je poljuben žarek, ki izhaja iz vrha vogala in leži v njegovem notranjem območju. Če Γ leži v notranjem območju ^ (A, /), potem ^ (A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Zato ^ (A, D)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Posledica 1. Na dano premico je ena in samo ena pravokotnica, ki se začne iz dane točke na njej in leži v dani polravnini, omejeni s to premico.

Posledica 2. Pol enaka kota sta med seboj enaka.

Dejansko, če je ^ (A, A) = ^ (A", A"), potem obstaja gibanje /, pri katerem je eden od njih preslikan na drugega. Po dokazanem izreku morata biti tudi njuni simetrali / in Γ pod danim gibanjem preslikani druga v drugo. Zato je ^(A, /) = ^(A", Γ).

Ker so vsi ravni koti enaki, je poseben primer posledice 2 trditev: vsi pravi koti so med seboj enaki.

Premici a in A, ki na presečišču tvorita pravi kot, imenujemo pravokotni (a ± b).

Odsev od ravne črte. Naj premica a leži v ravnini a. Tako oblikovane polravnine bomo označili z X in p. (slika 22). Vzemimo direktni žarek A

ki izhaja iz točke O. Z lastnostjo 6 gibanj (§ 7) obstaja edinstveno gibanje, ki preslika žarek h vase in polravnino X v polravnino jx. Vse točke tega žarka so preslikane vase z lastnostjo 5 gibanja. Vse točke žarka k, ki dopolnjuje neposredni žarek h, so tudi preslikane nase.

Tako so pri obravnavanem gibanju vse točke premice a preslikane vase. Dalje, to je enostavno videti

Vzemimo zdaj točko izven premice a.

Izrek. Skozi katero koli točko, ki ni na premici, je samo ena premica pravokotna na dano premico.

Dokaz. Naj bo M točka, ki leži zunaj premice a (slika 23). Premica a deli ravnino, ki jo definira ta premica in

točko M na dve polravnini: polravnino X, ki vsebuje točko M, in polravnino jx. Ko se odbije od premice a, je točka M preslikana v točko M "polravnine jx. Ker točki M in M" ležita v različnih polravninah,

tyah potem naravnost mm" in prekletih 23

sekajo v nekaterih

točka M0, ki se ob refleksiji preslika vase. Iz tega sledi, da je premica MM" preslikana vase, zato sta kota / in 2, ki ju tvorita s črto a (glej sliko 23), preslikana drug v drugega.

ravnina zanke jx se nato preslika v polovično ravnino X.

Zadevno gibanje imenujemo odboj od premice a.

Iz obstoja simetrale ravnega kota sledi, da je skozi katero koli točko, ki leži na premici a, vedno mogoče potegniti premico b, pravokotno na premico a.

Zato sta ti koti enaki, in ker sta poleg tega sosednja, potem je MM" ± a. Zdaj naj se skozi M nariše še ena premica, ki seka premico a v neki točki Af0. Preslika se v premico M"N0 , a ^ MN0M0 preslikava v M"N0M0. Torej, ^ 3 = ^i4. Toda na podlagi aksioma 1 (§ 2) točki M1 N0 in M" ne ležita na isti ravni črti, zato je vsota kotov 3 in 4, tj. ^ MN0M", ni ravna kota. Iz tega sledi, da se kota 3 in 4 razlikujeta od pravega in premica MN0 ne bo pravokotna na premico a. Premica MM " je torej edina premica, pravokotna na a in poteka skozi točko M.