Biologija 

Trikotniki so enaki na dveh vogalih in strani. Tretji znak enakosti trikotnikov

Mednarodna znanstvena in praktična konferenca "Prvi koraki za znanost"

»Novi« znaki enakosti trikotnikov

Matematika

9B CLASS MBOU "Bryansk City
lyceum številka 2 "

Leader: Učitelj matematike

Bryansk 2013.

1. Uvod

2. Ustvarjanje imenika osnovnih nalog za izgradnjo s cirkulacijo in vladarjem

3. Primerjava preučevanih značilnosti enakosti trikotnikov in nalog za gradnjo trikotnikov. Uvedba nove metode dokazila o znakih enakosti trikotnikov

4. Dokazilo o novih znakih enakosti trikotnikov

5. Sploščanje dobljenih rezultatov

6. Uporaba novih znakov enakosti trikotnikov pri reševanju problemov

7. Zaključek

JAZ.Uvod

"Če sta dve strani in kot med njimi en trikotnik ... ..". Se je naučil množenje tabel, znaki enakosti trikotnikov. Na stotine krat smo navedli in jih uporabili pri reševanju problemov. Zdi se, da bi bilo lahko lažje? Vse vemo o tem!

Vendar pa je bilo še vedno vprašanj, odgovori, na katere nam ne dajo miru. Metoda prekrivanja, ki se uporablja za dokazovanje prvega znaka enakosti, se nam je zdelo nekoliko umetno. Zato ga nismo nikoli uporabljali pri reševanju nalog? Zakaj tako malo znakov enakosti trikotnikov? V 8. razredu so zgradili trikotnike v vseh dveh straneh in kot med njimi. Nesreča? Toda v matematiki ni naključnih naključja.

Morda je iskanje povezave med reševanjem problemov na gradbenih trikotnikih in znakih enakosti, dobimo nova metoda Dokaz PRT. "Oboroženi" bodo lahko dokazali druge znake enakosti trikotnikov. Prepričani smo, da so veliko več kot 3!

Da bi zagotovili, da so odgovori na ta vprašanja zaskrbljeni, ne le pri nas, smo izvedli sociološko raziskavo med študenti in učiteljev Lyam (glej Dodatek 3).

Naše predpostavke so bile potrjene. Večina študentov pozna samo 3 znake enakosti trikotnikov. Metoda uvedbe ni zelo priljubljena. Gradbene naloge se prav tako ne zdi zanimiva tema v geometriji. Stopnja raziskav, mnoge se na splošno štejejo za odveč.

V to smer, namen Naša študija je bila ugotovitev bolj razumljive metode dokazov znakov enakosti trikotnikov in novih znakov enakosti trikotnikov.

Bilo je izjemno pomembno, da se doda seznam najpreprostejših nalog za gradnjo, ki je študiral v sedmem razredu, druge osnovne zgradbe, ki smo jih opravili v osmem in devetem razredu. Skupaj 12 osnovnih konstrukcij (glej Dodatek 1). V okviru nadaljnjih raziskav se bomo večkrat sklicevali na ta seznam.

Opozoriti je treba, da so vse naloge, ki smo jih rešili po algoritmu: dano-za gradnjo-analiza-izgradnjo-dokaz-raziskave. Za preproste naloge in naloge, katere rešitev je znana, smo znižali analizo.

Največ pozornosti je bilo namenjeno zadnji fazi - študijo, ki nam je dala priložnost, da najdemo novo dokazno metodo.

Risbe so bile odločene, da se izvajajo v programu barv, zato je postalo potrebno, da se naučijo delati v njem vnaprej.

II. Ustvarjanje kataloga osnovnih nalog za izgradnjo s cirkulacijo in vladarjem

Večina našega dela je reševanje problemov za gradnjo trikotnikov, tako da smo na prvi fazi dela zbrali seznam preprostih stavb. To je omogočilo, da težave z nalogami krajše in lepe.

Vse naloge, ki smo jih rešili v skladu z načrtom: dano - gradnja - izgradnja - dokaz - dokaz - raziskave. Poseben pomen je bil izplačan študijski fazi.

Osnovne konstrukcije so bile rešene v različnih oddelkih geometrije 7 in 8. razreda. Zbrali smo jih v enem imeniku.

1) Izdelava segmenta, ki je enaka temu;

2) izgradnjo kota, ki je enak temu;

3) konstrukcijski kotni simertor;

4) gradnja sredine segmenta;

5) Gradnja pravokotnega s točko, ki leži / ne leži na tej vrstici;

6) izgradnja ravne črte, ki je vzporedna s tem;

7) izgradnjo tretjega kota, vzdolž dveh znanih;

8) Zgraditi tangento na obodu, skozi točko ne leži na tem krogu;

9) razdelitev segmenta v določenem razmerju;

10) razdelitev segmenta v določenem obdobju segmentov;

11) Razdelitev segmenta na N EQUAL segmentih.

Podrobna rešitev teh nalog je zastopana v Dodatku 1.

III. Primerjava preučevanih znakov enakosti trikotnikov in nalog za gradnjo trikotnikov. Polaganje nove metode dokazila o znakih enakosti trikotnikov.

Če želite poiskati novo metodo dokazila PRT, smo primerjali stanje prvega PRTA s pogojem ene od nalog za gradnjo. Bili so enaki in predlagali smo, da to ni naključno, rešitev za gradbeno nalogo pa nas bo pripeljala do iskanja nove dokazne metode.

Zgraditi trikotnik na dveh straneh in kot med njimi

https://pandia.ru/text/78/103/images/image003_23.jpg "Width \u003d" 667 "višina \u003d" 82 ID \u003d "\u003e\u003e

ZAKLJUČEK: Z edinstvenostjo gradnje, vse trikotnike, v katerih sta dve strani in kot med njimi, enaka določenim elementom sta enaka.

Izgradnjo trikotnika na strani in dva prilagajalna vogala

https://pandia.ru/text/78/103/images/image007_16.jpg "Width \u003d" 629 "Višina \u003d" 497 "\u003e

PRT, se je izkazal za reševanje tega problema, sliši, kot je ta: "Če sta dve strani in mediana, porabljen za tretji, en trikotnik, je enaka dvema stranema in mediana porabljena na tretjem, drugem trikotniku, potem so ti trikotniki enaki . "

Toda vse naloge niso bile rešene tako preproste. Na primer, naloga stavbe na dveh straneh in vogalu meji na eni od strank, novi znak enakosti ni dal. Vendar pa nas stane malo spremembe, in še en PRT je prejel. Rešitev te naloge je bila še posebej pomembna za nas, ker smo njegovo stanje prišli sami.

https://pandia.ru/text/78/103/images/image010_3.png "širina \u003d" 630 "višina \u003d" 340 ID \u003d "\u003e

Po reševanju te naloge smo se obrnili na internetne vire in se naučili, da se ta izjava včasih imenuje 4 znak enakosti trikotnikov. Njegovo dokaz je podan profesor Moskovske državne univerze, na mestu "Matematika v šoli", katerega ustvarjalec je fakulteta pedagoško izobraževanje MSU je imenoval. Ta dokaz se bistveno razlikuje od predlaganega. Popoln dokaz, da boste našli HTTP: // www. Šola. ***** ////.

V. Sploščanje dobljenih rezultatov

Torej smo našli novo metodo dokaz PRT. Če je trikotnik v treh elementih zgrajen edini, ustrezna enakost teh elementov v dveh trikotnikih pomeni, da so trikotniki enaki.

Ta metoda je omogočila ustvarjanje novih znakov enakosti trikotnikov:

4 TRT. Na dveh straneh in kotičkih, nasprotuje več od njih.

5 TRT. Na strani, nasprotni vogal in višina, izvedena iz vozlišča tega kota.

6 TRT. Pod dvema vogalama in višino, izvedeno od vrha tretjega.

7 TRT. Na dveh vogalih in perimetru (dve rešitvi).

8 th. Na dveh straneh in srednji rasti na tretjem mestu.

9 TRT. Tri medije.

10 pret. Za dva vogala in stran ob eni izmed njih.

Podroben dokaz vsakega od njih je predstavljen v Dodatku 3.

VI. Uporaba novih znakov enakosti trikotnikov pri reševanju problemov

Morda nekdo ni bil popolnoma prepričan o pomembnosti naše raziskave. Seveda je vsaka študija sama po sebi pomembna, saj je to študija problema, iskanje odgovorov na vprašanja ... ampak naše delo ima bolj dokončno praktična vrednostkot samo zanimanje. Konec koncev, niz geometrijskih nalog zahteva znanje znakov enakosti trikotnikov, in več znakov, bolj raznolik rešitev.

Učbenik "Geometrija 7-9" Atanasyan ponuja nalogo povečane kompleksnosti 000 *

Rešitev predstavimo na dva načina.

1 metoda. "Podvojitev medianov"

Dokazi:

MD \u003d AM, DOC

M1D1 \u003d A1M1, D1PREAMED A1M1

2) AM \u003d MD in BM \u003d MC \u003d\u003e ABCD-paralelogram (na podlagi)

3) A1M1 \u003d M1D1 in B1M1 \u003d M1C1 \u003d\u003e A1B1C1D1-paralelogrami (na osnovi)

4) DVS \u003d DA1B1C1, ker: AV \u003d A1B1 (pod pogojem)

AD \u003d 2AM \u003d 2A1M1 \u003d A1D1

B1D1 \u003d A1C1 \u003d A1C1 \u003d B1D1 (z lastnino paralelama)

5) Od enakopravnosti DAVD in DA1B1D1 mora biti enakost kota enaka kotu \u003d 180 ° C \u003d 180 ° C1D1D1D1 \u003d 180 ° C1O1D1D1 \u003d 180 ° C

6) Razmislite o DVS in DA1B1C1:

Av \u003d a1v1; AC \u003d A1C1 s pogojem; \u003d Ða1, glede na dokazano \u003d\u003e da1b1c1 \u003d da1b1c1 na dveh straneh in vogal med njimi.

2 metoda. Z uporabo 7. \\ t

Dokazi:

Pod pogojem AV \u003d A1V1; AC \u003d A1C1; AM \u003d A1M1. Zato DAVS \u003d DA1B1C1 na dveh straneh in medianih, porabljenih na tretjem (7).

Očitno je, da je 2 način veliko krajši.

VII. Zaključek

Povzetek: Ugotovili smo, da je metoda dokazovanja PRT, ki se razlikuje od metode aplikacije, izkazala "nove" znake enakosti trikotnikov in rešila naloge z uporabo teh znakov.

Poskrbeli smo tudi, da lahko na najpreprostejši, na prvi pogled, tema skriti številne skrivnosti. In naloge izgradnje trikotnikov, ki so se zdele dolgočasne in nepotrebne, so postale veliko bolj zanimive, in ni več dvomov o njihovem pomembnosti.

Našli smo "orodje", s katerim je enostavno iskati nove znake enakosti trikotnikov. Zdaj, če je potrebno, lahko preverimo, ali je niz treh elementov znak enakosti trikotnikov ali ne. In, nedvomno, proces iskanja prve metode dokazila, ki je prvič dostavil veliko veselje, in nato odprtje novih znakov enakosti trikotnikov. Na poti smo obvladali barvni program.

Ne moremo trditi, da so bili prvi, ki so to storili. In, najverjetneje, ta metoda dokazila PRT je bila znana. Morda smo zamudili nekaj v "naša" metoda, ki ni gladko. Zato želimo predstaviti svoje delo s širokim krogom bralcev. Njihovo mnenje je za nas zelo pomembno. Za to je študija, ki smo jo dali na spletno stran "Virtualni muzej Lyceum No. 2" (http: // www. ***** /) in vezana korespondenca z profesorjem. Kontaktirali smo ga, da bi pregledal naše delo.

Študenti in učitelji lahko izkoristijo naše rezultate raziskav pri pripravi na lekcije in izpite. Na primer, za uporabo razširjenega seznama osnovnih nalog za izgradnjo, odkrivanje nove metode dokazila, da se neodvisno dokažejo znake enakosti trikotnikov, kot tudi izkoriščanje že dokazanih znakov. Zelo pomembno je, da je postalo mogoče skrajšati čas za reševanje problemov na geometriji pri nadzoru in izpitih.

Bibliografija

1. in druge. Geometrija: Vadnica za 7-9 razredov splošne izobraževalne ustanove. 8. ED.-M.: Razsvetljenje, Moscow Tutorial JSC, 2010.

2. "Vsak matshchlinker bi moral to vedeti." 5. izdaja, stereotip. - M.: MCNMO, 2008-56.

3. "četrti znak enakosti trikotnikov", "matematika v šoli" http: // www. Šola. ***** ////.

4. Stran "Virtual Lyceum Museum št. 2" (http: // www. ***** /)

Priloga 1.

Najenostavnejše naloge za izgradnjo

Osnovne konstrukcije s cirkulacijo in vladarjem

Študija:

Gradimo edino z edinstvenostjo vsake konstrukcije.

Opomba:Pq.-Serous pravokotno na segment AV

Dodatek 2.

Naloge za gradbene trikotnike

4. Zgradite trikotnik vzdolž dveh vogalov in strani, ki meji na enega od teh vogalov.

5. Zgradite trikotnik na strani, nasprotni vogal in višina iz tega kota

(Rešil bom nalogo metode geometrijskih mest točk)

6. Zgradite trikotnik na dveh vogalih in višini iz tretjega.

(Rešil bom nalogo metode podobnosti)

7. Izgradnjo trikotnika na dveh straneh in kotu, ki meji na eno od teh strank

Od oddaljenih časov do ta dan se iskanje znakov enakosti podatkov šteje za osnovno nalogo, ki je osnova okvira geometrije; Na stotine izrezov se izkaže z uporabo znakov enakosti. Sposobnost dokazovanja enakosti in podobnosti številk je pomembna naloga na vseh področjih gradnje.

V stiku z

Upravljanje spretnosti

Recimo, da imamo figuro na list papirja. Hkrati imamo vladar in prevoz, s katerim lahko merimo dolžine segmentov in kotov med njimi. Kako prenesti na drugi list papirja oblike enakih velikosti ali povečati njegovo lestvico dvakrat.

Vemo, da je trikotnik številka, ki jo sestavljajo trije segmenti, ki se imenujejo koti, ki tvorijo. Tako obstaja šest parametrov - tri strani in tri kote, ki opredeljujejo to številko.

Vendar pa bo merjenje velikosti vseh treh strani in kotov prenos te oblike na drugo površino težko nalogo. Poleg tega je smiselno postavljati vprašanje: in ali bo znanje o parametri dveh strani in en vogal, ali samo tri strani.

Merjenje dolžine dveh strani in med njimi, nato odložite ta kot na nov kos papirja, da bomo lahko v celoti ponovno ustvarili trikotnik. Ugotovimo, kako to storiti, se naučite, kako dokazati znake, ki jih je mogoče obravnavati enako, in določili bomo, kako je minimalno število parametrov dovolj, da vemo, da bi pridobili zaupanje, da so trikotniki enaki.

POMEMBNO! Številke se imenujejo enake, če se segmenti, ki jih tvorijo, in koti so enaki drug drugemu. Takšni so naslednji podatki, v katerih so stranke in vogali sorazmerni. Tako je enakost podobnost z razmerjem sorazmernosti 1.

Kakšni so znaki enakosti trikotnikov, naj opredelijo:

  • prvi znak enakosti: dva trikotnika se lahko šteje za enako, če sta enaka svojim dvema strankama, kot tudi kot med njimi.
  • drugi znak enakosti trikotnikov: dva trikotnika bosta enaka, če sta isti dve kot, kot tudi ustrezna stran med njimi.
  • tretji znak enakosti trikotnikov : Trikotnike se lahko štejejo za enake, ko imajo vse njihove stranke enake dolžine.

Kako dokazati, da so trikotniki enaki. Dokazilo o enakosti trikotnikov.

Dokaz 1 znak

Že dolgo, med prvimi matematiki, se je ta funkcija štela za Axiom, kot se je izkazalo, je lahko geometrično dokazati, ki se zanašajo na bolj osnovne aksiomes.

Razmislite o dveh trikotnikih - KMN in K 1 M 1 N 1. CM Stran ima enako dolžino kot k 1 m 1, in kn \u003d k 1 n1. In kot MKN. enaka vogalom KMN in M \u200b\u200b1 K 1 N 1.

Če upoštevamo km in k 1 m 1, kN in k 1 n 1 kot dva žarka, ki prihaja iz ene točke, lahko rečemo, da med temi pari žarkov istega kota (to je podano s pogojem izreka ). Proizvajajo vzporedni prenos Žanki K 1 M 1 in K 1 N 1 od točke K 1 do točke K. Zaradi tega prenosa žarki K 1 M 1 in K 1 N 1 popolnoma sovpadajo. Na segmentu žarka K 1 M 1 bomo odložili dolžino CM, ki izvirajo na točki K. Ker je s stanjem pridobljenim segmentom in bo enaka segmentu K 1 M 1, da točke M in M \u200b\u200b1 sovpadajo. Podobno, s segmenti kn in k 1 n 1. Tako, ki prevažajo K 1 M 1 N 1, tako da so točke K 1 in K sovpadale, obe strani pa se prekrivajo, dobimo popolno naključje in številke.

POMEMBNO! Obstajajo dokazi o enakosti trikotnikov na dveh straneh in kotu s pomočjo algebrskih in trigonometričnih identitet z numeričnimi vrednostmi strani in kotov. Zgodovinsko in matematično je bil teorem oblikovan dolgo pred algebro in prej kot trigonometrija. Dokazati to funkcijo izreka, da nepravilno uporabljate karkoli drugega kot osnovne aksiome.

Dokaz 2 Sign.

Prikažemo drugi znak enakosti na obeh vogalih in na strani, ki temelji na prvem.

Dokaz 2 Sign.

Razmislite o KMN in PRS. K je enaka P, N je S. Stranski KN ima enako dolžino kot PS. Potrebno je dokazati, da sta KMN in PRS enaka.

Odražajo točko m glede na žarek KN. Nastala točka bo imenovana L. V tem primeru je dolžina dela KM \u003d Cl. NKL je PRS. KNL je RSP.

Ker je vsota kotov 180 stopinj, je KLN enaka PRS, kar pomeni PRS in KLN-enako (podobno) na obeh straneh in vogalu, v skladu s prvim znakom.

Ker pa je KNL enak KMN, potem sta KMN in PRS dve enaki podatki.

Dokaz 3 Sign.

Kako ugotoviti, da so trikotniki enaki. To neposredno izhaja iz dokazila druge funkcije.

Dolžina kN \u003d PS. Ker k \u003d P, N \u003d S, KL \u003d km, z KN \u003d KS, Mn \u003d ML, potem:

To pomeni, da sta obe številki podobni drug drugemu. Ker pa so njihove stranke enake, so tudi enake.

Iz znakov enakosti in podobnosti pomeni veliko posledic. Eden od njih je, da sta za določitev dveh trikotnikov enaka ali ne, je treba poznati njihove lastnosti, ne glede na to, ali so enake:

  • vse tri strani;
  • na obeh straneh kot kot med njimi;
  • med njimi.

Z znakom enakosti trikotnikov za reševanje problemov

Posledice prvega znaka

Med dokazom lahko pridete na številne zanimive in koristne posledice.

  1. . Dejstvo, da je presečišče diagonal paralelogram deli v dva enake dele, je posledica znakov enakosti in je precej ugodna dokaz. Dejavniki dodatnega trikotnika (z gradnjo zrcala, kot v dokazih, ki smo jih izvajali) so stranke glavnega (strani paralelama).
  2. Če sta dva pravokotne trikotnika, ki imata enake ostrega vogala, potem so kot. Če je hkrati sprednji CATT enak drugemu katepleti, so enaki. To je zelo enostavno razumeti - vse pravokotne trikotnike imajo ravni kot. Zato so znaki enakosti enostavnejši za njih.
  3. Dva trikotnika z ravnimi vogali, v kateri imata dve kategoriji enako dolžino, se lahko šteje za enako. To je posledica dejstva, da je vedno 90 stopinj med dvema kategorijama. Zato so na prvi osnovi (na dveh straneh in vogalu med njimi) vse trikotnike z neposrednimi koti in enakimi kategorijami enaki.
  4. Če obstajata dva pravokotne trikotnika, in imata eno katat in hipotenuzi, nato pa so trikotniki enaki.

To preprosto izrečemo.

Obstajata dve pravokotni trikotniki. Ena roka A, B, C, kjer C je hipotenuza; A, B - Kartets. V drugi roki N, M, L, kjer je L hipotenza; M, n - Kartets.

Po navedbah Pythagore je eden od katetrov enak:

;

.

Torej, če je N \u003d A, L \u003d C (Enakost kasett in hipoteninsov), oziroma, drugi čolni bodo enaki. Številke, oziroma, bodo enake v tretji osnovi (za tri stranke).

Opozarjamo na drugo pomembno posledico. Če obstajata dva enaka trikotnika, in so podobni razmerju po podobstvu K, to je, da so par odnose vseh njihovih strank enaka K, potem je razmerje med njihovimi območji enako K2.

Prvi znak enakosti trikotnikov. Video tutorial na geometriji razred 7

Geometrija 7 Prvi znak enakosti trikotnikov

Izhod

Menili smo, da bo tema pomagala vsakemu učencu bolje razumeti osnovne geometrijske koncepte in povečati svoje sposobnosti v najbolj zanimivem svetu matematike.

Znaki enakosti trikotnikov

Enaka se imenuje trikotniki, v katerih so enake ustrezne stranke.

Teorem (prvi znak enakosti trikotnikov).
Če med njima je na voljo dve strani in kotom, je en trikotnik, ki je enak dve strani in kotom, ki se zaključi med njimi, drugi trikotnik, nato pa so takšni trikotniki enaki.

Teorem (drugi znak enakosti trikotnikov).
Če je stran in dva kota, ki meji na njega, je en trikotnik, ki je enak strani in dva trikotna kota, ki meji na njega, potem so taki trikotniki enaki.

Teorem (tretji znak enakosti trikotnikov).
Če so trije strani enega trikotnika, ki so enake tri strani drugega trikotnika, so taki trikotniki enaki.

Znaki podobnosti trikotnikov

Takih trikotnikov se imenujejo, v katerih so vogali enaki, in podobne stranke so sorazmerne z:, kjer - razmerje podobnosti.

Podpišim kot trikotnike. Če je dva kota enega trikotnika dva vogala drugega, potem so ti trikotniki podobni.

II Podpišite kot trikotnike. Če so trije strani enega trikotnika sorazmerne s tremi stranicami drugega trikotnika, so taki trikotniki podobni.

III Podpišite kot trikotnike. Če sta dve strani enega trikotnika sorazmerna z obema stranema drugega trikotnika, in koti, sklenjeni med te strani, so enaki, potem so taki trikotniki podobni.

Podgorjina Maxim.

Material raziskovalno delo Lahko se uporablja za geometrije kroge v 7. razredu

Prenesi:

Predogled:

MBU do mesta Rostov-on-ne-don "palača ustvarjalnosti otrok in mladih"

Don Akademija znanosti mladih raziskovalcev. Yu. A. Zhdanova

Matematika

Tema: "Nestandardne izreke na enakost trikotnikov"

Podgorny Maxim, 7 cl.,

Mbou SOSH številka 3,

Leader:

Oleinikova Lyudmila Aleksandrovna,

matematični učitelj,

Mbou SOSH številka 3,

salsk, Rostov regija

rostov-on-Don

Leto 2017.

Uvod ....................................................... ................................... 3.

Glavni del

Znaki enakosti trikotnikov ............................................ ....... 4.

Nestandardni znaki enakosti trikotnikov .............................. .7

Zaključek ..................................................... ............................. 10.

Seznam referenc ............................................... ........................ 11. 11.

Uporaba

Uvod

Ustreznost:

Trikotnik je ena od glavnih številk v planimetiji. Veliko sem slišal od srednješolcev, ki so se pri pripravi na izpit pogosto dokazali enakost trikotnikov. Izkazalo se je nezadostno znanje o osnovnih znakih. Hotel sem vedeti, ali je mogoče dokazati enakost trikotnikov v skladu z drugimi parametri. V učbeniku geometrije, v skladu s katerim študija našo šolsko študijo (avtorji L.S.tanasyan, V.F. butzov in drugi. Geometrija 7-9) obstaja samo 3 znake enakosti trikotnikov. Ogledal sem izobraževalni in metodični kompleti Drugi avtorji. Ampak samo tri znane izreke so na voljo za študij.

Hipoteza:

Morda bo to oblikovano, razen treh znanih, drugih znakov enakosti trikotnikov?

Da bi zagotovili, da odgovor na to vprašanje skrbi ne samo mene, sem izvedel sociološko raziskavo med študenti v razredih 7-11, glej Dodatek 1).

Moje predpostavke so bile potrjene. Večina študentov pozna le tri znake enakosti trikotnikov.

Namen moje študije je bil torej ugotovitev novih znakov enakosti trikotnikov.

Naloge:

ΘBuck literaturo na temo v študiji.

Treba je uporabiti število znakov enakosti trikotnikov.

ΘConuscenize svoje sošolce in študente naše šole obstoj drugih znakov enakosti trikotnikov in možnost njihovih dokazov.

Predmet študije:

Študija znakov enakosti trikotnikov.

Predmet študije. Trikotnik, kot ena od glavnih številk v planimetiji.

Raziskovalna metoda: Teoretična (študija, analiza in sinteza), sistemsko iskanje, praktično (dokaz izreka).

Zgodovinsko referenco

Trikotnik je ena od osrednjih oblik vse geometrije.

Pri reševanju nalog se uporabljajo njene najrazličnejše lastnosti.

Lastnosti trikotnika se pogosto uporabljajo v praksi: v arhitekturi; Pri razvoju risbe stavbe pri načrtovanju prihodnjih stanovanj; v industriji, pri oblikovanju različnih podrobnosti, pri izdelavi gradbenih materialov, med gradnjo morskih in zrakoplovov; v navigaciji za izgradnjo desne in najbolj natančne poti; V astrologiji in astronomiji je trikotnik zelo pomembna številka; Triangles omogočajo zanesljive modele visokonapetostnih mostov in železniških mostov.

Poleg tega se uporabljajo številna druga področja, kjer se uporabljajo različne trikotne lastnosti: Začetek igre v biljard, je treba urediti kroglice v obliki trikotnika, za to uporabo posebne naprave; Namestitev klica v igri bowling je tudi v obliki enakostraničnega trikotnika; Za kompilacijo lepih parketov se uporabljajo trikotniki; Naprava Pascal trikotnika: Vsaka številka je enaka vsoti dveh številk, ki se nahaja nad njo (za kroženje tri številke trikotnika). Vse je osnovno, toda koliko čudež je osvetljeno! Pascalski trikotni računalnik se je prenašal v barvni jezik.

Tema trikotnika se lahko nadaljuje za nedoločen čas.

Kaj so trikotniki, ki niso na svetu!

Obstajajo tudi prenosni pomen te številke: na primer pravilo "Golden Triangle" temelji na psihologiji kupca - Iskanje blaga, ki ga potrebujete, kupec hiti na blagajno. Naloga prodajalcev je, da se zadrži v trgovini dlje, z dajanjem blaga, ki ga potrebujete v vozliščih namišljenega trikotnika, to je, da "poškoduje" kupec. kot več kvadrat Triangle, bolj uspešni Lahko pokličete postavitev trgovine. V trgovini z živili je to blago gastronomija, mlečni izdelki, kruh. Zadnja končna stena trgovalne hije je drugo mesto, ki je pomembna, in je tam, da je bolj primerno, da imajo vsa blazina sidra - natančno prisiliti kupca, da prenese celoten obseg trgovine.

Zelo razširjena Bermudski trikotnik - To je območje v Atlantskem oceanu, ki se pojavi domnevno skrivnostno izginotje morskih in letal. Območje je omejeno na vrstice iz Floride na Bermudo otoke, poleg Puerto Rica in nazaj na Florido skozi Bahame.

Zato je študija trikotnika in vse njegove lastnosti zelo pomembna tema.

Namen tega dela je povedati o znakih enakosti trikotnikov, ki je ena od njihovih najpomembnejših lastnosti.

Znaki enakosti trikotnikov so izreki, na podlagi katerih lahko to dokažetetrikotniki enako.

V geometriji se uporabljajo trije znaki enakosti trikotnikov.

Ta tema je bila praktično raziskana, saj danes obstajajo trije znaki enakosti trikotnikov, ki jih dokazujejo ustrezni izreki.

V globoki antiki, skupaj z astronomijo, se zdi, da je znanost - trigonometrija. Beseda "trikonometrija" je bila izdelana iz grškega "trikotnika" in "ukrepa". Dobesedna vrednost - "Znanost o merjenju trikotnikov".

S pomočjo raztegnjenih vrvi 3, 4 in 5 enot, Egiptovski duhovniki so prejeli neposredne kote pri postavitvi templjev itd.

Umetniški prikazovalni predmeti na letalu iz antičnih časov privabljajo človeško pozornost zase, ljudje naslikali na skalah, stenah, plovilih in drugih gospodinjskih predmetih, različnih okraskov, rastlin, živali. Ljudje si prizadevajo zagotoviti, da je slika pravilno prikazana naravna oblika predmeta.

Doktrina podobnosti številk, ki temeljijo na teoriji odnosov in razmerij, je bila ustanovljena v Antična grčija V 5-4 stoletjih do naše ERA in se še vedno razvija. Na primer, veliko otroških igrač, podobnih predmetom odraslega sveta, čevlje in oblačila ene Ledos se proizvajajo v različnih velikostih. Ti primeri se lahko nadaljujejo. Na koncu so vsi ljudje podoben drug drugemu, po Svetem pismu pa je ustvaril svoj Bog v svoji podobi in podobnosti.

Znaki enakosti trikotnikov so imeli najpomembnejši pomen v geometriji, saj so se dokazi o številnih izrekih zmanjšali na dokazilo o enakosti nekaterih trikotnikov. Dokazilo o znakih enakosti trikotnikov se je ukvarjalo s še vedno Pythagoreans. Glede na PROKLARY, EVDEN RHODES se pripisuje falezu miletsky dokaz o enakosti dveh trikotnikov, ki imajo enako stran in dva kota, ki meji na njega (drugi znak enakosti trikotnikov).

Ta teoremska sesa so se uporabljala za določanje razdalje od obale do morskih ladij. Kako so se polete uporabljale, točno ni znano.

Znaki enakosti trikotnikov.

Začnimo z opredelitvijo. Trikotniki ABC in A1B1C1 se imenujejo enako, če se lahko kombinira z uvedbo.

Trikotnik je sestavljen iz šestih elementov: tri kote in tri strani.

Hkrati se postavlja vprašanje: "Kakšno je treba sprejeti najmanjše število elementov trikotnika za vzpostavitev enakosti dveh trikotnikov?"

Ne bomo mogli ugotoviti enakosti dveh trikotnikov na enem elementu, ker ni znan: "Ali bodo drugi elementi enaki?"

Prav tako je nemogoče ugotoviti enakost dveh trikotnikov z dvema elementoma zaradi pomanjkanja informacij za vzpostavitev enakosti.

Možno je vzpostaviti enakost dveh trikotnikov s tremi elementi. Toda vprašanje se pojavi: "Kaj je treba poklicati točno tri elemente, da bi ugotovili enakost trikotnikov?"

Pri proučevanju tega vprašanja sem si ogledal šolske učbenike geometrije različnih avtorjev, pa tudi slovarji in referenčne knjige. V učbenikih za sedmi razred so predlagani le trije znaki enakosti trikotnikov.

Θ1 znak : Če sta obe strani in kot med njimi en trikotnik, sta enaka dvema stranema in vogal med njimi drugega trikotnika, nato pa so taki trikotniki enaki. Smo.1.

Dokaz. Razmislite o trikotnikihABC in 1 B 1 C1 , (Sl. 1), iz katerega je av \u003d a1 B 1, AC \u003d A 1 C1 ∠ A \u003d ∠ A 1 . Dokažemo, da ΔABC \u003d ΔA1 b 1 C 1.

Od ∠a \u003d ∠a 1 , potem lahko Trikotnik ABC nanese na trikotnik A1 v 1 s 1 tako da je tock A združljiv z vrhom A1 in stranice AB in AU bodo postavljene na žarke in1 v 1 in 1 C1. Od AV \u003d A 1 B 1, AC \u003d A1 C1 Potem je stran AV združljiva s stranjo a1 v 1. in stran AC - s stranko a1 C 1. ; Zlasti točke v in v. \\ T1, C in C1 . Posledično stranke sonca in v1 C 1. . Torej, trikotniki ABC in a1 v 1 s 1 Popolnoma monitorji, to pomeni, da so enaki.

Toda kako je v starem Egiptu uporabil prvi znak enakosti trikotnikov (na dveh straneh in vogal med njimi), ustvarjalec se šteje, da je Falez Miletsky, meriti višino piramide: Predstavljajte si, da stojimo pred ogromno piramido, kako meriti njeno višino? Konec koncev, ne pritrdite merilnih instrumentov! In tu, prvi znak enakosti trikotnikov prihaja do reševanja Faleza Millovskyja: čakal je, da je senca natančno sovpadala s svojo rastjo, uporabljenim teoremom, se je izkazalo, da je višina piramide enaka njegovi senci ( Slika 2).

Sl. 2. \\ T

Θ2 znak: Če je stran in dva kota, ki meji na njega, je en trikotnik, ki je enak strani in dva trikotna kota, ki meji na njega, potem so taki trikotniki enaki.

Dokaz: Če je v △ ABC in △ a1 v 1 s 1 Naslednji AB \u003d Enakost se bo pojavila1 v 1, ∠bac \u003d ∠b 1 A 1 C1, ∠AVS \u003d ∠a 1 v 1 s 1 . Vklopite drug druge trikotne trikotne1 v 1 s 1 in ABC, da so enake stranke sovpadale1 v 1. In vogali, ki so v bližini njih. Kot je v prejšnjem primeru že pregledan, če je potrebno, trikotnik a1 v 1 s 1 Lahko »Flip in pritrdite zadnja stran". Triangi sovpadajo, zato se lahko štejejo za enake.

Θ3 znak : Če so trije strani enega trikotnika enake na treh straneh drugega trikotnika, so taki trikotniki enaki. Dokaz: Naj za △ ABC in △ A1 b 1 C 1 Poštena enakost A.1 v 1 \u003d AB, B 1 C1 \u003d Sun, C1 A 1 \u003d SA. Premaknite trikotnik A.1 v 1 s 1 na tak način, da je stranka1 v 1. sovpada s stranjo AV, in vrhovih B1 in B, 1 in sovpadajo. Vzemite krog s Centrom v radiju A in AC, in drugi krog s Centrom B in BC radijem. Ti krogi se bodokali v dveh simetričnih pogovorih AB točk: točka c in točka c2 . Torej, C1 po prenosu trikotnika A1B1C1, mora sovpadati ali s točkama C, ali iz C2. Vse, kar pomeni enakost △ abc \u003d △ a1 b 1 C 1 Ker trikotniki △ abc \u003d △ abc2 enako (navsezadnje, ti trikotniki so simetrični glede na AB.

Ta lastnost je togost trikotnika - se pogosto uporablja v praksi. Da bi zagotovili objavo v navpičnem položaju, ga je dal na varnostno kopijo; Isto načelo se uporablja pri namestitvi nosilca.

Lastnost Triangle togosti se pogosto uporablja v praksi med gradnjo železnih konstrukcij.

Iz tretjega znaka enakosti trikotnikov, sledi, da je trikotnik težka figura. Ker: lahko si predstavljate dve tirnici, ki imata dva konca z nohtom. Takšna zasnova ni toga, vendar prestavljanje ali širjenje prostih koncev rek, lahko spremenimo kot med njimi. Zdaj vzamemo še eno železnico in strgamo njene konce z brezplačnimi konci prvih dveh plošč. Nastalo oblikovanje je trikotnik - to bo že togo. Ni mogoče premakniti ali pustiti dve strani, t.e. Nemogoče je spremeniti katerega koli kota. Dejansko, če je uspelo, bi dobili nov trikotnik, ki ni enak izvirniku. Vendar je nemogoče, saj bi moral biti novi trikotnik enak tretjemu

V imeniku na osnovni matematiki M. Ya. Dobičkonosna sem našel še en znak.

Θ4 znak: Če sta dve strani in kot, ki ležita proti večini od njih, sta ena trikotnik, ki sta enaka dve strani in kot, ki leži proti večini drugega trikotnika, potem so taki trikotniki enaki.

To funkcijo bom dokazala.

Dano. : ΔABC, ΔA1B1C1, AB \u003d A1B1, AC \u003d A1C1,∠ B \u003d ∠ B1

Dokaži: ΔABC \u003d A1B1C1.

Postavite trikotnike kot na sliki 1. Connect B in B1, nato ΔAVV1

Enak, pomen∠ 1= ∠ 2. ∠ 3= ∠ 4 kot ostanki enakih vogalov.

Pridobimo ΔвВ1- je predseduje, zato Sun \u003d B1C1. ΔAVS \u003d Δа1V1С1 v treh strankah.

tudi v. Šolski tečaj 4 Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov se upoštevajo: \\ t

Θ1. . Če katelji enega pravokotni trikotnik V skladu s tem, enaka drugim kategorijam, so taki trikotniki enaki.

Θ2 . Če se zvitki in v bližini njega oster kot enega pravokotnega trikotnika, je enak katetu in oster kotiček drugega, nato pa so takšni trikotniki enaki.

Θ3. . Če sta hipotenuza in akutni kot enega pravokotnega trikotnika enaka hipotenuza in akutni kotiček drugega, so taki trikotniki enaki.

Θ4. . Če sta hipotenuza in zvitki enega pravokotnega trikotnika enake hipotenuze in druge prehrane, so taki trikotniki enaki.

Rešil sem teoretično bazo na znake enakosti trikotnikov, ki so se razširili na stranice in vogale, ki se uporabljajo v klasičnih znakih enakosti trikotnikov, drugih komponent: diser, mediana in višina.

Nestandardni znaki podplatov trikotnikov.

1) na dveh straneh in višini, ki se izvajajo na eno od njih.

Glede na: AB \u003d A1B1, BC \u003d B1C1, AK \u003d A1K1,

Dokaži: ΔABC \u003d ΔA1b1c1.

Dokaz: ΔABK \u003d ΔA1b1k1 na hipotenuzi in katepeu, potem∠ b \u003d ∠ B1 in pridobite ΔABC \u003d ΔA1b1c1 na prvem znaku.

2) na dveh straneh in medianih, porabljenih na eni izmed njih

Podana je: AB \u003d A1B1, BC \u003d B1C1, AK \u003d A1K1, AK in A1K1 - mediane.

Dokaži: ΔABC \u003d ΔA1b1c1.

Dokaz: ΔABK \u003d ΔA1b1k1 za tri strani, nato pa∠ b \u003d ∠ B1 in ΔABC \u003d ΔA1b1c1 na prvi osnovi.

3) na dveh straneh in višini iz tretjega kota.

DANCHED: ∠ B \u003d ∠ B1, ∠ C \u003d ∠ C1, AK \u003d A1K1.

Dokaži: ΔABC \u003d ΔA1b1c1.

Dokaz: ΔABK \u003d ΔA1b1k1 na kateti in akutni kotiček, to pomeni BK \u003d B1K1,

ΔAck \u003d ΔA1c1k1 na kateti in akutni kotiček, to pomeni KC \u003d K1C1, zato je BC \u003d B1C1 in ΔABC \u003d ΔA1b1c1 na drugi osnovi.

4) na strani in dve višini iz vogalov, ki mejijo na tej strani.

Podana je: AC \u003d A1C1, CM \u003d C1M1, AK \u003d A1K1.

Dokaži: Δcc \u003d ΔA1b1c1.

Dokaz: ΔAmc \u003d ΔA1m1c1 na kateti in hipotenuza, to pomeni∠ a \u003d ∠ A1, in Δakc \u003d δa1k1c1 na katera in hipotenuza, potem∠ c \u003d ∠ C1.

Torej, ΔABC \u003d ΔA1b1c1 na drugi osnovi.

5) Na dveh straneh in višini je tretja stranka porabila.

Glede na: AV \u003d A1B1, SUN \u003d B1C1, VK \u003d B1K1.

Dokaži: ΔABC \u003d ΔA1b1c1.

Dokazi: ΔABK \u003d ΔA1b1k1 na hipotenuzi in kateti, pomeni AK \u003d A1K1,

ΔBKC \u003d ΔB1K1C1 na kateti in hipotenuza, pomeni KC \u003d K1C1.

Torej, ΔABC \u003d ΔA1b1c1 na treh straneh.

6) Na strani, eden od vogalov, ki letijo na to stran in disertacijo tega vogala.

Glede na: AC \u003d A1C1, AK \u003d A1K1,∠ a ∠ A1.

Dokaži: ΔABC \u003d ΔA1b1c1.

Dokaz: ΔCAX \u003d ΔK1A1С1 na prvi podlagi, potem∠ c \u003d ∠ C1,

ΔABC \u003d ΔA1b1c1 na drugi osnovi.

7) na dveh višinah in vogalu, iz katerega se hrani ena od višin.

DANCHED: CM \u003d C1M1, AK \u003d A1K1, ∠ A ∠ A1.

Dokaži: ΔABC \u003d ΔA1b1c1.

Dokaz: ΔAmc \u003d ΔA1m1c1 na kavt in akutni vogal, ΔCAX \u003d ΔK1A1С1 na katerate in hipotenuza, ΔABC \u003d ΔA1b1c1 na drugi osnovi.

Zaključek.

V študiji sem ugotovil, da je poleg treh glavnih znakov enakosti trikotnikov mogoče določiti veliko drugih. Oblikoval sem in dokazal enakost trikotnikov na medianu, višino, trikotni diser v kombinaciji s strani strani in vogali trikotnika, ki se držita prisotnosti treh elementov. Zdaj lahko učencem povem našo šolo, da obstajajo drugi znaki enakosti trikotnikov. To bo omogočilo diplomantom šole, da uporabijo rezultate mojih raziskav pri pripravi na OGE in EGE in je enostavno rešiti geometrijske naloge za uporabo teh funkcij.

Rezultat moje raziskave: Nekaj \u200b\u200bznakov enakosti trikotnikov, ki niso preučevali v šolskem tečaju geometrije, so dokazane.

Bibliografija

  1. Dobičkonosna m.a. Priročnik osnovne matematike.
  2. Geometrija. 7-9 Razredi: študije. Za splošno izobraževanje. Institucije / L.S.Atanasyan, V.F. butzov, S.B. Kadomtsev et al. - 19. ed. M.: Razsvetljenje, 2009.
  3. Pogorelov a.V. Geometrija: Študije. Za 7-9 Cl. Splošna izobrazba. Institucije. - 3. izdaja. M.: Razsvetljenje, 2002.
  4. . Enciklopedija "Avanta" v matematiki, Moskva, 2004
  5. 2. "Wikipedija" - brezplačna enciklopedija.
  6. 3. Glazer G.I. "Zgodovina matematike v šoli", Moskva, razsvetljenje, 1982
  7. 4. Guseva TM. Znaki podobnosti trikotnikov.- Moskva, prvi september, aplikacija "matematika", 1999, №28
  8. 5. POGORELOV A.V. "Geometrija 7-9 razredov",Moskva, razsvetljenje, 2003

Priloga 1.

1. Kako menite, koliko znakov enakosti trikotnikov?

A) 3 b) več kot tri c) manj kot tri

2. Želite vedeti nove znake enakosti trikotnikov?

A) da b) ne