Odmik grafov trigonometričnih funkcij. Pretvorba grafa
Vzporedni prenos.
PRENOS PO OSI Y
f(x) => f(x) - b
Naj bo potrebno narisati funkcijo y \u003d f (x) - b. Zlahka je videti, da so ordinate tega grafa za vse vrednosti x na |b| enote, manjše od ustreznih ordinat grafa funkcij y = f(x) za b>0 in |b| enot več - pri b 0 ali navzgor pri b Za izris funkcije y + b = f(x), narišite funkcijo y = f(x) in premaknite os x na |b| enote za b>0 ali za |b| enote navzdol pri b
PRENOS PO OSI X
f(x) => f(x + a)
Naj se zahteva izris funkcije y = f(x + a). Razmislite o funkciji y = f(x), ki na neki točki x = x1 prevzame vrednost y1 = f(x1). Očitno bo funkcija y = f(x + a) prevzela enako vrednost v točki x2, katere koordinata je določena iz enakosti x2 + a = x1, tj. x2 = x1 - a, obravnavana enakost pa velja za celoto vseh vrednosti iz domene funkcije. Zato lahko graf funkcije y = f(x + a) dobimo z vzporednim premikom grafa funkcije y = f(x) vzdolž osi x v levo za |a| tiste za a > 0 ali v desno za |a| enote za a Za izris funkcije y = f(x + a) narišite funkcijo y = f(x) in premaknite os y na |a| enote desno za a>0 ali |a| enote levo za a
Primeri:
1.y=f(x+a)
2.y=f(x)+b
Odsev.
GRAFIRANJE FUNKCIJE POGLEDA Y = F(-X)
f(x) => f(-x)
Očitno imata funkciji y = f(-x) in y = f(x) enake vrednosti v točkah, katerih abscise so enake po absolutni vrednosti, vendar nasprotne po predznaku. Z drugimi besedami, ordinate grafa funkcije y = f(-x) v območju pozitivnih (negativnih) vrednosti x bodo enake ordinatam grafa funkcije y = f(x) z negativnimi (pozitivnimi) vrednostmi x, ki ustrezajo absolutni vrednosti. Tako dobimo naslednje pravilo.
Če želite narisati funkcijo y = f(-x), morate narisati funkcijo y = f(x) in jo odražati vzdolž osi y. Nastali graf je graf funkcije y = f(-x)
GRAFIRANJE FUNKCIJE POGLEDA Y = - F(X)
f(x) => - f(x)
Ordinate grafa funkcije y = - f(x) za vse vrednosti argumenta so po absolutni vrednosti enake, vendar nasprotne po predznaku od ordinat grafa funkcije y = f(x) za enake vrednosti argumenta. Tako dobimo naslednje pravilo.
Če želite narisati funkcijo y = - f(x), morate narisati funkcijo y = f(x) in jo odražati okoli osi x.
Primeri:
1.y=-f(x)
2.y=f(-x)
3.y=-f(-x)
Deformacija.
DEFORMACIJA GRAFA VZD OSI Y
f(x) => kf(x)
Razmislite o funkciji oblike y = k f(x), kjer je k > 0. Lahko je videti, da za enake vrednosti argument, bodo ordinate grafa te funkcije k-krat večje od ordinat grafa funkcije y = f(x) za k > 1 ali 1/k-krat manjše od ordinat grafa funkcije y = f(x) za k Za izris funkcije y = kf(x) narišite funkcijo y = f(x) in povečajte njene ordinate za k-krat za k > 1 (raztegnite graf vzdolž ordinatne osi) ali zmanjšajte njene ordinate za 1/k krat za k
k > 1- ki sega od osi Ox
0 - stiskanje na os OX
DEFORMACIJA GRAFA VZD OSI X
f(x) => f(kx)
Naj se zahteva izris funkcije y = f(kx), kjer je k>0. Razmislite o funkciji y = f(x), ki prevzame vrednost y1 = f(x1) v poljubni točki x = x1. Očitno ima funkcija y = f(kx) enako vrednost v točki x = x2, katere koordinata je določena z enakostjo x1 = kx2, in ta enakost velja za celotno celotno vrednost x iz domeno funkcije. Posledično je graf funkcije y = f(kx) stisnjen (za k 1) vzdolž abscisne osi glede na graf funkcije y = f(x). Tako dobimo pravilo.
Če želite narisati funkcijo y = f(kx), narišite funkcijo y = f(x) in zmanjšajte njeno absciso za k-krat za k>1 (skrčite graf vzdolž abscise) ali povečajte njeno absciso za 1/k-krat za k
k > 1- stiskanje na os Oy
0 - raztezanje od osi OY
Delo so izvedli Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov pod nadzorom Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014
, Tekmovanje "Predstavitev za lekcijo"
Predstavitev za lekcijo
Nazaj naprej
Pozor! Predogled diapozitiva je samo informativne narave in morda ne predstavlja celotnega obsega predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite celotno različico.
Cilji lekcije:
Izobraževalni: raziskati premik grafa kvadratne funkcije, določiti položaj grafa glede na vrednosti koeficientov b, c.
Izobraževalni: sposobnost dela v skupini, organiziranost.
Izobraževalni: raziskovalne sposobnosti, sposobnost postavljanja hipotez, analiziranja rezultatov, sistematizacije podatkov.
Struktura lekcije
- Organizacijski trenutek - 3 minute.
- Raziskave- 20 minut.
- Utrjevanje preučenega gradiva - 15 minut.
- Refleksija - 2 minuti.
- Konec lekcije je 3 minute.
- Domača naloga- 2 minuti.
Med poukom
1. Organizacijski trenutek.
Namen lekcije je izvajanje raziskovalnega dela. Predmet preučevanja bodo kvadratne funkcije različne vrste. Določiti morate, kako koeficienti b, c vplivajo na graf funkcij oblike y=x 2 +c, y=(x-b) 2 , y=(x-b) 2 +c.
Za izvedbo naloge se je potrebno razdeliti v skupine (4 skupine po 5 oseb, ena skupina »strokovnjakov« je najbolj pripravljenih študentov).
Vsaka skupina prejme študijski načrt<Приложение>, A3 list za prijavo rezultatov.
2. Raziskovalno delo
.Dve skupini (nivo A) raziskujeta funkcije oblike y= x 2 +c, ena skupina (nivo B) preučuje funkcijo oblike y=(xb) 2 , ena skupina (nivo C) preučuje funkcijo y=(xb) ) 2 +c. Skupina "strokovnjakov" preuči vse funkcije.
| Funkcija | Rezultat | ||
| 1 skupina | y \u003d x 2 +3; | <Рисунок 10> |  |
| 2 skupina | y \u003d x 2 -5; | <Рисунок 11> |  |
| 3 skupina | y \u003d (x-4) 2; | <Рисунок 12> |  |
| 4 skupina | y \u003d (x-2) 2 +3. | <Рисунок 13> |  |
Delovni plan
- Za hipotezo ugibajte, kako bi lahko izgledala vaša funkcija.
- Sestavite graf preučevanih funkcij (določite vrh parabole (x 0, y 0), v tabeli nastavite 4 točke).
- Primerjajte dobljeni graf s kontrolnim vzorcem y=x 2 .
- Naredite sklep (kako se je spremenil položaj grafa vaše funkcije glede na kontrolni vzorec).
- Rezultate zapišite na list A3 in jih predstavite »strokovni« skupini.
»Strokovna« skupina svoje rezultate primerja z rezultati drugih skupin, rezultate sistematizira in posploši ter pride do zaključkov. V primeru netočnosti ali napake učitelj popravi.
Preverjanje dobljenih rezultatov z diapozitivi 2-5.
Vsako kvadratno funkcijo y=ax 2 +bx+c lahko zapišemo kot y=a(x-x 0) 2 +y 0, kjer sta x 0 in y 0 izražena s koeficienti a, b, c. Torej so vaši koeficienti b=x 0 , c=y 0 koordinate vrha parabole.
3. Utrjevanje preučenega gradiva.
Frontalno delo z razredom.
1. Poiščite napako v funkcijskih grafih (Diapozitivi št. 6-9).
koeficient b |
Brez napake |
Slika 1 |
Slika 2 |
 |
 |
| y \u003d (x + 5) 2 -1 | y \u003d (x-2) 2 +2 |
| Koeficient b in c | koeficient b |
| Slika 3 | Slika 4 |
 |
 |
, Tekmovanje "Predstavitev za lekcijo"
Predstavitev za lekcijo
Nazaj naprej
Pozor! Predogled diapozitiva je samo informativne narave in morda ne predstavlja celotnega obsega predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite celotno različico.
Cilji lekcije:
Izobraževalni: raziskati premik grafa kvadratne funkcije, določiti položaj grafa glede na vrednosti koeficientov b, c.
Izobraževalni: sposobnost dela v skupini, organiziranost.
Izobraževalni: raziskovalne sposobnosti, sposobnost postavljanja hipotez, analiziranja rezultatov, sistematizacije podatkov.
Struktura lekcije
- Organizacijski trenutek - 3 minute.
- Raziskovalno delo - 20 minut.
- Utrjevanje preučenega gradiva - 15 minut.
- Refleksija - 2 minuti.
- Konec lekcije je 3 minute.
- Domača naloga - 2 minuti.
Med poukom
1. Organizacijski trenutek.
Namen lekcije je izvajanje raziskovalnega dela. Predmet preučevanja bodo kvadratne funkcije različnih vrst. Določiti morate, kako koeficienti b, c vplivajo na graf funkcij oblike y=x 2 +c, y=(x-b) 2 , y=(x-b) 2 +c.
Za izvedbo naloge se je potrebno razdeliti v skupine (4 skupine po 5 oseb, ena skupina »strokovnjakov« je najbolj pripravljenih študentov).
Vsaka skupina prejme študijski načrt<Приложение>, A3 list za prijavo rezultatov.
2. Raziskovalno delo
.Dve skupini (nivo A) raziskujeta funkcije oblike y= x 2 +c, ena skupina (nivo B) preučuje funkcijo oblike y=(xb) 2 , ena skupina (nivo C) preučuje funkcijo y=(xb) ) 2 +c. Skupina "strokovnjakov" preuči vse funkcije.
| Funkcija | Rezultat | ||
| 1 skupina | y \u003d x 2 +3; | <Рисунок 10> |  |
| 2 skupina | y \u003d x 2 -5; | <Рисунок 11> |  |
| 3 skupina | y \u003d (x-4) 2; | <Рисунок 12> |  |
| 4 skupina | y \u003d (x-2) 2 +3. | <Рисунок 13> |  |
Delovni plan
- Za hipotezo ugibajte, kako bi lahko izgledala vaša funkcija.
- Sestavite graf preučevanih funkcij (določite vrh parabole (x 0, y 0), v tabeli nastavite 4 točke).
- Primerjajte dobljeni graf s kontrolnim vzorcem y=x 2 .
- Naredite sklep (kako se je spremenil položaj grafa vaše funkcije glede na kontrolni vzorec).
- Rezultate zapišite na list A3 in jih predstavite »strokovni« skupini.
»Strokovna« skupina svoje rezultate primerja z rezultati drugih skupin, rezultate sistematizira in posploši ter pride do zaključkov. V primeru netočnosti ali napake učitelj popravi.
Preverjanje dobljenih rezultatov z diapozitivi 2-5.
Vsako kvadratno funkcijo y=ax 2 +bx+c lahko zapišemo kot y=a(x-x 0) 2 +y 0, kjer sta x 0 in y 0 izražena s koeficienti a, b, c. Torej so vaši koeficienti b=x 0 , c=y 0 koordinate vrha parabole.
3. Utrjevanje preučenega gradiva.
Frontalno delo z razredom.
1. Poiščite napako v funkcijskih grafih (Diapozitivi št. 6-9).
koeficient b |
Brez napake |
Slika 1 |
Slika 2 |
 |
 |
| y \u003d (x + 5) 2 -1 | y \u003d (x-2) 2 +2 |
| Koeficient b in c | koeficient b |
| Slika 3 | Slika 4 |
 |
 |
rezultate
<Рисунок 7>
<Рисунок 2>
<Рисунок 8>
<Рисунок 9>
Kateri dejavnik vam je pomagal odkriti napako?
2. Povežite grafe funkcij glede na barve (diapozitiv številka 10).
Slika 5
4. Refleksija.
Skupina "strokovnjakov" odgovarja na vprašanja:
Katere napake so naredile skupine?
– Ali je bil cilj lekcije dosežen?
– Ali rezultati študije ustrezajo hipotezi?
5. Rezultat lekcije (slajd številka 11)
:Na položaj grafa funkcije y=(x-b) 2 +c vplivata koeficienta b in c,
"+b" je parabola premaknjena v desno vzdolž osi x za b enotskih segmentov,
“–b” je parabola premaknjena v levo vzdolž osi x za b enotskih segmentov,
"+с" je parabola pomaknjena navzgor vzdolž osi y iz posameznih segmentov,
"-с" je parabola premaknjena navzdol vzdolž osi y od posameznih segmentov.
6. Domača naloga
- Sestavite graf kvadratne funkcije z ogliščem v točki A(1;-2), koeficient a=1.
- Razmislite, kje lahko uporabite znanje na to temo (praktična uporaba).
Transformacija funkcijskega grafa
V tem članku vam bom predstavil linearne transformacije funkcijskih grafov in pokazal, kako uporabiti te transformacije iz grafa funkcij, da dobite graf funkcij. 
Linearna transformacija funkcije je transformacija same funkcije in/ali njenega argumenta v obrazec 
, kot tudi transformacijo, ki vsebuje modul argumenta in/ali funkcije.
Največje težave pri risanju grafov z linearnimi transformacijami povzročajo naslednja dejanja:
- Izolacija osnovne funkcije, pravzaprav graf, ki ga transformiramo.
- Definicije vrstnega reda transformacij.
IN Na teh točkah se bomo podrobneje opredelili.
Oglejmo si podrobneje funkcijo
Temelji na funkciji. Pokličimo jo osnovna funkcija.
Pri risanju funkcije naredimo transformacije grafa osnovne funkcije.
Če bi preoblikovali funkcijo v istem vrstnem redu, v katerem je bila najdena njegova vrednost za določeno vrednost argumenta
Poglejmo, katere vrste linearnih argumentov in transformacij funkcij obstajajo in kako jih izvesti.
Transformacije argumentov.
1. f(x) f(x+b)
1. Gradimo graf funkcije
2. Graf funkcije premaknemo vzdolž osi OX za |b| enote
- levo, če b>0
- prav, če b<0
Narišemo funkcijo
1. Izrišemo funkcijo
2. Premaknite ga za 2 enoti v desno:
2. f(x) f(kx)
1. Gradimo graf funkcije
2. Abscise točk grafa delimo s k, ordinate točk pustimo nespremenjene.
Narišemo funkcijo.
1. Izrišemo funkcijo
2. Vse abscise točk grafa razdelite na 2, ordinate pustite nespremenjene:
3. f(x) f(-x)
1. Gradimo graf funkcije
2. Prikažemo ga simetrično glede na os OY.
Narišemo funkcijo.
1. Izrišemo funkcijo
2. Prikazujemo ga simetrično glede na os OY:
4. f(x) f(|x|)
1. Izrišemo funkcijo
2. Izbrišemo del grafa, ki se nahaja levo od osi OY, del grafa, ki se nahaja desno od osi OY Dopolnimo ga simetrično glede na os OY:
Graf funkcije izgleda takole:
Narišemo funkcijo
1. Sestavimo funkcijski graf (to je funkcijski graf, premaknjen vzdolž osi OX za 2 enoti v levo):
2. Del grafa, ki se nahaja levo od OY (x<0) стираем:
3. Del grafa, ki se nahaja desno od osi OY (x>0), je zaključen simetrično glede na os OY:
Pomembno! Dve glavni pravili za pretvorbo argumentov.
1. Vse transformacije argumentov se izvedejo vzdolž osi OX
2. Vse transformacije argumenta se izvajajo "obratno" in "v obratnem vrstnem redu".
Na primer, v funkciji je zaporedje transformacij argumentov naslednje:
1. Vzamemo modul iz x.
2. Modulu x dodajte številko 2.
Toda načrt smo naredili v obratnem vrstnem redu:
Najprej smo izvedli transformacijo 2. - premaknili graf za 2 enoti v levo (to pomeni, da so se abscise točk zmanjšale za 2, kot da bi "nasprotno")
Nato smo izvedli transformacijo f(x) f(|x|).
Na kratko je zaporedje transformacij zapisano takole:
Zdaj pa se pogovorimo o transformacija funkcije . Transformacije se izvajajo
1. Vzdolž osi OY.
2. V istem zaporedju, v katerem se izvajajo dejanja.
To so transformacije:
1. f(x)f(x)+D
2. Premaknite ga vzdolž osi OY za |D| enote
- navzgor, če je D>0
- navzdol, če D<0
Narišemo funkcijo
1. Izrišemo funkcijo
2. Premaknite ga vzdolž osi OY za 2 enoti navzgor:
2. f(x)Af(x)
1. Izrišemo funkcijo y=f(x)
2. Ordinate vseh točk grafa pomnožimo z A, absciso pustimo nespremenjeno.
Narišemo funkcijo
1. Grafirajte funkcijo
2. Ordinate vseh točk grafa pomnožimo z 2:
3.f(x)-f(x)
1. Izrišemo funkcijo y=f(x)
Narišemo funkcijo.
1. Gradimo funkcijski graf.
2. Prikažemo ga simetrično glede na os OX.
4. f(x)|f(x)|
1. Izrišemo funkcijo y=f(x)
2. Del grafa, ki se nahaja nad osjo OX, ostane nespremenjen, del grafa, ki se nahaja pod osjo OX, je prikazan simetrično glede na to os.
Narišemo funkcijo
1. Gradimo funkcijski graf. Dobimo ga s premikom grafa funkcije vzdolž osi OY za 2 enoti navzdol:
2. Zdaj bo del grafa, ki se nahaja pod osjo OX, prikazan simetrično glede na to os:
In zadnja transformacija, ki je, strogo gledano, ne moremo imenovati transformacija funkcije, saj rezultat te transformacije ni več funkcija:
|y|=f(x)
1. Izrišemo funkcijo y=f(x)
2. Del grafa, ki se nahaja pod osjo OX, izbrišemo, nato pa dopolnimo del grafa, ki se nahaja nad osjo OX, simetrično okoli te osi.
Sestavimo graf enačbe
1. Gradimo funkcijski graf:
2. Izbrišemo del grafa, ki se nahaja pod osjo OX:
3. Del grafa, ki se nahaja nad osjo OX, se zaključi simetrično glede te osi.
In končno, predlagam, da si ogledate VIDEO LEKCIJO, v kateri pokažem po korakih algoritem za risanje funkcijskega grafa
Graf te funkcije je videti takole:
