Na katerih vrednotah so enake vrednosti polinomov. Lekcija "Multi.

Javna izobraževalna ustanova OMSK

"Večerni (zamenljivi) srednje šole №2"

Rešitev algebrskih enačb

(N in e 3)

Didaktični material izobraževalne, izobraževalne in kontrolne narave

Razvoj učiteljev matematike

Določanje algebrske enačbe

Algebraična enačba (polinomska enačba) - enačba tipa

kjer - polinom iz spremenljivk, ki se imenujejo neznan.

Polinomski koeficienti se običajno vzamejo z določenega polja, nato pa se enačba imenuje enačba algebrskega polja.

Stopnja algebrske enačbe se imenuje stopnja polinoma.

Na primer, enačba

to je algebraična enačba za sedmo diplome iz treh spremenljivk (s tremi neznanimi) na področju realnih številk.

Sorodne opredelitve

Vrednosti spremenljivk, ki se v substituciji v algebrski enačbi dodajte identiteto, se imenujejo korenine te algebrske enačbe.

Primeri algebrskih enačb

Algebrajske enačbe, ki so se rešile z razgradnjo multiplikatorjev

Primer rešitve

Primer: X3 - 3x - 2 \u003d 0.

Lahko uganete, da je številka X1 \u003d -1 koren te enačbe, od -1 + 3 - 2 \u003d 0.

x3 - 3x - 2 x + 1

x3 + X2 X2 --X-2

- x2-3x-2

(x + 1) (x2 -x-2) \u003d 0;

x + 1 \u003d 0 ali X2 -X-2 \u003d 0;

x1 \u003d -1 x2.3 \u003d;

x2 \u003d -1, x3 \u003d 2

Odgovor. -one; 2. \\ T

Primer: X3 - 3x - 2 \u003d 0.

x3 + X2 - X2 - X - 2X - 2 \u003d 0;

(x3 + x2) - (x2 + x) - 2 (x + 1) \u003d 0;

x2 (x + 1) - X (x + 1) - 2 (x + 1) \u003d 0;

(x + 1) (x2 -x-2) \u003d 0;

(x + 1) (x + 1) (x -2) \u003d 0;

x1 \u003d -1, x2 \u003d 2

Odgovor. -one; 2. \\ T

X3 - X2 - 8x + 6 \u003d 0; X4 + X3- 4x2 - 2x + 4 \u003d 0; 6x3 + 11x2 - 3x - 2 \u003d 0.

Glavne formule:

aH2 + BX + C \u003d 0

Vieta formulas.

aH2 + BX + C \u003d 0, potem

Enačbe, zmanjšane za algebraične

Biquette enačbe

Opredelitev. BIC-Duty se imenujejo enačbe obrazca AK4 + BX2 + C \u003d 0, kjer

a, B, C - nastavljene številke in ≠ 0.

Metoda odločanja

B. kvadratna enačba Zmanjša se na kvadratno enačbo z zamenjavo.

Nova kvadratna enačba glede na spremenljivko :.

Reševanje te enačbe, dobimo korenine kvadratne enačbe

Reševanje teh dveh enačb (in) glede na spremenljivko, dobimo korenine te biquette enačbe.

Postopek delovanja pri reševanju biquette enačb

Vnesite novo spremenljivko, da nadomestite to spremenljivko v prvotni enačbi, da bi rešili kvadratno enačbo z relativno novo spremenljivko, potem ko najdete korenine (), da jih nadomestite na našo spremenljivko in poiščite izvirne korenine biquette enačbe

Primer rešitve

Primer: X4 - 8x2 - 9 \u003d 0.

Naj y \u003d x2, kjer je na 0;

u2 - 8U - 9 \u003d 0;

Po formulah Vieta:

y1 \u003d -1; Y2 \u003d 9;

Prva rešitev je oddana (y 0),

in od drugega smo našli X1 \u003d -3; X2 \u003d 3.

Odgovor. X1 \u003d -3; X2 \u003d 3.

Rešiti neodvisno

Glavne formule:

aH2 + BX + C \u003d 0

Vieta formulas.

Če X1, X2 - korenine kvadratne enačbe

aH2 + BX + C \u003d 0, potem

Za enačbo x2 + px + q \u003d 0

Simetrične enačbe

Raztopina simetričnih enačb Razmislite o primeru simetričnih enačb tretje stopnje.

Simetrična enačba 3. stopnje se imenuje enačba vrst

aX3 + BX2 + BX + A \u003d 0, kjer je A, B določene številke.

Da bi uspešno reševanje enačb te vrste, je koristno vedeti in imeti možnost, da uporabite naslednje preproste lastnosti simetričnih enačb:

10. V vsaki simetrični enačbi čudne stopnje, je vedno korenina enaka -1.

Dejansko, če je združena na levo stran sestavnih delov, kot sledi: A (X3 + 1) + BX (X + 1) \u003d 0, to je sposobnost, da naredite splošen dejavnik, to je.

(x + 1) (AH2 + (B - A) X + A) \u003d 0, zato
x + 1 \u003d 0 ali AH2 + (B - A) X + A \u003d 0,

prva enačba in dokazuje odobritev zanimanja za nas.

20. V simetrični enačbi korenin, ki so enake nič, št.

30. Pri deljenju polinoma lihine stopnje na (x + 1), zasebnost je spet simetrična polinom.

Vrhajo enačbe

ANXN + Enačba - 1 XN - 1 + ... + A1X + A0 \u003d 0

se vrne, če so njegovi koeficienti, ki stojijo na simetrični

pozicije, enake, to je, če
AN - 1 \u003d AK, na K \u003d 0, 1, ..., n.

Razmislite o povratnem enačbi četrte stopnje tipa

aX4 + BX3 + CX2 + BX + A \u003d 0,

kjer sta, B in C nekatere številke, in ≠ 0.

To je poseben primer enačbe

aX4 + BX3 + CX2 + KBX + K2A \u003d 0 na K \u003d 1.

Postopek reševanja enačb vračanja

pogledi AX4 + BX3 + CX2 + BX + A \u003d 0:

Razdelite levi in \u200b\u200bdesni deli enačbe na X2 ≠ 0. V tem primeru se izguba raztopine ne pojavi, saj X \u003d 0 ni koren začetne enačbe; Združevanje povzroča nastalo enačbo na obliko

a (x2 +) + b (x +) + c \u003d 0;

t2 \u003d X2 + 2 +, to je X2 + \u003d T2 - 2;

v novih spremenljivkah je enačba kvadratna:

aT2 + BT + C - 2A \u003d 0;

Rešite ga glede na T, vrnite se na vir spremenljivko.

Primer rešitve

Primer: 2x4 - 3x3 - 7x2 -15x + 50 \u003d 0.

Razdelimo na X2, dobimo

Predstavimo zamenjavo
Naj X + \u003d T, X2 + \u003d T2 - 10,

nato 2T2 - 3T - 27 \u003d 0;

Odgovor. 2; .

Rešiti neodvisno ali vzorec.

; x4-2x3-9x2-6x + 9 \u003d 0; 5x4 + 5x3-14x2-10x + 12 \u003d 0

Glavne formule:

aH2 + BX + C \u003d 0

Vieta formulas.

Če X1, X2 - korenine kvadratne enačbe

aH2 + BX + C \u003d 0, potem

Za enačbo x2 + px + q \u003d 0

Racionalne enačbe.

Opredelitev. Racionalne enačbe se imenujejo enačbe, katerih člani so racionalne frakcije, ki so polinomi s številkami in imenovalci.

Postopek ukrepanja pri reševanju racionalnih enačb

Enačbo pomnožite na splošni imenovalec frakcij, vključenih v to enačbo; Zmanjšati nastalo enačbo na algebraične in ga rešiti; Preverite, kakšne ugotovljene vrednosti neznanih imenovalcev frakcij, vključenih v enačbo, niso nič.

Polinom (drugače imenuje polinom) je algebraična količina dveh ali več enoposteljnih postelj. Treba je pojasniti, da je osnovno eno krilo. Monom (samska) je osnovna algebraična oblika, ki je določena spremenljivka do pozitivne stopnje, ki ima numerični koeficient (ki je lahko negativen ali pozitiven). V tem primeru je koeficient s spremenljivko lahko enak eni - potem spremenljivka, vpraša, najpogosteje, latinske črke od konca abecede - X, Y, Z je neizvedena.

Po drugi strani pa obstajajo pogosto primeri homoralov iz enega numeričnega koeficienta. Nekaj \u200b\u200bstarega vodstva v matematiki pravijo, da se ne izključuje z algebrskim izrazom, ki ne vsebuje znakov postavitve ali odštevanja. V tem primeru je lahko razmnoževanje in frakcija v enem monomu. Ta opredelitev Ni tako pravilna, vendar bolj opisuje dejanske primere enojnega krila.

Več homoralov iz polinomov - verige algebrskih osnovnih izrazov. Če je enkraten en dva, se oblikuje z bin, če tri in več polinomov. Polinom so druga raven osnovnih matematičnih izrazov, po enoposteljnih prostorih.

Pomembno je omeniti, da s pomočjo polinomov ne le številne naloge v algebri, temveč tudi nadaljnji zaplet najpreprostejših matematičnih struktur. Opredelitve za "enačbo" in "algebraično funkcijo", izhajajo iz pojma "polinom". Zato je ta video tutorial namenjena delu s polinomi. Hitra rešitev za naloge z njihovo udeležbo bo bolje asimilate številne povezane teme.

Razmislite o izrazu obrazca:

3A 2 + 4C 3 - A 2 + 2C 3

Ta primer je algebrski polinom, sestavljen iz štirih različnih homoralov. Vsak posamezen polinomski element se imenuje "član polinoma". Izraz je zlahka razdeljen z znaki dodajanja in odštevanja, ki tvorijo štiri ločene monome:

3a 2, 4c 3, 2, 2c 3

So vsota (algebraic) in dajejo prvotni polinom. Enačko izenačevanje izraza na katero koli številsko vrednost ali drug polinom tvori enačbo, vendar je to tema za drugo video vadnico.

Da bi našli vrednost polinom, morate razumeti osnovna načela tega procesa. Raztopina polinoma se imenuje poenostavitev - najvišja, realno matematično, zmanjšanje števila članov izraza. Treba je omeniti, da je za celovito rešitev številnih nalog, je treba, da lahko navaja polinom v ugodni obliki. In ne ima vedno najkrajše polinome. Če je izraz namenjen nadaljnje delo - Pogled, na katerega bo moral voditi, bi moral biti odvisen od posebnosti prihajajočih matematičnih operacij.

Če želite preprosto rešiti polinom, ga morate razgraditi po posameznih skupinah, ki so sestavljeni iz podobnih algebrskih elementov. Glavna zahteva za te elemente je možnost hitrega delovanja v svoji skupini. Na primer, vse posamezne številske vrednosti so izdelane v eni skupini - dejanja med njimi izvajajo osnovne matematične operacije. Še posebej enostavno identificirati enake spremenljivke, kvadratke takih spremenljivk itd.

Združevanje članov polinoma je treba opozoriti s pravilom ohranjanja znakov znakov "plus" in "minus" pred izrazom. So najpomembnejši in neodtujljiv atribut neokrnjenega, njihova izguba pa bo vodila do napačnih rezultatov.

3A 2 + 4C 3 - A 2 + 2C 3 \u003d 3A 2 - A 2 + 4C 3 + 2C 3 \u003d 2A 2 + 6C 3

Kot vidimo v naši leti, je rešitev polinomov lepa enostavna naloga, ki zahtevajo le pozornost in točne po osnovnih algebrskih predpisih.

Dve polinomi F (x) in g (x) se štejejo za enake, če sta njihovi koeficienti enaki enakim stopnjam spremenljivk X in prostih članov (ali krajših, njihovi ustrezni koeficienti so enaki). V tem primeru pišejo: f. (x) \u003d G. (x).

Na primer, polinomi f (x) \u003d x3 + 2x2-3x + 1 in g (x) \u003d 2x2-3x + 1 niso enaki, ker je v prvem od katerih je koeficient pri X3 1, in druga je nič (Po konvencijah smo lahko napišemo: g (x) \u003d 0x3 + 2x2-3x + 1. V tem primeru pišejo: f (x)? g (x). Ni enako in polinomih h (x) 2x2-3x + 5, S (x) \u003d 2x2 + 3x + 5, saj imajo koeficiente pri x drugačen. Toda polinomi F1 (X) \u003d 2x5 + 3x3 + BX + 3 in G1 (X) \u003d 2x5 + AX3- 2x + 3 so enaka in šele takrat, ko A \u003d 3, in B \u003d -2.

Pustite, da se polinom daje f. (x) \u003d ANXN + AN-1XN-1 + ... + A1X + A0 in nekaj število z. Številka f. (c) \u003d ANCN + AN-1CN-1 + ... + A1C + A0 imenovan vrednost polinoma f (x), ko x \u003d s.

Zato, da bi našli F (C), v polinomu namesto X, je treba nadomestiti z in izvesti potrebne izračune. Na primer, če je F (X) \u003d 2x3 + 3x2-x + 5, nato F (-2) \u003d 2 (-2) 3+ (-2) 2- (-2) + 5 \u003d 3.

Razmislite o polinomnem f (x) \u003d a in našli bomo, na primer, F (2). Če želite to narediti, v polinomih namesto X, je treba nadomestiti številko 2 in naredite potrebne izračune. Vendar pa v našem primeru F (X) \u003d A in spremenljivka X izrecno ni. Spomnimo se, da se lahko obravnavana polinom lahko napisala kot F (x) \u003d 0x + a. Zdaj je vse v redu, lahko nadomestite vrednost x \u003d 2: f (2) \u003d 02 + a \u003d a. Za to polinom F (C) \u003d A za vsakogar. Zlasti ničelna polinom na kateri koli C ima vrednost, ki je enaka nič.

Na splošno lahko polinom po različnih vrednostih spremenljivke X sprejme različne vrednosti. Pogosto nas bodo pogosto zanimajo te vrednote x, v katerih polinom potrebuje vrednost 0. Število C se imenuje koren polinoma F (X), če F (C) \u003d 0.

Na primer, če je f (x) \u003d x2-3x + 2, številke 1 in 2 so korenine tega polinoma, za f (1) \u003d 0 in f (2) \u003d 0. Toda polinomski f (x) \u003d 5 korenin nima. Dejstvo je, da s kakršnim koli pomenom X potrebuje vrednost 5, kar pomeni, da nikoli ne potrebujete vrednosti 0. za ničelno polinomorsko, saj je enostavno opaziti, vsaka številka je koren.

Iskanje korenin polinomov je ena najpomembnejših nalog algebre. Iskanje korenin linearnih bouncev in kvadratnih treh stavkov se poučuje v šoli. Kot za polinome več visoke stopnje, Za njih je taka naloga zelo težka in ne vedno rešljiva. V prihodnosti se bomo večkrat ukvarjali z njim. In zdaj smo opazili, da najdemo korenine polinoma f. (x) \u003d ANXN + AN-1XN-1 + ... + A1X + A0 in rešite enačbo aNXN + AN-1XN-1 + ... + A1X + A0 \u003d 0 - To so enakovredne naloge. Zato se učimo, da bi našli korenine polinom, se bomo naučili rešiti ustrezne enačbe in obratno.

Opozarjamo na razliko med dvema izjavama: "Polinom F (X) je nič (ali, da je ista, polinomska f (X) nič)" in "vrednost polinoma F (X) pri X \u003d C je nič. " Na primer, polinomski f (X) \u003d X2-1 ni nič, saj ima koeficiente, ki niso nič, in njegova vrednost pri X \u003d 1 je nič. Skratka, f (x)? 0, in f (1) \u003d 0.

Obstaja tesen odnos med koncepti enakosti polinomov in vrednostjo polinoma. Če sta dve enaki polinomi dani F (x) in g (x), sta njihovi ustrezni koeficienti enaki, zato F (C) \u003d g (C) za vsako številko z. Z drugimi besedami, če je F (C) \u003d g (C) za vsako številko C, so polinomi f (x) in g (x) enake? Poskusimo odgovoriti na to vprašanje v določenem primeru, ko je F (X) \u003d PX2 + QX + R in G (X) \u003d KX + M. Od f (c) \u003d g (c) za vsako številko C, nato, zlasti F (0) \u003d g (0), f (1) \u003d g (1), f (-1) \u003d g (- ena ).

Kaljenje vrednosti polinomnih polinomov v teh enakih, dobimo sistem

Iz tega sistema iz tega sistema sledi p \u003d 0, Q \u003d K, R \u003d M in zato F (X) \u003d G (X).

Tako je za obravnavani primer odgovor na dodeljeno vprašanje pozitiven. Izkazalo se je, da je to res in na splošno po spoznavanju nekaterih drugih konceptov in obtožb teorije polinomov.