S katero vrednostjo parametra enačba AH. Enačbe s parametrom
Poglej Equation. f.(x.; a.) \u003d 0 klicana s spremenljivo enačbo h. in parameter zvezek.
Rešite enačbo s parametrom zvezek - to pomeni za vsako vrednost zvezek Poiščite vrednote h.zadovoljevanje te enačbe.
Primer 1. ohr= 0
Primer 2. ohr = zvezek
Primer 3.
x + 2 \u003d ah
X - AH \u003d -2
X (1 - A) \u003d -2
Če 1 - zvezek \u003d 0, i.e. zvezek \u003d 1, potem h.0 \u003d -2 korenine št
Če 1 - zvezek 0, t.e. zvezek 1, T. h. =
Primer 4.
(zvezek 2 – 1) h. = 2zvezek 2 + zvezek – 3
(zvezek – 1)(zvezek + 1)h. = 2(zvezek – 1)(zvezek – 1,5)
(zvezek – 1)(zvezek + 1)h. = (1zvezek – 3)(zvezek – 1)
Če zvezek\u003d 1, nato 0 h. = 0
h. - Vsaka veljavna številka
Če zvezek \u003d -1, nato 0 h. = -2
Brez korenin
Če zvezek 1, zvezek -1, T. h. \u003d (Enotna odločitev).
To pomeni, da je vsaka veljavna vrednost zvezek ustreza eni vrednosti h..
Na primer:
če zvezek \u003d 5, potem h. = = ;
če zvezek \u003d 0, potem h. \u003d 3, itd.
Didaktični material
1. ohr = h. + 3
2. 4 + ohr = 3h. – 1
3. zvezek = +
za zvezek \u003d 1 korenine št.
za zvezek \u003d 3 korenine št.
za zvezek = 1 h. - Vsaka veljavna številka, razen h. = 1
za zvezek = -1, zvezek \u003d 0 rešitve št.
za zvezek = 0, zvezek \u003d 2 rešitve št.
za zvezek = -3, zvezek = 0, 5, zvezek \u003d -2 rešitve št
za zvezek = -od, od \u003d 0 rešitve št.
Kvadratne enačbe s parametrom
Primer 1. Rešite enačbo
(zvezek – 1)h. 2 = 2(2zvezek + 1)h. + 4zvezek + 3 = 0
Za zvezek = 1 6h. + 7 = 0
Kdaj zvezek 1 Označite vrednosti parametra, v katerih D. Na nič.
D \u003d (2 (2) zvezek + 1)) 2 – 4(zvezek – 1)(4zvezek + 30 = 16zvezek 2 + 16zvezek + 4 – 4(4zvezek 2 + 3zvezek – 4zvezek – 3) = 16zvezek 2 + 16zvezek + 4 – 16zvezek 2 + 4zvezek + 12 = 20zvezek + 16
20zvezek + 16 = 0
20zvezek = -16
Če zvezek < -4/5, то D. < 0, уравнение имеет действительный корень.
Če zvezek \u003e -4/5 I. zvezek 1, T. D. > 0,
h. = 
Če zvezek \u003d 4/5, potem D. = 0,
Primer 2. Na kakšnih vrednostih parametra in enačbe
x 2 + 2 ( zvezek + 1)h. + 9zvezek - 5 \u003d 0 ima 2 različni negativni koren?
D \u003d 4 ( zvezek + 1) 2 – 4(9zvezek – 5) = 4zvezek 2 – 28zvezek + 24 = 4(zvezek – 1)(zvezek – 6)
4(zvezek – 1)(zvezek – 6) > 0
s t. Vita: h. 1 + h. 2 = -2(zvezek + 1)
h. 1 h. 2 = 9zvezek – 5
S pogojem h. 1 < 0, h. 2 < 0 то –2(zvezek + 1) < 0 и 9zvezek – 5 > 0
| Sčasoma. | 4(zvezek – 1)(zvezek – 6) > 0 - 2(zvezek + 1) < 0 9zvezek – 5 > 0 |
zvezek < 1: а > 6 zvezek > - 1 zvezek > 5/9 |
 (Sl. eno) < a. < 1, либо a. > 6 |
Primer 3. Poiščite vrednote zvezekpod katerim je ta enačba rešitev.
x 2 - 2 ( zvezek – 1)h. + 2zvezek + 1 = 0
D \u003d 4 ( zvezek – 1) 2 – 4(2zvezek + 10 = 4zvezek 2 – 8zvezek + 4 – 8zvezek – 4 = 4zvezek 2 – 16zvezek
4zvezek 2 – 16 0
4zvezek(zvezek – 4) 0
ampak ( zvezek – 4)) 0
ampak ( zvezek – 4) = 0
a \u003d 0 ali zvezek – 4 = 0
zvezek = 4
(Sl. 2. \\ T)
Odgovor: zvezek 0 I. zvezek 4
Didaktični material
1. S katero vrednostjo zvezek enačba ohr 2 – (zvezek + 1) h. + 2zvezek - 1 \u003d 0 ima eno koren?
2. S kakšno vrednostjo zvezek enačba ( zvezek + 2) h. 2 + 2(zvezek + 2)h. + 2 \u003d 0 ima eno koren?
3. Na katerih vrednotah in enačbi ( zvezek 2 – 6zvezek + 8) h. 2 + (zvezek 2 – 4) h. + (10 – 3zvezek – zvezek 2) \u003d 0 ima več kot dve korenini?
4. Na katere vrednosti in enačba 2 h. 2 + h. – zvezek \u003d 0 ima vsaj en skupni koren z enačbo 2 h. 2 – 7h. + 6 = 0?
5. Na katerih vrednotah in enačbah h. 2 +ohr + 1 \u003d 0 in h. 2 + h. + zvezek \u003d 0 imajo vsaj en skupni koren?
1. Ply. zvezek = - 1/7, zvezek = 0, zvezek = 1
2. Ply. zvezek = 0
3. Ply. zvezek = 2
4. Ply. zvezek = 10
5. Ply. zvezek = - 2
Okvirne enačbe s parametrom
Primer 1.. Oglejte si vse vrednosti zvezekv kateri enačbi
9 x - ( zvezek + 2) * 3 x-1 / x +2 zvezek* 3 -2 / x \u003d 0 (1) Obstajata dve korenini.
Sklep. Pomnožitev obeh dele enačbe (1) za 3 2 / x, dobimo enakovredno enačbo
3 2 (x + 1 / x) - ( zvezek + 2) * 3 x + 1 / x + 2 zvezek = 0 (2)
Naj 3 x + 1 / x \u003d w., potem bo enačba (2) pogledala w. 2 – (zvezek + 2)w. + 2zvezek \u003d 0, ali
(w. – 2)(w. – zvezek) \u003d 0, od koder w. 1 =2, w. 2 = zvezek.
Če w. \u003d 2, t.e. 3 x + 1 / x \u003d 2 h. + 1/h. \u003d log 3 2, ali h. 2 – h.log 3 2 + 1 \u003d 0.
Ta enačba nima veljavnih korenin, od tega D. \u003d log 2 3 2 - 4< 0.
Če w. = zvezek. 3 x + 1 / x \u003d zvezek to h. + 1/h. \u003d Log 3. zvezek, Or. h. 2 – H.dnevnik 3 A + 1 \u003d 0. (3)
Enačba (3) ima točno dve korenini, če in samo takrat
D \u003d Dnevnik 2 3 2 - 4\u003e 0, ali | Log 3 A | \u003e 2.
Če je dnevnik 3 A\u003e 2, potem zvezek \u003e 9, in če dnevnik 3 a< -2, то 0 < zvezek < 1/9.
Odgovor: 0.< zvezek < 1/9, zvezek > 9.
Primer 2.. Pod kakšnimi vrednotami in enačbo 2 2x - ( ampak -3) 2 x - 3 zvezek \u003d 0 ima rešitve?
Da bi imela dana enačba rešitev, je to potrebno in dovolj za enačbo t. 2 – (a -3) t. – 3a. \u003d 0 je imela vsaj en pozitivni koren. Našli bomo korenine na izreku Vieta: h. 1 = -3, h. 2 = zvezek = >
a je pozitivno število.
Odgovor: Ply. zvezek > 0
Didaktični material
1. Poišči vse vrednosti a, v kateri enačba
25 x - (2 zvezek + 5) * 5 x-1 / x + 10 zvezek * 5 -2 / x \u003d 0 ima točno 2 raztopine.
2. Pod kakšnimi vrednostmi in enačbo
2 (A-1) X? +2 (A + 3) X + A \u003d 1/4 ima edini koren?
3. Na katere vrednosti parametra in enačbe
4 x - (5 zvezek-3) 2 x +4 zvezek 2 – 3zvezek \u003d 0 ima eno rešitev?
Logaritmične enačbe s parametrom
Primer 1. Poišči vse vrednote zvezekv kateri enačbi
log 4x (1 + ohr) = 1/2 (1)
ima eno samo rešitev.
Sklep. Enačba (1) enaka enačbi
1 + ohr = 2h. za h. > 0, h. 1/4 (3)
h. = w.
aU 2 - w. + 1 = 0 (4)
Ne (2) pogoj iz (3).
Naj bo. zvezek 0, T. au 2. – 2w. + 1 \u003d 0 ima veljavne korenine, če in samo, ko D. = 4 – 4zvezek 0, t.e. za zvezek 1. Rešiti neenakost (3), gradimo grafe funkcij Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Schwarzburg S.I.Poglobljena študija tečaja algebre in matematične analize. M.: Razsvetljenje, 1990
Upoštevajte zdaj kvadratno enačbo
kje je neznana vrednost - parametri (koeficienti) enačbe.
Kritične vrednosti parametra vključujejo, najprej, vrednost pri določeni vrednosti enačbe parametrov (1) meni
zato se vrstni red enačbe zmanjša na enoto. Enačba (2) je linearna enačba In metoda njegove odločitve je bila obravnavana prej.
Z drugimi kritičnimi vrednostmi parametrov se določijo zaradi diskriminantne enačbe. Znano je, da z enačbo (1) brez korenin; Ko ima edina koren z enačbo (1) dve različni korenini in
eno). Poišči vse vrednosti parametrov za kvadratno enačbo
a) ima dve različni korenini;
b) nima korenin;
b) ima dve enaki korenini.
Sklep. Ta enačba s pogojem je kvadratna, zato upošteva diskriminantno to enačbo
Enačba ima dve različni korenini, ker
Korenska enačba nima, ker Ta kvadratna enačba ne more imeti dveh enakih korenin, ker Ko je v nasprotju s pogojem problema.
Odgovor: Enačba ima dve različni korenini.
Z koreninsko enačbo nima.
2). Držite enačbo. Za vsako dovoljeno vrednost parametra za reševanje enačbe
Sklep. Prvič, kdaj
(V tem primeru postane začetna enačba linearna enačba). Tako je vrednost parametra njegove kritične vrednosti. Jasno je, da je v korenu te enačbe in ko je zakoreninjena
Če to. In potem je ta enačba kvadratna. Mi smo našli diskriminantno:
Z vsemi vrednotami diskriminanta prevzame ne-negativne vrednosti in se nanaša na nič na (te vrednosti parametrov so tudi kritične vrednosti).
Če ima ta enačba edina korenina
V tem primeru vrednost parametra ustreza korenu
in vrednost ustreza korenu
Če ima enačba dve različni korenini. Našli smo te korenine.
Odgovor. Če potem, če potem, potem, potem
Če to.
3). Držite enačbo. Pod kakšnimi vrednostmi parametra zvezek Enačba ima eno samo rešitev?
Sklep. Ta enačba je enaka sistemu
Prisotnost kvadratne enačbe in stanje edinstvenosti rešitve bo seveda privedla do iskanja korenin diskriminanta. Vendar pa mora stanje x ≠ -3 pritegniti pozornost. In "subtilni trenutek" je, da ima kvadratna enačba sistema lahko dve korenine! Ampak nujno le eden od njih bi moral biti -3. So
D \u003d zvezek 2 - 4, torej D \u003d 0, če zvezek \u003d ± 2; X \u003d -3 - Koren enačbe X 2 - zvezekx +1 \u003d 0 Kdaj
zvezek \u003d -10/3, in s tem pomenom zvezek Drugi koren kvadratne enačbe je drugačen
Odgovor. zvezek \u003d ± 2 ali zvezek = -10/3.
4). Držite enačbo. Pod kakšnimi vrednostmi parametra zvezek enačba
(zvezek- 2)x. 2 + (4 - 2zvezek) h. +3 \u003d 0 ima eno samo rešitev?
Sklep. Jasno je, da morate začeti s primerom zvezek \u003d 2. Toda kdaj a \u003d 2. Začetna enačba sploh nima rešitev. Če a ≠ 2.Ta enačba je kvadratna, in zdi se, da so želene vrednosti parametra korenine diskriminantnega. Vendar pa diskrifinancirana pritožba na nič, ko a \u003d 2. ali a \u003d 5.. Ker smo to ugotovili a \u003d 2. Ni primerno
Odgovor, A \u003d 5.
9). Držite enačbo. Pod kakšnimi vrednostmi parametra zvezek enačba ohr 2 - 4h. + zvezek + 3 \u003d 0 ima več kot eno koren?
Sklep. Za zvezek \u003d 0 Enačba ima edini koren, ki ne izpolnjuje pogoja. Za zvezek ≠ 0 Začetna enačba, Square, ima dve korenini, če je njena diskrifinancirala 16 - 4 zvezek 2 – 12zvezek Pozitivno. Od tu dobimo -4.<zvezek<1.
Vendar pa nastala vrzel (-4; 1) vključuje številko 0. Odgovor. -4<zvezek<0 или 0<zvezek<1.
10). Pod kakšnimi vrednostmi parametra zvezek enačba zvezek(zvezek+3)h. 2 + (2zvezek+6)h.– 3zvezek- 9 \u003d 0 ima več kot eno koren?
Sklep. Standardni korak - Začnite z CUNDS zvezek \u003d 0 I. zvezek \u003d -3. Za zvezek \u003d 0 Enačba ima eno samo rešitev. To je radoveden, ko zvezek \u003d -3 Reševanje enačbe je vsaka veljavna številka. Za zvezek ≠ -3 I. zvezek ≠ 0, delitev obeh delov te enačbe na A + 3, dobimo kvadratno enačbo ohr 2 + 2h. - 3 \u003d 0, katerih diskrifinanca 4 (1 + S zvezek) Pozitivno na\u003e ⅓. Izkušnje prejšnjih primerov kažejo, da iz intervala
(-⅓; ∞) je treba izključiti točko zvezek \u003d 0, in v odgovor ne pozabite vklopiti zvezek = -3.
Odgovor. zvezek \u003d -3, ali - ⅓< а < 0, или а > 0.
11). Držite enačbo :
Sklep. Prvič, ugotavljamo, da je s to enačbo enakovredna enačbi, ki nima rešitev. Če.
1. Naloga.
Pod kakšnimi vrednostmi parametra a. enačba ( a. - 1)x. 2 + 2x. + a. - 1 \u003d 0 ima točno eno koren?
1. Sklep.
Za a. \u003d 1 enačba ima obrazec 2 x. \u003d 0 in očitno ima edini koren x. \u003d 0. Če. a. 1, ta enačba je kvadratna in ima edini koren s parametri vrednosti, na kateri je kvadrat nič diskriminirajo. Izenačevanje diskriminantnih na nič, dobimo enačbo v zvezi s parametrom a.
4a. 2 - 8a. \u003d 0, od koder a. \u003d 0 Or. a. = 2.
1. Odgovor:enačba ima edini koren, ko a. O (0; 1; 2).
2. Naloga.
Poišči vse vrednosti parametrov a.ki ima dve različni enačbi korenin x. 2 +4sex.+8a.+3 = 0.
2. Sklep.
Enačba x. 2 +4sex.+8a.+3 \u003d 0 ima dve različni korenini in samo takrat, ko D. =
16a. 2 -4(8a.+3)\u003e 0. Dobimo (po zmanjšanju skupnega množilnika 4) 4 a. 2 -8a.-3\u003e 0, od koder
2. Odgovor:
| a. O (-ґ; 1 - | C 7 2. |
) In (1 + | C 7 2. |
; Ґ ). |
3. Naloga.
Znano je, da
f. 2 (x.) = 6x.-x. 2 -6.
a) Zgradite načrt funkcije f. 1 (x.) a. = 1.
b) s katero vrednostjo a. Funkcije grafike f. 1 (x.) JAZ. f. 2 (x.) Imajo eno skupno točko?
3. Sklep.
3.a. Transform. f. 1 (x.) na naslednji način
Graf te funkcije, ko a. \u003d 1 je prikazan na sliki na desni.
3.B. Takoj upoštevajte, da je grafika funkcij y. =
kX.+b. in y. = sex. 2 +bX.+c.
(a. 0) seka v eni točki in samo, če je kvadratna enačba kX.+b. =
sex. 2 +bX.+c. Ima edini koren. Z uporabo pogleda f. 1 je 3.a.Enačba izenačite diskriminantno a. = 6x.-x. 2 -6 na nič. Iz enačbe 36-24-4. a. \u003d 0 PrejJO a. \u003d 3. Isto, enako z enačbo 2 x.-a. = 6x.-x. 2 -6 Najdi a. \u003d 2. Enostavno je zagotoviti, da te vrednosti parametrov izpolnjujejo pogoje nalogi. Odgovor: a. \u003d 2 Or. a. = 3.
4. Naloga.
Poišči vse vrednote a.v katerih veliko rešitev neenakosti x. 2 -2sex.-3a. ° C 0 vsebuje segment.
4. Sklep.
Prva koordinata vozlišča parabole f.(x.) =
x. 2 -2sex.-3a. enako x. 0 =
a.. Iz lastnosti pogoja kvadratnega funkcije f.(x.) ° C 0 na segmentu je enakovreden celotam treh sistemov
Ima točno dve rešitvi?
5. Sklep.
Ponovno napišite to enačbo v obliki x. 2 + (2a.-2)x. - 3a.+7 \u003d 0. To je kvadratna enačba, ima točno dve rešitvi, če je njena diskrifinanca strogo večja od nič. Izračunavanje diskriminant, smo pridobili, da je stanje prisotnosti natanko dveh korenin je uspešnost neenakosti a. 2 +a.-6\u003e 0. Reševanje neenakosti, najdemo a. < -3 или a. \u003e 2. Prvi od neenakosti, očitno nima rešitev v naravnih številkah, najmanjša naravna rešitev drugega je številka 3.
5. Odgovor: 3.
6. Naloga (10 cl.)
Poišči vse vrednote a.v katerem graf funkcije ali, po očitnih transformacijah, a.-2 = |
2-a.| . Zadnja enačba je enaka neenakosti a. °.
6. Odgovor: a. O)