Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb. Kako najti splošno in zasebno rešitev sistema linearnih enačb

Rešitev linearnih sistemov algebraične enačbe (Slava) je nedvomno najpomembnejša tema linearne algebre. Velik znesek Naloge iz vseh razdelkov matematike zmanjšuje sisteme reševanja linearne enačbe. Ti dejavniki pojasnjujejo razlog za oblikovanje tega članka. Članek članka je izbran in strukturiran, tako da z njim lahko

izberite optimalno metodo reševanja sistema linearnih algebrskih enačb,
raziščite teorijo izbrane metode,
rešite svoj sistem linearnih enačb, pregledanih podrobno razstavljenih raztopin karakterističnih primerov in nalog.

Kratek opis materiala članka.

Prvič, dali bomo vse potrebne definicije, koncepte in uvedli obvestilo.

Nato upoštevamo metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in ki imajo eno samo rešitev. Najprej se bomo osredotočili na metodo CRAMER, drugič, pokazali bomo matrično metodo reševanja takšnih sistemov enačb, tretjič, analizirali bomo Metodo Gaussa (metoda dosledne izključitve neznanih spremenljivk). Da bi zagotovili teorijo, bo nujno rešila več upočasnih na različne načine.

Po tem nadaljujemo do reševanja sistemov linearnih algebrskih enačb skupne oblike, v kateri število enačb ne sovpada s številom neznanih spremenljivk ali glavna matrika sistema je degeneriran. Oblikovamo izrek Krokeckerja - Capelli, ki vam omogoča vzpostavitev združljivosti Slave. Analizirali bomo rešitve sistemov (v primeru njihove združljivosti) s pomočjo koncepta osnovnega manjša matrike. Upoštevali bomo tudi Metodo Gauss in podrobno opisali rešitve primerov.

Vsekakor se bomo osredotočili na strukturo celotne rešitve homogenih in nehomogenih sistemov linearnih algebrskih enačb. Pojem temeljne rešitve sistem in pokazati, kako je splošna rešitev napisana na Slavo z uporabo vektorjev temeljnih rešitev sistema. Za boljše razumevanje bomo analizirali več primerov.

Skratka, upoštevajte, da je sistem enačb zmanjšan za linearno, kot tudi različne nalogepri reševanju naklona.

Navigacijska stran.

Opredelitve, koncepti, notacija.

Upoštevali bomo sisteme iz L linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami (str je lahko enaka n)

Neznane spremenljivke - koeficienti (nekaj veljavnih ali kompleksnih številk) - prosti člani (veljavni ali kompleksni številki).

Takšna oblika pisanja se imenuje koordinate.

V oblika Matrix. Zapisi Ta sistem enačb ima obrazec
Kje - glavna matrika sistema, - matrični stolpec neznanih spremenljivk, - matrični stolpec prostih članov.

Če dodate v matrico in dodajte matrični stolpec prostih članov, potem dobimo tako imenovano razširjena matrika Sistemi linearnih enačb. Značilno je, da je razširjena matrika označena z črko T, in stolpec brezplačnih članov je ločen z navpično črto iz preostalih stolpcev, to je,

Z reševanjem sistema linearnih algebrskih enačb Pokličite niz vrednosti neznanih spremenljivk, ki dodajajo vse enačbe sistema v identiteti. Matrična enačba za te vrednosti neznanih spremenljivk obravnava tudi identiteto.

Če ima sistem enačb vsaj eno rešitev, potem se imenuje sklep.

Če sistem rešitev nima, se to imenuje ne stop.

Če ima edina rešitev enaka odločitev, se imenuje definirano; Če so rešitve več kot ena, potem - negotovost.

Če so brezplačni pogoji vseh sistemskih enačb nič Potem se imenuje sistem uniforma, sicer - heterogena.

Raztopina osnovnih sistemov linearnih algebrskih enačb.

Če je število enačb sistema enaka številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni nič, potem se bo takšno naklono imenovano osnovni. Takšni sistemi enačb imajo eno samo rešitev, v primeru homogenega sistema pa so vse neznane spremenljivke nič.

Takšna slam smo začeli študirati srednja šola. Ko so bili rešeni, smo vzeli nekakšno enačbo, izrazilo eno neznano spremenljivko prek drugih in jo nadomestili v preostale enačbe, sledili so naslednji enačbi, izraženo naslednjo neznano spremenljivko in substituirano v druge enačbe in tako naprej. Ali uporabljen način dodatka, to je, dve ali več enačb, ki so zložene, da izključijo nekatere neznane spremenljivke. Na teh metodah ne bomo podrobno ustavili, saj so v bistvu modifikacije metode Gaussa.

Glavne metode reševanja osnovnih sistemov linearnih enačb so metoda Cramer, matrična metoda in Metoda Gaussa. Analizirali jih bomo.

Rešitev sistemov linearnih enačb z metodo Cramer.

Moramo rešiti sistem linearnih algebrskih enačb

V katerem številu enačb je enaka številu neznanih spremenljivk, determinanta glavne matrike sistema pa se razlikuje od nič, to je.

Let - determinanta glavne matrike sistema, in - determinante matrik, ki so pridobljeni iz zamenjave 1., 2., ..., n-wow Stolpec, v stolpcu prostih članov:

S takim zapisom se neznane spremenljivke izračunajo z uporabo formul metode Cramerja kot . Tako je rešitev za sistem linearnih algebrskih enačb z metodo Cramer.

Primer.

Metoda Cramer .

Sklep.

Glavna matrika sistema ima obrazec . Izračunamo njegovo determinanto (po potrebi, glej članek):

Ker je determinanta glavne matrike sistema drugačen od nič, ima sistem enotno rešitev, ki jo lahko najdete z metodo Cramer.

Sestavili bomo in izračunali potrebne determinante (Dobimo odločilni, ki jih je treba zamenjati v matrici in prvi stolpec v stolpcu prostih članov, determinanta - zamenjava drugega stolpca na stolpcu prostih članov, - zamenjava tretjega stolpca matrike in v stolpcu prostih članov ):

Z njimi najdemo neznane spremenljivke s formulami :

Odgovor:

Glavna pomanjkljivost metode Cramer (če se lahko imenujemo prikrajšanost), je kompleksnost izračuna determinant, ko je število sistemskih enačb več kot tri.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb po matrični metodi (z uporabo povratne matrike).

Naj sistem linearnih algebrskih enačb določa v obliki matrike, kjer ima matrika A dimenzijo n na n in njegova determinanta se razlikuje od nič.

Ker je potem matrika A reverzibilna, to je obratna matrika. Če pomnožite oba dela enakosti na levo, dobimo formulo za iskanje stolpca s stolpcem neznanih spremenljivk. Torej imamo rešitev sistema linearnih algebrskih enačb mATRIX METODA.

Primer.

Odločite se o sistemu linearnih enačb MATRIX METODA.

Sklep.

Ponovno napišem sistem enačb v matrični obliki:

Sodišče

Da je naklon mogoče rešiti z matrično metodo. S pomočjo povratnega matrika je rešitev tega sistema mogoče najti kot .

Izdelamo inverzno matrico z uporabo matrike iz algebraičnih dodatkov elementov matrike A (če je potrebno, glej članek):

Še vedno je izračunati - matrika neznanih spremenljivk, pomnožitveno vrtno matrico Na matrični stolpec prostih članov (po potrebi glej članek):

Odgovor:

Ali v drugem zapisu x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Glavni problem pri reševanju raztopin linearnih algebrskih enačb, metoda matrike je sestavljena iz kompleksnosti inverzne matrike, zlasti za kvadratne matrike naročila nad tretjim.

Reševanje sistemov linearnih enačb po metodi Gauss.

Naj poiščemo rešitev sistema od n linearnih enačb z n neznanimi spremenljivkami
Delovalnik glavne matrike se razlikuje od nič.

Bistvo metode Gaussa Sestavljen je iz sekvenčne izključitve neznanih spremenljivk: najprej izključuje x 1 vseh enačb sistema, ki se začne od drugega, nato x 2 vseh enačb, ki se začnejo od tretjega, in tako naprej, dokler ne ostane samo neznana spremenljivka XN v zadnji enačbi. Takšen proces pretvorbe sistemskih enačb za dosledno izključitev neznanih spremenljivk se imenuje neposredno delovanje metode Gaussa. Po odstranitvi neposrednega gibanja metode Gaussa iz zadnje enačbe je X N, s pomočjo te vrednosti iz predzadnje enačbe, se izračuna x N-1, in tako naprej, X1 se izračuna iz prve enačbe. Postopek izračuna neznanih spremenljivk pri vožnji iz zadnje enačbe sistema na prvo se imenuje vrnitev metode Gaussa.

Na kratko opišite algoritem, da izključi neznane spremenljivke.

Predvidevamo, da bomo, ker lahko vedno dosežemo to permutacijo sistemskih enačb. Razen neznane spremenljivke x 1 vseh enačb sistema, od druge. Če želite to narediti, bo druga enačba sistema dodala prvo, pomnožena z, na tretjo enačbo, dodajte prvo, pomnoženo z, in tako naprej, na n-t Equion, da se doda prvi, pomnoži. Sistem enačb po takšnih transformacijah bo v obliki

kje. .

Prišli bi na enak rezultat, če bi x 1 izrazil x 1 z drugimi neznanimi spremenljivkami v prvi enačbi sistema in nastali izraz, substituiran v vse druge enačbe. Tako je spremenljivka X1 izključena iz vseh enačb, začenši od drugega.

Nato delujemo prav tako, vendar le z del pridobljenega sistema, ki je označen na sliki

Če želite to narediti, dodamo drugo, pomnoženo do četrte enačbe na četrto enačbo, drugo, pomnoženo z, in tako naprej, do n-t Equion, dodajte drugo, pomnoženo. Sistem enačb po takšnih transformacijah bo v obliki

kje. . Tako je spremenljivka X2 izključena iz vseh enačb, začenši od tretjega.

Nato nadaljujte z izključitvijo neznanega X3, medtem ko deluje podobno kot del sistema, označen na sliki

Torej nadaljujemo neposredno premikanje metode Gaussa, medtem ko sistem ne vzame

Od tega trenutka, smo začeli obratnega tečaja Gauss Metoda: Izračunajte XN iz zadnje enačbe, kot z uporabo nastalega Xn, najdemo X N-1 iz predzadnje enačbe, in tako naprej, najdemo x 1 od prvega Enačba.

Primer.

Odločite se o sistemu linearnih enačb Metoda Gauss.

Sklep.

Izključimo neznano spremenljivko X 1 iz druge in tretje sistemske enačbe. Če želite to narediti, dodamo ustrezne dele prve enačbe na oba dela druge in tretje enačbe, pomnožene z in v tem:

Zdaj, iz tretje enačbe, izključite X 2, ki se doda na levi in \u200b\u200bdesni deli Levi in \u200b\u200bdesni deli druge enačbe, pomnožene z:

Na tem je končan neposredni premik metode Gaussa, začnemo nasproti.

Od zadnje enačbe pridobljenega sistema enačb najdemo X 3:

Od druge enačbe dobimo.

Od prve enačbe najdemo preostalo neznano spremenljivko in ti zaključujejo obratno premikanje metode Gaussa.

Odgovor:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

V splošnem primeru število enačb sistema P, ne sovpada s številom neznanih spremenljivk n:

Takšno naklon morda nima rešitev, imajo eno samo odločitev ali imajo neskončno veliko rešitev. Ta izjava se nanaša tudi na sisteme enačb, katerih glavna matrika je kvadratna in degenerirana.

Teorem Kronkere - Capelli.

Preden najdete rešitev sistema linearnih enačb, je treba določiti njeno združljivost. Odgovor na vprašanje, ko je slava skupaj, in ko je nepopolna, daje koncheker Therem - Capelli:
Da bi sistem iz P P Enačnosti z N neznanim (P lahko enak N), je potrebno in dovolj, da je bila uvrstitev glavne matrike sistema enaka rangu razširjene matrike, to je uvrstitev ( A) \u003d Rank (t).

Razmislite o primeru uporabe izrek Krakeker - Capelli za določitev kompilacije sistema linearnih enačb.

Primer.

Ugotovite, ali je sistem linearnih enačb Rešitve.

Sklep.

. Uporabljamo metodo živahnega manjša. Manjšega drugega reda Drugačen od nič. Minilarje tretjega reda bomo premagali:

Ker so vsi mladoletniki za temeljne naročila nič, je mesto glavne matrike dva.

Po drugi strani pa je rang razširjene matrike enaka tri, kot manjšega tretjega reda

Drugačen od nič.

V to smer, Rang (a), zato na Krakecker Therem - Capelli, je mogoče sklepati, da je začetni sistem linearnih enačb je nepopoln.

Odgovor:

Sistem rešitev nima.

Torej smo se naučili, kako vzpostaviti nepopolnost sistema z uporabo Klekeker - Capelli Therem.

Toda kako najti rešitev Slava, če je nameščena združljivost?

Za to potrebujemo koncept osnovnega manjša matrike in izreka na obroč matrike.

Manjje najvišjega reda Matrixa A, ki se razlikuje od nič, se imenuje osnova.

Iz opredelitve osnovnega manjšega izhaja, da je njen nalog enak robu matrike. Za neničelno matriko, vendar lahko obstaja več osnovnih manjšin, en osnovni mladoletnik je vedno.

Na primer, razmislite o matrici .

Vsi mladoletniki tretjega reda te matrike so nič, saj so elementi tretje vrstice te matrike vsota ustreznih elementov prve in druge linije.

Osnovni so naslednji mladoletniki drugega naročila, saj se razlikujejo od nič

Manjša Osnovni niso, kot so nič.

Teoremo na rang matrike.

Če je obroč naročila P na N enak R, potem so vsi elementi strun (in stolpcev) matrike, ki ne tvorijo izbranega osnovnega manjšega, linearno izraženo skozi ustrezne elemente strun (in stolpcev), ki tvorijo manjša osnovna.

Kaj nam daje teorem na rang matrike?

Če, na izreku Kreconeker - Capelli, smo postavili enote sistema, smo izbrali kateri koli osnovni mladoletnik glavne matrike sistema (njen red je enak R), in izključi iz sistema vse enačbe, ki ne Izbrana osnovna manjša. Tako dobljeni naklon bo enakovreden izvirniku, saj so zavržene enačbe še vedno nepotrebne (so linearna kombinacija preostalih enačb).

Posledično sta po odlaganju presežnih enačb sistema možna dva primera.

Če je število R enačb v nastalem sistemu enaka številu neznanih spremenljivk, bo določena in edina rešitev lahko najdete z metodo, matrico metodo ali metodo Gaussa.

Primer.

Sklep.

Mand Main System Matrix enaka dva, kot manjšega drugega naročila Drugačen od nič. Razvrsti razširjene matrike Prav tako enaka dva, saj je edini mladoletnik tretjega reda nič

In zgoraj omenjeno manjšo manjšo naročilo se razlikuje od nič. Na podlagi izrek Krockecker - Capelli je mogoče odobriti izmenjavo prvotnega sistema linearnih enačb, saj se rang (a) \u003d čin (T) \u003d 2.

Kot osnovni mladoletnik . Oblikuje koeficiente prve in druge enačbe:

Tretja enačba sistema ni vključena v oblikovanje manjšega osnovnega, zato ga bomo izključili iz sistema, ki temelji na teoremu na obroč matrike:

Torej smo pridobili osnovni sistem linearnih algebrskih enačb. Z reševanjem z uporabo kraterja:

Odgovor:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Če je število R enačk na nastalega pobočja manjša od števila neznanih spremenljivk n, nato v levem delov enačb, pustimo komponente, ki tvorijo osnovno manjšo, ostale komponente se prenesejo na desne dele enačb sistema z nasprotnim znakom.

Neznane spremenljivke (njihovi R kosov), ki ostanejo v levem delu enačb, se imenujejo osnovno.

Neznane spremenljivke (njihovi N - R kosov), ki so bili v desnih delih, se imenujejo prost.

Zdaj verjamemo, da lahko brezplačne neznane spremenljivke naredijo poljubne vrednosti, medtem ko bodo R Osnovne neznane spremenljivke izražene z brezplačnimi neznanimi spremenljivkami z edinim načinom. Njihov izraz lahko najdete reševanje nastalega vzorca po metodi pogona, metodo matrike ali metodo Gaussa.

Na primer bomo analizirali.

Primer.

Odločite se o sistemu linearnih algebrskih enačb .

Sklep.

Našli smo mesto glavne matrike sistema Način živahnega mladoletnika. Kot neničelni manjši prvega naročila vzemite 1 1 \u003d 1. Začnimo iskati drugo naročilo brez manjšega, ki zmanjšuje ta mladoletnik:

Torej smo našli nesmiselni mladoletnika drugega naročila. Začnimo iskati Nonzero, ki meji na tretje naročilo:

Tako je uvrstitev glavne matrike tri. Razvrstitev razširjene matrike je prav tako enaka tri, to je, je sistem usklajen.

Ustanovljen neničelni manjši iz tretjega reda bo trajal kot osnovni.

Za jasnost prikazujemo elemente, ki tvorijo osnovno manjšo:

Komponente sistema v levem delu enačb, ki so vključeni v osnovno mladoletni, ostalo se prenesejo z nasprotnimi znaki na desni deli:

Podajte brezplačne neznane spremenljivke x 2 in x 5 poljubne vrednosti, to je, bomo vzeli kjer - poljubne številke. Hkrati bo pobočje vzelo

Nastali osnovni sistem linearnih algebrskih enačb z reševanjem krmilnega sistema:

V odgovor, ne pozabite določiti prostih neznanih spremenljivk.

Odgovor:

Kjer - poljubne številke.

Povzetek.

Rešiti sistem linearnih algebrskih enačb skupnega tipa, najprej ugotovimo njegovo združljivost z uporabo Konpekrjevega teorema - Capelli. Če se uvrstitev glavne matrike ni enaka rangu razširjene matrike, potem zaključimo nepopolnost sistema.

Če je uvrstitev glavne matrike enaka rangu razširjene matrike, nato izberemo osnovno manjšo in zavrzite enačbo sistema, ki ne sodelujejo pri oblikovanju izbrane baze manjše.

Če je naročilo osnovnega manjša enako številu Neznane spremenljivke, Slava ima eno samo rešitev, ki nam najdemo vse metode, ki so nam znane.

Če je naročilo manjšega osnovnega manjša od števila neznanih spremenljivk, nato pa v levem delu enačb sistema, zapustimo komponente z glavnimi neznanimi spremenljivkami, preostale komponente se prenesejo na desne dele in dajejo brezplačne neznane spremenljivke Samovoljne vrednote. Iz nastalega sistema linearnih enačb najdemo glavne neznane spremenljivke proizvajalca, metoda matrike ali metodo Gaussa.

Metoda Gauss za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Metoda Gauss lahko reši sistem linearnih algebrskih enačb kakršne koli vrste, ne da bi pred raziskavami na enotah. Proces dosledne izključitve neznanih spremenljivk nam omogoča, da zaključimo obe združljivosti in nepopolnosti Slave, v primeru obstoja rešitve pa je mogoče najti.

Z vidika računalniškega delovanja je prednostna metoda Gauss.

Vidim ga natančen opis in razstavljene primere v članku Metode Gaussa za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Snemajte splošno rešitev homogenih in nehomogenih sistemov linearne algebraične z vektorjem temeljnih rešitev.

V tem razdelku bomo razpravljali o skupnih homogenih in nehomogenih sistemih linearnih algebrskih enačb, ki imajo neskončne nastavljene rešitve.

Najprej bomo razumeli homogene sisteme.

Temeljne sistemske rešitve Homogeni sistem iz P L linearne algebraične enačbe z n neznanimi spremenljivkami se imenuje niz (N - R) linearno neodvisne rešitve tega sistema, kjer je R. Order osnovnega manjša glavne matrike sistema.

Če označite linearno neodvisne rešitve homogenega naklona kot X (1), X (2), ..., X (NR) (X (1), X (2), ..., X (NR) - to so matrike dimenzijskih stolpcev n z 1), je splošna rešitev tega homogenega sistema predstavljena v obliki linearne kombinacije vektorjev temeljnega sistema rešitev s samovoljnimi konstantnimi koeficienti z 1, C2, ..., C (nr), to je.

Kaj označuje izraz splošna rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb (Orostal)?

Pomen je preprost: formula nastavi vse možne rešitve Prvotna slava, z drugimi besedami, ki jemljejo vse vrste vrednosti poljubnih konstant C 1, C2, ..., C (Nr), v skladu s formulo, bomo dobili eno od rešitev začetnega homogenega pobočja .

Če bomo našli temeljni sistem rešitev, bomo lahko vprašali vse rešitve za to homogeno naklon.

Pokažimo postopek izgradnje temeljnega sistema rešitev s homogenim naklonom.

Izberemo osnovni mladoletni iz prvotnega sistema linearnih enačb, izključujemo vse druge enačbe iz sistema in prenesejo na desne dele sistemskih enačb z nasprotnimi znaki, vse pogoje, ki vsebujejo brezplačne neznane spremenljivke. Dajmo brezplačno neznano spremenljivo vrednost 1,0,0, ..., 0 in izračunamo glavno neznano, reševanje nastalega osnovnega sistema linearnih enačb na kakršen koli način, na primer, z metodo pogona. Torej bo dobil X (1) - prva rešitev temeljnega sistema. Če dajete brezplačno neznano vrednost 0,1.0.0, ..., 0 in izračunajte glavno neznano, potem dobimo X (2). Itd. Če proste neznane spremenljivke dajejo vrednost 0,0, ..., 0.1 in izračunajte glavno neznano, nato dobimo X (N-R). To bo zgrajeno temeljni sistem rešitev za homogeno naklon, njena splošna rešitev pa se lahko zabeleži.

Za nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb je v obliki predstavljena splošna rešitev, kjer je splošna rešitev ustreznega homogenega sistema, in zasebna rešitev začetnega nehomogenega naklona, \u200b\u200bki jo dobimo, dajemo brezplačno neznano vrednost 0,0, ..., 0 in izračunati vrednosti glavnih neznank.

Analizirali bomo primere.

Primer.

Poiščite temeljne rešitve sistema in splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb. .

Sklep.

Razvrstitev glavne matrike homogenih sistemov linearnih enačb je vedno enaka rangu razširjene matrike. Razvrstitev glavne matrike najdemo po metodi živahnih mladoletnikov. Kot neničelo manjšega prvega naročila vzemite element A 1 1 \u003d 9 glavne matrike sistema. Našli bomo merjenje neničela manjšega drugega reda:

Manjši iz drugega reda, ki se razlikuje od nič, ugotovljeno. Premagali bomo manjše živila iz tretjega reda v iskanju ne-ničle:

Vse mladoletnike, ki se osredotočajo na tretje naročilo, so torej enaka glavne in razširjene matrike dva. Vzamemo osnovno mladoletnico. Opozarjamo na jasnost elemente sistema, ki ga oblikujejo:

Tretja enačba originalnega pobočja ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega manjša, zato je lahko izključena: \\ t

Poravnavanja, ki vsebujejo glavne neznane v desnih delih enačb, in nosimo pogoje z brezplačnimi neznanci v prave dele:

Konstruiramo temeljni sistem rešitev začetnega homogenega sistema linearnih enačb. Temeljni sistem rešitev za ta nagib je sestavljen iz dveh rešitev, saj je začetni nagib vsebuje štiri neznane spremenljivke, in naročilo njegove osnovne miroje je dva. Da bi našli X (1), damo brezplačno neznano variabilno vrednost x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, nato glavno neznano, da bi našli iz sistema enačb
.

V šoli je vsak od nas preučil enačbe in zagotovo sistem enačb. Ampak ne veliko vedo, da jih je treba rešiti več načinov. Danes bomo analizirali vse metode za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb, ki je sestavljena več kot dve enakosti.

Zgodovina

Do danes je znano, da je umetnost reševanja enačb in njihovih sistemov nastala iz starodavnega Babilona in Egipta. Vendar pa se je enakost v njihovi običajni obliki pojavila po znaku enakosti "\u003d", ki je bila uvedena leta 1556 s strani angleškega matematičnega zapisa. Mimogrede, ta znak ni bil izbrani samo: to pomeni dva vzporedna enaka segmenta. In resnica, najboljši primer enakosti ne pride.

Ustanovitelj sodobnih pisem neznanega in znakov stopenj je francoski matematik, vendar se njene oznake bistveno razlikujejo od danes. Na primer, kvadrat neznane številke je pokazal črko Q (Lat. "Quadratus") in kocka C (LAT. «CuBUS). Te oznake se zdaj zdi neprijetno, potem pa je bil najbolj razumljiv način za snemanje sistema linearnih algebrskih enačb.

Vendar pa je pomanjkljivost v takratnih metodah rešitev, da je matematika štela le pozitivne korenine. Lahko je posledica dejstva, da negativne vrednosti niso imele nobenega praktična uporaba. Eden ali drugačen, toda prvi, ki je razmislek o negativnih koreninah, je bil italijanski matematiki Niccolo Tartalia, Jerolamo Cardano in Rafael Bombally v 16. stoletju. Zvezek sodobni pogledMetoda glavne raztopine (s pomočjo diskriminanta) je bila ustvarjena le v 17. stoletju zaradi del descartes in Newtona.

V sredini 18. stoletja je švicarski matematik Gabriel Kramer našel nov način, da bo rešitev linearnih enačb lažja. Ta metoda je bila pozneje imenovana po njem in na ta dan, ki jih uporabljamo. Vendar bomo govorili o metodi DriveMan-a kasneje, ampak za zdaj bomo razpravljali o linearnih enačbah in metodah za njihovo reševanje ločeno od sistema.

Linearne enačbe

Linearne enačbe so najlažje enake med spremenljivko (spremenljivka). Verjamejo se v algebraic. Zabeležijo se v splošni obliki: a 1 x 1 + A 2 x 2 + ... a n * x n \u003d b. Njihovo predstavitev v tem obrazcu bo potrebna, ko bodo sistemi in matrice nadaljevali.

Linearne sisteme algebraične enačbe

Opredelitev tega izraza je: To je kombinacija enačb, ki imajo skupne neznane vrednosti in splošno rešitev. Praviloma, v šoli, vse rešene sisteme z dvema ali celo tri enačbe. Vendar obstajajo sistemi s štirimi ali več komponentami. Najprej ugotovimo, kako jih snemati, da bi se v prihodnosti primerno odločiti. Prvič, sistem linearnih algebrskih enačb bo videti bolje, če bodo vse spremenljivke zabeležene kot x z ustreznim indeksom: 1,2,3 in tako naprej. Drugič, vse enačbe za kanonični videz je treba dati: 1 x 1 + A 2 x 2 + ... a n * x n \u003d b.

Po vseh teh dejanjih lahko začnemo pripovedovati, kako najti rešitve sistemov linearnih enačb. Zelo za to bomo uporabili matrico.

Matiri

Matrica je tabela, ki je sestavljena iz vrstic in stolpcev, njegovi elementi pa se nahajajo na njihovem križišču. Te so lahko določene vrednosti ali spremenljivke. Najpogosteje, da določijo elemente, so spodnji indeksi postavljeni pod njimi (na primer, 11 ali A 23). Prvi indeks pomeni številko vrstice in drugi stolpec. Z matematiko, kot nad katerim koli drugim matematičnim elementom, lahko naredite različne operacije. Tako lahko:

2) MATRIX MATRIX pomnožite na katero koli številko ali vektorja.

3) Transpose: črte matrike v stolpce, stolpci pa so v vrsticah.

4) MATRIX MATRIX, če je število vrstic enega od njih enako številu stolpcev drugega.

Vse te tehnike bomo podrobneje razpravljali, saj bodo prišli k nam kasneje. Odštevanje in dodajanje matrik se pojavi zelo preprosto. Ker vzamemo matrico enake velikosti, vsak element iste tabele ustreza vsakemu elementu drugega. Tako smo zložili (odštejemo) oba od teh elementov (pomembno je, da so stali na istih mestih v svojih matricah). Pri množenju matrike na številko ali vektorja preprosto pomnožite vsak matrični element na to številko (ali vektor). Prenos je zelo zanimiv proces. Zelo zanimivo včasih ga vidimo resnično življenje, na primer, ko spreminjate usmeritev tablete ali telefona. Ikone na namizju so matrika, in ko je položaj spremenjen, se prenese in postane širše, vendar zmanjšuje višino.

Takšen proces bomo analizirali, saj nam ni koristno, vendar bo to koristno, da bi to vseeno. Pomnožite dve matriki se lahko pomnožijo le pod pogojem, da je število stolpcev ene tabele enako številu različnih linij. Zdaj vzamemo elemente linij ene matrike in elemente ustreznega stolpca drugega. Premaknite jih drug na drugega in nato določite (to je npr. Produkt elementov A11 in 12 na B 12 in B22, bo: 11 * B 12 + A 12 * B 22). Tako je dosežen en element tabele in je napolnjen isto metodo.

Zdaj lahko nadaljujemo, da razmislimo, kako je sistem linearnih enačb rešen.

Metoda Gauss.

Ta tema se začne izvajati v šoli. Dobro vemo, koncept "sistema dveh linearnih enačb" in jih lahko rešimo. Toda kaj storiti, če je število enačb več kot dva? To nam bo pomagalo

Seveda je ta metoda primerna za uporabo, če iz sistema naredite matriko. Ampak ga ne morete preoblikovati in ga rešiti v čisti obliki.

Torej, kako je ta metoda, ki jo rešuje ta sistem linearnih Gauss enačb? Mimogrede, vsaj ta metoda je poimenovana po njej, vendar so jo odprli v antiki. Gauss ponuja naslednje: izvajati operacije z enačbami, da bi končno vodila celotno celotno celotno. To pomeni, da je potrebno od zgoraj navzdol (če je pravilno postavljeno) iz prve enačbe, da se slednji zavrne eno neznano. Z drugimi besedami, morate to narediti, da bomo uspeli, recimo, tri enačbe: v prvih - treh neznanih, v drugem - dva, v tretjem. Potem od zadnje enačbe najdemo prvo neznano, smo nadomestili njeno vrednost v drugi ali prvi enačbi, nato pa poiščite preostalih dveh spremenljivk.

Metoda Cramer

Da bi obvladali to metodo, je bistvenega pomena za lastne sposobnosti dodajanja, odštevanje matrik in tudi mora biti sposoben najti determinante. Če torej ne boste storili vse ali sploh, se boste morali naučiti in vaditi.

Kaj je bistvo te metode in kako narediti sistem linearnih enačb Correra? Vse je zelo preprosto. Matriko moramo zgraditi iz numeričnih (praktično) koeficientov sistema linearnih algebrskih enačb. V ta namen preprosto vzamemo številke pred neznanim in postavite v mizo v vrstnem redu, kot so zabeležene v sistemu. Če je pred številko znaka "-" napisati negativen koeficient. Torej smo predstavljali prvo matriko koeficientov na neznanih, ne pa tudi številk po znakih enakosti (naravna je, da je treba enačbo dati kanonični obliki, ko se samo število nahaja na desni, in na levi - vsi neznani s koeficienti). Potem morate narediti še nekaj matrik - enega za vsako spremenljivko. Če želite to narediti, zamenjamo v prvi matrici v obračanju vsakega stolpca s koeficienti stolpec številk po znaku enakosti. Tako dobimo več matrik in poiščite jim determinante.

Ko smo našli determinante, je majhno. Imamo začetno matrico, pridobljene pa je več matrik, ki ustrezajo različnim spremenljivkam. Da bi dobili sistemske rešitve, razdelimo determinanta prejete tabele, ki jo je prejela determinanta začetne tabele. Nastalo število je ena od spremenljivk. Podobno najdemo vse neznane.

Druge metode

Obstaja več načinov, da bi dosegli rešitve sistemov linearnih enačb. Na primer, tako imenovana metoda Gaussa Jordan, ki se uporablja za iskanje rešitev sistema kvadratne enačbe Povezana z uporabo matrik. Obstaja tudi metoda JacoBi za reševanje sistema linearnih algebrskih enačb. Lažje je vse prilagojeno računalniku in se uporablja v računalništvu.

Kompleksni primeri

Kompleksnost se običajno pojavi, če je število enačb manjša od števila spremenljivk. Potem lahko to zagotovo rečete, ali je sistem nerazumljiv (to ni, nima korenin), ali količina njenih rešitev nagiba k neskončnosti. Če imamo drugi primer - potem morate zapisati splošno rešitev sistema linearnih enačb. Vsebuje vsaj eno spremenljivko.

Zaključek

Torej smo se končali. Naj nas povzamemo: razstavili smo, kateri sistem in matriko smo naučili najti splošno rešitev sistema linearnih enačb. Poleg tega je bilo pregledanih drugih možnosti. Ugotovljeno je bilo, kako je sistem linearnih enačb rešen: Metoda Gauss in govorila o kompleksnih primerih in drugih načinih za iskanje rešitev.

Pravzaprav je ta tema veliko bolj obsežna, in če želite bolje ugotoviti v njem, vam svetujemo, da preberete več specializirane literature.

Sistemi linearnih enačb. Predavanje 6.

Sistemi linearnih enačb.

Osnovni koncepti.

Sistemske vrste

imenovan sistem - linearne enačbe z neznanim.

Številke koeficienti sistema.

Številke se imenujejo brezplačni člani sistema, – sistemske spremenljivke. Matrica

imenovan glavna matrika sistemain matrika

– razširjena sistemska matrika. Matrike - Stolpci

In ustrezno matriki iz brezplačnih članov in neznanih sistemov. Potem v matrični obliki, sistem enačb je mogoče napisati v obliki. Sistemska rešitev Vrednosti spremenljivk se imenujejo ob zamenjavi, ki se vse sistemske enačbe se nanašajo na zvesto numerično enakost. Vsaka raztopina raztopine lahko zastopa kot matrika - stolpec. Potem je matrična enakost resnična.

Sistem enačb se imenuje sklep Če ima vsaj eno rešitev in ne stop Če ni rešitve.

Za reševanje sistema linearnih enačb pomeni ugotoviti, ali je skupno in v primeru združljivosti, da bi našli njegovo splošno rešitev.

Sistem se imenuje uniforma Če so vsi njegovi prosti člani enaki nič. Homogeni sistem je vedno sorazmeren, saj ima rešitev

Teorem Koncheker - Copelly.

Odgovor na vprašanje obstoja raztopin linearnih sistemov in njihovo edinstvenost omogoča pridobitev naslednjega rezultata, ki ga je mogoče oblikovati v obliki naslednjih trditev glede na sistem linearnih enačb z neznanim

(1)

Teorem 2.. Sistem linearnih enačb (1) je nato usklajen in šele, ko je uvrstitev glavne matrike enaka razširjeni rangu (.

Teorem 3.. Če je uvrstitev glavne matrike skupnega sistema linearnih enačb enaka številu neznanih, ima sistem eno samo rešitev.

Teorem 4.. Če je uvrstitev osnovne matrike skupnega sistema manjša od števila neznanih, ima sistem neskončne nastavljene raztopine.

Pravila za reševanje sistemov.

3. Poiščite izraz glavnih spremenljivk z brezplačnim in prejemanje splošne rešitve sistema.

4. Uporaba prostih spremenljivk, samovoljne vrednosti prejmejo vse vrednosti glavnih spremenljivk.

Metode za reševanje sistemov linearnih enačb.

Metoda inverzne matrike.

Še več, i.e. Sistem ima eno samo rešitev. Pišemo sistem v matrični obliki

kje , , .

Pomnožite oba dela matrične enačbe na levi strani matrike

Ker gremo od koder dobimo enakost, da bi našli neznano

Primer 27.Metoda inverzne matrike rešite sistem linearnih enačb

Sklep. Označi glavna matrika sistema

Potem bo nato našla rešitev s formulo.

Izračunajte.

Ker ima sistem enotno rešitev. Poišči vse algebraične dodatke

, ,

V to smer

Preverimo

Povratne matrike najdete prav. Zato s formulo najdemo spremenljivo matrico.

Primerjajte matrike, dobite odgovor :.

Metoda Cramer.

Naj sistem linearnih enačb z neznanim

Še več, i.e. Sistem ima eno samo rešitev. Rešitev sistema pišemo v obliki matrike ali

Označeno

. . . . . . . . . . . . . . ,

Tako dobimo formule za iskanje vrednot neznank, ki se imenujejo cramer formulas..

Primer 28.Napravo rešite z naslednjim sistemom linearnih enačb .

Sklep. Ugotavljamo determinanta glavne matrike sistema

Ker ima sistem enotno rešitev.

Preostale determinante najdemo za formule kraterja

Z formulami pajkanja najdemo variabilne vrednosti

Metoda Gauss.

Metoda je zagotoviti zaporedno izključitev spremenljivk.

Pustite sistem linearnih enačb z neznanci.

Postopek reševanja Metoda Gaussa je sestavljen iz dveh stopenj:

V prvi fazi je razširjena sistemska matrika dana z osnovnimi transformacijami na stopenjsko obliko.

kjer, ki ustreza sistemu

Po tej spremenljivkah Šteje se brezplačno in v vsaki enačbi se prenesejo na desno stran.

V drugi fazi je spremenljivka izražena iz zadnje enačbe, nastala vrednost je substituirana v enačbo. Iz te enačbe

spremenljivka je izražena. Ta proces se nadaljuje s prvo enačbo. Kot rezultat, izkaže izraz glavnih spremenljivk skozi proste spremenljivke. .

Primer 29. Rešite Metoda Gaussa Naslednji sistem

Sklep. Odbilimo podaljšano sistemsko matrico in ga dajte korak

Sodišče Več neznanih številk, potem je sistem skupaj in ima neskončne nastavljene raztopine. Napišite sistem za stopenjsko matriko

Delovalnik razširjene matrike tega sistema, sestavljen iz treh prvih stolpcev, ni enak nič, zato menim, da je osnovno. Spremenljivke

Obstajala bo osnovna in spremenljiva. Prenesimo ga v vseh enačbah na levo

Iz zadnje enačbe Express

Zamenjava te vrednosti v predzadnji drugi enačbi, dobimo

od . Namestitev vrednosti spremenljivk in v prvi enačbi, najdemo . Odgovor Vpišite v naslednji obliki

Rešitev sistemov linearnih algebrskih enačb je ena od glavnih nalog linearne algebre. Ta naloga ima pomembno uporabno vrednost pri reševanju znanstvenih in tehničnih težav, poleg tega pa je pomožna pri izvajanju številnih algoritmov za računalniško matematiko, matematično fiziko, obdelavo rezultatov eksperimentalnih študij.

Sistem linearnih algebrskih enačbpokličite sistem enačb obrazca: (1)

kje – neznano; - prosti člani.

Z reševanjem sistema enačb (1) Pokličite vse kombinacije številk, ki se dostavijo sistemu (1) do kraja neznanega prav tako črpa vse enačbe sistema na pravo numerično enakost.

Sistem enačb se imenuje sklepČe ima vsaj eno rešitev in ne stopČe ne rešitve.

Skupni sistem enačb definiranoČe ima eno samo rešitev in negotovostČe ima vsaj dve različni rešitvi.

Dva sistema enakov enačb ekvivalentali ekvivalentČe imajo isti niz rešitev.

Sistem (1) Poklican uniformaČe so brezplačni člani nič:

Homogeni sistem je vedno skupaj - ima rešitev (morda ne edina).

Če v sistemu (1), potem imamo sistem n. Linearne enačbe S. n. Neznano: kje. – neznano; - koeficienti na neznanem - prosti člani.

Linearni sistem Morda ima eno samo odločitev, neskončno veliko rešitev ali nima enotne rešitve.

Razmislite o sistemu dveh linearnih enačb z dvema neznano

Če ima sistem enotno rešitev;

Če sistem nima rešitev;

Če ima sistem neskončne nastavljene raztopine.

Primer. Sistem ima eno samo rešitev nekaj številk.

Sistem ima neskončne nastavljene rešitve. Na primer, rešitve tega sistema so pari številk itd.

Sistem nima rešitev, saj razlika dveh številk ne moreta prejemati dveh različnih vrednosti.

Opredelitev. Delovalci drugega naročilapokličite izraz obrazec:

Označeno z odločitvijo z D. simbolom

Številke zvezek 11, …, zvezek 22 se imenuje elemente determinanta.

Diagonala, ki jo tvorijo elementi zvezek 11 ; zvezek 22 Pokličite main. Diagonala, ki jo tvorijo elementi zvezek 12 ; zvezek 21 − self.

Zato je determinanta drugega naročila enaka razliki proizvodov elementov glavne in stranske diagonale.

Upoštevajte, da je odgovor številka.

Primer.Izračunamo determinante:

Razmislite o sistemu dveh linearnih enačb z dvema neznanma: kje h. 1, h. 2 – neznano; zvezek 11 , …, zvezek 22 - koeficienti na neznanem, b. 1 , B. 2 - brezplačni člani.

Če ima sistem dveh enačb z dvema neznankoma enotno rešitev, jo lahko najdete z uporabo determinant drugega reda.

Opredelitev. Poklican je determinanta, sestavljen iz koeficientov v neznanih delovalnik sistema:D \u003d.

V stolpcih determinanta D so koeficienti ustrezno h. 1 in as. , H. 2. \\ T Predstavljamo dva dodatni determinant,ki se pridobivajo iz determinanta sistema z zamenjavo enega od stolpcev s stolpcem prostih članov: D 1 \u003d D 2 \u003d.

Teorem 14. (Cramer, za primer n \u003d 2).Če je sistem determinanta D različen od nič (D¹0), ima sistem enotno rešitev, ki jo najdemo s formulami:

Te formule se imenujejo cramer formulas.

Primer.Reševanje sistema v skladu s pravilom Cramer:

Sklep.Poišči številke

Odgovor.

Opredelitev. Odločba tretjih naročilpokličite izraz obrazec:

Elemente zvezek 11; zvezek 22 ; zvezek 33 - Oblikujte glavno diagonalo.

Številke zvezek 13; zvezek 22 ; zvezek 31 - Oblikujte stransko diagonalo.

Zapis s plus vključuje: delo elementov na glavni diagonalni, preostalih dveh izrazov sta produkt elementov, ki se nahajajo v vozliščih trikotnikov z bazami vzporedno z glavno diagonalo. Komponente z minus obrazec za isto shemo glede na stransko diagonalo.

Primer.Izračunamo determinante:

Razmislite o sistemu treh linearnih enačb s tremi neznanimi: kje – neznano; - koeficienti na neznanem - prosti člani.

V primeru ene same rešitve je sistem 3-linearnih enačb s tremi neznanimi mogoče rešiti z uporabo determinant 3. vrstnega reda.

Delovalnik sistema D ima obrazec:

Uvajamo tri dodatne determinante:

Teorem 15. (Cramer, za primer n \u003d 3).Če je determinanta D sistema drugačen od nič, potem ima sistem enotno rešitev, ki jo najdemo po formulah pajkanja:

Primer. Odločil sem se sistema glede na pravilo Cramer.

Sklep. Poišči številke

Uporabljamo formule pajkanja in poiščite rešitev izvornega sistema:

Odgovor.

Upoštevajte, da se izrek za cramer uporablja, če je število enačb enako številu neznanih in ko je sistem določen od nič.

Če je sistemski determinant nič, potem v tem primeru sistem ne more imeti rešitev ali nimajo neštetih rešitev. Ti primeri se pregledajo.

Opomba samo en primer. Če je sistemski determinant nič (D \u003d 0), in vsaj eden od dodatnih determinant se razlikuje od nič, potem sistem rešitev nima, to je, je nepopoln.

Cramer Therem se lahko posplošira za sistem n. Linearne enačbe S. n. Neznano: kje. – neznano; - koeficienti na neznanem - prosti člani.

Če je determinant sistema linearnih enačb z neznanim, potem je edina raztopina sistema najdemo po formulah pajkanja:

Dodatna determinanta se pridobiva od determinanta D, če je v neznanem stolpcu koeficientov x I. Zamenjajte stolpec brezplačnih članov.

Upoštevajte, da determinante D, D 1, ..., D N. Naročite n..

Gauss Metoda Reševanje sistemov linearnih enačb

Ena od najpogostejših metod za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb je metoda dosledne izključitve neznanega -Method Gaussa.. Ta metoda Gre za posplošitev metode zamenjave in je sestavljena iz sekvenčne izključitve neznanih, dokler ena enačba z enim neznanim ostankom ostane.

Metoda temelji na nekaterih transformacijah sistema linearnih enačb, zaradi katerih je sistem pridobljen, kar ustreza izvornemu sistemu. Algoritem metode je sestavljen iz dveh stopenj.

Prva faza se imenuje neposredna poteza Metoda Gauss. Sestoji iz sekvenčne izključitve neznanih iz enačb. Za to, v prvem koraku, prva enačba sistema na (sicer so sistemske enačbe permutacija). Označite koeficiente pridobljene enačbe, v katerem prevladuje koeficient in se odštejejo od druge enačbe sistema, razen, s tem, od druge enačbe (ničelni koeficient).

Podobno prihajajo s preostalemi enačbami in prejmejo nov sistem, v vseh enačbah, od katerih se od drugih koeficientov vsebujejo samo ničle. Očitno bo pridobljeni novi sistem enakovreden izvornemu sistemu.

Če se novi koeficienti, ne, niso nič, izključeni iz tretjih in naslednjih enačb. Nadaljevanje te operacije za naslednje neznane, vodi sistem na tako imenovano trikotno obliko:

Tu so simboli in označeni kot posledica numeričnih koeficientov in brezplačnih članov.

Od zadnje enačbe sistema se določi edinstven način, nato pa sekvenčni substitucija - preostanek neznank.

Komentar. Včasih, kot posledica transformacij, v kateri koli enačbi, se vsi koeficienti in desni del obravnavajo na nič, to pomeni, da se enačba spremeni v identiteto 0 \u003d 0. Brez take enačbe iz sistema zmanjšajo število enačb v primerjavi s številom neznanega. Tak sistem ne more imeti enotne rešitve.

Če se v postopku uporabe metode Gaussa, se bo nekatera enačba spremenila v enakost obrazca 0 \u003d 1 (koeficienti na neznani pritožbi 0, na desni strani pa je sprejela neničelno vrednost), potem je začetni sistem ne Rešitev, ker je takšna enakost napačna za vse neznane vrednosti.

Razmislite o sistemu treh linearnih enačb s tremi neznanimi:

kje – neznano; - koeficienti na neznanem - prosti člani. Nadomestilo

Sklep.Uporaba Metoda Gauss za ta sistem, dobimo

Od koder je slednja enakost napačna s kakršnimi koli vrednostmi neznanega, zato sistem nima rešitve.

Odgovor. Sistem nima rešitev.

Upoštevajte, da se lahko prej obravnavana metoda Kramer uporabi pri reševanju samo tistih sistemov, na katerih je število enačb, ki sovpada s številom neznanega, in determinanta sistema, se razlikuje od nič. Metoda Gaussa je bolj vsestranska in primerna za sisteme s poljubnim številom enačb.

Tema 2. Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb Neposredne metode.

Sistemi linearnih algebrskih enačb (skrajšano naklon) se imenujejo sistemi enačb obrazca

ali, v matrični obliki,

A. × x. = B. , (2.2)

A. - dimenzija koeficientov koeficientov matrike n. ´ n.

x. - vektor neznan, sestavljen iz n. component.

B. - Vektorski desni deli sistema, ki ga sestavljajo n. komponenta.

A. = x. = B. = (2.3)

Rešitev Slave je taka niz n. številke, ki so nadomeščene namesto vrednosti x. 1 , x. 2 , … , x N. sistem (2.1) zagotavlja enakost levega dela desno v vseh enačbah.

Vsako naklon, odvisno od vrednosti matrik A. in B. lahko

Eno rešitev

Neskončno veliko rešitev

Ni eno samo rešitev.

V tem tečaju bomo upoštevali samo tisto, ki ima edino rešitev. Potrebno I. zadostno stanje To je neenakost ničelna determinanta matrike A. .

Če želite iskati rešitve nad sistemi linearnih algebrskih enačb, se lahko izvedejo nekatere transformacije, ki ne spreminjajo njenih rešitev. Enakovredne transformacije Linearne enačbe se imenujejo takšne transformacije, ki ne spreminjajo njenih rešitev. Tej vključujejo:

Prerazporeditev po mestih dveh enačb sistema (morate Otti, ki je v nekaterih primerih, obravnavanih v nadaljevanju, je nemogoče uporabiti te prekinitve);

Razmnoževanje (ali delitev) kakršne koli sistemske enačbe na številko, ki ni enaka nič;

Dodatek k eni enačbi sistema druge enačbe, pomnožene (ali ločene) na nekatere ni enaka nič številke.

Metode reševanja Slave so razdeljene na dve veliki skupini, imenovani - neposredne metode in iterativne metode. Obstaja tudi metoda za informacije o problemu reševanja naklona na nalogo iskanja ekstremne funkcije več spremenljivk, ki mu sledi rešitev njegovih metod iskanja ekstremov (o tem podrobneje pri sprejemanju ustrezne teme). Neposredne metode zagotavljajo natančno sistemsko rešitev (če obstaja) v enem koraku. Iterativne metode (če je njihova konvergenca), vam omogoča, da večkrat izboljšate nekaj začetnega pristopa k želeni rešitvi Slave in na splošno, natančno odločitev ne bo nikoli podana. Glede na dejstvo, da neposredne metode reševanja zaradi neizogibnih napak zaokroževanja v vmesnih fazah izračunov prav tako ne zagotavljajo popolnoma natančnih rešitev, lahko iterativne metode zagotavljajo tudi približno enak rezultat.

Neposredne metode Reševanje Slava. Najpogosteje uporabljene neposredne metode reševanja Slave so:

Metoda cramer,

Metoda Gauss (in njena sprememba - Metoda Gaussa-Jordan)

MATRIX METODA (z uporabo matričnega obtoka A. ).

Metoda Cramer na podlagi izračuna dejanja glavne matrike A. in determinante matrik A. 1 , A. 2 , …, N. , ki jih dobimo iz matrike A. zamenjava v njem ( jAZ.-Ho) stolpec ( jAZ.= 1, 2,…, n.) na stolpcu, ki vsebuje vektorske elemente B. . Po tem je rešitev deljena kot delna od delitve vrednosti teh determinant. Natančneje, izračunane formule imajo tako prijazno

(2.4)

Primer 1.. Poiščite metodo Cramer, odločitev Slave, ki

A. = , B. = .

A 1. = , A 2. = , A 3. = , A 4. = .

Izračunamo vrednosti determinantov vseh petih matrik (z uporabo funkcije moperja medija Excel.). Prejeti

Od determinanta matrike A. Ni enako nič - sistem ima eno samo rešitev. Potem ga določimo po formuli (2.4). Prejeti

Metoda Gauss. Rešitev Slava Ta metoda vključuje kompilacijo razširjene sistemske matrike A. * . Razširjena sistemska matrika je velikost matrike v n. Vrstice I. n.+1 Stolpci, vključno z izvirno matrico A. C pritrjena na njen desni stolpec, ki vsebuje vektor B. .

A * = (2.4)

Tukaj a v + 1 \u003d B I (i \u003d. 1, 2, …, n. ).

Bistvo Metoda Gauss je prinese (skozi enakovredne transformacije) Razširjena sistemska matrika do trikotne oblike (tako da so bile le ničelne elemente pod njeno glavno diagonalo).

A. * =

Potem, od zadnje vrstice in premikanja, lahko zaporedoma določite vrednosti vse komponente rešitve.

Začetek preobrazbe razširjene sistemske matrike na zahtevano vrsto je, da si ogledate vrednosti koeficientov, ko x. 1 in izbiranje niza, v katerem ima največjo vrednost absolutne vrednosti (to je potrebno za zmanjšanje vrednosti računalniške napake med naknadnimi izračuni). Ta niz podaljšanega matrika mora biti spremenjen v mestih iz prve linije linije (ali, kaj je bolje, preklopiti (ali odbitek) s prvim nizom, rezultat pa je nameščen v prvi vrstici). Po tem morajo biti vsi elementi te nove prve linije (tudi v zadnjem stolpcu) razdeljeni na ta koeficient. Po tem na novo pridobljeni koeficient a. 11 bo postal enak. Nadalje od vsake preostale vrstice matrike, je treba odšteti svoj prvi niz, pomnožiti z vrednostjo koeficienta, ko x. 1 v tej vrstici (t.j. z velikosti i. 1 kje jAZ. =2, 3, … n. ). Po tem, v vseh vrstah, začenši z drugimi koeficienti na x. 1 (tj. Vsi koeficienti i. 1 (jAZ. =2, …, n. ) Bo nič. Ker smo izvedli le enakovredne transformacije - raztopina na novo dobljene slade se ne razlikuje od izvora sistema.

Poleg tega bomo pustili prvi niz matrike, bomo naredili vse zgoraj opisane ukrepe z ostalimi vrstami matriksa in, kot rezultat, na novo pridobljeni koeficient a. 22 bo enaka enemu in vsem koeficientom i. 2 (jAZ. =3, 4, …, n. ) bo enaka nič. Nadaljevanje podobnih dejanj, na koncu dajemo našo matriko v obliki, v kateri vsi koeficienti iI. = 1 (jAZ. =1, 2, …, n.) in vsi koeficienti iJ. = 0 (jAZ. =2, 3, …, n., j.< jAZ.). Če v določenem koraku pri iskanju največje v absolutni vrednosti koeficienta x J. ne bomo mogli najti ničelnega koeficienta - to bo pomenilo, da izvirni sistem nima ene same rešitve. V tem primeru je treba postopek odločanja prekiniti.

Če se proces enakovredne transformacije uspešno konča, bo nastala "trikotna" razširjena matrika ustrezala takšnemu sistemu linearnih enačb:

Iz zadnje enačbe tega sistema bomo našli vrednost x N. . Nato zamenjavo te vrednosti v predzadnji enačbi, bomo našli vrednost x N. -1 . Po tem, zamenjavo obeh naših vrednosti v tretjem mestu pod enačbo sistema, bomo našli vrednost x N. -2 . Nadaljevanje tako naprej in gibanje po enačbi tega sistema od spodaj navzgor, bomo dosledno našli vrednote drugih korenin. In končno, zamenjavo najdenih vrednosti x N. , x N. -1 , x N. -2 , x. 3 in x. 2 V prvi sistemski enačbi najdemo vrednost x 1. Takšen postopek za iskanje menjalnih vrednosti na trikotni matrici obrnjena. Postopek prinašatve začetne podaljšane matrike z enakovrednimi transformacijami na trikotni videz neposredna poteza Metoda Gauss ..

Dovolj podroben algoritem raztopin za Metodo Gaussa je prikazan na sl. .2.1 in sl. 2.1a.

Primer 2.. Poiščite Gaussovo metodo rešitev na isti naklon, ki smo jih že rešili metodo Craver. Pripravite prvo razširjeno matrico. Prejeti

A. * = .

Prvič, preuredite prve in tretje vrstice te matrike (kot je element v prvem stolpcu v prvem stolpcu), nato pa smo razdelili vse elemente tega novega prvega niza na 3. prejemanje

A. * = .

A. * =

Nadalje preureditev druge in tretje vrstice te matrike, razdelimo drugi niz preurejene matrike na 2.3333 in podobno na zgoraj opisano, ponastavite koeficiente v drugem stolpcu tretjega in četrtega linije matrike. Prejeti

A. * = .

Po izvedbi takšnih ukrepov nad tretjo in četrto vrstico matrike, dobimo

A. * = .

Z razdelitvijo četrte vrstice na -5.3076 bomo zaključili ravnanje razširjene sistemske matrike do diagonalne oblike. Prejeti

Sl. 2.1. Algoritem za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb Gauss

Sl. 2.1a. Macriblock."Izračun vrednosti raztopine."

A. * = .

Iz zadnje vrstice, ki smo jih takoj dobimo x. 4 = 0.7536. Zdaj dvigujejo vrstice matrike in izvajajo izračune, smo zaporedno dobili x. 3 = 0.7971, x. 2 =- 0.1015 in x. 1 = 0.3333. Primerjava raztopine, pridobljene s to metodo z raztopino, pridobljenim z metodo CRAMER, ni težko preveriti njihovega naključja.

Metoda Gaussa-Jordan. Ta metoda rešitev je v veliki meri podobna Metoda Gaussa. Glavna razlika je, da uporaba enakovrednih transformacij razširjena matrika sistema enačb ne daje trikotni obliki, temveč na diagonalno obliko, na glavni diagonalu, od katerih so enote, in zunaj njega (razen zadnjega n. +1 Stolpec) - niros. Po koncu take transformacije bo zadnji stolp podaljšanega matrika vseboval raztopino začetnega naklona (T, E. x I. = a. JAZ. N. +1 (jAZ. = 1, 2, … , n. ) v nastalem matrici). Povratna poteza (kot v metodi Gauss) za končne izračune vrednosti komponent raztopine - ni potrebna.

Rezanje matrike na diagonalno točko se izvede predvsem, kot tudi v Metodi Gaussa. Če je v vrsti jAZ. Koeficient je x I. (jAZ. = 1, 2, … , n. ) V absolutni vrednosti majhna, potem se iskanje išče j. v katerem koeficient, ko x I. to bo največja v absolutni vrednosti tega ( j. -I) niza se izmenično doda jAZ. - tw Row. Potem vse elemente jAZ. - vrstice so razdeljene na vrednost elementa x I. Ampak, za razliko od Metode Gauss, po tem, se odšteje od vsake vrstice s številko j. vrstice s številko jAZ. pomnoženo jI. , vendar pogoj j. > jAZ. nadomesti s častniki metode Gaussa-Jordanije, se odšteje od vsake vrstice s številko j. , poleg tega j. # jAZ. , vrstice s številko jAZ. pomnoženo jI. . Ti. Koeficienti ponastavijo pod in nad glavno diagonalo.

Dovolj podroben algoritem reševanja Slava Metoda Gaussa-Jordan je prikazana na sl. 2.2.

Primer 3.. Da bi našli rešitev Gaussa-Jordan na isti slama, ki smo že rešili metode Cramer in Gauss.

Podobno podoben metodi Gaussa bo razširjena sistemska matrika. Nato preuredite prvo in tretjo vrstico te matrike (od prvega stolpca je največji element v prvem stolpcu), nato pa smo razdelili vse predmete te nove prve vrstice na 3. Potem izvedemo odštevanje iz vsake vrstice Matrica (razen prvih) elementov prvih vrstic, pomnoženih s koeficientom v prvem stolpcu te vrstice. Enako dobimo kot v Metodi Gaussa

A. * = .

Nadaljnje prerazporeditev v krajih Druga in tretja vrstica te matrike, razdelimo drugi niz preurejenega matrika z 2.3333 in ( za razliko od Metoda Gauss) Ponastavim koeficiente v drugem stolpcu prve, tretje in četrte vrstice matrike. Prejeti