Koliko različnih možnosti obstaja. Kombinatorialne naloge (razred 5)

Kombinator se imenuje del matematike, ki študira vprašanje, koliko kombinacij določenega tipa je mogoče iz teh predmetov (elemente).

Pravilo množenja (osnovna kombinacija formule)

Skupno število metod, ki jih je mogoče izbrati z enim elementom iz vsake skupine in jih postavite v določen naročilo (to je, da dobimo naročeni sklop) je enaka:

Primer 1.

Kovanec je bil vržen 3-krat. Koliko različnih sličic je mogoče pričakovati?

Sklep

Prvi kovanec ima alternativo - bodisi orel ali hitenje. Za drugi kovanec obstajajo tudi alternative, itd. .

Iskano število načinov:

Pravilo dokončanja.

Če katera koli dve skupini nimata skupni elementi, nato izberite en element ali iz ali iz njega, ... ali iz lahko izvedete na načine.

Primer 2.

Na policah 30 knjig, od katerih so 20 matematičnih, 6 tehničnih in 4 gospodarskih. Koliko načinov izbrati eno matematično ali eno ekonomsko knjigo.

Sklep

Matematična knjiga se lahko izberejo na načine, gospodarske - načine.

Po pravilu, obstaja način, da izberete matematično ali ekonomsko knjigo.

Nastanitev in permutacije

Nastanitev - Ti so naročeni sklop elementov, ki se med seboj razlikujejo ali sestava ali vrstni red elementov.

Postavitev brez ponavljanjaKo se izbrani element pred naslednjo izbiro ne vrne na splošno populacijo. Takšna izbira se imenuje dosledna izbira brez donosa, njegov rezultat pa je z namestitvijo brez ponovitev iz elementov programske opreme.

Število različnih metod, ki jih je mogoče zaporedno izbrati, ne da bi se vrnili elemente iz splošne populacije obsega, je:

Primer 3.

Dnevni urnik je sestavljen iz 5 različne lekcije. Pri izbiri od 11 disciplin določite število možnosti razporeda.

Sklep

Vsaka različica razpored je niz 5 disciplin od 11, ki se razlikujejo od drugih možnosti sestavka in postopka za naslednje. zato:

Preurejeno - Ti so naročeni sklopi, ki se razlikujejo drug od drugega le z vrstnim redom elementov. Število vseh permutacij nabora iz elementov je enako

Primer 4.

Koliko načinov lahko pošljete 4 osebe na eni mizi?

Sklep

Vsaka možnost sedenja je drugačna le z vrstnim redom udeležencev, to je permutacija 4 elementov:

Postavitev s ponovitvijoKo je izbrani element pred izbiro naslednjega vrnil na splošno populacijo. Takšna izbira se imenuje dosledna izbira z vrnitvijo, njegov rezultat pa je nastanitev s ponovitvami iz elementov programske opreme.

Skupno število različnih metod, ki jih je mogoče izbrati z vrnitvijo elementov iz splošne populacije prostornine, enake

Primer 5.

Dvigalo se ustavi na 7 nadstropjih. Koliko načinov lahko pride do 6 potnikov v kabini dvigala na teh nadstropjih?

Sklep

Vsak od načinov porazdelitve potnikov na tleh je kombinacija 6 potnikov v 7 nadstropjih, ki se razlikujejo od drugih kombinacij sestave in njihovega naročila. Ker lahko eno nadstropje odpravite kot eno in več potnikov, potem lahko isti potniki ponovijo. Zato je število takšnih kombinacij enako številu umestitev s ponovitvami 7 elementov 6:

Kombinacija

Kombinacije Iz n elementov po K so neurejeni kompleti, ki se razlikujejo med seboj vsaj en element.

Naj se številni elementi vzamejo iz splošne populacije (elementi so dosledno sprejeti, vendar se na vrstni red njihovega videza ne upošteva). Kot rezultat take hkratno neurejeno izbiro elementov iz splošne populacije obsega, se pridobljeni kombinacije, ki se imenujejo kombinacije brez ponovitev iz elementov programske opreme.

Število kombinacij iz elementov je:

Primer 6.

V predalu 9 jabolk. Koliko načinov lahko izberete 3 jabolka iz škatle?

Sklep

Vsaka možnost izbire je sestavljena iz 3 jabolk in se razlikuje od druge samo sestave, to je kombinacija brez ponavljanja 9 elementov:

Število načinov za izbiro 3 jabolk od 9:

Naj bodo elementi izbran iz splošnega sklopa prostornina, enega za drugim, z vsakim izbranim elementom pred izbiro naslednjega vrnjenega na splošno prebivalstvo. Zabeleženo je, kateri elementi se pojavljajo in kolikokrat pa se postopek za njihov videz ne upošteva. Dobljeni agregati se imenujejo kombinacije s ponovitvami iz elementov programske opreme.

Število kombinacij s ponovitvami iz naslednjih elementov: \\ t

Primer 7.

V pošti prodajajo razglednice 3 vrste. Koliko načinov lahko kupim 6 razglednic?

To je naloga iskanja števila kombinacij s ponovitvami od 3 do 6:

Razdelite niz v skupinah

Naj se sklop različnih elementov razdeli v skupine, nato pa elementi spadajo v prvo skupino, v drugem elemente, skupino elementov in. To stanje se imenuje delitev nizov v skupine.

Število particij na skupinah, ko se elementi spadajo v prvi, v drugem elementu, v k-YU GROUP - Elementi, enaki: \\ t

Primer 8.

Skupino 16 ljudi je treba razdeliti na tri podskupine, v prvem od katerih bi moralo biti 5 ljudi, v drugem - 7 ljudi, v tretjem - 4 osebe. Koliko načinov je to mogoče storiti?

Kombinacija je del matematike, ki študirajo vprašanja o tem, koliko različnih kombinacij, ki so podrejene tistim ali drugim pogojem, je mogoče sestaviti iz določenih predmetov. Osnove kombinatorike so zelo pomembne za ocenjevanje verjetnosti naključnih dogodkov, ker To vam omogoča, da izračunate temeljno možno število različnih možnosti za razvoj dogodkov.

Osnovna kombinacija formule

Naj bo K Skupine elementov in i-I Group Sestoji iz elementov n i. Izberite en element iz vsake skupine. Potem skupno število. N metode, ki jih je mogoče narediti, je določena z razmerjem N \u003d N 1 * N 2 * N 3 * ... * N K.

Primer 1. Razložimo to pravilo na preprostem primeru. Naj bo dva skupina elementov, prva skupina pa je sestavljena iz n 1 elementov, druga pa iz elementov N 2. Koliko različnih parov elementov je mogoče sestaviti od teh dveh skupin, tako da v parnem elementu iz vsake skupine? Recimo, da smo vzeli prvi element iz prve skupine in, ne da bi ga spreminjali, premaknili vse možne pare, spremenili samo elemente iz druge skupine. Takšne pare za ta element lahko izdelamo z n 2. Nato vzamemo drugi element iz prve skupine in tudi dajo vse možne pare za to. Takšni pari bodo tudi n 2. Ker v prvi skupini le elementa n 1, bodo vse možne možnosti n 1 * n2.

Primer 2. Koliko trimestnih celo številk je mogoče izdelati iz številk 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, če se številke lahko ponovijo?
Sklep:n 1 \u003d 6 (ker se lahko od prve številke vzamete katero koli številko 1, 2, 3, 4, 5, 6), N 2 \u003d 7 (ker se lahko kot druga številka vzame katero koli številko 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), N 3 \u003d 4 (ker kot tretja številka lahko vzamete katero koli številko 0, 2, 4, 6).
Torej, n \u003d n 1 * N 2 * N 3 \u003d 6 * 7 * 4 \u003d 168.

V primeru, ko vse skupine sestavljajo enako število elementov, tj. N 1 \u003d n2 \u003d ... n k \u003d n lahko domnevamo, da je vsaka izbira iz iste skupine, element, potem ko se izbor ponovno vrne v skupino. Potem je število vseh izbranih metod n K. Ta metoda izbire v kombinatorikih se imenuje Vzorčenje z vrnitvijo.

Primer 3. Koliko vseh štirih številk je mogoče izdelati iz številk 1, 5, 6, 7, 8?
Sklep. Za vsako odvajanje štirimestne številke je pet možnosti, kar pomeni n \u003d 5 * 5 * 5 * 5 \u003d 5 4 \u003d 625.

Razmislite o nizu, ki je sestavljen iz n elementov. Ta set v kombinatorji se imenuje splošno spoštovanje.

Število nastanitev iz n elementov m

Opredelitev 1. Nastanitev Out. n. Elementi m. V kombinatoriki se imenuje vse naročeno Od m. različne elemente, izbrane iz splošne populacije n. Elementi.

Primer 4.Različni kraji treh elementov (1, 2, 3) dva bodo kompleti (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2) ). Namestitev se lahko med seboj razlikuje od obeh elementov kot naročila.

Število nastanitev v kombinatorike je označeno z N m in se izračuna po formuli:

Komentar: N! \u003d 1 * 2 * 3 * ... * N (branje: "EN Factorial"), poleg tega pa je verjel, da je 0! \u003d 1.

Primer 5.. Koliko dvomestnih številk je tam, v katerem je število desetine in številk enot različno in liho?
Sklep: Ker Neparne slike Pet, in sicer 1, 3, 5, 7, 9, potem se ta naloga zmanjša na izbiro in namestitev dveh različnih položajev dveh od petih različnih številk, tj. Te številke bodo:

Opredelitev 2. Kombinacija Od n. Elementi m. V kombinatoriki se imenuje vse uNORDERD SET. Od m. različne elemente, izbrane iz splošne populacije n. Elementi.

Primer 6.. Za kombinacije (1, 2, 3) so kombinacije (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Število kombinacij iz n elementov m

Število kombinacij je označeno s C N M in se izračuna s formulo:

Primer 7.Koliko načinov lahko bralec izbere dve knjigi od šestih na voljo?

Sklep:Število načinov je enako številu kombinacij šestih dveh knjig, tj. Prav tako:

Permutacije iz n elementov

Opredelitev 3. Perustanovka. Od n. Elementi se imenujejo vse naročeno Ti elementi.

Primer 7a. Vse vrste permutacij nabora, sestavljenega iz treh elementov (1, 2, 3), so: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3 ), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Število različnih permutacij iz n elementov je označeno s P N in se izračuna s formulo P N \u003d N !.

Primer 8. Na koliko načinov se lahko sedem knjig različnih avtorjev postavi na polico v eni vrstici?

Sklep:ta naloga je približno število permutacij sedmih različnih knjig. Obstaja P 7 \u003d 7! \u003d 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 \u003d 5040 načinov za postavitev knjig.

Diskusija.Vidimo, da se lahko število možnih kombinacij izračuna z različnimi pravili (permutacije, kombinacijami, umestitvijo), rezultat pa bo drugačen, ker Načelo izračuna in formule so različni. Previdno gleda na definicije, je mogoče ugotoviti, da je rezultat odvisen od več dejavnikov hkrati.

Najprej iz katere količine elementov lahko združimo njihove komplete (kako velik splošno agregat elementov).

Drugič, rezultat je odvisen od vrste elementov, ki jih potrebujemo.

In zadnji, pomembno je vedeti, ali je za nas nujno za vrstni red elementov v setu. Razložimo zadnji dejavnik v naslednjem primeru.

Primer 9.Na The starševsko srečanje Obstaja 20 ljudi. Koliko različnih možnosti je sestava matičnega odbora, če bi jih 5 ljudi vstopilo?
Sklep:V tem primeru nismo zainteresirani za vrstni red priimkov na seznamu odbora. Če bodo isti ljudje med njegovo kompozicijo, potem je to enako isto. Zato lahko izkoristimo formulo za štetje številke Kombinacije20 elementov 5.

V nasprotnem primeru se bodo stvari soočale, če bo vsak član odbora na začetku odgovoren za določeno smer dela. Potem, z istim seznamom odbora, je možno 5! Opcije preurejenota stvar. Število različnih (in sestavka, in na področju odgovornosti) se v tem primeru določi s številom nastanitev 20 elementov 5.

Naloge za samopreizkus
1. Koliko trimestnih celo številk je mogoče izdelati iz številk 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, če se številke lahko ponovijo?

2. Koliko petmestnih številk obstaja, ki se prav tako bere od leve proti desni in desno levo?

3. V razredu TEN in pet lekcij na dan. Koliko načinov je lahko urnik za en dan?

4. Koliko načinov lahko izberete 4 delegate na konferenci, če v skupini 20 ljudi?

5. Koliko načinov lahko razgradite osem različnih črk na osmih različnih ovojnicah, če je v vsaki ovojnici vstavljena samo ena črka?

6. Od treh matematikov in desetih ekonomistov je treba pripraviti Komisijo, ki jo sestavljata dva matematika in šest ekonomistov. Koliko načinov je to mogoče storiti?

Povzetek na temo:

Opravil študenta razreda 10 B "

srednja šola №53

Glukhov Mikhail Alexandrovich.

naberezhnye chelny.

2002.
Vsebina

Iz zgodovine kombinatorike _________________________________________	3
Pravilo zneska ___________________________________________________	4
	-
Pravilo dela _____________________________________________	4
Primeri nalog ____________________________________________________	-
Secure Sets ________________________________________	5
Primeri nalog ____________________________________________________	-
Eulerjevi krogi _________________________________________________	-
Namestitev brez ponovitev ________________________________________	6
Primeri nalog ____________________________________________________	-
Permutacije brez ponovitev _______________________________________	7
Primeri nalog ____________________________________________________	-
Kombinacije brez ponovitev __________________________________________	8
Primeri nalog ____________________________________________________	-
Namestitev in kombinacije brez ponavljanja ______________________________	9
Primeri nalog ____________________________________________________	-
Prerazporeditve s ponovitvami ___________________________________	9
Primeri nalog ____________________________________________________	-
Naloge za self-se odločite________________________________	10
Bibliografija___________________________________	11

Iz zgodovine kombinatorike

Kombinatorike je vključena različnih vrst Spojine, ki se lahko oblikujejo iz elementov končnega sklopa. Nekateri elementi kombinatorike so bili znani v Indiji v II. Stoletju. Dd e. Nidice lahko izračunajo številke, ki se zdaj imenujejo "kombinacije". V XII stoletju Bhaskar je izračunal nekaj vrst kombinacij in permutacij. Predvideva se, da so indijski znanstveniki preučevali spojine v zvezi z uporabo njih v poetiki, znanosti o strukturi verza in poetična dela. Na primer, zaradi izračuna možnih kombinacij bobnov (dolga) in neplačanih (kratkih) zlogov stopala od n zlogi. Kot znanstvena disciplina je bila kombinator oblikovana v XVII stoletju. V knjigi "Teorija in praksa aritmetic" (1656), francoski avtor A. tudi namenja kombinacije in permutacije celotnega poglavja.
B. Pascal V "Razprava na aritmetičnem trikotniku" in v "razpravi o numeričnih naročilih" (1665) je predstavila doktrino binomskih koeficientov. P. Kmetija je vedela za obveznice matematičnih kvadratov in kodrastih številk s teorijo spojin. Izraz "kombinatorika" se je začel uporabljati po objavi Leibnika leta 1665, delo "popravek na kombinatorialni umetnosti", v katerem je bila podana prva podana znanstvena utemeljitev. Teorije kombinacij in permutacij. Študija nastanitve je bila prvič sodelovala v J. Bernoulliju v drugem delu njegove knjige "Ars Conconjendija" (umetnost prevladujočega) leta 1713. Sodobno simboliko kombinacij so predlagali različni avtorji izobraževalnih smernic le v XIX stoletju.

Vse različne kombinatorične formule lahko izpeljemo iz dveh glavnih izjav v zvezi z končni kompleti - pravilo zneska in pravila dela.

Pravilo

Če se končni sklopi ne sekajo, je število elementov x u y (ali) enako vsoti števila elementov nastavljenega X in števila elementov nastavitve Y.

To je, če obstajajo x knjige na prvi polici, in na drugi strani, nato izberite knjigo iz prve ali druge police, lahko X + Y na poti.

Primeri nalog

Študent mora izvajati praktično delo v matematiki. Ponudil mu je, da izbrati od 17 z algebro in 13 po geometriji. Koliko načinov lahko izbere eno temo praktično delo?

Rešitev: x \u003d 17, y \u003d 13

Glede na pravilo vsote x u y \u003d 17 + 13 \u003d 30.

Obstaja 5 monetarnih loterijskih vstopnic, 6 vstopnic športa in 10 vstopnic avtomobilskega avtomobila. Koliko načinov lahko izberete eno vozovnico iz Sportloto ali Auto Maker?

Rešitev: Ker denarna loterija ne sodeluje pri izbiri, potem samo 6 + 10 \u003d 16 možnosti.

Pravilo dela

Če element X lahko izberete s metodami K in element Y-M načinov Ta par (X, y) se lahko izberejo K * M metode.

To je, če je na prvi polici, in na drugi strani 10, izberite eno knjigo iz prve police in ena z drugo lahko 5 * 10 \u003d 50 načinov.

Primeri nalog

Rebater mora prepletati 12 različnih knjig v rdečih, zelenih in rjavih mejah. Koliko načinov lahko to stori?

Rešitev: Obstaja 12 knjig in 3 barve, to pomeni na pravilih dela, ki je možno 12 * 3 \u003d 36 vezavnih možnosti.

Koliko petmestnih številk obstaja, ki se prav tako bere od leve proti desni in desno na levo?

Rešitev: V takih številkah bo zadnja številka enaka kot prvi, in predzadnji - kot tudi drugi. Tretja številka bo katera koli. To je lahko zastopano kot Xyzyx.Kjer številke Y in Z-stegna in X - ni nič. To pomeni glede na pravilo dela, število številk, ki so enako pripravljeni tako od leve proti desni in desni, da levo enaka 9 * 10 * 10 \u003d 900 možnosti.

Settes.

Vendar se zgodi, da se nastavi X in Y sekajo, nato pa uporabite formulo

kjer so X in Y nizi, in območje križišča. Primeri nalog

20 ljudi je 10 - nemško, bogato 5 vem intiangali, podeljuje. Kolikokrat?

Odgovor: 10 + 20-5 \u003d 25 ljudi.

Pogosto pogosto visual rešitev Naloge se uporabljajo Circles Euler. Na primer:

100 turistov, ki gredo na izlet, nemški jezik Lastno 30 ljudi, angleščina - 28, francoščina - 42. Angleščina in nemščina hkrati 8 ljudi, angleščina in francoščina - 10, nemščina in francoščina - 5, po vseh treh jezikih - 3. Koliko turistov ni lastnik Kakšen jezik?

Sklep: Izrazite stanje tega naloge grafično. Označi krog tistih, ki poznajo angleščino, še en krog - tisti, ki poznajo francosko, in tretji krog - tisti, ki poznajo nemščino.

Trije turisti imajo vse tri jezike, to pomeni, da v skupnih delih krogov vnesite številko 3. Angleščina in francoski jezik V lasti 10 ljudi in 3 jih je lastno nemško. Posledično je samo angleški in francoski lasten 10-3 \u003d 7 ljudi.

Podobno pridobimo to samo angleško in nemško lastno 8-3 \u003d 5 ljudi in nemških in francoskih 5-3 \u003d 2 turistov. Te podatke uvedemo na ustrezne dele.

Mi definiramo zdaj, koliko ljudi ima samo enega od navedenih jezikov. Nemščina pozna 30 ljudi, vendar 5 + 3 + 2 \u003d 10 od njih lastniki drugih jezikov, zato samo nemški vedo 20 ljudi. Podobno smo dobili, da je ena angleščina v lasti 13 ljudi, in en francoski je 30 ljudi.

Pod pogojem naloge le 100 turistov. 20 + 13 + 30 + 5 + 7 + 2 + 3 \u003d 80 Turisti poznajo vsaj en jezik, zato 20 ljudi nima nobenega od teh jezikov.

Umestitev brez ponovitev.

Koliko lahko telefonske številke od 6 številk, tako da so vse številke drugačne?

To je primer naloge umestitev brez ponovitev. Tu so nameščene 10 številk 6. in možnosti, v katerih so enake številke v različnih naročilih, se štejejo za različne.

Če se komplet X, ki je sestavljen iz N Elementov, M≤N, nato z namestitvijo brez ponovitev iz elementov N Elementov kompleta X, ki ga imenuje M, se imenuje naročite nabor X, ki vsebuje M elemente, ki se imenuje naročite naročite X, ki vsebuje M elemente.

Število vseh nastanitev iz n elementov m je označeno

n! - N-Factorial (Factorial Ang. Fancy) Produkt številk naravne vrstice od 1 do vsake številke n Nalogo

Koliko načinov je 4 mlade moške, ki lahko povabijo štiri od šestih deklet na ples?

Sklep: Dva mlada moža lahko istočasno povabita isto dekle. In možnosti, na katerih se ista dekleta plešejo z različnimi mladimi moškimi, se štejejo za različne, zato:

Morda 360 možnosti.

Prerazporeditve brez ponovitev

V primeru N \u003d M (glej postavitev brez ponovitev) iz N Elementov z M se imenuje permutacija set X.

Število vseh permutacij N elementov je označeno s p n.

Res na n \u003d m:

Primeri nalog

Koliko različnih šestmestnih številk je mogoče izdelati iz številk 0, 1, 2, 3, 4.5, če so številke med številko, ki jih ne ponavljajo?

1) Znesek vseh permutacij iz teh številk: P 6 \u003d 6! \u003d 720

2) 0 ne more stati pred številko, zato je od te številke potrebno odvzeti število permutacij, na kateri je 0 spredaj. In to p 5 \u003d 5! \u003d 120.

P 6 -P 5 \u003d 720-120 \u003d 600

Martushka Lean.

Da Kosolapy Mishka.

Hitrost igranja kvarteta

Stop, Brothers Stand! -

Kriči Marty, - Počakaj!

Kako iti glasbo?

Konec koncev, niste tako sedeči ...

In tako, in točka je bila presajena - spet glasba na poti ne gre.

V mnogih kombinatoričnih nalogah je težko temelj števila zanimivih možnosti. Vendar pa lahko z nekaj spremembami pogoji nalogi najdejo število možnosti, ki so boljša od začetnega števila krat. Ta sprejem se imenuje metoda več štetja.

1. Koliko anagramov ima besedni razred?

Težava je, da v tej besedi dve enaki črkah S. začasno jih bomo obravnavali različne in označene od 1 in C2. Potem bo število anagramov enako 5! \u003d 120. Vendar pa so te besede, ki se med seboj razlikujejo samo s permutacijo pisem od 1 in C2, so enake in iste analogne! Zato je 120 anagramov razdeljenih na pare istega, t.j. Želeno število anagramov je 120/2 \u003d 60.

2. Koliko anagramov ima besedo Charade?

Glede na tri črke so raznolike črke A 1, in 2, in 3, dobimo 6! Anagram. Toda besede, ki se pridobivajo drug od drugega le s permutacijo črk A 1 in 2, in 3, pravzaprav so enake analogne. Ker je 3! Perutacije črk A 1 in 2, in 3, pridobljena sprva 6! Anagrami so razdeljeni na skupine po 3! Enako, in število različnih anagramov se izkaže, da je enako 6! / 3! \u003d 120.

3. Koliko štirimestnih številk obstaja, v katerem je vsaj ena celo mestna?

Ugotavljamo število "nepotrebnih" štirimestnih števil, v katerih je v zapisu prisotnih samo lihih številk. Takšne številke 5 4 \u003d 625. vendar le štirimestne številke 9000, zato je želeno število "potrebnih" številk 9000 - 625 \u003d 8375.

Poiščite število anagramov iz besed Heather, Balagan, City.
Poiščite število anagramov iz besed Baobab, Balada, težav, anagrama, matematike, kombinatorike, obrambne zmogljivosti.
Koliko načinov lahko poravnam 7 obiskovalcev do treh hotelskih sob: enojni, dvojni in štirikratni?
V hladilniku ležijo dve jabolki, tri hruške in štiri pomaranče. Vsak dan, za devet dni zapored, Pet daje eno od nekakšnega sadja. Koliko načinov je mogoče storiti?
Od sedmih najboljših smučarjev šole morate izbrati ekipo treh, da sodelujejo v urbanih tekmovanjih. Koliko načinov je to mogoče storiti?
Pred izpitom je profesor obljubil, da bo dal dva polovica izpite. 20 študentov je prišlo na izpit. Koliko načinov lahko izpolni obljubo?
Koliko besed je mogoče sestaviti iz petih črk A in ne več kot tri črke b?
Prodaja je čokoga, jagoda in mleka. Koliko načinov lahko kupite tri sladoled?
Pri pripravi pice v sir se dodajo različne komponente, ki zagotavljajo enega ali drugega okusa. Na odstranjevanju računa obstajajo čebule, gobe, paradižniki, papriko, paprike in sardone, vse to, po njegovem mnenju, se lahko dodamo na sir. Koliko vrst pice lahko kuri račun?
Priča kaznivodizatorja se je spomnil, da so bili kriminalci skriti na Mercedesu, katere število je vsebovalo črke T, S, Y in številke 3 in 7 (številka je vrstica, v kateri tri črke gredo najprej in nato tri številke) . Koliko takih številk obstaja?
Koliko diagonalov v konveksni n.-Golf?
Koliko obstaja n.-Kavične številke?
Koliko desetletnih številk obstaja, v katerih obstaja vsaj dve enaki številki?
Kocka vrže trikrat. Med vsemi vrstami sekvenc obstajajo tiste, v katerih je šest vsaj enkrat padlo. Koliko jih?
Koliko petmestnih številk ima številke v svojem zapisu 1?
Koliko načinov je mogoče dati Šahovnico Beli in črni kralj, da se ne pretepajo?
Koliko delisov ima 10800?

Posvečena reševanju problemov izbire in lokacije elementov nekaterih, običajno končno, določa v skladu z določenimi pravili. Na primer, koliko načinov lahko izberete 6 kartic iz krov, ki jo sestavljajo 36 kartic, ali koliko načinov je lahko čakalna vrsta, sestavljena iz 10 ljudi, itd. Vsako pravilo v kombinatoriki določa način gradnje nekaterih konstrukcij, sestavljenih iz elementov prvotnega niza in klicanega kombinacija. Glavni cilj kombinatorike šteje število kombinacij, ki jih je mogoče izdelati iz elementov izvora, ki je nastavljen v skladu z določenim pravilom. Najenostavnejši primeri kombinatornih struktur so permutacije, nastanitve in kombinacije.

Rojstni kombinatorji povezane z deli B. Pascal. In P. kmetija o igrah na srečo, Leibyans, Bernoulli, Euler je prispeval velik prispevek. Trenutno je zanimanje za kombinatorje povezano z razvojem računalnikov. Kombinacija se bo zanimalo za možnost določanja količinsko različnih podskupin končnih sklopov za izračun verjetnosti s klasično metodo.

Za določitev moči niza, ki ustreza določenemu dogodku, je koristno obravnavati dve predpisi kombinatorike: pravilo dela in pravilo o pravilu (včasih se imenujejo načela množenja in dodajanja) .

UPRAVLJANJE UPORABE: Naj se nekateri končni niz

Izberete lahko 1. objekt k. 1 načine

2. objekt - k. 2.

n.predmet - k n. načinov. (1.1)

Potem naveden poljuben niz n. Izberete lahko predmete iz tega niza k. 1 K. 2 , ..., K n načinov.

Primer 1. Koliko trimestnih številk z različnimi številkami?

Sklep. V sistemu decimalnega računa, deset številk: 0,1,2,4,5,6,7,8,9. Na prvem mestu lahko stoji približno devet številk (razen nič). Na drugem mestu - katera od preostalih 9 številk, razen izbranega. Na The zadnje mesto Vsake od preostalih 8 številk.

V skladu s pravilom, 9 · 9 · 8 \u003d 648 trimestne številke imajo različne številke.

Primer 2. Iz odstavka 3 ceste vodijo do postavke in od točke do odstavkov - 4 cest. Na koliko načinov lahko potujete skozi?

Sklep. V točki obstaja 3 načine, kako izbrati pot do elementa, in v točki je 4 načine, kako priti do elementa. V skladu z načelom množenja, je 3 × 4 \u003d 12 metod, da bi dobili od točke na element.

Znesek pravila: Pri izvajanju pogojev (1.1) lahko izberete kateri koli od predmetov k. 1 + K. 2 + ... + K n načinov.

Primer 3. Koliko načinov izbrati en svinčnik iz škatle, ki vsebuje 5 rdečih, 7 modrih, 3 zelenih svinčnikov.

Sklep. En svinčnik, po pravilu, lahko izberete 5 + 7 + 3 \u003d 15 metod.

Primer 4. Pusti iz mesta mesto lahko pridete z enim letalom, dvema železniškimi potmi in tremi avtobusnimi potmi. Koliko načinov je mogoče doseči iz mesta v mestu ?

Sklep. Vsi pogoji načela dodajanja so tukaj zaključeni, zato v skladu s tem načelom dobimo 1 + 2 + 3 \u003d 6 metod.

Razmislite o primeru, ki prikazuje razliko med načeli množenja in dodajanjem.

Primer 5. Tri blagovne znamke televizorjev in dve vrsti video snemalnikov se prodajajo v trgovini z elektroniko. Kupec ima možnost kupiti televizor ali videorekorder. Koliko načinov lahko naredi en nakup? Koliko različnih sklopov, ki vsebujejo televizor in snemalnik s trakom, lahko kupite v tej trgovini, če kupec bo kupil par in TV in videorekorder?

Sklep. Ena TV je mogoče izbrati na tri načine, kasetorjev pa je druga dva načina. Nato lahko televizor ali snemalnik traku kupi 3 + 2 \u003d 5 načinov.

V drugem primeru se lahko ena televizor izbere na tri načine, po tem pa lahko videorekorder izbere na dva načina. Posledično, zaradi načela množenja, lahko kupite TV in video snemalnik 3 × 2 \u003d 6 metod.

Zdaj razmislimo o primerih, v katerih se uporabljajo oba pravila kombinatorike: in načelo množenja, in načelo dodajanja.

Primer 6. 12 jabolk in 10 pomaranč leži v košarici. Vanya izbere bodisi jabolko ali oranžno. Po tem se Nadya izbere iz preostalih plodov in jabolka in oranžne barve. Koliko možnih volitev je možno?

Sklep. Vanya lahko izbere načine Apple 12, oranžne - 10 načinov. Če Vanya izbere jabolko, lahko Nadia izbere načine Apple 11 in oranžne - 10 načinov. Če Vanya izbere oranžno, lahko Nadia izbere Apple 12 načinov in oranžne - 9 načinov. Tako lahko Vanya in Nadia izbirata na načine.

Primer 7. Obstajajo 3 črke, od katerih je vsaka poslana na 6 naslovov. Koliko načinov je to mogoče storiti?

Sklep. V tej nalogi moramo upoštevati tri primere:

a) Vsa pisma se pošljejo na različnih naslovih;

b) vsa pisma se pošljejo na enem naslovu;

c) Na enem naslovu se pošljeta samo dve črki.

Če so vsa pisma poslana na različnih naslovih, se število takih metod enostavno nahaja od načela množenja: n. 1 \u003d 6 × 5 × 4 \u003d 120 metod. Če so vsa črke poslana na enem naslovu, bodo takšni načini n. 2 \u003d 6. Tako je še vedno upoštevati tretji primer, ko se na enem naslovu pošljemo samo dve črki. Izbiramo lahko vsako črko na 3 načinov in jo pošljemo na kateri koli izbrani naslov lahko 6 načinov. Preostalih dveh črk lahko pošljemo preostalim naslovom 5 načinov. Posledično pošljite samo dve črki enemu naslovu, ki ga lahko n. 3 \u003d 3 × 6 × 5 \u003d 90 metod. Tako je poslala 3 pisma na 6 naslovov v skladu z načelom dodatka

načinov.

Ponavadi v kombinatorji je idealiziran poskus pri izbiri k. Elementi n.. Hkrati se predmeti: a) ne vrnejo nazaj (izbirni vezje brez donosov); b) Vrnitev nazaj (izbira izbirnega vezja).

1. Izbirna shema brez donosov

Nastanitevod n. Elementi k. pokličite vsakega naročenega niza k. Elementi, ki pripadajo n. - komplet elementov. Različne nastanitve se razlikujejo med seboj ali vrstnim redom elementov ali sestavka.

Število nastanitev n. Elementi k. označuje in izračuna s formulo

(1.2)

kje n.! \u003d 1 × 2 × 3 × 4 × ... × n., 1! = 1, 0! = 1.

Primer 8. 10 ljudi sodeluje na tekmovanjih, tri od njih bodo vzeli 1, 2, 3. mesto. Koliko različnih možnosti obstaja?

Sklep. V tem primeru je pomemben postopek za distribucijo krajev. Število različnih možnosti je enako

Permutacijaod n. Elementi klicev n. Elementi n. Število permutacij je n. Elementi so označeni P N. in izračunajte formulo

(1.3)

Primer 9. Koliko načinov uredite 10 knjig na polici?

Sklep. Skupno število načinov dogovora je opredeljeno kot število permutacij (1.3) od 10 elementov in enake R. 10 = 10! = 3628 800.

2. Izbirna shema z nastankami

Če se pri izbiri k. Elementi n., postavke se vrnejo nazaj in racionalizirajo, pravijo nastanitev z razlogi .

Število umestitev s ponovitvami: \\ t

Primer 11. Hotel ima 10 sob, od katerih vsaka lahko sprejme štiri osebe. Koliko možnosti nastanitve so prispeli štirje gosti?

Sklep. Vsak naslednji gost iz 4 se lahko postavi v katero koli od 10 sob, kot je idealizirana izkušnja, zato je skupno število nastanitev, s formulo ponovitev (1.5), enaka

Če se pri izbiri k. Elementi n. Postavke se vrnejo brez poznejšega naročanja, pravijo združuje z zamenjavami. Število kombinacij s ponovitvami n. Elementi k. ODLOČENA:

Primer 12. Trgovina prodaja 10 vrst peciva. Drugi kupec je potrkal na tri torto. Glede na to, da je vsak niz izdelkov enak, določite število možnih naročil.

Sklep. Število enakih naročil s formulo (1,6) je enako