Tako imenovani sistem linearnih enačb. Sistemi linearnih enačb: osnovni pojmi
- Sistemi m linearne enačbe z n neznano.
Reševanje sistema linearnih enačb Ali je tak niz številk ( x 1, x 2, ..., x n), ko se nadomesti v vsako od enačb sistema, se dobi pravilna enakost.
kje a ij, i = 1, ..., m; j = 1,…, n- sistemski koeficienti;
b i, i = 1, ..., m- brezplačni člani;
x j, j = 1, ..., n- neznano.
Zgornji sistem lahko zapišemo v matrični obliki: A X = B,
kje ( A|B) Je glavna matrika sistema;
A- razširjena sistemska matrika;
X- stolpec neznanih;
B- stolpec brezplačnih članov.
Če matrika B ni ničelna matrika ∅, potem se ta sistem linearnih enačb imenuje nehomogen.
Če matrika B= ∅, potem se ta sistem linearnih enačb imenuje homogen. Homogen sistem ima vedno ničelno (trivialno) rešitev: x 1 = x 2 = ..., x n = 0.
Skupni sistem linearnih enačb Je sistem linearnih enačb, ki ima rešitev.
Neskladen sistem linearnih enačb Je sistem linearnih enačb, ki nima rešitve.
Določen sistem linearnih enačb Je sistem linearnih enačb, ki ima edinstveno rešitev.
Nedoločen sistem linearnih enačb Je sistem linearnih enačb, ki ima neskončen nabor rešitev. - Sistemi n linearnih enačb z n neznankami
Če je število neznank enako številu enačb, je matrika kvadratna. Determinanta matrice se imenuje glavna determinanta sistema linearnih enačb in je označena s simbolom Δ.
Cramerjeva metoda za reševanje sistemov n linearne enačbe z n neznano.
Cramerjevo pravilo.
Če glavna determinanta sistema linearnih enačb ni enaka nič, je sistem dosleden in definiran, edina rešitev pa je izračunana po Cramerjevih formulah:
kjer Δ i - determinante, pridobljene iz glavne determinante sistema Δ z zamenjavo jaz th stolpec na stolpec prostega člana. ... - Sistemi m linearnih enačb z n neznankami
Kronecker-Capellijev izrek.
Da bi bil določen sistem linearnih enačb skladen, je potrebno in zadostuje, da je rang matrike sistema enak uvrstitvi razširjene matrike sistema, zazvonilo (Α) = zazvonilo (Α | B).
Če rang (Α) ≠ rang (Α | B), potem sistem zagotovo nima rešitev.
Če zazvonilo (Α) = zazvonilo (Α | B), potem sta možna dva primera:
1) pozvonilo (Α) = n(na število neznanih) - rešitev je edinstvena in jo je mogoče dobiti po Cramerjevih formulah;
2) pozvonilo (Α)< n - rešitev je neskončno veliko. - Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih enačb
Sestavimo razširjeno matriko ( A|B) določenega sistema koeficientov na neznani in desni strani.
Gaussova metoda ali metoda odpravljanja neznank je sestavljena iz zmanjšanja razširjene matrike ( A|B) s pomočjo osnovnih transformacij po svojih vrstah v diagonalno obliko (v zgornjo trikotno obliko). Če se vrnemo k sistemu enačb, se določijo vse neznane.
Elementarne transformacije nad nizi vključujejo naslednje:
1) zamenjava dveh vrstic;
2) množenje niza s številom, ki ni 0;
3) dodajanje nizu drugega niza, pomnoženega s poljubno številko;
4) metanje ničelnega niza.
Razširjena matrika, reducirana v diagonalno obliko, ustreza linearnemu sistemu, ki je enakovreden danemu, njegova rešitev pa ne povzroča težav. ... - Sistem homogenih linearnih enačb.
Enotni sistem izgleda tako:
ustreza matrični enačbi A X = 0.
1) Homogen sistem je vedno združljiv, saj r (A) = r (A | B), vedno obstaja ničelna rešitev (0, 0,…, 0).
2) Da ima homogeni sistem raztopino, ki ni enaka nič, je to potrebno in zadostuje r = r (A)< n , kar je enakovredno Δ = 0.
3) Če r< n , nato namerno Δ = 0, nato pa nastanejo proste neznanke c 1, c 2, ..., c n-r, sistem ima netrivialne rešitve in teh je neskončno veliko.
4) Splošna rešitev X ob r< n lahko v matrični obliki zapišemo na naslednji način:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
kje so rešitve X 1, X 2, ..., X n-r tvorijo temeljni sistem odločanja.
5) Temeljni sistem rešitev lahko dobimo iz splošne rešitve homogenega sistema:
,
če se vrednosti parametrov zaporedno štejejo za (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0),…, (0, 0,…, 1).
Razgradnja splošne rešitve v smislu temeljnega sistema rešitev Je zapis splošne rešitve v obliki linearne kombinacije rešitev, ki pripadajo temeljnemu sistemu.
Izrek... Za linearni sistem homogene enačbe ima raztopino, ki ni enaka nič, je potrebno in zadostuje, da je Δ ≠ 0.
Torej, če je determinanta Δ ≠ 0, potem ima sistem edinstveno rešitev.
Če je Δ ≠ 0, ima sistem linearnih homogenih enačb neskončen niz rešitev.
Izrek... Da ima homogeni sistem raztopino, ki ni enaka nič, je to potrebno in zadostuje r (A)< n .
Dokaz:
1) r ne more biti več n(uvrstitev matrike ne presega števila stolpcev ali vrstic);
2) r< n od če r = n, potem je glavna determinanta sistema Δ ≠ 0 in po Cramerjevih formulah obstaja edinstvena trivialna rešitev x 1 = x 2 = ... = x n = 0, kar je v nasprotju s pogojem. Pomeni, r (A)< n .
Posledica... Za homogen sistem n linearne enačbe z n neznan ima rešitev, ki ni enaka nič, je potrebno in zadostuje, da je Δ = 0.
Mnoge praktične naloge se nanašajo na reševanje sistemov algebrske enačbe 1. stopnje ali, kot se običajno imenujejo, sistemi linearnih enačb. Naučili se bomo, kako rešiti vse take sisteme, ne da bi sploh zahtevali, da število enačb sovpada s številom neznank.
Na splošno je sistem linearnih enačb zapisan na naslednji način:
Tukaj so številke a ij– kvote sistemi, b i – brezplačni člani, x i- simboli neznano ... Zelo priročno je vnesti matrični zapis: - glavni matrika sistema, - matrični stolpec prostih članov, - matrični stolpec neznanih. Nato lahko sistem zapišemo na naslednji način: AX=B ali podrobneje:
Če na levi strani te enakosti izvedemo matrično množenje po običajnih pravilih in elemente nastalega stolpca enačimo z elementi V, potem pridemo do prvotnega zapisa sistema.
Primer 14... Isti sistem linearnih enačb zapišemo z dvema različne poti:
Običajno se imenuje sistem linearnih enačb sklep če ima vsaj eno rešitev in nedosledno če ni rešitev
V našem primeru je sistem združljiv, stolpec je njegova rešitev:
To rešitev lahko zapišemo brez matrik: x=2, y=1 ... Imenuje se sistem enačb nedoločeno če ima več rešitev, in gotovo če je rešitev edinstvena.
Primer 15... Sistem je nedefiniran. So na primer njene rešitve. Bralec lahko najde številne druge rešitve tega sistema.
Naučimo se najprej rešiti sisteme linearnih enačb v določenem primeru. Sistem enačb OH=V bom poklical Kramerjeva , če je njegova glavna matrika A- kvadratne in nedegenerirane. Z drugimi besedami, v Kramerjevem sistemu število neznank sovpada s številom enačb in.
Izrek 6. (Cramerjevo pravilo). Kramerov sistem linearnih enačb ima edinstveno rešitev s formulami:
kjer je determinanta glavne matrice, je determinanta, pridobljena iz D zamenjavo jaz-Th stolpec za stolpcem prostih članov.
Komentiraj. Cramerjeve sisteme je mogoče rešiti na drug način z uporabo inverzne matrike. Zapišemo tak sistem v matrični obliki: AX=V... Od takrat obstaja obratna matrika A –1 ... Enakost matrice pomnožimo z A –1 levo: A –1 OH=A –1 V... Ker A –1 OH=EX=NS, potem se najde rešitev sistema: NS= A –1 V Ta rešitev se bo imenovala matrika ... Še enkrat poudarjamo, da je primeren samo za sisteme Cramér - v drugih primerih obratna matrika ne obstaja. Primeri razstavljenih aplikacij matrična metoda in Cramerjevo metodo, ki jo bo bralec našel spodaj.
Na koncu preučimo še splošni primer - sistem m linearne enačbe z n neznano. Če ga želite rešiti, se prijavite Gaussova metoda , ki ga bomo podrobno obravnavali.Za poljubni sistem enačb OH=V izpišite razširjeno matrika. Običajno se temu reče matrika, ki se izkaže, če je glavna matrika A na desni dodajte stolpec brezplačnih članov V:
Tako kot pri izračunu ranga bomo z uporabo osnovnih transformacij vrstic in permutacij stolpcev matriko zmanjšali na trapezno obliko. V tem primeru se bo seveda sistem enačb, ki ustreza matriki, spremenil, vendar bo enakovredno original (ᴛ.ᴇ. bo imel enake rešitve). Dejansko prerazporeditev ali dodajanje enačb ne bo spremenilo rešitev. Tudi preurejanje stolpcev: enačbe x 1+3x 2+7x 3=4 in x 1+7x 3+3x 2=4, seveda so enakovredne. Zapisati je treba le, kateri neznanki podani stolpec ustreza. Stolpec prostih članov ni preurejen - običajno je ločen od drugih s črtkano črto v matriki. Ničelne črte, ki se pojavljajo v matrici, je mogoče izpustiti.
Primer 1... Rešite sistem enačb:
Rešitev. Izpišemo razširjeno matrico in jo reduciramo v trapezno obliko. Podpiši ~ zdaj ne bo pomenilo le naključja rangov, ampak tudi enakovrednost ustreznih sistemov enačb.
~. Pojasnimo sprejete korake.
Korak 1... 1. vrstico smo dodali v drugo vrstico in jo pomnožili s (–2). 1. in 4. vrstica sta bili dodani v 3. in 4. vrstico, pomnoženi s (–3). Namen teh operacij je dobiti ničle v prvem stolpcu pod glavno diagonalo.
2. korak. Ker je bilo na diagonalnem mestu (2.2) 0 , Moral sem preurediti 2. in 3. stolpec. Da bi se spomnili te permutacije, smo na vrh zapisali zapis neznanih.
3. korak. K 3. vrstica je dodala drugo, pomnožila z (–2). 2. vrstica je bila dodana v 4. vrstico. Cilj je dobiti ničle v drugem stolpcu pod glavno diagonalo.
4. korak. Ničelne črte je mogoče odstraniti.
Tako je matrika reducirana v trapezno obliko. Njen čin r=2 ... Neznano x 1, x 3- osnovno; x 2, x 4- prost. Prostim neznanim dodelimo poljubne vrednosti:
x 2= a, x 4= b.
Tukaj a, b lahko so poljubne številke. Zdaj od zadnje enačbe novega sistema
x 3+x 4= –3
najti x 3: x 3= –3 –b. Vzpon od prve enačbe
x 1+3x 3+2x 2+4x 4= 5
najti x 1: x 1=5 –3(–3 –b)–2a–4b= 14 –2a–b.
Zapišemo splošno rešitev:
x 1=14 –2a–b, x 2=a, x 3=–3 –b, x 4=b.
Splošno rešitev lahko napišete v obliki stolpca matrike:
Pri določenih vrednostih a in b, lahko dobiš zasebno rešitve. Na primer, kdaj a=0, b=1 dobimo: - eno od rešitev sistema.
Opombe. V algoritmu Gaussove metode smo videli (primer 1), da je nedoslednost sistema enačb posledica neusklajenosti vrst glavne in razširjene matrike. Brez dokazov predstavljamo naslednji pomemben izrek.
Izrek 7 (Kronecker - Capelli). Sistem linearnih enačb je skladen takrat in samo, če je rang glavne matrike enak rang razširjene matrice sistema.
Sistemi linearnih enačb - pojem in vrste. Razvrstitev in značilnosti kategorije "Sistemi linearnih enačb" 2017, 2018.
Tako da so njegove vrstice (ali stolpci) linearno odvisne. Naj bo dan sistem, ki vsebuje m linearnih enačb z n neznankami: 5.1. Uvedimo naslednji zapis. 5.2., - matrika sistema - njegova razširjena matrika. - stolpec brezplačnih članov. - stolpec neznanih. Če ....
nelinearna optimizacija (NNO) in obratno. Izjava problema ZNO: Poiščite (8.1) minimum ali maksimum v neki domeni D. Kot se spomnimo iz Mat. pri analizi je treba delne derivate enačiti z ničlo. Tako je bil ZNO (8.1) reduciran na SNE (8.2) (8.2) n nelinearnih enačb. ....
Predavanje 15 Razmislite o nehomogenem sistemu (16) Če so ustrezni koeficienti homogenega sistema (7) enaki ustreznim koeficientom nehomogenega sistema (16), se homogeni sistem (7) imenuje ustrezen nehomogen sistem (16) . Izrek. Če ... [preberi več].
7.1 Homogeni sistemi linearnih enačb. Naj bo podan homogen sistem linearnih enačb (*) Predpostavimo, da je niz številk neka rešitev tega sistema. Potem je tudi niz številk rešitev. To se preveri z neposredno zamenjavo v enačbe sistema .....
Tabela 3 Faze motoričnega razvoja otroka Stadij Starostni kazalniki motoričnega razvoja trenutek rojstva do 4 mesece Oblikovanje nadzora nad položajem glave in možnostjo njene proste orientacije v prostoru 4-6 mesecev obvladovanje začetne ...
Opredelitev 1. Sistem linearnih enačb oblike (1), kjer se polje imenuje sistem m linearnih enačb z n neznankami nad poljem, so koeficienti neznank, so prosti izrazi sistema ( 1). Definicija 2: Urejena n-ka (), kjer se imenuje rešitev sistema linearnih ....
Sistemi linearnih enačb. Predavanje 6.
Sistemi linearnih enačb.
Osnovni pojmi.
Ogled sistema
poklical sistem - linearne enačbe z neznankami.
Kličejo se številke ,, sistemski koeficienti.
Številke so poklicane prosti člani sistema, – sistemske spremenljivke... Matrica
poklical glavna matrika sistema in matriko
– matrični razširjeni sistem... Matrice - stolpci
In temu primerno matrike prostih članov in neznank sistema... Nato lahko sistem enačb v matrični obliki zapišemo v obliki. Sistemska rešitev se imenujejo vrednosti spremenljivk, ko se vse enačbe sistema spremenijo v prave numerične enakosti. Vsako rešitev sistema lahko predstavimo v obliki matrice - stolpca. Potem velja matrična enakost.
Sistem enačb se imenuje sklepče ima vsaj eno rešitev in nedoslednoče nima rešitve.
Rešiti sistem linearnih enačb pomeni ugotoviti, ali je združljiv, in v primeru združljivosti poiskati njegovo splošno rešitev.
Sistem se imenuje homogenoče so vsi njeni prosti člani enaki nič. Homogen sistem je vedno združljiv, saj ima rešitev
Kronecker - Copellijev izrek.
Odgovor na vprašanje obstoja rešitev linearnih sistemov in njihove edinstvenosti nam omogoča, da dobimo naslednji rezultat, ki ga lahko formuliramo v obliki naslednjih izjav o sistemu linearnih enačb z neznankami
(1)
Izrek 2... Sistem linearnih enačb (1) je skladen takrat in samo, če je rang glavne matrice enak rangu razširjene (.
Izreka 3... Če je rang glavne matrice skupnega sistema linearnih enačb enak številu neznank, potem ima sistem edinstveno rešitev.
Izrek 4... Če je rang glavne matrice združljivega sistema manjši od števila neznank, potem ima sistem neskončen nabor rešitev.
Pravila sistemske rešitve.
3. Poiščite izraz glavnih spremenljivk v smislu prostih in dobite splošno rešitev sistema.
4. Z dajanjem poljubnih vrednosti prostim spremenljivkam dobimo vse vrednosti glavnih spremenljivk.
Metode reševanja sistemov linearnih enačb.
Metoda obratne matrice.
poleg tega ima sistem edinstveno rešitev. Zapišemo sistem v matrični obliki
kje 
,
,
.
Z matrico pomnožimo obe strani matrične enačbe na levi
Ker potem dobimo, od koder dobimo enakost pri iskanju neznank
Primer 27. Z metodo inverzne matrike rešite sistem linearnih enačb 
Rešitev. Označimo z glavno matrico sistema
.
Naj potem rešitev najdemo po formuli.
Izračunajmo.
Od takrat ima sistem edinstveno rešitev. Poiščite vsa algebrska dopolnila
,
,
,
,
,
,
,
,
Tako
.
Preverimo
.
Inverzna matrika je bila pravilno najdena. Od tu po formuli poiščemo matriko spremenljivk.
.
Če primerjamo vrednosti matrik, dobimo odgovor:.
Cramerjeva metoda.
Naj bo podan sistem linearnih enačb z neznankami
poleg tega ima sistem edinstveno rešitev. Zapišemo rešitev sistema v matrično obliko oz
Označujemo
. . . . . . . . . . . . . . ,
Tako dobimo formule za iskanje vrednosti neznank, ki se imenujejo Cramerjeve formule.
Primer 28. Naslednji sistem linearnih enačb rešite po Cramerjevi metodi 
.
Rešitev. Poiščimo determinanto glavne matrice sistema
.
Od takrat ima sistem eno samo rešitev.
Poiščimo preostale determinante za Cramerjeve formule
,
,
.
S Cramerjevimi formulami poiščemo vrednosti spremenljivk
Gaussova metoda.
Metoda je sestavljena iz zaporednega odpravljanja spremenljivk.
Naj bo podan sistem linearnih enačb z neznankami.
Gaussov postopek reševanja je sestavljen iz dveh stopenj:
Na prvi stopnji se razširjena matrika sistema z uporabo osnovnih transformacij zmanjša v postopoma obliko
,
kje, kateremu sistem ustreza
Po tem spremenljivke 
štejejo za proste in se v vsaki enačbi prenesejo na desno stran.
Na drugi stopnji se iz zadnje enačbe izrazi spremenljivka, nastala vrednost pa se nadomesti v enačbo. Iz te enačbe
spremenljivka je izražena. Ta postopek se nadaljuje do prve enačbe. Rezultat je izraz glavnih spremenljivk v smislu prostih spremenljivk 
.
Primer 29. Naslednji sistem rešite po Gaussovi metodi
Rešitev. Izpišemo razširjeno matriko sistema in jo reduciramo v stopničasto obliko
.
Ker 
več kot število neznank, potem je sistem dosleden in ima neskončen nabor rešitev. Zapišemo sistem za stopničasto matriko
Določilnica razširjene matrike tega sistema, sestavljena iz prvih treh stolpcev, ni enaka nič, zato velja za osnovno. Spremenljivke
Ti bodo osnovni, spremenljivka pa brezplačna. V vseh enačbah ga prenesemo na levo stran
Iz zadnje enačbe izrazimo
Če to vrednost nadomestimo v predzadnji drugi enačbi, dobimo
kje 
... Če nadomestimo vrednosti spremenljivk v prvo enačbo, ugotovimo 
... Odgovor zapišemo v naslednjo obliko
Sistemi enačb se v ekonomski industriji pogosto uporabljajo pri matematičnem modeliranju različnih procesov. Na primer pri reševanju problemov upravljanja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (transportni problem) ali postavitve opreme.
Sistemi enačb se ne uporabljajo le na področju matematike, ampak tudi v fiziki, kemiji in biologiji, pri reševanju problemov ugotavljanja velikosti prebivalstva.
Sistem linearnih enačb se imenuje dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je treba najti splošno rešitev. Takšno zaporedje števil, pri katerem vse enačbe postanejo resnične enačbe ali dokažejo, da zaporedje ne obstaja.
Linearna enačba
Enačbe oblike ax + by = c imenujemo linearne. Zapis x, y je neznan, katerega vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti člen enačbe.
Rešitev enačbe z izrisom njenega grafa bo imela obliko ravne črte, katere vse točke so rešitev polinoma.
Vrste sistemov linearnih enačb
Najpreprostejši primeri veljajo za sisteme linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.
F1 (x, y) = 0 in F2 (x, y) = 0, kjer so F1,2 funkcije in (x, y) funkcijske spremenljivke.
Rešite sistem enačb - to pomeni najti take vrednosti (x, y), pri katerih se sistem spremeni v pravo enakost, ali ugotoviti, da za x in y ni ustreznih vrednosti.
Par vrednosti (x, y), zapisanih kot koordinate točke, imenujemo rešitev sistema linearnih enačb.
Če imajo sistemi eno skupno rešitev ali rešitev ne obstaja, se imenujejo enakovredni.
Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi, katerih desna stran je enaka nič. Če ima desni del za znakom "enako" vrednost ali je izražen s funkcijo, je tak sistem heterogen.
Število spremenljivk je lahko veliko več kot dve, potem bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi ali več spremenljivkami.
Ko se soočajo s sistemi, šolarji domnevajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznank, vendar temu ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk; lahko jih je kolikor želite.
Preproste in zapletene metode za reševanje sistemov enačb
Splošne analitične metode za reševanje takšnih sistemov ni, vse metode temeljijo na numerične rešitve... V šolski tečaj matematiki podrobno opišejo takšne metode, kot so permutacija, algebrski seštevek, substitucija, pa tudi grafična in matrična metoda, rešitev po Gaussovi metodi.
Glavna naloga poučevanja metod rešitev je naučiti, kako pravilno analizirati sistem in poiskati optimalen algoritem rešitve za vsak primer. Glavna stvar ni zapomniti si sistema pravil in dejanj za vsako metodo, ampak razumeti načela uporabe določene metode
Rešitev primerov sistemov linearnih enačb 7. razreda programa osnovno šolo precej preprosto in zelo podrobno razloženo. V vsakem učbeniku o matematiki je temu poglavju namenjeno dovolj pozornosti. Rešitev primerov sistemov linearnih enačb po Gaussovi in Cramerjevi metodi je podrobneje raziskana v prvih letih visokošolskih zavodov.
Rešitev sistemov z nadomestno metodo
Dejanja nadomestne metode so namenjena izražanju vrednosti ene spremenljivke skozi drugo. Izraz se nadomesti v preostalo enačbo, nato pa se zmanjša v obliko z eno spremenljivko. Dejanje se ponovi glede na število neznank v sistemu
Podajmo rešitev primera sistema linearnih enačb 7. razreda z metodo substitucije:
Kot lahko vidite iz primera, je bila spremenljivka x izražena z F (X) = 7 + Y. Nastali izraz, nadomeščen v 2. enačbo sistema namesto X, je pomagal pridobiti eno spremenljivko Y v 2. enačbi . Rešitev ta primer ne povzroča težav in vam omogoča, da dobite vrednost Y. Zadnji korak je preverjanje pridobljenih vrednosti.
Primer sistema linearnih enačb ni vedno mogoče rešiti s substitucijo. Enačbe so lahko zapletene in izraz spremenljivke v smislu druge neznane bo preveč okoren za nadaljnje izračune. Kadar so v sistemu več kot 3 neznane, je tudi rešitev s substitucijo nepraktična.
Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:
Algebrska rešitev za seštevanje
Pri iskanju rešitve sistemov z metodo seštevanja se izvede terminsko seštevanje in množenje enačb z različnimi številkami. Končni cilj matematičnih operacij je enačba v eni spremenljivki.
Ta metoda zahteva prakso in opazovanje. Reševanja sistema linearnih enačb z metodo seštevanja s številom spremenljivk 3 ali več ni enostavno. Algebrski seštevek je uporaben, če so v enačbah prisotni ulomki in decimalna števila.
Algoritem ukrepov za rešitev:
- Pomnožite obe strani enačbe z nekim številom. Zaradi aritmetične operacije mora biti eden od koeficientov spremenljivke enak 1.
- Nastali izraz izraz dodajte po izrazu in poiščite eno od neznank.
- Dobljeno vrednost nadomestite v 2. enačbi sistema, da poiščete preostalo spremenljivko.
Rešitev z uvedbo nove spremenljivke
Novo spremenljivko je mogoče uvesti, če mora sistem najti rešitev za največ dve enačbi, število neznank pa ne sme biti večje od dveh.
Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z vnosom nove spremenljivke. Nova enačba se reši glede na vneseno neznano, dobljena vrednost pa se uporabi za določitev izvirne spremenljivke.
Primer kaže, da je bilo mogoče z uvedbo nove spremenljivke t 1. enačbo sistema zmanjšati na standardni kvadratni trinom. Polinom lahko rešite tako, da poiščete diskriminator.
Vrednost diskriminanta je treba najti po dobro znani formuli: D = b2 - 4 * a * c, kjer je D iskani diskriminator, b, a, c faktorji polinoma. V danem primeru a = 1, b = 16, c = 39, zato je D = 100. Če je diskriminator večji od nič, obstajata dve rešitvi: t = -b ± √D / 2 * a, če je diskriminator manjši od nič, potem obstaja ena rešitev: x = -b / 2 * a.
Rešitev za nastale sisteme najdemo z metodo dodajanja.
Vizualna metoda za reševanje sistemov
Primerno za sisteme s 3 enačbami. Metoda je sestavljena iz narisanja grafov vsake enačbe, vključene v sistem, na koordinatno os. Koordinate presečišč krivulj in bodo skupna odločitev sistemov.
Grafična metoda ima številne nianse. Poglejmo si nekaj primerov reševanja sistemov linearnih enačb na vizualen način.
Kot lahko vidite iz primera, sta bili za vsako ravno črto zgrajeni dve točki, vrednosti spremenljivke x so bile izbrane poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x so bile ugotovljene vrednosti za y : 3 in 0. Točki s koordinatama (0, 3) in (3, 0) sta bili označeni na grafu in povezani s črto.
Korake je treba ponoviti za drugo enačbo. Presečišče črt je rešitev sistema.
V naslednjem primeru morate poiskati grafično rešitev sistema linearnih enačb: 0,5x-y + 2 = 0 in 0,5x-y-1 = 0.
Kot lahko vidite iz primera, sistem nima rešitve, ker so grafi vzporedni in se ne sekajo po celotni dolžini.
Sistema iz primerov 2 in 3 sta si podobna, toda pri gradnji postane očitno, da so njihove rešitve različne. Ne smemo pozabiti, da ni vedno mogoče ugotoviti, ali ima sistem rešitev ali ne, vedno je treba zgraditi graf.
Matrica in njene sorte
Matrice se uporabljajo za jedrnato pisanje sistema linearnih enačb. Matrica je tabela posebne vrste, napolnjena s številkami. n * m ima n vrstic in m stolpcev.
Matrika je kvadratna, če je število stolpcev in vrstic med seboj enako. Vektorska matrika je matrika z enim stolpcem z neskončnim številom vrstic. Matriko z enotami vzdolž ene od diagonal in drugih ničelnih elementov imenujemo matrika identitete.
Inverzna matrika je takšna matrika, če se pomnoži s tem, da se prvotna spremeni v identitetno matriko, taka matrika obstaja le za prvotno kvadratno.
Pravila za pretvorbo sistema enačb v matriko
Kar zadeva sisteme enačb, so koeficienti in prosti izrazi enačb zapisani kot številke matrike, ena enačba je ena vrstica matrike.
Vrstica matrike se imenuje nič, če je vsaj en element vrstice različen od nič. Če se torej v kateri od enačb število spremenljivk razlikuje, je treba namesto manjkajoče neznane napisati nič.
Stolpci matrice se morajo strogo ujemati s spremenljivkami. To pomeni, da je mogoče koeficiente spremenljivke x zapisati samo v en stolpec, na primer v prvi, koeficient neznanega y - le v drugi.
Pri množenju matrike se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številom.
Variante iskanja inverzne matrike
Formula za iskanje inverzne matrike je precej preprosta: K -1 = 1 / | K |, kjer je K -1 inverzna matrika in | K | je determinanta matrike. | K | ne sme biti nič, potem ima sistem rešitev.
Determinanta se zlahka izračuna za matriko dva po dva; le elemente na diagonali morate pomnožiti drug z drugim. Za možnost "tri po tri" obstaja formula | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Uporabite lahko formulo ali pa se spomnite, da morate iz vsake vrstice in vsakega stolpca vzeti en element, da se število stolpcev in vrstic elementov ne ponovi v izdelku.
Rešitev primerov sistemov linearnih enačb z matrično metodo
Matrična metoda iskanja rešitve omogoča zmanjšanje okornih zapisov pri reševanju sistemov z velikim številom spremenljivk in enačb.
V primeru so nm koeficienti enačb, matrika je vektor x n so spremenljivke in b n so prosti izrazi.
Gaussova rešitev sistemov
V višji matematiki se Gaussova metoda preučuje skupaj z Cramerjevo metodo, postopek iskanja rešitve sistemov pa se imenuje Gauss-Cramerjeva metoda. Te metode se uporabljajo za iskanje spremenljivih sistemov z velikim številom linearnih enačb.
Gaussova metoda je zelo podobna nadomestnim in algebrskim adicijskim rešitvam, vendar bolj sistematična. V šolskem tečaju se Gaussova rešitev uporablja za sisteme 3 in 4 enačb. Cilj metode je narediti sistem podoben obrnjenemu trapezu. Vrednost ene spremenljivke v eni od enačb sistema najdemo z algebrskimi transformacijami in zamenjavami. Druga enačba je izraz z 2 neznankama, vendar 3 oziroma 4 - s 3 in 4 spremenljivkami.
Ko sistem pripeljemo v opisano obliko, se nadaljnja rešitev zmanjša na zaporedno nadomeščanje znanih spremenljivk v enačbe sistema.
V šolskih učbenikih za 7. razred je primer rešitve po Gaussovi metodi opisan na naslednji način:
Kot lahko vidite iz primera, sta bili v koraku (3) pridobljeni dve enačbi: 3x 3 -2x 4 = 11 in 3x 3 + 2x 4 = 7. Rešitev katere koli enačbe vam bo omogočila, da ugotovite eno od spremenljivk x n.
Izrek 5, omenjen v besedilu, pravi, da če bo ena od enačb sistema zamenjana z enakovredno, bo tudi nastali sistem enakovreden prvotnemu.
Srednješolci Gaussovo metodo težko zaznajo, je pa eden najzanimivejših načinov za razvoj inteligence otrok, vključenih v program. poglobljeno študijo pri pouku matematike in fizike.
Zaradi poenostavitve snemanja izračunov je običajno narediti naslednje:
Koeficienti enačb in prosti izrazi so zapisani v obliki matrike, kjer je vsaka vrstica matrike povezana z eno od enačb sistema. ločuje levo stran enačbe od desne strani. Rimske številke označujejo število enačb v sistemu.
Najprej zapišejo matriko, s katero bodo delali, nato pa vsa dejanja, izvedena z eno od vrstic. Nastala matrika se zapiše za puščico in nadaljuje z potrebnimi algebrskimi dejanji, dokler rezultat ni dosežen.
Posledično je treba dobiti matriko, v kateri je ena od diagonal 1, vsi drugi koeficienti pa enaki nič, to pomeni, da je matrika zmanjšana v eno samo obliko. Ne pozabite izračunati številk na obeh straneh enačbe.
Ta način snemanja je manj okoren in vam omogoča, da vas ne moti naštevanje številnih neznank.
Brezplačna uporaba katere koli rešitve bo zahtevala nego in določene izkušnje. Vse metode niso uporabne narave. Nekateri načini iskanja rešitev so bolj zaželeni na določenem področju človekove dejavnosti, drugi pa obstajajo za izobraževalne namene.
Vaša zasebnost je za nas pomembna. Zato smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in hranimo vaše podatke. Preberite naš pravilnik o zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določene osebe ali stik z njo.
Kadar koli nas kontaktirate, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu pustite zahtevo, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da stopimo v stik z vami in poročamo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za notranje namene, na primer za opravljanje revizij, analizo podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam dali priporočila v zvezi z našimi storitvami.
- Če sodelujete v nagradni igri, natečaju ali podobnem promocijskem dogodku, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje podatkov tretjim osebam
Podatkov, ki smo jih prejeli od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Po potrebi - v skladu z zakonom, odredbo sodišča, v sodnih postopkih in / ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno iz varnostnih razlogov, kazenskega pregona ali drugih družbeno pomembnih razlogov.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko zbrane osebne podatke prenesemo na ustrezno tretjo osebo - pravno naslednico.
Varstvo osebnih podatkov
Sprejemamo varnostne ukrepe - vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi - za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Za zagotovitev varnosti vaših osebnih podatkov svojim zaposlenim približamo pravila zaupnosti in varnosti ter strogo spremljamo izvajanje ukrepov zaupnosti.