Kontinuirano naključno vrednost je določena s primeri gostote distribucije. Matematika in informatika

9. Neprekinjeno naključno vrednost, njene številske lastnosti

Z dvema funkcijama lahko nastavite neprekinjeno naključno spremenljivko. Integralna funkcija porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke X imenovana funkcija, ki jo določa enakost
.

Integralna funkcija daje splošno Naloge za diskretne in kontinuirane naključne spremenljivke. V primeru neprekinjene naključne spremenljivke. Vsi dogodki: imajo enako verjetnost, ki je enaka povečanju integralne funkcije na tej vrzeli, t.j. Na primer, za diskretno naključno spremenljivko, določeno v primeru 26, imamo:

Tako je graf integralne funkcije delovanja, ki se obravnava kot kombinacija dveh žarkov in treh segmentov vzporedno z osi oh.

Primer 27.. Kontinuirano naključno X je nastavljena z integralno funkcijo razdelitve verjetnosti

Zgradite graf integralne funkcije in poiščite verjetnost, da bo naključna vrednost kot rezultat preskusa imela vrednost v intervalu (0,5; 1.5).

Sklep. V intervalu
Urnik je ravne y \u003d 0. na vrzeli od 0 do 2 - parabola, ki jo je dala enačba
. V intervalu
Urnik je naravnost y \u003d 1.

Verjetnost, da bo naključna spremenljivka X kot rezultat preskusa vzela vrednost v intervalu (0,5; 1.5), ki jo najdemo po formuli.

V to smer, .

Lastnosti integralne funkcije razdelitve verjetnosti:

Zakon o porazdelitvi kontinuirane naključne spremenljivke je primeren za nastavitev druge funkcije, in sicer, \\ t funkcije gostote verjetnosti
.

Verjetnost, da vrednost, ki jo jemlje naključna spremenljivka H, \u200b\u200bpade v interval
enakost
.

Graf funkcije se imenuje porazdelitev krivulje. Geometrično verjetnost dohodne naključne variance na vrzel je enaka območju ustreznega ukrivnih trapez, omejena krivulja distribucije, osi oh in naravnost
.

Lastnosti funkcije gostote verjetnosti:

9.1. Numerične značilnosti neprekinjenih naključnih spremenljivk

Pričakovana vrednost(srednja vrednost) neprekinjene naključne spremenljivke X je določena z enakostjo
.

M (x) označuje zvezek. Matematično pričakovanje kontinuirane naključne spremenljivke je podobno, kot tudi diskretna vrednost, lastnosti:

Dispersion.diskretna naključna spremenljivka se imenuje matematično pričakovanje kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od matematičnega pričakovanja, t.j. . Za neprekinjeno naključno spremenljivko je disperzija določena s formulo
.

Disperzija ima lastnosti:

Slednja lastnost je zelo priročna, da bi našla disperzijo neprekinjene naključne spremenljivke.

Uveden je tudi koncept povprečnega kvadratnega odstopanja. Srednje kvadratno odstopanje neprekinjeneganaključna spremenljivka se imenuje korenski trg od disperzije, t.j.
.

Primer 28.. Kontinuirni impulz X Nastavite funkcijo gostote verjetnosti
V intervalu (10; 12), iz tega intervala, je vrednost funkcije 0. Najdi 1) vrednost parametra ampak, 2) matematična pričakovanja M (x), disperzija
, povprečna kvadratna odstopanja, 3) integralna funkcija
in izgradnjo grafov integralnih in diferencialnih funkcij.

eno). Najti parameter zvezek Uporabljamo formulo
. Dobimo. V to smer,
.

2). Da bi našli matematično pričakovanje, uporabljamo formulo:, od koder sledi
.

Razpršenost bo najdena s formulo:
. .

Poiščite povprečno kvadratno odstopanje s formulo: kjer to dobimo
.

3). Integralna funkcija je izražena s funkcijo gostote verjetnosti, kot sledi:
. Zato,
za
, \u003d 0 Kdaj
in \u003d 1 na
.

Grafi teh funkcij so predstavljeni na sl. 4. in sl. pet.

Sl.4 Sl.5.

9.2. Enotna porazdelitev verjetnosti kontinuirane naključne spremenljivke

Porazdelitev verjetnosti nenehne naključne spremenljivke X enakomerno V intervalu, če je njena verjetnostna gostota konstantna v tem intervalu je nič zunaj tega intervala, t.j. . Enostavno dokazati, da je v tem primeru
.

Če je interval
V intervalu, nato
.

Primer 29. Dogodek, ki je sestavljen iz trenutnega signala, se mora pojaviti med uro in pet ur. Čas čakanja signala Na voljo je naključna količina X. Poiščite verjetnost, da bo signal posnet med dvema in tremi urami dneva.

Sklep. Naključna vrednost X ima enotno porazdelitev in z ugotovitvijo formule, ki jo je verjetnost, da bo signal med 2 in 3 ure dneva enak
.

V izobraževalni in drugi literaturi so pogosto označeni v literaturi
.

9.3. Normalna porazdelitev verjetnosti nenehne naključne spremenljivke

Porazdelitev verjetnosti kontinuirane naključne spremenljivke se imenuje normalna, če je njegova verjetnostna distribucijska zakonodaja določena z gostoto verjetnosti
. Za take vrednote zvezek - pričakovana vrednost,
- povprečno kvadratno odstopanje.

Teorem. Verjetnost, da se obrnete na običajno razdeljeno neprekinjeno naključno spremenljivko na določen interval
Določena s formulo
kje
- Laplace Funkcija.

Posledica tega teorema je pravilo treh Sigm, tj. To je praktično zanesljivo, da normalno porazdeljeno, neprekinjeno naključno vrednost x prevzame svoje vrednosti v intervalu
. To pravilo se izhaja iz formule
ki je poseben primer oblikovanega izreka.

Primer 30.TV TV je naključna količina X, podrejena z običajnim zakonom o distribuciji z garancijskim obdobjem 15 let in povprečno kvadratno odstopanje, ki je enako 3 leta. Poiščite možnost, da bo televizor delal od 10 do 20 let.

Sklep. Pod pogojem naloge matematičnega pričakovanja zvezek \u003d 15, povprečno kvadratno odstopanje.

Najti . Zato je verjetnost televizorja od 10 do 20 let več kot 0,9.

9.4. EUREET CHEBYSHEV

Pojavi lemma Chebyshev.. Če naključni znesek X sprejme samo ne-negativne vrednosti in ima matematično pričakovanje, potem za vse pozitivne v
.

Glede na to, da kot vsota verjetnosti nasprotnih dogodkov, to dobimo
.

Chebyshev Therem. Če ima naključna vrednost X končno disperzijo
in matematični čakanje m (x), potem za vse pozitivne pošteno neenakost
.

Od tega, kje sledi
.

Primer 31.Podrobnosti stranke. Povprečna vrednost dolžine dolžine je 100 cm, povprečno kvadratno odstopanje pa 0,4 cm. Oceniti iz verjetnosti, da bo dolžina udeležene hipoteke vsaj 99 cm. in ne več kot 101cm.

Sklep. Disperzija. Matematično pričakovanje je 100. Zato oceniti dno verjetnosti obravnavanega dogodka.
Nanesite neenakost Chebysheva, v kateri
, potem.
.

10. Elementi matematične statistike

Statistični agregatpokličite veliko homogenih predmetov ali pojavov. Številka str Elementi tega niza se imenujejo volumna celote. Opažene vrednosti Znak X. opcije. Če se možnosti nahajajo v povečanju zaporedja, nato prejete diskretne variacije. V primeru združevanja se pridobi možnost po intervalih interval variacijska serija. Spodaj t. frekvencavrednosti znakov razumejo število članov kombinacije s to možnostjo.

Razmerje med frekvenco do količine statistični agregat Pokliči relativna frekvenca Znak:
.

Razmerje med variantami variacij in njihovih frekvenc se imenujejo statistična porazdelitev vzorca. Grafični predstavitev statistične distribucije lahko služi polygon.frekvenca.

Primer 32.Z razmikom 25 študentov prvega leta so prejeli naslednje podatke o svoji starosti:
. Ustvarite statistično porazdelitev študentov po starosti, da bi našli obseg različnih, zgraditi frekvenčni poligon in pripraviti številne relativne frekvence.

Sklep. Uporaba podatkov, pridobljenih v anketi, bo statistična porazdelitev vzorčenja

Različni obseg vzorčenja je 23 - 17 \u003d 6. Za izgradnjo poligonske frekvence, gradnjo točk s koordinatami
In so dosledno povezani.

Območje relativne frekvence je:

10.1. Značilnosti serije variacij

Naj se vzorec nastavi število frekvenčnih porazdelitev znaka X:

Vsota vseh frekvenc je enaka str.

Srednji aritmetični vzorec Pokličite količino
.

Dispersion. ali merilo razprševanja vrednosti znaka X glede na njeno povprečno aritmetiko se imenuje velikost
. Povprečno kvadratno odstopanje se imenuje kvadratna koren iz disperzije, t.j. .

Razmerje med povprečnim kvadratskim odstopanjem povprečnega aritmetičnega vzorca, izraženo v odstotkih, se imenuje sprememba koeficienta:
.

Empirična funkcija distribucije relativnih frekvencglejte funkcijo, ki opredeljuje relativno frekvenco dogodka za vsako vrednost
.
kje - število manjše možnosti h., Ampak str - Vzorčenje.

Primer 33.Pod pogoji iz primera 32 najdete številske lastnosti
.

Sklep. Potem bomo našli povprečni aritmetični vzorec s formulo.

Razpršenost znaka X je s formulo :, i.e .. Povprečno odstopanje kvadratnega vzorca je
. Koeficient variacije je enak
.

10.2. Ocena verjetnosti relativne frekvence. Interval zaupanja

Izvesti str Neodvisni preskusi, od katerih je verjetnost videza dogodka stalna in enaka r.. V tem primeru je verjetnost, da se bo relativna frekvenca razlikovala od verjetnosti videza dogodka in v vsakem preskusu z absolutno vrednostjo, ki ni večja, je približno enaka dvojni vrednosti integralne funkcije Laplacea:
.

Interval ocenapokličite takšno oceno, ki jo določata dve številki, ki sta konci intervala, ki pokriva ocenjeni parameter statističnega agregata.

Zaupni interval. Poklical sem interval, ki je z določeno verjetnostjo zaupanja Pokriva ocenjeni parameter statističnega agregata. Glede na formulo, v kateri bo neznana vrednost zamenjana r. na njenem približnem pomenu V skladu z vzorčnimi podatki dobimo:
. Ta formula se uporablja za oceno verjetnosti relativne frekvence. Številke
in
Pokličite dno in na vrhu trust Borders.- Omejitev napake za to verjetnost zaupanja
.

Primer 34.. Delavnica tovarne proizvaja žarnice. Pri preverjanju 625 svetilk je bilo 40 okvarjenih. Poiščite verjetnost zaupanja 0,95 meje, v katerih je odstotek poročnih žarnic, ki jih proizvaja tovarniška delavnico.

Sklep. Pod pogojem naloge. Uporabljamo formulo
. Tabela 2 Aplikacije Ugotavljamo vrednost argumenta, ki je lahko vrednost integralne funkcije Laplacea 0,475. Dobimo to
. V to smer, . Zato se lahko reče z verjetnostjo 0,95, da je delež zakonske zveze, ki ga proizvaja delavnico, visoka, in sicer, se giblje v območju od 6,2% na 6,6%.

10.3. Ocena parametrov v statistiki

Naj kvantitativni znak celotne skupne celote (splošni agregat) ima normalno porazdelitev.

Če je znano povprečno kvadratsko odstopanje, interval zaupanja, ki zajema matematično pričakovanje zvezek

kje str - volumen vzorca, - selektivno povprečno aritmetiko, t. - argument integralne funkcije Laplacea, v katerem
. Ob istem času
Natančnost ocenjevanja klicev.

Če je povprečno kvadratsko odstopanje neznano, potem v skladu z vzorčnimi podatki lahko zgradite naključno vrednost, ki ima porazdelitev študenta str - 1 stopinj svobode, ki jo določa samo en parameter strin ni odvisna od neznanega zvezekin. Distribucija študentov tudi za majhne vzorce
Daje precej zadovoljive ocene. Potem zaupanja vredni interval, ki zajema matematično pričakovanje zvezek Ta funkcija z dano verjetnostjo zaupanja je iz pogoja

kjer je s popravljeno povprečno kvadratno, - koeficient študenta, se nahaja po
Iz aplikacij tabele 3.

Interval zaupanja, ki pokriva povprečno kvadratno odstopanje te funkcije z verjetnostjo zaupanja, je v formulah: in, kje
je na tabeli vrednot q. po navedbah .

10.4. Statistične metode za preučevanje odvisnosti od naključnih vrednosti

Korelacijska odvisnost od X se imenuje funkcionalna odvisnost pogojnega povprečja Od x. Enačba
predstavlja regresijsko enačbo x, in
- Regresijska enačba na W.

Korelacijska odvisnost je lahko linearna in ukrivljena. V primeru linearne odvisnosti korelacije je enačba neposredne regresijske linije obliko:
kjer je kovinski koeficient zvezekravna linija regresije Y na X se imenuje selektivni koeficient regresije v x in je označen
.

Z majhnimi vzorci podatki niso združeni, parametri
se nahajajo v skladu z metodo najmanjših kvadratov iz sistema običajnih enačb:

kje str - število opazovanj vrednosti parov medsebojno povezanih vrednosti.

Selektivni linearni korelacijski koeficient Prikazuje ton komunikacije U in X. Koeficient korelacije je na formuli
Poleg tega
, in sicer:

Selektivna enačba ravne linije regresije Y z X ima obliko:

Za velika številka Opažanja znakov X in Y narišejo korelacijsko tabelo z dvema vhodoma, z enako vrednostjo h. opazil Enkrat, enak pomen w. opazil Enkrat, isti par
opazil čas.

Primer 35. Dana Opazovanje znakov X in W.

Poiščite selektivno enačbo regresije ravne črte v H.

Sklep. Odnos med preučevanimi funkcijami se lahko izrazi z enačbo ravne regresije v X :. Za izračun koeficientov enačbe naredite izračunano tabelo:

Opazovalna številka.

Koncepti matematičnega pričakovanja M.(H.) in disperzijo D.(X.), uvedeno prej za diskretno naključno spremenljivko, se lahko razširi na neprekinjene naključne spremenljivke.

· Matematično pričakovanje M.(H.) Kontinuirana naključna spremenljivka je določena z enakostjo:

pod pogojem, da je ta integral konvergiral.

· Disperzija D.(X.) Kontinuirana naključna spremenljivka H. Enakost:

· Povprečno kvadratno odstopanjeσ( H.) kontinuirana naključna spremenljivka je določena z enakostjo:

Vse lastnosti matematičnih pričakovanj in disperzij, obravnavanih prej za diskretne naključne spremenljivke, veljajo za neprekinjeno.

Naloga 5.3.Naključna vrednost H. Opredeljena diferencialna funkcija f.(x.):

Najti M.(X.), D.(X.), σ( H.), tako dobro, kot Str.(1 < h.< 5).

Sklep:

M.(X.)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D.(X.)=

= = /

Str. 1 =

Naloge

5.1. H.

f.(x.), tako dobro, kot

R.(‒1/2 < H.< 1/2).

5.2. Neprekinjen naključni znesek H. Nastavite funkcijo distribucije:

Poiščite funkcijo diferencialne distribucije f.(x.), tako dobro, kot

R.(2π / 9< H.< π /2).

5.3. Neprekinjen naključni znesek H.

Najdi: a) število od; b) M.(H.), D.(X.).

5.4. Neprekinjen naključni znesek H. Gostota distribucije:

Najdi: a) število od; b) M.(H.), D.(X.).

5.5. H.:

Najti) F.(h.) in zgraditi urnik; b) M.(X.), D.(X.), σ( H.); c) verjetnost, da v štirih neodvisnih preskusih H. Določa točno 2-kratno vrednost, ki pripada intervalu (1; 4).

5.6. Gostota razdeljevanja verjetnosti kontinuirane naključne spremenljivke H.:

Najti) F.(h.) in zgraditi urnik; b) M.(X.), D.(X.), σ( H.); c) verjetnost, da v treh neodvisnih preskusih H. Določa točno 2-kratno vrednost, ki pripada segmentu.

5.7. Funkcija f.(h.) Naslednji:

od H.; b) Funkcija distribucije F.(x.).

5.8. Funkcija f.(x.) Naslednji:

Najdi: a) Konstantno vrednost odv kateri bo funkcija verjetnostna gostota neke naključne spremenljivke H.; b) Funkcija distribucije F.(x.).

5.9. Naključna vrednost H., osredotočena na interval (3; 7), ki je nastavljena z distribucijsko funkcijo F.(h.)= H. Vzemite vrednost: a) manj kot 5, b) najmanj 7.

5.10. Naključna vrednost H.Osredotočen na interval (-1; 4), je nastavljena z distribucijsko funkcijo F.(h.)= . Poiščite verjetnost, da je naključna vrednost H. Vzemite vrednost: a) manj kot 2, b) manj kot 4.

5.11.

Najdi: a) število od; b) M.(H.); c) verjetnost R.(X\u003e M.(H.)).

5.12. Naključna vrednost je določena z diferencialno distribucijsko funkcijo:

Najti) M.(H.); b) verjetnost R.(X ≤ M.(H.)).

5.13. Porazdelitev vloge je opredeljena z gostoto verjetnosti:

Dokaži to f.(x.) Dejansko je gostota porazdelitve verjetnosti.

5.14. Gostota razdeljevanja verjetnosti kontinuirane naključne spremenljivke H.:

Poišči številke od.

5.15. Naključna vrednost H. Porazdeljena v skladu z zakonodajo Simpsona (uravnotežen trikotnik) na segmentu [-2; 2] (Sl. 5.4). Poiščite analitični izraz za gostoto verjetnosti f.(x.) Na celotni številski osi.

Sl. 5.4 Sl. 5.5.

5.16. Naključna vrednost H. porazdeljeno z zakonom " pravokotni trikotnik"V intervalu (0; 4) (Sl. 5.5). Poiščite analitični izraz za gostoto verjetnosti f.(x.) Na celotni številski osi.

Odgovori

Str. (-1/2<X.<1/2)=2/3.

Str. (2π / 9<H.< π /2)=1/2.

5.3. vendar) od \u003d 1/6, b) M.(H.) \u003d 3, c) D.(X.)=26/81.

5.4. vendar) od\u003d 3/2, b) M.(H.) \u003d 3/5, c) D.(X.)=12/175.

b) M.(X.)= 3 , D.(X.)= 2/9, σ ( H.)= /3.

b) M.(X.)=2 , D.(X.)= 3, σ ( H.)= 1,893.

5.7. a) c \u003d; b)

5.8. vendar) od \u003d 1/2; b)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; b) 1.

5.11. vendar) od\u003d 2; b) M.(H.)= 2; v 1- ln. 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. vendar) M.(H.)= π / 2; b) 1/2.

Poglavje 6. Neprekinjene naključne spremenljivke.

§ 1. Gostota in funkcija porazdelitve kontinuirane naključne spremenljivke.

Po množici neprekinjenih naključnih vrednosti kontinuirane naključne spremenljivke je neskončno in je običajno določen interval končnega ali neskončnega.

Naključna vrednost X (W), določena v verjetnem prostoru (W, S, P) se imenuje neprekinjeno (Absolutno neprekinjeno) W Če obstaja nenečna funkcija, tako da je s katero koli funkcijo X funkcija FX (X) lahko zastopa kot integral

Funkcija se imenuje funkcija gostota razdeljevanja verjetnosti.

Lastnosti funkcije gostote distribucije iz definicije:

1..gif "širina \u003d" 97 "višina \u003d" 51 "\u003e

3. V kontinuitnih točkah je gostota distribucije enaka derivatu za distribucijo :. \\ T

4. Gostota distribucije določa zakon porazdelitve naključne vrednosti, saj določa verjetnost naključne spremenljivke v interval: \\ t

5. Tekmovost je, da bo stalna naključna vrednost določena vrednost enaka nič :. \\ T Zato veljajo naslednje enačbe:

Graf funkcije gostote distribucije se imenuje porazdelitev krivulje, in območje, omejena krivulja distribucije in osi abscisa, je enaka enemu. Nato geometrično vrednost distribucijske funkcije FX (X) na točki X0 je območje, omejena distribucijska krivulja in abscisa os in levo točko X0.

Naloga 1. Funkcija gostote kontinuirane naključne spremenljivke ima obrazec:

Določite Constant Constant, zgradite funkcijo FX (X) in izračunajte verjetnost.

Sklep. Konstantna C je iz stanja, ki ga imamo:

Od koder C \u003d 3/8.

Za izgradnjo funkcije distribucije FX (X) ugotavljamo, da interval razdeli območje vrednosti argumenta X (numerična os) na tri dele: https://pandia.ru/text/78/107 /images/image017_17.gif "širina \u003d" 264 "višina \u003d" 49 "\u003e

ker je gostota X na polsiju nič. V drugem primeru

Končno, v slednjem primeru, ko je X\u003e 2,

Ker je gostota vlečena na nič na polsi. Torej je bila pridobljena distribucijska funkcija

Verjetnost Izračunajte s formulo. V to smer,

§ 2. Numerične lastnosti kontinuirane naključne spremenljivke

Pričakovana vrednost Za nenehno porazdeljene naključne spremenljivke se določi s formulo https://panndia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif "širina \u003d" 205 "višina \u003d" 56 SRC \u003d "\u003e,

Če je integralni položaj na desni popolnoma konvergenten.

Dispersion. x se lahko izračuna s formulo , kot tudi, kot v diskretnem primeru, s formulo https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif "širina \u003d" 123 "višina \u003d" 49 SRC \u003d "\u003e.

Vse lastnosti matematičnih pričakovanj in disperzije iz poglavja 5 za diskretne naključne spremenljivke veljajo tudi za neprekinjene naključne spremenljivke.

Naloga 2.. Za naključno spremenljivko X od težave 1 Izračunajte matematično pričakovanje in disperzijo .

Sklep.

In potem

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif "širina \u003d" 184 "višina \u003d" 69 SRC \u003d "\u003e\u003e

Oglejte si gostoto enotne porazdelitve, glejte sl. .

Sl.6.2. Distribucijska funkcija in gostota distribucije. enotno zakonodajo

Funkcija distribucije FX (X) je enakomerno porazdeljena naključna spremenljivka

Fx (x) \u003d

Matematično pričakovanje in disperzija; .

Okvirna (eksponentna) distribucija.Neprekinjeno naključno X, ki sprejema ne-negativne vrednosti, ima dokazovalno porazdelitev s parametrom l\u003e 0, če je gostota porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke enaka

px (x) \u003d

Sl. 6.3. Funkcija distribucije in gostota distribucije okvirnega zakona.

Funkcija distribucije okvirne distribucije je

FX (X) \u003d HTTPS: //pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif "širina \u003d" 17 "višina \u003d" 41 "\u003e. GIF" širina \u003d "13" višina \u003d "15"\u003e In če je njegova gostota distribucije enaka

Skozi vrsto vseh naključnih spremenljivk, ki se razdelijo v skladu z normalnim zakonom s parametri parametrov in.

Distribucijska funkcija normalno porazdeljene naključne spremenljivke je enaka

Sl. 6.4. Funkcija distribucije in gostota distribucije običajnega zakona

Parametri normalnega distribucijskega bistva matematične pričakovanja https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif "širina \u003d" 64 višina \u003d 24 "višina \u003d" 24 "\u003e

V določenem primeru, ko https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif "širina \u003d" 44 "višina \u003d" 21 SRC \u003d "\u003e Običajna porazdelitev se imenuje standard.in razred takih distribucij je označen https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif "širina \u003d" 119 "višina \u003d" 49 "\u003e,

funkcijo distribucije

Takšen integral ni računalniško analitično (ne upoštevamo v "kvadrature"), zato je tabela sestavljena za funkcijo. Funkcija je povezana z funkcijo Laplace, ki je vpisana v poglavje 4

naslednje razmerje . V primeru poljubnih vrednosti parametrov https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif "širina \u003d" 21 "višina \u003d" 21 SRC \u003d "\u003e Porazdelitev funkcije naključne spremenljivke je povezana s funkcijo Laplacea z Razmerje:

Zato se lahko verjetnost vstopa v običajno porazdeljeno naključno spremenljivko v interval, izračuna s formulo

Ne-negativna naključna vrednost X se imenuje logaritmično, ki se običajno porazdeli, če je njegov logaritem H \u003d LNX podrejeni normalnemu zakonu. Matematično pričakovanje in razpršenost logaritmično običajno porazdeljene naključne spremenljivke sta enaka MX \u003d in DX \u003d.

Naloga 3. Naj naključna vrednost https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif "širina \u003d" 81 "višina \u003d" 23 "\u003e.

Sklep. Tukaj in https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif "širina \u003d" 573 "višina \u003d" 45 "\u003e

Porazdelitev laplace Funkcija FX (X) \u003d https: //pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif "širina \u003d" 23 "višina \u003d" 41 "\u003e in presežek je GX \u003d 3.

Sl.6.5. Funkcija gostote gostote na Laplace.

Naključna vrednost X je razdeljena pravo Waibulla.Če ima funkcijo gostote distribucije, enaka https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif "širino \u003d" 189 "višina \u003d" 53 "\u003e

Porazdelitev zdravila Webulla je odvisna od časov brezhibnega delovanja številnih tehničnih naprav. V nalogah tega profila je pomembna značilnost intenzivnost neuspeha (umrljivost) l (t) preučevanih elementov starosti T, določena z razmerjem L (T) \u003d. Če A \u003d 1, potem porazdelitev zdravila Weibulla spremeni v eksponentno porazdelitev, in če je A \u003d 2 - v tako imenovani distribuciji Rayleigh.

Matematično čakajo na distribucijo Waibulla: -Https: //pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif "širina \u003d" 219 "višina \u003d" 45 SRC \u003d "\u003e, kjer je G (a) funkcija Eulerja ..

V različne naloge Uporabljene statistike se pogosto najdejo tako imenovane "okrnjene" distribucije. Na primer, davčni organi so zainteresirani za razdelitev dohodka tistih oseb, katerih letni dohodek je boljši od praga C0, ki ga določa davčne zakonodaje. Te porazdelitve so približno sovpadale z distribucijo pareta. Porazdelitev Pareto. Nastavite funkcije

Fx (x) \u003d p (x .gif "širina \u003d" 44 "višina \u003d" 25 "\u003e naključna spremenljivka X in monotona diferencialna funkcija ..gif" širina \u003d "200" višina \u003d "51"\u003e

Tukaj https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif "širina \u003d" 60 "višina \u003d" 21 SRC \u003d "\u003e.

Naloga 4. Naključna vrednost je enakomerno porazdeljena na segmentu. Poiščite gostoto naključne spremenljivke.

Sklep. Iz pogojev naloge to sledi

Naprej, funkcija je monotona in diferencialna funkcija na segmentu in ima povratno funkcijo , katerega derivat je torej posledično

§ 5. Par neprekinjenih naključnih spremenljivk

Naj bo podana dva stalna naključne spremenljivke X in H. Nato par (X, H) definira "naključno" točko na ravnini. Par (x, h) klican random Vector. ali dvodimenzionalna naključna spremenljivka.

Funkcija skupne distribucije Naključne spremenljivke X in H ter se imenuje funkcija F (X, Y) \u003d PHTTPS: //pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif "širina \u003d" 173 "višina \u003d" 25 "\u003e. Skupne gostote Porazdelitve verjetnosti naključnih spremenljivk x in h, ki se imenujejo funkcijo, tako da .

Pomen te opredelitve skupne gostote razdeljevanja je naslednja. Verjetnost, da bo "naključna točka" (X, H) spadala v območje na ravnini, se izračuna kot volumen tridimenzionalne vrednosti - "curvilinear" jeklenka, omejena na površino HTTPS: // Pandia. RU / Besedilo / 78/107 / Slike / Image098_3. GIF "širina \u003d" 211 "višina \u003d" 39 SRC \u003d "\u003e\u003e

Najenostavnejši primer skupne porazdelitve dveh naključnih spremenljivk je dvodimenzionalna enotna porazdelitev na nizuA.. Naj omejen nastavitev M s površino definira kot porazdelitev para (X, H), ki je podana z naslednjo skupno gostoto:

Naloga 5. Naj dvodimenzionalni naključni vektor (X, H) enakomerno porazdeli v trikotniku. Izračunajte verjetnost X\u003e H.

Sklep. Območje določenega trikotnika je enako (glej sliko št.). Z določitvijo dvodimenzionalne enotne porazdelitve, gostota skupne spremenljivke X je H je enaka

Dogodek ustreza določenemu Na letalu, t.e. pol-ravnina. Potem verjetnost

Na polovici B, je skupna gostota nič zunaj nabora https://panndia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif "širina \u003d" 15 "višina \u003d" 17 "\u003e. Tako Pol-plane B je razdeljen na dva kompleta in https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif "širina \u003d" 17 "višina \u003d" 23 "\u003e in, poleg tega pa je drugi integral nič Ker obstaja nična gostota nič. zato

Če je podana skupna gostota distribucije za par (X, H), se klicata gostota in komponente X in H zasebna gostota in izračuna z formulami:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif "širina \u003d" 224 "višina \u003d" 23 SRC \u003d "\u003e

Za nenehno porazdeljene naključne spremenljivke z gostoto PX (X), PH (Y) neodvisnosti pomeni

Naloga 6. Pod pogoji prejšnje naloge določite, ali so komponente naključnega vektorja X in H neodvisni?

Sklep. Izračunajte zasebne gostote in. Imamo:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif "širina \u003d" 283 "višina \u003d" 61 SRC \u003d "\u003e

Očitno je v našem primeru https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif "širina \u003d" 64 "višina \u003d" 25 "\u003e - skupna gostota X in H, in J (X, Y ) - funkcija dveh argumentov, nato pa

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif "širina \u003d" 184 "višina \u003d" 152 SRC \u003d "\u003e\u003e

Naloga 7. Pod pogoji prejšnje naloge izračunajte.

Sklep. Po zgornji formuli smo:

Predstavitev trikotnika v obliki

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif "širina \u003d" 479 "višina \u003d" 59 "\u003e

§ 5. Gostota vsote dveh neprekinjenih naključnih spremenljivk

Naj bo X in H neodvisne naključne spremenljivke z gostoto https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif "širina \u003d" 43 "višina \u003d" 25 "\u003e. Gostota naključne vrednosti X + H se izračuna s formulo comb.

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif "širina \u003d" 39 "višina \u003d" 19 SRC \u003d "\u003e. Izračunajte gostoto zneska.

Sklep. Ker sta X in H razdeljena v smislu okvirnega zakona s parametrom, je njihova gostota enaka

Zato,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif "širina \u003d" 339 višina \u003d 51 "višina \u003d" 51 "\u003e

Če je X.<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">negativno in zato. Zato, če https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif "širina \u003d" 359 višina \u003d 101 "višina \u003d" 101 "\u003e

Torej smo dobili odgovor:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif "širina \u003d" 40 "višina \u003d" 41 "\u003e Običajno distribuiramo s parametri 0 in 1. Naključne spremenljivke X1 in X2 so neodvisne in imajo normalne porazdelitve s parametri A1, in A2. Dokaži, da ima X1 + X2 normalno porazdelitev. Naključne spremenljivke X1, X2, ... XN so porazdeljeni in neodvisni in imajo enako funkcijo gostote distribucije

Poiščite funkcijo distribucije in gostoto distribucije količin:

a) H1 \u003d Min (X1, X2, ... XN); b) h (2) \u003d max (x1, x2, ... xn)

Naključne spremenljivke X1, X2, ... XN so neodvisne in enakomerno porazdeljene na segmentu [A, B]. Poiščite funkcijo distribucije in gostote funkcij porazdelitve vrednosti

x (1) \u003d Min (X1, X2, ... Xn) in X (2) \u003d Max (X1, X2, ... XN).

Dokaži, da MHTPS: //pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif "širina \u003d" 176 "višina \u003d" 47 "\u003e.

Naključna vrednost je razdeljena s Kavčnim zakonom, da bi našli: a) koeficient A; b) Funkcija distribucije; c) verjetnost vstopa v interval (-1, 1). Kažejo, da matematično pričakovanje X ne obstaja. Naključna vrednost je podrejena prava Laplace s parametrom L (L\u003e 0): Poiščite koeficient A; konstruiranje grafov gostote distribucije in distribucijsko funkcijo; Najdi MX in DX; Poiščite verjetnosti dogodkov (| x |< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Napišite formulo za gostoto distribucije, poiščite MX in DX.

Računalniške naloge.

Naključna točka A ima enotno porazdelitev v krogu polmera. Poiščite matematično pričakovanje in disperzijo razdalje, ki je usmerjena v središče kroga. Pokažite, da je vrednost R2 enakomerno porazdeljena na segmentu.

Gostota distribucije naključne spremenljivke ima obrazec:

Izračunajte Constant Contant, distribucijsko funkcijo f (x) in verjetnost Gostota distribucije naključne spremenljivke ima obrazec:

Izračunajte Constant Contant, distribucijsko funkcijo f (x) in verjetnost Gostota distribucije naključne spremenljivke ima obrazec:
Izračunajte Constant Cont, funkcija distribucije F (x), disperzijo in verjetnost naključne vrednosti ima funkcijo distribucije

Izračunajte gostoto naključne spremenljivke, matematično pričakovanje, disperzijo in verjetnost, da funkcija \u003d
morda je funkcija porazdelitve naključne spremenljivke. Poiščite številske značilnosti te vrednosti: MX in DX. Naključna vrednost je enakomerno porazdeljena, ne na segment. Zapišite gostoto distribucije. Poiščite funkcijo distribucije. Poiščite verjetnost dohodne naključne variance na segmentu in na segmentu. Distribucija X je enaka

Poiščite stalno C, gostoto distribucije H \u003d in verjetnost

P (0,25.

Čas nemotenega delovanja računalnika je porazdeljen v smislu okvirnega prava s parametrom L \u003d 0,05 (zavrnitev na uro), tj. Ima funkcijo gostote

p (x) \u003d .

Rešitev določene naloge zahteva nemoteno delovanje stroja 15 minut. Če se je prišlo do napake med problemom reševanja naloge, se napaka zazna le na koncu raztopine, opravila pa je spet rešena. Najdi: a) verjetnost, da se med rešitvijo problema ne bo zgodilo brez napak; b) povprečni čas, za katerega bo naloga rešena.

24 cm dolžina palice se zlomi na dva dela; Predvidevamo, da je blond točka enakomerno porazdeljena po celotni dolžini palice. Kakšna je povprečna dolžina večine palice? Dolžina reza 12 cm je naključno narezana na dva dela. Bistvo reza je enakomerno porazdeljeno po celotni dolžini segmenta. Kakšna je povprečna dolžina majhnega dela segmenta? Naključna vrednost je enakomerno porazdeljena na segmentu. Poiščite gostoto porazdelitve naključne spremenljivke A) H1 \u003d 2x + 1; b) H2 \u003d -LN (1-X); c) H3 \u003d.

Pokažite, da če ima X neprekinjeno distribucijsko funkcijo

F (x) \u003d p (x

Poiščite funkcijo gostote in funkcijo porazdelitve vsote dveh neodvisnih vrednosti X in H z enotnimi zakoni porazdelitve na segmentih in ustrezno. Naključne spremenljivke X in H sta neodvisna in enakomerno porazdeljena na segmentih in ustrezno. Izračunajte gostoto vsote x + H. Naključne spremenljivke X in H sta neodvisna in enakomerno porazdeljena na segmentih in ustrezno. Izračunajte gostoto vsote x + H. Naključne spremenljivke X in H sta neodvisna in enakomerno porazdeljena na segmentih in ustrezno. Izračunajte gostoto vsote x + H. Naključne spremenljivke so neodvisne in imajo okvirno porazdelitev z gostoto . Poiščite gostoto porazdelitve njihove vsote. Poiščite porazdelitev vsote neodvisnih naključnih spremenljivk X in H, kjer ima X enotno porazdelitev na segmentu, H pa ima dokazno porazdelitev s parametrom L. Najdi R. Če ima X: a) normalno porazdelitev s parametri A in S2; b) okvirna porazdelitev s parametrom L; c) enotno porazdelitev na segmentu [-1; 1]. Skupna porazdelitev X, H je enotna na trgu
K \u003d (x, y): | x | + | Y | £ 2). Poiščite verjetnost . So X in H neodvisni? Par naključnih spremenljivk X in H je enakomerno porazdeljena v trikotniku K \u003d. Izračunajte gostoto x in h. So te naključne spremenljivke neodvisne? Poiščite verjetnost. Naključne spremenljivke X in H sta neodvisna in enakomerno porazdeljena na segmentih in [-1,1]. Poiščite verjetnost. Dvodimenzionalna naključna vrednost (X, H) je enakomerno porazdeljena na kvadratu z vozlišči (2.0), (0,2), (-2, 0), (0, -2). Poiščite vrednost funkcije skupne distribucije na točki (1, -1). Naključni vektor (X, H) je enakomerno porazdeljen v krogu polmera 3 s središčem na začetku koordinat. Napišite izraz za gostoto skupne distribucije. Ugotovite, ali so te naključne spremenljivke odvisne. Izračunajte verjetnost. Par naključnih spremenljivk X in H je enakomerno porazdeljena v trapenu z vozlišči na točkah (-6,0), (-3,4), (3.4), (6.0). Poiščite skupno gostoto distribucije za ta par naključnih spremenljivk in komponent gostote. Je X in H odvisen? Naključni par (X, H) je enakomerno porazdeljen znotraj polkrožnega. Poišči X in H gostote, da raziščete vprašanje njihove odvisnosti. Skupna gostota dveh naključnih spremenljivk X in H je enaka .
Najdi X, H gostoto. Raziščite odvisnost od odvisnosti X in H. Naključni par (X, H) je enakomerno porazdeljen na nizu. Poišči X in H gostote, da raziščete vprašanje njihove odvisnosti. Najdi m (XH). Naključne spremenljivke X in H sta neodvisna in porazdeljena v skladu z okvirnim zakonom z najdbo

Neprekinjene naključne spremenljivke - To so vrednosti, katerih možne vrednosti tvorijo nekaj končnega ali neskončnega intervala.

Integralna funkcija distribucije je zakon porazdelitve naključne spremenljivke, s katerim lahko določite tako diskretno in neprekinjeno naključno varianco.

Integralna funkcija distribucije Imenovan funkcija F (x), ki določa za vsako vrednost x verjetnost, da bo naključna vrednost X vzela vrednost manj x, t.e. .

Geometrično, to pomeni: F (x) Obstaja možnost, da bo naključna vrednost X vzela vrednost, ki je prikazana na številski osi točke, ki leži levo od točke X.

Naključna vrednostimenuje se neprekinjeno, če je njena integralna funkcija f (x) stalno diferencialna.

Lastnosti integralne funkcije.

10. Vrednosti integralne funkcije pripadajo segmentu od 0 do 1, to je.

Dvajset. Integralna funkcija je funkcija, ki je nepremišljena, to je, če potem .

Posledica:

1. Verjetnost, da bo SV sprejela vrednost, sklenjeno v intervalu (A; B), je enaka povečanju integralne funkcije v tem intervalu:

2. Verjetnost, da bo NSV vzela eno določeno vrednost, ki je enaka 0.

3. Če se lahko vrednosti NSV nahajajo na celotni številski liniji, veljajo naslednja mejna razmerja:

Graf integrirane funkcije.

Graf integralne funkcije je zgrajen na podlagi njegovih lastnosti. Po prvem nepremičninah se graf nahaja med ravnim Y \u003d 0 in Y \u003d 1. Iz druge nepremičnine sledi, da - povečanje funkcije, kar pomeni njen urnik v intervalu (A, B), se dvigne na pravico in navzgor. 3 0 lastnosti za , in kdaj (Sl. 5).

Slika 5. Razpored integrirane funkcije.

Primer 31.DSV je podan z zakonom distribucije


	0,2	0,5	0,3

Poiščite integralno distribucijsko funkcijo in zgradite svoj urnik.

1. Če, nato 3 0.

2. Če,.

3. Če,.

4. Če, nato 3 0.

Zgradili smo graf integralne funkcije DSV (H) (sl. 6).

Slika 6. Graf integrirane funkcije za diskretno naključno spremenljivko.

Diferencialna funkcija distribucije NSV.

Obstaja še en način, da določite NWS z uporabo funkcije diferencialne distribucije.

Diferencialfunkcija distribucije je funkcija enaka prvemu izvedenemu derivatu integralne funkcije, to je.

Funkcija diferenčnega distribucije se različno imenuje gostota porazdelitve verjetnosti.

Teorem 17.Verjetnost, da bo NSV X sprejela vrednost, ki pripada intervalu (A, B), je enaka določenemu integralu iz diferencialne funkcije, vzete od in do B.

Primer 32.NSV določa integralno distribucijsko funkcijo

Poiščite funkcijo diferencialne distribucije in verjetnost NSV v intervalu.

Sklep.

Lastnosti funkcije diferencialne distribucije.

10. Diferencialna funkcija je ne-negativna funkcija :.

Dvajset. (Stanje normalizacije.) Vpleten je integral iz diferencialne funkcije v območju od -∞ do + ∞ je 1, to je ,,

Zlasti, če vse možne vrednosti NSV pripadajo intervalu (A, B), \\ t

Primer 33.

Poiščite vrednost parametra ampak.

Upoštevajte, da poznavanje funkcije diferencialne distribucije, lahko najdete integralno funkcijo s formulo:

Primer 34. NSW je določena z diferencialno distribucijsko funkcijo:

poiščite celovito funkcijo distribucije.

Sklep.

Lastnosti NSV.

Naključna spremenljivka imenovana spremenljivka, ki lahko sprejme določene vrednosti, odvisno od različnih okoliščin, in naključna vrednost se imenuje neprekinjeno Če lahko vzame kakršno koli vrednost iz omejenega ali neomejenega intervala. Za neprekinjeno naključno spremenljivko je nemogoče določiti vse možne vrednosti, zato označujejo intervale teh vrednosti, ki so povezane z določenimi verjetnostmi.

Primeri neprekinjenih naključnih spremenljivk so lahko: premer dela se izprazni na določeno velikost, človeško rast, paleto letenja lupine itd.

Kot za kontinuirane naključne spremenljivke F.(x.), Za razliko od diskretne naključne spremenljivke Nikjer nima skokov, verjetnost kakršne koli posebne vrednosti neprekinjene naključne spremenljivke je nič.

To pomeni, da je za neprekinjeno naključno vrednost brez pogovora o porazdelitvi verjetnosti med njegovimi vrednostmi: vsak od njih ima ničelno verjetnost. Vendar pa je v smislu, med vrednotami neprekinjenih naključnih spremenljivk, obstaja "bolj verjetno". Na primer, ni verjetno, da bo kdorkoli imel dvom, da je vrednost naključne spremenljivke - rast ozračja ozdravila - 170 cm je bolj verjetna kot 220 cm, čeprav se lahko ena, druga vrednost pa se lahko sestanejo v praksi .

Funkcija porazdelitve neprekinjene naključne spremenljive in verjetnosti gostote

Kot zakon o distribuciji, ki je smiselno samo za neprekinjene naključne spremenljivke, se uvede koncept gostote distribucije ali gostoto verjetnosti. Prišli bomo do tega s primerjavo smisla distribucijske funkcije za neprekinjeno naključno spremenljivko in za diskretno naključno spremenljivko.

Torej, funkcija porazdelitve naključne spremenljivke (tako diskreta in neprekinjeno) ali integralna funkcija imenovana funkcija, ki določa verjetnost, da je vrednost naključne spremenljivke X. manj ali enaka mejni vrednosti h..

Za diskretno naključno spremenljivko na točkah njegovih vrednosti x.1 , x.2 , ..., x.jAZ, ... Osredotočamo se na množice verjetnosti str.1 , str.2 , ..., str.jAZ, ...Poleg tega je vsota vseh množic 1. prenos te razlage v primeru neprekinjene naključne spremenljivke. Predstavljajte si, da masa enaka 1 ni osredotočena na ločene točke in nenehno "razmazana" vzdolž osi abscisa Ox. Z nekaj neenakomerne gostote. Verjetnost naključne variance na katerem koli oddelku δ x. To se razlaga kot masa, ki je posledica tega območja, in povprečna gostota v tem razdelku je kot masno razmerje do dolžine. Samo smo uvedli pomemben koncept teorije verjetnosti: gostota distribucije.

Gostota verjetnosti f.(x.) Kontinuirana naključna spremenljivka se imenuje derivat njegove distribucijske funkcije:

Poznavanje funkcije gostote, lahko najdemo verjetnost, da vrednost neprekinjene naključne spremenljivke spada v zaprt interval [ a.; b.]:

verjetnost, da stalna naključna vrednost X. bo imela kakršno koli vrednost iz intervala [ a.; b.] je enaka določenemu integralu iz njegove verjetnosti gostote od a. prej b.:

Hkrati je funkcija splošne formule F.(x.) Porazdelitev verjetnosti kontinuirane naključne spremenljivke, ki jo je mogoče uporabiti, če je funkcija gostote znana f.(x.) :

Graf verjetnosti gostote kontinuirane naključne spremenljivke se imenuje njegova distribucijska krivulja (sl. Spodaj).

Območje slike (v risbi je zasenčeno), omejeno krivuljo, neposredno, porabljeno iz točk a. in b. Pravokotno na osi abscisa, in os Ohr, grafično prikazuje verjetnost, da je vrednost neprekinjene naključne spremenljivke H. Od. \\ T a. prej b..

Lastnosti delovanja verjetnosti gostote funkcije neprekinjene naključne spremenljivke

1. Verjetnost, da bo naključna vrednost vzela kakršno koli vrednost iz intervala (in figure slike, ki je omejena na urnik funkcije f.(x.) In os Ohr) je enaka:

2. Funkcija verjetnosti gostote ne more sprejeti negativnih vrednosti:

in zunaj obstoja distribucije, njegova vrednost je nič

Gostota distribucije f.(x.), kot tudi funkcijo distribucije F.(x.) je ena od oblik distribucijskega prava, vendar v nasprotju z distribucijsko funkcijo, to ni univerzalno: gostota distribucije obstaja samo za neprekinjene naključne spremenljivke.

Omenili smo dve najpomembnejši vrsti distribucije stalne naključne variance.

Če funkcija gostote distribucije f.(x.) neprekinjeno naključno spremenljivko v nekaterih končnih interval [ a.; b.] sprejme stalno vrednost C.in zunaj intervala je vrednost enaka nič, nato pa porazdelitev se imenuje uniforma .

Če je urnik funkcije gostote distribucijskega gostota simetričen glede na središče, so povprečne vrednosti osredotočene blizu središča, na razdalji pa od središča, bolj drugačne od povprečja (graf funkcije spominja na rezanje zvonec), potem porazdelitev se imenuje normalna .

Primer 1. Znana je funkcija porazdelitve verjetnosti kontinuirane naključne spremenljivke:

Poiščite funkcijo f.(x.) Verjetnostna gostota neprekinjene naključne spremenljivke. Grafe obeh funkcij. Poiščite verjetnost, da bo kontinuirana naključna vrednost vzela kakršno koli vrednost v območju od 4 do 8 :.

Sklep. Funkcija verjetnosti gostote je dobljena z iskanjem funkcije porazdelitve verjetnosti izvedenih verjetnosti:

Urnik funkcije F.(x.) - parabola:

Urnik funkcije f.(x.) - Direct:

Ugotovili bomo verjetnost, da bo neprekinjena naključna vrednost sprejela kakršno koli vrednost v območju od 4 do 8:

Primer 2. Funkcija gostote verjetnosti kontinuirane naključne spremenljivke je podana kot:

Izračunajte koeficient. C. . Poiščite funkcijo F.(x.) Porazdelitev verjetnosti kontinuirane naključne spremenljivke. Grafe obeh funkcij. Poiščite verjetnost, da bo neprekinjeno naključno vrednost vzela kakršno koli vrednost v območju od 0 do 5 :.

Sklep. Koeficient. C. Z uporabo lastnosti funkcije gostote verjetnosti bomo našli:

Tako je funkcija verjetnosti gostote funkcije neprekinjene naključne spremenljivke:

Vključevanje, poiščite funkcijo F.(x.) Porazdelitev verjetnosti. Če x. < 0 , то F.(x.) \u003d 0. Če je 0.< x. < 10 , то

x. \u003e 10, potem F.(x.) = 1 .

Tako popoln zapis funkcij porazdelitve verjetnosti:

Urnik funkcije f.(x.) :

Urnik funkcije F.(x.) :

Ugotovili bomo verjetnost, da bo neprekinjena naključna vrednost sprejela kakršno koli vrednost v območju od 0 do 5:

Primer 3.Verjetnostna gostota neprekinjene naključne spremenljivke X. Nastavite enakost, medtem ko. Poiščite koeficient. Zvezekverjetnost, da stalna naključna vrednost X. Navedite kakršno koli vrednost iz intervala] 0, 5 [, funkcija porazdelitve kontinuirane naključne spremenljivke X..

Sklep. Pod pogojem pridemo do enakosti

Zato, od koder. Tako,

Zdaj najdemo verjetnost, da je nenehna naključna vrednost X. bo vzela kakršno koli vrednost iz intervala] 0, 5 [:

Zdaj dobimo funkcijo distribucije te naključne spremenljivke:

Primer 4.Poiščite verjetnostno gostoto kontinuirane naključne spremenljivke X.ki sprejema samo ne-negativne vrednosti in njegova distribucijska funkcija .