Lastnosti Funkcije Reverse Funkcije Reverse Funkcijska tabela. Slučajno obračalne funkcije, osnovne definicije, lastnosti, grafike

Naj bo funkcija Y \u003d F (X), X - območje definicije, Y - obseg vrednosti. Vemo, da vsak x 0  ustreza eni vrednosti v 0 \u003d F (X 0), y 0.

Lahko se izkaže, da vsak U (ali njegovi deli  1) ustreza ediziji X iz H.

Potem pravijo, da funkcija  (ali njegovi deli ) definira funkcijo X \u003d y Inverse za funkcijo y \u003d f (x).

Na primer:

X. \u003d (); Y \u003d $

Ker se ta funkcija zmanjšuje in je neprekinjena na listu $ x $, nato na $ y \u003d $, ki se tudi zmanjšuje in je neprekinjen na tej vrzeli (teorem 1).

Izračunajte $ x $:

\ \

Izberite primerne $ x $:

Odgovor: Reverse Function $ Y \u003d - Sqrt (X) $.

Naloge za iskanje povratnih funkcij

V tem delu razmislite povratne funkcije Za nekatere osnovne funkcije. Naloge bodo rešene glede na zgoraj navedeno shemo.

Primer 2.

Poiščite povratno funkcijo za funkcijo $ y \u003d x + $ 4

Mi najdemo $ x $ iz enačbe $ y \u003d x + $ 4:

Primer 3.

Poiščite povratno funkcijo za funkcijo $ y \u003d x ^ $ 3

Sklep.

Ker se funkcija povečuje in je neprekinjena na celotnem območju definicije, potem, v skladu s Theorem 1, ima povratne neprekinjeno in povečanje funkcije na njem.

Mi najdemo $ x $ iz enačbe $ y \u003d x ^ $ 3:

Našli smo primerne vrednosti $ x $

Vrednost v našem primeru je primerna (ker je območje definicije vse številke)

Ponovnofiniramo spremenljivke, da imamo inverzno funkcijo obliko

Primer 4.

Poiščite povratne funkcije za funkcijo $ y \u003d cosx $ v območju $$

Sklep.

Razmislite o nizu $ X \u003d levo $ Funkcija $ Y \u003d Cosx $. To je neprekinjeno in se zmanjšuje na nizu $ x $ in prikaže nastavitev $ x \u003d levo $ na set $ y \u003d [- 1,1] $, zato z obstojem izrek pri obstoju povratne neprekinjeno monotona Funkcija v funkciji $ y \u003d cosx $ v set $ y $ Obstaja obratno funkcijo, ki je tudi nepretrgana in se poveča na set $ y \u003d [- 1,1] $ in prikaže nastavitev $ [- 1,1 ] $ za nastavitev $ levo $.

Mi najdemo $ x $ od $ y \u003d cosx enačbo $:

Našli smo primerne vrednosti $ x $

Ponovnofiniramo spremenljivke, da imamo inverzno funkcijo obliko

Primer 5.

Poiščite obratno funkcijo za funkcijo $ y \u003d TGX $ v območju $ levo (- Frac (PI) (2), Frac (PI) (2) Desno) $.

Sklep.

Upoštevajte na nizu $ X \u003d levo (- Frac (PI) (2), Frac (PI) (2) Desno) $ Funkcija $ Y \u003d TGX $. To je neprekinjeno in se povečuje na kompletu $ x $ in prikaže nastavitev $ X \u003d levo (- Frac (PI) (2), Frac (PI) (2) Desno) $ na nabor $ Y \u003d R $, zato po izrek ob obstoj povratne neprekinjeno monotono funkcijo, funkcija $ y \u003d tgx $ v več $ y $ obstaja povratno funkcijo, ki je tudi nepretrgana in se poveča na set $ y \u003d r $ in prikaže nastavitev $ R $ na SET $ levo (- Frac (PI) (2), Frac (PI) (2) \\ t

Mi najdemo $ x $ od $ y \u003d tgx $ enačbo:

Našli smo primerne vrednosti $ x $

Ponovnofiniramo spremenljivke, da imamo inverzno funkcijo obliko

Kolikor trigonometrične funkcije Periodično, potem pa reverzne funkcije niso nedvoumne. Torej, enačba y \u003d sin X.Ko je podan, ima neskončno veliko korenin. Dejansko zaradi periodičnosti sinusa, če je X taka korenina, potem x + 2πn. (kjer je n celo število), bo tudi koren enačbe. V to smer, inverzne trigonometrične funkcije so smiselne. Da bi bilo lažje sodelovati z njimi, uvedejo koncept njihovih glavnih vrednot. Razmislite, na primer, sinus: y \u003d sin X.. Če omejite argument x interval, potem je funkcija y \u003d sin X. Monotono se poveča. Zato ima nedvoumno povratno funkcijo, imenovano Arksinus: X \u003d arcsin Y..

Če ni posebej določeno, potem pod inverznih trigonometričnih funkcij pomenijo njihove glavne vrednosti, ki so določene z naslednjimi definicijami.

Arksinus ( y \u003d. arcsin X.) - To je funkcija, obrnjena v sinus ( x \u003d. sin Y.

Arkkozinus ( y \u003d. arccos X.) - To je delovno inverzno na kosinsko ( x \u003d. cos y.), ki imajo področje opredelitve in številnih vrednosti.

ARCTANENS ( y \u003d. aRCTG X.) - To je delovno inverzno za tangento ( x \u003d. tg Y.), ki imajo področje opredelitve in številnih vrednosti.

Arkotanens ( y \u003d. arcctg X.) - To je delovno inverzno na kotannce ( x \u003d. cTG Y.), ki imajo področje opredelitve in številnih vrednosti.

Slike inverznih trigonometričnih funkcij

Grafi inverznih trigonometričnih funkcij dobimo iz grafov trigonometričnih funkcij z odsevo ogledala glede na neposredno y \u003d x. Glejte poglavji Sinus, Kosinus. , Tangent, Kotangent..

y \u003d. arcsin X.

y \u003d. arccos X.

y \u003d. aRCTG X.

y \u003d. arcctg X.

Osnovne formule

Tukaj je treba paziti na časovne presledke, za katere so formule veljavne.

arcsin (Sin X) \u003d X za
sin (Arcsin X) \u003d X
arccos (COS X) \u003d X za
cos (arccos x) \u003d x

aRCTG (TG X) \u003d X za
tG (ARCTG X) \u003d X
arcctg (CTG X) \u003d X za
cTG (ARCCTG X) \u003d X

Formule, ki vežejo inverzne trigonometrične funkcije

Formule vsote in razlike

na OR

na I.

na I.

za

za

za

za

za

Reference:
I.n. BRONSTEIN, K.A. Semenyaev, referenčna knjiga o matematiki za inženirje in študente udeležencev, "LAN", 2009.