Splošne diferencialne enačbe. Splošne homogene diferencialne enačbe prvega reda

Pokazalo se je, da prepozna splošno homogeno diferencialno enačbo. Upoštevana je metoda reševanja splošne homogene diferencialne enačbe prvega naročila. Podan je primer podrobne rešitve take enačbe.

Vsebina

Opredelitev

Generalizirana homogena diferencialna enačba prvega reda je enačba oblike:
kjer α ≠. 0 , α ≠ 1 F - Funkcija.

Kako ugotoviti, ali je diferencialna enačba splošna homogena

Da bi ugotovili, ali je diferencialna enačba generalizirana homogena, morate vnesti konstantno T in narediti zamenjavo:
y → t α · y, x → t · x.
Če vam uspe izbrati takšno vrednost α, na kateri je konstanta T zmanjša, potem je splošna enotna diferencialna enačba. Spreminjanje derivata Y "S takšno zamenjavo ima obrazec:
.

Primer

Da bi ugotovili, ali je ta enačba splošna homogena:
.

Nadomestitveni Y → T α · Y, X → T · X, Y '→ T α- 1 y ':
;
.
Razdelimo na t α + 5 :
;
.
Enačba ne bo vsebovala T, če
4 α - 6 \u003d 0, α = 3/2 .
Ker je pri α \u003d 3/2 , t zmanjšati, potem to je splošna homogena enačba.

Metoda odločanja

Razmislite o splošni homogeni diferencialni enačbi prvega reda:
(1) .
Pokazujemo, da je zagotovljena homogena enačba s pomočjo zamenjave:
t \u003d x α.
Res,
.
Od tod
; .
(1) :
;
.

To je homogena enačba. Rešena je z zamenjavo:
y \u003d z · t,
kjer je Z funkcija od t.
Pri reševanju nalog je lažje uporabiti zamenjavo:
y \u003d z x α,
kjer je Z funkcija iz x.

Primer reševanja splošne homogene diferencialne enačbe prvega reda

Rešite diferencialno enačbo
(Klavzula 1) .

Preverite, ali je ta enačba splošna homogena. Za to B. (Klavzula 1) Naredimo zamenjavo:
y → t α · y, x → t · x, y '→ t α- 1 y '.
.
Razdelimo na t α:
.
t bo zmanjšala, če postavite α \u003d - 1 . To pomeni, da je to splošna homogena enačba.

Nadomestitev:
y \u003d z x α \u003d z x - 1 ,
kjer je Z funkcija iz x.
.
Namestite prvotno enačbo (Klavzula 1):
(Klavzula 1) ;
;
.
Pomnožite na x in razkrijete oklepaje:
;
;
.
Delimo spremenljivke - pomnožite na DX in delite na X Z 2 . V Z ≠. 0 Imamo:
.
Mi integriramo uporabo integralne tabele:
;
;
;
.
Poznamo:
.
Zamenjali bomo stalno E C → C in odstranite znak modula, saj je izbira želenega znaka določena z izbiro znaka konstanta z:
.

Vrnite se na spremenljivko y. Nameravamo z \u003d xy:
.
Razdelimo na X:
(Klavzula 2) .

Ko smo razdelili na Z 2 Predvidevali smo, da Z ≠ 0 . Zdaj razmislite o rešitev z \u003d xy \u003d 0 , ali y \u003d 0 .
Od ko je y \u003d 0 levi del izraza (Klavzula 2) Ni določen, nato pa na rezultat splošnega integrala dodamo rešitev y \u003d 0 .

;
.

Reference:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, zbiranje nalog na višji matematiki, "LAN", 2003.

Diferencialne enačbe prvega reda z ločilnimi spremenljivkami.

Opredelitev. Diferencialna enačba z ločilnimi spremenljivkami je enačba obrazca (3.1) ali enačba obrazca (3.2)

Da bi delili spremenljivke v enačbi (3.1), t.j. Ustvarite to enačbo na tako imenovano enačbo z razdeljenimi spremenljivkami, naredite naslednje ukrepe: ;

Zdaj je potrebno rešiti enačbo g (y) \u003d 0. Če ima resnično odločitev y \u003d a,to y \u003d A. Prav tako bo enačba raztopine (3.1).

Enačba (3.2) je na voljo enačbi z ločenimi spremenljivkami na delu:

Kaj vam omogoča, da dobite skupni integral enačbe (3.2): . (3.3)

Integralne krivulje (3.3) bodo dopolnjene z rešitvami Če takšne rešitve obstajajo.

Homogeno diferencialne enačbe 1. naročilo.

Opredelitev 1. Enačba prvega reda se imenuje homogena, če je za desni del, s katerim koli kapitalom, razmerjem , imenovano stanje homogenosti funkcije dveh spremenljivk ničelne dimenzije.

Primer 1. Pokažite, da je funkcija homogena ničelna dimenzija.

Sklep. ,

q.e.d.

Teorem. Vsaka funkcija je homogena in nasprotno, vsaka homogena funkcija ničelne dimenzije je dana miselnosti.

Dokaz.Prva izjava o izreku je očitna, ker . Prikažemo drugo odobritev. Potem za homogeno funkcijo Po potrebi dokazati.

Opredelitev 2. Enačba (4.1) M.in N.- homogene funkcije enake stopnje, t.j. Imajo nepremičnino, ki se imenuje homogena. Očitno je, da se ta enačba vedno lahko daje obrazcu (4.2), čeprav ga ni mogoče storiti za rešitev. Homogena enačba je na voljo enačbi z ločilnimi spremenljivkami z zamenjavo želene funkcije y. Po formuli y \u003d zx,kje z (x) - Nova želena funkcija. Z dokončanjem te zamenjave v enačbi (4.2) dobimo: ali ali.

Vključevanje, dobimo skupni integral enačbe v zvezi s funkcijo z (x) ki po zamenjavi daje skupni integracijo izvornega enačbe. Poleg tega, če korenine enačbe, potem funkcije - raztopine homogene določene enačbe. Če, enačba (4.2) traja

In postane enačba z ločilnimi spremenljivkami. Njegove rešitve so polapeljive :.

Komentar. Včasih je priporočljivo namesto zgoraj navedene zamenjave za zamenjavo x \u003d zy.

Splošna homogena enačba.

Enačba M (x, y) dx + n (x, y) dy \u003d 0imenovano generalizirano homogeno, če boste uspeli pobrati takšno številko k.da leva stran te enačbe postane homogena funkcija neke mere m.približno x, y, dxin dY.pod pogojem x.upoštevana je prva dimenzija y. – k-meritev , Dx.in dY -v skladu s tem nič I. (K-1)-Here dimenzije. Na primer, taka bo enačba . (6.1) Zaradi predpostavke meritev x, y, dxin dY.člani leve strani in dY.imela oziroma merila -2, 2 k. in K.-. Izvažati jih, smo pridobili pogoj, da mora izpolnjevati želeno številko k.: -2 = 2k.= K.-. Ta pogoj se izvaja, ko k.\u003d -1 (s takimi k. Vsi člani levega dela enačbe, ki se obravnavajo, bodo imeli merjenje -2). Zato je enačba (6.1) generalizirana homogena.

.
Diferencialne enačbe.

§ 1. Osnovni pojmi o navadnih diferencialnih enačbah.

Opredelitev 1. Navadna diferencialna enačba n. - naročilo za funkcijo y.prepir x.razmerje tipa se imenuje

kje F.- Navedena funkcija njegovih argumentov. V naslovu tega razreda matematičnih enačb, izraz "diferencial" poudarja, da vključujejo izvedene finančne instrumente
(Funkcije, ki so nastale zaradi diferenciacije); Izraz - "navadni" kaže, da je želena funkcija odvisna samo od enega veljavnega argumenta.

Navadna diferencialna enačba ne sme vsebovati izrecnega argumenta x., funkcija
in kateri koli od njegovih derivatov, vendar starejši derivat
da vstopijo v enačbo n.- naročilo. na primer

vendar)
- enačba prve naročila;

b)
- Enačba tretjega reda.

Pri pisanju navadnih diferencialnih enačb se pogosto uporabljajo označbe izvedenih finančnih instrumentov z razlikami:

v)
- ena enačba naročila;

d)
- enačba prve naročila, \\ t

obrazci po razdelitvi dx. Enakovredna obrazec enačbe:
.

Funkcija
Imenuje se rešitev navadne diferencialne enačbe, če obravnava identiteto med zamenjavo.

Na primer, enačba 3. naročila

Ima rešitev
.

Če želite najti vsak sprejem, kot je izbor, ena funkcija, ki izpolnjuje enačbo, ne pomeni njega. Rešite navadno diferencialno enačbo - to pomeni najti vse Funkcije, ki se oblikujejo med zamenjavo enačbe. Za enačbo (1.1) je družina takih funkcij oblikovana z uporabo samovoljnih konstantov in se imenuje splošna rešitev navadne diferencialne enačbe n.- Naročilo in število konstant sovpada z vrstnim redom enačbe: Splošna rešitev je lahko in ni jasno rešena y.(x.) : V tem primeru se odločitev imenuje skupna integralna enačba (1.1).

Na primer, splošna rešitev diferencialne enačbe
je naslednji izraz:, in drugi izraz je mogoče napisati in kako
od poljubnega konstanta , deljeno z 2, se lahko nadomesti z novo samovoljno konstanto .

Z določitvijo nekaterih dovoljenih vrednosti vsem samovoljnim konstantom v splošni rešitvi ali v skupnem integralu dobimo določeno funkcijo, ki ni več poljubnih konstantov. Ta funkcija se imenuje zasebna rešitev ali zasebni integral enačbe (1.1). Da bi našli vrednote poljubnih konstant, posledično zasebno rešitev, se uporabljajo različni dodatni pogoji za enačbo (1.1). Na primer, tako imenovani začetni pogoji se lahko dajo (1.2)

V desnih delih začetnih pogojev (1.2) so podane številske vrednosti funkcije in derivatov, in skupno število. Prvi pogoji so enaki številu določenih samovoljnih konstantov.

Naloga iskanja zasebne rešitve enačbe (1.1) z začetnimi pogoji se imenuje kavčasna naloga.

§ 2. Navadne diferencialne enačbe prvega reda so osnovni pojmi.

Navadna diferencialna enačba prvega reda ( n.\u003d 1) ima obrazec:
Ali, če je mogoče rešiti glede na izvedeni finančni instrument:
. Skupna odločitev y.= y.(x., Iz)ali splošni integral
Enačbe prvega reda vsebujejo eno poljubno konstanto. Edini začetni pogoj za enačbo prve stopnje
Omogoča, da določite vrednost konstante splošne raztopine ali celotnega integrala. Tako bo na voljo zasebna rešitev ali pa bo rešena kavčaška naloga. Vprašanje obstoja in edinstvenosti rešitve problema v Kavcu je eden od osrednjih v splošni teoriji navadnih diferencialnih enačb. Za enačbo prvega reda, zlasti teorem velja tukaj brez dokaza.

Teorem 2.1. Če v funkciji enačb
in zasebni derivat
neprekinjeno na določenem območju D.letalo Xoy.na tem področju pa daje točko
obstaja tudi z edino rešitev, ki izpolnjuje enako enačbo in začetno stanje
.

Geometrično splošna rešitev enačbe prvega reda je družina krivulj na ravnini Xoy.nimajo skupnih točk in drugače drug od drugega v enem parametru - vrednost konstante C.. Te krivulje se imenujejo integralne krivulje za to enačbo. Integralne krivulje enačb imajo očitno geometrijsko lastnino: na vsaki točki tangentnega nagibanja na krivuljo enaka vrednosti Na desni strani enačbe na tej točki:
. Z drugimi besedami, enačba je nastavljena v ravnini Xoy. Področje destinacij Tangent do integriranih krivulj. Komentar: Opozoriti je treba, da enačba
Dana enačba in tako imenovana enačba v simetrični obliki.
.

§ 3. Različne enačbe prvega reda z ločilnimi spremenljivkami.

Opredelitev. Diferencialna enačba z ločilnimi spremenljivkami je enačba vrst
(3.1)

ali enačba tipa (3.2)

Da bi delili spremenljivke v enačbi (3.1), t.j. Ustvarite to enačbo na tako imenovano enačbo z razdeljenimi spremenljivkami, naredite naslednje ukrepe:

;

Zdaj je potrebno rešiti enačbo g.(y.)= 0 . Če ima resnično odločitev y.= a., to y.= a. Prav tako bo enačba raztopine (3.1).

Enačba (3.2) se zmanjša na enačbo z ločenimi spremenljivkami na delu
:

Kaj vam omogoča, da dobite skupni integral enačbe (3.2):
. (3.3)

Integralne krivulje (3.3) bodo dopolnjene z rešitvami
Če takšne rešitve obstajajo.

Rešite enačbo :.

Delimo spremenljivke:

Vključevanje, Get.

Naslednja enačbe
in
Najti x.=1, y.=-1. Te rešitve so zasebne rešitve.

§ 4. Enotne diferencialne enačbe prvega reda.

Opredelitev 1. Enačba prvega reda se imenuje homogena, če je za njen pravi del
Pošteno razmerje
, imenovano stanje homogenosti funkcije dveh spremenljivk ničelne dimenzije.

Primer 1. Pokažite funkcijo
- homogena ničelna razsežnost.

Sklep.

q.e.d.

Teorem. Vsaka funkcija
- homogena in nasprotno, vsaka homogena funkcija
Nič meritev je dana na misel
.

Dokaz.

Prva izjava o izreku je očitna, ker
. Prikažemo drugo odobritev. Pot.
, potem za homogeno funkcijo
Po potrebi dokazati.

Opredelitev 2. Enačba (4.1)

v kateri M.in N.- homogene funkcije enake stopnje, t.j. na vseh , imenovan homogena.

Očitno je ta enačba vedno mogoče dati v mislih
(4.2), čeprav ga ni mogoče storiti za rešitev.

Homogena enačba je na voljo enačbi z ločilnimi spremenljivkami z zamenjavo želene funkcije y. Po formuli y.= zX., kje z.(x.) - Nova želena funkcija. Z dokončanjem te zamenjave v enačbi (4.2) dobimo:
ali
ali
.

Vključevanje, dobimo skupni integral enačbe v zvezi s funkcijo z.(x.)
po zamenjavi
Daje skupni integral izvornega enačbe. Poleg tega, če - korenine enačbe
, potem funkcije
- rešitve homogene določene enačbe. Če.
, Enačba (4.2)

in postane enačba z ločilnimi spremenljivkami. Njegove odločitve so pol-enostavne:
.

Komentar. Včasih je priporočljivo namesto zgoraj navedene zamenjave za zamenjavo x.= zy..

§ 5. Diferencialne enačbe, ki so posledica homogenih.

Razmislite o razgledni enačbi
. (5.1)

Če
, potem to enačbo s pomočjo zamenjave, kjer in - nove spremenljivke in - Nekatere konstantne številke, definirane iz sistema

Določa homogeno enačbo

Če
, nato pa enačba (5.1)

Verjel z.= sekira.+ jo, Prihajamo v enačbo, ki ne vsebuje neodvisne spremenljivke.

Razmislite o primerih.

Primer 1.

Integracijo enačbe

in izberite integralno krivuljo, ki poteka skozi točke: a) (2; 2); b) (1; -1).

Sklep.

Pot. y.= zX.. Potem dY.= xDZ.+ zDX.in

Prijavite se in zbirajo člane, ko dx.in dZ.:

Razdelimo spremenljivke:

.

Vključujemo, dobimo;

ali
,
.

Zamenjava tukaj z. na The , Dobimo skupni sestavni del določene enačbe v obliki (5.2)
ali

.

To je družina krogov
katerih centri ležijo na ravni črti y. = x.in ki na začetku koordinat se nanašajo na neposredno y. + x. = 0. To je naravnosty. = - x. po drugi strani pa posebna rešitev enačbe.

Sedaj načina kavčaja:

A) verjamejo v splošni integral x.=2, y.=2, najti C \u003d 2,zato bo želena odločitev
.

B) Noben od krogov (5.2) poteka skozi točko (1; -1). Toda pol-bypass y. = - x.,
prehaja skozi točko in daje želeno rešitev.

Primer 2. Rešite enačbo :.

Sklep.

Enačba je poseben primer enačbe (5.1).

Delovalci
v ta primer
, zato morate rešiti naslednji sistem

Rešiti, da
. Zamenjava zamenjave v dani enačbi
, Dobimo homogeno enačbo. Vključevanje z zamenjavo
Najti
.

Vračanje v stare spremenljivke x.in y.po formulah.
Imamo.

§ 6. Generalizirana homogena enačba.

Enačba M.(x., y.) dx.+ N.(x., y.) dY.=0 imenovano generalizirano homogeno, če boste uspeli pobrati takšno številko k.da leva stran te enačbe postane homogena funkcija neke mere m.približno x., y., dx.in dY.pod pogojem x.upoštevana je prva dimenzija y. – k.meritev , dx.in dY. – v skladu s tem nič I. (k.-1) -Here dimenzije. Na primer, taka bo enačba
. (6.1)

Dejansko s predpostavko meritev

x., y., dx.in dY.Člani na levi
in dY.imela oziroma merila -2, 2 k. in k.-. Izvažati jih, smo pridobili pogoj, da mora izpolnjevati želeno številko k.: -2 = 2k.=k.-. Ta pogoj se izvaja, ko k.\u003d -1 (s takimi k. Vsi člani levega dela enačbe, ki se obravnavajo, bodo imeli merjenje -2). Zato je enačba (6.1) generalizirana homogena.

Splošna homogena enačba je na voljo enačbi z ločilnimi spremenljivkami z zamenjavo
kje z. - Nova neznana funkcija. Integrirana z določeno metodo enačbo (6.1). Sodišče k.\u003d -1, potem
, po katerem dobimo enačbo.

Vključevanje, iskanje
Od!
. To je splošna rešitev enačbe (6.1).

§ 7. Linearne diferencialne enačbe prvega reda.

Linearna enačba prvega reda se imenuje enačba, linearna glede na želeno funkcijo in njegov derivat. Ima obliko:

, (7.1)

kje Str.(x.) in Q.(x.) - določene neprekinjene funkcije iz x.. Če je funkcija
, ta enačba (7.1) ima obrazec:
(7.2)

in se imenuje linearna homogena enačba, sicer
Imenuje se linearna nehomogena enačba.

Linearna homogena diferencialna enačba (7.2) je enačba z ločilnimi spremenljivkami:

(7.3)

Izraz (7.3) Obstaja splošna rešitev enačbe (7.2). Najti splošno rešitev enačbe (7.1), v kateri je funkcija Str.(x.) Označuje isto funkcijo kot v enačbi (7.2), uporabljamo sprejem, imenovano variacijo poljubne konstante in na naslednji način: Poskušali bomo izbrati funkcijo C \u003d C (x.) tako bi bila celotna raztopina linearne homogene enačbe (7.2) raztopina neenakomerne linearne enačbe (7.1). Potem bomo za funkcijo izvedene finančne instrumente (7.3) dobili:

Zamenjava derivata, ki ga najdemo v enačbi (7.1), bomo imeli:

ali
.

Od
kjer - poljubna konstanta. Posledično bo splošna rešitev nehomogene linearne enačbe (7.4) (7.4)

Prvi izraz v tej formuli je splošna rešitev (7.3) linearne homogene diferencialne enačbe (7.2), drugi izraz s formulo (7.4) pa je zasebna rešitev linearne nehomogene enačbe (7.1), pridobljena iz splošnega (7.4)
. Ta pomemben rezultat bo dodelil v obliki izreka.

Teorem. Če je ena posebna rešitev znana po linearni nehomogeni diferencialni enačbi
Vse druge rešitve so
kje
- Splošna rešitev ustrezne linearne homogene diferencialne enačbe.

Vendar je treba opozoriti, da je za reševanje linearne nehomogene diferencialne enačbe prvega reda (7.1), se pogosto uporablja druga metoda, ki se včasih imenuje Bernoulli. Poiskali bomo rešitev enačbe (7.1) kot
. Potem
. Nadomestilo izvedenega finančnega instrumenta v prvotni enačbi:
.

Združujemo, na primer, drugi in tretji pogoji zadnjega izraza in opravili funkcijo u.(x.) Za nosilcem:
(7.5)

Potrebovali bomo cirkulacijo na nič okrogle nosilce:
.

Odločil sem se to enačbo, verjamem poljubno konstanto C. enaka nič:
. Z najdeno funkcijo v.(x.) Vrnimo se na enačbo (7.5):
.

Reševanje, dobimo:
.

Posledično ima splošna rešitev enačbe (7.1) obliko:

§ 8. Bernoulli enačba.

Opredelitev.

Enačba razlika
kje
, imenovan Bernoulli enačba.

Predvidevam da
, razdelimo oba dela Bernoulli enačbe . Kot rezultat, dobimo:
(8.1)

Predstavimo nova funkcija
. Potem
. Enačba na domu (8.1) na
in pojdimo na funkcijo z.(x.) :
. Za funkcijo z.(x.) Prejel linearno nehomogeno enačbo prvega reda. Ta enačba je rešena z metodami, ki so bile razstavljene v prejšnjem odstavku. Namesto tega nadomestite svoje splošno odločitev z.(x.) izraz
, dobimo celovit integral Bernoulli enačbe, ki je zlahka dovoljena glede na y.. Za
Definirana rešitev y.(x.)=0 . Bernoulli enačba se lahko reši tudi brez prehoda na linearno enačbo s substitucijo
in uporaba metode Bernoulli, detajle razstavljenih § 7.. Razmislite o uporabi te metode za reševanje Bernoulli Equation na poseben primer.

Primer. Poiščite splošno rešitev enačbe:
(8.2)

Sklep.

Posledično je splošna rešitev te enačbe oblika:
, y.(x.)=0.

§ 9. Diferencialne enačbe v popolne razlike.

Opredelitev. Če je v enačbi M.(x., y.) dx.+ N.(x., y.) dY.=0 (9.1) Levi del je popolna diferencial nekaterih funkcij. U.(x., y.) Potem se imenuje enačba v popolnih razlikah. Ta enačba je mogoče ponovno napisati kot du.(x., y.)=0 zato je njegov skupni integral u.(x., y.)= c..

Na primer, enačba xdy.+ ydx.=0 obstaja enačba v polni diferenciali, kot jo je mogoče ponovno napisati v obliki d.(xy.)=0. Skupni integralni bo xy.= c. - poljubna diferenljiva funkcija. Diferenciacija (9.3) u
§ 10. Vključevanje multiplikatorja.

Če enačba M.(x., y.) dx. + N.(x., y.) dY. = 0 ni enačba v popolnih razlikah in obstaja funkcija µ = µ(x., y.) tako, da je po množenju obeh delov enačbe pridobljena enačba

μ (mdx + ndy) \u003d 0 v popolnih razlikah, t.j. μ (mdx + ndy)du., nato funkcijo µ(x., y.) imenovan integriran multiplikator enačbe. V primeru, ko enačba že ima enačbo v popolnih razlikah, verjame μ \u003d 1..

Če najdete integracijski multiplikator µ , potem se integracija te enačbe zmanjša na množenje obeh delov na µ in iskanje splošnega integracije pridobljene enačbe v polno razlike.

Če µ je nenehno diferencialna funkcija od x. in y.T.
.

Od tu sledi, da integrativni multiplikator µ Izpolnjuje naslednjo enačbo z zasebnimi derivati \u200b\u200bprvega reda:

(10.1).

Če veste, da to veste µ= µ(ω) kje ω - določena funkcija od x. in y., Enačba (10.1) se zniža na navadno (in več kot linearno) enačbo z neznano funkcijo µ od neodvisne spremenljivke ω :

(10.2),

kje
, t.e. Frakcija je funkcija samo od ω .

Reševanje enačbe (10.2), najdemo integrirano multiplikatorje

, od = 1.

Zlasti enačba M.(x., y.) dx. + N.(x., y.) dY. = 0 ima integracijo multiplikatorja, odvisno od x.(ω = x.) ali samo od y.(ω = y.), če se ustrezno izvaja naslednje pogoje:

,
.

Enačba M.(x., y.) dx.+ N.(x., y.) dY.=0 imenovano generalizirano homogeno, če boste uspeli pobrati takšno številko k.da leva stran te enačbe postane homogena funkcija neke mere m. približno x., y., dx. in dY. pod pogojem x. upoštevana je prva dimenzija y. – k.‑ meritev , dx. in dY. – v skladu s tem nič I. (k.-1) -Here dimenzije. Na primer, da bo enačba. (6.1)

Dejansko s predpostavko meritev

x., y., dx. in dY. Člani na levi
in dY. imela oziroma merila -2, 2 k. in k.-. Izvažati jih, smo pridobili pogoj, da mora izpolnjevati želeno številko k.: -2 = 2k. = k.-. Ta pogoj se izvaja, ko k. \u003d -1 (s takimi k. Vsi člani levega dela enačbe, ki se obravnavajo, bodo imeli merjenje -2). Zato je enačba (6.1) generalizirana homogena.

Vključevanje, iskanje
Od!
. To je splošna rešitev enačbe (6.1).

§ 7. Linearne diferencialne enačbe prvega reda.

Linearna enačba prvega reda se imenuje enačba, linearna glede na želeno funkcijo in njegov derivat. Ima obliko:

, (7.1)

kje Str.(x.) in Q.(x.) - določene neprekinjene funkcije iz x.. Če je funkcija
, ta enačba (7.1) ima obrazec:
(7.2)

in se imenuje linearna homogena enačba, sicer
imenuje se linearna nehomogena enačba.

Linearna homogena diferencialna enačba (7.2) je enačba z ločilnimi spremenljivkami:

(7.3)

Zamenjava derivata, ki ga najdemo v enačbi (7.1), bomo imeli:

ali
.

Od
kje - samovoljna konstanta. Posledično bo splošna rešitev nehomogene linearne enačbe (7.4) (7.4)

Teorem. Če je ena posebna rešitev znana po linearni nehomogeni diferencialni enačbi
Vse druge rešitve so
kje
- Splošna rešitev ustrezne linearne homogene diferencialne enačbe.

Združujemo, na primer, drugi in tretji pogoji zadnjega izraza in opravili funkcijo u.(x.) Za nosilcem:
(7.5)

Potrebovali bomo cirkulacijo na nič okrogle nosilce:
.

Odločil sem se to enačbo, verjamem poljubno konstanto C. enaka nič:
. Z najdeno funkcijo v.(x.) Vrnimo se na enačbo (7.5):
.

Reševanje, dobimo:
.

Posledično ima splošna rešitev enačbe (7.1) obrazec.

Diferencialne enačbe v splošnih funkcijah

Recimo, da obstaja enačba. Če obstaja skupna funkcija, je njena rešitev primitivna, to je. Naj bo zdaj posplošena funkcija.

Opredelitev. Generalizirana funkcija se imenuje primitivna generalizirana funkcija, če. Če gre za edinstveno posplošeno funkcijo, lahko pride do primerov, ko je njegova primitivna redna splošna funkcija. Na primer, primitivna je; Primarna funkcija je, in raztopina enačbe lahko napisana v obliki: kje.

tukaj je linearna enačba - naročite s konstantnimi koeficienti

kje je posplošena funkcija. Naj bo diferencialni polinomski red.

Opredelitev. Generalizirana raztopina diferencialne enačbe (8) je posplošena funkcija, za katero se izvede razmerje:

Če obstaja stalna funkcija, je edina rešitev enačbe (8) klasična rešitev.

Opredelitev. Temeljna rešitev enačbe (8) se imenuje vsaka splošna funkcija, tako da.

Zelena funkcija je temeljna rešitev, ki izpolnjuje mejno, začetno ali asimptotično stanje.

Teorem. Raztopina enačbe (8) obstaja in ima obrazec:

Če je definirano samo konvolucija.

Dokaz. Prav zares. Sledi lastnost konvolucije :. \\ T

Težko ni videti, da je temeljna rešitev te enačbe, od takrat

Lastnosti splošnih derivatov

Operacija diferenciacije Linearna in neprekinjena od:

v tem, če je v;

Vsaka splošna funkcija je neskončno diferencialna. Dejansko, če potem; Nato itd.;

Rezultat razlikovanja ni odvisen od postopka za diferenciacijo. Na primer;

Če je bila veljavna formula izpeljave dela dela. Na primer;

Če je splošna funkcija, potem;

Če serija, zbrana iz lokalno integrable funkcij, se konvergira enakomerno na vsakem kompakt, nato pa se lahko hitro diferencirajo po poljubnem številu (kot posplošeno funkcijo), pridobljene vrstice pa se konvergirajo.

Primer. Naj bo.

Funkcija se imenuje Funkcija Chevisida ali eno funkcijo. To je lokalno integrable in zato se lahko šteje za posplošeno funkcijo. Lahko najdete njegov derivat. V skladu z opredelitvijo, tj. .

Splošne značilnosti, ki izpolnjujejo kvadratne oblike s kompleksnimi koeficienti

Do sedaj smo upoštevali izjemno kvadratne oblike z realnimi koeficienti. Ta odstavek raziskuje prostor vseh kvadratne oblike s kompleksnimi koeficienti.

Naloga je določiti posplošeno funkcijo, kjer je kompleksno število. Vendar pa na splošno ne bo nedvoumna analitična funkcija. Zato, v prostoru vseh kvadratnih oblik, "zgornja polovica ravnine" kvadratnih oblik s pozitivno opredeljenim namišljenim delom in določi funkcijo za njih. Če je kvadratna oblika pripada tej "polovični ravnini", potem je pridelana, kje. Ta funkcija je nedvoumna analitična funkcija.

Zdaj lahko primerjate funkcijo Generalized:

kjer se integracija izvaja v celotnem prostoru. Integral (13) se konvergira, ko in je v tej polovici letalo z analitično funkcijo. Nadaljevanje analitično ta funkcija, funkcionalnost je definirana za druge vrednosti.

Za kvadratne oblike s pozitivno opredeljenim namišljenim delom, obstajajo posebne funkcije funkcij in izračunajo odbitke teh funkcij na visokih točkah.

Generalizirana funkcija analitično je odvisna ne le na, ampak tudi na koeficientih kvadratne oblike. Tako je analitična funkcija v zgornjem "pol-ravnini" vseh kvadratnih oblik vrst, kjer je pozitivno opredeljena oblika. Zato je edinstveno določena z njegovimi vrednostmi na "namišljenem polsis", t.j. na nizu kvadratnih oblik vrst, kjer je pozitivno opredeljena oblika.