İşlevin en büyük ve en küçük fonksiyonu. En küçük değer fonksiyonunun işlevinin en büyük ve en küçük değerleri F X

Bazen B15 görevleri, bir türev bulmanın zor olduğu "kötü" işlevlerle karşılaşır. Önceden, sadece problardaydı, ancak şimdi bu görevler o kadar yaygındır ki bu Ege'ye hazırlanırken artık göz ardı edilemezler.

Bu durumda, diğer teknikler, bunlardan biri - monoton.

F (x) fonksiyonu, bu segmentin x 1 ve x 2'sinin herhangi bir nokta için monotonik olarak artmaktadır: aşağıdakiler takip edilir:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

F (x) fonksiyonu, bu segmentin x 1 ve x 2'sinin herhangi bir noktasında ise, segmentte monoton bir şekilde azalır, aşağıdakiler takip edilir:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1)\u003e f ( x 2).

Başka bir deyişle, artan bir fonksiyon için, daha büyük x, daha fazla f (x). Fonksiyonu azaltmak için, diğer taraf: Daha fazla x, daha az f (x).

Örneğin, taban A\u003e 1 ise, logaritma monotonik olarak artar ve eğer 0 ise monotonca azalır.< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d COST A X (A\u003e 0; A ≠ 1; X\u003e 0)

Aritmetik kare (sadece kare değil) kök monotonal olarak tanım bölgesi boyunca artar:

Gösterge işlevi Logarithm'a benzer şekilde davranır:\u003e 1'de büyür ve 0'da azalır.< a < 1. Но в отличие от логарифма, Üstel fonksiyon Tüm numaralar için tanımlanmış, sadece x\u003e 0 için değil:

f (x) \u003d a x (a\u003e 0)

Son olarak, negatif bir gösterge ile derecelendirin. Onları bir kesir olarak kaydedebilirsiniz. Monotonluğun kırıldığı bir mola noktası var.

Bütün bu işlevler asla saf biçimde değildir. Türevini göz önünde bulundurmak zorlaştıkları için polinomlar, kesirler ve diğer saçmalıklar eklerler. Ne olur - şimdi inceleyeceğiz.

Vertex Parabola Koordinatları

En sık, işlev argümanı değiştirilir kare traj Y \u003d AX 2 + BX + C. Programı, ilgilendiğimiz standart bir paraboladır:

Parabol dalları - yukarı (\u003e 0) veya aşağı (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Parabolun üst kısmı, bu fonksiyonun en küçük (A\u003e 0 için) veya en büyük (a için) olduğu ikinci dereceden bir fonksiyonun ekstremum noktasıdır.< 0) значение.

En büyük ilgi en iyi parabolia.Abscissa, formül tarafından hesaplanan:

Böylece, ikinci dereceden bir fonksiyonun ekstremyumunun noktasını bulduk. Ancak MonoTonne'nin ilk işlevi, bunun için, x 0 noktası da ekstremum nokta olacaktır. Böylece, anahtar kuralını formüle ediyoruz:

Ekstremum kare kare noktaları ve karmaşık fonksiyoniçeri girdiğinde, çakışır. Bu nedenle, kare üç çekim için x 0 arayabilir ve işlevi puanlayabilirsiniz.

Yukarıdaki akıl yürütmesinden anlaşılmaz kalır, hangi noktayı aldık: maksimum veya minimum. Ancak, görevler özel olarak derlenmiştir, böylece önemli değildir. Kendin için yargıç:

Segment sorunun durumunda eksik. Bu nedenle, F (a) ve f (b) hesaplamak gerekli değildir. Sadece ekstremum noktaları dikkate almak için kalır;
Ancak, koordinatları kelimenin tam anlamıyla sözlü olarak ve herhangi bir türev olmadan hesaplanan parabol X 0'un yalnızca bir noktalarıdır.

Böylece, sorunun çözümü keskin bir şekilde basitleştirilir ve iki adımdan aşağı iner:

Parabolla denklemini Y \u003d AX 2 + BX + C yazın ve Formül: X 0 \u003d -B / 2A ile Vertex'i bulun;
Bu noktada kaynak fonksiyonun değerini bulun: f (x 0). Ek şart yoksa, cevap olacaktır.

İlk bakışta, bu algoritma ve gerekçesi karmaşık görünebilir. Kasıtlı olarak kararın "çıplak" şemasını göndermiyorum, çünkü bu tür kuralların düşüncesiz uygulaması hatalarla doludur.

Matematikte duruşma sınavından gerçek görevleri düşünün - orada bu teknik En sık karşılaşır. Aynı zamanda, bu şekilde B15'in neredeyse oral olacağını göreceğiz.

Kök altında, bir kuadratik bir fonksiyon y \u003d x 2 + 6x + 13 vardır. Bu fonksiyonun grafiği, A \u003d 1\u003e 0 katsayısı için parabol dallarıdır.

En iyi parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 · 1) \u003d -6/2 \u003d -3

Parabolun dalları yukarı doğru yönlendirildiğinden, X 0 \u003d -3 noktasında Y \u003d X2 + 6x + 13 işlevi en küçük değeri alır.

Kök monotonik olarak artar, bu da X 0 anlamına gelir - tüm fonksiyonun minimumunun noktası. Sahibiz:

Bir görev. İşlevin en küçük fonksiyonunu bulun:

y \u003d Günlük 2 (x 2 + 2x + 9)

Logaritma altında, ikinci dereceden bir fonksiyon: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafik - Parabola şubeleri yukarı, çünkü a \u003d 1\u003e 0.

En iyi parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 · 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Böylece, X 0 \u003d -1 noktasında, ikinci dereceden fonksiyon en küçük değeri alır. Ancak Y \u003d log 2 x işlevi monoton, yani:

y min \u003d y (-1) \u003d log 2 ((-1) 2 + 2 · (-1) + 9) \u003d ... \u003d log 2 8 \u003d 3

Gösterge, y \u003d 1 - 4x - x 2 kuadratik fonksiyondur. Normal biçimde yeniden yazın: Y \u003d -X 2 - 4X + 1.

Açıkçası, bu fonksiyonun programı parabol, dalları aşağı (a \u003d -1)< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d - (- 4) / (2 · (-1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d -2

İlk işlev göstergesidir, Monotonne, yani en büyük değer Bulunan noktada x 0 \u003d -2:

Özenli okuyucu muhtemelen kök ve logaritmun izin verilen değerleri alanından yazmadığımızı fark edecektir. Ancak bu gerekli değildi: fonksiyonların içinde her zaman olumlu.

Fonksiyonun belirlenmesi fonksiyonundan kaynaklanan sonuçlar

Bazen B15 sorunu çözmek için sadece parabolun tepesini bulmak için yeterli değildir. İstenilen değer yalan söyleyebilir kesimin sonundave nüfuzumun noktasında hiç değil. Görev hiç bir segment belirtmezse, bakıyoruz. İzin verilen değerlerin alanı Kaynak fonksiyonu. Yani:

Yine dikkat edin: Sıfır kökün altında olabilir, ancak bir logaritma veya denomoterde, asla. Belirli örneklerde nasıl çalıştığını görelim:

Bir görev. İşlevin en büyük değerini bulun:

Kök altında, ikinci dereceden fonksiyon: Y \u003d 3 - 2x - x 2. Grafiği - parabol, ama aşağı dallar, çünkü bir \u003d -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический kare kök Negatif sayıdan yok.

İzin verilen değerlerin (OTZ) alanını yazıyoruz:

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [-3; bir]

Şimdi parabolun tepesini buluyoruz:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d - (- 2) / (2 · (-1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d -1

X 0 \u003d -1 noktası OTZ bölümüne aittir - ve bu iyidir. Şimdi, X 0 noktasındaki işlevin değerini ve OTZ'nin uçlarında olduğunu düşünüyoruz:

y (-3) \u003d y (1) \u003d 0

Yani, 2 ve 0 numaralarını aldılar. En büyükünü bulmamız isteniyor - bu 2 numaralı.

Bir görev. İşlevin en küçük fonksiyonunu bulun:

y \u003d Günlük 0.5 (6x - x 2 - 5)

Logaritmun içinde kuadratik fonksiyona mal oluyor y \u003d 6x - x 2 - 5. Bu bir parabol şubesidir, ancak logaritm içinde negatif sayılar olabilir, bu yüzden yazıyoruz ...

6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Lütfen dikkat: Eşitsizlik katıdır, bu yüzden uçlar OTZ'ye ait değildir. Bu logaritma, segmentin uçlarının oldukça uygun olduğu kökten farklıdır.

Parabolun tepesini arıyoruz:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 · (-1)) \u003d -6 / (- 2) \u003d 3

Parabolun üst kısmı ODZ için uygundur: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Ancak, segmentin sonları bizi ilgilendirmediğinden, fonksiyonun değerini sadece x 0 noktasında göz önünde bulundurun:

y min \u003d y (3) \u003d Günlük 0.5 (6 · 3 - 3 2 - 5) \u003d Günlük 0.5 (18 - 9 - 5) \u003d Günlük 0.5 4 \u003d -2

İşlemek y \u003df. (x) segmentte sürekli [ a, B.]. Bilindiği gibi, bu segmentteki bu işlev en büyük ve en küçük değerlere ulaşır. Bu değerler özelliği, segmentin iç noktasında da alabilir [ a, B.], segmentin sınırında.

Segment üzerindeki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, B.] Gerekli:

1) Aralıktaki kritik noktaları fonksiyonları bulun ( a, B.);

2) Bulunan kritik noktalardaki işlevin değerlerini hesaplayın;

3) Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani, x.= fakat ve x \u003d B.;

4) En büyük ve en küçük olanı seçmek için fonksiyonun tüm hesaplanan değerlerinden.

Misal. İşlevin en büyük ve en küçük değerlerini bulun

segmentte.

Kritik noktaları buluruz:

Bu noktalar segmentin içinde yatıyor; y.(1) = ‒ 3; y.(2) = ‒ 4; y.(0) = ‒ 8; y.(3) = 1;

noktada x.\u003d 3 ve noktada x.= 0.

İşlevin şişkinlik ve enfeksiyon noktasına soruşturulması.

İşlev y. = f. (x.) aranan bina Aralıkta (a., b.) Takvimi teğet altında yatıyorsa, bu boşluğun herhangi bir noktasında geçirilir ve denir dışbükey aşağı (içbükey)Programı bir teğette yatıyorsa.

Çıkıntının somutluk ile değiştirileceği veya tam tersi olan nokta enfeksiyon noktası.

Bulge ve enfeksiyon noktasında araştırma için bir algoritma:

1. İkinci türün kritik noktalarını bulun, yani ikinci türevin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalar.

2. Sayısal düz noktalara kritik noktaları uygulayın, boşluklara bölünür. Her aralıkta ikinci türevin bir işareti bulun; Eğer, işlev dışkısı olursa, eğer fonksiyon dışbükey ise.

3. İkinci türün kritik noktasını geçerken, işareti değiştirirse ve bu noktada ikinci türev sıfırdır, o zaman bu nokta, enfeksiyon noktasının abscısasıdır. Koridorunu bul.

Asemptotes grafik grafikleri. Asemptotlarda araştırma işlevi.

Tanım.Asymptota grafiği işlevi denir düz, mülkün, bu düz noktaya kadar olan mesafenin, programın gelişim noktasının sınırsız bir şekilde sökülmesi ile sıfıra dayanıyor.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.

Tanım. Doğrudan denilen dikey asimptotafonksiyon grafikleri y \u003d f (x)Bu noktadaki fonksiyonun tek taraflı sınırlarından en az biri sonsuzluk ise, yani

İşlevi kırma noktası, yani, tanım alanına aittir.

Misal.

D ( y.) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x.\u003d 2 - Bir boşluk noktası.

Tanım.Düz y \u003dA. aranan yatay asimptota Fonksiyon grafikleri y \u003d f (x) Ne zaman, eğer

Misal.

x.
y.

Tanım.Düz y \u003dk.x +.b. (k.≠ 0) denilen eğimli asimptoto Fonksiyon grafikleri y \u003d f (x) nerede

Araştırma işlevleri için genel şema ve grafikler oluşturun.

İşlev Araştırma Algoritmasıy \u003d f (x) :

1. Alan tanımı alanını bulun D. (y.).

2. (Mümkünse), grafiğin koordinat eksenleri ile kesişme noktasını bulun (ne zaman) x. \u003d 0 ve y. = 0).

3. İşlevin paritesini ve tuhaflığını keşfedin ( y. (‒ x.) = y. (x.) ‒ parite; y.(‒ x.) = ‒ y. (x.) ‒ doğruluk).

4. İşlev grafiklerinin asimptotlarını bulun.

5. İşlevin monotonluk aralıklarını bulun.

6. Aşırı işlevleri bulun.

7. Konvekseğin aralıklarını (konvansite) ve fonksiyonun grafiklerinin çekim noktalarını bulun.

8. Bir fonksiyon programı oluşturmak için yapılan çalışmalara dayanarak.

Misal.İşlevi keşfedin ve programını oluşturun.

1) D. (y.) =

x. \u003d 4 - GAP noktası.

2) için x. = 0,

(0; - 5) - Kavşak noktası oy..

İçin y. = 0,

3) y.(‒ x.)= Genel formun işlevi (ne bile veya tek).

4) Asimptotları keşfetmek.

a) dikey

b) yatay

c) Biz eğimli asimptotlar nerede

-Eğimli asimptotların giderilmesi

5) Bu denklem bir fonksiyon monotonluğu aralıkları gerektirmez.

Bu kritik noktalar, fonksiyonu belirleme alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; + ∞). Elde edilen sonuçlar, aşağıdaki tablo formunda elverişli bir şekilde sunulur:



				eCR yok.

Tablodan bu nokta açıktır. h. \u003d -2 noktada maksimum nokta h. \u003d 4-NO ENFORMUM, h. \u003d 10 mm minimum.

Denklemin değerini (- 3) değiştiriyoruz:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Bu fonksiyonun maksimum eşittir

(- 2; - 4) - Maksimum ekstremyum.

Bu fonksiyonun minimumu eşittir

(10; 20) - En az minimum.

7) Fonksiyonun grafiklerinin kötüye kullanımını ve çekim noktasını keşfedin

Uygulamada, en büyük ve en küçük fonksiyon değerini hesaplamak için bir türev kullanmak oldukça gereklidir. Bu işlemi, maliyetleri nasıl en aza indireceğinizi, karları arttırmayı, üretimdeki en uygun yükü hesaplar, yani herhangi bir parametrenin en uygun değerini belirlemeniz gereken durumlarda. Bu tür görevleri doğru çözmek için, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin ne olduğunu iyi anlamak gerekir.

Genellikle bu değerleri belirli bir aralıkta tanımlarız, bu da yani işlevi veya bir kısmını tanımlama alanına karşılık gelebilir. Bu bir segment gibi olabilir [a; b] ve açık bir aralık (a; b), (a; b], [a; b), sonsuz bir aralık (a; b), (a; b], [a; b) veya sonsuz bir boşluk - ∞ ; A, (- ∞; a], [a; + ∞), (- ∞; + ∞).

Bu malzemede, açıkça belirtilen bir işlevin en büyük ve en küçük değerinin bir değişken y \u003d f (x) y \u003d f (x) ile nasıl hesaplandığını açıklayacağız.

Ana tanımlar

Her zaman olduğu gibi, temel tanımların formülasyonu ile başlayalım.

Tanım 1.

Bazı boşluktaki Y \u003d F (x) fonksiyonunun en büyük değeri, maksimum \u003d f (x 0) x ∈ x, herhangi bir anlamı xx ∈ x, x ≠ x 0, eşitsizliği f (x) ≤ f ( x 0).

Tanım 2.

Bazı boşluktaki Y \u003d F (x) fonksiyonunun en küçük değeri, herhangi bir X ∈ X, X ≠ x 0 değeri olan bir Minx ∈ xy \u003d f (x 0), eşitsizliği (x f (x) yapar. ≥ f (x 0).

Bu tanımlar oldukça açık. Bunu söylemek daha da kolaydır: İşlevin en büyük değeri en çok büyük önem Abscissue X 0'daki bilinen aralıkta, en küçük, X 0'da aynı aralıktaki en küçük değerdir.

Tanım 3.

Kırtasiye noktalar, türevinin 0'a değinildiği işlev argümanının değerleridir.

Neden depolama alan puanlarını bilmemiz gerekiyor? Bu soruyu cevaplamak için, çiftlik teoremini hatırlamanız gerekir. Sabit bir noktanın, farklı fonksiyonun ekstremimasının bulunduğu bir nokta olduğundan (yani, yerel minimum veya maksimum) olduğunu takip eder. Sonuç olarak, fonksiyon, sabit noktalardan birinde bir aralıkta en küçük veya en önemlisi alacaktır.

Başka bir işlev, işlevin kendisinin tanımlandığı noktalarda en büyük veya en küçük değeri alabilir ve ilk türevi mevcut değil.

Bu konuyu incelemesiyle oluşan ilk soru: Her durumda, belirli bir segmentteki fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini belirleyebilir miyiz? Hayır, belirtilen boşluğun sınırları, tanım alanının sınırları ile örtüşecek ve sonsuz bir aralıkla uğraşırsak yapamayacağız. Ayrıca, belirli bir bölümdeki veya sonsuzluğundaki fonksiyonun sonsuz küçük veya sonsuz büyük değerler olacağı da olur. Bu durumlarda, en büyük ve / veya en küçük değeri belirlemek mümkün değildir.

Daha anlaşılır, bu anlar programdaki görüntüden sonra olacaktır:

İlk çizim bize, segmentte bulunan sabit noktalarda en büyük ve en küçük değerleri (M a x y ve m n y) alan bir fonksiyon göstermektedir [- 6; 6].

İkinci tabloda belirtilen davayı ayrıntılı olarak analiz ediyoruz. Segment değerini [1; 6] ve fonksiyonun en büyük değerinin, aralığın doğru sınırındaki Abscissa'sı ve en küçük - sabit noktada en azından elde edileceğini elde ediyoruz.

Abscissa'nın üçüncü çizgisinde, noktalar segmentin sınır noktalarıdır [- 3; 2]. Belirtilen işlevin en büyük ve en küçük değerine karşılık gelirler.

Şimdi dördüncü çizime bak. Bunda, fonksiyon, açık aralıktaki sabit noktalardaki M a x y (en büyük değeri) ve m i n y (en küçük değer) alır (- 6; 6).

Aralığı alırsak [1; 6), üzerindeki işlevin en küçük değerinin sabit bir noktada elde edileceği söylenebilir. En büyük değer olarak bilinmiyor. İşlev, x \u003d 6 aralığa aitse, 6'ya eşit, 6'ya eşit, 6'ya eşit değeri alabilir. Bu durum grafikte 5 çizilir.

Grafik 6'da, bu fonksiyonun en küçük değeri (- 3; 2] aralığın doğru sınırını elde eder ve en büyük değerle ilgili bazı sonuçlar veremiyoruz.

Şekil 7'de, fonksiyonun 1'e eşit bir apsis olan sabit bir noktada M a x y'ye sahip olacağını görüyoruz. En küçük fonksiyon sağ taraftaki aralığın sınırına ulaşacaktır. Eksi sonsuzluğundaki fonksiyonun değerleri, Y \u003d 3'e asimptotik olarak yaklaşır.

Eğer x ∈ 2 aralığını alırsak; + ∞, belirtilen fonksiyonun en küçük veya en büyük değer üstlenmeyeceğini göreceğiz. Eğer x 2 için çaba gösterirse, fonksiyonun değerleri eksi sonsuzluk için çaba gösterecektir, çünkü düz çizgi x \u003d 2 dikey bir asimptota olduğundan. Abscissa, artı sonsuzluğu eğilimindeyse, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak Y \u003d 3'e yaklaşır. Bu durum Şekil 8'de gösterilmiştir.

Bu noktada, bazı segmentte fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapılması gereken bir dizi eylem sunuyoruz.

Başlamak için, alan tanım alanını buluruz. Segmentin durumunda olup olmadığını kontrol edin.
Şimdi, bu segmentte yer alan noktaları, birinci türev olmadığı hesaplar. Çoğu zaman, argümanı modülün işareti altında veya göstergesi kesirli bir rasyonel sayı olan güç fonksiyonlarında kaydedilen fonksiyonlarda bulunabilirler.
Sonra, hangi sabit noktaları belirli bir segmentin içine gireceğini öğrenin. Bunu yapmak için, fonksiyon türevini hesaplamak için gereklidir, daha sonra onu 0'a eşitleyin ve uçtan kaynaklanan denklemi çözmek, daha sonra uygun kökleri seçmek mümkündür. Tek bir sabit noktada başarılı olamazsak, yoksa belirli bir segmentte düşmeyeceklerse, bir sonraki adıma gidiyoruz.
Hangi değerlerin, belirtilen sabit noktalarda (varsa) veya birinci türev olmadığı (varsa) veya X \u003d A ve X \u003d B değerini hesaplayan bu noktalarda hangi değerleri alacağınızı tanımlarız. .
5. Şimdi en çok ve en küçük seçmeniz gereken işlevin bir dizi işlevini ortaya koyduk. Bu, bulmamız gereken işlevlerin en büyük ve en küçük değerleri olacaktır.

Görevleri çözerken bu algoritmayı nasıl düzgün şekilde uygulayacağınızı görelim.

Örnek 1.

Durum: Y \u003d X3 + 4 x 2 işlevi belirtildi. Segmentlerdeki en büyük ve en küçük değerini belirler [1; 4] ve [- 4; - bir ] .

Karar:

Bu fonksiyonun tanım alanının konumu ile başlayalım. Bu durumda, 0 hariç, birçok geçerli sayıya sahip olacaktır. Başka bir deyişle, D (Y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Durumda belirtilen her iki segment de tanım alanında olacaktır.

Şimdi türev fonksiyonu farklılaşma modellerine göre hesaplayın:

y "\u003d x 3 + 4 x 2" \u003d x 3 + 4 "· x 2 - x 3 + 4 · x 2" x 4 \u003d 3 x 2 · x 2 - (x 3 - 4) · 2 xx 4 \u003d x 3 - 8 x 3

Türetilmiş fonksiyonun tüm segment noktalarında var olduğunu öğrendik [1; 4] ve [- 4; - bir ] .

Şimdi sabit fonksiyon noktaları tanımlamamız gerekiyor. X 3 - 8 x 3 \u003d 0 denklemiyle yapacağız. 2'ye eşit bir geçerli kökü var. Sabit bir fonksiyon noktası olacak ve birinci segmente düşecek [1; dört].

Birinci segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın ve bu noktada, yani. X \u003d 1, x \u003d 2 ve x \u003d 4 için:

y (1) \u003d 1 3 + 4 1 2 \u003d 5 Y (2) \u003d 2 3 + 4 2 2 \u003d 3 Y (4) \u003d 4 3 + 4 4 2 \u003d 4 1 4

M a x y x ∈ işlevinin en büyük değerini elde ettik [1; 4] \u003d \u003d Y (2) \u003d 3 x \u003d 1'de ve en küçük m i n y x ∈ olarak elde edilecektir [1; 4] \u003d Y (2) \u003d 3 - x \u003d 2'de.

İkinci segment tek bir sabit nokta içermez, bu nedenle fonksiyonun değerlerini yalnızca belirtilen segmentin uçlarında hesaplamamız gerekir:

y (- 1) \u003d (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 \u003d 3

M a x y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 1) \u003d 3, m, n y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Cevap:Bir segment için [1; 4] - M a x y x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3, m, n x ∈ [1; 4] \u003d Y (2) \u003d 3, segment için [- 4; - 1] - M a x y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 1) \u003d 3, m, n y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Şekil bkz:

Öğrenmeden önce bu methodTek taraflı limiti ve sonsuzluğun sınırını doğru bir şekilde hesaplamanızın yanı sıra konumlarının temel yöntemlerini öğrenmenizi öneririz. İşlevin en fazla ve / veya en küçük değerini açık veya sonsuz aralıkta bulmak için aşağıdaki adımları izleyin.

Öncelikle, verilen bir aralığın bu fonksiyonun tanım alanının bir alt kümesi olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir.
İstenilen aralıkta bulunan tüm noktaları tanımlar ve birinci türevin olmadığıdır. Genellikle, argümanın modül işaretinde ve güç fonksiyonlarında kesirli bir rasyonel gösterge ile sonuçlandığı fonksiyonları vardır. Bu noktalar yoksa, bir sonraki adıma geçebilirsiniz.
Şimdi, belirli bir boşluğa hangi durağan noktaların düşeceğini tanımlarız. İlk olarak, türevini 0'a eşitleyin, denklemi çözün ve doğru kökleri seçin. Tek bir sabit noktaya sahip değilsek, yoksa belirli bir araya girmezlerse, hemen daha fazla eylemde bulunun. Aralıkın görüşüyle \u200b\u200bbelirlenirler.

Aralık formu varsa [a; b), sonra fonksiyonun değerini x \u003d a noktasındaki ve tek taraflı LIM X → B - 0 F (x) sınırı hesaplamamız gerekir.
Aralıkın bir formu varsa (a; b], o zaman fonksiyonun değerini X \u003d B noktasındaki ve tek taraflı LIM X → A + 0 F (X) sınırı hesaplamamız gerekir.
Aralıkın bir formu (A; B) varsa, LIM X → B - 0 F (X), LIM X → A + 0 F (x) tek taraflı sınırlarını hesaplamamız gerekir.
Aralık formu varsa [a; + ∞), o zaman x \u003d a noktasındaki değeri hesaplamak için gereklidir ve sonsuzluk LIM X → + ∞ F (x).
Aralık (- ∞; b] gibi görünüyorsa, X \u003d B noktasındaki değeri ve eksi LIM X → - ∞ F (x) sonsuzluğu için değeri hesaplarız.
Eğer - ∞; b sonra tek taraflı limit limit x → B - 0 f (x) ve eksi sonsuzluk limiti için limitini göz önünde bulundururuz. → - ∞ F (x)
Eğer - ∞; + ∞, limitleri eksi ve artı sonsuzluk limsi x → + ∞ f (x), lim x → ∞ f (x) olarak görüyoruz.

Sonunda, elde edilen fonksiyonlara ve sınırlamalara dayanarak sonuçlandırılması gerekir. Burada birçok seçenek var. Bu nedenle, eğer tek taraflı limit eksi sonsuzluk veya artı sonsuzluk ise, hiçbir şeyin, işlevin en küçük ve en büyük değeri hakkında söylenemeyeceği hemen açıktır. Aşağıda tipik bir örneği analiz edeceğiz. Detaylı açıklamalar Ne olduğunu anlamanıza yardımcı olacak. Gerekirse, malzemenin ilk bölümünde Şekil 4 - 8'e dönebilirsiniz.

Örnek 2.

Durum: Y \u003d 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 işlevi verilir. Aralıklarla en büyük ve en küçük değerini hesaplar - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Karar

Her şeyden önce, alan tanım alanını buluruz. Denoter'de Fraci, 0 ile temas etmemesi gereken bir kare üç melan.

x 2 + x - 6 \u003d 0 d \u003d 1 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 25 x 1 \u003d - 1 - 5 2 \u003d - 3 x 2 \u003d - 1 + 5 2 \u003d 2 ⇒ D (Y): X ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Durumda belirtilen tüm aralıkların ait olduğu işlevi tanımlama alanını aldık.

Şimdi fonksiyonun farklılaşmasını yerine getirin ve alın:

y "\u003d 3 E 1 x 2 + x - 6 - 4" \u003d 3 · E 1 x 2 + x - 6 "\u003d 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6" \u003d \u003d 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "· x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 \u003d - 3 · (2 \u200b\u200bx + 1) · E 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Sonuç olarak, tanımları boyunca türevler var.

Sabit noktaları bulmanıza dönelim. Türev, x \u003d - 1 2'de 0'a atıfta bulunur. Bu aralıklarla (- 3; 1] ve (- 3; 2) olan sabit bir nokta.

Boşluk (- ∞; - 4] için x \u003d - 4'te fonksiyonun değerini hesaplayın; ayrıca eksi sonsuzluk için limit:

y (- 4) \u003d 3 E 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 E 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 LIM X → - ∞ 3 E 1 x 2 + X - 6 \u003d 3 E 0 - 4 \u003d - 1

3 E 1 6 - 4\u003e - 1, bu nedenle Maxyx ∈ (- ∞; - 4] \u003d y (- 4) \u003d 3 E 1 6 - 4. Bize benzersiz bir şekilde belirleme fırsatı vermez. fonksiyon. Sadece aşağıda bir sınır olduğu bir sonuçtur - 1, çünkü işlevin eksi sonsuzluk için asimpotik olarak yaklaştığını tam olarak bu değere sahiptir.

İkinci aralığın bir özelliği, tek bir sabit nokta ve tek katı bir sınır olmadığıdır. Sonuç olarak, en büyük veya en küçük fonksiyon değerini hesaplayamayız. Eksi sonsuzluğu için limiti belirlemiştir ve argüman sol tarafta - 3 - 3 için tasarlandığında, sadece değerlerin aralığını alırız:

lIM X → - 3 - 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → - 3 - 0 3 E 1 (x + 3) (x - 3) - 4 \u003d 3 E 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 E 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 E + ∞ - 4 \u003d + ∞ LIM X → - ∞ 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d 3 E 0 - 4 \u003d - 1

Bu, fonksiyonun değerlerinin aralıkta bulunacağı anlamına gelir; 1; + ∞.

Üçüncü boşluktaki en fazla işlevi bulmak için, X \u003d 1 ise, X \u003d - 1 2 sabit noktasında değerini tanımlarız. Ayrıca, argümanın sağ tarafta - 3 için çaba sarf edilmesi durumunda da tek taraflı limiti bilmemiz gerekecektir:

y - 1 2 \u003d 3 E 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 E 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 Y (1) \u003d 3 E 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 LIM X → - 3 + 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → - 3 + 0 3 E 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 E 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 E 1 (- 0) - 4 \u003d 3 E - ∞ - 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

En fazla değerin sabit noktada benimseneceğinin, en küçük değere göre en küçük değere gelince, belirlenemeyiz. Tek bildiğimiz şey. - Bu, aşağıdan - 4'e bir kısıtlamanın varlığıdır.

Aralık için (- 3; 2), önceki hesaplamanın sonuçlarını alacağız ve bir kez daha sol tarafta 2'yi takip ederken tek taraflı sınıra eşit olanı hesaplayacağız:

y - 1 2 \u003d 3 E 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 E - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 LIM X → - 3 + 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d - 4 LIM X → 2 - 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → - 3 + 0 3 E 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 \u003d 3 E 1 - 0 - 4 \u003d 3 E - ∞ - 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

Böylece, M a x y x ∈ (- 3; 2) \u003d y - 1 2 \u003d 3 E - 4 25 - 4 ve en küçük değer mümkün değildir ve fonksiyonun değerleri alt - 4 ile sınırlıdır.

Önceki iki hesaplamada yaptığımız şeylere dayanarak, aralıkta olduğunu iddia edebiliriz [1; 2) İşlev, x \u003d 1'de en büyük değeri alır ve en küçüğü bulmak mümkün değildir.

Aralıkta (2; + ∞) işlev, en büyük veya en küçük değere ulaşmaz, yani. Boşluktan değer alacak - 1; + ∞.

lIM X → 2 + 0 3 E 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d LIM X → - 3 + 0 3 E 1 (x + 3) (x - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 E + ∞ - 4 \u003d + ∞ LIM X → + ∞ 3 E 1 x 2 + x - 6 - 4 \u003d 3 E 0 - 4 \u003d - 1

X \u003d 4'te fonksiyonun değeri ne olacağını hesaplamak, m a x y x ∈ [4; + ∞) \u003d Y (4) \u003d 3 E 1 14 - 4 ve sonsuzluğun artı için belirtilen fonksiyon asimptotik olarak doğrudan y \u003d - 1'e yaklaşır.

Verilen bir fonksiyonun grafiğiyle her hesaplamada ortaya çıktıklarımızla karşılaştırılabilir. Şekilde asimptotlar noktalı çizgi ile gösterilir.

İşlevin en büyük ve en küçük değerlerini bulmaktan bahsetmek istediğimiz tek şey bu. LED'imiz olan eylemlerin dizileri, gerekli hesaplamaları hızlı ve basit bir şekilde yapmanıza yardımcı olacaktır. Ancak, fonksiyonun hangi dönemlerde azalacağını ve daha fazla sonuç verebileceğiniz şeyin ne dönemdeyeceğini ilk öğrenmek için genellikle faydalı olduğunu unutmayın. Böylece, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini daha doğru bir şekilde belirleyebilir ve elde edilen sonuçları haklı çıkarabilirsiniz.

Metinde bir hata görürseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşuna basın.

2020 Temmuz'da NASA Mars'a bir sefer başlattı. Uzay aracı, tüm kayıtlı sefer katılımcıların isimleri ile Mars'a elektronik bir ortam sunacak.

Bu yazı sorunuza karar verdiyse ya da sadece sevdim, arkadaşlarımla sosyal ağlarda bir bağlantıyı paylaşın.

Bu kod seçeneklerinden biri kopyalanmalı ve web sayfanızın koduna, tercihen etiketler arasında eklenmelidir. ve veya etiketten hemen sonra . İlk versiyona göre, MathJax daha hızlı yüklenir ve sayfayı yavaşlatır. Ancak ikinci seçenek otomatik olarak en son MathJax sürümlerini izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz, periyodik olarak güncellenmesi gerekir. İkinci kodu eklerseniz, sayfalar daha yavaş yüklenir, ancak MathJax güncellemelerini sürekli olarak izlemenize gerek kalmaz.

Connect MathJax Blogger veya WordPress'in en kolay yoludur. , MathJax komut dosyası asenkron bir şekilde yüklendiğinden beri hiçbir şekilde gerekli değildir). Bu kadar. Şimdi MathML, Lateks ve ASCIIMATHML MARKUP sözdizimini okuyun ve sitenizin web sayfalarında matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Başka bir Yeni Yılın Havva ... Pencere camındaki soğuk hava ve kar taneleri ... Bütün bunlar benden tekrar yazmamı istedi ... fraktallar ve bu alfa tungshes hakkında ne bildiği hakkında. Bu vesileyle, iki boyutlu fraktal yapıların örnekleri olduğu ilginç bir makale var. Burada, üç boyutlu fraktalların daha karmaşık örneklerini göreceğiz.

Fraktal, geometrik bir şekil veya gövde olarak görsel olarak hayal edilebilir (tanımlayabilir) (her ikisinin de çoğu, içinde bu durum, birçok nokta), detayları orijinal figürün kendisi ile aynı şekle sahip. Yani, bir artışla, aynı formu arttırmadan göreceğimizin ayrıntılarını göz önünde bulundurarak kendinden benzeri bir yapıdır. Oysa sıradan durumunda geometrik şekil (fraktal değil), bir artışla daha fazla olan detayları göreceğiz. basit şekilorijinal figürün kendisinden daha. Örneğin, yeterince büyük bir artışla, elips'in parçası düz bir çizgi gibi görünüyor. Fraktallar ile bu olmaz: Herhangi bir artışla, tekrar tekrar tekrar tekrar edecek aynı karmaşık şekli göreceğiz.

Fraktallar biliminin kurucusu olan Benoit Mandelbrot (Benoit Mandelbrot), makalesinde fraktallar ve sanatın bilim adına yazdı: "Fraktallar, içinde geometrik formlardır. eşit derecede Genel formunda olduğu gibi, ayrıntılarında kompleks. Yani, fraktalın bir kısmı bütünün büyüklüğüne yükseltilmişse, bir bütün ya da tam olarak veya belki de küçük bir deformasyon ile görünecektir. "

Pratik bir bakış açısıyla, fonksiyonun en büyük ve en küçük fonksiyonunu bulmak için türevinin kullanımı en büyük ilgi. Neye bağlı? Kârın maksimize edilmesi, maliyetlerin en aza indirilmesi, optimal ekipmanın yüklenmesi ... Başka bir deyişle, birçok yaşam alanında, herhangi bir parametreyi optimize etme problemlerini çözmeniz gerekir. Ve bu, fonksiyonun en büyük ve en küçük fonksiyonunu bulmanın görevleridir.

İşlevin en büyük ve en küçük değerinin genellikle belirli bir aralıkta arandığı, bu da tanım alanının işlevini veya bir kısmını belirleme fonksiyonunun tamamıdır. Aralığın kendisi bir segment, açık aralık olabilir , Sonsuz boşluk.

Bu yazıda, bir değişken y \u003d f (x) açıkça belirtilen bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak hakkında konuşacağız.

Gezinme sayfası.

İşlevin en büyük ve en küçük değeri tanımları, illüstrasyon.

Temel tanımlara kısaca odaklanın.

En büyük fonksiyon değeri ne için Adil eşitsizlik.

Fonksiyonun en küçük değeri Y \u003d F (x) x aralığında böyle bir değer çağırın ne için Adil eşitsizlik.

Bu tanımlar sezgiseldir: fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, abscissa sırasında dikkate alınan aralıktaki en büyük (küçük) değerdir.

Sabit noktalar - Bunlar, türevli fonksiyonun sıfıra çekildiği argümanın değerleridir.

En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden durağan noktalara sahibiz? Bu sorunun cevabı çiftlik teoremini verir. Bu teoremden, farklı fonksiyonun bir noktada ekstremum (yerel minimum veya yerel maksimum) varsa, bu nokta durağan olduğunu takip eder. Böylece, fonksiyon genellikle bu boşluktaki sabit noktalardan birinde X aralığında en büyük (en küçük) değerini alır.

Ayrıca, genellikle en büyük ve en küçük fonksiyon, bu fonksiyonun birincilik türevinin olmadığı noktalara girebilir ve işlevin kendisi tanımlanır.

Hemen bu konudaki en yaygın sorulardan birini cevaplayın: "Her zaman en büyük (en küçük) işlevi belirleyebilir misiniz? Hayır her zaman değil. Bazen X Gap'ın sınırları, fonksiyonun veya aralığı belirleme fonksiyonunun sınırları ile çakışır. X sonsuzdur. Ve sonsuzluk ve tanım alanının sınırları üzerindeki bazı fonksiyonlar sonsuz derecede büyük ve sonsuz küçük değerler olarak alabilir. Bu durumlarda, en büyük ve en küçük fonksiyon değeri hakkında hiçbir şey söylenemez.

Netlik için bir grafik illüstrasyon verin. Çizimlere bakın - ve çok daha net olacak.

Kesim

İlk çizimde, fonksiyon en büyük (maksimum y) ve segment içindeki sabit noktalardaki en küçük (MIN Y) değerlerini alır [-6; 6].

İkinci çizimde gösterilen davayı düşünün. Segment'i değiştirin. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük fonksiyonu sabit bir noktada elde edilir ve en büyük - aralığın doğru sınırına karşılık gelen bir abscissa ile bir noktada.

Şekil 2, segmentin sınır noktaları [-3; 2], fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaları nakgiye tabidir.

Açık aralık

Dördüncü çizimde, fonksiyon, açık aralıktaki sabit noktalardaki en büyük (maksimum y) ve en küçük (MIN Y) değerlerini (-6; 6) alır.

Aralıkta, en büyük değer hakkında herhangi bir sonuç çıkaramazsınız.

Sonsuzlukta

Yedinci kalıpta sunulan örnekte, fonksiyon, sabit noktadaki sabit noktadaki en yüksek değeri (MAX Y), Abscissa X \u003d 1 ile ve en küçük değer (MIN Y), aralığın sağ sınırında elde edilir. Eksi sonsuzlukta, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak Y \u003d 3'e yaklaşır.

Aralıkta, fonksiyon en küçük veya en büyük değere ulaşmaz. X \u003d 2 sağa doğru çaba gösterdiğinde, fonksiyonun değerleri eksi sonsuzluğa yöneliktir (düz X \u003d 2 dikey asimptotadır) ve abscissa'nın artı sonsuzluğun artı değerlerine çabaladığında Fonksiyon Asimptotik olarak Y \u003d 3'e yaklaşır. Bu örneğin grafiksel gösterimi Şekil 8'de gösterilmiştir.

Segmentte en büyük ve en küçük sürekli işlev bulmak için algoritma.

Segment üzerindeki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmanızı sağlayan algoritmayı yazıyoruz.

İşlevin belirlenmesi ve tüm segmentin içerip içermediğini kontrol edin.
İlk türev olmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktaları, modülün işareti altındaki argümanla ve fraksiyonel bir rasyonel gösterge ile güç fonksiyonlarında işlevlerde kullanılır). Böyle bir nokta yoksa, bir sonraki maddeye gidin.
Bir segmentin içine düşen tüm sabit noktaları tanımlarız. Bunun için, onu sıfıra eşittir, elde edilen denklemi çözer ve doğru kökleri seçin. Sabit nokta yoksa veya hiçbiri segmente düşmezse, bir sonraki maddeye döneriz.
Seçilen sabit noktalardaki işlevin değerlerini (varsa), birinci türev olmadığı (varsa) ve ayrıca x \u003d a ve x \u003d b olan noktalarda hesaplayın.
Fonksiyonun elde edilen değerlerinden, en büyük ve en küçükünü seçin - sırasıyla işlevin en ünlü ve en küçük değerleri olacaktır.

Segment üzerindeki fonksiyonun en büyük ve en küçük fonksiyonunu bulmak için bir örneği çözerken algoritmayı analiz edeceğiz.

Misal.

En büyük ve en küçük fonksiyonu bulun

segmentte;
segmentte [-4; -1].

Karar.

Alan tanımı alanı, sıfır hariç, bu da geçerlidir. Her iki segment de tanım alanına düşer.

Türev Fonksiyonu Bulun:

Açıkçası, türev fonksiyonu tüm bölüm noktalarında bulunur ve [-4; -1].

Denklemden tanımladığımız sabit noktalar. Sadece geçerli kök x \u003d 2'dir. Bu durağan nokta ilk segmenti girer.

İlk durum için, segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini ve sabit noktada, yani X \u003d 1, X \u003d 2 ve X \u003d 4:

Bu nedenle, fonksiyonun en büyük değeri x \u003d 1'de elde edildi ve en küçük değer - x \u003d 2'de.

İkinci bir durum için, fonksiyonun değerlerini yalnızca [-4; -1] bölümündeki uçlarında hesaplayın (tek bir sabit nokta içermez):

Karar.

Alan tanımı alanıyla başlayalım. Denomote Denizcisi'ndeki kare threesthals sıfıra eklememelidir:

Görevin durumundaki tüm aralıkların alan tanım alanına ait olduğunu doğrulamak kolaydır.

Farklılaşma işlevi:

Açıkçası, türev, fonksiyon tanımı alanında var.

Sabit noktaları bulun. Türev, sıfıra atıfta bulunur. Bu durağan nokta aralıklara (-3; 1] ve (-3; 2) düşer.

Ve şimdi her bir öğede elde edilen sonuçları bir fonksiyon grafiği ile eşleştirebilirsiniz. Mavi kesikli çizgiler asimptotları gösterir.

Bu, fonksiyonun en büyük ve en küçük fonksiyonunun bulgularıyla tamamlanabilir. Algoritmalar bu makalede sökülüyordu, minimum eylemde sonuç elde etmeyi mümkün kılar. Bununla birlikte, önce fonksiyonun artırılması ve azaldığı boşluklarını belirlemek faydalıdır ve sadece bu aralıklarla fonksiyonun en büyük ve en düşük değeri hakkında sonuçlar çıkardıktan sonra. Bu, daha net bir resim ve sonuçların sıkı bir şekilde gerekçelendirilmesi sağlar.