Kesişim noktasının yükseklikleri orana bölünür. Ders özeti "bir üçgenin yüksekliklerinin kesişimine ilişkin teorem"

Ders, bir üçgenin yüksekliğini bulmak için özelliklerin ve formüllerin yanı sıra problem çözme örneklerinin bir açıklamasını içerir. Uygun bir soruna çözüm bulamadıysanız - bunun hakkında foruma yaz. Elbette kurs güncellenecektir.

ÜÇGEN YÜKSEKLİK

Üçgen Yüksekliği- bir üçgenin tepesinden düşen, tepe noktasının karşı tarafına veya devamına çizilen bir dikey.

Özelliklerüçgen yükseklikleri:

Bir üçgende iki yükseklik eşitse, böyle bir üçgen ikizkenardır
Herhangi bir üçgende, üçgenin iki yüksekliğinin tabanlarını birleştiren bir parça verilene benzer bir üçgeni keser.
Bir üçgende, iki kenarda bulunan üçgenin iki yüksekliğinin tabanlarını birleştiren doğru parçası, sahip olmadığı üçüncü kenara paralel değildir. ortak noktalar. İki ucundan ve bu tarafın iki köşesinden her zaman bir daire çizebilirsiniz.
Dar bir üçgende, iki yüksekliği ondan benzer üçgenleri keser.
Bir üçgendeki minimum yükseklik her zaman o üçgenin içindedir

üçgen ortocenter

Bir üçgenin (üç köşeden çizilen) üç yüksekliği de bir noktada kesişir; ortocenter denir. Yüksekliklerin kesişme noktasını bulmak için iki yükseklik çizmek yeterlidir (iki çizgi sadece bir noktada kesişir).

Diklik merkezinin konumu (O noktası) üçgenin tipine göre belirlenir.

Dar bir üçgende, yüksekliklerin kesişme noktası üçgenin düzlemindedir. (Şek.1).

Bir dik üçgen için, yüksekliklerin kesişme noktası, dik açının tepe noktasıyla çakışır (Şekil 2).

Geniş bir üçgende, yüksekliklerin kesişme noktası üçgenin düzleminin arkasındadır (Şekil 3).

Bir ikizkenar üçgende, üçgenin tabanına çizilen medyan, açıortay ve yükseklik aynıdır.

Bir eşkenar üçgende, üç "olağanüstü" çizginin tümü (yükseklik, açıortay ve medyan) çakışır ve üç "olağanüstü" nokta (diklik merkezinin noktaları, ağırlık merkezi ve yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezi) aynı kesişme noktasındadır. "olağanüstü" çizgiler, yani ayrıca maç.

YÜKSEK STRİKUTNİK

Tricutnik'in yüksekliği - dik tricutnik'in tepesinden ihmaller, zıt köşe bіk veya її prodovzhennya'ya çizim.

Tricutnik'in üç yüksekliği de (üç tepeden gerçekleştirilir), ortocenter olarak adlandırıldığı için bir noktada örtüşür. Yükseklikler çizgisinin noktasını bilmek için iki yükseklik çizin (iki düz çizgi yalnızca bir noktada iç içe geçer).

Ortocenter konumu (O noktası) triko tipine göre belirlenir.

Bir gostrokutny tricutnik'te, dikey çizginin noktası tricutnik alanında bulunur. (Mal.1).

Düz kesimli bir tricutnik'te, dikey yükseklik çizgisinin noktası düz kuta'nın tepesinden yükselir (Mal. 2).

Geniş açılı bir tricutnikte, dikey çizginin noktası tricutnik düzleminin arkasında bulunur (Mal. 3).

Eşit femoral trikoda triko tabanına çizilen medyan, açıortay ve yükseklikten kaçınılır.

Eşit kenarlı bir tricutnik'te, üç "açıklama" çizgisinin tümü (yükseklik, bisectris ve medyan) çalışır ve üç "açıklama" noktası (ortomerkezin noktaları, vaga'nın merkezi ve yazılı ve sınırlandırılmış kil'in merkezi) bulunur. "açıklamalar" çizgilerinin enine çubuğunun bir noktasında, tob sonra tezh zbіgayutsya.

Bir üçgenin yüksekliğini bulmak için formüller

Şekil, bir üçgenin yüksekliğini bulmak için formüllerin algılanmasını kolaylaştırmak için gösterilmiştir. Genel kural- kenarın uzunluğu, karşılık gelen açının karşısında küçük bir harfle gösterilir. Yani a kenarı A açısının karşısındadır.
Formüllerdeki yükseklik, alt simgesi indirildiği tarafa karşılık gelen h harfi ile gösterilir.

Diğer tanımlamalar:
ABC- üçgenin kenar uzunlukları
H A- karşı açıdan a kenarına çizilen üçgenin yüksekliği
H B- b tarafına çizilen yükseklik
H C- c tarafına çizilen yükseklik
R- çevrelenmiş dairenin yarıçapı
R- yazılı dairenin yarıçapı

Formüller için açıklamalar.
Bir üçgenin yüksekliği, bu yüksekliğin indirildiği açıya bitişik kenarın uzunluğunun, bu kenar ile yüksekliğin indirildiği kenar arasındaki açının sinüsü ile çarpımına eşittir (Formül 1)
Bir üçgenin yüksekliği, üçgenin alanının iki katının bu yüksekliğin indirildiği tarafın uzunluğuna bölünmesine eşittir (Formül 2)
Bir üçgenin yüksekliği, bu yüksekliğin alçaldığı açıya bitişik kenarların çarpımının, etrafını saran dairenin yarıçapının iki katına bölünmesine eşittir (Formül 4).
Bir üçgendeki kenarların yükseklikleri, aynı üçgenin kenar uzunluklarının ters oranlarının birbiriyle ilişkili olması ve bir üçgenin kenar çiftlerinin çarpımlarının birbiriyle aynı oranda ilişkilidir. ortak açı birbiriyle aynı oranda ilişkilidir (Formül 5).
Üçgenin yüksekliklerinin karşılıklı değerlerinin toplamı, böyle bir üçgene yazılan dairenin yarıçapının tersine eşittir (Formül 6)
Bir üçgenin alanı, bu üçgenin yüksekliklerinin uzunlukları aracılığıyla bulunabilir (Formül 7)
Yüksekliğin alçaldığı üçgenin kenarının uzunluğu, formül 7 ve 2 uygulanarak bulunabilir.

için görev.

dikdörtgen şeklinde ABC üçgeni(açı C = 90 0) CD yüksekliği çizilir. AD = 9 cm, BD = 16 cm ise CD'yi belirleyin

Çözüm.

ABC, ACD ve CBD üçgenleri benzerdir. Bu, doğrudan ikinci benzerlik kriterinden çıkar (bu üçgenlerdeki açıların eşitliği açıktır).

Dik üçgenler, birbirine ve orijinal üçgene benzer iki üçgene bölünebilen tek üçgen türüdür.

Bu üç üçgenin bu köşe sırasına göre gösterimleri: ABC, ACD, CBD. Böylece, aynı anda köşelerin yazışmalarını gösteririz. (ABC üçgeninin bir A köşesi aynı zamanda ACD üçgeninin A köşesine ve CBD üçgeninin C köşesine vs. karşılık gelir.)

ABC ve CBD üçgenleri benzerdir. Araç:

AD/DC = DC/BD, yani

Pisagor teoremini uygulama görevi.

ABC üçgeni bir dik üçgendir. Bu durumda C bir dik açıdır. CD=6cm yüksekliği ondan çizilir. Segment farkı BD-AD=5 cm.

Ara: ABC üçgeninin kenarları.

Çözüm.

1. Pisagor teoremine göre bir denklem sistemi oluşturun

CD2+BD2=BC2

CD2+AD2=AC2

çünkü CD=6

BD-AD=5 olduğundan, o zaman

BD = AD+5, o zaman denklem sistemi şu şekli alır:

36+(AD+5) 2 = BC 2

Birinci ve ikinci denklemi ekleyelim. Sol taraf sola, sağ taraf sağa eklendiğinden eşitlik bozulmaz. Biz:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

2. Şimdi, aynı Pisagor teoremine göre üçgenin orijinal çizimine bakıldığında, eşitlik doğru olmalıdır:

AC 2 + BC 2 = AB 2

AB=BD+AD olduğundan, denklem şöyle olur:

AC2+BC2=(AD+BD)2

BD-AD=5 olduğundan, BD = AD+5 ise, o zaman

AC2+BC2=(AD+AD+5)2

3. Şimdi çözümün birinci ve ikinci kısımlarını çözerken elde ettiğimiz sonuçlara bakalım. Yani:

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

AC2+BC2=(AD+AD+5)2

Onlar sahip genel kısım AC 2 + BC 2 . Böylece onları birbirine eşitliyoruz.

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+AD 2 +10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25

2AD 2 -10AD+72=0

alınan ikinci dereceden denklem diskriminant sırasıyla D=676'ya eşittir, denklemin kökleri şunlardır:

Segmentin uzunluğu negatif olamayacağından ilk kökü atıyoruz.

Sırasıyla

AB=BD+AD=4+9=13

Pisagor teoremini kullanarak üçgenin kalan taraflarını buluruz:

AC = (52)'nin kökü

Üçgenler.

Temel konseptler.

Üçgen- bu, tek bir düz çizgi üzerinde uzanmayan üç parça ve üç noktadan oluşan bir şekildir.

Segmentler denir partiler ve noktalar zirveler.

açıların toplamıüçgen 180 º'ye eşittir.

Üçgenin yüksekliği.

Üçgen Yüksekliği bir tepe noktasından karşı tarafa çizilen bir dikmedir.

Dar açılı bir üçgende, yükseklik üçgenin içinde bulunur (Şekil 1).

Bir dik üçgende, bacaklar üçgenin yükseklikleridir (Şek. 2).

Geniş bir üçgende yükseklik üçgenin dışından geçer (Şek. 3).

Üçgen yükseklik özellikleri:

Bir üçgenin açıortayı.

bir üçgenin açıortayı- bu, tepe noktasının köşesini ikiye bölen ve tepe noktasını karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bir parçadır (Şekil 5).

Bisektör özellikleri:

Bir üçgenin medyanı.

üçgen medyan- bu, tepe noktasını karşı tarafın ortasına bağlayan bir segmenttir (Şek. 9a).

Medyanın uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

2B 2 + 2C 2 - A 2
ben 2 = ——————
4

Nerede ben- kenara çizilmiş medyan A.

Bir dik üçgende, hipotenüse çizilen medyan hipotenüsün yarısıdır:

C
mc = —
2

Nerede mc hipotenüse çizilen medyan C(Şekil 9c)

Bir üçgenin medyanları bir noktada (üçgenin kütle merkezinde) kesişir ve bu noktaya yukarıdan sayılarak 2:1 oranında bölünür. Yani, tepe noktasından merkeze doğru olan parça, üçgenin merkezden kenarına doğru olan parçanın iki katıdır (Şekil 9c).

Bir üçgenin üç ortancası, onu eşit alana sahip altı üçgene böler.

orta hatüçgen.

Üçgenin orta çizgisi- bu, iki kenarının orta noktalarını birleştiren bir parçadır (Şek. 10).

Bir üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paraleldir ve onun yarısına eşittir.

Üçgenin dış köşesi.

dış köşeüçgen toplama eşittir bitişik olmayan iki iç köşe (Şek. 11).

Bir üçgenin dış açısı komşu olmayan tüm açılardan büyüktür.

Sağ üçgen.

sağ üçgen- bu dik açılı bir üçgendir (Şek. 12).

Dik üçgenin dik açının karşısındaki kenarına denir hipotenüs.

Diğer iki taraf denir bacaklar.

Bir dik üçgende orantılı bölümler.

1) Bir dik üçgende, dik açıdan çizilen yükseklik üç tane oluşturur. benzer üçgenler: ABC, ACH ve HCB (Şek. 14a). Buna göre yüksekliğin oluşturduğu açılar A ve B açılarına eşittir.

Şekil 14a

İkizkenar üçgen.

İkizkenar üçgen- bu, iki kenarın eşit olduğu bir üçgendir (Şek. 13).

Bunlar eşit taraflar isminde taraflar ve üçüncü temelüçgen.

Bir ikizkenar üçgende, tabandaki açılar eşittir. (Üçgenimizde, A açısı açıya eşit C).

Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen medyan, üçgenin hem açıortayı hem de yüksekliğidir.

Eşkenar üçgen.

Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir (Şek. 14).

Eşkenar üçgenin özellikleri:

Üçgenlerin dikkat çekici özellikleri.

Üçgenler, bu şekillerle ilgili sorunları başarıyla çözmenize yardımcı olacak orijinal özelliklere sahiptir. Bu özelliklerden bazıları yukarıda özetlenmiştir. Ancak birkaç harika özellik daha ekleyerek bunları tekrarlıyoruz:

1) Açıları 90º, 30º ve 60º olan bir dik üçgende, bacak B 30º açısının karşısında yer alan, şuna eşittir: hipotenüsün yarısı. BacakA daha fazla bacakB√3 kez (Şek. 15 A). Örneğin, b'nin bacağı 5 ise hipotenüs C mutlaka 10'a eşit ve bacak A 5√3'e eşittir.

2) Açıları 90º, 45º ve 45º olan dik açılı bir ikizkenar üçgende, hipotenüs bacağın √2 katıdır (Şekil 15) B). Örneğin, bacaklar 5 ise, hipotenüs 5√2'dir.

3) Üçgenin orta çizgisi yarımdır. paralel taraf(şek.15 İle). Örneğin, bir üçgenin kenarı 10 ise, buna paralel orta çizgi 5'tir.

4) Bir dik üçgende hipotenüse çizilen ortanca, hipotenüsün yarısına eşittir (Şekil 9c): mc= c/2.

5) Üçgenin bir noktada kesişen ortancaları bu noktaya 2:1 oranında bölünür. Yani, tepe noktasından medyanların kesişme noktasına kadar olan bölüm, medyanların kesişme noktasından üçgenin kenarına kadar olan segmentin iki katıdır (Şekil 9c).

6) Bir dik üçgende, hipotenüsün orta noktası, çevrelenmiş çemberin merkezidir (Şek. 15) D).

Üçgenlerin eşitlik işaretleri.

Eşitliğin ilk işareti: Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, başka bir üçgenin iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse, bu tür üçgenler eştir.

Eşitliğin ikinci işareti: Bir üçgenin kenar ve komşu açıları, başka bir üçgenin kenar ve komşu açılarına eşitse, bu tür üçgenler eştir.

Eşitliğin üçüncü işareti: Bir üçgenin üç kenarı başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu tür üçgenler eştir.

Üçgen eşitsizliği.

Herhangi bir üçgende, her bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçüktür.

Pisagor teoremi.

Bir dik üçgende, hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir:

C 2 = A 2 + B 2 .

Bir üçgenin alanı.

1) Bir üçgenin alanı, kenarı ile bu kenara çizilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir:

Ah
S = ——
2

2) Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarının çarpımının yarısına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir:

1
S = — AB · AC · günah A
2

Bir çemberin çevrelediği üçgen.

Tüm kenarlarına değiyorsa, bir daireye üçgen içinde yazılı denir (Şek. 16) A).

Bir daire içine yazılmış üçgen.

Tüm köşeleriyle ona dokunursa, bir daire içinde yazılı bir üçgen denir (Şek. 17) A).

Sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant dar açı sağ üçgen (Şek. 18).

Sinüs dar açı X zıt hipotenüs için kateter.
Şu şekilde gösterilir: günahX.

Kosinüs dar açı X sağ üçgen orandır bitişik hipotenüs için kateter.
Şu şekilde gösterilir: çünkü X.

Teğet dar açı X karşı bacağın bitişik bacağa oranıdır.
Şu şekilde gösterilir: tgX.

Kotanjant dar açı X bitişik bacağın karşı bacağa oranıdır.
Şu şekilde gösterilir: ctgX.

Tüzük:

Bacak karşı köşe X, hipotenüs ve günahın çarpımına eşittir X:

b=c günah X

Bacak köşeye bitişik X, hipotenüs ve cos ürününe eşittir X:

bir = ççünkü X

Bacak karşı köşe X, ikinci bacağın ürününe eşittir ve tg X:

b = bir tg X

Bacak köşeye bitişik X, ikinci bacak ve ctg'nin ürününe eşittir X:

bir = b ctg X.

Herhangi bir dar açı için X:

günah (90° - X) = çünkü X

çünkü (90° - X) = günah X

üçgen) veya geniş bir üçgende üçgenin dışından geçin.

Ansiklopedik YouTube

1 / 5

✪ Bir üçgenin ORTA ÇÖKÜSÜNÜN YÜKSEKLİĞİ 7. Derece

✪ açıortay, medyan, üçgen yüksekliği. Geometri 7. Sınıf

✪ 7. sınıf, 17. ders, Bir üçgenin medyanları, açıortayları ve yükseklikleri

✪ Medyan, Açıortay, Üçgen Yüksekliği | Geometri

✪ Ortanca, medyan ve yüksekliğin uzunluğu nasıl bulunur? | benimle sohbet et #031 | Boris Truşin

altyazılar

Bir üçgenin üç yüksekliğinin (ortamerkez) kesişme noktasının özellikleri

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ overrightarrow (CA))+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(Kimliği kanıtlamak için formüller kullanılmalıdır.

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA) )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (AK)))

E noktası, üçgenin iki yüksekliğinin kesişimi olarak alınmalıdır.)

Diklik merkezi merkeze izogonal eşlenik çevrelenmiş daire .
Diklik merkezi ağırlık merkezi ile aynı çizgi üzerinde yer alır, merkez çevrelenmiş daire ve dairenin merkezi dokuz nokta (bkz. Euler çizgisi).
Diklik merkezi akut üçgen, dik üçgeninde yazılı bir dairenin merkezidir.
Belirli bir üçgenin kenarlarının orta noktalarında köşelerle ortomerkez tarafından tanımlanan bir üçgenin merkezi. Son üçgen, birinci üçgene göre ek üçgen olarak adlandırılır.
Son özellik şu şekilde formüle edilebilir: Bir üçgenin çevrelediği çemberin merkezi, diklik merkezi ek üçgen.
Noktalar, simetrik diklik merkezi kenarlarına göre üçgen çevrel çemberin üzerindedir.
Noktalar, simetrik diklik merkezi kenarların orta noktalarına göre üçgenler de çevrelenmiş daire üzerinde uzanır ve karşılık gelen köşelerin taban tabana zıt noktalarıyla çakışır.
Eğer O, sınırlı daire ΔABC'nin merkezi ise, o zaman O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
Üçgenin tepe noktasından diklik merkezine olan uzaklık, çevrelenmiş çemberin merkezinden karşı kenara olan uzaklığın iki katıdır.
Çizilen herhangi bir segment diklik merkezi her zaman Euler çemberini çevrel çemberi kesene kadar ikiye böler. Diklik merkezi bu iki dairenin homojenliğinin merkezidir.
Teorem Hamilton. Diklik merkezini dar açılı bir üçgenin köşeleriyle birleştiren üç doğru parçası, onu orijinal dar açılı üçgenle aynı Euler dairesine (dokuz noktalı daire) sahip üç üçgene ayırır.
Hamilton teoreminin sonuçları:
- Diklik merkezini dar açılı bir üçgenin köşeleriyle birleştiren üç doğru parçası onu üçe böler Hamilton üçgeniçevrelenmiş çemberlerin eşit yarıçaplarına sahip.
- Üç çemberin çevrelenmiş çemberlerinin yarıçapları Hamilton üçgenleri orijinal dar açılı üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapına eşittir.
Akut bir üçgende, ortomerkez üçgenin içinde yer alır; geniş - üçgenin dışında; dikdörtgen bir şekilde - dik açının tepesinde.

Bir ikizkenar üçgenin yüksekliklerinin özellikleri

Bir üçgende iki yükseklik eşitse, o zaman üçgen ikizkenardır (Steiner-Lemus teoremi) ve üçüncü yükseklik, ortaya çıktığı açının hem ortancası hem de açıortayıdır.
Tersi de doğrudur: bir ikizkenar üçgende iki yükseklik eşittir ve üçüncü yükseklik hem medyan hem de açıortaydır.
Bir eşkenar üçgenin üç yüksekliği de eşittir.

Bir üçgenin yüksekliklerinin tabanlarının özellikleri

vakıflar yükseklikler, kendi özelliklerine sahip sözde orto-üçgeni oluşturur.
Dik üçgenin yakınında çizilen daire Euler dairesidir. Üçgenin kenarlarının üç orta noktası ve ortomerkez ile üçgenin köşelerini birleştiren üç parçanın üç orta noktası da bu daire üzerinde bulunur.
Son özelliğin başka bir formülasyonu:
- Bir çember dokuz nokta için Euler teoremi. vakıflarüç yükseklikler keyfi üçgen, üç kenarının orta noktaları ( içsel temelleri medyanlar) ve köşelerini ortomerkez ile birleştiren üç parçanın orta noktaları, hepsi aynı daire üzerinde (üzerinde) bulunur. dokuz nokta çemberi).
teorem. Herhangi bir üçgende, birleştiren doğru parçası zemin iki yüksekliklerüçgen verilene benzer bir üçgeni keser.
teorem. Bir üçgende, birleştiren doğru parçası zemin iki yükseklikler iki kenardaki üçgenler antiparalel ortak noktaları olmayan üçüncü bir kişi. İki ucundan ve ayrıca belirtilen üçüncü tarafın iki köşesinden bir daire çizmek her zaman mümkündür.

Üçgen yüksekliklerinin diğer özellikleri

eğer üçgen çok yönlü (çeşit çeşit), sonra onun dahili herhangi bir tepe noktasından çizilen açıortay, dahili medyan ve aynı tepe noktasından çizilen yükseklik.
Bir üçgenin yüksekliği, çapa (yarıçap) izogonal olarak eşleniktir. çevrelenmiş daire aynı köşeden çekilmiştir.
Dar açılı bir üçgende iki yükseklikler ondan benzer üçgenleri kesin.
Dikdörtgen üçgende yükseklik dik açının tepesinden çizilen , orijinaline benzer iki üçgene böler.

Bir üçgenin minimum yüksekliğinin özellikleri

Bir üçgenin minimum yüksekliğinin birçok uç özelliği vardır. Örneğin:

Bir üçgenin, üçgenin düzleminde uzanan çizgiler üzerindeki minimum ortogonal izdüşümü, yüksekliklerinin en küçüğüne eşit bir uzunluğa sahiptir.
Esnek olmayan bir üçgen plakanın çekilebileceği düzlemdeki minimum düz kesim, bu plakanın yüksekliklerinin en küçüğüne eşit bir uzunluğa sahip olmalıdır.
Üçgenin çevresi boyunca iki noktanın birbirine doğru sürekli hareketi ile, birinci buluşmadan ikinciye hareket sırasında aralarındaki maksimum mesafe, üçgenin yüksekliklerinden en küçüğünün uzunluğundan az olamaz.
Bir üçgendeki minimum yükseklik her zaman o üçgenin içindedir.

Temel oranlar

h a = b ⋅ günah ⁡ γ = c ⋅ günah ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot)S)(a))) Nerede S (\displaystyle S)- bir üçgenin alanı, bir (\görüntü stili bir)- yüksekliğin indirildiği üçgenin kenarının uzunluğu.
h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R))),) Nerede b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- kenarların ürünü, R - (\ displaystyle R-)çevrelenmiş çemberin yarıçapı
h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a))):(\frac (1)(b))):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), Nerede r (\görüntü stili r) yazılı dairenin yarıçapıdır.
S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b - 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c - 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c - 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c) ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), Nerede S (\displaystyle S) - bir üçgenin alanı.
a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b - 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c - 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c - 1 h a) (\ görüntüleme stili a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b))))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (A))))))))), bir (\görüntü stili bir)- yüksekliğin düştüğü üçgen kenarı ha (\displaystyle h_(a)).
Tabana indirilmiş bir ikizkenar üçgenin yüksekliği: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))

Nerede c (\görüntü stili c)- temel, bir (\görüntü stili bir)- taraf.

Dik üçgenin yüksekliğine ilişkin teorem

Bir ABC dik üçgeninin yüksekliği ise h (\displaystyle h) dik açının tepesinden çizilen, hipotenüsü bir uzunlukla böler c (\görüntü stili c) segmentlere m (\görüntü stili m) Ve n (\displaystylen) bacaklara karşılık gelen b (\görüntü stili b) Ve bir (\görüntü stili bir), o zaman aşağıdaki eşitlikler doğrudur.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya belirli bir kişiyle iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamızı ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemizi sağlar.
Zaman zaman kişisel bilgilerinizi size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlar için de kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara ifşa

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü taraflara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

Gerekirse - yasaya, yargı düzenine uygun olarak, yasal işlemlerde ve / veya kamu taleplerine veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, yasa uygulama veya diğer kamu yararı nedenleriyle bu tür bir ifşanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek, sizinle ilgili bilgileri de ifşa edebiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefe aktarabiliriz.

kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değiştirme ve imhaya karşı korumak için - idari, teknik ve fiziksel önlemler dahil - önlemler alıyoruz.

Gizliliğinizi şirket düzeyinde korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, gizlilik ve güvenlik uygulamalarını çalışanlarımıza iletiyoruz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.