Трение качения формула. Трение, его виды

ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ.

Из опыта человеческой деятельности известно, что работа, требуемая для качения тел друг относительно друга, обычно намного меньше, чем работа, необходимая для скольжения этих тел.

Трение качения наблюдается, когда одно тело перекатывается по другому и при повороте одного из которых относительно мгновенного или постоянного центра в контакт вступают новые участки поверхностей трения. Относительные скорости разных точек катящегося тела различны и определяются их удалением от контактной площадки (рис.).

Рис. Трение качения: 1 – перемещающееся тело, 2 – неподвижное тело

Трение качения встречается в подшипниках качения, парах колесо–рельс, ролик – транспортирующая лента конвейерных систем и др.

Различают чистое качение и качение с проскальзыванием.

Чистое качение – контакт тел является идеально упругим и происходит по линии (для цилиндра) или в точке (для сферы).

Качение будет чистым, если при повороте тела на малый угол φ его ось смещается на величину . Точки касания тела с основанием неподвижны относительно последнего.

На практике всегда реализуется качение с проскальзыванием.

Качение с проскальзыванием – контакт двух тел осуществляется по некоторой поверхности вследствие упругопластических и вязкопластических деформаций (рис.).

Контакт реальных тел качения представляет собой площадку конечных размеров, а не точку или линию, тогда линия действия реакции F*n плоскости не совпадает с линией действия нормальной силы Fn. Точка ее приложения смещается от центра контактной площадки к ее передней границе.

Рис. Схема качения колеса по плоскости

При качении колеса по деформируемой под нагрузкой Fn поверхности, к нему надо приложить момент вращения Fk⋅R для поддержания равномерного движения. Этот момент уравновешивается реактивным моментом F*n⋅K, возникающим вследствие того, что реакция F*n, численно равная внешней нагрузке Fn, смещена на величину K относительно линии действия силы Fn.

Составив уравнение моментов относительно точки A, получим:

Смещение K называется коэффициентом трения качения, имеющим линейную размерность.

Наряду с этой величиной употребляется безразмерная величина fс – коэффициент сопротивления качению:

При использовании этого коэффициента необходимо указывать, на каком радиусе получено значение Fk.

Природа трения качения.

Согласно современным представлениям, при качении упругого колеса по упругому полупространству сопротивление качению Fk обусловлено тремя причинами: гистерезисными потерями F1, микропроскальзыванием в зоне контакта F2 и адгезией в контактной зоне F3:

.

В реальных условиях при качении тела могут наблюдаться все три составляющие трения качения одновременно (рис.).

Рис. Зоны локализации адгезионного взаимодействия, гистерезисных потерь и проскальзывания при качении цилиндра

На первом участке (рис.) реализуется в основном адгезионное взаимодействие. На этом участке поверхности трения тел качения будут разделяться с разрывом адгезионных связей.

Гистерезисные потери (первый и третий участки) наблюдаются в областях максимальных деформаций сдвига и нормальных деформаций материалов контактирующих тел в направлении вектора скорости.

Проскальзывание реализуется на всей длине контакта (все три участка).

Четвертая составляющая трения качения – механические потери в смазочном материале (качение по смазке).

Упругий гистерезис возникает вследствие несовершенства упругих свойств реальных тел, участвующих в трении качения (рис.).

Рис. Петля гистерезиса при знакопеременном нагружении материала

Под влиянием напряжения σ возникает деформация ε, однако, поскольку тело не идеально упругое, ε не прямо пропорционально σ (нарушается закон Гука, OA не прямая). Если снять напряжение (σ=0), остается остаточная деформация ОB, для снятия которой требуется отрицательное напряжение ОЕ, т. е. сжимающая нагрузка. Прикладывая последовательно положительное и отрицательное напряжения, получим петлю ABECDYA, которую называют петлей гистерезиса. Площадь петли численно равна работе, необратимо рассеянной за один цикл в единице объема.

Таким образом, каждый элемент плоскости, по которой катится цилиндр, испытывает последовательно цикл «нагрузка-разгрузка», который описывается петлей гистерезиса.

Физически гистерезис обусловлен переползанием дислокаций при нагружении. Увеличение числа дислокаций увеличивает гистерезисные потери.

Сила трения качения жесткого цилиндра по упругому полупространству описывается формулой:

,

где b – полуширина площадки контакта, αg – коэффициент гистерезисных потерь (зависит от нагрузки, и вида деформирования), l – длина цилиндра, R – радиус цилиндра, Fn – нормальная нагрузка.

В общем случае гистерезисные потери обусловлены внутренним трением, а также пластическим деформированием микровыступов и пластическим оттеснением граничного смазочного слоя.

Теоретическое изучение сопротивление качению при несовершенной упругости было выполнено.

При качении цилиндра по вязкоупругому основанию для малых скоростей , для больших – ,

где c – константа, включающая параметры модели, v – скорость качения.

Видно, что в интервале малых скоростей качения уселичение скорости приводит к росту сопротивления качения, а при больших скоростях – к его уменьшению.

Сопротивление качению шара по поверхности пластического основания выражается соотношением

где σn – нормальные напряжения, зависящие от давления на контактной площадке и механических свойств тел качения.

Гистерезисная теория справедлива для качения твердых тел по резине, однако распространение ее на металлы не всегда оправдано.

Основной причиной сопротивления качению считается проскальзывание. Проскальзывание может быть обусловлено деформацией контактирующих тел (О. Рейнольдс) или различием в скоростях различных точек катящегося тела (А. Пальмгрен и Г. Хизкоут).

Проскальзывание по Рейнольдсу наглядно наблюдается при качении жесткого цилиндра по резине. За один оборот цилиндр проходит меньшее расстояние, чем длина его окружности. Это объясняется деформацией контактирующих тел. Под действием нормальной нагрузки материал основания деформируется и контакт осуществляется не по линии, а по площадке шириной AC (рис.). При этом материал цилиндра в зоне контакта сжат, а материал опорной поверхности растянут. Поэтому при повороте цилиндра освобождающиеся от контакта точки его поверхности будут стремиться удалиться друг от друга, а точки поверхности – сблизиться. Это приводит к проскальзыванию микроучастков контактирующих поверхностей одного тела относительно другого.

Рис. Деформации поверхностных слоев при контактировании цилиндра и плоскости

Вклад проскальзывания в сопротивление качению зависит от отношения радиуса шара к радиусу желоба.

В зоне АС (см. рис.) при качении поверхности будут разделяться с разрывом адгезионных связей, действующих между катком и поверхностью в зоне выхода трущихся тел из контакта. Этим фактором обусловлено проявление адгезионной составляющей F3 в контактной зоне.

Вклад в сопротивление качению микропроскальзывания и адгезии мал. Большую часть составляют гистерезисные потери.

Факторы, влияющие на сопротивление качению.

Нормальная нагрузка – при качении тела по плоскости увеличение нормальной нагрузки вызывает монотонное повышение fc (рис.) – зависимость близка к линейной. Это обусловлено одновременным ростом всех составляющих сопротивления качению: адгезионной (увеличение площади фактического контакта); проскальзывания (рост деформаций поверхностных слоев); гистерезисных потерь (увеличение доли пластических деформаций).

Рис. Влияние нормальной нагрузки на коэффициент сопротивления качению

Смазка. При высоких нормальных нагрузках численное значение коэффициента сопротивления качению в значительной степени определяется наличием в зоне контакта оксидных или смазочных пленок, разделяющих сопрягаемые детали. При обильной смазке (кривая 1 на рис.) коэффициент сопротивления качению принимает при прочих равных условиях более низкие значения, чем при обедненной подаче смазочных в зону трения (кривая 2 на рис.). Химическая очистка поверхности (кривая 3 на рис.) способствует повышению адгезионной составляющей и проскальзывания, что повышает сопротивление качению.

При малых значениях нагрузки применение смазочного материала снижает коэффициент сопротивления качению незначительно (на 10 – 15%), чем больше смазки, тем меньше сопротивление. Незначительное влияние вызвано компенсацией снижения затрат на проскальзывание и адгезию, затратами на преодоление внутреннего трения в слое смазочного материала.

Рис. Влияние нагрузки и наличия смазочного материала на коэффициент сопротивления качению

Размеры и форма тела качения. С увеличением радиуса тела качения R, в области малых его значений, сопротивление качению уменьшается вследствие снижения гистерезисных потерь (больше радиус – меньше контактное давление, меньше доля пластических деформаций). С увеличением R в области больших значений преобладающим становится влияние адгезионной составляющей, которая растет с увеличением поверхности контакта.

Рис. Зависимость коэффициента сопротивления качению от радиуса катящегося тела

Рост поверхностной температуры приводит к снижению физико-механических свойств тел в зоне контакта, что вызывает увеличение гистерезисных потерь (увеличение доли пластического деформирования) и адгезионной составляющей (увеличение площади фактического контакта), следовательно, растет коэффициент сопротивления качению. Вид зависимости обуславливается зависимостью упругих свойств материалов тел от температуры.

Микротвердость. С увеличением микротвердости уменьшаются потери на проскальзывание и их деформацию, снижается глубина относительного внедрения поверхностей трения, что приводит к уменьшению площади фактического контакта и адгезионного взаимодействия. В итоге снижается сопротивление трению качения

Увеличение скорости вызывает монотонное увеличение fc. Причем эта зависимость менее существенна для качения цилиндра по цилиндру, чем шара по шару.

К важным факторам, определяющим сопротивление тел качению, также относятся: отклонение их от правильной геометрической формы, шероховатость поверхностей, структура материалов тел качения. Макрогеометрические отклонения поверхностей тел качения от идеальной формы тел вращения вызывают рост коэффициента сопротивления и снижают его стабильность. При переходе от шероховатой к гладкой поверхности плоского тела сопротивление качению уменьшается в 2–3 раза.

Трение качения - трение движения, при котором скорости соприкасающихся тел одинаковы по значению и направлению по крайней мере в одной точке.

Трение качения широко распространено в технике, и замена трения скольжения много меньшим (как правило) трением качения во многих технических приложениях позволила существенно снизить энергетические затраты в узлах трения и уменьшить износ контактирующих тел. Уже Леонардо да Винчи писал, что элементы зубчатых зацеплений изнашиваются главным образом в процессе проскальзывания. Он изобрел зацепление со сложной геометрией, обеспечивающей, по его мнению, работу при чистом качении. В наше время промышленность не обходится без подшипников качения. Износ шин автомобиля, катящихся по дороге, и пары трения качения бандажей вагонных колес железнодорожными рельсами является серьезнейшей технической проблемой. Тем не менее процесс трения качения в настоящее время изучен не так глубоко, как трение скольжения, хотя количественное изучение этого процесса начал еще один из основоположников трибологии Ш.О. Кулон одновременно с изучением трения скольжения (1785 г.).

Рассмотрим физические аспекты процессов трения качения на примере колеса, находящегося на жестком основании (рис. 3.14) Пусть колесо, нагруженное силой /’получит вращение с частотой со. При чистом качении в каждый момент точка О" колеса, соприкасающаяся с основанием, неподвижна относительно основания, а скорости всех других точек колеса таковы, как если бы в данный момент времени поворачивались бы относительно точки О", с угловой скоростью со, которая может быть рассчитана по формуле:

Реально в контакте качения точки, находящиеся на поверхности колеса, контактируют с плоскостью не по мгновенной оси вращения ОСУ, а на некотором расстоянии к от нее в направлении движения.

Рис. 3.14.

Это расстояние образуется в результате деформирования контактирующих тел вследствие асимметричного распределения давления по площади контакта, т.е. деформируется либо колесо, либо основание, либо и то и другое.

На рис 3.15 приведен случай, когда основание жесткое, а каток - деформируемый (например, качение шины по плотному грунту). Вследствие деформации формируется площадка, через которую передается нормальная Р и тангенциальная Т составляющие силы, действующей на колесо, а также активный момент М, направленный в сторону вращения, если колесо ведущее, или в обратную сторону, если колесо ведомое или заторможенное.

Для вращения прилагается момент вращения

Этот момент уравновешивается реактивным моментом

так как реакция N (численно равная нагрузке Р) смещена на величину к относительно линии действия силы Р.

Рис. 3.15.

Уравнение баланса моментов

откуда, в соответствии с известной формулой Кулона, рассчитывается сила трения качения

где к - коэффициент трения качения, именуемый также плечом трения (имеет размерность длины и численно равен смещению реакции N в направлении движения).

Кроме коэффициента трения качения процесс характеризуется безразмерной величиной./^ - коэффициентом сопротивления качению, численно равным отношению коэффициента трения качения к радиусу катящегося цилиндра, т.е.

Так, для качения стального железнодорожного колеса (R = 0,5 м) по рельсу/ с = 0,0010-0,001.

Объяснение причин сопротивления качению было предложено рядом исследователей. О. Рейнольдс показал, что вследствие упругих деформаций между контактирующими телами при качении имеет место некоторое проскальзывание, где действуют силы трения скольжения, что и определяет потери при качении. Величина проскальзывания зависит от соотношения упругих свойств контактирующих тел и от их радиусов кривизны.

По мнению Томлинсона, потери на трение качения объясняются обменом адгезионных связей, т.е. образованием и разрывом адгезионных связей, возникающих между парами молекул, последовательно входящими в контакт и уходящими из контакта по мере относительного перемещения твердых тел.

Согласно Томлинсону, сила трения качения меньше силы трения скольжения, так как при скольжении все адгезионные связи обмениваются (т.е. рвутся) одновременно, а при качении - последовательно и притом малыми порциями. Большинство современных ученых, однако, считают, что основной причиной потерь при трении качения является несовершенная упругость катящихся материалов, т.е. наличие явления гистерезиса при деформировании и релаксации, приводящее к потерям энергии. Для металла такие потери составляют несколько процентов. Это явление приводит к смещению равнодействующей реактивных сил относительно центра площадки контакта. При этом возникает момент сил, препятствующий качению.

Такие представления развивал английский ученый Д. Тейбор. С.В. Пинегин отмечал, что проявление неупругости материалов в процессе качения реальных тел может быть самым разнообразным, включая внутреннее трение в материале, пластическое деформирование поверхностного слоя, в том числе микронеровности, окисные пленки, смазочный слой и т.д. вплоть до пластического оттеснения песчаного грунта при качении колеса.

Хорошим примером разницы трения скольжения и трения качения является сравнение одноименных пар скольжения и качения из меди и фторопласта. Коэффициент трения скольжения меди много выше, чем фторопласта. Однако гистерезисные потери у фторопласта значительно больше, чем у меди. По этой причине коэффициент трения качения у фторопласта много выше, чем у меди. Поэтому фторопласт, весьма эффективный в парах трения скольжения, не применяют в парах трения качения.

Рассмотрим цилиндрический каток, покоящийся на горизонтальной плоскости (рис. 67, а). Приложим к его центру силу S и будем наблюдать за состоянием катка при постепенном увеличении этой силы. Опыт показывает, что движение катка начинается не сразу, а лишь после достижения силой S некоторого предельного значения.

Однако из уравнений равновесия катка, составленных даже при учете силы трения покоя, следует совершенно другой вывод - движение должно начинаться при сколь угодно малой силе S. Действительно, для плоской системы сил: P (вес катка), N (нормальная реакция опоры), Т - сила трения покоя и приложенной силы S в состоянии равновесия должны удовлетворяться все три уравнения равновесия: .

В нашем же случае третье уравнение имеет вид (R - радиус катка) и удовлетворяется только при ; при равновесие невозможно, и каток приходит в движение при сколь угодно малой силе .

Причина противоречия кроется в том, что были учтены не все силы, действующие на каток со стороны опорной поверхности. Контакт реальных тел всегда осуществляется по некоторой площадке, в результате чего возникает еще пара сил с моментом , противоположным направлению возможного качения тела по опорной поверхности (рис. 67, б).

При учете момента трения качения уравнение моментов относительно точки О приобретает вид , снимающий возникшее противоречие. Из этого уравнения следует, что пока качения нет, момент трения равен моменту движущейся силы . Постепенно увеличивая силу S, можно прийти к такому предельному состоянию, когда малейшее приращение силы S вызывает качение катка по опоре. В этом состоянии предельного равновесия момент трения качения принимает свое наибольшее значение

Величина , имеющая размеренность длины, называется коэффициентом трения качения и определяется из эксперимента либо по техническим справочникам.

Момент трения качения, таким образом, изменяется в пределах

принимая значение только при возникновении качения.

Трением качения называется трение движения, при котором скорости соприкасающихся тел в точках касания одинаковы по значению и направлению.

Если движение двух соприкасающихся тел происходит при одновременном качении и скольжении, то в этом случае возникает трение качения с проскальзыванием .

Рассмотрим качение без скольжения цилиндра весом G и радиусом r по горизонтальной опорной плоскости (см. рис. 1) . В результате действия силы G произойдет деформация цилиндра и опорной плоскости в месте их соприкосновения. Если сила P не действует, то сила G будет уравновешиваться реакцией R опорной плоскости и цилиндр будет находиться в покое (реакция R будет вертикальна). Если к цилиндру приложить небольшую силу Р , то он по-прежнему будет находиться в покое. При этом произойдет перераспределение давлений на опорную поверхность и полная реакция R пройдет через некоторую точку А и через точку О (согласно теореме о равновесии трех непараллельных сил ).

При каком-то критическом значении силы Р цилиндр придет в движение и будет равномерно перекатываться по опорной плоскости, а точка А займет при этом крайнее правое положение. Отсюда видно, что трение качения в состоянии покоя может изменяться от нуля до какого-то максимального значения, причем максимальным оно будет в момент начала движения.

Обозначим k максимальное значение плеча силы G относительно точки А . Тогда в случае равномерного перекатывания цилиндра (т. е. равновесия) :

ΣM А = 0 или – Pr + Gh = 0 ,

причем плечо силы Р вследствие незначительности деформации тел считаем равным радиусу цилиндра r (сила Р – горизонтальная). Из последнего равенства определим силу, необходимую для равномерного качения цилиндра:

Р = kG/r

Максимальное значение плеча k называется коэффициентом трения качения; он имеет размерность длины и выражается в сантиметрах или миллиметрах.

Из полученной формулы видно, что усилие, необходимое для перекатывания цилиндрического катка, прямо пропорционально его весу G и обратно пропорционально радиусу r катка. Из этого следует, что каток, имеющий бóльший диаметр, легче перекатывать.

Коэффициент трения качения определяется опытным путем, его значения для различных условий приводятся в справочниках. Ниже приведены ориентировочные значения коэффициента трения качения k для катка по плоскости (см) :

Мягкая сталь по мягкой стали............................0,005

Закаленная сталь по закаленной стали..............0,001

Чугун по чугуну................................................0,005

Дерево по стали......................................0,03...0,04

Дерево по дереву...................................0,05...0,08

Резиновая шина по шоссе...............................0,24

Коэффициент трения качения практически не зависит от скорости движения тела.

В ряде случаев при изучении трения качения активные и реактивные силы, действующие на каток, удобно представлять в ином виде (см. рисунок 2а, б) .

Разложим полную реакцию R опорной поверхности на составляющие N и F тр , тогда:

R = N + F тр ,

где F тр – сила трения качения; N - реакция, нормальная к недеформированной опорной плоскости.

Составим три уравнения равновесия катка:

ΣX = 0; P – F тр = 0;ΣY = 0; N – G = 0;

ΣM А = 0; - Pr + Gk = 0.

Из этих уравнений имеем:

P = F тр ; N = G ; Pr = Gk .

Введем обозначения Pr = M , Gk = M тр , где М – момент трения качения, М тр – момент трения.

Возможны следующие частные случаи качения цилиндрического катка:

М ≥ М тр , но Р < F тр – имеет место только качение;

М < М тр , но Р > F тр – имеет место только скольжение;

М > М тр , но Р > F тр – качение с проскальзыванием;

М < М тр , но Р < F тр – каток находится в состоянии покоя.

Трение качения в большинстве случаев меньше трения скольжения, поэтому вместо подшипников скольжения широко применяют шариковые, роликовые или другие подшипники качения, которые, несмотря на более высокую стоимость, дают значительный выигрыш в экономии энергии из-за уменьшения потерь на трение.

Смазочные материалы

Смазочные материалы классифицируются, в первую очередь, по физическому состоянию.

Существуют:

газообразные

• консистентные

  твердые смазочные материалы

Смазочные материалы предназначены для снижения трения и износа.

В зависимости от нагрузки они выполняют следующие задачи:

отвод тепла

защита поверхностей

пропускание тока

Выполняя эти задачи, различные смазочные материалы ведут себя неодинаково.

Жидкие смазочные материалы

отвод тепла

защита поверхностей

пропускание тока

отвод частиц, вызывающих износ

К жидким смазочным материалам относятся:

жирные масла

минеральные масла

синтетические масла

Жирные масла не очень подходят для смазки. Хотя они и обладают хорошим смазывающим эффектом, они неустойчивы к низким температурам и чувствительны к окислителям. В технических областях бесспорными лидерами являются минеральные масла.

В наше время все большее значение приобретают синтетические масла

Их преимущества:

повышенная устойчивость к окислению

устойчивость к низким и высоким температурам

долговременная смазка, смазка на весь срок службы изделия

Антикоррозийные материалы и разделительные агенты представляют собой специальные продукты, одной из задач которых является также и смазка.

Консистентные смазочные материалы

Эти материалы выполняют следующие задачи:

защита поверхностей

пропускание тока

удерживание от попадания инородных веществ

К консистентным смазочным материалам относятся:

пластичные смазки

смазочные пасты

смазывающие воски

Смазывающие воски имеют высоко молекулярную углеводородную основу. Предпочтительными областями их применения являются граничная и парциальная смазка при низких скоростях. Пластичные смазки изготавливаются на основе смазочных масел и имеют консистентную структуру благодаря загустителю. Их можно применять как при эластогидродинамической смазке, так и при граничной смазке и парциальной смазке деталей. Смазочные пасты отличаются высоким содержанием твердых смазочных веществ. Они применяются при граничной и парциальной смазке деталей для подвижной, переходной или прессовой посадки. Консистентные смазочные материалы применяются тогда, когда из-за недостаточного уплотнения зазора смазка не должна вытекать и/или когда смазка должна быть устойчивой к жидкостям. В наши дни эти материалы имеют огромное значение, так как при их минимальном расходе обеспечивается максимальный срок службы деталей и оборудования.

Твердые смазочные материалы

Эти материалы могут выполнять следующие задачи:

защита поверхностей

материалы для трибосистем

лаки для смазки

Помимо этого к ним относятся порошковые полимеры или металлические материалы, а также минералы, например, политетрафторэтилен, медь, графит или дисульфид молибдена. Для применения в качестве порошков они подходят плохо. Поэтому их используют в качестве присадок, которые обеспечивают защиту как от трения, так и от износа. Твердые смазочные материалы применяются, как правило, для сухой смазки. В результате получается граничная смазка, которая при включении жидких или консистентных смазок в материалы для трибосистем может использоваться для парциальной смазки. Твердые смазочные материалы применяются преимущественно в тех случаях, когда из-за функциональных особенностей или загрязнения жидкие или консистентные смазки не являются идеальным решением проблемы, а для ее решения достаточно свойств твердых смазочных материалов.

Трение качения возникает при относительном перекатывании эле­ментов кинематических пар звеньев. В этом случае имеет место внутреннее и внешнее трение со всеми сопровождающими их явлениями. Существует несколько гипотез, объясняющих природу тре­ния качения. Рассмотрим одну из них.

На горизонтальную плоскость поместим цилиндр, находящийся под действием вертикальной силы Q (рис. 9.9, а ). Цилиндр представляет собой упругое тело, поэ­тому в месте контакта с плоскостью он будет упруго деформировать­ся. Эпюра напряжений смятия σ представляет собой симметричную относительно оси цилиндра кри­вую. Равнодействующая R n нап­ряжений σ равна Q и противопо­ложно ей направлена, а линия ее действия будет совпадать с осью цилиндра.

Рис. 9.9. Природа трения качения

К цилиндру приложим пару сил М (рис. 9.9, б ) так, чтобы он катился по плоскости с постоянной скоростью. Сопротивление перека­тыванию преодолевается моментом М, то есть трение качения в данном случае определяется моментом пары сил. Экспериментальным путем установлено, что момент трения каче­ния пропорционален нагрузке

Коэффициент пропорциональности k – коэффициент тре­ния качения, имеющий размерность длины.

Физический смысл коэффициента трения качения можно устано­вить следующим образом. Если какое-либо упругое реальное тело постепенно нагружать, то зависимость напряжения от деформации будет определяться кривой 1, показанной на рис. 9.10, если же разгружать, - кривой 2.

В про­цессе перекатывания цилиндра (см. рис. 9.9,б) по горизонталь­ной плоскости его участки, рас­полагающиеся по направлению движения относительно вертикаль­ной оси, будут нагружаться, а располагающиеся с противополож­ной стороны - разгружаться. Поэ­тому эпюра напряжений будет представлять собой уже несимметричную кривую. Это явление носит наз­вание упругого гистерези­са.

Следовательно, для одной и той же деформации ∆l напряже­ние при нагрузке σ н больше нап­ряжения при разгрузке σ p .

Равнодействующая R n = Q напряжений будет смещена на величину k в сторону дви­жения. Из условия равновесия сил, приложенных к цилиндру,

M = kQ, т. е. в данной гипотезе коэффициент трения качения k выступает как плечо, на которое смещена равнодействующая напря­жений смятия цилиндра при движении.

Определим величину силы Р (рис. 9.11), под действием которой цилиндр,

нагруженный силой Q , будет катиться с постоянной ско­ростью по горизонталь

ной плоскости. С приложением сил Q и Р возникают силы R n - нормальная реакция плоскости - и F - сила трения скольжения.

Из условия равновесия сил R n = Q, F = P и ∑M A = Ph – R n k = 0.

Откуда Качение цилиндра будет происходить при условии, что значение силы Р будет не больше, чем максимальное значение силы F = fQ. В противном случае цилиндр будет скользить. Следовательно, усло­вие отсутствия скольжения будет при Pили откуда имеем .