Філіппов а. ф

Зміст
Передмова 5
Глава 1 Диференціальні рівняння та їх вирішення 7
§ 1. Поняття про диференціальне рівняння 7
§ 2. Найпростіші методи пошуку рішень 14
§ 3. Методи зниження порядку рівнянь 22
Глава 2 Існування та загальні властивостірішень 27
§ 4. Нормальний вид системи диференціальних рівняньта її векторний запис 27
§ 5. Існування та єдиність рішення 34
§ б. Продовження рішень 47
§ 7. Безперервна залежність рішення від початкових умовта правої частини рівняння 52
§ 8. Рівняння, не дозволені щодо похідної 57
Глава 3 Лінійні диференціальні рівняння та системи 67
§ 9. Властивості лінійних систем 67
§ 10. Лінійні рівняннябудь-якого порядку 81
§ 11. Лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами 92
§ 12. Лінійні рівняння другого порядку 109
§ 13. Крайові завдання 115
§ 14. Лінійні системи з постійними коефіцієнтами 124
§ 15. Показова функціяматриці J 137
§ 16. Лінійні системи з періодичними коефіцієнтами 145
Глава 4 Автономні системи та стійкість 151
§ 17. Автономні системи 151
§ 18. Поняття стійкості 159
§ 19. Дослідження стійкості за допомогою функцій Ляпунова 167
§ 20. Стійкість за першим наближенням 175
§ 21. Особливі точки 181
§ 22. Граничні цикли 190
Глава 5 Диференційність рішення щодо параметра та її застосування 196
§ 23. Диференційованість рішення за параметром 196
§ 24. Асимптотичні методи розв'язання диференціальних рівнянь 202
§ 25. Перші інтеграли 212
§ 26. Рівняння з приватними похідними першого порядку 221
Література 234
Предметний покажчик 237

Книга містить весь навчальний матеріалвідповідно до програми МінВНЗ з курсу диференціальних рівнянь для механіко-математичних та фізико-математичних спеціальностей університетів. Є також невелика кількість додаткового матеріалу, пов'язаного з технічними програмами. Це дозволяє вибирати матеріал для лекцій залежно від профілю ВНЗ. Обсяг книги істотно зменшено порівняно з наявними підручниками за рахунок скорочення додаткового матеріалу та вибору більш простих доказівз наявних у навчальної літератури. Теорія викладається докладно і доступно як для сильних, але й середніх студентів. Наводяться з поясненнями приклади розв'язання типових завдань. Наприкінці параграфів зазначаються номери завдань для вправ із «Збірника задач з диференціальних рівнянь» А.Ф. Філіппова і зазначаються деякі теоретичні напрями, що примикають до викладених питань, із посиланнями на літературу.

Про розв'язання нелінійних систем.
Знайти рішення за допомогою кінцевого числа дій вдається лише для деяких нескладних систем. За винятком невідомих безпосередньо з цієї системи виходить рівняння з похідними вищого порядку, вирішувати яке не легше, ніж цю систему.

Найчастіше вдається вирішити систему шляхом віднайдення інтегрованих комбінацій. Інтегрована комбінація - це або комбінація рівнянь системи, що містить лише дві змінні
величини і є диференціальне рівняння, яке можна вирішити, або така комбінація, обидві частини якої є повними диференціалами. З кожної комбінації, що інтегрується, виходить перший інтеграл даної системи. За винятком невідомих із цієї системи з допомогою перших інтегралів порядок похідних не підвищується.

Зміст
Передмова 5
Глава 1 Диференціальні рівняння та їх вирішення 7
§ 1. Поняття про диференціальне рівняння 7
§ 2. Найпростіші методи пошуку рішень 14
§ 3. Методи зниження порядку рівнянь 22
Глава 2 Існування та загальні властивості рішень 27
§ 4. Нормальний вид системи диференціальних рівнянь та її векторний запис 27
§ 5. Існування та єдиність рішення 34
§ б. Продовження рішень 47
§ 7. Безперервна залежність рішення від початкових умов та правої частини рівняння 52
§ 8. Рівняння, не дозволені щодо похідної 57
Глава 3 Лінійні диференціальні рівняння та системи 67
§ 9. Властивості лінійних систем 67
§ 10. Лінійні рівняння будь-якого порядку 81
§ 11. Лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами 92
§ 12. Лінійні рівняння другого порядку 109
§ 13. Крайові завдання 115
§ 14. Лінійні системи з постійними коефіцієнтами 124
§ 15. Показова функція матриці J 137
§ 16. Лінійні системи з періодичними коефіцієнтами 145
Глава 4 Автономні системи та стійкість 151
§ 17. Автономні системи 151
§ 18. Поняття стійкості 159
§ 19. Дослідження стійкості за допомогою функцій Ляпунова 167
§ 20. Стійкість за першим наближенням 175
§ 21. Особливі точки 181
§ 22. Граничні цикли 190
Глава 5 Диференційність рішення щодо параметра та її застосування 196
§ 23. Диференційованість рішення за параметром 196
§ 24. Асимптотичні методи розв'язання диференціальних рівнянь 202
§ 25. Перші інтеграли 212
§ 26. Рівняння з приватними похідними першого порядку 221
Література 234
Предметний покажчик 237.

Безкоштовно завантажити електронну книгуу зручному форматі, дивитися та читати:
Скачати книгу Введення в теорію диференціальних рівнянь, Філіппов А.Ф., 2007 - fileskachat.com, швидке та безкоштовне скачування.

• Вибрані питання елементарної математики, Елементи математичного аналізу, Лебедєва С.В., Ричагова І.А., 2019
• Педагогічний потенціал математичних дисциплін у підготовці студентів гуманітарних профілів, Монографія, Кислякова М.А.

Введення у теорію диференціальних рівнянь. Філіппов А.Ф.

2-ге вид., Випр. – К.: 2007. – 240 с.

Книга містить весь навчальний матеріал відповідно до програми Мінвузу з курсу диференціальних рівнянь для механіко-математичних та фізико-математичних спеціальностей університетів. Є також невелика кількість додаткового матеріалу, пов'язаного з технічними програмами. Це дозволяє вибирати матеріал для лекцій, залежно від профілю вузу. Обсяг книги істотно зменшено порівняно з наявними підручниками за рахунок скорочення додаткового матеріалу та вибору більш простих доказів із наявних у навчальній літературі. Теорія викладається докладно і доступно як для сильних, але й середніх студентів. Наводяться з поясненнями приклади розв'язання типових завдань. Наприкінці параграфів зазначаються номери завдань для вправ із «Збірника завдань з диференціальних рівнянь» А. Ф. Філіппова та зазначаються деякі теоретичні напрями, що примикають до викладених питань, із посиланнями на літературу.

Формат: pdf

Розмір: 6,5 Мб

Дивитись, скачати:drive.google

Зміст
Передмова 5
Глава 1 Диференціальні рівняння та їх вирішення 7
§ 1. Поняття про диференціальне рівняння 7
§ 2. Найпростіші методи пошуку рішень 14
§ 3. Методи зниження порядку рівнянь 22
Глава 2 Існування та загальні властивості рішень 27
§ 4. Нормальний вид системи диференціальних рівнянь та її векторний запис 27
§ 5. Існування та єдиність рішення 34
§ б. Продовження рішень 47
§ 7. Безперервна залежність рішення від початкових умов та правої частини рівняння 52
§ 8. Рівняння, не дозволені щодо похідної 57
Глава 3 Лінійні диференціальні рівняння та системи 67
§ 9. Властивості лінійних систем 67
§ 10. Лінійні рівняння будь-якого порядку 81
§ 11. Лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами 92
§ 12. Лінійні рівняння другого порядку 109
§ 13. Крайові завдання 115
§ 14. Лінійні системи з постійними коефіцієнтами 124
§ 15. Показова функція матриці J 137
§ 16. Лінійні системи з періодичними коефіцієнтами 145
Глава 4 Автономні системи та стійкість 151
§ 17. Автономні системи 151
§ 18. Поняття стійкості 159
§ 19. Дослідження стійкості за допомогою функцій Ляпунова 167
§ 20. Стійкість за першим наближенням 175
§ 21. Особливі точки 181
§ 22. Граничні цикли 190
Глава 5 Диференційність рішення щодо параметра та її застосування 196
§ 23. Диференційованість рішення за параметром 196
§ 24. Асимптотичні методи розв'язання диференціальних рівнянь 202
§ 25. Перші інтеграли 212
§ 26. Рівняння з приватними похідними першого порядку 221
Література 234
Предметний покажчик 237

Передмова
Книга містить докладний виклад всіх питань програми курсу звичайних диференціальних рівнянь для механіко-математичних та фізико-математичних спеціальностей університетів, а також деякі інші питання, актуальні для сучасної теорії диференціальних рівнянь та додатків: крайові завдання, лінійні рівняння з періодичними. рівнянь; розширено матеріал з теорії стійкості.
Новий матеріал і деякі питання, що традиційно включаються в курс (наприклад, теореми про рішення, що вагаються), але не обов'язкові для першого знайомства з теорією диференціальних рівнянь, дані дрібним шрифтом, початок та кінець якого відокремлені горизонтальними стрілками. Залежно від профілю ВНЗ та напрямів підготовки студентів на кафедрі залишається вибір, що з цих питань включати до курсу лекцій та програму іспиту.
Обсяг книжки значно менше обсягу відомих підручників з цього курсу з допомогою скорочення додаткового (що входить у обов'язкову програму) матеріалу й з допомогою вибору простіших доказів з наявних у навчальної литературе.
Матеріал викладається докладно та доступно для студентів із середнім рівнем підготовки. Використовуються лише класичні
поняття математичного аналізута основні відомості з лінійної алгебри, включаючи жорданову форму матриці. Запроваджується мінімальна кількість нових визначень. Після викладу теоретичного матеріалу наводяться докладні пояснення приклади його застосування. Вказуються номери завдань для вправ із «Збірника задач з диференціальних рівнянь» А. Ф. Філіппова.
Наприкінці майже кожного параграфа перераховуються кілька напрямків, у яких розвивалися дослідження з даному питанню, - Напрямків, які можна назвати, користуючись вже відомим і, поняттями, і за якими є література російською мовою.
У кожному розділі книги прийнято свою нумерацію теорем, прикладів, формул. Посилання на матеріал інших розділів рідкісні та даються із зазначенням номера розділу або параграфа.

Філіппов Олексій Федорович Введення у теорію диференціальних рівнянь: Підручник. Вид. 2-ге, испр. М., 2007. – 240 с.
Книга містить весь навчальний матеріал відповідно до програми Мінвузу з курсу диференціальних рівнянь для механіко-математичних та фізико-математичних спеціальностей університетів. Є також невелика кількість додаткового матеріалу, пов'язаного з технічними програмами. Це дозволяє вибирати матеріал для лекцій, залежно від профілю вузу. Обсяг книги істотно зменшено порівняно з наявними підручниками за рахунок скорочення додаткового матеріалу та вибору більш простих доказів із наявних у навчальній літературі.
Теорія викладається докладно і доступно як для сильних, але й середніх студентів. Наводяться з поясненнями приклади розв'язання типових завдань. Наприкінці параграфів зазначаються номери завдань для вправ із «Збірника завдань з диференціальних рівнянь» А. Ф. Філіппова та зазначаються деякі теоретичні напрями, що примикають до викладених питань, із посиланнями на літературу (книги російською мовою).
Зміст
Передмова................................................. .................5
Глава 1
Диференціальні рівняння та їх розв'язання......................7
§ 1. Поняття про диференціальне рівняння......................7
§ 2. Найпростіші методи відшукання рішень ........................14
§ 3. Методи зниження порядку рівнянь 22
Розділ 2
Існування та загальні властивості рішень..........................27
§4. Нормальний вид системи диференціальних рівнянь
та її векторний запис.............................................. ..27
§ 5. Існування та єдиність рішення......................34
§ б. Продовження рішень..............................................47
§ 7. Безперервна залежність рішення від початкових умов
та правої частини рівняння..........................................52
§ 8. Рівняння, не дозволені щодо похідної... 57
Розділ 3
Лінійні диференціальні рівняння та системи............67
§ 9. Властивості лінійних систем............................................67
§ 10. Лінійні рівняння будь-якого порядку ............ 81

§ 11. Лінійні рівняння із постійними коефіцієнтами. .........1
§ 12. Лінійні рівняння другого порядку..............109
§ 13. Крайові завдання............................115
§ 14. Лінійні системи з постійними коефіцієнтами 124
§ 15. Показова функція матриці................137
§ 16. Лінійні системи з періодичними коефіцієнтами... 145
Розділ 4
Автономні системи та стійкість.................151
§ 17. Автономні системи.........................151
§ 18. Поняття стійкості........................159
§ 19. Дослідження стійкості за допомогою
функцій Ляпунова..........................167
§ 20. Стійкість за першим наближенням.............175
§21. Особливі точки.............................181
§ 22. Граничні цикли..........................190
Розділ 5
Диференційованість рішення щодо параметра та її застосування.........196
§ 23. Диференційованість рішення за параметром.........196
§ 24. Асимптотичні методи вирішення диференціальних
рівнянь...............................202
§ 25. Перші інтеграли..........................212
§ 26. Рівняння з приватними похідними першого порядку... 221
Література.................................. 234
Предметний покажчик..........................237

Вступ

Диференційне рівняння.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що пов'язує потрібну функцію однієї або декількох змінних, ці змінні і похідні різних порядків даної функції.

Диференціальне рівняння першого ладу.

Розглянемо питання теорії диференціальних рівнянь з прикладу рівнянь першого порядку, дозволених щодо похідної, тобто. таких, що допускають подання у вигляді

де f- деяка функція кількох змінних.

Теорема існування та єдиності розв'язання диференціального рівняння. Нехай у диференціальному рівнянні (1.1) функція та її приватна похідна безперервні на відкритій множині Г координатної площини Оху.Тоді:

1. Для будь-якої точки безлічі Гзнайдеться рішення y=y(x)рівняння (1.1), що задовольняє умові y();

2. Якщо два рішення y=(x)і y=(x)рівняння (1.1) збігаються хоча б для одного значення x=, тобто. якщо ці рішення збігаються всім тих значень змінної х,для яких їх визначено. Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з змінними, що розділяються, якщо воно може бути представлене у вигляді

або у вигляді

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0,(1.3)

де, M(x), P(x)- деякі функції змінної х, g(y), N(y), Q(y)- функції змінної у.

Диференціальні рівняння з змінними, що розділяються.

Для вирішення такого рівняння його слід перетворити на вид, у якому диференціал та функції змінної хвиявляться в одній частині рівності, а змінною у- в інший. Потім проінтегрувати обидві частини набутої рівності. Наприклад (1.2) випливає, що = і =. Виконуючи інтегрування, приходимо до вирішення рівняння (1.2)

приклад 1.Вирішити рівняння dx = xydy.

Рішення. Розділивши ліву та праву частини рівняння на вираз х

(при х?0), приходимо до рівності. Інтегруючи, отримаємо

(оскільки інтеграл у лівій частині (а) табличний, а інтеграл у правій частині може бути знайдений, наприклад, заміною = t, 2ydy=2tdtі .

Рішення (б) перепишемо у вигляді x=±або x=C,де C=±.

Неповні диференціальні рівняння

Диференціальне рівняння першого порядку (1.1) називається неповним, якщо функція fявно залежить тільки від однієї змінної: або від х,або від у.

Розрізняють два випадки такої залежності.

1. Нехай функція f залежить лише від х. Переписавши це рівняння у вигляді

неважко переконатися, що його рішенням є функція

2. Нехай функція f залежить лише від у, тобто. рівняння (1.1) має вигляд

Диференціальне рівняння такого виду називається автономним.Такі рівняння часто вживаються у практиці математичного моделювання та дослідження природних та фізичних процесів, коли, наприклад, незалежна змінна хграє роль часу, що не входить у співвідношення, що описують закони природи. У цьому випадку особливий інтерес представляють так звані точки рівноваги,або стаціонарні точки - нулі функції f(у), де похідна у" = 0.