Узагальнені диференціальні рівняння. Узагальнені однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Показано, як розпізнати узагальнене однорідне диференціальне рівняння. Розглянуто спосіб вирішення узагальненого однорідного диференціального рівняння першого порядку. Наведено приклад докладного розв'язання такого рівняння.

Зміст

Визначення

Узагальнене однорідне диференціальне рівняння першого ладу - це рівняння виду:
де α ≠ 0 , α ≠ 1 , f – функція.

Як визначити, чи є диференціальне рівняння узагальненим однорідним

Для того щоб визначити, чи є диференціальне рівняння узагальненим однорідним, потрібно ввести постійну t і зробити заміну:
y → t α · y, x → t · x.
Якщо вдасться вибрати таке значення α , у якому постійна t скоротиться, це - узагальнене однорідне диференціальне рівняння. Зміна похідної y′ при такій заміні має вигляд:
.

приклад

Визначити, чи є дане рівняння узагальненим однорідним:
.

Робимо заміну y → t α · y , x → t · x , y ' → t α- 1 y′:
;
.
Розділимо на t α+ 5 :
;
.
Рівняння не міститиме t, якщо
4 α - 6 = 0, α = 3/2 .
Оскільки при α = 3/2 t скоротилося, то це узагальнене однорідне рівняння.

Метод вирішення

Розглянемо узагальнене однорідне диференціальне рівняння першого порядку:
(1) .
Покажемо, що воно наводиться до однорідного рівняння за допомогою підстановки:
t = x α.
Справді,
.
Звідси
; .
(1) :
;
.

Це – однорідне рівняння. Воно вирішується підстановкою:
y = z · t,
де z - функція від t.
При вирішенні завдань, простіше відразу застосовувати підстановку:
y = z x α,
де z - функція від x.

Приклад вирішення узагальненого однорідного диференціального рівняння першого порядку

Розв'язати диференціальне рівняння
(П.1) .

Перевіримо, чи є дане рівняння узагальненим однорідним. Для цього в (П.1)робимо заміну:
y → t α · y , x → t · x , y ' → t α- 1 y′.
.
Розділимо на tα:
.
t скоротиться, якщо покласти α = - 1 .

Значить це узагальнене однорідне рівняння.
Робимо підстановку: 1 ,
де z - функція від x.
.
y = z x α = z x - (П.1):
(П.1) ;
;
.
Підставляємо у вихідне рівняння
;
;
.
Помножимо на x і розкриваємо дужки: 2 Розділяємо змінні – помножимо на dx та розділимо на x z 0 .
.
При z ≠
;
;
;
.
маємо:
.
Інтегруємо, користуючись таблицею інтегралів:
.

Потенціюємо:
.
Ділимо на x:
(П.2) .

Коли ми ділили на z 2 , ми припускали, що z ≠ 0 . 0 Тепер розглянемо рішення z = xy = 0 .
, або y = 0 Оскільки за y = (П.2), ліва частина виразу 0 .

;
.

не визначено, то до отриманого загального інтегралу, додамо рішення y =
Використана література:

Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

Диференціальні рівняння 1-го порядку з змінними, що розділяються.Визначення.

Диференціальним рівнянням з змінними, що розділяються, називається рівняння виду (3.1) або рівняння виду (3.2) ;

А, щоб у рівнянні (3.1) розділити змінні, тобто. привести це рівняння до так званого рівняння з розділеними змінними, зробити такі дії: Тепер треба вирішити рівняння g(y)= 0 . Якщо воно має речове рішення y=a, то y=a

також буде рішенням рівняння (3.1).

Рівняння (3.2) наводиться до рівняння з розділеними змінними поділом на твір: . (3.3)

що дозволяє отримати загальний інтеграл рівняння (3.2): Інтегральні криві (3.3) будуть доповнені рішеннями

якщо такі рішення існують. Одноріднідиференційне рівняння

1-го порядку.Визначення 1. Рівняння 1-го порядку називається однорідним, якщо для його правої частини за будь-яких справедливе співвідношення

, що називається умовою однорідності функції двох змінних нульового виміру.приклад 1.

Показати, що функція – однорідна нульового виміру. ,

Рішення.

що й потрібно було довести.Теорема.

Будь-яка функція – однорідна і, навпаки, будь-яка однорідна функція нульового виміру наводиться до вигляду.Доведення. Перше твердження теореми очевидно, т.к. . Доведемо друге твердження. Припустимо, тоді для однорідної функції

, що й потрібно було довести.Визначення 2. Рівняння (4.1) у якому M і N – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції y за формулою y=zx, де z(x)

- Нова потрібна функція. Виконавши цю підстановку в рівнянні (4.2) отримаємо: або або . Інтегруючи, отримуємо загальний інтеграл рівняння щодо функції z(x) , що після повторної заміни дає загальний інтеграл вихідного рівняння. Крім того, якщо - коріння рівняння, то функції - рішення однорідногоданого рівняння

І стає рівнянням з змінними, що розділяються. Його рішеннями є напівпрямі: .

Зауваження.Іноді доцільно замість зазначеної вище підстановки використовувати підстановку x=zy.

Узагальнене однорідне рівняння.

Рівняння M(x,y)dx+N(x,y)dy=0називається узагальненим однорідним, якщо вдається підібрати таке число k, що ліва частина цього рівняння стає однорідною функцією деякою мірою mщодо x, y, dx M dyза умови, що xвважається величиною першого виміру, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції – k‑го виміру , dx M dy –відповідно нульового та (k-1)-го вимірів. Наприклад, таким буде рівняння . (6.1) Дійсно при зробленому припущенні щодо вимірювань x, y, dx M dyчлени лівої частини та dyматимуть відповідно вимірювання -2, 2 kі k-1. Прирівнюючи їх, отримуємо умову, якій має задовольняти потрібне число k: -2 = 2k=k-1. Ця умова виконується при k= -1 (при такому kвсі члени лівої частини аналізованого рівняння матимуть вимір -2). Отже, рівняння (6.1) є узагальненим однорідним.

.
Диференційне рівняння.

§ 1. Основні поняття про звичайні диференціальні рівняння.

1-го порядку.Звичайним диференціальним рівнянням n- го порядку для функції – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функціїаргументу xназивається співвідношення виду

де F- Задана функція своїх аргументів. У назві цього класу математичних рівнянь термін «диференціальне» наголошує, що до них входять похідні.
(функції, утворені як наслідок диференціювання); термін – «звичайне» свідчить, що потрібна функція залежить лише від одного дійсного аргументу.

Звичайне диференціальне рівняння може не містити у явному вигляді аргумент x, потрібну функцію
та будь-які її похідні, але старша похідна
повинна входити до рівняння n- го порядку. Наприклад

а)
- Рівняння першого порядку;

б)
- Рівняння третього порядку.

При написанні звичайних диференціальних рівнянь часто використовуються позначення похідних через диференціали:

в)
- Рівняння другого порядку;

г)
- Рівняння першого порядку,

що утворює після поділу на dxеквівалентну форму завдання рівняння:
.

Функція
називається рішенням звичайного диференціального рівняння, якщо при підстановці до нього воно перетворюється на тотожність.

Наприклад, рівняння 3-го порядку

Має рішення
.

Знайти тим чи іншим прийомом, наприклад, підбором, одну функцію, яка задовольняє рівняння, означає вирішити його. Вирішити звичайне диференціальне рівняння - значить знайти Усефункції, що утворюють при підстановці рівняння тотожність. Для рівняння (1.1) сімейство таких функцій утворюється за допомогою довільних постійних і називається загальним рішенням звичайного диференціального рівняння n-го порядку, причому число констант збігається з порядком рівняння: Загальне рішення може бути, і не дозволено явно щодо – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції(x) : У цьому випадку рішення прийнято називати загальним інтегралом рівняння (1.1)

Наприклад, загальним рішенням диференціального рівняння
є наступне вираз: , причому другий доданок може бути записаний і як
, тому що довільна постійна , поділена на 2, може бути замінена новою довільною постійною .

Задаючи деякі допустимі значення всім довільним постійним у загальному рішенні або у загальному інтегралі, отримуємо певну функцію, яка вже не містить довільних констант. Ця функція називається приватним рішенням чи приватним інтегралом рівняння (1.1). Для відшукання значень довільних постійних, отже, і приватного рішення, використовуються різні додаткові умови рівняння (1.1). Наприклад, можуть бути задані так звані початкові умови (1.2)

У правих частинах початкових умов (1.2) задані числові значення функції та похідних, причому, загальне числопочаткових умов дорівнює числу довільних констант, що визначаються.

Завдання пошуку приватного рішення рівняння (1.1) за початковими умовами називається завданням Коші.

§ 2. Прості диференціальні рівняння 1-го порядку – основні поняття.

Просте диференціальне рівняння 1-го порядку ( n=1) має вигляд:
або, якщо його вдається дозволити щодо похідної:
. Загальне рішення – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції= – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції(x,С)або загальний інтеграл
рівняння 1-го порядку містять одну довільну постійну. Єдина початкова умова для рівняння 1-го порядку
дозволяє визначити значення константи із загального рішення чи із загального інтеграла. Таким чином, буде знайдено приватне рішення або, що також, буде вирішено завдання Коші. Питання про існування та єдиність розв'язання задачі Коші є одним із центральних у загальної теоріїзвичайних диференціальних рівнянь. Для рівняння 1-го порядку, зокрема, справедлива теорема, яка тут приймається без доказу.

Теорема 2.1.Якщо у рівнянні функція
та її приватна похідна
безперервні в деякій галузі Dплощині XOY, і в цій галузі задана точка
, то існує і до того ж єдине рішення , що задовольняє як рівняння , так і початковій умові
.

Геометрично загальне рішеннярівняння 1-го порядку є сімейством кривих на площині XOY, що не мають спільних точок і відрізняються один від одного одним параметром - значенням константи C. Ці криві називаються інтегральними кривими даного рівняння. Інтегральні криві рівняння мають очевидне геометричною властивістю: у кожній точці тангенс кута нахилу дотичної до кривої. дорівнює значеннюправої частини рівняння у цій точці:
. Іншими словами, рівняння задається у площині XOYполе напрямів, що стосуються інтегральних кривих. Примітка:Необхідно відзначити, що до рівняння
наводиться рівняння та так зване рівняння у симетричній формі
.

§ 3. Диференціальні рівняння 1-го порядку з змінними, що розділяються.

Диференціальні рівняння 1-го порядку з змінними, що розділяються.Диференціальним рівнянням з змінними, що розділяються, називається рівняння виду
(3.1)

або рівняння виду (3.2)

Диференціальним рівнянням з змінними, що розділяються, називається рівняння виду (3.1) або рівняння виду (3.2)

;

А, щоб у рівнянні (3.1) розділити змінні, тобто. привести це рівняння до так званого рівняння з розділеними змінними, зробити такі дії: g(– однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції)= 0 g(y)= 0 – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції= a, y=a, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції= a y=a

Рівняння (3.2) наводиться до рівняння з розділеними змінними поділом на твір
:

що дозволяє отримати загальний інтеграл рівняння (3.2):
. (3.3)

що дозволяє отримати загальний інтеграл рівняння (3.2):
якщо такі рішення існують.

Вирішити рівняння: .

Розділяємо змінні:

Інтегруючи, отримуємо

Далі з рівнянь
і
знаходимо x=1, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції=-1. Ці рішення – приватні рішення.

§ 4. Однорідні диференціальні рівняння 1-го порядку.

1-го порядку.Рівняння 1-го порядку називається однорідним, якщо для його правої частини за будь-яких
справедливе співвідношення
, що називається умовою однорідності функції двох змінних нульового виміру.

приклад 1.Показати, що функція
- однорідна нульова вимірювання.

Показати, що функція – однорідна нульового виміру.

Рішення.

що й потрібно було довести.Будь-яка функція
- однорідна і, навпаки, будь-яка однорідна функція
нульового виміру наводиться до виду
.

Будь-яка функція – однорідна і, навпаки, будь-яка однорідна функція нульового виміру наводиться до вигляду.

Перше твердження теореми очевидно, т.к.
. Доведемо друге твердження. Покладемо
тоді для однорідної функції
, що й потрібно було довести.

, що й потрібно було довести.Рівняння (4.1)

в котрому Рівняння (4.1) у якому M і– однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх називається однорідним.

Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведене до вигляду
(4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити.

Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції y – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції= zx, y=zx, z(x) - Нова потрібна функція. Виконавши цю підстановку в рівнянні (4.2), отримаємо:
або
або
.

- Нова потрібна функція. Виконавши цю підстановку в рівнянні (4.2) отримаємо: або або . z(x)
, який після повторної заміни
дає загальний інтеграл вихідного рівняння. Крім того, якщо - коріння рівняння
, то функції
- Рішення однорідного заданого рівняння. Якщо ж
, то рівняння (4.2) набуває вигляду

і стає рівнянням з змінними, що розділяються. Його рішеннями є напівпрямі:
.

Зауваження.Іноді доцільно замість зазначеної вище підстановки використовувати підстановку x= zy.

§ 5. Диференціальні рівняння, що призводять до однорідних.

Розглянемо рівняння виду
. (5.1)

Якщо
, то це рівняння за допомогою підстановки , де і - нові змінні, а й - Деякі постійні числа, що визначаються із системи

Наводиться до однорідного рівняння

Якщо
, то рівняння (5.1) набуває вигляду

Вважаючи z= ax+ by, приходимо до рівняння, що не містить незалежної змінної.

Розглянемо приклади.

, що називається умовою однорідності функції двох змінних нульового виміру.

Проінтегрувати рівняння

і виділити інтегральну криву, яка проходить через точки: а) (2; 2); б) (1; -1).

Показати, що функція – однорідна нульового виміру.

Покладемо – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції= zx. Тоді dy= xdz+ zdxі

Скоротимо на і зберемо члени при dxі dz:

Розділимо змінні:

.

Інтегруючи, отримаємо;

або
,
.

Замінивши тут zна , Отримаємо загальний інтеграл заданого рівняння у вигляді (5.2)
або

.

Це сімейство кіл
центри яких лежать на прямій – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції = xі які на початку координат стосуються прямої – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції + x = 0. Ця пряма– однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції = - x у свою чергу, приватне рішення рівняння.

Тепер режим завдання Коші:

А) вважаючи у загальному інтегралі x=2, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції=2, знаходимо З=2,тому шуканим рішенням буде
.

Б) жодна з кіл (5.2) не проходить через точку (1;-1). Зате напівпряма – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції = - x,
проходить через точку та дає шукане рішення.

приклад 2.Вирішити рівняння: .

Показати, що функція – однорідна нульового виміру.

Рівняння є окремим випадком рівняння (5.1).

Визначник
в даному прикладі
тому треба вирішити наступну систему

Вирішуючи, отримаємо, що
. Виконуючи в заданому рівнянніпідстановку
, Отримуємо однорідне рівняння . Інтегруючи його за допомогою підстановки
, знаходимо
.

Повертаючись до старих змінних xі – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функціїза формулами
, маємо.

§ 6. Узагальнене однорідне рівняння.

Рівняння Рівняння (4.1) у якому(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) dx+ і(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) dy=0 називається узагальненим однорідним, якщо вдається підібрати таке число k, що ліва частина цього рівняння стає однорідною функцією деякою мірою mщодо x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції, dx M dyза умови, що xвважається величиною першого виміру, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції – kго виміру , dx M dy – відповідно нульового та (k-1) -го вимірів. Наприклад, таким буде рівняння
. (6.1)

Дійсно, при зробленому припущенні щодо вимірювань

x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції, dx M dyчлени лівої частини
і dyматимуть відповідно вимірювання -2, 2 kі k-1. Прирівнюючи їх, отримуємо умову, якій має задовольняти потрібне число k: -2 = 2k=k-1. Ця умова виконується при k= -1 (при такому kвсі члени лівої частини аналізованого рівняння матимуть вимір -2). Отже, рівняння (6.1) є узагальненим однорідним.

Узагальнене однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою підстановки
, де z- Нова невідома функція. Проінтегруємо вказаним методом рівняння (6.1). Так як k= -1, то
, після чого отримуємо рівняння.

Інтегруючи його, знаходимо
, звідки
. Це загальне рішення рівняння (6.1).

§ 7. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.

Лінійним рівнянням 1-го порядку називається рівняння, лінійне щодо шуканої функції та її похідної. Воно має вигляд:

, (7.1)

де P(x) M Q(x) – задані безперервні функції від x. Якщо функція
, то рівняння (7.1) має вигляд:
(7.2)

і називається лінійним однорідним рівнянням, інакше
воно називається лінійним неоднорідним рівнянням.

Лінійне однорідне диференціальне рівняння (7.2) є рівнянням з змінними, що розділяються:

(7.3)

Вираз (7.3) є загальним рішенням рівняння (7.2). Щоб знайти загальне рішення рівняння (7.1), у якому функція P(x) позначає ту ж функцію, що і в рівнянні (7.2), застосуємо прийом, званий методом варіації довільної постійної і що полягає в наступному: постараємося підібрати функцію З = З (x) так, щоб загальне рішення лінійного однорідного рівняння (7.2) було рішенням неоднорідного лінійного рівняння (7.1). Тоді для похідної функції (7.3) отримаємо:

Підставляючи знайдену похідну рівняння (7.1), матимемо:

або
.

Звідки
де - довільна постійна. В результаті загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння (7.1) буде (7.4)

Перше доданок у цій формулі представляє загальне рішення (7.3) лінійного однорідного диференціального рівняння (7.2), а друге доданок формули (7.4) є окреме рішення лінійного неоднорідного рівняння (7.1), отримане із загального (7.4) при
. Цей важливий висновок виділимо як теореми.

що й потрібно було довести.Якщо відомо одне окреме рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння
, то всі інші рішення мають вигляд
, де
- загальне розв'язання відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння.

Однак слід зазначити, що для вирішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння 1-го порядку (7.1) частіше застосовується інший метод, який іноді називається методом Бернуллі. Шукатимемо рішення рівняння (7.1) у вигляді
. Тоді
. Підставимо знайдену похідну у вихідне рівняння:
.

Об'єднаємо, наприклад, другий і третій доданки останнього виразу і винесемо функцію u(x) за дужку:
(7.5)

Вимагаємо звернення в нуль круглої дужки:
.

Вирішимо це рівняння, вважаючи довільну постійну Cрівної нулю:
. Знайденою функцією v(x) повернімося до рівняння (7.5):
.

Вирішуючи його, отримаємо:
.

Отже, загальне рішення рівняння (7.1) має вигляд:

§ 8. Рівняння Бернуллі.

Диференціальні рівняння 1-го порядку з змінними, що розділяються.

Диференціальне рівняння виду
, де
називається рівнянням Бернуллі.

Припускаючи, що
розділимо обидві частини рівняння Бернуллі на . В результаті отримаємо:
(8.1)

Введемо нову функцію
. Тоді
. Домножимо рівняння (8.1) на
і перейдемо в ньому до функції z(x) :
, тобто. для функції z(x) отримали лінійне неоднорідне рівняння 1-го порядку. Це рівняння вирішується методами, розібраними у попередньому параграфі. Підставимо у його спільне рішення замість z(x) вираз
, отримаємо загальний інтеграл рівняння Бернуллі, який легко дозволяється щодо – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції. При
додається рішення – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції(x)=0 . Бернуллі можна також вирішувати, не роблячи переходу до лінійного рівняння шляхом підстановки
, а застосовуючи метод Бернуллі, докладно розібраний у § 7. Розглянемо застосування цього способу вирішення рівняння Бернуллі на конкретному прикладі.

приклад.Знайти загальне рішення рівняння:
(8.2)

Показати, що функція – однорідна нульового виміру.

Отже, загальне рішення даного рівняння має вигляд:
, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції(x)=0.

§ 9. Диференціальні рівняння в повних диференціалах.

Диференціальні рівняння 1-го порядку з змінними, що розділяються.Якщо у рівнянні Рівняння (4.1) у якому(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) dx+ і(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) dy=0 (9.1) ліва частина є повний диференціал деякої функції U(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) , то воно називається рівнянням у повних диференціалах. Це рівняння можна переписати у вигляді du(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції)=0 , отже, його загальний інтеграл є u(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції)= c.

Наприклад, рівняння xdy+ ydx=0 є рівняння у повних диференціалах, оскільки його можна переписати у вигляді d(xy)=0. Спільним інтегралом буде xy= c- довільна функція, що диференціюється. Продиференціюємо (9.3) по u
§ 10. Інтегруючий множник.

Якщо рівняння Рівняння (4.1) у якому(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) dx + і(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) dy = 0 не є рівнянням у повних диференціалах та існує функція µ = µ(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) , Така що після множення на неї обох частин рівняння виходить рівняння

µ(Mdx + Ndy) = 0у повних диференціалах, тобто. µ(Mdx + Ndy)du, то функція µ(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) називається інтегруючим множником рівняння. У разі, коли рівняння вже є рівнянням у повних диференціалах, вважають µ = 1.

Якщо знайдено інтегруючий множник µ , то інтегрування даного рівняння зводиться до множення обох його частин на µ та знаходження загального інтеграла отриманого рівняння у повних диференціалах.

Якщо µ є безперервно диференційована функція від xі y, то
.

Звідси випливає, що інтегруючий множник µ задовольняє наступному рівнянню із приватними похідними 1-го порядку:

(10.1).

Якщо наперед відомо, що µ= µ(ω) , де ω – задана функція від xі – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції, то рівняння (10.1) зводиться до звичайного (і до того ж лінійного) рівняння з невідомою функцією µ від незалежної змінної ω :

(10.2),

де
, тобто дріб є функцією тільки від ω .

Вирішуючи рівняння (10.2), знаходимо інтегруючий множник

, з = 1.

Зокрема рівняння Рівняння (4.1) у якому(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) dx + і(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) dy = 0 має інтегруючий множник, що залежить тільки від x(ω = x) або тільки від – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції(ω = – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції), якщо виконані відповідно наступні умови:

,
.

Рівняння Рівняння (4.1) у якому(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) dx+ і(x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції) dy=0 називається узагальненим однорідним, якщо вдається підібрати таке число k, що ліва частина цього рівняння стає однорідною функцією деякою мірою m щодо x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції, dx M dy за умови, що x вважається величиною першого виміру, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції – k‑ го виміру , dx M dy – відповідно нульового та (k-1) -го вимірів. Наприклад, таким буде рівняння.

(6.1)

x, – однорідні функції однієї й тієї ж ступеня, тобто. мають властивість при всіх , називається однорідним. Очевидно, що це рівняння завжди може бути приведено до вигляду (4.2), хоча для його вирішення цього можна і не робити. Однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою заміни шуканої функції, dx M dy Дійсно, при зробленому припущенні щодо вимірювань
і dy члени лівої частини kматимуть відповідно вимірювання -2, 2 kі k: -2 = 2k = k-1. Прирівнюючи їх, отримуємо умову, якій має задовольняти потрібне число k -1. Ця умова виконується при k= -1 (при такому

Узагальнене однорідне рівняння наводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою підстановки
, де z- Нова невідома функція. Проінтегруємо вказаним методом рівняння (6.1). Так як k = -1, то
, Після чого отримуємо рівняння.

Інтегруючи його, знаходимо
, звідки
. Це загальне рішення рівняння (6.1).

§ 7. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку.

, (7.1)

де P(x) M Q(x) – задані безперервні функції від x. Якщо функція
, то рівняння (7.1) має вигляд:
(7.2)

і називається лінійним однорідним рівнянням, інакше
воно називається лінійним неоднорідним рівнянням.

Лінійне однорідне диференціальне рівняння (7.2) є рівнянням з змінними, що розділяються:

(7.3)

Вираз (7.3) є загальним рішенням рівняння (7.2). Щоб знайти загальне рішення рівняння (7.1), у якому функція P(x) позначає ту ж функцію, що і в рівнянні (7.2), застосуємо прийом, званий методом варіації довільної постійної і що полягає в наступному: постараємось підібрати функцію З = З (x) так, щоб загальне рішення лінійного однорідного рівняння (7.2) було рішенням неоднорідного лінійного рівняння (7.1). Тоді для похідної функції (7.3) отримаємо:

Підставляючи знайдену похідну рівняння (7.1), матимемо:

або
.

Звідки
, де - Довільна постійна. В результаті загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння (7.1) буде (7.4)

Об'єднаємо, наприклад, другий і третій доданки останнього виразу і винесемо функцію u(x) за дужку:
(7.5)

Вимагаємо звернення в нуль круглої дужки:
.

Вирішимо це рівняння, вважаючи довільну постійну C рівної нулю:
. Знайденою функцією v(x) повернімося до рівняння (7.5):
.

Вирішуючи його, отримаємо:
.

Отже, загальне рішення рівняння (7.1) має вигляд.

Диференціальні рівняння в узагальнених функціях

Нехай існує рівняння. Якщо - звичайна функція, її рішення є первісна, тобто. Нехай тепер – узагальнена функція.

Визначення. Узагальнена функція називається первісною узагальненою функцією, якщо. Якщо – сингулярна узагальнена функція, то можливі випадки, коли її первинна – регулярна узагальнена функція. Наприклад, первісна є; Первинна є функція, а рішення рівняння можна записати у вигляді: , де.

Є лінійне рівняння -го порядку з постійними коефіцієнтами

де – узагальнена функція. Нехай - диференціальний поліном-го порядку.

Визначення. Узагальненим рішенням диференціального рівняння (8) називається узагальнена функція, для якої виконується співвідношення:

Якщо - безперервна функціятоді єдиним рішенням рівняння (8) є класичне рішення.

Визначення. Фундаментальним рішенням рівняння (8) називається будь-яка узагальнена функція така, що.

Функція Гріна - фундаментальне рішення, що задовольняє граничній, початковій або асимптотичній умові.

Теорема. Рішення рівняння (8) існує і має вигляд:

якщо тільки згортка визначена.

Доведення. Справді, . За якістю згортки слід: .

Неважко побачити, що фундаментальним рішенням цього рівняння є, оскільки

Властивості узагальнених похідних

Операція диференціювання лінійна і безперервна з:

в, якщо;

Кожна узагальнена функція нескінченно диференційована. Справді, якщо, то; у свою чергу і т.д.;

Результат диференціювання залежить від порядку диференціювання. Наприклад, ;

Якщо і то справедлива формула Лейбніца диференціювання твору. Наприклад, ;

Якщо узагальнена функція, то;

Якщо ряд, складений з локально інтегрованих функцій, сходиться рівномірно кожному компакті, його можна почленно диференціювати будь-яку кількість разів (як узагальнену функцію), і отримані ряди будуть сходиться в.

приклад. Нехай

Функція називається функцією Хевісайду чи одиничною функцією. Вона локально інтегрована і може розглядатися як узагальнена функція. Можна знайти її похідну. Відповідно до визначення, тобто. .

Узагальнені функції, що відповідають квадратичним формам з комплексними коефіцієнтами

До цього часу розглядалися виключно квадратичні форми з речовими коефіцієнтами. У цьому пункті досліджується простір усіх квадратичних форміз комплексними коефіцієнтами.

Завданням є визначення узагальненої функції, де - комплексне число. Однак у загальному випадку не буде однозначною аналітичною функцією. Тому у просторі всіх квадратичних форм виділяють «верхню полуплоскость» квадратичних форм з позитивно визначеною уявною частиною і визначають їм функцію. А саме, якщо квадратична форма належить цій «напівплощині», то належить, де. Така функція є однозначною аналітичною функцією.

Можна зіставити тепер функції узагальнену функцію:

де інтегрування ведеться у всьому просторі. Інтеграл (13) сходиться при і є в цій напівплощині аналітичною функцією. Продовжуючи аналітично цю функцію, визначається функціонал інших значень.

Для квадратичних форм з позитивно визначеною уявною частиною знаходяться особливі точкифункцій і обчислюються відрахування цих функцій у спеціальних точках.

Узагальнена функція аналітично залежить тільки від, а й від коефіцієнтів квадратичної форми. Тим самим є аналітичною функцією у верхній «напівплощині» всіх квадратичних форм виду, де є позитивно визначена форма. Отже, однозначно визначається своїми значеннями на «уявної півосі», тобто на множині квадратичних форм виду, де - позитивно визначена форма.