Життєві ресурси 

Перпендикулярність у просторі презентації. Презентація на тему "перпендикулярність у просторі"

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com


Підписи до слайдів:

Перпендикулярність прямих та площин

Перпендикулярні прямі у просторі Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює 90 о а b с а  b c  b α

Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то й інша пряма перпендикулярна до цієї прямої. A C a α M b c Дано: а || b, a  c Довести: b  c Доказ:

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині α а а  α

Теорема 1 Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то інша пряма перпендикулярна до цієї площини. α х Дано: а || а 1; a  α Довести: а 1  α Доказ: a а 1

Теорема 2 α Довести: а || b Доказ: a Якщо дві прямі перпендикулярні до площини, вони паралельні. β b 1 Дано: а  α ; b  α b M с

Ознака перпендикулярності прямої і площини Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна до цієї площини. α q Довести: а  α Доказ: a p m O Дано: а  p ; a  q p  α; q  α p ∩ q = O

α q l m O a p B P Q Доказ: L а) окремий випадок A

α q a p m O Доказ: а) загальний випадок a 1

Теорема 4 Через будь-яку точку простору проходить пряма, перпендикулярна до цієї площини, і лише одна. α а β М b с Довести: 1) ∃ с, с  α , М  с; 2) з - ! Доказ: Дано: ; М  α

Завдання Знайти: MD А В D M Рішення: Дано:  ABC ; MB  BC; MB  BA; MB = BD = a Довести: М B  BD C a a

Завдання 128 Довести: O М  (ABC) Дано: ABCD - паралелограм; AC ∩ BD = O; М  (ABC); МА = МС, MB = MD А В D C O М Доказ:

Задача 12 2 Знайти AD; BD; AK; BK. А В D C O К Рішення: Дано:  ABC – р/р; О – центр  ABC CD  (ABC); ОК | CD А B = 16  3, OK = 12; CD = 16 12 16

Перпендикуляр та похилі М А В Н α МН  α А  α В  α МА та МВ – похилі Н  α АН та ВН – проекції похилих МН – перпендикуляр М  α

Теорема про три перпендикуляри Пряма, проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до її проекції на цю площину, перпендикулярна до похилої. А Н М α β а Дано: а ? ?

Теорема, зворотна теоремі про три перпендикуляри Пряма, проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до неї, перпендикулярна до її проекції. А Н М α β а Дано: а ? ?

Кут між прямою та площиною А Н α β а О φ (а; α) =  АОН = φ


За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

Презентація на тему "Перпендикулярність прямої та площини" відповідає теоритичному матеріалу, що вивчається в цьому розділі стереометрії.

Представлено розробку уроку в 10 класі, з геометрії до УМК: Геометрія для 10-11 кл., автори Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін. Це урок вивчення нового матеріалу з використанням...

Презентація «Перпендикулярні прямі у просторі» є наочним посібником для демонстрації навчального матеріалущодо однойменної теми у шкільництві. Уявити фігури у просторі складно за допомогою дошки чи інших стандартних інструментів вчителя. Презентація - одна з найкращих форм демонстрації наочного матеріалу, де потрібно зображати тіла в просторі. Під час створення презентації може використовуватися анімація, кольорове представлення фігур. Також анімоване уявлення сприяє глибшому розумінню демонстрованих процесів і перетворень, акцентує увагу учнів на предметі, що вивчається.

У ході презентації учні отримують уявлення про прямих, які є перпендикулярними у просторі, формулюється та доводиться важлива лема про перпендикулярність прямої обох паралельним прямим при перпендикулярності однієї з них, описується вирішення задачі з використанням вивченого матеріалу. За допомогою презентації вчителю легше формувати в учнів уміння вирішувати геометричні завдання, дати уявлення про властивості ті у просторі. Матеріал, що демонструється під час презентації, легше розуміється та запам'ятовується.

Презентація починається з нагадуванням, який кут може утворюватися між двома прямими, розташованими на площині і перетинаються між собою. На малюнку зображується деяка площина, де побудовані прямі aі b. При перетині цих прямих утворюється кут α. Розмір кута може бути від 0° до 90°. Вертикальні кути, що утворюються перетином прямих, при цьому рівні, а суміжний кут визначається формулою 180-α. Це теоретичні знання, які слід згадати учневі перед вивченням властивостей прямих, перпендикулярно розташованих у просторі. На наступному слайді, щоб краще продемонструвати взаємне положення прямих у просторі, зображується прямокутний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на якому виділені ребра АА 1 і АВ, розташовані перпендикулярно. Формулюється визначення перпендикулярних прямих, які називаються, якщо кут між ними становить 90°. Також наголошується, що в прямокутному паралелепіпедітакож перпендикулярними між собою будуть прямі D 1 C 1 та DD 1 . Також нагадується позначення перпендикулярності прямих D 1 C 1 ┴ DD 1 . Далі відзначаються пари прямих у паралелепіпеді, які будуть паралельні та перпендикулярні між собою. Зазначається, що перпендикулярними будуть АА 1 ┴ АD, DD 1 ┴ АD, а паралельними є АА 1 та DD 1 .


Далі представлена ​​лема, яка стверджує, що при перпендикулярності однієї з паралельних прямих деякою третьою прямою, друга паралельна пряма також буде їй перпендикулярна. Формулювання леми виділено для запам'ятовування в рамку та за допомогою кольору. Демонструється перебіг доказу леми. На малюнку зображуються дві паралельні прямі aі b, а також пряма з, про яку відомо, що вона перпендикулярна а. необхідно довести, що перпендикулярними також є і c. Щоб довести це твердження, будується додатково точка М, яка належить ні a, ні b. Через дану точкупроводиться пряма МА, паралельна а. Також проводиться МС, паралельна с. Перпендикулярність аксу означає, що ∠АМС=90°. З паралельності aі b, а також паралельності а до МА випливає паралельність bк МА. Так як bпаралельна МА, а з паралельна МС і кут ∠АМС=90°, то b перпендикулярна с. Твердження доведене.


На останньому слайді представлено опис розв'язання задачі, в якій потрібно довести перпендикулярність ребра тетраедра АМ та прямий PQ. У задачі дано тетраедр МАВС, в якому АМ перпендикулярно до ВС. На ребрі АВ відзначено точку Р. У цьому відомо, що АР/АВ=2/3. А на ребрі Ас відзначено точку Q, яка ділить ребро у співвідношенні AQ/QC=2/1. Зі співвідношення AQ/QC=2/1 випливає співвідношення Δ/AC=2/3. Зі знайденого AQ/AC, відомого співвідношення АР/АВ і факту, що кут ∠А загальний, випливає, що трикутники ΔARQ і ΔАВС подібні. При цьому з рівності кутів ∠AРQ=∠АВС, ∠AQР=∠АСВ випливає і паралельність ліній РQ та ВС. Знаючи, що сторони Ам та ВС перпендикулярні, а РQ паралельно ВС, використовуючи відому лему, можемо стверджувати, що АМ перпендикулярна до РQ. Завдання вирішено.

Презентація «Перпендикулярні прямі у просторі» допоможе вчителю у веденні уроку геометрії у шкільництві. Також наочний матеріалстане в нагоді вчителю, який проводи навчання дистанційно. Презентація може рекомендуватися учню, який самостійно вивчає предмет або вимагає додаткового матеріалу для більш глибокого розуміння.

Розділи: Математика

Цілі уроку:

Обладнання уроку:

  • підручник Л.С. Атанасян та ін. «Геометрія 10-11»;
  • робочий зошит;
  • персональний комп'ютер;
  • мультимедійний проектор;
  • Інтерактивна дошка;
  • авторська презентація, підготовлена ​​за допомогою Microsoft Power Point ( Додаток 1 )

Структура уроку:

  1. Організаційний момент.
  2. Актуалізація знань учнів на тему.
  3. Закріплення раніше отриманих знань та відпрацювання умінь та навичок застосування цих знань при вирішенні завдань.
  4. Підбиття підсумків уроку.
  5. Домашнє завдання.

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент уроку: привітання, перевірка готовності до уроку

2. Актуалізація знань, отриманих учнями на попередньому уроці:

– поняття перпендикулярних прямих у просторі;
– перпендикулярність прямої та площини;
– властивостей паралельних прямих, перпендикулярних до площини.

З метою актуалізації знаньодин учень виходить до дошки і записує рішення задачі №119а), другий учень – доказ теореми про паралельні прямі, перпендикулярні площині.

Поки вони готуються, фронтальне опитування класу:

- Яке взаємне розташуваннядвох прямих у просторі?
– У яких межах вимірюється кут між прямими у просторі?
– Які прямі у просторі називаються перпендикулярними?
– Сформулюйте лему про дві паралельні прямі, перпендикулярні до третьої.
– Встановіть правильну послідовність дій у доказі леми.

Після виконання оперативної перевірки правильності.

Вчитель:Дайте визначення перпендикулярності прямої та площині.

Вчитель:Сформулюйте зворотну теорему.

Перевірка правильності вирішення домашнього завдання №119а (з використанням рівності трикутників).

3. Відпрацювання умінь та навичок застосування теоретичних знань до вирішення завдань

1) Усні вправи.

№1 Пряма АВ перпендикулярна до площини, точки М і К належать цій площині. Доведіть, що пряма АВ перпендикулярна до прямої МК.

2) Письмові вправи .

№2 У квадраті ABCD т.о – точка перетину його діагоналей. Пряма МО перпендикулярна площині квадрата. Доведіть, що MA = MB = MC = MD.

№3 Сторона AB паралелограма ABCD перпендикулярна до площини. Знайдіть BD, якщо АС = 10 см.

4. Перевірка засвоєння отриманих знань під час виконання тесту

5. Підбиття підсумків уроку

Записати завдання додому: п.15-16, №118 №120

Слайд 2

Перпендикулярні прямі у просторі Дві прямі у просторі називаються перпендикулярними (взаємно перпендикулярними), якщо кут між ними дорівнює 90°. Перпендикулярність прямих aі b позначається так: ab. На малюнку 1 перпендикулярні прямі a і b перетинаються, а перпендикулярні прямі a і c схрещуються. a b c 90° Мал. 1

Слайд 3

Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої прямої, то й інша пряма перпендикулярна до цієї прямої. Доведемо лему про перпендикулярність двох паралельних прямих до третьої прямої Лемма: Доказ: Нехай a || b та ab. Доведемо, що b  c. Через довільну т.м. простору, що не лежить на даних прямих, проведемо прямі МА і МС, паралельні відповідно прямим a і c. Оскільки a  c, то AMC = 90°. За умовою b | а,а з побудови а|| МА, тому b | | МА. Отже, прямі b і з паралельні відповідно прямим МА і МС, кут між якими дорівнює 90 °. Це означає, що кут між прямими bі також дорівнює 90°, т. е.b  c. Мал. 2 b a C A M c

Слайд 4

Паралельні прямі, перпендикулярні до площини Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині. Перпендикулярність прямої а та площини α позначається так: а  α. Якщо пряма перпендикулярна до площині α, то вона перетинає цю площину. Справді, якби пряма ане перетинала площину α, то вона або лежала в цій площині, або була б паралельна їй. Але тоді в площині були б прямі, не перпендикулярні до прямої а, наприклад прямі, паралельні їй, що суперечить визначенню перпендикулярності прямої і площини. Отже, пряма а перетинає площину?

Слайд 5

На малюнку 3 зображено пряму а, перпендикулярну до площини α. Обстановка, що оточує нас, дає багато прикладів, що ілюструють перпендикулярність прямої і площини. непохитний телеграфний стовпстоїть прямо, тобто перпендикулярно до площини землі. Так само розташовані колони будівлі по відношенню до площини фундаменту, лінії перетину стін по відношенню до площини підлоги і т. д. Рис. 3

Слайд 6

Доведемо дві теореми, в яких встановлюється зв'язок між паралельністю прямих та їх перпендикулярністю до площини. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інша пряма перпендикулярна до цієї площини. Розглянемо дві паралельні прямі а та b та площину α, таку, що аα. Доведемо, що і b  α. Проведемо якусь пряму х у площині α (рисунок 4). Оскільки а α, то а х. По лемі про перпендикулярність двох паралельних прямих до третьої b  х. Таким чином, пряма b перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині, тобто. b  α. Доказ: Мал. 4 α a b x

Слайд 7

Якщо дві прямі перпендикулярні до площини, вони паралельні. Розглянемо прямі а та b, перпендикулярні до площини α (рисунок 5,a). Доведемо, що || b. Через якусь т.M прямий b проведемо пряму q, паралельну прямій. За попередньою теоремою q  α. Доведемо, що пряма q збігається із прямою b. Тим самим буде доведено, що а|| b. Припустимо, що прямі b і q не збігаються. Тоді в площині β, що містить прямі b і q через т. M проходять дві прямі, перпендикулярні до прямої c, по якій перетинаються площини α і β(рисунок 5, б). Але це неможливо, отже, а || b. Доказ: Мал. 5, а α a q Мал. 5, b α a M c b b

Переглянути всі слайди