Розв'язання задач з теорії ймовірностей у еге. Теорія ймовірностей Теорія ймовірності базовий рівень

Теорія ймовірностей на ЄДІ з математики може бути представлена ​​як у вигляді простих завданьна класичне визначення ймовірності, і у вигляді досить складних, застосування відповідних теорем.

У цій частині розглянемо завдання, на вирішення яких достатньо застосування визначення ймовірності. Іноді тут ми будемо застосовувати формулу для обчислення ймовірності протилежної події. Хоча без цієї формули тут можна обійтися, вона все одно знадобиться під час вирішення наступних завдань.

Теоретична частина

Випадковою називають подію, яка може статися або не відбутися (передбачити неможливо) під час спостереження або випробування.

Нехай під час проведення випробування (кидання монети чи кубика, витягування екзаменаційного квиткаі т. д.) можливі рівноможливі результати. Наприклад, при підкиданні монети число всіх результатів дорівнює 2, оскільки крім випадання «решки» чи «орла» інших результатів не може. При кидку грального кубика можливі 6 наслідків, тому що на верхній грані кубика рівноможлива поява будь-якого з чисел від 1 до 6. Нехай також деякій події А сприяють результатам.

Імовірністю події А називається відношення числа сприятливих для цієї події наслідків до загального числа рівноможливих наслідків (це класичне визначення ймовірності). Пишемо

Наприклад, нехай подія А полягає у випаданні непарного числа очок при киданні кубика. Усього можливі 6 наслідків: випадання на верхній грані кубика 1, 2, 3, 4, 5, 6. При цьому сприятливими для події А є наслідки з випаданням 1, 3, 5. Таким чином, .

Зауважимо, що завжди виконується подвійна нерівність, тому ймовірність будь-якої події А лежить на відрізку, тобто . Якщо у вас у відповіді ймовірність виходить більше одиниці, значить, ви десь помилилися і рішення потрібно перевіряти ще раз.

Події А та В називаються протилежнимиодин одному, якщо будь-який результат сприятливий для одного з них.

Наприклад, при киданні кубика подія «випала непарна кількість» є протилежною події «випала парна кількість».

Подія, протилежна до події А, позначають. З визначення протилежних подій випливає
отже,
.

Завдання про вибір об'єктів із набору

Завдання 1.У чемпіонаті світу беруть участь 24 команди. За допомогою жереба їх потрібно розділити на чотири групи по шість команд у кожній. У ящику впереміш лежать картки з номерами груп:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Капітани команд тягнуть по одній картці. Яка ймовірність того, що команда Росії опиниться у третій групі?

Загальна кількість результатів дорівнює кількості карток – їх 24. Сприятливих результатів 6 (оскільки номер 3 написаний на шести картках). Шукана ймовірність дорівнює .

Відповідь: 0,25.

Завдання 2.В урні 14 червоних, 9 жовтих та 7 зелених куль. З урни навмання дістають одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля виявиться жовтою?

Загальна кількість наслідків дорівнює числу куль: 14 + 9 + 7 = 30. Число наслідків, що сприяють даній події, дорівнює 9. Шукана ймовірність дорівнює дорівнює .

Завдання 3.На клавіатурі телефону 10 цифр, від 0 до 9. Яка ймовірність того, що випадково натиснута цифра буде парною та більше 5?

Вихід тут є натискання певної клавіші, тому всього є 10 рівноможливих результатів. Зазначеній події сприяють наслідки, що означають натискання клавіші 6 або 8. Таких результатів два. Шукана ймовірність дорівнює.

Відповідь: 0,2.

Завдання 4. Якою є ймовірність того, що випадково обране натуральне число від 4 до 23 ділиться на три?

На відрізку від 4 до 23 є 23 - 4 + 1 = 20 натуральних чиселОтже, всього можливі 20 результатів. У цьому відрізку кратні трьом такі числа: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Усього таких чисел 6, тому подію, що розглядається, сприяють 6 результатів. Шукана ймовірність дорівнює .

Відповідь: 0,3.

Завдання 5.З 20 квитків, які пропонуються на іспиті, школяр може відповісти лише на 17. Яка ймовірність того, що школяр не зможе відповісти на обраний навмання квиток?

1-й спосіб.

Оскільки школяр може відповісти на 17 квитків, то на 3 квитки він не може відповісти. Імовірність отримати один з цих квитків за визначенням дорівнює.

2-й спосіб.

Позначимо через А подію «школяр може відповісти на квиток». Тоді. Імовірність протилежної події дорівнює = 1 - 0,85 = 0,15.

Відповідь: 0,15.

Завдання 6. У чемпіонаті з художній гімнастиціберуть участь 20 спортсменок: 6 із Росії, 5 із Німеччини, інші – із Франції. Порядок, у якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає сьомою, виявиться із Франції.

Усього 20 спортсменок, у всіх рівні шанси виступати сьомий. Тому є 20 рівноймовірних наслідків. З Франції 20 – 6 – 5 = 9 спортсменок, тому є 9 сприятливих для зазначеної події результатів. Шукана ймовірність дорівнює.

Відповідь: 0,45.

Завдання 7.Наукова конференція проводиться за 5 днів. Усього заплановано 50 доповідей – перші три дні по 12 доповідей, решта розподілено порівну між четвертим та п'ятим днями. Порядок доповідей визначається жеребкуванням. Яка ймовірність, що доповідь професора Н. виявиться запланованою на останній день конференції?

Спершу знайдемо, скільки доповідей заплановано на останній день. На перші три дні заплановано доповіді. Залишаються ще 50 – 36 = 14 доповідей, які розподіляються порівну між двома днями, що залишилися, тому в останній день заплановано доповідей.

Вважатимемо результатом порядковий номердоповіді професора Н. Усього таких рівноможливих результатів 50. Сприяють зазначеній події 7 результатів (останні 7 номерів у списку доповідей). Шукана ймовірність дорівнює.

Відповідь: 0,14.

Завдання 8. На борту літака 10 місць поряд із запасними виходами та 15 місць за перегородками, що розділяють салони. Інші місця незручні для пасажирів високого зросту. Пасажир До. високого зросту. Знайдіть ймовірність того, що на реєстрації при випадковому виборі місця пасажиру К. дістанеться зручне місце, якщо всього в літаку 200 місць.

Результат цього завдання – вибір місця. Усього є 200 рівноможливих результатів. Сприяють події «вибране зручне місце» 15 + 10 = 25 результатів. Шукана ймовірність дорівнює.

Відповідь: 0,125.

Завдання 9. Із 1000 зібраних на заводі кавомолок 7 штук бракованих. Експерт перевіряє одну навмання обрану кавомолку з цієї 1000. Знайдіть ймовірність того, що кавомолка, що перевіряється, виявиться бракованою.

При виборі кавомолки навмання можливі 1000 наслідків, події А «вибрана кавомолка бракована» сприятливі 7 наслідків. За визначенням ймовірності.

Відповідь: 0,007.

Завдання 10.Завод виготовляє холодильники. У середньому на 100 якісних холодильників припадає 15 холодильників із прихованими дефектами. Знайдіть ймовірність того, що куплений холодильник виявиться якісним. Результат округліть до сотих.

Це завдання схоже на попереднє. Проте формулювання «на 100 якісних холодильників припадає 15 із дефектами» вказує нам, що дефектні 15 штук не входять до 100 якісних. Тому загальне числорезультатів дорівнює 100 + 15 = 115 (як загальному числу холодильників), сприятливих результатів 100. Шукана ймовірність дорівнює . Для підрахунку наближеного значення дробу зручно скористатися розподілом куточком. Отримуємо 0,869, що 0,87.

Відповідь: 0,87.

Завдання 11. Перед початком першого туру чемпіонату з тенісу учасників розбивають на ігрові пари випадково за допомогою жеребу. Загалом у чемпіонаті бере участь 16 тенісистів, серед яких 7 учасників із Росії, зокрема Максим Зайцев. Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Максим Зайцев гратиме з будь-яким тенісистом із Росії.

Як і в попередній задачі, необхідно уважно прочитати умову і зрозуміти, що є результатом, а що – сприятливим результатом (так, неосмислене застосування формули ймовірності призводить до неправильної відповіді).

Тут результат – це суперник Максима Зайцева. Оскільки всього тенісистів 16, а сам із собою Максим грати не може, то є 16 – 1 = 15 рівноймовірних наслідків. Сприятливий результат – суперник із Росії. Таких сприятливих результатів 7 – 1 = 6 (з-поміж росіян виключаємо самого Максима). Шукана ймовірність дорівнює.

Відповідь: 0,4.

Завдання 12.Футбольну секцію відвідують 33 особи, серед них два брати – Антон та Дмитро. Тих, хто відвідує секцію, випадково ділять на три команди по 11 осіб у кожній. Знайдіть ймовірність того, що Антон та Дмитро опиняться в одній команді.

Сформуємо команди, послідовно поміщаючи футболістів на вільні місця, при цьому почнемо з Антона та Дмитра. Спочатку помістимо Антона на випадково обране місце із вільних 33. Тепер поміщаємо на вільне місце Дмитра (виходом вважатимемо вибір місця для нього). Усього є 32 вільні місця (одне вже зайняв Антон), тому всього можливі 32 результати. В одній команді з Антоном залишається 10 вільних місць, тому події «Антон та Дмитро в одній команді» сприяють 10 наслідків. Імовірність цієї події дорівнює .

Відповідь: 0,3125.

Завдання 13. Механічний годинник з дванадцятигодинним циферблатом у якийсь момент зламався і перестав ходити. Знайдіть ймовірність того, що годинна стрілказастигла, досягнувши позначки 11, але не дійшовши до позначки 2:00.

Умовно циферблат можна розділити на 12 секторів, що розташовуються між відмітками сусідніх чисел (між 12 та 1, 1 та 2, 2 та 3, …, 11 та 12). Результатом ми вважатимемо зупинку годинникової стрілки в одному із зазначених секторів. Усього є 12 рівноможливих результатів. Зазначеній події сприяють три результати (сектору між 11 і 12, 12 і 1, 1 і 2). Шукана ймовірність дорівнює .

Відповідь: 0,25.

Підведемо підсумок

Після вивчення матеріалу з вирішення простих завдань з теорії ймовірностей рекомендую виконати завдання самостійного рішення, які ми публікуємо на нашому каналі Telegram. Ви також можете перевірити правильність їх виконання, внісши свої відповіді у запропоновану форму.

Дякую, що поділилися статтею у соціальних мережах

Джерело “Підготовка до ЄДІ. Математика. Теорія ймовірностей”. За редакцією Ф.Ф. Лисенка, С.Ю. Кулабухова

На заводі керамічної плитки 5% вироблених плиток мають дефект. При контролі якості продукції можна знайти лише 40% дефектних плиток. Інші плитки вирушають на продаж. Знайдіть ймовірність того, що обрана випадковим чином при покупці плитка не матиме дефектів. Відповідь округліть до сотих.

Показати рішення

Рішення

При контролі якості продукції виявляється 40% дефектних плиток, які становлять 5% вироблених плиток, і вони не надходять у продаж. Отже, не надходить у продаж 0,4 · 5% = 2% від вироблених плиток. Решта вироблених плиток - 100% - 2% = 98% надходить у продаж.

Не має дефектів 100% - 95% вироблених плиток. Імовірність того, що куплена плитка не має дефекту, дорівнює 95%: 98% = \frac(95)(98)\approx 0,97

Відповідь

Умова

Імовірність того, що акумулятор не заряджений, дорівнює 0,15. Покупець у магазині набуває випадкової упаковки, яка містить два такі акумулятори. Знайдіть ймовірність того, що обидва акумулятори в цій упаковці будуть заряджені.

Показати рішення

Рішення

Імовірність того, що акумулятор заряджено, дорівнює 1-0,15 = 0,85. Знайдемо ймовірність події «обидва акумулятори заряджені». Позначимо через A та B події «перший акумулятор заряджений» та «другий акумулятор заряджений». Отримали P(A) = P(B) = 0,85. Подія «обидва акумулятори заряджені» - це перетин подій A \cap B, його ймовірність дорівнює P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85 \ cdot 0,85 = 0,7225.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

Імовірність того, що нова пральна машина протягом року надійде в гарантійний ремонт, дорівнює 0,065. У деякому місті протягом року було продано 1200 пральних машин, з яких 72 штук було передано до гарантійної майстерні. Визначте, наскільки відрізняється відносна частота настання «гарантійного ремонту» від його ймовірності в цьому місті?

Показати рішення

Рішення

Частота події «пральна машина протягом року надійде у гарантійний ремонт» дорівнює \ frac (72) (1200) = 0,06.Від ймовірності вона відрізняється від 0,065-0,06=0,005.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

Імовірність того, що ручка бракована, дорівнює 0,05. Покупець у магазині набуває випадкової упаковки, яка містить дві ручки. Знайдіть ймовірність того, що обидві ручки в цій упаковці виявляться справними.

Показати рішення

Рішення

Імовірність того, що справна ручка, дорівнює 1-0,05 = 0,95. Знайдемо ймовірність події «обидві справні ручки». Позначимо через A та B події «перша ручка справна» та «друга ручка справна». Отримали P(A) = P(B) = 0,95. Подія «обидві справні ручки» — це перетин подій A\cap B, його ймовірність дорівнює P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95 \ cdot 0,95 = 0,9025.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

На малюнку зображено лабіринт. Жук заповзає до лабіринту у точці «Вхід». Розвернутися і повзти у зворотному напрямку жук не може, тому на кожному роздоріжжі він обирає один із шляхів, в якому ще не був. З якою ймовірністю жук прийде до виходу Д, якщо вибір подальшого шляху випадковим.

Показати рішення

Рішення

Розставимо на перехрестях стрілки у напрямках, якими може рухатися жук (див. рис.).

Виберемо на кожному з перехресть один напрямок з двох можливих і вважатимемо, що при попаданні на перехрестя жук рухатиметься по обраному нами напрямку.

Щоб жук досягнув виходу Д, потрібно, щоб у кожному перехресті було обрано напрям, позначений суцільною червоною лінією. Усього вибір напряму робиться 4 рази, щоразу незалежно від попереднього вибору. Імовірність того, що кожного разу вибрано суцільну червону стрілку, дорівнює \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

У секції 16 спортсменок, серед них дві подруги – Оля та Маша. Спортсменок випадково розподіляють по 4 рівним групам. Знайдіть ймовірність того, що Оля та Маша потраплять до однієї групи.

План проведення семінару-практикуму для вчителів математики ОУ міста Тули на тему «Рішення завдань ЄДІ з математики з розділів: комбінаторика, теорія ймовірностей. Методика навчання»

Час проведення: 12 00 ; 15 00

Місце проведення: МБОУ «Ліцей № 1», каб. №8

I. Вирішення задач на ймовірність

1. Розв'язання задач на класичне визначення ймовірності

Ми, як вчителі, вже знаємо, що основні типи завдань у ЄДІ з теорії ймовірностей ґрунтуються на класичному визначенні ймовірності. Згадаймо, що називається ймовірністю події?

Ймовірністю подіїназивається відношення числа результатів, що сприяють даній події, до загального числа результатів.

У нашому науково-методичному об'єднанні вчителів математики вироблено загальна схемарозв'язання задач на ймовірність. До вашої уваги я її хочу уявити. До речі, ми поділилися своїм досвідом роботи, і у вас у матеріалах, які ми до вашої уваги дали для спільного обговорення вирішення завдань, ми цю схему дали. Проте я хочу її озвучити.

На наш погляд ця схема допомагає швидше логічно розкласти все по поличках, і після цього завдання вирішується набагато легше і для вчителя, і для учнів.

Так, я хочу докладно розібрати завдання наступного змісту.

Мені хотілося спільно з вами поговорити, щоб пояснити методику, як до хлопців донести таке рішення, в процесі якого хлопці зрозуміли б це типове завдання, і згодом вони самі в цих завданнях розбиралися.

Що у цій задачі є випадковим експериментом? Тепер нам необхідно вичленувати елементарну подію у цьому експерименті. Що є цією елементарною подією? Перелічимо їх.

Питання щодо завдання?

Шановні колеги, ви теж, очевидно, розглядали завдання на ймовірність гральних кубиків. Думаю, нам треба її розібрати, бо є свої нюанси. Давайте розбиратимемо це завдання відповідно до тієї схеми, яку ми вам запропонували. Так як на кожній грані кубика є число від 1 до 6, то елементарними події є числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ми знайшли, що загальна кількість елементарних подій дорівнює 6. Визначимо, які елементарні події сприяють події. Сприяють цій події всього дві події – 5 та 6 (оскільки з умови випливає, що має випасти 5 та 6 очок).

Пояснити, що це елементарні події рівноможливі. Які будуть питання щодо завдання?

Як ви знаєте, що монета симетрична? Давайте розберемося в цьому, іноді певні фрази викликають непорозуміння. Давайте в поняттєвому режимі розберемося в цьому завданні. Давайте розберемося з вами в тому експерименті, який описаний, які можуть бути елементарні наслідки. Ви уявляєте, де орел, де решка? Які можуть бути варіанти випадання? Чи є інші події? Скільки загальна кількість подій? За завданням відомо, що орел випав рівно один раз. Значить, цій подіїсприяють елементарні події з цих чотирьох ОР та РВ, двічі вже такого бути не може. Використовуємо формулу, за якою перебуває ймовірність події. Нагадаємо, що відповіді в частині повинні бути або ціле число, або десятковий дріб.

Показуємо на інтерактивної дошки. Читаємо завдання. Що є елементарним результатом у цьому досвіді? Уточнити, що пара впорядкована - тобто число випало на першому кубику і на другому кубику. У будь-якому завданні є такі моменти, коли потрібно вибирати раціональні методи, Форми і представляти рішення у вигляді таблиць, схем і т.д. У цьому завдання зручно використовувати таку таблицю. Я вам даю вже готове рішення, але в ході рішення з'ясовується, що в цьому раціонально використовувати рішення у вигляді таблиці. Пояснюємо, що означає таблиця. Вам зрозуміло, чому у стовпцях написано 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Накреслимо квадрат. Рядки відповідають результатам першого кидка - їх шість, тому що у кубика шість граней. Як і стовпці. У кожній клітці напишемо суму окулярів, що випали. Показуємо заповнену таблицю. Зафарбуємо клітини, де сума дорівнює восьми (оскільки це потрібно в умові).

Я вважаю, що наступне завдання після розбору попередніх можна дати хлопцям вирішити самостійно.

У наступних завданнях немає потреби виписувати всі елементарні результати. Досить просто підрахувати їхню кількість.

(без рішення) Таке завдання я давав вирішити хлопцям самостійно. Алгоритм розв'язання задачі

1. Визначаємо, у чому полягає випадковий експеримент і що є випадковою подією.

2. Знаходимо загальну кількість елементарних подій.

3. Знаходимо кількість подій, які сприяють події, зазначеній в умові завдання.

4. Знаходимо ймовірність події з використанням формули.

Учням можна поставити питання, якщо 1000 акумуляторів надійшло у продаж, а серед них 6 несправних, то вибраний акумулятор визначається як? Чим він є у нашому завданні? Далі я запитую про знаходження, що тут використовується як числоі пропоную знайти цечисло. Далі питаю, що тут є подією? Скільки акумуляторів сприяє виконанню події? Далі, використовуючи формулу, обчислюємо цю можливість.

Тут хлопцям можна запропонувати другий спосіб вирішення. Давайте обговоримо, яким може бути цей спосіб?

1. Яку подію можна розглянути тепер?

2. Як знайти ймовірність цієї події?

Дітям треба сказати про ці формули. Вони такі

Восьму завдання можна запропонувати хлопцям самостійно, оскільки воно аналогічне шостому завданню. Її їм можна запропонувати як самостійної роботи, або на картці біля дошки.

Це завдання можна вирішити стосовно олімпіади, яка зараз проходить. Незважаючи на те, що у завданнях беруть участь різні події, однак завдання є типовими.

2. Найпростіші правила та формули обчислення ймовірностей (протилежні події, сума подій, добуток подій)

Це завдання з збірки ЄДІ. Рішення виводимо на дошку. Які ми питання маємо поставити перед учнями, щоб розібрати це завдання.

1. Скільки було автоматів? Раз два автомати, то подій вже два. Задаю питання дітям – якою буде подія? Якою буде друга подія?

2. - Це ймовірність події. Нам її обчислювати не потрібно, оскільки вона дана за умови. За умовою завдання ймовірність того, що «кава закінчиться в обох автоматах», дорівнює 0,12. Чи була подія А, чи була подія В. І з'являється нова подія? Я дітям запитую – яке? Ця подія, коли в обох автоматах закінчується кава. У даному випадку, Теоретично ймовірності це нова подія, яка називається перетином двох подій А і В і позначається це таким чином.

Скористаємося формулою складання ймовірності. Формула наступна

Ми її даємо вам у довідковому матеріалі та хлопцям можна давати цю формулу. Вона дозволяє знаходити можливість суми подій. У нас питалася ймовірність протилежної події, ймовірність якої перебуває за формулою.

У задачі 13 використовується поняття добутку подій, формула для знаходження ймовірності якого наведена в додатку.

3. Завдання застосування дерева можливих варіантів

За умовою завдання легко скласти схему та знайти вказані ймовірності.

За допомогою якого теоретичного матеріалу ви розбирали з учнями розв'язання таких задач? Ви використовували дерево можливих варіантів або використовували інші методи вирішення таких завдань? Чи давали ви поняття графів? У п'ятому чи шостому класі у хлопців є завдання, розбір яких дає поняття графів.

Я хотів би вас запитати, розглядали ви з учнями використання дерева можливих варіантів при вирішенні завдань на ймовірність? Справа в тому, що мало того, що в ЄДІ є такі завдання, але з'явилися досить складні завдання, які ми зараз вирішуватимемо.

Давайте обговоримо з вами методику вирішення таких завдань – якщо вона збігається з моєю методикою, як я поясню хлопцям, то мені буде легше з вами працювати, якщо ні, то я допоможу вам розібратися з цим завданням.

Давайте ми з вами обговоримо події. Які події в задачі 17 можна виокремити?

При побудові дерева на площині позначається точка, що називається коренем дерева. Далі ми починаємо розглядати подіїв. Ми побудуємо відрізок (теоретично ймовірностей він називається гілка). За умовою сказано, що перша фабрика випускає 30% мобільних телефонівцієї марки (який? Тієї, яку вони випускають), значить, в Наразія учнів питаю, чому дорівнює можливість випуску першою фабрикою телефонів цієї марки, тих, які вони випускають? Так як подія є випуском телефону на першій фабриці, то ймовірність цієї події є 30% або 0,3. Решта телефонів випущена на другій фабриці – ми будуємо другий відрізок, і ймовірність цієї події дорівнює 0,7.

Учням ставиться питання – якого типу може бути телефон, випущений першою фабрикою? З дефектом чи без дефекту. Яка ймовірність того, що телефон, випущений першою фабрикою, має дефект? За умовою сказано, що вона дорівнює 0,01. Питання: якою є ймовірність того, що телефон, випущений першою фабрикою, не має дефекту? Так як ця подія протилежна цьому, то його ймовірність дорівнює.

Потрібно знайти ймовірність того, що телефон з дефектом. Він може бути з першої фабрики, а може й з другої. Тоді скористаємося формулою складання ймовірностей і отримаємо, що вся ймовірність це сума ймовірностей того, що телефон з дефектом з першої фабрики, і що телефон з дефектом з другої фабрики. Імовірність того, що телефон має дефект і випущений на першій фабриці, знайдемо за формулою добутку ймовірностей, яка наведена у додатку.

4. Одне з найскладніших завдань з банку ЄДІ на ймовірність

Розберемо, наприклад, №320199 з Банку завдань ФІПД. Це одне із найскладніших завдань В6.

Аби вступити до інституту на спеціальність «Лінгвістика», абітурієнт З. повинен набрати на ЄДІ не менше 70 балів за кожним із трьох предметів – математика, російська мова та іноземна мова. Щоб вступити на спеціальність «Комерція», потрібно набрати не менше 70 балів за кожним із трьох предметів – математика, російська мова та суспільствознавство.

Імовірність того, що абітурієнт З. отримає не менше 70 балів з математики, дорівнює 0,6, російською мовою - 0,8, іноземної мови- 0,7 та за суспільствознавством - 0,5.

Знайдіть ймовірність того, що З. зможе надійти хоча б на одну із двох згаданих спеціальностей.

Зауважимо, що у завданні не питається, чи абітурієнт на прізвище З. навчатиметься і лінгвістиці, і комерції відразу й отримуватиме два дипломи. Тут треба знайти ймовірність того, що З. зможе вчинити хоча б на одну із двох даних спеціальностей – тобто набере необхідна кількістьбалів.

Для того, щоб вступити хоча б на одну з двох спеціальностей, З. повинен набрати не менше 70 балів з математики. І російською. І ще – суспільствознавство чи іноземний.

Імовірність набрати 70 балів з математики йому дорівнює 0,6.

Імовірність набрати бали з математики та російської дорівнює.

Розберемося з іноземним та суспільствознавством. Нам підходять варіанти, коли абітурієнт набрав бали зі суспільствознавства, іноземного або обох. Не підходить варіант, коли ні з мови, ні з «суспільства» він не набрав балів. Отже, ймовірність здати суспільствознавство чи іноземну не нижче ніж на 70 балів дорівнює. В результаті ймовірність здати математику, російську та суспільствознавство або іноземну дорівнює

Це відповідь.

II . Рішення комбінаторних завдань

1. Число поєднань та факторіали

Давайте коротко розберемо теоретичний матеріал.

Виразn ! читається як «ен-факторіал» і позначає добуток усіх натуральних чисел від 1 доn включно:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .

Крім того, у математиці за визначенням вважають, що 0! = 1. Таке вираження буває рідко, проте зустрічається у завданнях з теорії ймовірностей.

Визначення

Нехай є об'єктів (олівців, цукерок, чого завгодно), з яких потрібно вибрати різні об'єкти. Тоді кількість варіантів такого вибору називаєтьсячислом поєднань з елементів. Це число позначається та вважається за спеціальною формулою.

Позначення

Що дає нам ця формула? Насправді без неї не вирішується практично жодне серйозне завдання.

Для кращого розуміння розберемо кілька найпростіших комбінаторних завдань:

Завдання

Бармен має 6 сортів зеленого чаю. Для проведення чайної церемонії потрібно подати зелений чай рівно 3 різних сортів. Скільки способами бармен може виконати замовлення?

Рішення

Тут все просто: єn = 6 сортів, з яких треба вибратиk = 3 сорти. Число поєднань можна знайти за формулою:

Відповідь

Підставляємо у формулу. Ми всі завдання не можемо вирішити, але типові завданнями виписали, вони представлені вашій увазі.

Завдання

У групі з 20 студентів треба обрати двох представників для виступу на конференції. Скільки можна це зробити?

Рішення

Знову ж таки, всього у нас єn = 20 студентів, а вибрати требаk = 2 студенти. Знаходимо число поєднань:

Зверніть увагу: червоним кольором відмічені множники, що входять до різних факторіалів. Ці множники можна безболісно скоротити і цим значно зменшити загальний обсяг обчислень.

Відповідь

190

Завдання

На склад завезли 17 серверів з різними дефектами, які коштують у 2 рази дешевше за нормальні сервери. Директор купив до школи 14 таких серверів, а заощаджені гроші у кількості 200 000 рублів направив на придбання іншого обладнання. Скільки способів директор може вибрати браковані сервери?

Рішення

У задачі досить багато зайвих даних, які можуть спантеличити. Найважливіші факти: всього єn = 17 серверів, а директору требаk = 14 серверів. Вважаємо число поєднань:

Червоним кольором знову позначені множники, які скорочуються. Всього вийшло 680 комбінацій. Загалом директору є з чого вибрати.

Відповідь

680

Це завдання примхлива, оскільки у цьому є зайві дані. Багатьох учнів вони збивають з правильного рішення. Усього серверів було 17, а директору необхідно вибрати 14. Підставляючи у формулу, отримуємо 680 комбінацій.

2. Закон множення

Визначення

Закон множення у комбінаториці: кількість поєднань (спосіб, комбінацій) у незалежних наборах множиться.

Іншими словами, нехай єA способів виконати одну дію таB способів виконати іншу дію. Шлях також ці події незалежні, тобто. ніяк не пов'язані між собою. Тоді можна знайти число способів виконати першу і другу дію за формулою:C = A · B .

Завдання

Петя має 4 монети по 1 рублю і 2 монети по 10 рублів. Петя, не дивлячись, дістав із кишені 1 монету номіналом 1 рубль та ще 1 монету номіналом 10 рублів, щоб купити ручку за 11 рублів. Скільки він може вибрати ці монети?

Рішення

Отже, спочатку Петя дістаєk = 1 монету зn = 4 наявні монети номіналом 1 рубль. Число способів зробити це одноC 4 1 = ... = 4.

Потім Петя знову лізе до кишені і дістаєk = 1 монету зn = 2 наявних монет номіналом 10 рублів. Тут кількість поєднань дорівнюєC 2 1 = ... = 2.

Оскільки ці дії незалежні, загальна кількість варіантів дорівнюєC = 4 · 2 = 8.

Відповідь

Завдання

У кошику лежать 8 білих кульок та 12 чорних. Скількими способами можна дістати з цього кошика 2 білі кулі та 2 чорні?

Рішення

Всього у кошикуn = 8 білих куль, з яких треба вибратиk = 2 кулі. Це можна зробитиC 8 2 = ... = 28 у різний спосіб.

Крім того, в кошику єn = 12 чорних куль, з яких треба вибрати знову ж такиk = 2 кулі. Число способів зробити це одноC 12 2 = ... = 66.

Оскільки вибір білої куліі вибір чорного - події незалежні, загальна кількість комбінацій вважається за законом множення:C = 28 · 66 = 1848. Як бачимо, варіантів може бути досить багато.

Відповідь

1848

Закон множення показує, скільки способів можна виконати складне дію, що з двох і простіших - за умови, що вони незалежні.

3. Закон складання

Якщо закон множення оперує «ізольованими» подіями, які залежать друг від друга, то законі складання все навпаки. Тут розглядаються взаємовиключні події, які ніколи не трапляються одночасно.

Наприклад, «Петя вийняв з кишені 1 монету» та «Петя не вийняв з кишені жодної монети» - це взаємовиключні події, оскільки вийняти одну монету і при цьому не вийняти жодної неможливо.

Аналогічно, події «Вибраний навмання куля – біла» та «Вибраний навмання куля – чорна» також є взаємовиключними.

Визначення

Закон додавання у комбінаториці: якщо дві взаємовиключні дії можна виконатиA іB способами відповідно, ці події можна об'єднати. При цьому виникне нова подія, яку можна виконатиX = A + B методами.

Інакше кажучи, при об'єднанні взаємовиключних процесів (подій, варіантів) кількість їх комбінацій складається.

Можна сказати, що закон додавання - це логічне «АБО» у комбінаториці, коли нас влаштовує будь-який із взаємовиключних варіантів. І навпаки, закон множення – це логічне «І», за якого нас цікавить одночасне виконання і першої, і другої дії.

Завдання

У кошику лежать 9 чорних кульок та 7 червоних. Хлопчик дістає 2 кулі однакового кольору. Скільки він може це зробити?

Рішення

Якщо кулі однакового кольору, то варіантів небагато: обидва вони або чорні або червоні. Очевидно, що ці варіанти – взаємовиключні.

У першому випадку хлопчику належить вибиратиk = 2 чорні кулі зn = 9 наявних. Число способів зробити це одноC 9 2 = ... = 36.

Аналогічно, у другому випадку вибираємоk = 2 червоні кулі зn = 7 можливих. Число способів дорівнюєC 7 2 = ... = 21.

Залишилося знайти загальну кількість способів. Оскільки варіанти з чорними та червоними кулями – взаємовиключні, за законом складання маємо:X = 36 + 21 = 57.

Відповідь57

Завдання

У кіоску продаються 15 троянд і 18 тюльпанів. Учень 9-го класу хоче купити 3 квітки для своєї однокласниці, причому всі квіти мають бути однаковими. Скільки способами він може скласти такий букет?

Рішення

За умовою, всі квіти мають бути однаковими. Значить, купуватимемо або 3 троянди, або 3 тюльпани. В будь-якому випадку,k = 3.

У випадку з трояндами доведеться вибирати зn = 15 варіантів, тому кількість поєднань дорівнюєC 15 3 = ... = 455. Для тюльпанів жn = 18, а кількість поєднань -C 18 3 = ... = 816.

Оскільки троянди та тюльпани – це взаємовиключні варіанти, працюємо за законом додавання. Отримуємо загальну кількість варіантівX = 455 + 816 = 1271. Це і є відповідь.

Відповідь

1271

Додаткові умови та обмеження

Дуже часто в тексті завдання присутні додаткові умови, що накладають суттєві обмеження на поєднання, що нас цікавлять. Порівняйте дві пропозиції:

Є набір із 5 ручок різних кольорів. Скільки можна вибрати 3 ручки для обведення креслення?

Є набір із 5 ручок різних кольорів. Скільки способами можна вибрати 3 ручки для обведення креслення, якщо серед них обов'язково має бути червоний колір?

У першому випадку ми маємо право брати будь-які кольори, які нам подобаються – додаткових обмежень немає. У другому випадку все складніше, оскільки ми повинні вибрати ручку червоного кольору (передбачається, що вона є у вихідному наборі).

Очевидно, що будь-які обмеження різко скорочують підсумкову кількість варіантів. Ну і як у цьому випадку знайти кількість поєднань? Просто запам'ятайте наступне правило:

Нехай є набір зn елементів, серед яких треба вибратиk елементів. При введенні додаткових обмежень числаn іk зменшуються на однакову величину.

Іншими словами, якщо з 5 ручок треба вибрати 3, при цьому одна з них має бути червоною, то вибирати доведеться зn = 5 − 1 = 4 елементів заk = 3 − 1 = 2 елементи. Таким чином, замістьC 5 3 треба рахуватиC 4 2 .

Тепер подивимося, як це правило працює на конкретні приклади:

Завдання

У групі з 20 студентів, серед яких 2 відмінники, треба обрати 4 особи для участі у конференції. Скільки можна вибрати цих чотирьох, якщо відмінники обов'язково повинні потрапити на конференцію?

Рішення

Отже, є група зn = 20 студентів. Але вибрати треба лишеk = 4 їх. Якби не було додаткових обмежень, то кількість варіантів дорівнювала числу поєднаньC 20 4 .

Однак нам поставили додаткова умова: 2 відмінники мають бути серед цих чотирьох. Таким чином, згідно з наведеним вище правилом, ми зменшуємо числаn іk на 2. Маємо:

Відповідь

153

Завдання

У Петі у кишені є 8 монет, з яких 6 монет по рублю та 2 монети по 10 рублів. Петя перекладає якісь три монети в іншу кишеню. Скільки способами Петя може це зробити, якщо відомо, що обидві монети по 10 рублів опинилися в іншій кишені?

Рішення

Отже, єn = 8 монет. Петя перекладаєk = 3 монети, у тому числі 2 - десятирублеві. Виходить, що з 3 монет, які будуть перекладені, 2 вже зафіксовані, тож числаn іk треба зменшити на 2. Маємо:

Відповідь

III . Вирішення комбінованих завдань на застосування формул комбінаторики та теорії ймовірностей

Завдання

У кишені у Петі було 4 монети по рублю та 2 монети по 2 рублі. Петя, не дивлячись, переклав якісь три монети в іншу кишеню. Знайдіть ймовірність того, що обидві дворублеві монети лежать в одній кишені.

Рішення

Припустимо, що обидві дворублеві монети справді опинилися в одній кишені, тоді можливі 2 варіанти: або Петя їх взагалі не перекладав, або переклав відразу обидві.

У першому випадку, коли дворублеві монети не перекладалися, доведеться перекласти 3 монети рублем. Оскільки всього таких монет 4, число способів це зробити дорівнює кількості поєднань з 4 по 3:C 4 3 .

У другому випадку, коли обидві дворублеві монети були перекладені, доведеться перекласти ще одну карбованцеву монету. Її треба вибрати з 4 існуючих, і число способів так вчинити дорівнює кількості поєднань з 4 по 1:C 4 1 .

Тепер знайдемо загальну кількість способів перекласти монети. Оскільки всього монет 4 + 2 = 6, а вибрати треба лише 3 їх, загальна кількість варіантів дорівнює числу поєднань з 6 по 3:C 6 3 .

Залишилося знайти ймовірність:

Відповідь

0,4

Показати на інтерактивній дошці. Приділити увагу, що за умовою завдання Петя, не дивлячись, переклав три монети в одну кишеню. Ми, відповідаючи на це питання, можемо припустити, що дві дворублеві монети справді залишилися в одній кишені. Послатись на формулу складання ймовірностей. Показати ще раз формулу.

Завдання

У кишені у Петі було 2 монети по 5 рублів та 4 монети по 10 рублів. Петя, не дивлячись, переклав якісь 3 монети в іншу кишеню. Знайдіть ймовірність того, що п'ятирублеві монети лежать у різних кишенях.

Рішення

Щоб п'ятирублеві монети лежали в різних кишенях, треба перекласти лише одну. Кількість способів це зробити дорівнює кількості поєднань з 2 по 1:C 2 1 .

Оскільки Петя переклав 3 монети, доведеться перекласти ще 2 монети по 10 рублів. Таких монет у Петі 4, тому кількість способів дорівнює кількості поєднань з 4 по 2:C 4 2 .

Залишилося знайти, скільки всього є варіантів перекласти 3 монети з 6 наявних. Ця кількість, як і в попередній задачі, дорівнює кількості поєднань з 6 по 3:C 6 3 .

Знаходимо ймовірність:

В останньому кроці ми множили кількість способів вибрати дворублеві монети і число способів вибрати десятирублеві, оскільки ці події незалежні.

Відповідь

0,6

Отже, завдання з монетами є власна формула ймовірності. Вона настільки проста і важлива, що її можна оформити у вигляді теореми.

Теорема

Нехай монету кидаютьn разів. Тоді ймовірність того, що орел випаде рівноk раз, можна знайти за формулою:

ДеC n k - Число поєднань зn елементів поk , Яке вважається за формулою:

Отже, на вирішення завдання з монетами потрібні два числа: число кидків і число орлів. Найчастіше ці числа дано у тексті завдання. Понад те, немає значення, що саме вважати: решки чи орли. Відповідь вийде та сама.

На перший погляд, теорема здається надто громіздкою. Але варто трохи потренуватися - і вам уже не захочеться повертатися до стандартного алгоритму, описаного вище.

Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно тричі.

Рішення

За умовою завдання, всього кидків булоn = 4. Необхідне число орлів:k = 3. Підставляємоn іk у формулу:

З тим самим успіхом вважатимуться число решек:k = 4 − 3 = 1. Відповідь буде такою ж.

Відповідь

0,25

Завдання [Робочий зошит «ЄДІ 2012 з математики. Завдання B6»]

Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.

Рішення

Знову виписуємо числаn іk . Оскільки монету кидають 3 рази,n = 3. А оскільки решок бути не повинно,k = 0. Залишилося підставити числаn іk у формулу:

Нагадаю, що 0! = 1 за визначенням. ТомуC 3 0 = 1.

Відповідь

0,125

Завдання [ Пробний ЄДІз математики 2012. Іркутськ]

У довільному експерименті симетричну монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде більше разів, ніж решка.

Рішення

Щоб орлів було більше, ніж решік, вони повинні випасти або 3 рази (тоді решок буде 1), або 4 (тоді решок взагалі не буде). Знайдемо ймовірність кожної з цих подій.

Нехайp 1 - Імовірність того, що орел випаде 3 рази. Тодіn = 4, k = 3. Маємо:

Тепер знайдемоp 2 - Імовірність того, що орел випаде всі 4 рази. В цьому випадкуn = 4, k = 4. Маємо:

Щоб отримати відповідь, залишилося скласти ймовірністьp 1 іp 2 . Пам'ятайте: складати ймовірності можна лише для взаємовиключних подій. Маємо:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Відповідь

0,3125

З метою економії вашого часу при підготовці з хлопцями до ЄДІ та ДПА, ми представили рішення ще багатьох завдань, які ви можете обирати та вирішувати з хлопцями.

Матеріали ГІА, ЄДІ різних років, підручники та сайти.

IV. Довідковий матеріал

ЄДІ 2016. Математика. Теорія імовірності. Робочий зошит.

М.: 2016. – 64 с.

Робочий зошит з математики серії «ЄДІ 2016. Математика» орієнтований на підготовку учнів старшої школидо успішної здачі єдиного державного іспитуз математики у 2016 році за базовим та профільним рівнями. У робочого зошитапредставлені завдання по одній позиції контрольних вимірювальних матеріалівЄДІ-2016. На різних етапах навчання посібник допоможе забезпечити рівневий підхід до організації повторення, здійснити контроль та самоконтроль знань на тему «Теорія ймовірностей». Робочий зошит орієнтований на один навчальний рік, проте за необхідності дозволить у найкоротший термінзаповнити прогалини у знаннях випускника. Зошит призначений для учнів старшої школи, вчителів математики, батьків.

Формат: pdf

Розмір: 3,1 Мб

Дивитись, скачати:drive.google

ЗМІСТ
Від редактора серії 3
Вступ 4
Діагностична робота 1 6
Розв'язання задач діагностичної роботи 1 10
Тренувальна робота 1 (до завдання Д1.1) 22
Тренувальна робота 2 (до завдань Д1.2, Д.1.4) 24
Тренувальна робота 3 (до завдань Д1.3, Д1.5) 26
Тренувальна робота 4 (до завдань Д1.1-Д1.5) 28
Тренувальна робота 5 (до завдань Д1.6-Д1.9) 30
Тренувальна робота 6 (до завдань Д1.6-Д1.9) 32
Тренувальна робота 7 (до завдань Д1.6-Д1.9) 34
Тренувальна робота 8 (до завдань Д1.10-Д1.14) 36
Тренувальна робота 9 (до завдань Д1.10-Д1.14) 39
Тренувальна робота 10 (до завдань Д1.10-Д1.14) 41
Тренувальна робота 11 (до завдань Д1.15-Д.18) 43
Тренувальна робота 12 (до завдань Д1.15-Д.18) 45
Діагностична робота 2 47
Діагностична робота 3 51
Діагностична робота 4 54
Довідкові матеріали 57
Відповіді 58

Цей посібник призначений для підготовки до виконання завдання з теорії ймовірностей єдиного державного іспиту (завдання 4 профільного рівнята завдання 10 базового рівня у варіанті 2016 року).
Посібник складається з діагностичної роботи Д1 з розбором рішень, десяти тренувальних робіт та трьох додаткових діагностичних робітД2-Д4 призначені для проміжного контролю. Наприкінці збірки подано відповіді до всіх завдань.
Завдяки тому, що завдання першої частини ЄДІ з математики формуються з використанням відкритого банку, завдання, ймовірно, також не будуть сюрпризом для учасників іспиту.
Теорія ймовірностей - одне із найважливіших прикладних розділів математики. Багато явищ навколишнього світу піддаються опису лише з допомогою теорії ймовірностей. Її викладають у школах багатьох країн, а в Росії її було повернуто до школи стандартом 2004 року і поки що залишається новим розділом.
Учні та вчителі ще відчувають певні труднощі при вивченні теорії ймовірностей та статистики, пов'язані з відсутністю глибоких традицій викладання та нечисленністю навчальних матеріалів. Тому у 2016 році до ЄДІ увійдуть лише найпростіші завдання з теорії ймовірностей.