Вирішити лінійне рівняння методом Крамера. Метод Крамера: вирішуємо системи лінійних алгебраїчних рівнянь (Слау)

У нашому калькуляторі ви безкоштовно знайдете рішення системи лінійних рівняньметодом Крамера онлайнз докладним рішенням і навіть з комплексними числами. Кожен визначник, використаний в розрахунках, можна переглянути окремо, а також перевірити точний вид системи рівнянь, якщо раптом визначник основної матриці виявився дорівнює нулю.

Детальніше про те, як користуватися нашим онлайн калькулятором, ви можете прочитати в інструкції.

Про метод

При вирішенні системи лінійних рівнянь методом Крамера виконуються наступні кроки.

Записуємо розширену матрицю.
Знаходимо визначник основної (квадратної) матриці.
Для знаходження i-ого кореня підставляємо стовпець вільних членів в основну матрицю на i-е місце і знаходимо її визначник. Далі знаходимо відношення отриманого визначника до основного, це і є чергове рішення. Проробляємо дану операцію для кожної змінної.
У разі, якщо основний визначник матриці дорівнює нулю, то система рівнянь або несумісна, або має безліч рішень. На жаль метод Крамера не дозволяє більш точно відповісти на це питання. Тут вам допоможе

У першій частині ми розглянули трохи теоретичного матеріалу, метод підстановки, а також метод почленного складання рівнянь системи. Всім, хто зайшов на сайт через цю сторінку рекомендую ознайомитися з першою частиною. Можливо, деяким відвідувачам здасться матеріал занадто простим, але по ходу рішення систем лінійних рівнянь я зробив ряд дуже важливих зауважень і висновків, що стосуються вирішення математичних задач в цілому.

А зараз ми розберемо правило Крамера, а також рішення системи лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці (матричний метод). Всі матеріали викладені просто, докладно і зрозуміло, практично всі читачі зможуть навчитися вирішувати системи вищевказаними способами.

Спочатку ми докладно розглянемо правило Крамера для системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими. Навіщо? - Адже найпростішу системуможна вирішити шкільним методом, методом почленного складання!

Справа в тому, що нехай іноді, але зустрічається таке завдання - вирішити систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими за формулами Крамера. По-друге, більш простий приклад допоможе зрозуміти, як використовувати правило Крамера для більш складного випадку - системи трьох рівнянь з трьома невідомими.

Крім того, існують системи лінійних рівнянь з двома змінними, які доцільно вирішувати саме за правилом Крамера!

Розглянемо систему рівнянь

На першому кроці обчислимо визначник, його називають головним визначником системи.

метод Гаусса.

Якщо, то система має єдине рішення, і для знаходження коренів ми повинні обчислити ще два визначника:
і

На практиці вищевказані визначники також можуть позначатися латинською літерою.

Коріння рівняння знаходимо за формулами:
,

приклад 7

Вирішити систему лінійних рівнянь

Рішення: Ми бачимо, що коефіцієнти рівняння досить великі, в правій частині присутні десяткові дробиз коми. Кома - досить рідкісний гість у практичних завданняхз математики, цю систему я взяв з економетричної завдання.

Як вирішити таку систему? Можна спробувати виразити одну змінну через іншу, але в цьому випадку напевно вийдуть страшні наворочені дробу, з якими вкрай незручно працювати, та й оформлення рішення буде виглядати просто жахливо. Можна помножити друге рівняння на 6 і провести почленное віднімання, але й тут виникнуть ті ж самі дробу.

Що робити? У подібних випадках і приходять на допомогу формули Крамера.

;

відповідь: ,

Обидва кореня мають нескінченними хвостами, і знайдені наближено, що цілком прийнятно (і навіть буденно) для завдань економетрики.

Коментарі тут не потрібні, оскільки завдання вирішується за готовими формулами, однак, є один нюанс. Коли використовуєте даний метод, обов'язковимфрагментом оформлення завдання є наступний фрагмент: «, Значить, система має єдине рішення». В іншому випадку рецензент може Вас покарати за неповагу до теоремі Крамера.

Зовсім не зайвою буде перевірка, яку зручно провести на калькуляторі: підставляємо наближені значення в ліву частину кожного рівняння системи. В результаті з невеликою похибкою повинні вийти числа, які знаходяться в правих частинах.

приклад 8

Відповідь уявити в звичайних неправильних дробах. Зробити перевірку.

Це приклад для самостійного рішення(Приклад чистового оформлення і відповідь в кінці уроку).

Переходимо до розгляду правила Крамера для системи трьох рівнянь з трьома невідомими:

Знаходимо головний визначник системи:

Якщо, то система має нескінченно багато рішень або несумісна (не має рішень). У цьому випадку правило Крамера не допоможе, потрібно використовувати метод Гаусса.

Якщо, то система має єдине рішення і для знаходження коренів ми повинні обчислити ще три визначника:
, ,

І, нарешті, відповідь розраховується за формулами:

Як бачите, випадок «три на три» принципово нічим не відрізняється від випадку «два на два», стовпець вільних членів послідовно «прогулюється» зліва направо по стовпцях головного визначника.

приклад 9

Вирішити систему за формулами Крамера.

Рішення: Вирішимо систему за формулами Крамера.

, Значить, система має єдине рішення.

відповідь: .

Власне, тут знову коментувати особливо нічого, з огляду на те, що рішення проходить по готовим формулами. Але є пара зауважень.

Буває так, що в результаті обчислень виходять «погані» нескоротні дроби, наприклад:.
Я рекомендую наступний алгоритм «лікування». Якщо під рукою немає комп'ютера, чинимо так:

1) Можливо, допущена помилка в обчисленнях. Як тільки Ви зіткнулися з «поганий» дробом, відразу необхідно перевірити, правильно чи переписано умова. Якщо умова переписано без помилок, то потрібно перерахувати визначники, використовуючи розкладання по іншому рядку (стовпцю).

2) Якщо в результаті перевірки помилок не виявлено, то найімовірніше, допущена помилка в умові завдання. В цьому випадку спокійно і УВАЖНО прорешіваем завдання до кінця, а потім обов'язково робимо перевіркуі оформляємо її на чистовику після рішення. Звичайно, перевірка дрібного відповіді - заняття неприємне, але зате буде обеззброюючий аргумент для викладача, який ну дуже любить ставити мінус за всяку бяку на кшталт. Як справлятися з дробом, детально розписано у відповіді для Прімера 8.

Якщо під рукою є комп'ютер, то для перевірки використовуйте автоматизовану програму, яку можна безкоштовно завантажити на самому початку уроку. До речі, найвигідніше відразу скористатися програмою (ще до початку вирішення), Ви відразу будете бачити проміжний крок, на якому допустили помилку! Цей же калькулятор автоматично розраховує рішення системи матричним методом.

Зауваження друге. Час від часу зустрічаються системи в рівняннях яких відсутні деякі змінні, наприклад:

Тут в першому рівнянні відсутня змінна, в другому - змінна. У таких випадках дуже важливо правильно і УВАЖНО записати головний визначник:
- на місці відсутніх змінних ставляться нулі.
До речі визначники з нулями раціонально розкривати по тому рядку (стовпцю), в якій знаходиться нуль, так як обчислень виходить помітно менше.

приклад 10

Вирішити систему за формулами Крамера.

Це приклад для самостійного рішення (зразок чистового оформлення і відповідь в кінці уроку).

Для випадку системи 4 рівнянь з 4 невідомими формули Крамера записуються по аналогічним принципам. Живий приклад можна подивитися на уроці Властивості визначника. Зниження порядку визначника - п'ять визначників 4-го порядку цілком решабельни. Хоча завдання вже дуже нагадує черевик професора на грудях у студента-щасливчика.

Рішення системи за допомогою оберненої матриці

Метод оберненої матриці - це, по суті, окремий випадок матричного рівняння(Див. Приклад №3 зазначеного уроку).

Для вивчення даного параграфа необхідно вміти розкривати визначники, знаходити зворотну матрицю і виконувати матричне множення. Відповідні посилання будуть дані по ходу пояснень.

приклад 11

Вирішити систему з матричним методом

Рішення: Запишемо систему в матричної формі:
, де

Будь ласка, подивіться на систему рівнянь і на матриці. За яким принципом записуємо елементи в матриці, думаю, всім зрозуміло. Єдиний коментар: якби в рівняннях були відсутні деякі змінні, то на відповідних місцях в матриці потрібно було б поставити нулі.

Обернену матрицю знайдемо за формулою:
, Де - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці.

Спочатку розбираємося з визначником:

Тут визначник розкритий по першому рядку.

Увага! Якщо, то зворотної матриці не існує, і вирішити систему матричних методом неможливо. В цьому випадку система вирішується методом виключення невідомих (методом Гаусса).

Тепер потрібно обчислити 9 миноров і записати їх в матрицю мінорів

Довідка:Корисно знати зміст подвійних підрядкових індексів в лінійної алгебри. Перша цифра - це номер рядка, в якій знаходиться цей елемент. Друга цифра - це номер стовпця, в якому знаходиться даний елемент:

Тобто, подвійний підрядковий індекс вказує, що елемент знаходиться в першому рядку, третьому стовпці, а, наприклад, елемент знаходиться в 3 рядку, 2 стовпці

Нехай система лінійних рівнянь містить стільки рівнянь, яка кількість незалежних змінних, тобто має вигляд

Такі системи лінійних рівнянь називаються квадратними. Визначник, складений з коефіцієнтів при незалежних змінних системи (1.5), називається головним визначником системи. Ми будемо позначати його грецькою буквою D. Таким чином,

Якщо в головному визначнику довільний ( j-ий) стовпець, замінити стовпцем вільних членів системи (1.5), то можна отримати ще nдопоміжних визначників:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

правило Крамерарішення квадратних систем лінійних рівнянь полягає в наступному. Якщо головний визначник D системи (1.5) відмінний від нуля, то система має і притому єдине рішення, яке можна знайти за формулами:

Приклад 1.5.Методом Крамера вирішити систему рівнянь

Обчислимо головний визначник системи:

Так як D¹0, то система має єдине рішення, яке можна знайти за формулами (1.8):

Таким чином,

Дії над матрицями

1. Множення матриці на число.Операція множення матриці на число визначається наступним чином.

2. Для того щоб помножити матрицю на число, потрібно все її елементи помножити на це число. Тобто

Приклад 1.6. .

Додавання матриць.

Дана операція вводиться тільки для матриць одного і того ж порядку.

Для того щоб скласти дві матриці, необхідно до елементів однієї матриці додати відповідні елементи іншого матриці:

(1.10)
Операція складання матриць має властивості асоціативності і коммутативности.

Приклад 1.7. .

Множення матриць.

Якщо число стовпців матриці Азбігається з числом рядків матриці В, То для таких матриць вводиться операція множення:

Таким чином, при множенні матриці Арозмірності m´ nна матрицю Врозмірності n´ kми отримуємо матрицю Зрозмірності m´ k. При цьому елементи матриці Зобчислюються за такими формулами:

Завдання 1.8.Знайти, якщо це можливо, твір матриць ABі BA:

Рішення. 1) Для того щоб знайти твір AB, Необхідно рядка матриці Aпомножити на стовпці матриці B:

2) Твір BAне існує, т. к. кількість стовпців матриці Bне збігається з кількістю рядків матриці A.

Зворотна матриця. Рішення систем лінійних рівнянь матричним способом

матриця A - 1 називається оберненою до квадратної матриці А, Якщо виконано рівність:

де через Iпозначається одинична матриця того ж порядку, що і матриця А:

Для того щоб квадратна матриця мала зворотний необхідно і достатньо, щоб їх визначник був різниться від нуля. Обернену матрицю знаходять за формулою:

де A ij- алгебраїчні доповнення до елементів a ijматриці А(Зауважимо, що алгебраїчні доповнення до рядків матриці Арозташовуються в зворотній матриці у вигляді відповідних стовпців).

Приклад 1.9.Знайти обернену матрицю A - 1 до матриці

Обернену матрицю знайдемо за формулою (1.13), яка для випадку n= 3 має вигляд:

знайдемо det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Так як визначник вихідної матриці відмінний від нуля, то зворотна матриця існує.

1) Знайдемо алгебраїчні доповнення A ij:

Для зручності знаходження зворотної матриці, алгебраїчні доповнення до рядків вихідної матриці ми розташували в відповідні стовпці.

З отриманих алгебраїчних доповнень складемо нову матрицю і розділимо її на визначник det A. Таким чином, ми отримаємо зворотну матрицю:

Квадратні системи лінійних рівнянь з відмінним від нуля головним визначником можна вирішувати за допомогою оберненої матриці. Для цього систему (1.5) записують в матричному вигляді:

Помноживши обидві частини рівності (1.14) зліва на A - 1, ми отримаємо рішення системи:

Таким чином, для того щоб знайти рішення квадратної системи, потрібно знайти зворотну матрицю до основної матриці системи і помножити її справа на матрицю-стовпець вільних членів.

Завдання 1.10.Вирішити систему лінійних рівнянь

за допомогою оберненої матриці.

Рішення.Запишемо систему в матричному вигляді:,

де - основна матриця системи, - стовпець невідомих і - стовпець вільних членів. Так як головний визначник системи, то основна матриця системи Амає зворотну матрицю А-1. Для знаходження оберненої матриці А-1, обчислимо алгебраїчні доповнення до всіх елементів матриці А:

З отриманих чисел складемо матрицю (причому алгебраїчні доповнення до рядків матриці Азапишемо у відповідні стовпці) і розділимо її на визначник D. Таким чином, ми знайшли зворотну матрицю:

Рішення системи знаходимо за формулою (1.15):

Таким чином,

Рішення систем лінійних рівнянь методом звичайних Жорданових винятків

Нехай дана довільна (не обов'язково квадратна) система лінійних рівнянь:

Потрібно знайти рішення системи, тобто такий набір змінних, який задовольняє всім равенствам системи (1.16). У загальному випадку система (1.16) може мати не тільки одне рішення, а й безліч рішень. Вона може так само взагалі не мати рішень.

При вирішенні подібних завдань використовується добре відомий з шкільного курсуметод виключення невідомих, який ще називається методом звичайних Жорданових винятків. суть даного методуполягає в тому, що в одному з рівнянь системи (1.16) одна з змінних виражається через інші змінні. Потім ця змінна підставляється в інші рівняння системи. В результаті виходить система, що містить на одне рівняння і на одну змінну менше, ніж вихідна система. Рівняння, з якого виражалася змінна, запам'ятовується.

Цей процес повторюється до тих пір, поки в системі не залишиться одне останнє рівняння. В процесі виключення невідомих деякі рівняння можуть перетворитися в вірні тотожності, наприклад. Такі рівняння з системи виключаються, так як вони виконуються при будь-яких значеннях змінних і, отже, не впливають на рішення системи. Якщо в процесі виключення невідомих хоча б одне рівняння стає рівністю, яке не може виконуватися ні при яких значеннях змінних (наприклад), то ми робимо висновок, що система не має рішення.

Якщо в ході рішення суперечливих рівнянь не виникло, то з останнього рівняння знаходиться одна з решти в ньому змінних. Якщо в останньому рівнянні залишилася тільки одна змінна, то вона виражається числом. Якщо в останньому рівнянні залишаються ще й інші змінні, то вони вважаються параметрами, і виражена через них змінна буде функцією цих параметрів. Потім відбувається так званий «зворотний хід». Знайдену змінну підставляють останнім запомненное рівняння і знаходять другу змінну. Потім дві знайдені змінні підставляють в передостаннє запомненное рівняння і знаходять третю змінну, і так далі, аж до першого запомненного рівняння.

В результаті ми отримуємо рішення системи. Дане рішення буде єдиним, якщо знайдені змінні будуть числами. Якщо ж перша знайдена змінна, а потім і всі інші будуть залежати від параметрів, то система матиме безліч рішень (кожного набору параметрів відповідає нове рішення). Формули, що дозволяють знайти рішення системи в залежності від того чи іншого набору параметрів, називаються спільним рішенням системи.

Приклад 1.11.

Після запам'ятовування першого рівняння і приведення подібних членів в другому і третьому рівнянні ми приходимо до системи:

висловимо yз другого рівняння і підставимо його в перше рівняння:

Запам'ятаємо друге рівняння, а з першого знайдемо z:

Здійснюючи зворотний хід, послідовно знайдемо yі z. Для цього спочатку підставимо останнім запомненное рівняння, звідки знайдемо y:

Потім підставимо і на початку запомненное рівняння, звідки знайдемо x:

Завдання 1.12.Вирішити систему лінійних рівнянь методом виключення невідомих:

Рішення.Висловимо з першого рівняння змінну xі підставимо її в друге і третє рівняння:

У даній системі перше і друге рівняння суперечать один одному. Дійсно, висловлюючи yз першого рівняння і підставляючи його в друге рівняння, отримаємо, що 14 = 17. Дане рівність не виконується, ні при яких значеннях змінних x, y, і z. Отже, система (1.17) несумісна, тобто не має рішення.

Читачам пропонуємо самостійно перевірити, що головний визначник вихідної системи (1.17) дорівнює нулю.

Розглянемо систему, що відрізняється від системи (1.17) всього лише одним вільним членом.

Завдання 1.13.Вирішити систему лінійних рівнянь методом виключення невідомих:

Рішення.Як і раніше, висловимо з першого рівняння змінну xі підставимо її в друге і третє рівняння:

Запам'ятаємо перше рівняння і наведемо подібні члени в другому і третьому рівнянні. Ми приходимо до системи:

висловлюючи yз першого рівняння і підставляючи його в друге рівняння, ми отримаємо тотожність 14 = 14, яке не впливає на рішення системи, і, отже, його можна з системи виключити.

В останньому після успішної реєстрації рівність змінну zвважатимемо параметром. Вважаємо. тоді

підставами yі zна початку запомненное рівність і знайдемо x:

Таким чином, система (1.18) має незліченну безліч рішень, причому будь-яке рішення можна знайти за формулами (1.19), вибираючи довільне значення параметра t:

(1.19)
Так рішеннями системи, наприклад, є такі набори змінних (1; 2; 0), (2; 26; 14) і т. Д. Формули (1.19) виражають загальне (будь-яке) рішення системи (1.18).

У тому випадку, коли вихідна система (1.16) має досить велику кількість рівнянь і невідомих, вказаний метод звичайних Жорданових винятків представляється громіздким. Однак це не так. Досить вивести алгоритм перерахунку коефіцієнтів системи при одному кроці в загальному вигляді і оформити рішення задачі у вигляді спеціальних Жорданових таблиць.

Нехай дана система лінійних форм (рівнянь):

, (1.20)
де x j- незалежні (шукані) змінні, a ij- постійні коефіцієнти
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Праві частини системи y i (i = 1, 2,…, m) Можуть бути як змінними (залежними), так і константами. Потрібно знайти розв'язання системи методом виключення невідомих.

Розглянемо наступну операцію, звану в подальшому «одним кроком звичайних Жорданових винятків». З довільного ( r-го) рівності висловимо довільну змінну ( x s) І підставимо в усі інші рівності. Зрозуміло, це можливо тільки в тому випадку, коли a rs¹ 0. Коефіцієнт a rsназивається що дозволяє (іноді напрямних або головним) елементом.

Ми отримаємо таку систему:

з s-го рівності системи (1.21) ми згодом знайдемо змінну x s(Після того, як будуть знайдені інші змінні). S-я рядок запам'ятовується і надалі з системи виключається. Частина, що залишилася система буде містити на одне рівняння і на одну незалежну змінну менше, ніж вихідна система.

Обчислимо коефіцієнти отриманої системи (1.21) через коефіцієнти вихідної системи (1.20). Почнемо з r-го рівняння, яке після виразу змінної x sчерез інші змінні буде виглядати наступним чином:

Таким чином, нові коефіцієнти r-го рівняння обчислюються за такими формулами:

(1.23)
Обчислимо тепер нові коефіцієнти b ij(i¹ r) Довільного рівняння. Для цього підставимо виражену в (1.22) змінну x sв i-е рівняння системи (1.20):

Після приведення подібних членів, отримаємо:

(1.24)
З рівності (1.24) отримаємо формули, за якими обчислюються інші коефіцієнти системи (1.21) (за винятком r-го рівняння):

(1.25)
Перетворення систем лінійних рівнянь методом звичайних Жорданових винятків оформляється у вигляді таблиць (матриць). Ці таблиці отримали назву «Жорданових».

Так, задачі (1.20) ставиться у відповідність наступна жорданова таблиця:

Таблиця 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a is		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Жорданова таблиця 1.1 містить лівий титульний стовпець, в який записують праві частини системи (1.20) і верхню заголовну рядок, в яку записують незалежні змінні.

Інші елементи таблиці утворюють основну матрицю коефіцієнтів системи (1.20). Якщо помножити матрицю Ана матрицю, що складається з елементів верхньої заголовної рядки, то вийде матриця, що складається з елементів лівого заголовного стовпця. Тобто, по суті, жорданова таблиця це матрична форма запису системи лінійних рівнянь:. Системі (1.21) при цьому відповідає наступна жорданова таблиця:

Таблиця 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b is		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

дозволяє елемент a rs ми будемо виділяти жирним шрифтом. Нагадаємо, що для здійснення одного кроку Жорданових винятків дозволяє елемент повинен бути відмінний від нуля. Рядок таблиці, що містить дозволяє елемент, називають роздільною рядком. Стовпець, що містить дозволяє елемент, називають що дозволяє стовпцем. При переході від даної таблиці до наступної таблиці одна змінна ( x s) З вірніше заголовної рядки таблиці переміщається в лівий титульний стовпець і, навпаки, один з вільних членів системи ( y r) З лівого заголовного стовпця таблиці переміщається у верхню заголовну рядок.

Наведемо алгоритм перерахунку коефіцієнтів при переході від жорданової таблиці (1.1) до таблиці (1.2), що випливає з формул (1.23) і (1.25).

1. Дозволяє елемент замінюється зворотним числом:

2. Інші елементи роздільної рядка діляться на дозволяючий елемент і змінюють знак на протилежний:

3. Інші елементи дозволяє стовпця діляться на дозволяючий елемент:

4. Елементи, що не потрапили в роздільну рядок і дозволяє стовпець, перераховуються за формулами:

Остання формула легко запам'ятовується, якщо зауважити, що елементи, складові дріб, знаходяться на перетині i-ої і r-ої рядків і j-го і s-го стовпців (роздільною рядки, дозволяє стовпця і тієї рядки і стовпці, на перетині яких знаходиться перераховується елемент). Точніше, при запам'ятовуванні формули можна використовувати наступну діаграму:

-21 -26 -13 -37

Здійснюючи перший крок Жорданових винятків, як дозволяє елемента можна вибрати будь-який елемент таблиці 1.3, розташований в шпальтах x 1 ,…, x 5 (всі зазначені елементи не рівні нулю). Не слід тільки вибирати дозволяє елемент в останньому стовпці, тому що потрібно знаходити незалежні змінні x 1 ,…, x 5. Вибираємо, наприклад, коефіцієнт 1 при змінної x 3 в третьому рядку таблиці 1.3 (дозволяє елемент показаний жирним шрифтом). При переході до таблиці 1.4 змінна x 3 з верхньої заголовної рядка міняється місцями з константою 0 лівого заголовного стовпця (третій рядок). При цьому змінна x 3 виражається через інші змінні.

рядок x 3 (табл.1.4) можна, попередньо запам'ятавши, виключити з таблиці 1.4. З таблиці 1.4 виключається так само третій стовпець з нулем у верхній заголовної рядку. Справа в тому, що незалежно від коефіцієнтів даного стовпця b i 3 всі відповідні йому складові кожного рівняння 0 · b i 3 системи дорівнюватимуть нулю. Тому зазначені коефіцієнти годі й обчислювати. Виключивши одну змінну x 3 і запам'ятавши одне з рівнянь, ми приходимо до системи, що відповідає таблиці 1.4 (з викресленої рядком x 3). Вибираючи в таблиці 1.4 в якості дозволяє елемента b 14 = -5, переходимо до таблиці 1.5. У таблиці 1.5 запам'ятовуємо перший рядок і виключаємо її з таблиці разом з четвертим стовпчиком (з нулем нагорі).

Таблиця 1.5 Таблиця 1.6

З останньої таблиці 1.7 знаходимо: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Послідовно підставляючи вже знайдені змінні в успішної реєстрації рядки, знаходимо інші змінні:

Таким чином, система має незліченну безліч рішень. змінної x 5, можна надавати довільні значення. Дана змінна виступає в ролі параметра x 5 = t. Ми довели спільність системи і знайшли її спільне рішення:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

надаючи параметру tрізні значення, ми отримаємо безліч рішень вихідної системи. Так, наприклад, рішенням системи є наступний набір змінних (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Даний онлайн калькулятор знаходить рішення системи лінійних рівнянь (СЛР) методом Крамера. Дається докладний рішення. Для обчислення вибирайте кількість змінних. Потім введіть дані в осередку і натискайте на кнопку "Обчислити."

попередження

Очистити всі осередки?

Закрити Очистити

Інструкція введення даних.Числа вводяться в вигляді цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 і т.д.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 і т.д.) або дробів. Дріб потрібно набирати у вигляді a / b, де a і b (b> 0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6 / 76.4, -7 / 6.7 і т.д.

метод Крамера

Метод Крамера - це метод вирішення квадратної системи лінійних рівнянь з відмінним від нуля визначником основної матриці. Така система лінійних рівнянь має єдине рішення.

Нехай задана наступна система лінійних рівнянь:

де A-основна матриця системи:

перший з яких потрібно знайти, а другий заданий.

Так як ми припускаємо, що визначник Δ матриці Aвідмінний від нуля, то існує обернена до Aматриця A-1. Тоді множачи тотожність (2) зліва на обернену матрицю A-1, отримаємо:

Зворотній матриця має такий вигляд:

Алгоритм рішення системи лінійних рівнянь методом Крамера

Обчислити визначник Δ основної матриці A.
Заміна стовпчика 1 матриці Aна вектор вільних членів b.
Обчислення визначника Δ 1 отриманої матриці A 1 .
обчислити змінну x 1 = Δ 1 / Δ.
Повторити кроки 2-4 для стовпців 2, 3, ..., nматриці A.

Приклади розв'язання СЛР методом Крамера

Приклад 1. Вирішити таку систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Замінимо стовпець 1 матриці Aна вектор стовпець b:

Замінимо стовпець 2 матриці Aна вектор стовпець b:

Замінимо стовпець 3 матриці Aна вектор стовпець b:

Рішення системи лінійних рівнянь обчислюється так:

Запишемо її в матричної формі: Ax = b, де

Вибираємо найбільший по модулю провідний елемент стовпця 2. Для цього міняємо місцями рядки 2 і 4. При цьому змінюється знак визначника на "-".

Вибираємо найбільший по модулю провідний елемент стовпця 3. Для цього міняємо місцями рядки 3 і 4. При цьому змінюється знак визначника на "+".

Ми привели матрицю до верхнього трикутного вигляду. Визначник матриці дорівнює добутку всіх елементів головної діагоналі:

Для обчислення визначника матриці A 1, наведемо матрицю до верхнього трикутного вигляду, аналогічно вищевикладеної процедури. Отримаємо наступну матрицю:

Замінюємо стовпець 2 матриці Aна вектор стовпець b, Наводимо матрицю до верхнього трикутного вигляду і обчислюємо визначник матриці:

,,,.

Нехай дана система трьох лінійних рівнянь:

Для вирішення системи лінійних рівнянь методом Крамера з коефіцієнтів при невідомих складається головний визначник системи . Для системи (1) головний визначник має вигляд
.

Далі складаються визначники по змінним
,,. Для цього в головному визначнику замість стовпчика коефіцієнтів при відповідній змінної записується стовпець вільних членів, тобто

,
,
.

Тоді рішення системи знаходиться за формулами Крамера

,
,

Слід зазначити, що система має єдине рішення
, Якщо головний визначник
. Якщо ж
і
= 0,= 0,= 0, то система має безліч рішень, знайти які за формулами Крамера не можна. Якщо ж
і
0, або 0, або 0, то система рівнянь несумісна, тобто рішень не має.

приклад

Рішення:

1) Складемо і обчислимо головний визначник системи, що складається з коефіцієнтів при невідомих.

Отже, система має єдине рішення.

2) Складемо і обчислимо допоміжні визначники, замінюючи відповідний стовпець в  стовпцем з вільних членів.

За формулами Крамера знаходимо невідомі:

,
,
.

Зробимо перевірку, щоб переконатися в правильності рішення

Тобто
.

, Тобто

відповідь: .

приклад

Вирішити систему рівнянь методом Крамера:

Рішення:

1) Складемо і обчислимо головний визначник системи з коефіцієнтів при невідомих:

Отже, система не має однозначної відповіді.

2) Складемо і обчислимо допоміжні визначники, замінюючи відповідний стовпець в  стовпцем з вільних членів:

,
, Отже, система несумісна.

відповідь: система несумісна.

метод Гаусса

Метод Гаусса складається з двох етапів. Перший етап полягає в послідовному виключенні змінних з рівнянь системи за допомогою дій, що не порушують равносильности системи. Наприклад, розглянемо два перших рівняння системи (1).

(1)

Необхідно шляхом складання цих двох рівнянь отримати рівняння, в якому відсутня змінна . Помножимо перше рівняння на , А друге на (
) І складемо отримані рівняння

Замінимо коефіцієнт перед y, zі вільний член на ,і відповідно, отримаємо нову пару рівнянь

Зауважимо, що в другому рівнянні відсутня змінна x.

Провівши аналогічні дії над першим і третім рівняннями системи (1), а потім над отриманими в результаті складання другим і третім рівняннями, перетворимо систему (1) до виду

(2)

Такий результат можливий, якщо система має єдине рішення. У цьому випадку рішення знаходиться за допомогою зворотного ходу методу Гаусса (другий етап). З останнього рівняння системи (2) знаходимо невідому змінну z, Потім з другого рівняння знаходимо y, а xвідповідно з першого, підставляючи в них вже знайдені невідомі.

Іноді в результаті складання двох рівнянь сумарне рівняння може прийняти один з видів:

А)
, де
. Це означає, що можна вирішити система несумісна.

Б), тобто
. Таке рівняння виключається з системи, в результаті число рівнянь в системі стає менше, ніж число змінних, і система має незліченну безліч рішень, перебування яких буде показано на прикладі.

приклад

Рішення:

Розглянемо наступний спосіб здійснення першого етапу рішення методом Гаусса. Запишемо три рядки коефіцієнтів при невідомих і вільних членів, що відповідають трьом рівнянням системи. Вільні члени відділимо від коефіцієнтів вертикальною лінією, а під третім рядком проведемо горизонтальну пряму.

Перший рядок, яка відповідає першому рівнянню системи, обведемо - коефіцієнти в цьому рівнянні залишаться незмінними. Замість другого рядка (рівняння) треба отримати рядок (рівняння), де коефіцієнт при дорівнює нулю. Для цього всі числа першого рядка помножимо на (-2) і складемо з відповідними числами другого рядка. Отримані суми запишемо під горизонтальною лінією (четвертий рядок). Для того щоб замість третього рядка (рівняння) також отримати рядок (рівняння), в якій коефіцієнт при дорівнює нулю, помножимо все числа першого рядка на (-5) і складемо з відповідними числами третього рядка. Отримані суми запишемо п'ятим рядком і проведемо під нею нову горизонтальну риску. Четвертий рядок (або п'яту - за вибором) обведемо. Вибирається рядок з меншими коефіцієнтами. У цьому рядку коефіцієнти залишаться незмінними. Замість п'ятого рядка треба отримати рядок, де вже два коефіцієнти дорівнюють нулю. Помножимо четвертий рядок на 3 та складемо з п'ятої. Суму запишемо під горизонтальною лінією (шостий рядок) і обведемо її.

Всі описані дії зображені в таблиці 1 за допомогою арифметичних знаків і стрілок. Обведені в таблиці рядки запишемо знову у вигляді рівнянь (3) і, застосувавши зворотний хід методу Гаусса, знайдемо значення змінних x, yі z.

Таблиця 1

Відновлюємо систему рівнянь, отриману в результаті наших перетворень:

(3)

Зворотний хід методу Гаусса

З третього рівняння
знаходимо
.

У друге рівняння системи
підставимо знайдене значення
, отримаємо
або
.

З першого рівняння
, Підставляючи вже знайдені значення змінних, отримуємо
, тобто
.

Щоб переконатися в правильності рішення, перевірку необхідно зробити у всіх трьох рівняннях системи.

Перевірка:

, отримаємо

отримаємо

значить, система вирішена вірно.

відповідь:
,
,
.

приклад

Вирішити систему методом Гаусса:

Рішення:

Порядок дій в цьому прикладі аналогічний порядку в попередньому прикладі, а конкретні дії вказані в таблиці 2.

В результаті перетворень отримаємо рівняння виду, отже, задана система несумісна.

відповідь: система несумісна.

приклад

Вирішити систему методом Гаусса:

Рішення:

Таблиця 3

В результаті перетворень отримаємо рівняння виду, яке виключається з розгляду. Таким чином, маємо систему рівнянь, в якій число невідомих 3, а число рівнянь 2.

Система має безліч рішень. Щоб відшукати ці рішення, введемо одну вільну змінну. (Число вільних змінних завжди дорівнює різниці між числом невідомих і числом рівнянь, що залишилися після перетворення системи. У нашому випадку 3 - 2 = 1).

нехай
- вільна змінна.