Виконання додавання і віднімання дробів. Віднімання дробів з різними знаменниками

Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками
Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками
Поняття про НОК
Зведення дробів до спільного знаменника
Як скласти ціле число і дріб

1 Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти дробу з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники, а знаменник залишити той же, наприклад:

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба з чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той же, наприклад:

Щоб скласти змішані дроби, треба окремо скласти їх цілі частини, а потім скласти їх дробові частини, і записати результат змішаної дробом,

Приклад 1:

Приклад 2:

Якщо при додаванні дрібних частин вийшла неправильна дріб, виділяємо з неї цілу частину і додаємо її до цілої частини, наприклад:

2 Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.

Для того, щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку привести їх до одного знаменника, а далі діяти, як вказано на початку цієї статті. Спільний знаменник кількох дробів - це НОК (найменше спільне кратне). Для чисельника кожної з дробів знаходяться додаткові множники за допомогою ділення НОК на знаменник цього дробу. Ми розглянемо приклад пізніше, після того, як розберемося, що ж таке НОК.

3 Найменше спільне кратне (НОК)

Найменше спільне кратне двох чисел (НОК) - це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва ці числа без залишку. Іноді НОК можна підібрати усно, але частіше, особливо при роботі з великими числами, Доводиться знаходити НОК письмово, за допомогою наступного алгоритму:

Для того, щоб знайти НОК декількох чисел, потрібно:

Розкласти ці числа на прості множники
Взяти найбільше розкладання, і записати ці числа у вигляді добутку
Виділити в інших розкладах числа, які не зустрічаються в найбільшому розкладанні (або зустрічаються в ньому менше число раз), і додати їх до твору.
Перемножити всі числа в творі, це і буде НОК.

Наприклад, знайдемо НОК чисел 28 і 21:

4 Зведення дробів до спільного знаменника

Повернемося до складання дробів з різними знаменниками.

Коли ми наводимо дроби до однакового знаменника, рівному НОК обох знаменників, ми повинні помножити числители цих дробів на додаткові множники. Знайти їх можна, розділивши НОК на знаменник відповідної дробу, наприклад:

Таким чином, щоб привести дроби до одного показника, потрібно спочатку знайти НОК (тобто найменше число, яке ділиться на обидва знаменника) знаменників цих дробів, потім поставити додаткові множники до чисельник дробу. Знайти їх можна, розділивши загальний знаменник (НОК) на знаменник відповідної дробу. Потім потрібно помножити чисельник кожного дробу на додатковий множник, а знаменником поставити НОК.

5 Як скласти ціле число і дріб

Для того, щоб скласти ціле число і дріб, потрібно просто додати це число перед дробом, при цьому вийде змішана дріб, наприклад:

Якщо ми складаємо ціле число і змішану дріб, ми додаємо це число до цілої частини дробу, наприклад:

тренажер 1

Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Ліміт часу: 0

Навігація (тільки номери завдань)

0 з 20 завдань закінчено

інформація

У цьому тесті перевіряється уміння додавати дроби з однаковими знаменниками. При цьому потрібно дотримуватися два правила:

Якщо в результаті виходить неправильна дріб, потрібно перевести її в змішане число.
Якщо дріб можна скоротити, обов'язково скоротіть її, інакше буде зарахований неправильну відповідь.

Ви вже проходили тест раніше. Ви не можете запустити його знову.

Тест завантажується ...

Ви повинні увійти або зареєструватися для того, щоб почати тест.

Ви повинні закінчити наступні тести, щоб почати цей:

результати

Правильних відповідей: 0 з 20

Ваш час:

Час вийшов

Ви набрали 0 з 0 балів (0)

З відповіддю
З відміткою про перегляд

Звичайні дробові числа вперше зустрічають школярів в 5 класі і супроводжують їх протягом усього життя, так як в побуті найчастіше потрібна розглядати або використовувати якийсь об'єкт не цілком, а окремими шматками. Початок вивчення цієї теми - долі. Частки - це рівні частини, На які поділено той чи інший предмет. Адже не завжди виходить висловити, припустимо, довжину або ціну товару цілим числом, слід взяти до уваги частини або частки будь-які заходи. Утворене від дієслова «дробити» - розділяти на частини, і маючи арабське коріння, в VIII столітті виникло саме слово «дріб» в російській мові.

Вконтакте

Однокласники

Дробові вирази тривалий час вважали найскладнішим розділом математики. У XVII столітті, при появі первоучебніков з математики, їх називали «ламані числа», що дуже складно відображалося в розумінні людей.

Сучасного вигляду простих дрібних залишків, частини яких розділені саме горизонтальною лінією, вперше посприяв Фібоначчі - Леонардо Пізанський. Його праці датовані в 1202 році. Але мета цієї статті - просто і зрозуміло пояснити читачеві, як відбувається множення змішаних дробів з різними знаменниками.

Множення дробів з різними знаменниками

Спочатку варто визначити різновиди дробів:

правильні;
неправильні;
змішані.

Далі потрібно згадати, як відбувається множення дрібних чисел з однаковими знаменниками. Саме правило цього процесу нескладно сформулювати самостійно: результатом множення простих дробів з однаковими знаменниками є дробове вираження, чисельник якого є твір числителей, а знаменник - добуток знаменників даних дробів. Тобто, по суті, новий знаменник є квадрат одного з існуючих спочатку.

при множенні простих дробів з різними знаменниками для двох і більше множників правило не змінюється:

a /b * c /d = a * c / b * d.

Єдина відмінність в тому, що утворене число під дробової рисою буде твором різних чисел і, природно, квадратом одного числового виразу його назвати неможливо.

Варто розглянути множення дробів з різними знаменниками на прикладах:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

У прикладах використовуються методи скорочення дробових виражень. Можна скорочувати тільки числа чисельника з числами знаменника, поруч стоять множники над дробової рисою або під нею скорочувати не можна.

Поряд з простими дробовими числами, Існує поняття змішаних дробів. Змішане число складається з цілого числа і дробової частини, тобто є сумою цих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Як відбувається перемножування

Пропонується кілька прикладів для розгляду.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

У прикладі використовується множення числа на звичайну дробову частину, Записати правило для цього дії можна формулою:

a * b /c = a * b /c.

По суті, такий твір є сума однакових дрібних залишків, а кількість доданків вказує це натуральне число. Окремий випадок:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Існує ще один варіант вирішення множення числа на дробовий залишок. Варто просто розділити знаменник на це число:

d * e /f = e /f: d.

Цим прийомом корисно користуватися, коли знаменник ділиться на натуральне число без залишку або, як то кажуть, без остачі.

Перекласти змішані числа в неправильні дроби і отримати твір раніше описаним способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

У цьому прикладі бере участь спосіб представлення змішаної дробу в неправильну, його також можна представити у вигляді загальної формули:

a bc = a * b + c / c, де знаменник нової дробу утворюється при множенні цілої частини зі знаменником і при додаванні його з чисельником вихідного дрібного залишку, а знаменник залишається колишнім.

Цей процес працює і у зворотний бік. Для виділення цілої частини і дрібного залишку потрібно поділити чисельник неправильного дробу на її знаменник «куточком».

Множення неправильних дробів виробляють загальноприйнятим способом. Коли запис йде під єдиною дробової рисою, у міру необхідності потрібно зробити скорочення дробів, щоб зменшити таким методом числа і простіше порахувати результат.

В інтернеті існує безліч помічників, щоб вирішувати навіть складні математичні завдання в різних варіаціях програм. Достатня кількість таких сервісів пропонують свою допомогу при рахунку множення дробів з різними числами в знаменниках - так звані онлайн-калькулятори для розрахунку дробів. Вони здатні не тільки помножити, але і зробити всі інші найпростіші арифметичні операції зі звичайними дробами і змішаними числами. Працювати з ним нескладно, на сторінці сайту заповнюються відповідні поля, вибирається знак математичного дії і натискається «вирахувати». Програма вважає автоматично.

Тема арифметичних дій з дробовими числами актуальна на всьому протязі навчання школярів середнього та старшого ланки. У старших класах розглядають вже не найпростіші види, а цілі дробові вирази, Але знання правил по перетворенню і розрахунками, отримані раніше, застосовуються в первозданному вигляді. Добре засвоєні базові знання дають повну впевненість в успішному вирішенні найбільш складних завдань.

На закінчення має сенс процитувати Льва Миколайовича Толстого, який писав: «Людина є дріб. Збільшити свого чисельника - свої достоїнства, - не у владі людини, але кожен може зменшити свого знаменника - свою думку про самого себе, і цим зменшенням наблизитися до своєї досконалості ».

Дії з дробами.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Отже, що з себе представляють дробу, види дробів, перетворення - ми згадали. Займемося головним питанням.

Що можна робити з дробом? Так все те, що і з звичайними числами. Додавати, віднімати, множити, ділити.

Всі ці дії з десятковими дробом нічим не відрізняються від дій з цілими числами. Власне, цим вони і хороші, десяткові. Єдино, кому правильно поставити треба.

змішані числа, Як я вже говорив, малопридатні для більшості дій. Їх все одно треба переводити в звичайні дроби.

А ось дії з звичайними дробами хитріше будуть. І набагато важливіше! Нагадаю: всі дії з дробовими виразами з літерами, синусами, невідомими і інша й інша нічим не відрізняються від дій зі звичайними дробами! Дії зі звичайними дробами - це основа для всієї алгебри. Саме з цієї причини ми дуже детально розберемо тут всю цю арифметику.

Додавання і віднімання дробів.

Скласти (відняти) дроби з однаковими знаменниками кожен зможе (дуже сподіваюся!). Ну вже зовсім забудькуватим нагадаю: при додаванні (відніманні) знаменник не змінюється. Чисельники складаються (віднімаються) і дають чисельник результату. типу:

Коротше, в загальному вигляді:

А якщо знаменники різні? Тоді, використовуючи основну властивість дробу (ось воно і знову знадобилося!), Робимо знаменники однаковими! наприклад:

Тут нам з дробу 2/5 довелося зробити дріб 4/10. Виключно з метою зробити знаменники однаковими. Зауважу, про всяк випадок, що 2/5 і 4/10 це одна і та ж дріб! Тільки 2/5 нам незручно, а 4/10 дуже навіть нічого.

До речі, в цьому суть рішень будь-яких завдань з математики. Коли ми з незручного вираження робимо те ж саме, але вже зручне для вирішення.

Ще приклад:

Ситуація аналогічна. Тут ми з 16 робимо 48. Простим множенням на 3. Це все зрозуміло. Але ось нам попалося що-небудь типу:

Як бути?! З сімки дев'ятку важко зробити! Але ми розумні, ми правила знаємо! перетворимо кожнудріб так, щоб знаменники стали однаковими. Це називається «приведемо до спільного знаменника»:

ВО як! Звідки ж я дізнався про 63? Дуже просто! 63 це число, яке без остачі ділиться на 7 і 9 одночасно. Таке число завжди можна отримати перемножением знаменників. Якщо ми якесь число помножили на 7, наприклад, то результат вже точно на 7 ділитися буде!

Якщо треба скласти (відняти) кілька дробів, немає потреби робити це попарно, по кроках. Просто треба знайти знаменник, загальний для всіх дробів, і привести кожну дріб до цього самого знаменника. наприклад:

І який же загальний знаменник буде? Можна, звичайно, перемножити 2, 4, 8, і 16. Отримаємо 1024. Кошмар. Простіше прикинути, що число 16 відмінно ділиться і на 2, і на 4, і на 8. Отже, з цих чисел легко отримати 16. Це число і буде спільним знаменником. 1/2 перетворимо в 8/16, 3/4 в 12/16, ну і так далі.

До речі, якщо за спільний знаменник взяти 1024, теж все вийде, в кінці все посокращается. Тільки до цього кінця не всі доберуться, через обчислень ...

Вирішимо вже приклад самостійно. Чи не логарифм який ... Має вийти 29/16.

Отже, зі складанням (відніманням) дробів ясно, сподіваюся? Звичайно, простіше працювати в скороченому варіанті, з додатковими множниками. Але це задоволення доступне тим, хто чесно трудився в молодших класах ... І нічого не забув.

А зараз ми поробимо ті ж самі дії, але не з дробом, а з дробовими виразами. Тут виявляться нові граблі, та ...

Отже, нам треба скласти два дрібних вираження:

Треба зробити знаменники однаковими. Причому тільки за допомогою множення! Вже так основне властивість дробу велить. Тому я не можу в першій дробу в знаменнику до Іксу додати одиницю. (А от би добре було!). А ось якщо перемножити знаменники, дивись, все і зростеться! Так і записуємо, рису дробу, зверху порожнє місце залишимо, потім допишемо, а знизу пишемо твір знаменників, щоб не забути:

І, звичайно, нічого в правій здебільшого не перемножуємо, дужки не відкривати! А тепер, дивлячись на загальний знаменник правої частини, міркуємо: щоб в першій дробу вийшов знаменник х (х + 1), треба чисельник і знаменник цього дробу помножити на (х + 1). А в другій дроби - на х. Вийде ось що:

Зверніть увагу! Тут з'явилися дужки! Це і є ті граблі, на які багато наступають. Чи не дужки, звичайно, а їх відсутність. Дужки з'являються тому, що ми множимо весь чисельник і весь знаменник! А чи не їх окремі шматочки ...

У чисельнику правої частини записуємо суму числителей, все як в числових дробах, потім розкриваємо дужки в чисельнику правої частини, тобто перемножуємо все і наводимо подібні. Розкривати дужки в знаменниках, перемножать щось не потрібно! Взагалі, в знаменниках (будь-яких) завжди приємніше твір! отримаємо:

Ось і отримали відповідь. Процес здається довгим і важким, але це від практики залежить. Повирішувати приклади, звикнете, все стане просто. Ті, хто освоїв дробу в належний час, всі ці операції однією лівою роблять, на автоматі!

І ще одне зауваження. Багато хвацько розправляються з дробом, але зависають на прикладах з цілими числами. Типу: 2 + 1/2 + 3/4 \u003d? Куди пристебнути двійку? Нікуди не треба пристібати, треба з двійки дріб зробити. Це не просто, а дуже просто! 2 \u003d 2/1. Ось так. Будь-яке ціле число можна записати у вигляді дробу. У чисельнику - саме число, в знаменнику - одиниця. 7 це 7/1, 3 це 3/1 і так далі. З буквами - те ж саме. (А + в) \u003d (а + в) / 1, х \u003d х / 1 і т.д. А далі працюємо з цим дробом за всіма правилами.

Ну, по додаванню - віднімання дробів знання освіжили. Перетворення дробів з одного виду в інший - повторили. Можна і перевіритися. Повирішуємо трохи?)

обчислити:

Відповіді (в безладді):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Множення / ділення дробів - в наступному уроці. Там же і завдання на всі дії з дробами.

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

зміст уроку

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Додавання дробів буває двох видів:

Додавання дробів з однаковими знаменниками
Додавання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо складання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб скласти дробу з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити без зміни. Наприклад, складемо дроби і. Складаємо числители, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка розділена на чотири частини. Якщо до піци додати піци, то вийде піци:

Приклад 2. Скласти дроби і.

У відповіді вийшла неправильна дріб. Якщо настає кінець завдання, то від неправильних дробів прийнято позбавлятися. Щоб позбавиться від неправильного дробу, потрібно виділити в ній цілу частину. У нашому випадку ціла частина виділяється легко - два розділити на два дорівнює одиниці:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка розділена на дві частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде одна ціла піца:

приклад 3. Скласти дроби і.

Знову ж складаємо числители, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка розділена на три частини. Якщо до піци додати ще піци, то вийде піци:

Приклад 4. Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується точно також, як і попередні. Чисельники необхідно скласти, а знаменник залишити без зміни:

Спробуємо зобразити наше рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци і ще додати піци, то вийде 1 ціла і ще піци.

Як бачите в додаванні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Досить розуміти такі правила:

Щоб скласти дробу з однаковими знаменника, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити без зміни;

Додавання дробів з різними знаменниками

Тепер навчимося додавати дроби з різними знаменниками. Коли складають дроби, знаменники цих дробів повинні бути однаковими. Але однаковими вони бувають не завжди.

Наприклад, дробу і скласти можна, оскільки у них однакові знаменники.

А ось дроби і відразу скласти не можна, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дробу потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Існує кілька способів приведення дробів до однакового знаменника. Сьогодні ми розглянемо тільки один з них, оскільки інші способи можуть здатися складними для початківця.

Суть цього способу полягає в тому, що спочатку шукається (НОК) знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу і отримують перший додатковий множник. Аналогічно надходять і з другої дробом - НОК ділять на знаменник другого дробу і отримують другий додатковий множник.

Потім числители і знаменники дробів множаться на свої додаткові множники. В результаті цих дій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються в дробу, у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми вже знаємо.

приклад 1. Складемо дроби і

В першу чергу знаходимо найменше спільне кратне знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу - число 2. Найменше спільне кратне цих чисел дорівнює 6

НОК (2 і 3) \u003d 6

Тепер повертаємося до дробям і. Спочатку розділимо НОК на знаменник першого дробу і отримаємо перший додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник першого дробу це число 3. Ділимо 6 на 3, отримуємо 2.

Отримане число 2 це перший додатковий множник. Записуємо його до першого дробу. Для цього робимо невелику косу лінію над дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Аналогічно робимо і з другої дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу і отримуємо другий додатковий множник. НОК це число 6, а знаменник другого дробу - число 2. Ділимо 6 на 2, отримуємо 3.

Отримане число 3 це другий додатковий множник. Записуємо його до другого дробу. Знову ж робимо невелику косу лінію над другою дробом і записуємо над нею знайдений додатковий множник:

Тепер у нас все готово для складання. Залишилося помножити числители і знаменники дробів на свої додаткові множники:

Подивіться уважно до чого ми прийшли. Ми прийшли до того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися в дроби у яких однакові знаменники. А як складати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішимо цей приклад до кінця:

Таким чином, приклад завершується. До додати виходить.

Спробуємо зобразити наше рішення за допомогою малюнка. Якщо до піци додати піци, то вийде одна ціла піца і ще одна шоста піци:

Зведення дробів до однакового (загального) знаменника також можна зобразити за допомогою малюнка. Привівши дроби і до спільного знаменника, ми отримали дробу і. Ці дві дробу зображатимуться тими ж шматками піц. Різниця буде лише в тому, що в цей раз вони будуть розділені на рівні частини (приведені до однакового знаменника).

Перший малюнок зображує дріб (чотири шматочки з шести), а другий малюнок зображує дріб (три шматочки з шести). Склавши ці шматочки ми отримуємо (сім шматочків з шести). Ця дріб неправильна, тому ми виділили в ній цілу частину. В результаті отримали (одну цілу піцу і ще одну шосту піци).

Відзначимо, що ми з вами розписали даний приклад занадто докладно. В навчальних закладах не прийнято писати так розгорнуто. Потрібно вміти швидко знаходити НОК обох знаменників і додаткові множники до них, а також швидко множити знайдені додаткові множники на свої числители і знаменники. Перебуваючи в школі, даний приклад нам довелося б записати наступним чином:

Але є і зворотній бік медалі. Якщо на перших етапах вивчення математики не робити докладних записів, то починають з'являтися питання роду «А звідки ота цифра?», «Чому дробу раптом перетворюються зовсім в інші дроби? «.

Щоб легше було додавати дроби з різними знаменниками, можна скористатися наступною покроковою інструкцією:

Знайти НОК знаменників дробів;
Розділити НОК на знаменник кожного дробу і отримати додатковий множник для кожного дробу;
Помножити числители і знаменники дробів на свої додаткові множники;
Скласти дробу, у яких однакові знаменники;
Якщо у відповіді вийшла неправильна дріб, то виділити її цілу частину;

Приклад 2. Знайти значення виразу .

Скористаємося інструкцією, яка приведена вище.

Крок 1. Знайти НОК знаменників дробів

Знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменники дробів це числа 2, 3 і 4

Крок 2. Розділити НОК на знаменник кожного дробу і отримати додатковий множник для кожного дробу

Ділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу це число 2. Ділимо 12 на 2, отримуємо 6. Отримали перший додатковий множник 6. Записуємо його над першою дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу це число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Отримали другий додатковий множник 4. Записуємо його над другою дробом:

Тепер ділимо НОК на знаменник третьої дробу. НОК це число 12, а знаменник третьої дробу це число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Отримали третій додатковий множник 3. Записуємо його над третьою дробом:

Крок 3. Помножити числители і знаменники дробів на свої додаткові множники

Множимо чисельники і знаменники на свої додаткові множники:

Крок 4. Скласти дроби у яких однакові знаменники

Ми прийшли до того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися в дробу, у яких однакові (загальні) знаменники. Залишилося скласти ці дроби. складаємо:

Додавання не влізло на одному рядку, тому ми перенесли залишився вираз на наступний рядок. Це допускається в математиці. Коли вираз не поміщається на один рядок, його переносять на наступний рядок, при цьому треба обов'язково поставити знак рівності (\u003d) на кінці першого рядка і на початку нового рядка. Знак рівності на другому рядку говорить про те, що це продовження вираження, яке було на першому рядку.

Крок 5. Якщо у відповіді вийшла неправильна дріб, то виділити в ній цілу частину

У нас у відповіді вийшла неправильна дріб. Ми повинні виділити у неї цілу частину. виділяємо:

отримали відповідь

Віднімання дробів з однаковими знаменниками

Віднімання дробів буває двох видів:

Віднімання дробів з однаковими знаменниками
Віднімання дробів з різними знаменниками

Спочатку вивчимо віднімання дробів з однаковими знаменниками. Тут все просто. Щоб відняти від одного дробу іншу, потрібно з чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити колишнім.

Наприклад, знайдемо значення виразу. Щоб вирішити це приклад, треба з чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни. Так і зробимо:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка розділена на чотири частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

Приклад 2. Знайти значення виразу.

Знову ж з чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник залишаємо без зміни:

Цей приклад можна легко зрозуміти, якщо згадати про піцу, яка розділена на три частини. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци:

Приклад 3. Знайти значення виразу

Цей приклад вирішується точно також, як і попередні. З чисельника першого дробу потрібно відняти числители інших дробів:

Як бачите в відніманні дробів з однаковими знаменниками нічого складного немає. Досить розуміти такі правила:

Щоб відняти від одного дробу іншу, потрібно з чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити без зміни;
Якщо у відповіді вийшла неправильна дріб, то потрібно виділити в ній цілу частину.

Віднімання дробів з різними знаменниками

Наприклад, від дробу можна відняти дріб, оскільки у цих дробів однакові знаменники. А ось від дробу не можна відняти дріб, оскільки у цих дробів різні знаменники. У таких випадках дробу потрібно приводити до однакового (загального) знаменника.

Спільний знаменник знаходять за тим же принципом, яким ми користувалися при складанні дробів з різними знаменниками. В першу чергу знаходять НОК знаменників обох дробів. Потім НОК ділять на знаменник першого дробу і отримують перший додатковий множник, який записується над першою дробом. Аналогічно НОК ділять на знаменник другого дробу і отримують другий додатковий множник, який записується над другою дробом.

Потім дроби множаться на свої додаткові множники. В результаті цих операцій, дроби у яких були різні знаменники, звертаються в дробу, у яких однакові знаменники. А як віднімати такі дроби ми вже знаємо.

Приклад 1. Знайти значення виразу:

У цих дробів різні знаменники, тому потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Спочатку знаходимо НОК знаменників обох дробів. Знаменник першого дробу це число 3, а знаменник другого дробу - число 4. Найменше спільне кратне цих чисел дорівнює 12

НОК (3 і 4) \u003d 12

Тепер повертаємося до дробям і

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник першого дробу. НОК це число 12, а знаменник першого дробу - число 3. Ділимо 12 на 3, отримуємо 4. Записуємо четвірку над першою дробом:

Аналогічно робимо і з другої дробом. Ділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 12, а знаменник другого дробу - число 4. Ділимо 12 на 4, отримуємо 3. Записуємо трійку над другою дробом:

Тепер у нас все готово для вирахування. Залишилося помножити дробу на свої додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися в дроби у яких однакові знаменники. А як віднімати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішимо цей приклад до кінця:

отримали відповідь

Спробуємо зобразити наше рішення за допомогою малюнка. Якщо від піци відрізати піци, то вийде піци

Це детальна версія рішення. Перебуваючи в школі, нам довелося б вирішити це приклад коротший. Виглядало б таке рішення наступним чином:

Зведення дробів і до спільного знаменника також може бути зображено за допомогою малюнка. Навівши ці дроби до спільного знаменника, ми отримали дробу і. Ці дробу зображатимуться тими ж шматочками піц, але в цей раз вони будуть розділені на рівні частини (приведені до однакового знаменника):

Перший малюнок зображує дріб (вісім шматочків з дванадцяти), а другий малюнок - дріб (три шматочки з дванадцяти). Відрізавши від восьми шматочків три шматочка ми отримуємо п'ять шматочків з дванадцяти. Дріб і описує ці п'ять шматочків.

Приклад 2. Знайти значення виразу

У цих дробів різні знаменники, тому спочатку потрібно привести їх до однакового (загального) знаменника.

Знайдемо НОК знаменників цих дробів.

Знаменники дробів це числа 10, 3 і 5. Найменше спільне кратне цих чисел дорівнює 30

НОК (10, 3, 5) \u003d 30

Тепер знаходимо додаткові множники для кожного дробу. Для цього розділимо НОК на знаменник кожного дробу.

Знайдемо додатковий множник для першого дробу. НОК це число 30, а знаменник першого дробу - число 10. Ділимо 30 на 10, отримуємо перший додатковий множник 3. Записуємо його над першою дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для другого дробу. Розділимо НОК на знаменник другого дробу. НОК це число 30, а знаменник другого дробу - число 3. Ділимо 30 на 3, отримуємо другий додатковий множник 10. Записуємо його над другою дробом:

Тепер знаходимо додатковий множник для третьої дробу. Розділимо НОК на знаменник третьої дробу. НОК це число 30, а знаменник третьої дроби - число 5. Ділимо 30 на 5, отримуємо третій додатковий множник 6. Записуємо його над третьою дробом:

Тепер все готово для вирахування. Залишилося помножити дробу на свої додаткові множники:

Ми прийшли до того, що дроби у яких були різні знаменники, перетворилися в дроби у яких однакові (загальні) знаменники. А як віднімати такі дроби ми вже знаємо. Давайте вирішимо цей приклад.

Продовження прикладу не поміститься на одному рядку, тому переносимо продовження на наступний рядок. Не забуваємо про знак рівності (\u003d) на новому рядку:

У відповіді вийшла правильна дріб, і начебто нас все влаштовує, але вона надто громіздка і некрасива. Треба б зробити її простіше. А що можна зробити? Можна скоротити цей дріб.

Щоб скоротити дріб, потрібно розділити її чисельник і знаменник на (НОД) чисел 20 і 30.

Отже, знаходимо НОД чисел 20 і 30:

Тепер повертаємося до нашого прикладу і ділимо чисельник і знаменник дробу на знайдений НСД, тобто на 10

отримали відповідь

Множення дробу на число

Щоб помножити дріб на число, потрібно чисельник даної дробу помножити на це число, а знаменник залишити без змін.

приклад 1. Помножити дріб на число 1.

Помножимо чисельник дробу на число 1

Запис можна розуміти, як взяти половину 1 раз. Наприклад, якщо піци взяти 1 раз, то вийде піци

Із законів множення ми знаємо, що якщо множимое і множник поміняти місцями, то твір не зміниться. Якщо вираз, записати як, то твір, як і раніше дорівнюватиме. Знову ж спрацьовує правило множення цілого числа і дроби:

Цей запис можна розуміти, як взяття половини від одиниці. Наприклад, якщо є 1 ціла піца і ми візьмемо від неї половину, то у нас виявиться піци:

приклад 2. Знайти значення виразу

Помножимо чисельник дробу на 4

У відповіді вийшла неправильна дріб. Виділимо в ній цілу частину:

Вираз можна розуміти, як взяття двох чвертей 4 рази. Наприклад, якщо піци взяти 4 рази, то вийде дві цілі піци

А якщо поміняти множимое і множник місцями, то отримаємо вираз. Воно теж буде дорівнює 2. Цей вислів можна розуміти, як взяття двох піц від чотирьох цілих піц:

Число, яке множиться на дріб, і знаменник дробу дозволяється, якщо вони мають загальний дільник, Бóльшій одиниці.

Наприклад, вираз можна обчислити двома способами.

перший спосіб. Помножити число 4 на чисельник дробу, а знаменник дробу залишити без змін:

другий спосіб. Множимо четвірку і четвірку, що знаходиться в знаменнику дробу, можна скоротити. Скоротити ці четвірки можна на 4, оскільки найбільший спільний дільник для двох четвірок є сама четвірка:

Вийшов той же результат 3. Після скорочення четвірок, на їх місці утворюються нові числа: дві одиниці. Але множення одиниці з трійкою, і далі поділ на одиницю нічого не змінює. Тому рішення можна записати коротше:

Скорочення може бути виконано навіть тоді, коли ми вирішили скористатися першим способом, але на етапі перемноження кількості 4 і чисельника 3 вирішили скористатися скороченням:

А ось наприклад вираз можна обчислити тільки першим способом - помножити 7 на знаменник дробу, а знаменник залишити без змін:

Пов'язано це з тим, що число 7 і знаменник дробу не мають спільного дільника, бóльшего одиниці, і відповідно не скорочуються.

Деякі учні помилково скорочують множиться число і чисельник дробу. Робити цього не можна. Наприклад, такий запис не є правильною:

Скорочення дробу має на увазі, що і чисельник і знаменник буде розділений на одне і теж число. У ситуації з виразом розподіл виконано тільки в чисельнику, оскільки записати це все одно, що записати. Бачимо, що розподіл виконано тільки в чисельнику, а в знаменнику ніякого поділу не відбувається.

множення дробів

Щоб перемножити дробу, потрібно перемножити їх чисельники і знаменники. Якщо у відповіді вийде неправильна дріб, потрібно виділити в ній цілу частину.

Приклад 1. Знайти значення виразу.

Отримали відповідь. Бажано скоротити дану дріб. Дріб можна скоротити на 2. Тоді остаточне рішення прийме наступний вигляд:

Вираз можна розуміти, як взяття піци від половини піци. Припустимо, у нас є половина піци:

Як взяти від цієї половини дві третини? Спочатку потрібно поділити цю половину на три рівні частини:

І взяти від цих трьох шматочків два:

У нас вийде піци. Згадайте, як виглядає піца, розділена на три частини:

Один шматок від цієї піци і взяті нами два шматочки матимуть однакові розміри:

Іншими словами, мова йде про одне й те ж розмірі піци. Тому значення виразу одно

приклад 2. Знайти значення виразу

Множимо чисельник першого дробу на числівник другого дробу, а знаменник першого дробу на знаменник другого дробу:

У відповіді вийшла неправильна дріб. Виділимо в ній цілу частину:

Приклад 3. Знайти значення виразу

У відповіді вийшла правильна дріб, але буде добре, якщо її скоротити. Щоб скоротити цю дріб, потрібно чисельник і знаменник даної дробу розділити на найбільший спільний дільник (НСД) чисел 105 і 450.

Отже, знайдемо НОД чисел 105 і 450:

Тепер ділимо чисельник і знаменник нашої відповіді на НОД, який ми зараз знайшли, тобто на 15

Подання цілого числа у вигляді дробу

Будь-яке ціле число можна представити у вигляді дробу. Наприклад, число 5 можна представити як. Від цього п'ятірка свого значення не поміняє, оскільки вираз означає «число п'ять розділити на одиницю», а це, як відомо одно п'ятірці:

Зворотні числа

Зараз ми познайомимося з дуже цікавою темою в математиці. Вона називається «зворотні числа».

Визначення. Зворотним до числаa називається число, яке при множенні наa дає одиницю.

Давайте підставимо в це визначення замість змінної a число 5 і спробуємо прочитати визначення:

Зворотним до числа 5 називається число, яке при множенні на 5 дає одиницю.

Чи можна знайти таке число, яке при множенні на 5, дає одиницю? Виявляється можна. Уявімо п'ятірку у вигляді дробу:

Потім помножити цю дріб на саму себе, тільки поміняємо місцями чисельник і знаменник. Іншими словами, помножимо дріб на саму себе, тільки перевернуту:

Що вийде в результаті цього? Якщо ми продовжимо вирішувати це приклад, то отримаємо одиницю:

Значить зворотним до числа 5, є число, оскільки при множенні 5 на виходить одиниця.

Зворотне число можна знайти також для будь-якого іншого цілого числа.

Знайти зворотне число можна також для будь-якої іншої дробу. Для цього достатньо перевернути її.

Розподіл дробу на число

Припустимо, у нас є половина піци:

Розділимо її порівну на двох. Скільки піци дістанеться кожному?

Видно, що після поділу половини піци вийшло два рівних шматочка, кожен з яких становить піци. Значить кожному дістанеться по піци.

Зверніть увагу! Перед тим як написати остаточну відповідь, подивіться, може можна скоротити дріб, яку ви отримали.

Віднімання дробів з однаковими знаменниками, приклади:

Віднімання правильної дробу з одиниці.

Якщо необхідно відняти від одиниці дріб, яка є правильною, одиницю переводять до виду неправильного дробу, у неї знаменник дорівнює знаменника віднімається дробу.

Приклад вирахування правильної дробу з одиниці:

Знаменник віднімається дробу = 7 , Тобто, одиницю представляємо у вигляді неправильного дробу 7/7 і віднімаємо за правилом віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Віднімання правильної дробу з цілого числа.

Правила віднімання дробів - правильної з цілого числа (Натурального числа):

Переводимо задані дробу, які містять цілу частину, в неправильні. Отримуємо нормальні складові (не важливо якщо вони з різними знаменниками), які вважаємо за правилами, наведеними вище;
Далі обчислюємо різницю дробів, які ми отримали. В результаті ми майже знайдемо відповідь;
Виконуємо зворотне перетворення, тобто позбавляємося від неправильного дробу - виділяємо в дробу цілу частину.

Віднімемо з цілого числа правильну дріб: представляємо натуральне число у вигляді змішаного числа. Тобто займаємо одиницю в натуральному числі і переводимо її до виду неправильного дробу, знаменник при цьому такий же, як у віднімається дробу.

Приклад вирахування дробів:

У прикладі одиницю ми замінили неправильної дробом 7/7 і замість 3 записали змішане число і від дробової частини відняли дріб.

Віднімання дробів з різними знаменниками.

Або, якщо сказати іншими словами, віднімання різних дробів.

Правило віднімання дробів з різними знаменниками.Для того, щоб зробити віднімання дробів з різними знаменниками, необхідно, для початку, привести ці дроби до найменшого спільного знаменника (НСЗ), і тільки послеіетого зробити віднімання в межах десяти з дробом з однаковими знаменниками.

Спільний знаменник кількох дробів - це НОК (найменше спільне кратне) натуральних чисел, які є знаменниками даних дробів.

Увага! Якщо в кінцевій дроби у чисельника і знаменника є спільні множники, то дріб необхідно скоротити. Неправильну дріб краще представити у вигляді змішаної дробу. Залишити результат віднімання, що не скоротивши дріб, де є можливість, - це незавершене рішення прикладу!

Порядок дій при відніманні дробів з різними знаменниками.

знайти НОК для всіх знаменників;
поставити для всіх дробів додаткові множники;
помножити все числители на додатковий множник;
отримані твори записуємо в чисельник, підписуючи під усіма дробом спільний знаменник;
провести віднімання числителей дробів, підписуючи під різницею спільний знаменник.

Таким же чином проводиться додавання і віднімання дробів при наявності в чисельнику букв.

Віднімання дробів, приклади:

Віднімання змішаних дробів.

при відніманні змішаних дробів (чисел) окремо з цілої частини віднімають цілу частину, а з дробової частини віднімають дробову частину.

Перший варіант вирахування змішаних дробів.

Якщо у дрібних частин однакові знаменники і чисельник дробової частини зменшуваного (з нього віднімаємо) ≥ чисельнику дробової частини від'ємника (його віднімаємо).

наприклад:

Другий варіант вирахування змішаних дробів.

Коли у дрібних частин різні знаменники. Для початку наводимо до спільного знаменника дробові частини, а після цього виконуємо віднімання цілої частини з цілої, а дробової з дробової.

наприклад:

Третій варіант вирахування змішаних дробів.

Дрібна частина зменшуваного менше дробової частини від'ємника.

приклад:

Оскільки у дрібних частин різні знаменники, значить, як і при другому варіанті, спочатку наводимо звичайні дроби до спільного знаменника.

Чисельник дробової частини зменшуваного менше чисельника дробової частини від'ємника.3 < 14. Значить, займаємо одиницю з цілої частини і приводимо цю одиницю до виду неправильного дробу з однаковим знаменником і чисельником = 18.

У чисельнику від правої частини пишемо суму числителей, далі розкриваємо дужки в чисельнику від правої частини, тобто множимо всі і наводимо подібні. У знаменнику дужки не розкриваємо. У знаменниках прийнято залишати твір. отримуємо: