Тесты  

Великая теорема ферма до сих пор не доказана. Разоблачаем! Великая теорема Ферма доказана? Решение теоремы ферма

Великая Теорема Ферма Сингх Саймон

«Доказана ли Великая теорема Ферма?»

Был сделан лишь первый шаг на пути к доказательству гипотезы Таниямы-Шимуры, но избранная Уайлсом стратегия была блестящим математическим прорывом, результатом, который заслуживал публикации. Но в силу обета молчания, наложенного Уайлсом самим на себя, он не мог поведать о полученном результате остальному миру и не имел ни малейшего представления о том, кто еще мог совершить столь же значительный прорыв.

Уайлс вспоминает о своем философском отношении к любому потенциальному сопернику: «Никто не захочет затратить годы на доказательство чего-то и обнаружить, что кому-то другому удалось найти доказательство несколькими неделями раньше. Но, как ни странно, поскольку я пытался решить проблему, которая по существу считалась неразрешимой, я не очень опасался соперников. Я просто не надеялся, что мне или кому-нибудь другому придет в голову идея, которая приведет к доказательству».

8 марта 1988 года Уайлс испытал шок, увидев на первых полосах газет набранные крупным шрифтом заголовки, гласившие: «Великая теорема Ферма доказана». Газеты «Washington Post» и «New York Times» сообщали, что тридцативосьмилетний Иоичи Мияока из токийского Метрополитен университета решил самую трудную математическую проблему в мире. Пока Мияока еще не опубликовал свое доказательство, но в общих чертах изложил его ход на семинаре в Институте Макса Планка по математике в Бонне. Дон Цагир, присутствовавший на докладе Мияоки, выразил оптимизм математического сообщества в следующих словах: «Представленное Мияокой доказательство необычайно интересно, и некоторые математики полагают, что оно с высокой вероятностью окажется правильным. Полной уверенности еще нет, но пока доказательство выглядит весьма обнадеживающим».

Выступая с докладом на семинаре в Бонне, Мияока рассказал о своем подходе к решению проблемы, которую он рассматривал с совершенно иной, алгебро-геометрической, точки зрения. За последние десятилетия геометры достигли глубокого и тонкого понимания математических объектов, в частности, свойств поверхностей. В 70-е годы российский математик С. Аракелов попытался установить параллели между проблемами алгебраической геометрии и проблемами теории чисел. Это было одно из направлений программы Ленглендса, и математики надеялись, что нерешенные проблемы теории чисел удастся решить, изучая соответствующие проблемы геометрии, которые также еще оставались нерешенными. Такая программа была известна под названием философии параллелизма. Те алгебраические геометры, которые пытались решать проблемы теории чисел, получили название «арифметических алгебраических геометров». В 1983 году они возвестили о своей первой значительной победе, когда Герд Фалтингс из Принстонского Института высших исследований внес существенный вклад в понимание теоремы Ферма. Напомним, что, по утверждению Ферма, уравнение

при n б?льших 2 не имеет решений в целых числах. Фалтингс решил, что ему удалось продвинуться в доказательстве Великой теоремы Ферма с помощью изучения геометрических поверхностей, связанных с различными значениями n . Поверхности, связанные с уравнениями Ферма при различных значениях n , отличаются друг от друга, но обладают одним общим свойством - у них всех имеются сквозные отверстия, или, попросту говоря, дыры. Эти поверхности четырехмерны, как и графики модулярных форм. Двумерные сечения двух поверхностей представлены на рис. 23. Поверхности, связанные с уравнением Ферма, выглядят аналогично. Чем больше значение n в уравнении, тем больше дыр в соответствующей поверхности.

Рис. 23. Эти две поверхности получены с использованием компьютерной программы «Mathematica». Каждая из них представляет геометрическое место точек удовлетворяющих уравнению x n + y n = z n (для поверхности слева n =3, для поверхности справа n =5). Переменные x и y здесь считаются комплексными

Фалтингсу удалось доказать, что, поскольку такие поверхности всегда имеют несколько дыр, связанное с ними уравнение Ферма могло бы иметь лишь конечное множество решений в целых числах. Число решений могло быть любым - от нуля, как предполагал Ферма, до миллиона или миллиарда. Таким образом, Фалтингс не доказал Великую теорему Ферма, но по крайней мере сумел отвергнуть возможность существования у уравнения Ферма бесконечно многих решений.

Пятью годами позже Мияока сообщил, что ему удалось продвинуться еще на один шаг. Ему тогда было двадцать с небольшим лет. Мияока сформулировал гипотезу относительно некоторого неравенства. Стало ясно, что доказательство его геометрической гипотезы означало бы доказательство того, что число решений уравнения Ферма не просто конечно, а равно нулю. Подход Мияоки был аналогичен подходу Уайлса в том, что они оба пытались доказать Великую теорему Ферма, связывая ее с фундаментальной гипотезой в другой области математики. У Мияоки это была алгебраическая геометрия, для Уайлса путь к доказательству лежал через эллиптические кривые и модулярные формы. К великому огорчению Уайлса, он все еще бился над доказательством гипотезы Таниямы-Шимуры, когда Мияока заявил о том, что располагает полным доказательством собственной гипотезы и, следовательно, Великой теоремы Ферма.

Через две недели после своего выступления в Бонне Мияока опубликовал пять страниц вычислений, составлявших суть его доказательства, и началась тщательнейшая проверка. Специалисты по теории чисел и алгебраической геометрии во всех странах мира изучали, строка за строкой, опубликованные вычисления. Через несколько дней математики обнаружили в доказательстве одно противоречие, которое не могло не вызывать беспокойства. Одна из частей работы Мияоки приводила к утверждению из теории чисел, из которого, при переводе на язык алгебраической геометрии, получалось утверждение, противоречившее результату, полученному несколькими годами раньше. И хотя это не обязательно обесценивало все доказательство Мияоки, обнаруженное противоречие не вписывалось в философию параллелизма между теорией чисел и геометрией.

Еще через две недели Герд Фалтингс, проложивший путь Мияоке, объявил о том, что обнаружил точную причину кажущегося нарушения параллелизма - пробел в рассуждениях. Японский математик был геометром и при переводе своих идей на менее знакомую территорию теории чисел не был абсолютно строг. Армия специалистов по теории чисел предприняла отчаянные усилия залатать прореху в доказательстве Мияоки, но тщетно. Через два месяца после того, как Мияока заявил о том, что располагает полным доказательством Великой теоремы Ферма, математическое сообщество пришло к единодушному заключению: доказательство Мияоки обречено на провал.

Как и в случае прежних несостоявшихся доказательств, Мияоке удалось получить немало интересных результатов. Отдельные фрагменты его доказательства заслуживали внимания как весьма остроумные приложения геометрии к теории чисел, и в последующие годы другие математики воспользовались ими для доказательства некоторых теорем, но доказать Великую теорему Ферма этим путем не удалось никому.

Шумиха по поводу Великой теоремы Ферма вскоре утихла, и газеты поместили краткие заметки, в которых говорилось, что трехсотлетняя головоломка по-прежнему остается нерешенной. На стене станции нью-йоркской подземки на Восьмой стрит появилась следующая надпись, несомненно, вдохновленная публикациями в прессе по поводу Великой теоремы Ферма: «Уравнение xn + yn = zn не имеет решений. Я нашел поистине удивительное доказательство этого факта, но не могу записать его здесь, так как пришел мой поезд».

Глава десятая КРОКОДИЛЬЯ ФЕРМА Они ехали по живописной дороге в машине старого Джона, сидя на задних сиденьях. За рулем был черный водитель в яркой рубахе с причудливо подстриженной головой. На бритом черепе высились кусты жестких, как проволока, черных волос, логика

Подготовка к гонке. Аляска, ферма Линды Плетнер «Айдитарод» – ежегодные гонки на собачьих упряжках на Аляске. Протяженность маршрута – 1150 миль (1800 км). Это самая длинная в мире гонка на собачьих упряжках. Старт (торжественный) – 4 марта 2000 года из Анкоридже. Старт

Козья ферма Летом в деревне немало работы. Когда мы посетили село Хомутец, там шла заготовка сена и душистые волны от свежескошенных трав, казалось, пропитали все вокруг.Травы надо скосить вовремя, чтобы они не перезрели, тогда в них сохранится все ценное, питательное. Эту

Летняя ферма Соломинка, как молния ручная, в траву стекла; Другая, расписавшись на заборе, зажгла огонь зеленого стекла Воды в корыте лошадином. В сумрак синий Бредут, покачиваясь, девять уток по колее дух параллельных линий. Вот курица уставилась в ничто одним

Разрушенная ферма Спокойное солнце цветком темно-красным Клонилось к земле, вырастая в закат, Но занавес ночи в могуществе праздном Задергивал мир, растревоживший взгляд. Безмолвье царило на ферме без крыши, Как будто ей волосы кто-то сорвал, Над кактусом бились

Ферма или подворье? 13 февраля 1958 года все центральные московские, а затем и региональные газеты опубликовали решение ЦК компартии Украины «Об ошибке при закупке коров у колхозников в Запорожской области». Речь шла даже не обо всей области, а о двух ее районах: Приморском

Проблема Ферма В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. «В школе я любил решать задачи, я брал их домой и из каждой задачи придумывал новые. Но лучшую из задач, которые мне когда-либо попадались, я обнаружил в местной

От теоремы Пифагора до Великой теоремы Ферма О теореме Пифагора и бесконечном числе пифагоровых троек шла речь в книге Э.Т. Белла «Великая проблема» - той самой библиотечной книге, которая привлекла внимание Эндрю Уайлса. И хотя пифагорейцы достигли почти полного

Математика после доказательства Великой теоремы Ферма Как ни странно, сам Уайлс испытывал по отношению к своему докладу смешанные чувства: «Случай для выступления был выбран весьма удачно, но сама лекция вызвала у меня смешанные чувства. Работа над доказательством

Глава 63 Ферма старого Макленнона Примерно через полтора месяца после возвращения в Нью-Йорк в один из "ноябрьских вечеров в квартире Леннонов раздался телефонный звонок. Трубку сняла Йоко. Мужской голос с пуэрториканским акцентом спросил Йоко Оно. Прикинувшись

Теорема Понтрягина Одновременно с Консерваторией папа учился в МГУ, на мехмате. Он с успехом его окончил и даже некоторое время колебался в выборе профессии. Победило музыковедение, в результате выигравшее от его математического склада ума.Одним из папиных сокурсников

Теорема Теорема о праве религиозного объединения выбирать священника нуждается в доказательстве. Читается она так: "Православная община создается… под духовным руководством избранного общиной и получившего благословение епархиального архиерея священника".

I. Ферма («Здесь, от куриного помета…») Здесь, от куриного помета Одно спасение - метла. Любовь - которая по счету? - Меня в курятник завела. Клюя зерно, кудахчут куры, Шагают важно петухи. И без размера и цензуры В уме слагаются стихи. О провансальском полдне

НОВОСТИ НАУКИ И ТЕХНИКИ

УДК 51:37;517.958

А.В. Коновко, к.т.н.

Академия государственной противопожарной службы МЧС России ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ДОКАЗАНА. ИЛИ НЕТ?

В течение нескольких столетий доказать, что уравнение xn+yn=zn при n>2 неразрешимо в рациональных, а значит, и целых числах не удавалось. Родилась эта задача под авторством французского юриста Пьера Ферма, который параллельно профессионально занимался математикой. Её решение признаётся за американским учителем математики Эндрю Уайлсом. Это признание длилось с 1993 по 1995 г.

THE GREAT FERMA"S THEOREM IS PROVED. OR NO?

The dramatic history of Fermat"s last theorem proving is considered. It took almost four hundred years. Pierre Fermat wrote little. He wrote in compressed style. Besides he did not publish his researches. The statement that equation xn+yn=zn is unsolvable on sets of rational numbers and integers if n>2 was attended by Fermat"s commentary that he has found indeed remarkable proving to this statement. The descendants were not reached by this proving. Later this statement was called Fermat"s last theorem. The world best mathematicians broke lance over this theorem without result. In the seventies the French mathematician member of Paris Academy of Sciences Andre Veil laid down new approaches to the solution. In 23 of June, in 1993, at theory of numbers conference in Cambridge, the mathematician of Princeton University Andrew Whiles announced that the Fermat"s last theorem proving is gotten. However it was early to triumph.

В 1621 году французским литератором и любителем математики Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком был издан греческий трактат "Арифметики" Диофанта с латинским переводом и комментариями. Роскошная, с необыкновенно широкими полями "Арифметика", попала в руки двадцатилетнему Ферма и на долгие годы стала его настольной книгой. На ее полях он оставил 48 замечаний, содержащих открытые им факты о свойствах чисел. Здесь же, на полях "Арифметики" была сформулирована великая теорема Ферма: "Невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, которое из-за недостатка места не может поместиться на этих полях". Кстати, на латыни -это выглядит таким образом: «Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».

Великий французский математик Пьер Ферма (1601-1665) развил метод определения площадей и объемов, создал новый метод касательных и экстремумов. Наряду с Декартом он стал создателем аналитической геометрии, вместе с Паскалем стоял у истоков теории вероятностей, в области метода бесконечно малых дал общее правило дифференцирования и доказал в общем виде правило интегрирования степенной функции... Но, главное, с этим именем связана одна из самых загадочных и драматичных историй, когда-либо потрясавших математику - история доказательства великой теоремы Ферма. Сейчас эту теорему выражают в виде простого утверждения: уравнение xn + yn = zn при n>2 неразрешимо в рациональных, а значит, и целых числах. Кстати, для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать среднеазиатский математик Ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

Уроженец юга Франции, Пьер Ферма получил юридическое образование и с 1631 состоял советником парламента города Тулузы (т.е. высшего суда). После рабочего дня в стенах парламента, он принимался за математику и тут же погружался в совершенно другой мир. Деньги, престиж, общественное признание - все это не имело для него никакого значения. Наука никогда не становилась для него заработком, не превращалась в ремесло, всегда оставаясь лишь захватывающей игрой ума, понятной лишь единицам. С ними он и вел свою переписку.

Ферма никогда не писал научных работ в нашем привычном понимании. А в его переписке с друзьями всегда присутствует некоторый вызов, даже своеобразная провокация, а отнюдь не академическое изложение проблемы и ее решения. Потому многие из его писем впоследствии так и стали именоваться: вызовом.

Быть может, именно поэтому он так и не осуществил своего намерения написать специальное сочинение по теории чисел. А между тем это была его любимейшая область математики. Именно ей Ферма посвятил самые вдохновенные строки своих писем. "Арифметика, - писал он, - имеет свою собственную область, теорию целых чисел. Эта теория была лишь слегка затронута Евклидом и не была достаточно разработана его последователями (если только она не содержалась в тех работах Диофанта, которых нас лишило разрушительное действие времени). Арифметики, следовательно, должны ее развить и возобновить".

Отчего же сам Ферма не боялся разрушительного действия времени? Писал он мало и всегда очень сжато. Но, самое главное, он не публиковал свои работы. При его жизни они циркулировали лишь в рукописях. Не удивительно поэтому, что результаты Ферма по теории чисел дошли до нас в разрозненном виде. Но, вероятно, прав был Булгаков: великие рукописи не горят! Работы Ферма остались. Они остались в его письмах к друзьям: лионскому учителю математики Жаку де Билли, сотруднику монетного двора Бернар Френикель де Бесси, Марсенни, Декарту, Блез Паскалю... Осталась "Арифметика" Диофанта с его замечаниями на полях, которые после смерти Ферма, вошли вместе с комментариями Баше в новое издание Диофанта, выпущенное старшим сыном Самюэлем в 1670 году. Не сохранилось только самого доказательства.

За два года до смерти Ферма отправил своему другу Каркави письмо-завещание, которое вошло в историю математики под названием «Сводка новых результатов в науке о числах». В этом письме Ферма доказал свое знаменитое утверждение для случая п = 4. Но тогда его интересовало, скорее всего, не само утверждение, а открытый им метод доказательств, названный самим Ферма бесконечным или неопределенным спуском.

Рукописи не горят. Но, если бы не самоотверженность Самюэля, собравшего после смерти отца все его математические наброски и небольшие трактаты, а затем издавшего их в 1679 году под названием «Разные математические сочинения», ученым математикам многое бы пришлось открывать и переоткрывать заново. Но и после их издания проблемы, поставленные великим математиком, пролежали без движения более семидесяти лет. И это не удивительно. В том виде, в каком они появились в печати, теоретико-числовые результаты П. Ферма предстали перед специалистами в виде серьезных, далеко не всегда понятных современникам проблем, почти без доказательств, и указаний на внутренние логические связи между ними. Возможно, в отсутствии стройной, продуманной теории и кроется ответ на вопрос, отчего сам Ферма так и не собрался издать книгу по теории чисел. Через семьдесят лет этими работами заинтересовался Л. Эйлер, и это было воистину их вторым рождением...

Математика дорого заплатила за своеобразную манеру Ферма излагать свои результаты, как будто специально опуская их доказательства. Но, если уж Ферма утверждал, что доказал ту или иную теорему, то впоследствии эту теорему обязательно доказывали. Однако с великой теоремой получилась заминка.

Загадка всегда будоражит воображение. Целые континенты покорила загадочная улыбка Джоконды; теория относительности, как ключ к загадке пространственно-временных связей стала самой популярной физической теорией века. И можно смело утверждать, что не было другой такой математической проблемы, которая была бы столь популярна, как вели__93

Научные и образовательные проблемы гражданской защиты

кая теорема Ферма. Попытки доказать ее привели к созданию обширного раздела математики - теории алгебраических чисел, но (увы!) сама теорема оставалась недоказанной. В 1908 году немецкий математик Вольфскель завещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Это была огромная по тем временам сумма! В один момент можно было стать не только знаменитым, но и сказочно разбогатеть! Не удивительно поэтому, что гимназисты даже далекой от Германии России наперебой бросились доказывать великую теорему. Что уж говорить о профессиональных математиках! Но...тщетно! После Первой мировой войны деньги обесценились, и поток писем с псевдодоказательствами начал иссякать, хотя совсем, конечно, так и не прекратился. Рассказывают, что известный немецкий математик Эдмунд Ландау заготовлял печатные формуляры для рассылки авторам доказательств теоремы Ферма: "На стр. ... , в строке... имеется ошибка". (Находить ошибку поручалось доценту.) Курьезов и анекдотов, связанных с доказательством этой теоремы, набралось столько, что из них можно было бы составить книгу. Последним анекдотом выглядит детектив А. Марининой «Стечение обстоятельств», экранизированный и прошедший по телеэкранам страны в январе 2000 года. В нем недоказанную всеми своими великими предшественниками теорему доказывает наш с вами соотечественник и претендует за это на Нобелевскую премию. Как известно, изобретатель динамита проигнорировал в своем завещании математиков, так что автор доказательства мог претендовать разве что на Филдсовскую золотую медаль - высшую международную награду, утвержденную самими математиками в 1936 году.

В классической работе выдающегося отечественного математика А.Я. Хинчина, посвященной великой теореме Ферма, даются сведения по истории этой проблемы и уделяется внимание методу, которым мог пользоваться Ферма при доказательстве своей теоремы. Приводятся доказательство для случая п = 4 и краткий обзор других важнейших результатов.

Но к моменту написания детектива, а тем более, к моменту его экранизации общее доказательство теоремы было уже найдено. 23 июня 1993 года на конференции по теории чисел в Кембридже математик из Принстона Эндрю Уайлс анонсировал, что доказательство великой теоремы Ферма получено. Но совсем не так, как «обещал» сам Ферма. Тот путь, по которому пошел Эндрю Уайлс, основывался отнюдь не на методах элементарной математики. Он занимался так называемой теорией эллиптических кривых.

Чтобы получить представление об эллиптических кривых, необходимо рассмотреть плоскую кривую, заданную уравнением третьей степени

У(х,у) = а30Х + а21х2у+ ... + а1х+ а2у + а0 = 0. (1)

Все такие кривые разбиваются на два класса. К первому классу относятся те кривые, у которых имеются точки заострения (как, например, полукубическая парабола у2 = а2-Х с точкой заострения (0; 0)), точки самопересечения (как Декартов лист х3+у3-3аху = 0, в точке (0; 0)), а также кривые, для которых многочлен Дх,у) представляется в виде

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

где ^(х,у) и ^(х,у) - многочлены меньших степеней. Кривые этого класса называются вырожденными кривыми третьей степени. Второй класс кривых образуют невырожденные кривые; мы будем называть их эллиптическими. К таковым может быть отнесен, например, Локон Аньези (х2 + а2)у - а3 = 0). Если коэффициенты многочлена (1) - рациональные числа, то эллиптическая кривая может быть преобразована к так называемой канонической форме

у2= х3 + ах +Ь. (2)

В 1955 году японскому математику Ю. Танияме (1927-1958) в рамках теории эллиптических кривых удалось сформулировать гипотезу, которая открыла путь для доказательства теоремы Ферма. Но об этом не подозревал тогда ни сам Танияма, ни его коллеги. Почти двадцать лет эта гипотеза не привлекала к себе серьезного внимания и стала популярной лишь в середине 70-х годов. В соответствии с гипотезой Таниямы всякая эллиптическая

кривая с рациональными коэффициентами является модулярной. Однако пока что формулировка гипотезы мало говорит дотошному читателю. Потому потребуются некоторые определения.

С каждой эллиптической кривой можно связать важную числовую характеристику - ее дискриминант. Для кривой, заданной в канонической форме (2), дискриминант А определяется формулой

А = -(4а + 27b2).

Пусть Е - некоторая эллиптическая кривая, заданная уравнением (2), где а и b - целые числа.

Для простого числа р рассмотрим сравнение

y2 = х3 + ах + b(mod p), (3)

где а и b - остатки от деления целых чисел а и b на р, и обозначим через np число решений этого сравнения. Числа пр очень полезны при исследовании вопроса о разрешимости уравнений вида (2) в целых числах: если какое-то пр равно нулю, то уравнение (2) не имеет целочисленных решений. Однако вычислить числа пр удается лишь в редчайших случаях. (В то же время известно, что р-п| < 2Vp (теоремаХассе)).

Рассмотрим те простые числа р, которые делят дискриминант А эллиптической кривой (2). Можно доказать, что для таких р многочлен х3 + ах + b можно записать одним из двух способов:

х3 + ах + b = (х + а)2 (х + ß)(mod Р)

х3 + ах + b = (х + у)3 (mod p),

где а, ß, у - некоторые остатки от деления на р. Если для всех простых р, делящих дискриминант кривой, реализуется первая из двух указанных возможностей, то эллиптическая кривая называется полустабильной.

Простые числа, делящие дискриминант, можно объединить в так называемый кондуктор эллиптической кривой. Если Е - полустабильная кривая, то ее кондуктор N задается формулой

где для всех простых чисел p > 5, делящих А, показатель еР равен 1. Показатели 82 и 83 вычисляются с помощью специального алгоритма.

По существу - это всё, что необходимо для понимания сути доказательства. Однако в гипотезе Таниямы присутствует непростое и в нашем случае ключевое понятие модулярности. Поэтому забудем на время об эллиптических кривых и рассмотрим аналитическую функцию f (т.е. ту функцию, которая может быть представлена степенным рядом) комплексного аргумента z, заданного в верхней полуплоскости.

Обозначим через Н верхнюю комплексную полуплоскость. Пусть N - натуральное и к - целое числа. Модулярной параболической формой веса к уровня N называется аналитическая функцияf(z), заданная в верхней полуплоскости и удовлетворяющая соотношению

f = (cz + d)kf (z) (5)

для любых целых чисел а, b, с, d таких, что аё - bc = 1 и с делится на N. Кроме того, предполагается, что

lim f (r + it) = 0,

где r - рациональное число, и что

Пространство модулярных параболических форм веса k уровня N обозначается через Sk(N). Можно показать, что оно имеет конечную размерность.

В дальнейшем нас будут особо интересовать модулярные параболические формы веса 2. Для малых N размерность пространства S2(N) представлена в табл. 1. В частности,

Размерности пространства S2(N)

Таблица 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

Из условия (5) следует, что % + 1) = для каждой формы f е S2(N). Стало быть, f является периодической функцией. Такую функцию можно представить в виде

Назовем модулярную параболическую форму А^) в S2(N) собственной, если ее коэффициенты - целые числа, удовлетворяющие соотношениям:

а г ■ а = а г+1 ■ р ■ с Г_1 для простого р, не делящего число N; (8)

(ap) для простого р, делящего число N;

атп = ат ап, если (т,п) = 1.

Сформулируем теперь определение, играющее ключевую роль в доказательстве теоремы Ферма. Эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами и кондуктором N называется модулярной, если найдется такая собственная форма

f (z) = ^anq" g S2(N),

что ар = р - пр для почти всех простых чисел р. Здесь пр - число решений сравнения (3).

Трудно поверить в существование хотя бы одной такой кривой. Представить, что найдется функция А(г), удовлетворяющая перечисленным жестким ограничениям (5) и (8), которая разлагалась бы в ряд (7), коэффициенты которой были бы связаны с практически невычислимыми числами Пр, довольно сложно. Но смелая гипотеза Таниямы отнюдь не ставила под сомнение факт их существования, а накопленный временем эмпирический материал блестяще подтвердил ее справедливость. После двух десятилетий почти полного забвения гипотеза Таниямы получила в работах французского математика, члена Парижской Академии наук Андре Вейля как бы второе дыхание.

Родившийся в 1906 году А. Вейль стал со временем одним из основателей группы математиков, выступавших под псевдонимом Н. Бурбаки. С 1958 года А. Вейль становится профессором Принстонского института перспективных исследований. И к этому же периоду относится возникновение его интереса к абстрактной алгебраической геометрии. В семидесятые годы он обращается к эллиптическим функциям и гипотезе Таниямы. Монография, посвященная эллиптическим функциям, была переведена у нас, в России . В своем увлечении он не одинок. В 1985 году немецкий математик Герхард Фрей предположил, что если теорема Ферма неверна, то есть если найдется такая тройка целых чисел а, Ь, с, что а" + Ьп = = с" (п > 3), то эллиптическая кривая

у2 = х (х - а")-(х - сп)

не может быть модулярной, что противоречит гипотезе Таниямы. Самому Фрею не удалось доказать это утверждение, однако вскоре доказательство было получено американским математиком Кеннетом Рибетом. Другими словами, Рибет показал, что теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы.

Он сформулировал и доказал следующую теорему:

Теорема 1 (Рибет). Пусть Е - эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами, имеющая дискриминант

и кондуктор

Предположим, что Е является модулярной, и пусть

/ (г) = q + 2 аАп е ^ (N)

есть соответствующая собственная форма уровня N. Фиксируем простое число £, и

р:еР =1;- " 8 р

Тогда существует такая параболическая форма

/(г) = 2 dnqn е N)

с целыми коэффициентами, что разности ап - dn делятся на I для всех 1 < п<ад.

Ясно, что если эта теорема доказана для некоторого показателя, то тем самым она доказана и для всех показателей, кратных п. Так как всякое целое число п > 2 делится или на 4, или на нечетное простое число, то можно поэтому ограничиться случаем, когда показатель равен либо 4, либо нечетному простому числу. Для п = 4 элементарное доказательство теоремы Ферма было получено сначала самим Ферма, а потом Эйлером. Таким образом, достаточно изучить уравнение

а1 + Ь1 =с1, (12)

в котором показатель I есть нечетное простое число.

Теперь теорему Ферма можно получить простыми вычислениями (2).

Теорема 2. Из гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптических кривых следует последняя теорема Ферма.

Доказательство. Предположим, что теорема Ферма неверна, и пусть есть соответствующий контрпример (как и выше, здесь I - нечетное простое число). Применим теорему 1 к эллиптической кривой

у2 = х (х - ае) (х - с1).

Несложные вычисления показывают, что кондуктор этой кривой задается формулой

Сравнивая формулы (11) и (13), мы видим, что N = 2. Следовательно, по теореме 1 найдется параболическая форма

лежащая в пространстве 82(2). Но в силу соотношения (6) это пространство нулевое. Поэтому dn = 0 для всех п. В то же время а^ = 1. Стало быть, разность аг - dl = 1 не делится на I и мы приходим к противоречию. Таким образом, теорема доказана.

Эта теорема давала ключ к доказательству великой теоремы Ферма. И все же сама гипотеза оставалась все ещё недоказанной.

Анонсировав 23 июня 1993 года доказательство гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптический кривых, к которым относятся и кривые вида (8), Эндрю Уайлс поторопился. Математикам было рано праздновать победу.

Быстро закончилось теплое лето, осталась позади дождливая осень, наступила зима. Уайлс писал и переписывал набело окончательный вариант своего доказательства, но дотошные коллеги находили в его работе все новые и новые неточности. И вот, в начале декабря 1993 года, за несколько дней до того, как рукопись Уайлса должна была пойти в печать, в его доказательстве были вновь обнаружены серьезные пробелы. И тогда Уайлс понял, что за день-два он уже не сможет ничего исправить. Здесь требовалась серьезная доработка. Публикацию работы пришлось отложить. Уайлс обратился за помощью к Тейлору. «Работа над ошибками» заняла больше года. Окончательный вариант доказательства гипотезы Таниямы, написанный Уайлсом в сотрудничестве с Тейлором, вышел в свет лишь летом 1995 года.

В отличие от героя А. Марининой Уайлс не претендовал на Нобелевскую премию, но, все же... какой-то наградой его должны были отметить. Вот только какой? Уайлсу в то время уже перевалило на пятый десяток, а золотые медали Филдса вручаются строго до сорока лет, пока еще не пройден пик творческой активности. И тогда для Уайлса решили учредить специальную награду - серебряный знак Филдсовского комитета. Этот знак и был вручен ему на очередном конгрессе по математике в Берлине.

Из всех проблем, способных с большей или меньшей вероятностью занять место великой теоремы Ферма, наибольшие шансы имеет проблема плотнейшей упаковки шаров. Проблему плотнейшей упаковки шаров можно сформулировать как задачу о том, как наиболее экономно сложить из апельсинов пирамиду. Молодым математикам такая задача досталась в наследство от Иоганна Кеплера. Проблема родилась в 1611 году, когда Кеплер написал небольшое сочинение «О шестиугольных снежинках». Интерес Кеплера к расположению и самоорганизации частиц вещества и привел его к обсуждению другого вопроса - о плотней-шей упаковке частиц, при которой они занимают наименьший объем. Если предположить, что частицы имеют форму шаров, то ясно, что как бы они ни располагались в пространстве, между ними неизбежно останутся зазоры, и вопрос состоит в том, чтобы объем зазоров свести к минимуму. В работе , например, утверждается (но не доказывается), что такой формой является тетраэдр, оси координат внутри которого определяют базисный угол ортогональности в 109о28", а не 90о. Эта проблема имеет огромное значение для физики элементарных частиц, кристаллографии и др. разделов естествознания.

Литература

1. Вейль А. Эллиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру. - М., 1978.

2. Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал. - № 2. - 1998. - С. 78-95.

3. Сингх С. Великая теорема Ферма. История загадки, которая занимала лучшие умы мира на протяжении 358 лет / Пер. с англ. Ю.А. Данилова. М.: МЦНМО. 2000. - 260 с.

4. Мирмович Э.Г., Усачёва Т.В. Алгебра кватернионов и трёхмерные вращения // Настоящий журнал № 1(1), 2008. - С. 75-80.

В мире можно найти не так уж много людей, ни разу не слы­шавших о Великой теореме Ферма - пожалуй, это единственная математическая задача, получившая столь широкую известность и ставшая настоящей легендой. О ней упоминается во множестве книг и фильмов, при этом главный контекст почти всех упоми­наний - невозможность доказать теорему .

Да, эта теорема очень известна и в некотором смысле стала «идолом», которому поклоняются математики-любители и про­фессионалы, но мало кому известно о том, что ее доказательство найдено, а произошло это в уже далеком 1995 году. Но обо всем по порядку.

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма , очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула a n +b n =c n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

Сам Ферма утверждал, что вывел весьма простое и лаконич­ное доказательство своей теории, однако до сих пор не найдено никаких документальных свидетельств этого факта. Поэтому сейчас считается, что сам Ферма так и не смог найти общего решения своей теоремы , хотя из-под его пера вышло частное доказательство для n = 4.

После Ферма над поиском доказательства работали такие ве­ликие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3), Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению

Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказа­тельства последней теоремы Ферма практически закончилась.

В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма , работа над которым продолжалась более семи лет. Но оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправлен­ное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась - последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математи­ческой точки зрения, вариант доказательства.

С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Фер­ма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении - мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц! Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессио­нальные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного до­казательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...

Поскольку мало кто владеет математическим мышлением, то я расскажу о наикрупнейшем научном открытии – элементарном доказательстве Великой теоремы Ферма – на самом понятном, школьном, языке.

Доказательство было найдено для частного случая (для простой степени n>2), к которому (и к случаю n=4) легко сводятся и все случаи с составным n.

Итак, нужно доказать, что уравнение A^n=C^n-B^n решения в целых числах не имеет. (Здесь значок ^ означает степень.)

Доказательство проводится в системе счисления с простым основанием n. В этом случае в каждой таблице умножения последние цифры не повторяются. В обычной, десятичой системе, ситуация иная. Например, при умножении числа 2 и на 1, и на 6 оба произведения – 2 и 12 – оканчиваются на одинаковые цифры (2). А, например, в семеричной системе для цифры 2 все последние цифры разные: 0х2=...0, 1х2=...2, 2х2=...4, 3х2=...6, 4х2=...1, 5х2=...3, 6х2=...5, с набором последних цифр 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Благодаря этому свойству для любого числа А, не оканчивающегося на ноль (а в равенстве Ферма последняя цифра чисел А, ну или В, после деления равенства на общий делитель чисел А, В, С нулю не равна), можно подобрать такое множитель g, что число Аg будет иметь сколь угодно длинное окончание вида 000...001. Вот на такое число g мы и умножим все числа-основания A, B, C в равенстве Ферма. При этом единичное окончание сделаем достаточно длинным, а именно на две цифры длиннее, чем число (k) нулей на конце числа U=А+В-С.

Число U нулю не равно – иначе С=А+В и A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

Вот, собственно, и вся подготовка равенства Ферма для краткого и завершающего исследования. Единственное, что мы еще сделаем: перепишем правую часть равенства Ферма – C^n-B^n, – используя школьную формулу разложения: C^n-B^n=(С-В)Р, или аР. А поскольку далее мы будем оперировать (умножать и складывать) только с цифрами (k+2)-значных окончаний чисел А, В, С, то их головные части можем в расчет не принимать и просто их отбросить (оставив в памяти лишь один факт: левая часть равенства Ферма является СТЕПЕНЬЮ).

Единственное, о чем стоит сказать еще, это о последних цифрах чисел а и Р. В исходном равенстве Ферма число Р оканчивается на цифру 1. Это следует из формулы малой теоремы Ферма, которую можно найти в справочниках. А после умножения равенства Ферма на число g^n число Р умножатеся на число g в степени n-1, которое, согласно малой теореме Ферма, также оканчивается на цифру 1. Так что и в новом эквивалентном равенстве Ферма число Р оканчивается на 1. И если А оканчивается на 1, то и A^n тоже оканчивается на 1 и, следовательно, число а тоже оканчивается на 1.

Итак, мы имеем стартовую ситуацию: последние цифры А", а", Р" чисел А, а, Р оканчиваются на цифру 1.

Ну а дальше начинается милая и увлекательная операция, называемая в преферансе «мельницей»: вводя в рассмотрение последующие цифры а"", а""" и так далее числа а, мы исключительно «легко» вычисляем, что все они также равны нулю! Слово «легко» я взял в кавычки, ибо ключ к этому «легко» человечество не могло найти в течение 350 лет! А ключик действительно оказался неожиданно и ошарашивающе примитивным: число Р нужно представить в виде P=q^(n-1)+Qn^(k+2). На второй член в этой сумме обращить внимание не стоит – ведь в дальнейшем доказательстве мы все цифры после (k+2)-й в числах отбросили (и это кардинально облегчает анализ)! Так что после отбрасывания головных частей чисел равенство Ферма принимает вид: ...1=аq^(n-1), где а и q – не числа, а всего лишь окончания чисел а и q! (Новые обозначения не ввожу, так это затрудняет чтение.)

Остается последний философский вопрос: почему число Р можно представить в виде P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? Ответ простой: потому что любое целое число Р с 1 на конце можно представить в таком виде, причем ТОЖДЕСТВЕННО. (Можно представить и многими другими способами, но нам это не нужно.) Действительно, для Р=1 ответ очевиден: P=1^(n-1). Для Р=hn+1 число q=(n-h)n+1, в чем легко убедиться, решая уравнение [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 по двузначным окончаниям. И так далее (но в дальнейших вычислениях у нас необходимости нет, так как нам понадобится представление лишь чисел вида Р=1+Qn^t).

Уф-ф-ф-ф! Ну вот, философия кончилась, можно перейти к вычислениям на уровне второго класса, разве что лишь еще раз вспомнить формулу бинома Ньютона.

Итак, введем в расмотрение цифру а"" (в числе а=а""n+1) и с ее помощью вычислим цифру q"" (в числе q=q""n+1):
...01=(а""n+1)(q""n+1)^(n-1), или...01=(а""n+1)[(n-q"")n+1], откуда q""=a"".

И теперь правую часть равенства Ферма можно переписать в виде:
A^n=(а""n+1)^n+Dn^(k+2), где значение числа D нас не интересует.

А вот теперь мы переходим к решающему выводу. Число а""n+1 является двузначным окончанием числа А и, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, согласно простой лемме ОДНОЗНАЧНО определяет ТРЕТЬЮ цифру степени A^n. И более того, из разложения бинома Ньютона
(а""n+1)^n, учитывая, что к каждому члену разложения (кроме первого, что погоды изменить уже не может!) присоединяется ПРОСТОЙ сомножитель n (основание счисления!), видно, что эта третья цифра равна а"". Но с помощью умножения равенства Ферма на g^n мы k+1 цифру перед последней 1 в числе А превратили в 0. И, следовательно, а""=0!!!

Тем самым мы завершили цикл: введя а"", мы нашли, что и q""=а"", а в заключение и а""=0!

Ну и остается сказать, что проведя совершенно аналогичные вычисления и последующих k цифр, мы получаем заключительное равенство: (k+2)-значное окончание числа а, или С-В, – так же, как и числа А, – равно 1. Но тогда (k+2)-я цифра числа С-А-В РАВНА нулю, в то время как она нулю НЕ РАВНА!!!

Вот, собственно, и всё доказательство. Для его понимания вовсе не требуется иметь высшее образование и, тем более, быть профессиональным математиком. Тем не менее, профессионалы помалкивают...

Удобочитаемый текст полного доказательства расположен здесь:

Рецензии

Здравствуйте, Виктор. Мне понравилось Ваше резюме. "Не позволить умереть раньше смерти" - здорово, конечно, звучит. От встречи на Прозе с теоремой Ферма, честно говоря, обалдела! Разве ей здесь место? Есть научные, научно-популярные и чайниковые сайты. А в остальном, спасибо за Вашу литературную работу.
С уважением, Аня.

Уважаемая Аня, несмотря на довольно жесткую цензуру, Проза позволяет писать ОБО ВСЕМ. С теоремой Ферма положение таково: крупные математические форумы к ферматистам относятся косо, с хамством и в целом третируют, как могут. Однако на мелких российских, английских и французских форумах я последний вариант доказательства представил. Никаких контрдоводов никто пока не выдвинул, да и, уверен, не выдвинет (доказательство проверено весьма тщательно). В субботу опубликую философскую заметку о теореме.
На прозе почти нет хамов, и если с ними не якшаться, то довольно скоро они отлипают.
На Прозе представлены почти все мои работы, поэтому и доказательство также поместил сюда.
До скорого,

Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.


Почему она так знаменита? Сейчас узнаем...



Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?

Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.

В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.


То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²

Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.

Ну и так далее. А если взять похожее уравнение x³+y³=z³ ? Может, тоже есть такие числа?




И так далее (рис.1).

Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.

Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?

Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.

В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):


А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:





А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».

Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.

После Ферма над поиском доказательства работали такие ве­ликие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),

Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказа­тельства последней теоремы Ферма практически закончилась.

Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…

В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.


Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.

В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.

Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…

Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:


Уважаемый(ая) . . . . . . . .

Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау











В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.

В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.




В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.

Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы–Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.

В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.

В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.

Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы–Симуры.

В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.







Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.

Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправлен­ное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математи­ческой точки зрения, вариант доказательства.

«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?






На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».

С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Фер­ма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!

Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессио­нальные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного до­казательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...