С каква стойност на параметъра едно уравнение АХ. Уравнения с параметър
Изглед уравнение е.(х.; а.) \u003d 0 наречен от променливото уравнение х. и параметър но.
Решаване на уравнение с параметър но - това означава за всяка стойност но Намерете стойностите х.удовлетворяване на това уравнение.
Пример 1. о.= 0
Пример 2. о. = но
Пример 3.
x + 2 \u003d ah
X - AH \u003d -2
X (1 - а) \u003d -2
Ако 1 - но \u003d 0, т.е. но \u003d 1, тогава х.0 \u003d -2 корени не
Ако 1 - но 0, т.е. но 1, Т. х. =
Пример 4.
(но 2 – 1) х. = 2но 2 + но – 3
(но – 1)(но + 1)х. = 2(но – 1)(но – 1,5)
(но – 1)(но + 1)х. = (1но – 3)(но – 1)
Ако но\u003d 1, след това 0 х. = 0
х. - всеки валиден номер
Ако но \u003d -1, след това 0 х. = -2
Няма корени
Ако но 1, но -1, Т. х. \u003d (Едно решение).
Това означава, че всяка валидна стойност но съответства на единствената стойност х..
Например:
ако но \u003d 5, тогава х. = = ;
ако но \u003d 0, тогава х. \u003d 3 и т.н.
Дидактичен материал
1. о. = х. + 3
2. 4 + о. = 3х. – 1
3. но = +
за но \u003d 1 корени не.
за но \u003d 3 корени не.
за но = 1 х. - всеки валиден номер освен х. = 1
за но = -1, но \u003d 0 решения №.
за но = 0, но \u003d 2 решения №.
за но = -3, но = 0, 5, но \u003d -2 решения не
за но = -от, от \u003d 0 решения №.
Квадратни уравнения с параметър
Пример 1. Решаване на уравнение
(но – 1)х. 2 = 2(2но + 1)х. + 4но + 3 = 0
За но = 1 6х. + 7 = 0
Кога но 1 подчертайте стойностите на параметъра, в който Д. Изтеглена до нула.
D \u003d (2 (2 но + 1)) 2 – 4(но – 1)(4но + 30 = 16но 2 + 16но + 4 – 4(4но 2 + 3но – 4но – 3) = 16но 2 + 16но + 4 – 16но 2 + 4но + 12 = 20но + 16
20но + 16 = 0
20но = -16
Ако но < -4/5, то Д. < 0, уравнение имеет действительный корень.
Ако но \u003e -4/5 I. но 1, Т. Д. > 0,
х. = 
Ако но \u003d 4/5, тогава Д. = 0,
Пример 2. При какви стойности на параметъра и уравнението
x 2 + 2 ( но + 1)х. + 9но - 5 \u003d 0 има 2 различни отрицателни корен?
D \u003d 4 ( но + 1) 2 – 4(9но – 5) = 4но 2 – 28но + 24 = 4(но – 1)(но – 6)
4(но – 1)(но – 6) > 0
от t. Vieta: х. 1 + х. 2 = -2(но + 1)
х. 1 х. 2 = 9но – 5
Чрез условие х. 1 < 0, х. 2 < 0 то –2(но + 1) < 0 и 9но – 5 > 0
| В крайна сметка | 4(но – 1)(но – 6) > 0 - 2(но + 1) < 0 9но – 5 > 0 |
но < 1: а > 6 но > - 1 но > 5/9 |
 (Фиг. един) < а. < 1, либо а. > 6 |
Пример 3. Намерете стойностите нопри което това уравнение има решение.
x 2 - 2 ( но – 1)х. + 2но + 1 = 0
D \u003d 4 ( но – 1) 2 – 4(2но + 10 = 4но 2 – 8но + 4 – 8но – 4 = 4но 2 – 16но
4но 2 – 16 0
4но(но – 4) 0
но( но – 4)) 0
но( но – 4) = 0
a \u003d 0 или но – 4 = 0
но = 4
(Фиг. 2.)
Отговор: но 0 I. но 4
Дидактичен материал
1. С каква стойност но уравнението о. 2 – (но + 1) х. + 2но - 1 \u003d 0 има един корен?
2. с каква стойност но уравнението ( но + 2) х. 2 + 2(но + 2)х. + 2 \u003d 0 има един корен?
3. При какви стойности и уравнението ( но 2 – 6но + 8) х. 2 + (но 2 – 4) х. + (10 – 3но – но 2) \u003d 0 има повече от два корена?
4. При какви стойности и уравнение 2 х. 2 + х. – но \u003d 0 има поне един общ корен с уравнение 2 х. 2 – 7х. + 6 = 0?
5. При какви стойности и уравненията х. 2 +о. + 1 \u003d 0 и х. 2 + х. + но \u003d 0 Имате поне един общ корен?
1. Ply. но = - 1/7, но = 0, но = 1
2. Ply. но = 0
3. Ply. но = 2
4. Ply. но = 10
5. Ply но = - 2
Индикативни уравнения с параметър
Пример 1., Вижте всички ценности нов което уравнение
9 x - ( но + 2) * 3 x-1 / x +2 но* 3 -2 / x \u003d 0 (1) Има точно два корена.
Решение. Умножаване на двете части на уравнение (1) с 3 2 / х, ние получаваме еквивалентно уравнение
3 2 (x + 1 / x) - ( но + 2) * 3 x + 1 / x + 2 но = 0 (2)
Нека 3 x + 1 / x \u003d w., тогава уравнението (2) ще бъде изглед w. 2 – (но + 2)w. + 2но \u003d 0, или
(w. – 2)(w. – но) \u003d 0, откъде w. 1 =2, w. 2 = но.
Ако w. \u003d 2, т.е. 3 x + 1 / x \u003d 2 х. + 1/х. \u003d log 3 2, или х. 2 – х.log 3 2 + 1 \u003d 0.
Това уравнение няма валидни корени, тъй като то Д. \u003d log 2 3 2 - 4< 0.
Ако w. = но. 3 x + 1 / x \u003d но че х. + 1/х. \u003d log 3. но, или х. 2 – Х.log 3 a + 1 \u003d 0. (3)
Уравнение (3) има точно два корена, ако и само когато
D \u003d log 2 3 2 - 4\u003e 0, или | log 3 a | \u003e 2.
Ако регистрирате 3 A\u003e 2, тогава но \u003e 9 и ако дневник 3 a< -2, то 0 < но < 1/9.
Отговор: 0.< но < 1/9, но > 9.
Пример 2.. При какви стойности и уравнение 2 2x - ( но -3) 2 x - 3 но \u003d 0 има решения?
За да може дадено уравнение да има решения, е необходимо и достатъчно за уравнението t. 2 – (а -3) t. – 3а. \u003d 0 имаше поне един положителен корен. Ще намерим корените на теоремата на Виета: х. 1 = -3, х. 2 = но = >
а е положително число.
Отговор: Ply. но > 0
Дидактичен материал
1. Намерете всички стойности на А, при което уравнението
25 x - (2 но + 5) * 5 x-1 / x + 10 но * 5 -2 / x \u003d 0 има точно 2 решения.
2. При какви стойности и уравнението
2 (A-1) X +2 (A + 3) X + A \u003d 1/4 има единствения корен?
3. При какви стойности на параметъра и уравнението
4 x - (5 но-3) 2 x +4 но 2 – 3но \u003d 0 има едно решение?
Логаритмични уравнения с параметър
Пример 1. Намерете всички стойности нов което уравнение
log 4x (1 + о.) = 1/2 (1)
той има едно решение.
Решение. Уравнение (1) е еквивалентно на уравнение
1 + о. = 2х. за х. > 0, х. 1/4 (3)
х. = w.
aU 2 - w. + 1 = 0 (4)
Не (2) условие от (3).
Нека бъде но 0, Т. aU 2. – 2w. + 1 \u003d 0 има валидни корени, ако и само когато Д. = 4 – 4но 0, т.е. за но 1. за решаване на неравенството (3), ние изграждаме графики на функции Галица М.л., Мошков.М., Шварцбург с.И.Задълбочено проучване на алгебрата и математическия анализ. - m.: Просвещение, 1990
Разгледайте сега квадратното уравнение
къде е неизвестна стойност - параметри (коефициенти) на уравнението.
Критичните стойности на параметъра включват преди всичко стойността на определената стойност на уравнението на параметрите (1)
следователно редът на уравнението намалява на единица. Уравнение (2) е линейно уравнение И методът на неговото решение беше разгледан по-рано.
С други критични стойности на параметрите се определят от дискриминацията на уравнението. Известно е, че с уравнение (1) няма корени; Когато има единственият корен с уравнение (1) има два различни корена и
един). Намерете всички стойности на параметрите за квадратно уравнение
а) има два различни корена;
б) няма корени;
б) има два равни корени.
Решение. Това уравнение чрез състояние е квадратно и следователно разглежда дискриминацията на това уравнение
Уравнението има две различни корени, защото
Коренното уравнение няма, защото Това квадратно уравнение не може да има два равни корени, защото Когато противоречи на състоянието на проблема.
Отговор: Уравнението има две различни корени.
С коренното уравнение няма.
2). Дръжте уравнението. За всяка допустима стойност на параметрите за решаване на уравнението
Решение. Разгледайте първо случая, когато
(В този случай първоначалното уравнение става линейно уравнение). По този начин стойността на параметъра е нейните критични стойности. Ясно е, че в корена на това уравнение е и когато се корени
Ако тези. И тогава това уравнение е квадрат. Намираме го дискриминантност:
С всички стойности дискриминацията поема неотрицателни стойности и се отнася до нула при (тези стойности на параметрите също са критични стойности).
Следователно, ако това уравнение има единствения корен
В този случай стойността на параметъра съответства на корена
и стойността съответства на корена
Ако уравнението има два различни корена. Ние намираме тези корени.
Отговор. Ако тогава, ако тогава, тогава
ако това.
3). Дръжте уравнението. При какви стойности на параметъра но Уравнението има едно решение?
Решение. Това уравнение е еквивалентно на системата
Наличието на квадратно уравнение и състоянието на уникалността на решението естествено ще доведе до търсене на корените на дискриминацията. Въпреки това, състоянието x ≠ -3 трябва да привлече вниманието. И "финият момент" е, че квадратното уравнение на системата може да има два корена! Но задължително само един от тях трябва да бъде -3. . \\ T
D \u003d но 2 - 4, следователно d \u003d 0, ако но \u003d ± 2; X \u003d -3 - коренът на уравнението x 2 - ноx +1 \u003d 0, когато
но \u003d -10/3, и с това значение но Вторият корен на квадрата е различен
Отговор. но \u003d ± 2 или но = -10/3.
4). Дръжте уравнението. При какви стойности на параметъра но уравнението
(но- 2)х. 2 + (4 - 2но) х. +3 \u003d 0 има едно решение?
Решение. Ясно е, че трябва да започнете с случая но \u003d 2. но кога a \u003d 2. Първоначалното уравнение изобщо няма решения. Ако а ≠ 2.Това уравнение е квадратно, и изглежда, желаните стойности на параметъра са корените на дискриминацията. Въпреки това, дискриминантните жалби за нула, когато a \u003d 2. или a \u003d 5.. Тъй като ние сме установили това a \u003d 2. не е подходящ тогава
Отговор, A \u003d 5.
9). Дръжте уравнението. При какви стойности на параметъра но уравнението о. 2 - 4х. + но + 3 \u003d 0 има повече от един корен?
Решение. За но \u003d 0 Уравнението има единственият корен, който не отговаря на състоянието. За но ≠ 0 първоначалното уравнение, което е квадрат, има два корени, ако нейният дискриминант 16 - 4 но 2 – 12но положителен. От тук получаваме -4.<но<1.
Въпреки това, получената разлика (-4; 1) включва числото 0. Отговор. -4<но<0 или 0<но<1.
10). При какви стойности на параметъра но уравнението но(но+3)х. 2 + (2но+6)х.– 3но- 9 \u003d 0 има повече от един корен?
Решение. Стандартна стъпка - Започнете с болки но \u003d 0 I. но \u003d -3. За но \u003d 0 Уравнението има едно решение. Любопитно е, че кога но \u003d -3 решаването на уравнението е всеки валиден номер. За но ≠ -3 I. но ≠ 0, разделяйки двете части на това уравнение на + 3, ние получаваме квадратно уравнение о. 2 + 2х. - 3 \u003d 0, дискриминант, от които 4 (1 + s но) Положителен при\u003e ⅓. Преживяването на предишни примери предполага това от интервала
(-⅓; ∞) трябва да изключите точката но \u003d 0, и в отговор не забравяйте да се включите но = -3.
Отговор. но \u003d -3, или - ⅓< а < 0, или а > 0.
11). Задръжте уравнението :
Решение. Първо, отбелязваме, че с това уравнение е еквивалентно на уравнение, което няма решения. Ако имаш
1. Задача.
При какви стойности на параметъра а. уравнението ( а. - 1)х. 2 + 2х. + а. - 1 \u003d 0 има точно един корен?
1. Решение.
За а. \u003d 1 уравнение има форма 2 х. \u003d 0 и очевидно има единствения корен х. \u003d 0. Ако е а. № 1, това уравнение е квадрат и има единствения корен с стойностите на параметрите, при които квадратът е нулев дискриминация. Приравняването на дискриминацията до нула, ние получаваме уравнение по отношение на параметъра а.
4а. 2 - 8а. \u003d 0, откъде а. \u003d 0 или а. = 2.
1. Отговор:уравнението има единствения корен, когато а. O (0; 1; 2).
2. Задача.
Намерете всички стойности на параметрите а.който има две различни уравнения на корените х. 2 +4брадва.+8а.+3 = 0.
2. Решение.
Уравнението х. 2 +4брадва.+8а.+3 \u003d 0 има два различни корена и само когато Д. =
16а. 2 -4(8а.+3)\u003e 0. Получаваме (след намаляване на общия мултипликатор 4) 4 а. 2 -8а.-3\u003e 0, откъде
2. Отговор:
| а. O (-ґ; 1 - | C 7 2. |
) И (1 + | C 7 2. |
; Ґ ). |
3. Задача.
Известно е, че
е. 2 (х.) = 6х.-х. 2 -6.
а) изграждане на функционален график е. 1 (х.) Като а. = 1.
б) с каква стойност а. Функции Графика е. 1 (х.) I. е. 2 (х.) Имате една обща точка?
3. Решение.
3.a. Трансформация е. 1 (х.) по следния начин
Графика на тази функция, когато а. \u003d 1 е изобразен на фигурата вдясно.
3.б. Незабавно имайте предвид, че графиките на функциите y. =
kX.+б. и y. = брадва. 2 +bX.+° С.
(а. № 0) се пресичат в една точка тогава и само ако квадратното уравнение kX.+б. =
брадва. 2 +bX.+° С. Той има единствения корен. Използване на изглед е. 1 3.a.дали уравнението изравнява дискриминацията а. = 6х.-х. 2 -6 до нула. От уравнение 36-24-4. а. \u003d 0 получаване а. \u003d 3. Направете същото с уравнението 2 х.-а. = 6х.-х. 2 -6 находки а. \u003d 2. Лесно е да се уверите, че тези стойности на параметрите отговарят на условията на задачата. Отговор: а. \u003d 2 Or а. = 3.
4. Задача.
Намерете всички стойности а.в кои много решения на неравенство х. 2 -2брадва.-3а. І 0 съдържа сегмент.
4. Решение.
Първата координатна на върха Parabola е.(х.) =
х. 2 -2брадва.-3а. равен х. 0 =
а.. От свойствата на квадратичното функционално състояние е.(х.) І 0 на сегмента е еквивалентно на съвкупността от три системи
Има точно две решения?
5. Решение.
Пренапишете това уравнение във формата х. 2 + (2а.-2)х. - 3а.+7 \u003d 0. Това е квадратно уравнение, то има точно два решения, ако нейният дискриминант е строго по-голям от нула. Изчисляването на дискриминацията, ние получаваме, че състоянието на наличието на точно две корени е изпълнението на неравенството а. 2 +а.-6\u003e 0. Разрешаване на неравенство, откриваме а. < -3 или а. \u003e 2. Първото от неравенствата, очевидно, няма решения в естествени числа, а най-малкото естествено решение на втория е номер 3.
5. Отговор: 3.
6. Задача (10 cl.)
Намерете всички стойности а.в която е графика на функция или след очевидни трансформации, а.-2 = |
2-а.| . Последното уравнение е еквивалентно на неравенството а. І 2.
6. Отговор: а. ОТНОСНО )