Непрекъснатата случайна стойност се настройва чрез примери за плътност на разпределението. Математика и информатика

9. Непрекъсната случайна стойност, нейните цифрови характеристики

Непрекъснато произволна променлива може да бъде зададена с помощта на две функции. Интегралната функция на вероятността разпределение на произволната променлива x наречена функция, определена от равенството
.

Интегралната функция дава общ начин Задачи за дискретни и непрекъснати случайни променливи. В случай на непрекъсната случайна променлива. Всички събития: имат еднаква вероятност, равна на увеличаването на интегралната функция при тази пролука, т.е. например дискретна случайна променлива, посочена в Пример 26, ние имаме:

По този начин графиката на интегралната функция на разглежданата функция е комбинацията от два лъча и три сегмента, успоредна на оста, о.

Пример 27.. Непрекъснато произволно X се определя от интегралната функция за разпространение на вероятностите

.

Изграждане на графика на интегралната функция и намирам вероятността, че в резултат на теста случайната стойност ще има стойност в интервала (0.5; 1.5).

Решение. На интервала
Графикът е прав y \u003d 0. На пролуката от 0 до 2 - Parabola, даден от уравнението
. На интервала
Графикът е прав y \u003d 1.

Вероятността, че произволната променлива x в резултат на теста ще има стойност в интервала (0.5; 1.5), ние сме намерени по формулата.

По този начин, .

Свойства на интегралната функция за разпределение на вероятността:

Законът за разпространение на непрекъсната случайна променлива е удобно да се настрои с помощта на друга функция, а именно, функции на вероятностната плътност
.

Вероятността стойността, взета от случайна променлива h попада в интервала
определени от равенството
.

Графиката на функцията се нарича дистрибуция на крива. Геометрично вероятността от входяща случайна дисперсия към пролуката е равна на площта на съответната криволинейна трапецоид, ограничена крива на разпределение, оста на осите OH и права
.

Свойства на функцията за плътност на вероятността:

9.1. Числени характеристики на непрекъснатите случайни променливи

Очаквана стойност(средна стойност) на непрекъсната произволна променлива x се определя от равенството
.

M (x) означава чрез но. Математическото очакване на непрекъсната произволна променлива има подобна, както и дискретна стойност, свойства:

Дисперсиядискретната произволна променлива се нарича математическо очакване на площада на отклонението на произволната променлива от нейното математическо очакване, т.е. . За непрекъсната произволна променлива дисперсията се определя с формулата
.

Дисперсията има свойства:

Последното свойство е много удобно да се прилага за намиране на дисперсия на непрекъсната произволна променлива.

Въвежда се и концепцията за средно квадратично отклонение. Средно квадратично отклонение на непрекъснатотослучайната променлива се нарича корен квадрат от дисперсията, т.е.
.

Пример 28.. Непрекъснато импулс X Задайте функция за плътност на вероятността
В интервала (10; 12), от този интервал, функционалната стойност е 0. Намерете 1) стойността на параметъра но, 2) Математическо очакване m (x), дисперсия
, средно квадратично отклонение, 3) интегрална функция
и изграждане на графики на интегрални и диференциални функции.

един). За да намерите параметър но Ние използваме формулата
. Получаваме. По този начин,
.

2). Да намерим математическо очакване, ние използваме формулата: откъде следва това
.

Дисперсията ще бъде намерена по формулата:
. .

Намерете средното квадратично отклонение по формулата: където го получим
.

3). Интегралната функция се изразява чрез функцията на гъстотата на вероятността, както следва:
. Следователно,
за
, \u003d 0 кога
и \u003d 1 в
.

Графиките на тези функции са представени на фиг. 4. и фиг. пет.

Фиг.4 Фиг.5.

9.2. Равномерно разпределение на вероятностите на непрекъсната произволна променлива

Разпределение на вероятностите на непрекъсната произволна променлива x равномерно На интервала, ако неговата плътност на вероятността е постоянна на този интервал, е нула извън този интервал, т.е. . Лесно да се покаже това в този случай
.

Ако интервал
След това се съдържа в интервала
.

Пример 29. Трябва да се появи събитие, състоящо се от мигновено сигнал между час и пет часа. Време за изчакване на сигнала има случайно количество X. Намерете вероятността сигналът да бъде записан между два и три часа от деня.

Решение. Случайната стойност X има равномерно разпределение и чрез намиране на формулата, която вероятността да бъде сигналът да бъде между 2 и 3 часа от деня, е равен на
.

В образователната и друга литература често се обозначават с литературата
.

9.3. Нормално разпределение на вероятностите на непрекъсната произволна променлива

Разпределението на вероятностите на непрекъснато произволна променлива се нарича нормално, ако законът за разпределение на вероятностите се определя от плътността на вероятността
. За такива стойности но - очаквана стойност,
- Средно квадратично отклонение.

Теорема. Вероятността да се свържете с нормално разпределената непрекъсната произволна променлива до посочения интервал
Определено по формулата
където
- функция Лаплас.

Последствията от тази теорема е правилото за три SIGM, т.е. Практически надеждно е, че нормалното разпределено, непрекъснатата случайност x води до неговите стойности в интервала
. Това правило се извежда от формулата
което е конкретен случай на формулирана теорема.

Пример 30.Срокът на телевизора е случаен размер на X, подчинен на нормалния закон за разпределение, с гаранционен срок от 15 години и средно квадратично отклонение, равно на 3 години. Намерете възможността телевизията да работи от 10 до 20 години.

Решение. При условията на задачата на математическите очаквания но \u003d 15, средното квадратично отклонение.

намирам . Така вероятността от телевизора е от 10 до 20 години повече от 0,9.

9.4. Еферция Чебишев

Се случва лемма Чебишев. Ако случайното количество x взема само не-отрицателни стойности и има математическо очакване, тогава за всяко положително в
.

Като се има предвид това, като сумата на вероятността за противопоставяне на събития, ние получаваме това
.

Теорема на Чебишев. Ако случайната стойност x има окончателна дисперсия
и математическо изчакване m (x), тогава за всяко положително доста неравенство
.

Откъдето следва това
.

Пример 31.Подробности за партията. Средната стойност на дължината е 100 cm., А средното квадратично отклонение е 0,4 cm. Оценете от по-малко вероятността, че дължината на участната ипотека ще бъде най-малко 99 cm. и не повече от 101см.

Решение. Дисперсия. Математическите очаквания са 100. Следователно, за да се оцени дъното на вероятността от разглежданото събитие.
Прилагане на неравенството в Чебишев, в което
, тогава
.

10. Елементи на математическата статистика

Статистически агрегатобадете се на много хомогенни предмети или явления. Номер пс Елементите на този комплект се наричат \u200b\u200bобема на съвкупността. Наблюдавани ценности Знак x извика настроики. Ако опциите са разположени в нарастваща последователност, след това получени дискретни варианти. В случай на групиране се получава опцията по интервали интервална вариационна серия. Под т. Честотастойностите на знаците разбират броя на членовете на комбинацията с тази опция.

Съотношение на честота към обем статистически агрегат Обади се относителна честота Знак:
.

Връзката между варианта на вариациите на вариациите и техните честоти се наричат статистическо разпределение на извадката. Графичното представяне на статистическото разпределение може да служи многоъгълникчестота.

Пример 32.Чрез проучване на 25 студенти от първа година получиха следните данни за тяхната възраст:
. Създайте статистическо разпределение на студенти по възраст, за да намерите обхвата на различното, да изградите честотен полигон и да съставите редица относителни честоти.

Решение. Използването на данните, получени в проучването, ще бъде статистическо разпределение на вземането на проби

Обхват за вземане на проби от 23 - 17 \u003d 6. За изграждане на многоъгълна честота, монтиране на точки с координати
И те са свързани последователно.

Обхватът на разпределение на относителната честота е:

10.1. Характеристики на вариационната серия

Нека пробата зададе редица честотно разпределение на знака X:

Сумата от всички честоти е равна пс.

Средна аритметична проба Обадете се на количеството
.

Дисперсия или измерване на разсейването на стойностите на знака на X по отношение на средната й аритметика се нарича величина
. Средното квадратично отклонение се нарича квадратен корен от дисперсията, т.е. .

Съотношението на средното квадратично отклонение към средната аритметична проба, изразена в проценти, се нарича коефициент Вариант:
.

Емпирична функция на разпределение на относителните честотиобърнете се към функцията, определяща относителната честота на събитието за всяка стойност
.
където - броя на по-малък вариант х., но пс - Вземане на проби.

Пример 33.При условията на пример 32, намерете числови характеристики
.

Решение. След това ще открием средната аритметична проба с формулата.

Дисперсията на знака X е по формулата:, т.е. Средното квадратично отклонение на пробата е
. Коефициентът на изменение е равен
.

10.2. Оценка на вероятността за относителна честота. Интервал на доверие

Да се \u200b\u200bизвърши пс независими тестове, във всяка от които вероятността за появата на събитие е постоянна и равни r.. В този случай вероятността относителната честота ще се различава от вероятността от появата на събитие и във всяко изпитване в абсолютна стойност не са повече от включване, е приблизително равна на двойната стойност на интегралната функция на Лаплас:
.

Интервална оценкаобадете се на такава оценка, която се определя от две номера, които са краищата на интервала, обхващащи прогнозния параметър на статистическия агрегат.

Поверителен интервал наречен интервал, който с дадена вероятност за увереност Обхваща очаквания параметър на статистическия агрегат. Като се има предвид формулата, в която ще бъде заменена неизвестната стойност r. върху приблизителното си значение получени съгласно примерните данни, получаваме:
. Тази формула се използва за оценка на вероятността за относителна честота. Числа
и
Обадете се на дъното и съответно отгоре доверие граници- Грешка за ограничаване на тази вероятност за доверие
.

Пример 34.. Фабриката семинар произвежда електрически крушки. При проверка на 625 лампи се оказаха 40 дефектни. Намерете с вероятност за доверие от 0,95 граници, в която процентът на брачните крушки, произведени от фабричния семинар.

Решение. При състоянието на задачата. Ние използваме формулата
. Таблица 2 Приложения Ние намираме стойността на аргумента, който може да стойността на интегралната функция на Лаплас е 0.475. Получаваме това
. По този начин, . Ето защо може да се каже с вероятност от 0.95, че делът на брака, произведен от семинара, е висок, а именно варира в диапазона от 6.2% до 6.6%.

10.3. Оценка на параметрите в статистиката

Нека количественият признак на цялата обща тоталност (общ агрегат) да има нормално разпределение.

Ако е известно средното квадратично отклонение, доверителният интервал, покриващ математическото очакване но

където пс - обем на пробата, - селективна средна аритметика, t. - аргумент на интегралната функция на Лаплас, в която
. По същото време
Точност на оценяване на повикване.

Ако средното квадратично отклонение е неизвестно, тогава според данните от пример, можете да конструирате случайна стойност с разпределение на ученика с пс - 1 градуса на свобода, която се определя само от един параметър пси не зависи от неизвестното нои. Разпределение на ученика дори и за малки проби
Дава доста задоволителни оценки. След това интервалът на доверие, покриващ математическото очакване но Тази функция с дадена вероятност за увереност е от състоянието

където S е коригирана средна квадратична, - коефициент на студент, се намира според
От таблица 3 приложения.

Интервалът на доверие, покриващ средното квадратично отклонение на тази функция с вероятност за доверие, е във формулите: и, където
е на таблицата на ценностите q. според .

10.4. Статистически методи за изучаване на зависимости между произволни стойности

Зависимостта на корелацията в X се нарича функционална зависимост на условната средна стойност от х. Уравнението
представлява регресионното уравнение от x и
- регресионното уравнение на W.

Корелационната зависимост може да бъде линейна и криволинейна. В случай на линейна зависимост на корелацията, уравнението на директната регресионна линия има формата:
където коефициентът на ъгъла ноправата линия на регресия Y при X се нарича селективен коефициент на регресия в X и е посочен
.

С малки проби, данните не са групирани, параметри
са разположени съгласно метода на най-малките квадрати от системата на нормалните уравнения:

където пс - броя на наблюденията на стойностите на двойки взаимосвързани стойности.

Селективен коефициент на линейна корелация Показва тонуса на комуникация U и X. Коефициентът на корелация е във формулата
освен това
, а именно:

Селективното уравнение на права линия на регресия Y от X има формата:

.

За голям номер Наблюденията на знаците x и y изготвят таблица за корелация с два входа, със същата стойност х. наблюдаваното веднъж същото значение w. наблюдаваното Веднъж същата двойка
наблюдаваното време.

Пример 35. Дана маса наблюдение на знаци X и W.

Намерете селективното уравнение на регресията на права линия в H.

Решение. Връзката между изследваните характеристики може да бъде изразена от уравнението на права линия на регресия в X :. За изчисляване на коефициентите на уравнението, направете изчислена таблица:

Номер на наблюдателя

Концепции за математическо очакване М.(Х.) и дисперсия Д.(Х.), въведени по-рано за дискретна случайна променлива, може да бъде разширена до непрекъснати случайни променливи.

· Математическо очакване M.(Х.) Непрекъснатата произволна променлива се определя от равенството:

при условие, че този интеграл се сближи.

· Дисперсия D.(Х.) Непрекъснато произволна променлива Х. Определено от равенство:

· Средно квадратично отклонениеσ( Х.) непрекъснато произволна променлива се определя от равенството:

Всички свойства на математическите очаквания и дисперсии, обсъдени по-рано за дискретни случайни променливи, са валидни за непрекъснато.

Задача 5.3.Случайна стойност Х. Дефинирана диференциална функция е.(х.):

Да намеря М.(Х.), Д.(Х.), σ( Х.), както и Пс.(1 < х.< 5).

Решение:

М.(Х.)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

Д.(Х.)=

= = /

Пс. 1 =

Задачи

5.1. Х.

е.(х.), както и

R.(‒1/2 < Х.< 1/2).

5.2. Непрекъснато произволно количество Х. Задаване на функция за разпространение:

Намерете диференциална функция за разпространение е.(х.), както и

R.(2π / 9< Х.< π /2).

5.3. Непрекъснато произволно количество Х.

Намерете: а) номер отШпакловка б) М.(Х.), Д.(Х.).

5.4. Непрекъснато произволно количество Х. Плътност на разпределението:

Намерете: а) номер отШпакловка б) М.(Х.), Д.(Х.).

5.5. Х.:

Намери си) Е.(х.) и изграждане на график; б) М.(Х.), Д.(Х.), σ( Х.); в) вероятността в четири независими тестове Х. Указва точно 2 пъти стойността, принадлежаща към интервала (1; 4).

5.6. Гъстотата на разпределение на вероятностите на непрекъсната произволна променлива Х.:

Намери си) Е.(х.) и изграждане на график; б) М.(Х.), Д.(Х.), σ( Х.); в) вероятността в три независими тестове Х. Указва точно 2 пъти стойността, принадлежаща към сегмента.

5.7. Функция е.(х.) Следното:

от Х.Шпакловка б) функция за разпространение Е.(х.).

5.8. Функция е.(х.) Следното:

Намерете: а) Стойност постоянен отв която функцията ще бъде вероятностната плътност на някои случайна променлива Х.Шпакловка б) функция за разпространение Е.(х.).

5.9. Случайна стойност Х., фокусиран върху интервала (3; 7), се определя от функцията за разпространение Е.(х.)= Х. Вземете стойност: а) по-малко от 5, б) не по-малко от 7.

5.10. Случайна стойност Х.фокусиран върху интервала (-1; 4), се определя от функцията за разпространение Е.(х.)= . Намерете вероятността тази случайна стойност Х. Вземете стойност: а) по-малко от 2, б) по-малко от 4.

5.11.

Намерете: а) номер отШпакловка б) М.(Х.); в) вероятност R.(X\u003e М.(Х.)).

5.12. Случайната стойност се настройва чрез функция за диференциална разпределение:

Намери си) М.(Х.); б) вероятност R.(X ≤ m.(Х.)).

5.13. Разпределението на заявлението се определя от плътност на вероятността:

Докажи това е.(х.) Това наистина е плътността на разпространението на вероятностите.

5.14. Гъстотата на разпределение на вероятностите на непрекъсната произволна променлива Х.:

Намерете номера от.

5.15. Случайна стойност Х. Разпределени съгласно закона на Симпсън (уравен триъгълник) върху сегмента [-2; 2] (фиг. 5.4). Намерете аналитичен израз за плътност на вероятността е.(х.) Върху цялата цифрова ос.

Фиг. 5.4 Фиг. 5.5.

5.16. Случайна стойност Х. разпределени по закон " правоъгълен триъгълник"В интервала (0; 4) (фиг. 5.5). Намерете аналитичен израз за плътност на вероятността е.(х.) Върху цялата цифрова ос.

Отговори

Пс. (-1/2<Х.<1/2)=2/3.

Пс. (2π / 9<Х.< π /2)=1/2.

5.3. но) от \u003d 1/6, б) М.(Х.) \u003d 3, в) Д.(Х.)=26/81.

5.4. но) от\u003d 3/2, б) М.(Х.) \u003d 3/5, в) Д.(Х.)=12/175.

б) М.(Х.)= 3 , Д.(Х.)= 2/9, σ ( Х.)= /3.

б) М.(Х.)=2 , Д.(Х.)= 3, σ ( Х.)= 1,893.

5.7. а) c \u003d; б)

5.8. но) от \u003d 1/2; б)

5.9. а) 1/4; б) 0.

5.10. а) 3/5; б) 1.

5.11. но) от\u003d 2; б) М.(Х.)= 2; в 1- ln. 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. но) М.(Х.)= π / 2; б) 1/2.

Глава 6. Непрекъснати случайни променливи.

§ 1. Плътността и функцията на разпределението на непрекъсната произволна променлива.

Млечността на непрекъснатите случайни стойности на непрекъснатата произволна променлива е безкрайно и обикновено е определен интервал на крайната или безкрайна.

Случайната стойност X (W), посочена в вероятностното пространство (W, S, P) се нарича непрекъснато (абсолютно непрекъснато) w, ако има ненецва функция така, че с функция X, разпределението на FX (X) може да бъде представено като интеграл

Функцията се нарича функция плътност на разпределението на вероятностите.

Свойствата на функцията за гъстота на разпределение от дефиницията:

1..gif "ширина \u003d" 97 "височина \u003d" 51 "\u003e

3. При точки на непрекъснатост, плътността на разпределение е равна на деривата на разпределителната функция :. \\ T

4. Гъстотата на разпределение определя правото на разпределението на случайна стойност, тъй като определя вероятността от случайност на интервала:

5. Тематичността е, че непрекъсната случайна стойност ще отнеме определена стойност, равна на нула :. Следователно следните равенства са верни:

Графиката на функцията за гъстота на разпределение се нарича дистрибуция на криваи областта, ограничената крива на разпределение и ос на абсциса, е равна на една. След това геометрично стойността на функцията за разпределение на FX (X) в точката X0 е областта, ограничената крива на разпределение и оста на абсциса и лявата точка x0.

Задача 1. Функцията за плътност на непрекъсната произволна променлива има формата:

Определете C постоянната, изградете функцията за разпределение на FX (X) и изчислете вероятността.

Решение. Константа С е от състоянието, което имаме:

От където c \u003d 3/8.

За да конструирате FX (X) разпределителна функция, отбелязваме, че интервалът разделя площта на стойностите на аргумента X (цифрова ос) на три части: https://pandia.ru/text/78/107 /Images/image017_17.gif "ширина \u003d" 264 "височина \u003d" 49 "\u003e

тъй като х плътността на полуоста е нула. Във втория случай

Накрая, в последния случай, когато x\u003e 2,

Тъй като плътността се изтегля до нула на полуо оста. Така се получава функцията за разпространение

Вероятност Изчисляване по формулата. По този начин,

§ 2. Числени характеристики на непрекъсната произволна променлива

Очаквана стойност За непрекъснато разпределени случайни променливи се определя от формулата https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif "ширина \u003d" 205 "височина \u003d" 56 src \u003d "\u003e,

ако интегралното стоене отдясно е абсолютно сблизо.

Дисперсия X може да бъде изчислен по формулата , както и в отделни случаи, по формулата https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif "Width \u003d" 123 "Height \u003d" 49 SRC \u003d "\u003e.

Всички свойства на математическите очаквания и дисперсията, дадени в глава 5 за дискретни случайни променливи, също са валидни за непрекъснати случайни променливи.

Задача 2.. За случайна променлива x от проблем 1 изчислете математическите очаквания и дисперсия .

Решение.

И тогава

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif "ширина \u003d" 184 "височина \u003d" 69 src \u003d "\u003e

Вижте плътността на равномерното разпределение, виж фиг. .

Фиг.6.2. Разпределение функция и плътност на разпределението. Единно право

Функцията на разпределението FX (X) е равномерно разпределена случайна променлива равни

FX (x) \u003d

Математическо очакване и дисперсия; .

Индикативно (експоненциално) разпределение.Непрекъснатите случаи, които получават не-отрицателни стойности, има демонстративно разпределение с параметъра L\u003e 0, ако плътността на разпределението на вероятността на произволната променлива е еднаква

px (x) \u003d

Фиг. 6.3. Функцията за разпространение и гъстотата на разпределение на индикативния закон.

Разпределителната функция на индикативното разпределение е

FX (x) \u003d https: //pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif "Ширина \u003d" 17 "Височина \u003d" 41 "\u003e. GIF" Ширина \u003d "13" Височина \u003d "15"\u003e И ако плътността на разпределението е равна

.

Чрез множеството от всички случайни променливи, разпределени съгласно нормалния закон с параметрите на параметрите и.

Функцията за разпределение на нормално разпределена случайна променлива е равна на

.

Фиг. 6.4. Функция за разпространение и гъстота на разпределение на нормалното право

Параметри на обичайната разпределителна същност Математическо очакване https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif "Ширина \u003d" 64 Височина \u003d 24 "Височина \u003d" 24 "\u003e

В конкретен случай, когато https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif "ширина \u003d" 44 "височина \u003d" 21 src \u003d "\u003e нормално разпределение се нарича стандарти класът на такива дистрибуции е посочен https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif "ширина \u003d" 119 "височина \u003d" 49 "\u003e,

функция за разпространение

Такъв интеграл не се изчислява аналитично (не е взет в "квадратурите") и следователно таблицата е съставена за функцията. Функцията е свързана с функцията Лаплас, въведена в глава 4

,

следното съотношение . В случай на произволни стойности на параметрите https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif "Ширина \u003d" 21 "Височина \u003d" 21 src \u003d "\u003e Разпределителната функция на случайна променлива е свързана с функцията на лапласа с Съотношение:

.

Следователно вероятността за въвеждане на нормално разпределена случайна променлива към интервала може да бъде изчислена по формулата

.

Не-отрицателната случайна стойност на x се нарича логаритмично разпределена, ако логаритъм H \u003d LNX е подчинен на нормалния закон. Математическите очаквания и дисперсията на логаритмично нормално разпределената случайна променлива са равни на mx \u003d и dx \u003d.

Задача 3. Нека случайната стойност на https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif "ширина \u003d" 81 "височина \u003d" 23 "\u003e.

Решение. Тук и https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif "Width \u003d" 573 "Height \u003d" 45 "\u003e

Дистрибуция на Лаплас Функцията fx (x) \u003d https: //pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif "ширина \u003d" 23 "височина \u003d" 41 "\u003e и излишъкът е gx \u003d 3.

Фиг.6.5. Функция за гъстота на разпределение на лапласа.

Случайната стойност X се разпределя от закон на Вайнула.Ако има функция за плътност на разпространението, равна на https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif "Width \u003d" 189 "Height \u003d" 53 "\u003e

Разпределението на Weibulla е обект на времената на безпроблемна работа на много технически устройства. В задачите на този профил, важна характеристика е интензивността на неуспеха (смъртност) L (t) на изследваните елементи на възраст t, определени от отношението l (t) \u003d. Ако A \u003d 1, тогава разпределението на Вайбула се превръща в експоненциално разпределение и ако a \u003d 2 - в така нареченото разпределение Rayleigh.

Математическо изчакване за разпространение Waibulla: -HTTPS: //pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif "Ширина \u003d" 219 "Височина \u003d" 45 SRC \u003d "\u003e, където G (A) е функцията на EULER ..

В различни задачи Приложните статистически данни често се срещат така наречените "съкратени" разпределения. Например, данъчните власти се интересуват от разпределението на доходите на тези лица, чийто годишен доход е по-добър от един C0 праг, създаден от данъчните закони. Тези разпределения са приблизително съвпадащи с разпространението на Парето. Разпространение на Парето Задайте функции

FX (x) \u003d p (x .gif "Ширина \u003d" 44 "Височина \u003d" 25 "\u003e Случайна променлива x и монотонна диференцируема функция ..gif" ширина \u003d "200" височина \u003d "51"\u003e

Тук https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif "ширина \u003d" 60 "височина \u003d" 21 src \u003d "\u003e.

Задача 4. Случайната стойност е равномерно разпределена на сегмента. Намерете плътността на случайната променлива.

Решение. От условията на задачата следва това

Следваща, функция е монотонна и диференцируема функция на сегмента и има обратна функция следователно производно е

§ 5. Чифт непрекъснати случайни променливи

Нека да бъдат дадени две непрекъснати случайни променливи x и h. След това двойката (x, h) определя "случайната" точка в равнината. Сдвояване (x, h) се обади случайни вектор или двуизмерна случайна променлива.

Функция за съвместно разпределение Случайни променливи X и H и се наричат \u200b\u200bфункцията F (x, y) \u003d phttps: //pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif "Ширина \u003d" 173 "Височина \u003d" 25 "\u003e. Плътност на ставата Вероятностите разпределения на случайни променливи x и h наричан функцията такава това .

Значението на тази дефиниция на плътността на разпределение е както следва. Вероятността "случайната точка" (x, h) ще попадне в зоната на равнината, се изчислява като обем на триизмерната фигура - "криволинеен" цилиндър, ограничен до повърхността https: // pandia. RU / TEXT / 78/107 / image / image098_3. GIF "Ширина \u003d" 211 "Височина \u003d" 39 src \u003d "\u003e

Най-простият пример за съвместното разпределение на две случайни променливи е двуизмерно равномерно разпределение на комплектаА.. Нека ограничен комплект m с площ да бъде дефиниран като разпределението на двойката (x, h), посочено, използвайки следната плътност на съединението:

Задача 5. Оставете двуизмерния произволен вектор (x, h) равномерно разпределен вътре в триъгълника. Изчислете вероятността x\u003e H.

Решение. Площта на посочения триъгълник е равна на (виж фиг. №). Чрез определяне на двуизмерното равномерно разпределение, плътността на съвместните променливи X, H е равна

Събитие съответства на набор В самолета, т.е. половин самолет. Тогава вероятност

На полу-равнината B, плътността на съединението е нула извън зададения https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif "ширина \u003d" 15 "височина \u003d" 17 "\u003e. Така, Half-plane b е разделен на два комплекта и https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif "ширина \u003d" 17 "височина \u003d" 23 "\u003e и освен това вторият интеграл е нула , тъй като има нулева плътност на ставата. Следователно

Ако е зададена плътност на разпределението на съединенията за двойка (x, h), плътността и компонентите на x и h се наричат частна плътност и изчислени по формули:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif "Ширина \u003d" 224 "височина \u003d" 23 src \u003d "\u003e

За непрекъснато разпределени случайни променливи с плътност на PX (x), рН (y) независимост означава това

Задача 6. При условията на предишната задача определят дали компонентите на произволния вектор X и Н са независими?

Решение. Изчислете частните плътности и. Ние имаме:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif "Ширина \u003d" 283 "Височина \u003d" 61 src \u003d "\u003e

Очевидно, в нашия случай https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif "ширина \u003d" 64 "височина \u003d" 25 "\u003e плътност на съединението x и h, и j (x, y ) - Тогава функцията на два аргумента

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif "Ширина \u003d" 184 "височина \u003d" 152 src \u003d "\u003e

Задача 7. При условията на предишната задача, изчислете.

Решение. Според горната формула имаме:

.

Представяне на триъгълник във формата

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif "Ширина \u003d" 479 "Височина \u003d" 59 "\u003e

§ 5. Плътността на сумата от две непрекъснати случайни променливи

Нека X и H са независими случайни променливи с плътността https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif "Width \u003d" 43 "Height \u003d" 25 "\u003e. Плътността на случайното стойност X + Н се изчислява с формула гребен

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif "Ширина \u003d" 39 "Височина \u003d" 19 src \u003d "\u003e. Изчислете плътността на сумата.

Решение. Тъй като x и h се разпределят по отношение на индикативния закон с параметъра, тяхната плътност е равна

Следователно,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif "Ширина \u003d" 339 Височина \u003d 51 "Височина \u003d" 51 "\u003e

Ако X.<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">и следователно. Ето защо, ако https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif "ширина \u003d" 359 височина \u003d 101 "височина \u003d" 101 "\u003e

Така получихме отговора:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif "Ширина \u003d" 40 "Височина \u003d" 41 "\u003e Обикновено разпределени с параметри 0 и 1. Случайни променливи X1 и X2 са независими и имат нормални разпределения с параметрите А1 и А2, съответно. докаже, че X1 + X2 има нормално разпределение. Случайни променливи X1, X2, ... Xn се разпределят и независимо и имат една и съща функция за плътност на разпределението

.

Намерете функцията за разпространение и гъстотата на разпределение на количествата:

а) H1 \u003d min (x1, x2, ... xn); b) h (2) \u003d max (x1, x2, ... xn)

Случайни променливи X1, X2, ... XN са независими и равномерно разпределени на сегмента [A, B]. Намерете функцията за разпределение и плътност функции на разпределението на стойностите

x (1) \u003d min (x1, x2, ... xn) и x (2) \u003d макс (x1, x2, ... xn).

Докажете, че MHTPS: //pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif "ширина \u003d" 176 "височина \u003d" 47 "\u003e.

Случайната стойност се разпределя от закона Cauchy, за да намери: а) коефициент А; б) разпределение на функцията; в) вероятността за въвеждане на интервала (-1, 1). Показват, че математическото очакване X не съществува. Случайната стойност е подчинена на закона Лаплас с параметър L (L\u003e 0): Намерете коефициента А; изграждане на графики на функцията за разпределение и разпределение; Намерете MX и DX; Намерете вероятностите на събитията (| x |< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Напишете формула за гъстота на разпределение, намерете mx и dx.

Изчислителни задачи.

Случайна точка А има равномерно разпределение в радиуса. Намерете математическо очакване и дисперсия на разстоянието r посочва центъра на кръга. Показват, че стойността на R2 е равномерно разпределена на сегмента.

Плътността на разпределението на случайна променлива има формата:

Изчислете С константата, разпределителната функция f (x) и вероятността Плътността на разпределението на случайна променлива има формата:

Изчислете С константата, разпределителната функция f (x) и вероятността Плътността на разпределението на случайна променлива има формата:
Изчислете C постоянната, функцията на разпределението f (x), дисперсия и вероятността от случайна стойност има функция за разпространение

Изчислете плътността на случайната променлива, математическо очакване, дисперсия и вероятност Проверете дали функцията \u003d
тя може да бъде функция на разпределението на случайна променлива. Намерете числовите характеристики на тази стойност: mx и dx. Случайната стойност е равномерно разпределена не към сегмента. Запишете плътността на разпределение. Намерете функцията за разпространение. Намерете вероятността за входяща случайност на сегмента и на сегмента. Дистрибуцията x е равна

.

Намерете постоянен C, плътност на разпределение H \u003d и вероятност

P (0.25.

Времето на безпроблемната работа на компютъра се разпространява по отношение на индикативния закон с параметъра L \u003d 0.05 (отказ на час), т.е. тя има функция за плътност

p (x) \u003d .

Решението на конкретна задача изисква безпроблемна работа на машината за 15 минути. Ако по време на проблема за решаване на задачата, грешката се открива само в края на решението и задачата отново се решава. Намерете: а) вероятността по време на решаването на проблема няма да се случи никаква провал; б) средното време, за което ще бъде решена задачата.

24 см дължина на двата род в две части; Предполагаме, че руса точка се разпределя равномерно по цялата дължина на пръчката. Каква е средната дължина по-голямата част от пръчката? Дължината на рязане 12 cm се нарязва на случаен принцип на две части. Точката на рязане е равномерно разпределена по цялата дължина на сегмента. Каква е средната дължина на малката част на сегмента? Случайната стойност е равномерно разпределена на сегмента. Намерете плътността на разпределението на произволната променлива A) H1 \u003d 2x + 1; b) Н2 \u003d -LN (1-X); в) H3 \u003d.

Покажете, че ако X има функция за непрекъснато разпространение

F (x) \u003d p (x

Намерете функцията за плътност и функцията на разпределение на сумата от две независими стойности X и H с единни закони за разпределение на сегментите и съответно. Случайни променливи X и Н са независими и равномерно разпределени на сегменти и съответно. Изчислете плътността на сумата на X + H. Случайни променливи X и Н са независими и равномерно разпределени на сегменти и съответно. Изчислете плътността на сумата на X + H. Случайни променливи X и Н са независими и равномерно разпределени на сегменти и съответно. Изчислете плътността на сумата на X + H. Случайните променливи са независими и имат индикативно разпределение с плътност . Намерете плътността на разпределението на тяхната сума. Намерете разпределението на сумата от независимите случайни променливи X и H, където X има равномерно разпределение на сегмента и Н има демонстрационно разпределение с параметъра L. Намерете R. Ако X има: а) нормално разпределение с параметри А и S2; б) индикативното разпределение с параметъра L; в) равномерно разпределение на сегмента [-1; 1]. Съвместно разпределение X, H е равномерно на площада
K \u003d (x, y): | x | + | y \u200b\u200b| £ 2). Намерете вероятност . Са X и h независими? Двойката случайни променливи X и H е равномерно разпределена в триъгълника k \u003d. Изчислете плътността x и h. Дали тези случайни променливи са независими? Намерете вероятността. Случайни променливи X и Н са независими и равномерно разпределени на сегменти и [-1,1]. Намерете вероятността. Двуизмерна случайна стойност (x, h) е равномерно разпределена на квадрат с върхове (2.0), (0.2), (-2, 0), (0, -2). Намерете стойността на функцията за съвместно разпределение в точката (1, -1). Случайният вектор (x, h) е равномерно разпределен вътре в радиус кръг 3 с центъра в началото на координатите. Напишете израз за гъстота на съвместно разпределение. Определете дали тези случайни променливи са зависими. Изчислете вероятността. Чифт случайни променливи X и H са равномерно разпределени в трапецовид с върхове в точки (-6,0), (-3.4), (3.4), (6.0). Намерете съвместна плътност на разпределението за тази двойка случайни променливи и компоненти за плътност. Е x и h зависим? Случайната двойка (x, h) е равномерно разпределена в полукръглата. Намерете плътност x и h, за да изследвате въпроса за тяхната зависимост. Плътността на съединенията на две случайни променливи X и H е равна .
Намерете x, h плътност. Разгледайте зависимостта на зависимостта x и h. Случайната двойка (x, h) е равномерно разпределена на комплекта. Намерете плътност x и h, за да изследвате въпроса за тяхната зависимост. Намерете m (xh). Случайни променливи X и Н са независими и разпределени съгласно индикативния закон с находката

Непрекъснати случайни променливи - Това са стойности, възможните стойности на които образуват някои ограничени или безкрайни интервал.

Интегрираната разпределителна функция е законът за разпределението на произволна променлива, с която можете да укажете дискретното и непрекъснато произволно отклонение.

Функция за интегрална дистрибуция Наречена функция f (x), която определя за всяка стойност x вероятността, че произволната стойност x ще отнеме стойност по-малко х, т.е. .

Геометрично, това означава: F (x) Има вероятност произволната стойност X да приеме стойност, която е изобразена върху цифровата ос на точката, разположена вляво от точката x.

Случайна стойносття се нарича непрекъснато, ако неговата интегрална функция f (x) е непрекъснато диференцираща.

Свойства на интегралната функция.

10. Стойностите на интегралната функция принадлежат към сегмента от 0 до 1, т.е.

двадесет. Интегралната функция е функция, която е инспекция, т.е. ако тогава .

Следствие:

1. вероятността SV ще вземе стойността, сключена в интервала (a; б), е равна на увеличаването на интегралната функция на този интервал:

2. вероятността NSV ще вземе една конкретна стойност, равна на 0.

3. Ако е възможно, стойностите на NSV са разположени на цялата цифрова линия, тогава следните лимитни връзки са валидни:

и

Графиката на интегрираната функция.

Графиката на интегралната функция е изградена, базирана на нейните свойства. Според първия имот графиката се намира между y \u003d 0 и y \u003d 1. От втория имот следва това - нарастващата функция, което означава, че графикът му на интервала (a, б) се издига вдясно и нагоре. 3 0 свойства за , и когато (Фиг. 5).

Фигура 5. График на интегрираната функция.

Пример 31.DSV се дава от закона за разпространение

	0,2	0,5	0,3

Намерете интегрална функция за разпространение и изградете своя график.

1. Ако след това 3 0.

2. ако ,.

3. ако ,.

4. Ако след това 3 0.

Ние изграждаме графика на интегралната функция на DSV (Н) (фиг. 6).

Фигура 6. Графиката на интегрирана функция за дискретна случайна променлива.

Диференциална функция на разпределението на NSV.

Има и друг начин да укажете NWS, като използвате функцията за диференциална дистрибуция.

Диференциаленфункцията за разпространение е функцията, равна на първото производно на интегралната функция, т.е.

Функцията за диференциална разпределение е различно наречена плътност на разпределението на вероятностите.

Теорема 17.Вероятността NSV X ще приеме стойност, принадлежаща на интервала (a, б), е равна на специфична интегрална от правилната функция, взета от и до Б.

Пример 32.NSV определя интегралната функция за разпространение

Намерете диференциална функция за разпространение и вероятността от NSV в интервала.

Решение.

Свойства на диференциалната функция за разпространение.

10. Диференциална функция Има не-отрицателна функция :.

двадесет. (Условие за нормализация.) Участващи интегрални от диференциалната функция в диапазона от -∞ до + ∞ е 1, т.е.:

По-специално, ако всички възможни стойности на NSV принадлежат към интервала (a, b), \\ t

Пример 33.

Намерете стойността на параметъра но.

Обърнете внимание, че знаете функцията за диференциална дистрибуция, можете да намерите неразделна функция по формулата:

.

Пример 34. NSW се определя от функцията за диференциално разпределение:

намерете интегрална дистрибуторска функция.

Решение.

1.

3.

NIZAL характеристики на NSV.

Случайна величина наречена променлива, която може да предприеме определени стойности в зависимост от различните обстоятелства, и случайната стойност се нарича непрекъснато Ако може да отнеме всяка стойност от ограничен или неограничен интервал. За непрекъсната произволна променлива е невъзможно да се определят всички възможни стойности, така че те означават интервалите на тези стойности, които са свързани с определени вероятности.

Примери за непрекъснати случайни променливи могат да бъдат: диаметърът на частта, се изхвърля към даден размер, човешки растеж, обхвата на полет на черупки и др.

Що се отнася до непрекъснатата функция на случайни променливи Е.(х.), За разлика от дискретни случайни променливи Никъде няма скокове, вероятността за определена стойност на непрекъсната произволна променлива е нула.

Това означава, че за непрекъсната случайна стойност е безсмислено да се говори за разпространението на вероятностите между неговите стойности: всеки от тях има нулева вероятност. Въпреки това, в известен смисъл сред стойностите на непрекъснатата случайна променлива има "все повече и по-малко вероятно". Например, малко вероятно е всеки да има съмнение, че стойността на произволна променлива - растежът на атмосферата на върховения човек - 170 см е по-вероятно от 220 см, въпреки че една, а другата стойност може да се срещне на практика .

Функция на разпределението на непрекъснато произволна променлива и вероятностна плътност

Като закон за разпространение, който има смисъл само за непрекъснати случайни променливи, се въвежда концепцията за плътност на разпределението или плътност на вероятността. Ще стигнем до него чрез сравняване на значението на функцията за разпространение за непрекъсната произволна променлива и за дискретна случайна променлива.

Така, функцията на разпределението на произволна променлива (дискретна и непрекъсната) или интегрална функция наречена функция, която определя вероятността стойността на случайната променлива Х. по-малко или равно на граничната стойност х..

За дискретна случайна променлива в точките на неговите стойности х.1 , х.2 , ..., х.аз, ... Ние концентрираме масите на вероятностите пс.1 , пс.2 , ..., пс.аз, ...Освен това, сумата от всички маси е 1. прехвърляне на това тълкуване в случай на непрекъсната произволна променлива. Представете си, че масата, равна на 1, не е фокусирана върху отделни точки и непрекъснато "намазано" по ос абсциса Ол С някаква неравна плътност. Вероятността от случайни вариации на всяка част δ х. Тя ще се тълкува като маса, свързана с тази област, а средната плътност в този раздел е като масово съотношение по дължината. Само ние въведохме важна концепция за теория на вероятностите: плътност на разпределението.

Плътност на вероятността е.(х.) Непрекъснатата произволна променлива се нарича дериват на неговата функция за разпространение:

.

Знаейки функцията за плътност, може да се намери вероятността стойността на непрекъсната произволна променлива да принадлежи на затворения интервал [ а.; б.]:

вероятността непрекъснатата случайност Х. ще вземе всяка стойност от интервала [ а.; б.] е равно на определен интеграл от неговата вероятност плътност, варираща от а. преди б.:

.

В същото време функцията обща формула Е.(х.) Разпределение на вероятност за непрекъсната произволна променлива, която може да се използва, ако функцията за плътност е известна е.(х.) :

.

Графиката на вероятностната плътност на непрекъсната произволна променлива се нарича нейната крива на разпределение (фиг. По-долу).

Площта на фигурата (в чертежа е засенчена), ограничена крива, директно, изразходвана от точки а. и б. Перпендикулярно на оста на абсцисата и оста О., графично показва вероятността стойността на непрекъсната произволна променлива Х. Намира се от а. преди б..

Свойства на функцията на вероятностната плътност на непрекъсната произволна променлива

1. вероятността дадена случайна стойност да отнеме всяка стойност от интервала (и фигурата на фигурата, която е ограничена до функционалния график е.(х.) И оста О.) е равно на едно:

2. Функцията за плътност на вероятността не може да предприеме отрицателни стойности:

и извън съществуването на разпределението, неговата стойност е нула

Плътност на разпределението е.(х.), както и функцията за разпространение Е.(х.) е една от формите на закона за разпространение, но за разлика от функцията за разпространение, тя не е универсална: плътността на разпределение съществува само за непрекъснати случайни променливи.

Споменаваме два най-важни вида разпределение на непрекъснато произволно отклонение.

Ако функцията за плътност на разпределението е.(х.) непрекъсната произволна променлива в определен краен интервал [ а.; б.] Заема постоянна стойност ° С.и извън интервала след това има стойност, равна на нула, тогава разпределението се нарича униформа .

Ако графикът на функцията за гъстота на разпределение е симетричен спрямо Центъра, средните стойности са фокусирани в близост до центъра и на разстояние от центъра, по-различно от средното (графиката на функцията прилича на намаляването на. \\ T тогава разпределението се нарича нормално .

Пример 1. Известно е, че функцията за разпределение на вероятността на непрекъсната произволна променлива:

Намерете функция е.(х.) Вероятностната плътност на непрекъсната произволна променлива. Изграждане на графики на двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна стойност да отнеме всяка стойност в диапазона от 4 до 8 :.

Решение. Функцията за вероятностна плътност се получава чрез намиране на функция за разпределение на вероятност за производно:

Функция за график Е.(х.) - Parabola:

Функция за график е.(х.) - Директен:

Ще открием вероятността непрекъсната случайна стойност да приеме всяка стойност в диапазона от 4 до 8:

Пример 2. Функцията за плътност на вероятността на непрекъсната произволна променлива е дадена като:

Изчислете коефициента ° С. . Намерете функция Е.(х.) Разпределение на вероятностите на непрекъсната произволна променлива. Изграждане на графики на двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна стойност да отнеме всяка стойност в диапазона от 0 до 5 :. \\ t

Решение. Коефициент ° С. Ще намерим използването на свойството на функцията за плътност на вероятността:

По този начин, функцията на вероятностната плътност на непрекъсната произволна променлива:

Интегриране, намерете функция Е.(х.) Разпределение на вероятностите. Ако х. < 0 , то Е.(х.) \u003d 0. Ако 0.< х. < 10 , то

.

х. \u003e 10, тогава Е.(х.) = 1 .

По този начин пълният запис на функциите за разпространение на вероятностите:

Функция за график е.(х.) :

Функция за график Е.(х.) :

Ще открием вероятността непрекъсната случайна стойност да приеме всяка стойност в диапазона от 0 до 5:

Пример 3.Вероятностната плътност на непрекъсната произволна променлива Х. задайте равенство, докато. Намерете коефициент НОВероятност, която непрекъснатата случайност Х. Посочете всяка стойност от интервала] 0, 5 [функцията на разпределението на непрекъсната произволна променлива Х..

Решение. При условие, което стигаме до равенство

Следователно, откъде. Така,

.

Сега откриваме вероятността непрекъсната случайност Х. ще отнеме всяка стойност от интервала] 0, 5 [:

Сега получаваме функцията за разпространение на тази случайна променлива:

Пример 4.Намерете плътността на вероятността на непрекъсната произволна променлива Х.който взема само неотрицателни стойности и неговата функция за разпространение .