Колко различни варианти съществуват. Комбинаторни задачи (клас 5)

Комбинацията се нарича математическа секция, която изследва въпроса колко комбинации от определен тип могат да бъдат направени от тези елементи (елементи).

Правило за умножение (комбинаторика на основната формула)

Общият брой на методите, които могат да бъдат избрани от един елемент от всяка група и да ги поставите в определен ред (т.е. за получаване на подреден комплект) е равен на:

Пример 1.

Монетата беше хвърлена 3 пъти. Колко различни миниатюри могат да се очакват?

Решение

Първата монета има алтернатива - или орел или прилив. За втората монета има и алтернативи и т.н., т.е. .

Търсения брой начини:

Правило за завършване

Ако има две групи общи елементи, след това изберете един елемент или от, или от, или от ... или от може да се извърши по начини.

Пример 2.

На книгите за рафтове, от които са 20 математически, 6 технически и 4 икономически. Колко начина да изберете една математическа или една икономическа книга.

Решение

Математическата книга може да бъде избрана по начини, икономически начини.

Според правилото има начин да се избере математическа или икономическа книга.

Настаняване и пермутации

Настаняване - те са подредени набор от елементи, които се различават един от друг или състав, или реда на елементите.

Поставяне без повторениеКогато избраният елемент преди следващата селекция не се връща на общото население. Такъв избор се нарича последователен избор без връщане и резултатът му е чрез поставяне без повторения от елементите на софтуера.

Броят на различните методи, които могат да бъдат последователно избрани без връщане на елементи от общата популация на обема, е:

Пример 3.

Дневната графика се състои от 5 различни уроци. Определете броя на опциите за график при избора на 11 дисциплини.

Решение

Всяка версия на графика е набор от 5 дисциплини от 11, които се различават от други опции както на състава, така и на процедурата за следното. така:

Пренаредени - те са поръчани комплекти, различаващи се един от друг само по реда на елементите. Броят на всички пермутации на комплекта от елементите е равен

Пример 4.

Колко начина можете да изпратите 4 души на една таблица?

Решение

Всяка възможност на места за сядане е различна само от реда на участниците, т.е. това е пермутация на 4 елемента:

Поставяне с повторениеКогато избраният елемент преди избора на следващия се върнал към общото население. Такъв избор се нарича последователен избор с връщане, а резултатът му е настаняване с повторения от софтуерни елементи.

Общия брой на различните методи, които могат да бъдат избрани при връщането на елементи от общата популация на обема, равна на

Пример 5.

Асансьорът спира на 7 етажа. Колко начина могат да бъдат 6 пътници в каютата на асансьора на тези етажи?

Решение

Всеки от начините на разпределение на пътниците на етажите е комбинация от 6 пътници на 7 етажа, които се отличават от други комбинации както на състава, така и на техния ред. Тъй като един етаж може да излезе като един и няколко пътници, тогава същите пътници могат да повторят. Следователно броят на тези комбинации е равен на броя на разположенията с повторения от 7 елемента от 6:

Комбинация

Комбинации От N елементи според K са неорганирани комплекти, различаващи се един от друг поне един елемент.

Нека няколко елемента се вземат от общата популация (или елементите се вземат последователно, но редът на външния им вид не се взема предвид). В резултат на такъв едновременно нарушен избор на елементи от общата популация на обема, се получават комбинации, които се наричат комбинации без повторения от елементи на софтуер.

Броят на комбинациите от елементите е:

Пример 6.

В чекмеджето 9 ябълки. Колко начина можете да изберете 3 ябълки от кутията?

Решение

Всяка възможност на избор се състои от 3 ябълки и се различават от друг единствен състав, т.е. това е комбинация без повторения от 9 елемента:

Броят на начините за избор на 3 ябълки от 9:

Нека елементите да бъдат избрани от общия набор от обем, един по един, с всеки избран елемент преди избора на следващия, върнат към общата популация. Той се записва, кои елементи се появяват и колко пъти обаче процедурата за външния им вид не се взема предвид. Получените агрегати се наричат комбинации с повторения от елементи на софтуер.

Броят на комбинациите с повторения от следните елементи:

Пример 7.

По пощата продават пощенски картички 3 вида. Колко пъти мога да купя 6 пощенски картички?

Това е задачата за намиране на броя на комбинациите с повторения от 3 до 6:

Разделете се в групи

Нека наборът от различни елементи да бъде разделен на групи, така че елементите попадат в първата група във вторите елементи, група елементи, и. Тази ситуация се нарича разделяне на множествата в групи.

Броя на преградите на групите, когато елементи попадат в първия, във вторите елементи, в k-YU Group - елементи, равни:

Пример 8.

Група от 16 души трябва да бъдат разделени на три подгрупи, през първата от които трябва да има 5 души, на втория - 7 души, в третия - 4 души. Колко начина може да се направи?

Комбинаторността е част от математиката, която изследва въпроси за това колко различни комбинации подчинени на тези или други условия могат да бъдат съставени от посочените обекти. Основите на комбинаторността са много важни за оценка на вероятностите на случайните събития, защото Това са те, които ви позволяват да изчислите фундаментално възможния брой различни възможности за развитието на събитията.

Основна комбинация от формула

Нека да има к групи от елементи, и i-I група Се състои от n i елементи. Изберете един елемент от всяка група. Тогава общ брой N Методите, които могат да бъдат направени така, такъв избор се определя от отношението n \u003d n 1 * n 2 * n3 * ... n k.

Пример 1. Нека обясним това правило по прост пример. Нека има две групи елементи, а първата група се състои от N 1 \u200b\u200bот елементите, а вторият е от N 2 елемента. Колко различни двойки елементи могат да бъдат съставени от тези две групи, така че в един елемент от всяка група? Да предположим, че взехме първия елемент от първата група и, без да я променяме, преместихме всички възможни двойки, променяйки само елементи от втората група. Такива двойки за този елемент могат да бъдат направени от N 2. След това приемаме втория елемент от първата група и също така съставляваме всички възможни двойки за него. Такива двойки също ще бъдат N2. Тъй като в първата група от само n 1 елемент всички възможни опции ще бъдат n 1 * n2.

Пример 2. Колко трицифрени четни числа могат да бъдат направени от числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ако цифрите могат да повторят?
Решение:n 1 \u003d 6 (тъй като първата цифра може да се вземе всяка цифра от 1, 2, 3, 4, 5, 6), N2 \u003d 7 (защото като втора цифра може да се вземе всякаква цифра от 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (защото като трета цифра можете да приемате всяка цифра от 0, 2, 4, 6).
Така, n \u003d n 1 * n 2 * n 3 \u003d 6 * 7 * 4 \u003d 168.

В случая, когато всички групи се състоят от идентичен брой елементи, т.е. N 1 \u003d n 2 \u003d ... n K \u003d n можем да приемем, че всяка селекция е направена от една и съща група, а елементът след като селекти отново се връща в групата. Тогава броят на всички методи на избор е N K. Този метод на избор в комбинаторност се нарича Вземане на проби с връщане.

Пример 3. Колко от четирите цифри могат да бъдат направени от числа 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. За всяко освобождаване от четирицифрено число има пет възможности, което означава n \u003d 5 * 5 * 5 * 5 \u003d 5 4 \u003d 625.

Помислете за набор, състоящ се от n елементи. Този комплект в комбинаторността се нарича общо разглеждане.

Брой настаняване от n елементи от m

Определение 1. Настаняване н. Елементи в м. в комбинацията се нарича всеки подредени набор на м. различни елементи, избрани от общото население в н. Елементи.

Пример 4.Различни места от три елемента (1, 2, 3) ще бъдат комплекти (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2) \\ t ). Поставянето може да се различава един от друг и елементи и техния ред.

Броят на настаняването в комбинаториката е обозначен с N m и се изчислява по формулата:

Коментар: n! \u003d 1 * 2 * 3 * ... * n (Прочетете: "BG Факториално"), освен това се смята, че 0! \u003d 1.

Пример 5.. Колко двуцифрени числа са там, в които броят на десетките и цифрите на единиците са различни и нечетни?
Решение: Като Странни фигури пет, а именно 1, 3, 5, 7, 9, тогава тази задача се свежда до подбора и поставянето на две различни позиции на два от пет различни номера, т.е. Тези номера ще бъдат:

Определение 2. Комбинация на н. Елементи в м. в комбинацията се нарича всеки безреден набор на м. различни елементи, избрани от общото население в н. Елементи.

Пример 6.. За комплекта (1, 2, 3), комбинации са (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Броя на комбинациите от n елементи от m

Броят на комбинациите се обозначава с C N m и се изчислява по формулата:

Пример 7.Колко начина на читателят може да избере две книги от шест налични?

Решение:Броят на начините е равен на броя на комбинации от шест две книги, т.е. по равно:

Пермутации от n елементи

Определение 3. Perestanovka. на н. Елементи се наричат подредени набор Тези елементи.

Пример 7А. Всички видове пермутации на комплекта, състоящи се от три елемента (1, 2, 3) са: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) ), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Броят на различните пермутации от N елементи се обозначава с P N и се изчислява с формула P N \u003d N!.

Пример 8. По колко начина седем книги от различни автори могат да бъдат поставени на рафта в един ред?

Решение:тази задача е за броя на пермутациите на седем различни книги. Има P 7 \u003d 7! \u003d 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 \u003d 5040 начина за изпълнение на книгите.

Дискусия.Виждаме, че броят на възможните комбинации може да се изчисли с различни правила (пермутации, комбинации, разположение) и резултатът ще бъде различен, защото Принципът на изчисление и самите формули са различни. Внимателно гледайки дефинициите, може да се отбележи, че резултатът зависи едновременно с няколко фактора.

На първо място, от каква сума на елементите можем да комбинираме техните комплекти (колко големи общ агрегат елементи).

Второ, резултатът зависи от това какви елементи на елементите се нуждаем.

И последното, важно е да се знае дали е от съществено значение за реда на елементите в комплекта. Нека обясним последния фактор в следващия пример.

Пример 9.На родителска среща Има 20 души. Колко различни варианти са съставът на комисията майка, ако 5 души трябва да влязат?
Решение:В този пример ние не се интересуваме от реда на фаментите в списъка на комисията. Ако същите хора ще бъдат сред състав, след това по значение за нас това е същата опция. Следователно можем да се възползваме от формулата за преброяване на номера Комбинацииот 20-те елемента от 5.

В противен случай нещата ще бъдат изправени, ако всеки член на комисията първоначално е отговорен за определена степен на работа. След това, със същия списък на комисията, е възможно 5! Настроики пренареденитози въпрос. Броят на различните (и в състава и върху обхвата на отговорността) се определя в този случай от номера настаняване От 20-те елемента от 5.

Задачи за самолечение
1. Колко трицифрени четни числа могат да бъдат направени от числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ако цифрите могат да повторят?

2. Колко петцифрени числа съществуват, които са еднакво прочетени от ляво на дясно и отдясно?

3. В клас десет точки и пет урока на ден. Колко начина могат да бъдат график за един ден?

4. Колко начина можете да изберете 4 делегати на конференцията, ако в група от 20 души?

5. Колко начина можете да разложите осем различни букви на осем различни плика, ако във всеки плик се поставя само една буква?

6. От трите математици и десет икономисти е необходимо да съставим комисионна, състояща се от двама математици и шест икономисти. Колко начина може да се направи?

Резюме на темата:

Извърши студент от 10 "B"

гимназия №53

Глохов Михаил Александрович

naberezhnye chelny.

2002.
Съдържание

От историята на комбинацията _____________________________________	3
Правилото на сумата _______________________________________________	4
	-
Правило на работа _____________________________________________	4
Примери за задачи ____________________________________________________	-
Пресичащи се комплекти ________________________________________	5
Примери за задачи ____________________________________________________	-
Кръгове на Euler _____________________________________________	-
Поставяне без повторения ________________________________________	6
Примери за задачи ____________________________________________________	-
Пермутации без повторения _______________________________________	7
Примери за задачи ____________________________________________________	-
Комбинации без повторения __________________________________________	8
Примери за задачи ____________________________________________________	-
Поставяне и комбинации без повторения ______________________________	9
Примери за задачи ____________________________________________________	-
Пренареждания с повторения ___________________________________	9
Примери за задачи ____________________________________________________	-
Задавани въпроси самостоятелност________________________________	10
Bibliography_______________________________	11

От историята на комбинаториката

Комбинаториката е ангажирана различни типове съединения, които могат да бъдат оформени от елементите на крайния комплект. Някои елементи на комбинаториката са известни в Индия през II век. БК д. Nidice може да изчисли числата, които сега се наричат \u200b\u200b"комбинации". През XII век Бхаскар изчисли някои видове комбинации и пермутации. Предполага се, че индийските учени изследват съединения във връзка с използването им в поетиката, науката за структурата на стиха и поетични произведения. Например, поради изчисляването на възможни комбинации от барабани (дълги) и ненапрегнати (къси) срички на крака от N срички. Като научна дисциплина, комбинаторността е оформена през XVII век. В книгата "Теория и практика на аритметика" (1656), френски автор А. също отделя комбинации и пермутации цяла глава.
Б. Паскал в "трактат на аритметичен триъгълник" и в "трактат за числени поръчки" (1665) очертава доктрината на биномните коефициенти. P. Farm знаеше за облигациите на математически квадрати и къдрави номера с теорията на съединенията. Терминът "комбинаторност" започва да се използва след публикуваното от лабник през 1665 г., работата "корекция на комбинаторното изкуство", в която е даден първият даден научна обосновка Теории за комбинации и пермутации. Проучването на настаняването за първи път бе ангажирано в J. Bernoulli във втората част на книгата си "ARS Conjementi" (изкуството на преобладаващото) през 1713 г. Съвременната символика на комбинациите е предложена от различни автори на образователни насоки само през XIX век.

Всички разнообразие от комбинаторни формули могат да бъдат получени от две основни изявления относно крайни комплекти - правилото на сумата и правилото на работата.

Правило

Ако крайните комплекти не се пресичат, броят на елементите x U Y (или) е равен на сумата на елементите на зададения X и броя на елементите на зададения Y.

Това е, ако има X книги на първия рафт, а на втория y, след това изберете книга от първия или втория рафт, можете да x + y по начини.

Примери за задачи

Ученикът трябва да извърши практическа работа по математика. Предлагаше се да избира от 17 от Алгебра и 13 по геометрия. Колко начина може да избере една тема практическа работа?

Решение: x \u003d 17, y \u003d 13

Според правилото на сумата x u y \u003d 17 + 13 \u003d 30.

Има 5 монетарни лотария, 6 билета спортни и 10 билета на автомобилния производител. Колко начина можете да изберете един билет от Sportloto или Auto Maker?

Решение: Тъй като паричната лотария не участва в избора, тогава само 6 + 10 \u003d 16 опции.

Правило на работа

Ако елементът X може да бъде избран от K методи и елемент Y-m начини Тази двойка (x, y) може да бъде избрана k * m методи.

Това е, ако има 5 книги на първия рафт, а на втория 10, след това изберете една книга от първия рафт и един с втория може да бъде 5 * 10 \u003d 50 начина.

Примери за задачи

Рестачът трябва да преплита 12 различни книги в червени, зелени и кафяви граници. Колко начина може да го направи?

Решение: Има 12 книги и 3 цвята, това означава, че правилата на работата е възможно 12 * 3 \u003d 36 от обвързващите опции.

Колко петцифрени числа съществуват, които се четат еднакво от ляво на дясно и надясно наляво?

Решение: В такива числа последната цифра ще бъде същата като първата и предпоследната - както и втората. Третата цифра ще бъде всяка. Това може да бъде представено като Xyzyx.където y и z-бедрото, и x - не са нула. Това означава, че според правилото на работата броят на числата е еднакво готов както от ляво на дясно, така и отдясно до ляво равно на 9 * 10 * 10 \u003d 900 опции.

Пресичащи се набори

Но това се случва, че комплектите X и Y се пресичат, след това използвайте формулата

където са комплекти X и Y, и площта на пресичането. Примери за задачи

20 души са 10 - немски, изобилие 5 Знам интиангали, приятели. Колко пъти?

Отговор: 10 + 20-5 \u003d 25 души.

Също често визуално решение Задачите се използват кръгове EULER. Например:

От 100-те туристи, които отиват в преминаването, немски език Собствени 30 души, английски - 28, френски - 42. Английски и немски език в същото време притежават 8 души, английски и френски - 10, немски и френски - 5, от трите езика - 3. Колко туристи не притежават всеки език?

Решение: Изразяват състоянието на тази задача графично. Означава от кръга на онези, които познават английски, друг кръг - тези, които познават френски, и третия кръг - тези, които познават немски.

Трима туристи притежават всичките три езика, това означава, че в общите части на кръговете влизат номер 3. Английски и френски език Притежаваха 10 души, а 3 от тях също притежават немски. Следователно само английски и френски собствени 10-3 \u003d 7 души.

По същия начин, ние получаваме само английски и немски собствени 8-3 \u003d 5 души, германски и френски 5-3 \u003d 2 туристи. Ние въвеждаме тези данни на подходящите части.

Ние определяме сега колко хора притежават само един от изброените езици. Немски познава 30 души, но 5 + 3 + 2 \u003d 10 от тях притежават други езици, затова само немски познават 20 души. По същия начин, ние получаваме, че един английски е собственост на 13 души и един френски е 30 души.

При условие на задачата само на 100 туристи. 20 + 13 + 30 + 5 + 7 + 2 + 3 \u003d 80 туристи познават поне един език, затова 20 души не притежават някой от тези езици.

Място без повторения.

Колко могат да телефонните номера могат да бъдат от 6 цифри, така че всички числа да са различни?

Това е пример за задачата за настаняване без повторения. Тук се поставят 10 номера 6. И опции, в които същите числа са в различен ред, се считат за различни.

Ако X-комплект, състоящ се от N елементи, M≤N, след това чрез поставяне без повторения от N елементи на зададения комплект X чрез m се нарича подреден комплект X, който съдържа m елементи се нарича подреден комплект X, съдържащ m елементи.

Номерът на всички помещения от n елементи от m се обозначава

н! - n-факторант (факториален анг. Фантазия) продукта на номера на естествен ред от 1 до всеки номер n Задача

Колко пъти са 4 млади мъже, които могат да поканят четири от шест момичета да танцуват?

Решение: Двама млади мъже могат едновременно да поканят едно и също момиче. И опции, на които същите момичета танцуват с различни млади мъже, се считат за различни, така че:

Може би 360 опции.

Пренаредени пренастройки без повторения

В случай на n \u003d m (виж място без повторения) от n елементи от m се нарича пермутация на зададения х.

Броят на всички пермутации от N елементи се обозначава с P n.

Наистина при n \u003d m:

Примери за задачи

Колко различни шестцифрени числа могат да бъдат направени от числа 0, 1, 2, 3, 4.5, ако цифрите са сред номера, който те не повтарят?

1) Ние откриваме размера на всички пермутации от тези номера: P 6 \u003d 6! \u003d 720

2) 0 не може да изпревари номера, следователно, от този номер е необходимо да се отнеме броят на пермутациите, при които 0 е отпред. И този Р 5 \u003d 5! \u003d 120.

Р 6 -Р 5 \u003d 720-120 \u003d 600

Martushka Lean.

Да Косолапия Мишка

Скорост за игра на квартет

Стоп, братя стоят! -

Писъци Марти, - Чакай!

Как да отидеш музика?

В края на краищата не сте толкова седи ...

И така, и точката беше трансплантирана - отново музиката по пътя не върви.

В много комбинаторни задачи, непосредствената основа на броя на интересите е трудно. Въпреки това, с известна промяна, условията на задачата могат да намерят броя на опциите, които са по-добри от първоначалния брой пъти. Това приемане се нарича метод за множествено преброяване.

1. Колко анаграми имат словния клас?

Трудността е, че в тази дума две идентични букви S. Временно ще ги считаме за различни и обозначени от 1 и C 2. Тогава броят на анаграми ще бъде равен на 5! \u003d 120. Но тези думи, които се различават един от друг само с пермутация на букви от 1 и С 2, са едни и същи и един и същ аналог! Следователно, 120 анаграми са разделени на двойки от една и съща, т.е. Желаният брой на анаграми е 120/2 \u003d 60.

2. Колко анаграми имат думата шарнада?

Като се има предвид три букви разнообразни букви a 1, и 2 и 3, ние получаваме 6! Анаграма. Но думите, които се получават един от друг само чрез пермутация на букви A 1, и 2 и 3, всъщност са един и същ аналог. Тъй като има 3! Пермутации на букви a 1 и 2 и 3, получени първоначално 6! Анаграми са разделени на групи от 3! Същото, и броят на различните анаграми се оказва равен на 6! / 3! \u003d 120.

3. Колко четирицифрени числа съществуват, в които има поне една дори цифра?

Ние намираме броя на "ненужните" четирицифрени числа, в които присъстват само странни числа в записа. Такива числа 5 4 \u003d 625. Но само четирицифрени числа 9000, така че желаният брой "необходими" числа е 9000 - 625 \u003d 8375.

Намерете броя на анаграми от думите Хедър, Балаган, град.
Намерете броя на анаграми от думите на Baobab, балада, проблеми, анаграма, математика, комбинаторност, способност за отбрана.
Колко пъти мога да уредя 7 посетители в три хотелски стаи: единични, двойни и четворни?
В хладилника лежат две ябълки, три круша и четири портокали. Всеки ден, в продължение на девет дни, домашен любимец дава един от някои видове плодове. Колко начина може да се направи?
От седемте най-добри скиори на училището трябва да изберете екипа от трима да участват в градските състезания. Колко начина може да се направи?
Преди изпита професорът обеща да постави две половин изпити. 20 ученици дойдоха на изпита. Колко начина може да изпълни обещанието?
Колко думи могат да бъдат съставени от пет букви a и не повече от три букви b?
В продажба има шоколад, ягода и млечен сладолед. Колко начина може да си купите три сладоледа?
При приготвяне на пица до сирене се добавят различни компоненти, осигуряващи един или друг вкус. На разположение на Бил има лук, гъби, домати, чушки и аншоа, всичко това, по негово мнение, могат да бъдат добавени към сиренето. Колко вида пица могат да приготвят сметка?
Свидетелството на престъпленото разглобяване си спомни, че престъпниците са скрити на Мерцедес, чийто брой съдържат буквите t, s, y и numbers 3 и 7 (номерът е линията, в която три букви вървят първо, а след това трима букви и след това и трима букви и след това трима букви и след това и трима букви . Колко такива номера съществуват?
Колко диагонали в изпъкналите н.-Голф?
Колко съществуват н.- Брой числа?
Колко десетифицирани цифри съществуват, в които има поне два идентични номера?
Кубът хвърля три пъти. Сред всякакви последователности има такива, в които шест поне веднъж са паднали. Колко от тях?
Колко петцифрени числа имат номера в записа си 1?
Колко начина могат да бъдат поставени chessboard. Бял и черен цар, така че да не се бият?
Колко диверсори имат 10800?

Посветен на решаването на проблеми на подбора и местоположението на някои, обикновено крайни, набори в съответствие с посочените правила. Например, колко начина можете да изберете 6 карти от палуба, състояща се от 36 карти, или колко начина могат да бъдат опашка, състояща се от 10 души и др. Всяко правило в комбинаториката определя метода за изграждане на някакъв дизайн, съставен от елементи от оригиналния комплект и се нарича комбинация. Основната цел на комбинаторността се брои броя на комбинациите, които могат да бъдат направени от елементите на източника, определен в съответствие с определеното правило. Най-простите примери за комбинаторни структури са пермутации, настаняване и комбинации.

Комбинаторика на раждането свързани с работата Б. Паскал И P. фермата за хазарта, лайбейските, Бернули, Юулер допринесе за голям принос. В момента интересът към комбинаторността е свързан с развитието на компютрите. Комбинаториката ще се интересува от възможността за определяне на количествено различни подгрупи на крайните комплекти за изчисляване на вероятността от класически метод.

За да се определи силата на набор, който съответства на конкретно събитие, е полезно да се справим с двата правила на комбинаториката: правилото на работата и правилото за правилото (понякога те се наричат \u200b\u200bсъответно принципите на умножение и допълнение) .

Правило за уплътнение: Нека от някакъв крайнен комплект

1-ви обект може да бъде избран к. 1 пъти

2-ри обект - к. 2 пъти

н.обект - k N. начини. (1.1)

След това изброените произволни н. могат да бъдат избрани обекти от този комплект к. 1 К. 2 , ..., k n начини.

Пример 1. Колко трицифрени числа с различни номера?

Решение. В десетичната система за изчисляване, десет цифри: 0.1,2,3,4,5,6,7,8,9. На първо място могат да стоят девет цифри (с изключение на нула). На второ място - някоя от останалите 9 цифри, с изключение на избрания. На последно място Всяка от останалите 8 цифри.

Според правилото, 9 · 9 · 8 \u003d 648 трицифрени числа имат различни номера.

Пример 2. От параграф 3 пътища водят до позиция, а от точка до параграф - 4 пътища. От колко начина можете да пътувате от през?

Решение. В точка има 3 начина да изберете пътя към елемента и в точката има 4 начина да стигнете до елемента. Съгласно принципа на умножение, има 3 × 4 \u003d 12 метода, за да стигнете от точката към елемента.

Правило Сума: При извършване на условия (1.1) може да се избере някой от обектите к. 1 + К. 2 + ... + K N начини.

Пример 3. Колко начина да изберете един молив от кутия, съдържаща 5 червени, 7 сини, 3 зелени моливи.

Решение. Един молив, според правилото, можете да изберете 5 + 7 + 3 \u003d 15 метода.

Пример 4. До град градът може да бъде достигнат с един самолет, два железопътни маршрута и три автобусни маршрута. Колко начина могат да бъдат достигнати от града в града ?

Решение. Всички условия на принципа на допълнение тук са завършени тук, следователно, в съответствие с този принцип, получаваме 1 + 2 + 3 \u003d 6 метода.

Помислете за пример, илюстриращ разликата между принципите на умножение и добавяне.

Пример 5. В магазина на електрониката се продават три марки телевизора и два вида видеозаписи. Купувачът има възможност да закупи или телевизор или видеорекордер. Колко начина може да направи една покупка? Колко различни комплекта, съдържащи телевизор и касетофон, могат да бъдат закупени в този магазин, ако купувачът ще закупи двойка и телевизора и видеорекордер?

Решение. Един телевизор може да бъде избран по три начина, а лентоценонът е други два начина. След това телевизорът или касетофонът могат да бъдат закупени 3 + 2 \u003d 5 начина.

Във втория случай един телевизор може да бъде избран по три начина, след това видеорекордерът може да бъде избран по два начина. Следователно, поради принципа на умножение, можете да си купите телевизор и видеорекордер 3 × 2 \u003d 6 метода.

Сега разглеждаме примери, в които се прилагат и двата правила за комбинаторика: и принципа на умножаване и принципа на добавяне.

Пример 6. 12 ябълки и 10 портокали лежат в кошницата. Ваня избира или ябълка или оранжев. След това Надя избира от останалите плодове и ябълка и оранжево. Колко възможни избори са възможни?

Решение. Ваня може да избере 12 пътища 12 пъти, оранжеви - 10 начина. Ако Ваня избере една ябълка, тогава Надя може да избере ябълка 11 начина и оранжев - 10 начина. Ако Ваня избере оранжев, тогава Надя може да избере ябълка 12 пъти и оранжево - 9 начина. Така Ваня и Надя могат да направят своя избор по начини.

Пример 7. Има 3 букви, всяка от които може да бъде изпратена на 6 адреса. Колко начина може да се направи?

Решение. В тази задача трябва да разгледаме три случая:

а) Всички писма се изпращат на различни адреси;

б) всички букви се изпращат на един адрес;

в) на един адрес се изпращат само две букви.

Ако всички писма се изпращат на различни адреси, броят на тези методи лесно се намира от принципа на умножение: н. 1 \u003d 6 × 5 × 4 \u003d 120 метода. Ако всички писма се изпращат на един адрес, ще има такива начини н. 2 \u003d 6. Така остава само да се разгледа третият случай, когато само 2 букви се изпращат на един адрес. Можем да изберем всяко писмо по 3 начина и да го изпратим на всеки избран адрес може 6 начина. Можем да изпратим останалите две букви на останалите адреси по 5 начина. Следователно изпратете само две букви на един адрес, който можем н. 3 \u003d 3 × 6 × 5 \u003d 90 метода. По този начин, изпратени 3 букви до 6 адреса в съответствие с принципа на добавяне

начини.

Обикновено в комбинаторността има идеализиран експеримент при избора к. Елементи от н.. В същото време елементите: а) не се връщат назад (схема за избор без възвръщаемост); б) връщане назад (избиране на верига за избор).

1. Схема за подбор без връщане

Настаняванена н. Елементи в к. Обадете се на всеки наречен набор от к. Принадлежащи елементи н. - набор от елементи. Различни помещения са различни един от друг или по ред на елементи или състав.

Брой на настаняването н. Елементи в к. обозначава и изчислява по формулата

(1.2)

където н.! \u003d 1 × 2 × 3 × ... × н., 1! = 1, 0! = 1.

Пример 8. 10 души участват в състезания, три от тях ще отнемат 1, 2, 3-то място. Колко различни опции има?

Решение. В този случай процедурата за разпределяне на места е важна. Броят на различните опции е равен

Пермутацияна н. елементи за настаняване от н. Елементи в н. Броят на пермутациите е н. Елементите са обозначени Р н. и изчисляване на формулата

(1.3)

Пример 9. Колко начина да организирате 10 книги на рафта?

Решение. Общият брой на начините за подреждане се определя като броя на пермутациите (1.3) от 10 елемента и равни R. 10 = 10! = 3628 800.

2. Схема за подбор с възпитаници

Ако при избора к. Елементи от н.елементите се връщат назад и се рационализират, казват го настаняване по причини .

Броят на разположенията с повторения:

Пример 11. Хотелът разполага с 10 стаи, всяка от които може да побере четирима души. Колко възможности за настаняване пристигнаха от четирима гости?

Решение. Всеки следващ гост от 4 може да бъде поставен в някоя от 10-те стаи, като се счита, че идеалният опит се счита за общият брой на настаняването, по формулата на повторенията (1.5), е равен

Ако при избора к. Елементи от н. елементите се връщат обратно без последващо поръчване, казват го съчетава със замени. Броя на комбинациите с повторения от н. Елементи в к. Определено:

Пример 12. Магазинът продава 10 вида торти. Друг купувач почука на три торта. Като се има предвид, че всеки набор от продукти е равен, определя броя на възможните поръчки.

Решение. Броят на равните поръчки по формула (1.6) е равен