Това, което се нарича система от линейни уравнения. Системи от линейни уравнения: основни понятия
- Системи м линейни уравненияс ннеизвестен.
Решаване на система от линейни уравненияИма ли такъв набор от числа ( x 1, x 2, ..., x n), когато се замести във всяко от уравненията на системата, се получава правилното равенство.
където a ij, i = 1, ..., m; j = 1,…, n- системни коефициенти;
b i, i = 1, ..., m- безплатни членове;
x j, j = 1, ..., n- неизвестно.
Горната система може да бъде записана в матрична форма: A X = B,
където ( А|Б) Е основната матрица на системата;
А- разширена матрица на системата;
х- колона с неизвестни;
Б- колона с безплатни членове.
Ако матрицата Бне е нулева матрица ∅, тогава тази система от линейни уравнения се нарича нехомогенна.
Ако матрицата Б= ∅, тогава тази система от линейни уравнения се нарича хомогенна. Една хомогенна система винаги има нулево (тривиално) решение: x 1 = x 2 = ..., x n = 0.
Съвместна система от линейни уравненияПредставлява система от линейни уравнения, която има решение.
Несъвместима система от линейни уравненияПредставлява система от линейни уравнения, която няма решение.
Определена система от линейни уравненияТова е система от линейни уравнения, която има уникално решение.
Неопределена система от линейни уравненияТова е система от линейни уравнения, която има безкраен набор от решения. - Системи от n линейни уравнения с n неизвестни
Ако броят на неизвестните е равен на броя на уравненията, тогава матрицата е квадратна. Детерминантата на матрица се нарича основна детерминанта на система от линейни уравнения и се обозначава със символа Δ.
Метод на Крамерза решаване на системи нлинейни уравнения с ннеизвестен.
Правилото на Креймър.
Ако основната детерминанта на система от линейни уравнения не е равна на нула, тогава системата е последователна и дефинирана и единственото решение се изчислява по формулите на Крамер:
където Δ i - детерминанти, получени от основната детерминанта на системата Δ чрез замяна i th колона на колона със свободен член. ... - Системи от m линейни уравнения с n неизвестни
Теорема на Кронекер-Капели.
За да бъде дадена система от линейни уравнения последователна, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата на системата да бъде равен на ранга на разширената матрица на системата, звънна (Α) = звънна (Α | B).
Ако звънна (Α) ≠ звънна (Α | B), тогава системата със сигурност няма решения.
Ако звънна (Α) = звънна (Α | B), тогава са възможни два случая:
1) звънна (Α) = n(до броя на неизвестните) - решението е уникално и може да бъде получено чрез формулите на Крамер;
2) звънна (Α)< n - има безкрайно много решения. - Метод на Гаусза решаване на системи от линейни уравнения
Нека съставим разширена матрица ( А|Б) на дадена система от коефициенти в неизвестна и дясна страна.
Методът на Гаус или методът за елиминиране на неизвестни се състои в намаляване на разширената матрица ( А|Б) с помощта на елементарни трансформации над неговите редове към диагоналната форма (към горната триъгълна форма). Връщайки се към системата от уравнения, всички неизвестни се определят.
Елементарните трансформации върху низове включват следното:
1) размяна на две линии;
2) умножаване на низ с число, различно от 0;
3) добавяне към низ на друг низ, умножен по произволно число;
4) изхвърляне на нулевия низ.
Разширена матрица, редуцирана до диагонална форма, съответства на линейна система, еквивалентна на дадената, чието решение не създава трудности. ... - Система от хомогенни линейни уравнения.
Една хомогенна система изглежда така:
тя съответства на матричното уравнение A X = 0.
1) Хомогенната система винаги е съвместима, тъй като r (A) = r (A | B), винаги има нулево решение (0, 0,…, 0).
2) За да има хомогенна система ненулев разтвор, е необходимо и достатъчно това r = r (A)< n , което е еквивалентно на Δ = 0.
3) Ако r< n , след това умишлено Δ = 0, след това възникват свободни неизвестни c 1, c 2, ..., c n-r, системата има нетривиални решения и има безкрайно много от тях.
4) Общо решение хпри r< n може да се запише в матрична форма, както следва:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
къде са решенията X 1, X 2, ..., X n-rобразуват фундаментална система от решения.
5) Основната система от решения може да бъде получена от общото решение на хомогенна система:
,
ако стойностите на параметъра последователно се приемат като (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0),…, (0, 0,…, 1).
Разлагане на общото решение по отношение на фундаменталната система от решенияЕ запис на общо решение под формата на линейна комбинация от решения, принадлежащи към фундаменталната система.
Теорема... За да има система от линейни хомогенни уравненияима ненулево решение, необходимо и достатъчно е Δ ≠ 0.
Така че, ако детерминантата Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение.
Ако Δ ≠ 0, тогава системата от линейни хомогенни уравнения има безкраен набор от решения.
Теорема... За да има хомогенна система ненулев разтвор, е необходимо и достатъчно това r (A)< n .
Доказателство:
1) rне може да бъде повече н(рангът на матрицата не надвишава броя колони или редове);
2) r< n от ако r = n, тогава основната детерминанта на системата е Δ ≠ 0 и според формулите на Крамер има уникално тривиално решение x 1 = x 2 = ... = x n = 0, което противоречи на условието. Означава, r (A)< n .
Последица... За да има хомогенна система нлинейни уравнения с ннеизвестни има ненулево решение, необходимо и достатъчно е Δ = 0.
Много практически задачи се свеждат до решаване на системи алгебрични уравнения 1 -ва степен или, както обикновено се наричат, системи от линейни уравнения. Ще се научим как да решаваме такива системи, без дори да изискваме броят на уравненията да съвпада с броя на неизвестните.
По принцип системата от линейни уравнения се записва по следния начин:
Ето цифрите a ij– коефициенти системи, b i – безплатни членове, x i- символи неизвестен ... Много е удобно да въведете матрична нотация: - основното матрица на системата, - матрица -колона от свободни членове, - матрица -колона от неизвестни. Тогава системата може да бъде записана по следния начин: БОРА=Били по -подробно:
Ако от лявата страна на това равенство изпълним матрично умножение според обичайните правила и приравним елементите на получената колона към елементите V, тогава стигаме до първоначалния запис на системата.
Пример 14... Пишем една и съща система от линейни уравнения по две различни начини:
Обикновено се нарича системата от линейни уравнения става ако има поне едно решение и непоследователни ако няма решения.
В нашия пример системата е съвместима, колоната е нейното решение:
Това решение може да се запише без матрици: х=2, у=1 ... Ще бъде наречена системата от уравнения неопределен ако има повече от едно решение и сигурен ако решението е уникално.
Пример 15... Системата е неопределена. Например дали са нейните решения. Читателят може да намери много други решения на тази система.
Нека първо да научим как да решаваме системи от линейни уравнения в конкретен случай. Системата от уравнения ОХ=Vще звънна На Крамер , ако основната му матрица А- квадратни и неизродени. С други думи, в системата на Крамер броят на неизвестните съвпада с броя на уравненията и.
Теорема 6. (правило на Крамер).Системата на линейните уравнения на Крамер има уникално решение, дадено от формулите:
където е детерминантата на основната матрица, е детерминантата, получена от дзамяна i-Th колона от колона от свободни членове.
Коментирайте.Системите на Cramer могат да бъдат решени по друг начин, като се използва обратната матрица. Нека напишем такава система в матрична форма: БОРА=V... Тъй като, тогава има обратна матрица А –1 ... Умножете матричното равенство с А –1 наляво: А –1 ОХ=А –1 V... Защото А –1 ОХ=EX=NS, тогава се намира решението на системата: NS= А –1 VТова решение ще бъде извикано матрица ... Подчертаваме още веднъж, че е подходящ само за системи Cramér - в други случаи обратната матрица не съществува. Примери за разглобени приложения матричен методи метода на Cramer читателят ще намери по -долу.
И накрая, нека проучим общия случай - системата млинейни уравнения с ннеизвестен. За да го разрешите, кандидатствайте Метод на Гаус , които ще разгледаме подробно.За произволна система от уравнения ОХ=Vизписвам разширен матрица. Обичайно е това да се нарича матрица, която ще се окаже, ако основната матрица Адобавете колоната с безплатни членове вдясно V:
Както при изчисляването на ранга, използвайки елементарни трансформации на редове и пермутации на колони, ще намалим нашата матрица до трапецовидна форма. В този случай, разбира се, системата от уравнения, съответстваща на матрицата, ще се промени, но ще има равносилно на оригинал (ᴛ.ᴇ. ще има същите решения). Всъщност пренареждането или добавянето на уравнения няма да промени решенията. Пренареждане на колони също: уравнения x 1+3x 2+7x 3=4 и x 1+7x 3+3x 2=4, разбира се, са равнозначни. Необходимо е само да се запише на коя неизвестност съответната колона отговаря. Колоната със свободни членове не се пренарежда - тя обикновено е отделена от останалите с пунктирана линия в матрицата. Нулевите линии, появяващи се в матрицата, могат да бъдат пропуснати.
Пример 1... Решете системата от уравнения:
Решение.Нека изпишем разширената матрица и да я намалим до трапецовидна форма. Знак ~ сега ще означава не само съвпадението на ранговете, но и еквивалентността на съответните системи от уравнения.
~. Нека обясним предприетите стъпки.
Етап 1... Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по (–2). Първият и четвъртият ред бяха добавени към третия и четвъртия ред, умножени по (–3). Целта на тези операции е да се получат нулите в първата колона, под основния диагонал.
Стъпка 2.Тъй като на диагоналното място (2.2) имаше 0 , Трябваше да пренаредя 2 -ра и 3 -та колона. За да запомнят тази пермутация, те написаха обозначенията на неизвестните отгоре.
Стъпка 3. K 3 -тият ред добави втория, като го умножи по (–2). Вторият ред беше добавен към четвъртия ред. Целта е да се получат нулите във втората колона, под основния диагонал.
Стъпка 4.Нулевите линии могат да бъдат премахнати.
Така матрицата се редуцира до трапецовидна форма. Нейният ранг r=2 ... Неизвестно x 1, x 3- основен; x 2, x 4- Безплатно. Нека присвоим произволни стойности на свободните неизвестни:
x 2= a, x 4= б.
Тук а, бмогат да бъдат произволни числа. Сега от последното уравнение на новата система
x 3+x 4= –3
намирам x 3: x 3= –3 –б.Изкачване нагоре от първото уравнение
x 1+3x 3+2x 2+4x 4= 5
намирам x 1: x 1=5 –3(–3 –б)–2а–4б= 14 –2а–б.
Записваме общото решение:
x 1=14 –2а–b, x 2=a, x 3=–3 –b, x 4=б.
Можете да напишете общото решение под формата на матрична колона:
При конкретни стойности аи б, можеш да получиш частни решения. Например за а=0, б=1 получаваме: - едно от решенията на системата.
Забележки.В алгоритъма на метода на Гаус видяхме (случай 1), че несъответствието на системата от уравнения се дължи на несъответствието на редиците на основната и разширената матрици. Представяме без доказателство следната важна теорема.
Теорема 7 (Кронекер - Капели). Система от линейни уравнения е последователна тогава и само ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица на системата.
Системи от линейни уравнения - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията „Системи на линейни уравнения“ 2017, 2018.
Така че неговите редове (или колони) са линейно зависими. Нека бъде дадена система, съдържаща m линейни уравнения с n неизвестни: 5.1. Нека въведем следната нотация. 5.2., - матрица на системата - нейната разширена матрица. - колона с безплатни членове. - колона с неизвестни. Ако ... ...
нелинейна оптимизация (NNO) и обратно. Постановка на проблема ZNO: Намерете (8.1) минимума или максимума в някаква област D. Както помним от Мат. анализ, частичните производни трябва да бъдат приравнени на нула. Така ZNO (8.1) беше редуциран до SNE (8.2) (8.2) n нелинейни уравнения. ....
Лекция 15 Помислете за нехомогенната система (16) Ако съответните коефициенти на хомогенната система (7) са равни на съответните коефициенти на нехомогенната система (16), тогава хомогенната система (7) се нарича съответната нехомогенна система (16) . Теорема. Ако ... [прочетете повече].
7.1 Хомогенни системи от линейни уравнения. Нека бъде дадена хомогенна система от линейни уравнения (*) Да предположим, че набор от числа е някакво решение на тази система. Тогава набор от числа също е решение. Това се проверява чрез директно заместване в уравненията на системата .....
Таблица 3 Етапи на двигателното развитие на детето Етап Възраст Показатели на двигателното развитие момента на раждане до 4 месеца Формиране на контрол върху позицията на главата и възможността за нейната свободна ориентация в пространството 4-6 месеца овладяване на началната ...
Определение 1. Система от линейни уравнения от вида (1), където полето се нарича система от m линейни уравнения с n неизвестни над полето, са коефициентите на неизвестните, са свободните членове на системата ( 1). Определение 2: Подредена n-ka (), където, се нарича решение на система от линейни ....
Системи от линейни уравнения. Лекция 6.
Системи от линейни уравнения.
Основни понятия.
Преглед на системата
Наречен система - линейни уравнения с неизвестни.
Цифрите ,, се наричат системни коефициенти.
Извикват се числата свободни членове на системата, – системни променливи... Матрица
Наречен основната матрица на систематаи матрицата
– матрична разширена система... Матрици - Колони
И съответно матрици на свободни членове и неизвестни на системата... След това, в матрична форма, системата от уравнения може да бъде записана под формата. Системно решениесе нарича стойностите на променливите, когато бъдат заместени, всички уравнения на системата се превръщат в истински числени равенства. Всяко решение на системата може да бъде представено под формата на матрица - колона. Тогава матричното равенство е валидно.
Системата от уравнения се нарича ставаако има поне едно решение и непоследователниако няма решение.
Да се реши система от линейни уравнения означава да се установи дали е съвместима и в случай на съвместимост да се намери нейното общо решение.
Системата се нарича хомогеннаако всичките му свободни членове са равни на нула. Една хомогенна система винаги е съвместима, тъй като има решение
Теорема на Кронекер - Копели.
Отговорът на въпроса за съществуването на решения на линейни системи и тяхната уникалност ни позволява да получим следния резултат, който може да бъде формулиран под формата на следните твърдения относно системата от линейни уравнения с неизвестни
(1)
Теорема 2... Системата от линейни уравнения (1) е последователна тогава и само ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената (.
Теорема 3... Ако рангът на основната матрица на съвместна система от линейни уравнения е равен на броя на неизвестните, тогава системата има уникално решение.
Теорема 4... Ако рангът на основната матрица на съвместима система е по -малък от броя на неизвестните, тогава системата има безкраен набор от решения.
Правила за системно решение.
3. Намерете израза на основните променливи от гледна точка на свободните и получете общото решение на системата.
4. Чрез даване на произволни стойности на свободните променливи се получават всички стойности на главните променливи.
Методи за решаване на системи от линейни уравнения.
Метод с обратна матрица.
освен това системата има уникално решение. Нека напишем системата в матрична форма
където 
,
,
.
Умножаваме двете страни на матричното уравнение вляво с матрицата
Тъй като тогава получаваме, откъдето получаваме равенство за намиране на неизвестни
Пример 27.Използвайки метода на обратната матрица, решете системата от линейни уравнения 
Решение. Нека обозначим с основната матрица на системата
.
Нека тогава намерим решението по формулата.
Нека изчислим.
Оттогава системата има уникално решение. Намерете всички алгебрични допълнения
,
,
,
,
,
,
,
,
Поради това
.
Да проверим
.
Обратната матрица е намерена правилно. Оттук, използвайки формулата, намираме матрицата на променливите.
.
Сравнявайки стойностите на матриците, получаваме отговора:.
Метод на Крамер.
Нека бъде дадена система от линейни уравнения с неизвестни
освен това системата има уникално решение. Нека запишем решението на системата в матрична форма или
Ние обозначаваме
. . . . . . . . . . . . . . ,
По този начин получаваме формули за намиране на стойностите на неизвестни, които се наричат Формулите на Крамер.
Пример 28.Решете следната система от линейни уравнения по метода на Крамер 
.
Решение. Нека намерим детерминантата на основната матрица на системата
.
Тъй като тогава системата има едно решение.
Нека намерим останалите детерминанти за формулите на Крамер
,
,
.
Използвайки формулите на Cramer, намираме стойностите на променливите
Метод на Гаус.
Методът се състои в последователно елиминиране на променливите.
Нека бъде дадена система от линейни уравнения с неизвестни.
Процесът на гаусово решение се състои от два етапа:
На първия етап разширената матрица на системата се редуцира чрез елементарни трансформации до стъпаловидна форма
,
къде, на която съответства системата
След това променливите 
се считат за свободни и във всяко уравнение се прехвърлят в дясната страна.
На втория етап променлива се изразява от последното уравнение, получената стойност се замества в уравнението. От това уравнение
променливата се изразява. Този процес продължава до първото уравнение. Резултатът е израз на основните променливи по отношение на свободните променливи 
.
Пример 29.Решете следната система, като използвате метода на Гаус
Решение. Нека изпишем разширената матрица на системата и да я намалим до стъпаловидна форма
.
Защото 
повече от броя на неизвестните, тогава системата е последователна и има безкраен набор от решения. Нека напишем системата за стъпаловидната матрица
Детерминантата на разширената матрица на тази система, съставена от първите три колони, не е равна на нула, поради което се счита за основна. Променливи
Те ще бъдат основни и променливата ще бъде безплатна. Прехвърляме го във всички уравнения в лявата страна
От последното уравнение изразяваме
Замествайки тази стойност в предпоследното второ уравнение, получаваме
където 
... Замествайки стойностите на променливите и в първото уравнение, откриваме 
... Пишем отговора в следната форма
Системите от уравнения се използват широко в икономическата индустрия при математическото моделиране на различни процеси. Например, при решаване на проблеми на управление и планиране на производството, логистични маршрути (проблем с транспорта) или разполагане на оборудване.
Уравнителните системи се използват не само в областта на математиката, но и във физиката, химията и биологията, при решаване на проблеми за намиране на размера на населението.
Система от линейни уравнения се нарича две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.
Линейно уравнение
Уравненията от вида ax + by = c се наричат линейни. Обозначението x, y е неизвестното, чиято стойност трябва да бъде намерена, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решението на уравнението чрез начертаване на неговата графика ще има формата на права линия, всички точки на която са решението на полинома.
Видове системи от линейни уравнения
Най -простите примери се считат за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.
F1 (x, y) = 0 и F2 (x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.
Решете система от уравнения - това означава намиране на такива стойности (x, y), при които системата се превръща в истинско равенство, или установяване, че няма подходящи стойности за x и y.
Двойка стойности (x, y), записани като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.
Ако системите имат едно общо решение или решението не съществува, те се наричат еквивалентни.
Хомогенните системи на линейни уравнения са системи, чиято дясна част е равна на нула. Ако дясната част след знака "равен" има стойност или е изразена с функция, такава система е хетерогенна.
Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример за система от линейни уравнения с три или повече променливи.
Когато се сблъскат със системи, учениците приемат, че броят на уравненията задължително трябва да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите; може да има колкото искате.
Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения
Няма общ аналитичен метод за решаване на такива системи, всички методи се основават на числени решения... V училищен курсматематиците описват подробно такива методи като пермутация, алгебрично добавяне, заместване, както и графичния и матричния метод, решението по метода на Гаус.
Основната задача при преподаването на решения е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптималният алгоритъм на решение за всеки пример. Основното нещо не е да запомните системата от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на прилагане на определен метод
Решение на примери за системи от линейни уравнения от 7 -ми клас на програмата общообразователно училищедоста просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решението на примери за системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по -подробно през първите години на висшите учебни заведения.
Решаване на системи по заместващ метод
Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива през втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата
Нека дадем решението на пример за система от линейни уравнения от 7 -ми клас по метода на заместването:
Както можете да видите от примера, променливата x беше изразена чрез F (X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата вместо X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решение този примерне създава никакви трудности и ви позволява да получите стойността на Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.
Не винаги е възможно да се реши пример със система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразът на променлива от гледна точка на втората неизвестна ще бъде твърде тромав за по -нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, решението чрез заместване също е непрактично.
Решение на пример за система от линейни неоднородни уравнения:
Решение за алгебрично добавяне
При търсене на решение на системите по метода на добавяне се извършват срочно събиране и умножение на уравненията с различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение в една променлива.
Този метод изисква практика и наблюдение. Не е лесно да се реши система от линейни уравнения чрез метода на добавяне с броя на променливите 3 или повече. Удобно е да се използва алгебрично събиране, когато в уравненията присъстват дроби и десетични числа.
Алгоритъм за действие на решението:
- Умножете двете страни на уравнението с някакво число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
- Добавете получения термин израз по термин и намерете едно от неизвестните.
- Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите останалата променлива.
Решение чрез въвеждане на нова променлива
Нова променлива може да бъде въведена, ако системата трябва да намери решение за не повече от две уравнения, броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.
Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава по отношение на въведената неизвестна и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.
Примерът показва, че чрез въвеждането на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартен квадратичен трином. Можете да разрешите полинома, като намерите дискриминанта.
Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта съгласно добре известната формула: D = b2 - 4 * a * c, където D е търсеният дискриминант, b, a, c са факторите на полинома. V даден пример a = 1, b = 16, c = 39, следователно D = 100. Ако дискриминантът е по -голям от нула, тогава има две решения: t = -b ± √D / 2 * a, ако дискриминантът е по -малък от нула, тогава има едно решение: x = -b / 2 * a.
Решението за получените системи се намира чрез метода на добавяне.
Визуален метод за решаване на системи
Подходящ за системи с 3 уравнения. Методът се състои в начертаване по координатната ос на графиките на всяко уравнение, включено в системата. Координатите на пресечните точки на кривите и ще бъдат общо решениесистеми.
Графичният метод има редица нюанси. Нека разгледаме няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.
Както можете да видите от примера, за всяка права линия бяха изградени две точки, стойностите на променливата x бяха избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x бяха намерени стойностите за y : 3 и 0. Точки с координати (0, 3) и (3, 0) бяха маркирани на графиката и свързани с линия.
Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на линиите е решението на системата.
В следния пример трябва да намерите графично решение на система от линейни уравнения: 0.5x-y + 2 = 0 и 0.5x-y-1 = 0.
Както можете да видите от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.
Системите от примери 2 и 3 са сходни, но при изграждането им става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се определи дали дадена система има решение или не, винаги е необходимо да се изгради графика.
Матрицата и нейните разновидности
Матриците се използват за кратко писане на система от линейни уравнения. Матрицата е таблица от специален вид, пълна с числа. n * m има n - редове и m - колони.
Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен помежду си. Векторната матрица е матрица с една колона с безкраен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича матрица на идентичността.
Обратна матрица е такава матрица, когато се умножи по която първоначалната се превръща в матрица на идентичност, такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.
Правила за трансформиране на система от уравнения в матрица
Приложено към системи от уравнения, коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като числата на матрицата, едно уравнение е един ред на матрицата.
Матричен ред се нарича ненулев, ако поне един елемент от реда е ненулев. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите се различава, тогава е необходимо да се напише нула вместо липсващата неизвестна.
Колоните на матрицата трябва строго да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестния y - само във втората.
При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.
Варианти на намиране на обратната матрица
Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / | K |, където K -1 е обратната матрица и | K | е определящият елемент на матрицата. | K | не трябва да е нула, тогава системата има решение.
Определителят лесно се изчислява за матрица два по два, просто трябва да умножите елементите по диагонала един с друг. За опцията "три по три" има формулата | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Можете да използвате формулата или да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че броят на колоните и редовете от елементи да не се повтарят в продукта.
Решение на примери за системи от линейни уравнения по матричния метод
Матричният метод за намиране на решение позволява да се намалят тромавите записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.
В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор x n са променливи и b n са свободни членове.
Гаусово решение на системите
Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решение на системите се нарича метод на Гаус-Крамер. Тези методи се използват за намиране на променливи системи с голям брой линейни уравнения.
Методът на Гаус е много подобен на решенията за заместване и алгебрично добавяне, но по -систематичен. В училищния курс решението на Гаус се използва за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да направи системата да изглежда като обърнат трапец. Стойността на една променлива в едно от уравненията на системата се намира чрез алгебрични трансформации и замествания. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, но 3 и 4 - съответно с 3 и 4 променливи.
След привеждане на системата в описаната форма, по -нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.
В училищните учебници за 7 клас пример за решение по метода на Гаус е описан, както следва:
Както можете да видите от примера, в стъпка (3) бяха получени две уравнения: 3x 3 -2x 4 = 11 и 3x 3 + 2x 4 = 7. Решението на някое от уравненията ще ви позволи да откриете една от променливите x n.
Теорема 5, спомената в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата бъде заменено с еквивалентно, тогава получената система също ще бъде еквивалентна на първоначалната.
Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците в гимназията, но това е един от най -интересните начини за развитие на интелигентността на децата, записани в програмата. задълбочено проучванев часовете по математика и физика.
За по -лесно записване на изчисленията е обичайно да се направи следното:
Коефициентите на уравненията и свободните условия се записват под формата на матрица, където всеки ред от матрицата е свързан с едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната страна. Римските цифри показват броя на уравненията в системата.
Първо, те записват матрицата, с която да работят, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака със стрелка и необходимите алгебрични действия продължават до постигане на резултата.
В резултат на това трябва да се получи матрица, в която един от диагоналите е 1, а всички останали коефициенти са равни на нула, тоест матрицата се редуцира до единична форма. Не забравяйте да направите изчисления с числата от двете страни на уравнението.
Този метод на запис е по -малко тромав и ви позволява да не се разсейвате от изброяването на множество неизвестни.
Безплатното приложение на всяко решение ще изисква грижи и определен опит. Не всички методи са с приложен характер. Някои начини за намиране на решения са по -предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват за образователни цели.
Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Декларация за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или контакт с него.
Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По -долу са дадени някои примери за типовете лична информация, които можем да събираме и как можем да използваме такава информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато оставите заявка на сайта, ние можем да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време можем да използваме вашата лична информация за изпращане на важни известия и съобщения.
- Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние можем да използваме предоставената от вас информация за администриране на тези програми.
Разкриване на информация на трети страни
Ние не разкриваме получена от вас информация на трети страни.
Изключения:
- Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в съдебни производства и / или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - за разкриване на вашата лична информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако установим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна - правоприемника.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Уважение към вашата поверителност на ниво компания
За да сме сигурни, че вашата лична информация е в безопасност, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно следим изпълнението на мерките за поверителност.