Решаване на системи за линейни алгебрични уравнения. Как да намерим общо и частно решение на система от линейни уравнения

Решаване на линейни системи алгебрични уравнения (Слава) е безспорно най-важната тема на линейната алгебра. Голямо количество Задачите от всички раздели на математиката намаляват за решаването на системи линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за създаването на тази статия. Статията е избрана и структурирана така, че с нея можете

изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
изследвайте теорията на избрания метод,
решете системата на линейни уравнения, разгледани подробно разглобени решения на характерни примери и задачи.

Кратко описание на материала на статията.

Първо, ние ще дадем всички необходими определения, концепции и въвеждане на нотация.

След това разглеждаме методи за решаване на системи на линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат едно решение. Първо, ние ще се съсредоточим върху метода на Крейър, второ, ще покажем метода на матрицата за решаване на такива системи на уравнения, трето, ще анализираме метода Гаус (метод за последователно изключване на неизвестни променливи). За да се осигури теорията, тя непременно ще решава няколко забавяния по различни начини.

След това преминем към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения на обща форма, в която броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е дегенерирана. Ние формулираме теоремата на Krocecker - Capelli, който ви позволява да създадете съвместимост на славята. Ние ще анализираме решаването на системите (в случай на тяхната съвместимост) с помощта на концепцията за основна мама на матрицата. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Определено ще се съсредоточим върху структурата на цялостното решение на хомогенните и нехомогенни системи на линейни алгебрични уравнения. Ние даваме концепцията за основна система за решение и показваме как се записва общото решение на славята, използвайки векторите на основната система за решения. За по-добро разбиране ще анализираме няколко примера.

В заключение, помислете за системата за уравнения, намалена до линейна, както и различни задачи, когато решавате наклон.

Навигация.

Определения, концепции, нотация.

Ще разгледаме системите от P линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p могат да бъдат равни на n)

Неизвестни променливи - коефициенти (някои валидни или сложни номера) - безплатни членове (също валидни или сложни числа).

Такава форма на писане се нарича координатна.

В форма на матрицата Записи Тази система на уравнения има формата
Където - основната матрица на системата, - матрица-колона с неизвестни променливи, - матрица-колона от свободни членове.

Ако добавите към матрицата и добавете колона с матрица-колона от свободни членове, тогава ние получаваме така наречените разширена матрица Системи за линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата t и колоната на свободните елементи е разделена от вертикалната линия от останалите колони, т.е.

Чрез решаване на системата от линейни алгебрични уравнения Обадете се на набор от стойности на неизвестни променливи, добавяйки всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за тези стойности на неизвестни променливи също адресира идентичността.

Ако системата на уравненията има поне едно решение, то се нарича става.

Ако системата на решенията няма, тогава се нарича не-стоп.

Ако единственото решение има едно решение, тогава се нарича дефинираниШпакловка Ако решенията са повече от един, тогава - несигурен.

Ако свободните условия на всички уравнения на системата са нула след това системата се нарича униформа, в противен случай - хетерогенни.

Решението на елементарните системи на линейните алгебрични уравнения.

Ако броят на системните уравнения е равен на броя на неизвестните променливи и детерминанта на неговата основна матрица не е нула, тогава такъв наклон ще бъде извикан елементарно. Такива системи на уравнения имат едно решение и в случай на хомогенна система, всички неизвестни променливи са нула.

Такъв шлем започнахме да учим гимназия. Когато са решени, ние взехме някакво уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, следвайки следното уравнение, изразиха следната неизвестна променлива и се заместваха с други уравнения и така нататък. Или използван метода на добавяне, т.е. две или повече уравнения, сгънати, за да изключат някои неизвестни променливи. Няма да спрем подробно тези методи, тъй като те са по същество модификации на метода Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи на линейни уравнения са методът на CRAMER, метода на матрицата и метода Гаус. Ще ги анализираме.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Cramer.

Нека трябва да разрешим система от линейни алгебрични уравнения

В който броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминанта на основната матрица на системата е различен от нула, т.е.

Нека - определящият файл на основната матрица на системата и - детерминанти на матрици, които се получават от заместване 1-ва, 2-ри, ..., n-wow Колона, съответно, в колоната на свободните членове:

При такава нотация неизвестните променливи се изчисляват, като се използват формулите на метода на Cramer като . Така че има решение на системата от линейни алгебрични уравнения по метода на Cramer.

Пример.

Метод на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Изчисляваме своя детерминант (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминанта на основната матрица на системата е различен от нула, системата има едно решение, което може да бъде намерено от метода на Cramer.

Ще съставяме и изчислим необходимите детерминанти (Получаваме определящия фактор, заменящ се в матрицата и първата колона на колоната на свободните елементи, определящия фактор - заменя втората колона на колоната на свободните елементи, - замяна на третата колона на матрицата и в колоната на свободните членове ):

Ние откриваме неизвестни променливи по формули :

Отговор:

Основният недостатък на метода на Cramer (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляването на детерминантите, когато броят на уравненията на системата е повече от три.

Решаване на системи за линейни алгебрични уравнения чрез метода на матрицата (като се използва обратна матрица).

Нека системата от линейни алгебрични уравнения са посочени в матричната форма, където матрицата А има измерението N върху N и неговият детерминант е различен от нула.

Тъй като, тогава матрицата А е обратима, т.е. има обратна матрица. Ако умножите двете части на равенството наляво, получаваме формулата за намиране на колона с неизвестни променливи. Така че имаме решение на система от линейни алгебрични уравнения метод на матрицата.

Пример.

Решете системата на линейни уравнения Метод на матрицата.

Решение.

Пренаписвам системата на уравнения в матричната форма:

Като

Че наклонът може да бъде решен чрез матричния метод. С помощта на обратната матрица, решението на тази система може да бъде намерено като .

Ние изграждаме обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични добавки на елементите на матрицата А (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли - матрицата с неизвестни променливи, умножаване на матрицата за връщане На матрицата-колона на свободните членове (вижте статията, ако е необходимо):

Отговор:

Или в друг запис x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Основният проблем при решаването на разтвори на линейни алгебрични уравнения, методът Matrix се състои в сложността на обратната матрица, особено за квадратни матрици от поръчката над третата.

Решаване на системи за линейни уравнения по метода Гаус.

Нека трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
Детерминанта на основната матрица е различен от нула.

Същността на метода Гаус Състои се в последователното изключване на неизвестни променливи: първо изключва X 1 от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това X 2 от всички уравнения, започващи от третото, и така нататък, докато остане само неизвестната променлива XN остава в последното уравнение. Такъв процес на конвертиране на системни уравнения за последователно изключване на неизвестни променливи се нарича директно движение на метода Гаус. След отстраняването на директното движение на метода Гаус от последното уравнение е х n, с помощта на тази стойност от предпоследното уравнение се изчислява, X N-1 се изчислява и така нататък X 1 се изчислява от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестните променливи при шофиране от последното уравнение на системата към първия се нарича първият връщане на метода Гаус.

Накратко опишете алгоритъм за изключване на неизвестни променливи.

Ние ще приемем, че тъй като винаги можем да постигнем тази пермутация на системните уравнения. Освен неизвестна променлива x 1 от всички уравнения на системата, започвайки от втората. За да направите това, второто уравнение на системата ще добави първото, умножено до третото уравнение, добави първото, умножено и така нататък, на N-то уравнението да добави първото, умножено по. Системата на уравненията след такива трансформации ще приеме формата

къде. .

Бихме стигнали до същия резултат, ако X 1 ще изрази х 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и получения израз, заместен във всички други уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, започвайки от втората.

След това действаме по същия начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, ние добавяме второто, умножено до четвъртото уравнение на четвъртото уравнение, второто, умножено, и така нататък, към N-то уравнението, добавете втората, умножена по. Системата на уравненията след такива трансформации ще приеме формата

къде. . По този начин променливата х 2 се изключва от всички уравнения, започвайки от третата.

След това преминете към изключването на неизвестен X 3, докато действате подобно на частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода Гаус, докато системата не приема

От този момент започваме обратния курс на метода Гаус: изчисляване на XN от последното уравнение, като използвайки получения XN, откриваме X N-1 от предпоследното уравнение и т.н., ние намираме x 1 от първия уравнение.

Пример.

Решете системата на линейни уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестна променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направите това, добавяме съответните части от първото уравнение към двете части на второто и третото уравнения, умножено по и съответно:

Сега, от третото уравнение, изключване X 2, добавяйки към левите и десните части лявата и дясната част на второто уравнение, умножено по:

По този начин директният ход на метода Гаус е завършен, започваме обратното.

От последното уравнение на получената система на уравнения, ние намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение откриваме оставащата неизвестна променлива и те завършват обратното движение на метода Гаус.

Отговор:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Решаване на системи за линейни алгебрични уравнения на обща форма.

В общия случай броят на уравненията на системата P не съвпада с броя на неизвестните променливи N:

Такъв наклон може да няма решения, да има едно решение или да има безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и до системите на уравнения, чиято основна матрица е квадратна и дегенерирана.

Теоремата на Kronkera - Capelli.

Преди да намерим решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи неговата съвместимост. Отговорът на въпроса, когато славяната е заедно, и когато е непълна, дава koncheker теорема - Capelli:
За да може системата от уравнения с n неизвестна (P може да бъде равна на n), е необходима и достатъчно, че рангът на основната матрица на системата е равен на ранга на удължена матрица, т.е. ранг ( А) \u003d ранг (t).

Помислете за примера използването на теоремата на Krakeker - Capelli за определяне на компилирането на системата от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения има решения.

Решение.

. Използваме метода на оживен малък. Непълнолетни от втори ред Различен от нула. Ние ще преодолеем непълнолетните от преден план:

Тъй като всички фундаментални непълнолетни на трета поръчка са нула, рангът на основната матрица е два.

От своя страна, ранг на удължена матрица равен на три, като малък от третия ред

Различен от нула.

По този начин, Следователно зрелището (A), на теоремата на Кракекер - Capelli, може да се заключи, че първоначалната система на линейните уравнения е непълна.

Отговор:

Системата за решения няма.

Така че, научихме се как да установим непълнотата на системата, използвайки теоремата Клекекер - Capelli.

Но как да се намери решение на славята, ако е инсталирана нейната съвместимост?

За да направите това, ние се нуждаем от концепцията на базовата мама на матрицата и теоремата на пръстена на матрицата.

Нарича се незначителен по най-висок ред на матрицата А, различен от нула, се нарича основа.

От дефиницията на основното незначително следва, че нейният ред е равен на маржа на матрицата. За ненулева матрица, но може да има няколко основни мальори, винаги е един основен малък.

Например, помислете за матрицата .

Всички непълнолетни на третия ред на тази матрица са нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първата и втората линия.

Основните са следните непълнолетни от втория ред, тъй като те са различни от нула

Минория Основните не са, тъй като те са нула.

Теорема по ранга на матрицата.

Ако пръстенът на поръчката р на п е равен на R, тогава всички елементи на струните (и колоните) на матрицата, които не образуват избраната базова мала, са линейно експресирани през съответните елементи на образуването на струни (и колони) базовата малка.

Какво ни дава теорема на ранга на матрицата?

Ако, върху теоремата на Kreconeker - Capelli, ние поставяме единиците на системата, ние избираме всяка основна маловажна матрица на системата (нейната поръчка е равна на r) и изключва от системата всички уравнения, които не образуват избраната база. Така полученият наклон ще бъде еквивалентен на оригинала, тъй като изхвърлените уравнения все още са ненужни (те са линейната комбинация от оставащите уравнения по посока на теоремата на матрицата).

В резултат на това след изхвърляне на излишните уравнения на системата са възможни два случая.

Ако броят на уравненията на R в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, той ще бъде сигурен и единственото решение може да бъде намерено от метода на Cramer, метода на матрицата или метода Гаус.

Пример.

Решение.

Ранг на основната система матрица равен на два, като втория ред Различен от нула. Ранг на удължена матрица Също равно на две, тъй като единственият малък от третия ред е нула

И второто по-горе, обсъдено по-горе, е различно от нула. Въз основа на теоремата на Krocecker - Capelli е възможно да се одобри споделянето на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като ранг (a) \u003d ранг (t) \u003d 2.

Като основен малък, вземете . Той представлява коефициентите на първото и второто уравнение:

Третото уравнение на системата не участва в образуването на базов непълнолетен, следователно, ние ще го изключим от системата въз основа на теоремата на ринг матрицата:

Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Чрез решаване на него с помощта на кратера:

Отговор:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ако броят на уравненията на r в получения наклон е по-малък от броя на неизвестните променливи N, след това в лявата част на уравненията, ние оставяме компонентите, които образуват базовото масло, останалите компоненти се прехвърлят в правилните части на системните уравнения с противоположния знак.

Наричат \u200b\u200bсе неизвестни променливи (техните R части), останали в лявата част на уравненията основен.

Наричат \u200b\u200bсе неизвестни променливи (техните n-R), които са били в правилните части, се наричат безплатно.

Сега вярваме, че безплатните неизвестни променливи могат да правят произволни стойности, докато R основните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез безплатни неизвестни променливи по единствения начин. Тяхното изразяване може да бъде намерено решаване на получената проба от метода на задвижване, метода на матрицата или метода на Гаус.

Ще анализираме примера.

Пример.

Решете системата на линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Откриваме ранга на основната матрица на системата Метода на оживените непълнолетни. Като ненулев малък от първия ред, вземете 1 1 \u003d 1. Нека започнем да търсим ненулева ненужна малка поръчка, която намалява това незначително:

Така че намерихме глупост на втория ред. Да започнем търсенето на ненулеви граници на третия ред:

Така рангът на основната матрица е три. Рангът на удължена матрица също е равен на три, т.е. системата е координирана.

Основаният ненулев ненуле от третия ред ще отнеме като основно.

За яснота показваме елементите, които формират базовата малка:

Ние оставяме компонентите на системата в лявата част на уравненията, участващи в базовото мило, останалите се прехвърлят с противоположни признаци на правилните части:

Дайте безплатни неизвестни променливи X 2 и X 5 произволни ценности, т.е. ние ще вземем Къде - произволни числа. В същото време, наклонът ще вземе

Получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения чрез решаване на системата за управление:

Следователно.

В отговор, не забравяйте да укажете безплатни неизвестни променливи.

Отговор:

Къде - произволни числа.

Обобщавам.

За да разрешите система от линейни алгебрични уравнения на общ тип, първо откриваме своята съвместимост, използвайки теоремата на Konpeker - Capelli. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на удължена матрица, тогава заключаваме непълнотата на системата.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширена матрица, тогава ние избираме базовото мило и изхвърляме уравнението на системата, която не участва в образуването на избраната база.

Ако редът на основния малък равен на броя Неизвестни променливи, слава има едно решение, което намираме всеки метод, известен на нас.

Ако редът на базовото масло е по-малък от броя на неизвестните променливи, след това в лявата част на уравненията на системата, ние оставяме компонентите с основните неизвестни променливи, оставащите компоненти се прехвърлят в правилните части и дават безплатни неизвестни променливи произволни стойности. От получената система на линейни уравнения ние намираме основните неизвестни променливи от производителя, метода на матрицата или метода на Гаус.

Метод Гаус за решаване на системи за линейни алгебрични уравнения на обща форма.

Методът Гаус може да разреши системата от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид без преди проучване на единици. Процесът на последователно изключване на неизвестни променливи ни позволява да заключим както съвместимостта, така и непълнотата на славата, а в случай на съществуването на решението го прави възможно да го намерим.

От гледна точка на изчислителната операция, методът Гаус е предпочитан.

Виж го подробно описание и разглобени примери в статията на метода Гаус за решаване на системи за линейни алгебрични уравнения на обща форма.

Запишете общото решение на хомогенни и нехомогенни системи на линейната алгебрична, като използвате векторите на основната система за решения.

В този раздел ще обсъдим съвместните хомогенни и нехомогенни системи на линейни алгебрични уравнения, имащи безкрайни решения.

Първо ще разберем с хомогенни системи.

Основни системи за системи Хомогенната система от P линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи се наричат \u200b\u200bнабор (n - R) линейно независими решения на тази система, където R е редът на базовата мама на основната матрица на системата.

Ако определяте линейно независими разтвори на хомогенен наклон като X (1), X (2), ..., X (NR) (x (1), X (2), ..., X (NR) - тези са матриците на размерните колони N с 1), общото решение на тази хомогенна система е представено под формата на линейна комбинация от вектори на фундаменталната система на разтворите с произволни постоянни коефициенти с 1, C 2, ..., \\ t C (NR), т.е.

Какво означават термина общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (оростал)?

Значението е просто: формулата задава всички възможни решения Оригиналната слава, с други думи, приемане на всички стойности на произволни константи C 1, C 2, ..., C (NR), според формулата, ще получим едно от решенията на началния хомогенен наклон .

Така, ако открием основна система на решения, ще можем да зададем всички решения на този хомогенен наклон като.

Нека покажем процеса на изграждане на основна система за решаване с хомогенен наклон.

Ние избираме основния малолет от първоначалната система на линейни уравнения, ние изключваме всички други уравнения от системата и се прехвърлят в правилните части на уравненията на системата с противоположни знаци, всички термини, съдържащи безплатни неизвестни променливи. Нека дадем безплатно неизвестна променлива стойност от 1.0.0, ..., 0 и изчислявам основното неизвестно, решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например от метода на задвижване. Така ще бъде получено X (1) - първото решение на фундаменталната система. Ако дадете безплатна неизвестна стойност 0.1.0.0, ..., 0 и изчислете главното неизвестно, тогава получаваме x (2). И т.н. Ако безплатните неизвестни променливи дават стойност от 0.0, ..., 0.1 и изчислете главното неизвестно, след това получаваме x (n-r). Това ще бъде изградена основна система от разтвори на хомогенен наклон и неговото общо решение може да бъде записано.

За нехомогенни системи на линейни алгебрични уравнения, общо решение е представено във формата, където е общото решение на съответната хомогенна система и частния разтвор на първоначалния нехомогенен наклон, който получаваме, давайки безплатна неизвестна стойност от 0.0, ..., 0 и изчисляване на стойностите на главните неизвестни.

Ще анализираме примерите.

Пример.

Намерете основна система за решения и общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения. .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенните системи на линейните уравнения винаги е равен на ранга на удължена матрица. Ние намираме ранга на основната матрица по метода на оживените непълнолетни. Като ненулев малък от първия ред, вземете елемента 1 1 \u003d 9 от основната матрица на системата. Ще открием границата на ненулевия ненуле от втория ред:

Непълнолетният от втори ред, различен от нула, намерени. Ние ще преодолеем малките храни от третата поръчка в търсене на ненулева:

Всички фокусирани от трета поръчка непълнолетни са нулеви, следователно рангът на основната и удължената матрица е две. Ние приемаме основния малък. Отбелязваме яснотата на елементите на системата, която я формира:

Третото уравнение на оригиналния наклон не участва в образуването на основния непълнолетен, следователно може да бъде изключено: \\ t

Ние оставяме подрежданията, съдържащи основните неизвестни в правилните части на уравненията, и носим термините с безплатни неизвестни в правилните части:

Ние изграждаме фундаментална система от решения на началната хомогенна система от линейни уравнения. Основната система на решенията на този склон се състои от две решения, тъй като първоначалният наклон съдържа четири неизвестни променливи, а редът на основната му минория е две. За да намерите x (1), нека дадем безплатна неизвестна променлива стойност x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, след това главното неизвестно да се намери от системата на уравнения
.

В училище всеки от нас проучи уравненията и със сигурност системата на уравнения. Но не много знаят, че има няколко начина да ги решите. Днес ще анализираме всички методи за решаване на система от линейни алгебрични уравнения, които се състоят повече от две равенства.

История

Към днешна дата е известно, че изкуството за решаване на уравненията и техните системи произхождат от древен Вавилон и Египет. Въпреки това, равенството в обичайната им форма се появи след знака на равенството "\u003d", което е въведено през 1556 г. от английския математик. Между другото, този знак не беше просто избран: това означава два паралелни равни сегмента. И истината, най-добрият пример за равенство не се появява.

Основателят на съвременните букви на неизвестните и признаци на градуси е френският математик, но нейните наименования се различават значително от днес. Например, квадратът на неизвестния номер показва буквата Q (LAT. "QUAPTUSUS") и кубът C (LAT. "Кубюн"). Тези наименования сега изглеждат неудобно, но тогава това е най-разбираем начин за записване на системата от линейни алгебрични уравнения.

Въпреки това, недостатъкът в тогавашните методи на решенията е, че математиката се считат за положителни корени. Може да се дължи на факта, че отрицателните стойности не са имали такива практическо приложение. Един или друг начин, но първият, който смяташе за негативните корени, беше италианските математици Николо Тарталия, Йероламо Кардано и Рафаел бомбено през 16 век. НО модерен изгледОсновният метод на решение (чрез дискриминантно) е създаден само през 17-ти век благодарение на произведенията на Декарт и Нютон.

В средата на 18-ти век швейцарският математик Габриел Крамер намери нов начин да се улесни решението на линейните уравнения. Този метод впоследствие беше кръстен след него и до този ден ги използваме. Но ще говорим за метода на DriveMan малко по-късно, но засега ще обсъдим линейни уравнения и методи за тяхното разделяне на тях отделно от системата.

Линейни уравнения

Линейните уравнения са най-лесните равенства с променлива (променлива). Те се смятат за алгебрични. Те се записват в обща форма: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Тяхното представяне в този формуляр ще бъде необходимо при събирането на системи и матрици.

Системи за линейни алгебрични уравнения

Дефиницията на този термин е: Това е комбинация от уравнения, които имат общи неизвестни стойности и общо решение. Като правило, в училище, всичко решава системите с две или дори три уравнения. Но има системи с четири или повече компонента. Нека първо да разберем как да ги записваме така, че в бъдеще е удобно да се реши. Първо, системата от линейни алгебрични уравнения ще изглежда по-добре, ако всички променливи се записват като X със съответния индекс: 1,2,3 и така нататък. Второ, трябва да се дават всички уравнения за каноничния вид: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b.

След всички тези действия можем да започнем да разказваме как да намерим решения на системи от линейни уравнения. Много за това ще използваме матрицата.

Матрица

Матрицата е таблица, която се състои от редове и колони и неговите елементи са разположени на тяхното пресичане. Те могат да бъдат специфични стойности или променливи. Най-често, за определяне на елементите, по-ниските индекси се поставят под тях (например 11 или А2). Първият индекс означава номера на линията и втората колона. По отношение на математиката, както и всеки друг математически елемент, можете да правите различни операции. Така можете:

2) Умножете матрицата към произволен номер или вектор.

3) Транспотиране: Обърнете линиите на матрицата в колоните и колоните са в линиите.

4) Умножете матрицата, ако броят на линиите на един от тях е равен на броя на колоните на друг.

Ще обсъдим по-подробно всички тези техники, тъй като те ще дойдат при нас по-късно. Изваждането и добавянето на матрици се среща много просто. Тъй като приемаме матрицата със същия размер, всеки елемент от една и съща таблица съответства на всеки елемент от друг. Така сгъваме (извадете) два от тези елементи (важно е те да стоят на едно и също място в техните матрици). Когато умножите матрицата към номер или вектор, просто умножите всеки матричен елемент към този номер (или вектор). Транспонирането е много интересен процес. Много интересно понякога го виждам реалния живот, например, при промяна на ориентацията на таблетка или телефон. Иконите на работния плот са матрица и когато позицията е променена, тя е транспонирана и става по-широка, но намалява височината.

Ще анализираме такъв процес, въпреки че не е полезен за нас, но така или иначе ще бъде полезно да го знаете. Умножете две матрици, могат да се умножат само при условие, че броят на колоните от една таблица е равен на броя на различните линии. Сега приемаме елементите на линиите на една матрица и елементите на съответната колона от другата. Придвижете ги един с друг и след това словете (т.е., например, продуктът на елементите А 11 и А 12 на В 12 и В22 ще бъде: A 11 * B 12 + A 12 * B 22). Така се получава един елемент от таблицата и се попълва по същия начин.

Сега можем да приемем как се решава системата от линейни уравнения.

Метод на Гаус

Тази тема започва да се извършва в училище. Ние добре знаем концепцията за "система от две линейни уравнения" и може да ги разреши. Но какво да правите, ако броят на уравненията е повече от две? Това ще ни помогне

Разбира се, този метод е удобен за използване, ако направите матрица от системата. Но не можете да го превърнете и да го решите в чиста форма.

Така че, как е този метод, решен от тази система на метода на уравнения на линейните гауса? Между другото, поне този метод е кръстен на него, но те го отвориха в древността. Gauss предлага следното: извършване на операции с уравнения, за да накрая цялата тотала към поетапен. Това е, необходимо е отгоре надолу (ако е правилно поставено) от първото уравнение на последния отказано едно неизвестно. С други думи, трябва да го направите така, че да успеем, да речем, три уравнения: в първите - три неизвестни, във втория - две, в третата. След това от последното уравнение откриваме първото неизвестно, ние заместваме стойността му във второто или първото уравнение и след това намеря останалите две променливи.

Метод на Крамер

За да овладеят този метод, е от жизненоважно значение да се притежават уменията на добавяне, изваждане на матрици и също така трябва да могат да намерят детерминантите. Затова, ако наистина не го правите всичко или изобщо, ще трябва да научите и практикувате.

Каква е същността на този метод и как да се направи системата от линейни уравнения на корера? Всичко е много просто. Трябва да изградим матрица от цифрови (практически) коефициенти на система от линейни алгебрични уравнения. За да направите това, ние просто вземаме номерата пред неизвестни и поставени в таблицата в реда, в който се записват в системата. Ако има знак "-" преди номера, тогава напишете отрицателен коефициент. Така че, ние отчитаме първата матрица на коефициентите на неизвестна, без да включваме номера след признаците на равенство (естествено е уравнението да бъде дадено на каноничната форма, когато само номерът е разположен отдясно, а отляво - всички неизвестни с коефициенти). След това трябва да направите още няколко матрица - по един за всяка променлива. За да направите това, ние сменяме в първата матрица нататък всяка колона с колона с коефициенти на цифри след знака за равенство. Така получаваме няколко матрица и след това ги откриваме детерминанти.

След като намерихме детерминантите, това е малко. Имаме начална матрица и има няколко получени матрица, които съответстват на различни променливи. За да получите системни решения, ние разделяме детерминанта на таблицата, получена към детерминанта на първоначалната таблица. Полученият номер е един от променливите. По същия начин откриваме всички неизвестни.

Други методи

Има още няколко метода, за да се получат решения на системи за линейни уравнения. Например, така нареченият метод Гаса Йордан, който се използва за намиране на решения на системата квадратни уравнения И също се свързва с използването на матрици. Има и метод Jacobi за решаване на система от линейни алгебрични уравнения. По-лесно е всички адаптирани за компютъра и се използва при изчисляване.

Комплексни случаи

Сложността обикновено се случва, ако броят на уравненията е по-малък от броя на променливите. Тогава със сигурност може да се каже, че или системата е неразбираема (т.е. тя няма корените), или количеството на неговите решения има склонност към безкрайност. Ако имаме втори случай - тогава трябва да запишете общото решение на системата от линейни уравнения. Тя ще съдържа поне една променлива.

Заключение

Така стигнахме до края. Нека обобщете: разглобете каква система и матрица се научихме да намерим общо решение на система от линейни уравнения. Освен това бяха прегледани други опции. Беше установено как се решава системата от линейни уравнения: метод Гаус и говори за сложни случаи и други начини за намиране на решения.

Всъщност тази тема е много по-обширна и ако искате да го разберете по-добре в нея, ние ви съветваме да прочетете повече специализирана литература.

Системи за линейни уравнения. Лекция 6.

Системи за линейни уравнения.

Основни понятия.

Системни видове

наречен система - линейни уравнения с неизвестно.

Числа, извикани системни коефициенти.

Номерата се наричат безплатни членове на системата, – системни променливи. Матрицата

наречен основната матрица на систематаи матрицата

– разширена система Matrix. Матрици - колони

И съответно матрици на свободни членове и неизвестни системи. След това в матрична форма, системата на уравненията може да бъде написана под формата. Системно решение Стойностите на променливите се наричат \u200b\u200bпри заместване, които всички уравнения на системата се отнасят до вярно цифрово равенство. Всеки разтвор на разтвор може да бъде представен като матрица - колона. Тогава матричното равенство е вярно.

Системата на уравненията се нарича става Ако има поне едно решение и не-стоп Ако няма решение.

За да се реши системата от линейни уравнения, това означава да се установи дали е съвместно и в случай на съвместимост да се намери цялостното му решение.

Системата се нарича униформа Ако всички негови свободни членове са равни на нула. Хомогенната система винаги е съвместна, тъй като има решение

Теоремата на Koncheker - Колосивно.

Отговорът на въпроса за съществуването на решения на линейни системи и тяхната уникалност дава възможност да се получи следният резултат, който може да бъде формулиран под формата на следните твърдения спрямо системата от линейни уравнения с неизвестно

(1)

Теорема 2.. Системата от линейни уравнения (1) се координира тогава и само когато рангът на основната матрица е равен на удължения ранг (.

Теорема 3.. Ако рангът на основната матрица на съвместната система от линейни уравнения е равен на броя на неизвестното, тогава системата има едно решение.

Теорема 4.. Ако рангът на основната матрица на съединителната система е по-малък от броя на неизвестното, тогава системата има безкрайни решения.

Правила за решаване на системи.

3. Намерете изразяването на основните променливи чрез безплатно и получавате общото решение на системата.

4. Нанасяне на безплатни променливи, произволни стойности получават всички стойности на основните променливи.

Методи за решаване на системи за линейни уравнения.

Метода на обратния матрикс.

освен това, т.е. системата има едно решение. Ние пиша системата в матрична форма

където , , .

Умножете двете части на матричното уравнение от лявата страна на матрицата

Защото, откъдето получаваме равенство, за да намерим неизвестен

Пример 27.Методът на обратната матрица решава система от линейни уравнения

Решение. Означава от основната матрица на системата

Позволявам, след това ще намери решение по формулата.

Изчисли.

Тъй като системата има едно решение. Намерете всички алгебрични допълнения

, ,

По този начин

Да проверим

Обратната матрица намери право. Оттук и формулата, ние намираме променливата матрица.

Сравнете матриците, вземете отговора :.

Метод на Cramer.

Нека системата от линейни уравнения с неизвестно

освен това, т.е. системата има едно решение. Пишаме решението на системата в матрична форма или

Обозначаваме

. . . . . . . . . . . . . . ,

По този начин получаваме формули за намиране на стойностите на неизвестни, които се наричат cramer Formulas..

Пример 28.Решаване на устройството със следната система на линейни уравнения .

Решение. Ние намираме детерминанта на основната матрица на системата

След това системата има едно решение.

Ще намерим останалите детерминанти за формулите на кратера

От роботни формули, ние намираме променливи стойности

Метод на Гаус.

Методът е да се осигури последователното изключване на променливите.

Нека да се даде система от линейни уравнения с неизвестни.

Процесът на решаване на метода Гаус се състои от два етапа:

На първия етап, разширената система на системата се дава с помощта на елементарни трансформации към стъпал.

където, което съответства на системата

След тези променливи Те се считат за свободни и във всяко уравнение се прехвърлят от дясната страна.

На втория етап променливата се изразява от последното уравнение, получената стойност е заместена в уравнението. От това уравнение

променливата се изразява. Този процес продължава към първото уравнение. В резултат на това се оказва израз на основните променливи чрез свободни променливи. .

Пример 29. Решете метода на Гауса Следваща система

Решение. Отблъскваме разширената система на системата и го даваме на стъпката

Като По-неизвестни номера, след това системата е съвместно и има безкрайни решения. Напишете системата за стъпална матрица

Детерминанта на удължената матрица на тази система, съставен от трите първите колони, не е равна на нула, така че го смятаме за основна. Променливи

Ще има основна и променлива - безплатно. Ние го прехвърляме във всички уравнения вляво

От последното уравнение Експрес

Замествайки тази стойност в предпоследното второ уравнение, ние получаваме

от . Основават стойностите на променливите и в първото уравнение, ние намираме . Отговор Напишете в следния формуляр

Решението на системите на линейните алгебрични уравнения е една от основните задачи на линейната алгебра. Тази задача има важна приложна стойност при решаването на научни и технически проблеми, освен това, той е спомагателен в прилагането на много алгоритми за изчислителна математика, математическа физика, обработване на резултатите от експериментални изследвания.

Система за линейни алгебрични уравненияобадете се на системата на уравнения на формуляра: (1)

където – неизвестен; - свободни членове.

Чрез решаване на системата на уравнения (1) Обадете се на цялата комбинация от числа, които се доставят в системата (1) на мястото на неизвестното също така привлича всички уравнения на системата до подходящото числово равенство.

Системата на уравненията се нарича ставаАко има поне едно решение и не-стопако не и решения.

Съвместна система на уравнения дефинираниАко има едно единствено решение и несигуренАко има поне две различни решения.

Две системи за уравнения еквивалентенили еквивалентенАко имат същия набор от решения.

Система (1) наречена униформаАко свободните членове са нула:

Хомогенната система е винаги съвместна - тя има разтвор (може би не единственият).

Ако в системата (1), тогава имаме система н. Линейни уравнения S. н. Неизвестно: къде – неизвестен; - Коефициенти на неизвестни - свободни членове.

Линейна система Тя може да има едно решение, безкрайно много решения или да няма едно решение.

Помислете за система от две линейни уравнения с две неизвестни

Ако системата има едно решение;

ако системата няма решения;

ако след това системата има безкрайни решения.

Пример. Системата има едно решение няколко числа.

Системата има безкрайни решения. Например, решенията на тази система са двойки числа и др.

Системата няма решения, тъй като разликата от две числа не може да получи две различни стойности.

Определение. Определящ на втория редобадете се на израз на формуляра:

Обозначава с определянето с D. символ

Числа но 11, …, но 22 се нарича елементи на детерминанта.

Диагонал, образуван от елементи но 11 ; но 22 Обадете се главен Диагонал, образуван от елементи но 12 ; но 21 − себе си.

Така детерминанта на втория ред е равен на разликата в продуктите на елементите на основните и страничните диагонали.

Обърнете внимание, че отговорът е номерът.

Пример.Изчисляваме детерминантите:

Помислете за система от две линейни уравнения с две неизвестни: къде х. 1, х. 2 – неизвестен; но 11 , …, но 22 - Коефициенти в неизвестни, б. 1 , Б. 2 - безплатни членове.

Ако системата от две уравнения с две неизвестни има едно решение, то може да бъде намерено с помощта на детерминанти от втора употреба.

Определение. Определянето на коефициенти, съставено от коефициенти при неизвестни системен детерминант:D \u003d.

В колоните на детерминанта D, коефициентите са подходящо х. 1 и като , H. 2. Въвеждаме две. допълнителен детерминант,които се получават от детерминанта на системата чрез замяна на една от колоните с колона от свободни членове: D 1 \u003d D2 \u003d.

Теорема 14. (Cramer, за случай n \u003d 2).Ако системата детерминанта D е различна от нула (d '0), тогава системата има едно решение, което се намира чрез формули:

Тези формули се наричат cramer Formulas.

Пример.Разрешаване на системата според правилото на Cramer:

Решение.Намерете номера

Отговор.

Определение. Детерминант на трета поръчкаобадете се на израз на формуляра:

Елементи но 11; но 22 ; но 33 - образуват основния диагонал.

Числа но 13; но 22 ; но 31 - образуват страничен диагонал.

Записът с плюс включва: работата на елементите на главния диагонал, оставащите два термина са продукт на елементи, разположени в върховете на триъгълниците с базите, успоредни на основния диагонал. Компонентите с минус формуляр за една и съща схема спрямо страничния диагонал.

Пример.Изчисляваме детерминантите:

Помислете за система от три линейни уравнения с три неизвестни: къде – неизвестен; - Коефициенти на неизвестни - свободни членове.

В случай на едно решение, системата от 3-линейни уравнения с три неизвестна може да бъде решена, използвайки детерминантите на третия ред.

Определянето на системата D има формата:

Ние въвеждаме три допълнителни детерминанта:

Теорема 15. (Крамър, за случай n \u003d 3).Ако определянето D на системата е различно от нула, тогава системата има едно решение, което се намира в съответствие с роботните формули:

Пример. Решавам системата според управлението на Cramer.

Решение. Намерете номера

Използваме Forwler Formulas и намираме решението на източника на системата:

Отговор.

Имайте предвид, че теоремата Cramer е приложима, когато броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и когато системата се определя от нула.

Ако определянето на системата е нула, тогава в този случай системата може или да има решения или да има безброй решения. Тези случаи се разглеждат.

Забележете само един случай. Ако определянето на системата е нула (d \u003d 0) и поне един от допълнителните детерминанти е различен от нула, тогава системата на решенията не е, която е непълна.

Теоремата на Cramer може да бъде обобщена за системата н. Линейни уравнения S. н. Неизвестно: къде – неизвестен; - Коефициенти на неизвестни - свободни членове.

Ако определянето на системата от линейни уравнения с неизвестен, тогава единственият разтвор на системата се намира в зависимост от роботните формули:

Допълнителният детерминант се получава от детерминанта D, ако има колона от коефициенти на неизвестно x I. Замени колоната на свободните членове.

Имайте предвид, че детерминантите d, d 1, ..., d Н. имам ред н..

Системи за решаване на системи за линейни уравнения на Гаус

Един от най-често срещаните методи за решаване на системи за линейни алгебрични уравнения е методът за последователно изключване на неизвестното -Method Gaussa.. Този метод Това е обобщение на метода на заместване и се състои в последователното изключване на неизвестни, докато едно уравнение с едно неизвестно остане.

Методът се основава на някои трансформации на системата от линейни уравнения, в резултат на което се получава системата, еквивалентна на източника. Алгоритъмът на метода се състои от два етапа.

Първият етап се нарича директен инсулт Метод на Гаус. Състои се в последователното изключване на неизвестни от уравнения. За това, в първата стъпка, първото уравнение на системата (в противен случай уравненията на системата са пермутация). Означават коефициентите на полученото уравнение, доминирани от коефициента и се изваждат от второто уравнение на системата, с изключение на това, от второто уравнение (нулиране на коефициента).

По същия начин те идват с останалите уравнения и получават нова система, във всички уравнения, от които, започвайки от вторите коефициенти, се съдържат само нули. Очевидно е, че новата система ще бъде еквивалентна на източника.

Ако нови коефициенти, не всички са нула, могат да бъдат изключени от третото и последващите уравнения. Продължавайки тази операция за следните неизвестни, водете системата до така наречената триъгълна форма:

Тук са символи и се посочват в резултат на цифрови коефициенти на трансформации и свободните членове.

От последното уравнение на системата се определя уникалният начин и след това последователното заместване - останалите неизвестни.

Коментар. Понякога, в резултат на трансформации, във всяко от уравненията, всички коефициенти и дясната част се третират в нула, т.е. уравнението се превръща в идентичност 0 \u003d 0. Изключване на такова уравнение от системата, намаляване на броя на уравненията в сравнение с броя на неизвестните. Такава система не може да има едно решение.

Ако, в процеса на прилагане на метода Гаус, някои уравнение ще се превърнат в равенство на формуляра 0 \u003d 1 (коефициентите в неизвестното обжалват 0, а дясната страна приеха ненулева стойност), след това първоначалната система няма Решение, тъй като такова равенство е неправилно за неизвестни стойности.

Помислете за система от три линейни уравнения с три неизвестни:

където – неизвестен; - Коефициенти на неизвестни - свободни членове. Заместник

Решение.Прилагане на метода Гаус към тази система, ние получаваме

От мястото, където последното равенство е неправилно с всякакви стойности на неизвестни, системата няма решение.

Отговор. Системата няма решения.

Обърнете внимание, че по-ранният метод на Kramer може да се използва при решаване само на тези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните, а определянето на системата трябва да бъде различно от нула. Методът Гаус е по-гъвкав и подходящ за системи с произволен брой уравнения.

Тема 2. Решаване на системи на линейни алгебрични уравнения директни методи.

Системите за линейни алгебрични уравнения (съкратени - наклона) се наричат \u200b\u200bсистеми на уравненията на формата

или, в матрична форма,

А. × х. = Б. , (2.2)

А. - размери на коефициентите на системните коефициенти на матрицата н. ´ н.

х. - векторно неизвестен, състоящ се от н. съставна част

Б. - Векторни части на системата, състояща се от н. съставна част.

А. = х. = Б. = (2.3)

Решението на славята е такъв набор от н. числа, които са заместени вместо стойности х. 1 , х. 2 , … , x N. системата (2.1) осигурява равенството на лявата част на всички уравнения.

Всеки наклон в зависимост от стойностите на матриците А. и Б. Може да се наложи

Едно решение

Безкрайно много решения

Не едно решение.

В този курс ще разгледаме само тези, които имат единственото решение. Необходимо I. достатъчно състояние Това е неравенството нулево определяне на матрицата А. .

За да търсите решения за системи за линейни алгебрични уравнения, могат да се извършват някои трансформации, които не променят своите решения. Еквивалентни трансформации Линейни уравнения се наричат \u200b\u200bтакива трансформации, които не променят своите решения. Те включват:

Пренареждане по места от две системи за система (трябва да otti, които в някои случаи се считат по-долу, е невъзможно да се използва това прекъсване);

Умножение (или разделение) на всяко уравнение на системата на число, което не е равно на нула;

Добавянето на едно уравнение на система от друго уравнение, умножено (или разделено), не е равно на нулевия номер.

Методите за решаване на славята са разделени на две големи групи, наречени - директни методи и итеративни методи. Съществува и метод за информацията за проблема за решаване на наклона към задачата за търсене на екстремната функция на няколко променливи, последвани от решаването на методите за търсене на екстрема (за по-подробно при преминаване на съответната тема). Директните методи осигуряват точна система (ако съществува) в една стъпка. Итеративни методи (ако тяхното сближаване са осигурени) ви позволяват многократно да подобрите първоначалния подход към желаното решение на славата и, като цяло, точното решение никога няма да бъде дадено. Въпреки това, предвид факта, че директните методи за решаване поради неизбежните грешки при закръгляването при междинни етапи на изчисленията също осигуряват напълно точни разтвори, итеративните методи могат също да осигурят приблизително същия резултат.

Директни методи решават слава. Най-често използваните директни методи за решаване на славята са:

MRAMER метод,

Метод Гаус (и неговата модификация - Метод на Гауса-Йордан)

Метод на матрицата (използвайки matrix circulation А. ).

Метод на Крамер въз основа на изчисляването на детерминанта на основната матрица А. и детерминанти на матриците А. 1 , А. 2 , …, Н. , които се получават от матрицата А. замяна в един ( i.-Ho) колона ( i.= 1, 2,…, н.) на колона, съдържаща векторни елементи Б. . След това, разтворът се определя като частично да се разделят стойностите на тези детерминанти. По-точно изчислените формули имат такъв вид

(2.4)

Пример 1.. Намерете метода на Cramer, решението на славята, което

А. = , Б. = .

. \\ T

А 1. = , А2. = , А 3. = , А 4. = .

Ние изчисляваме стойностите на детерминантите на всичките пет матрици (използвайки функцията на Mopred Medium Excel). Получаване

Тъй като определянето на матрицата А. Не е равно на нула - системата има едно решение. След това го определяме според формулата (2.4). Получаване

Метод на Гаус. Решение Slava Този метод включва компилиране на удължена система за система А. * . Удължената система на системата е размер на матрицата в н. Редове I. н.+1 Колони, включително оригиналната матрица А. c прикрепен към дясната колона, съдържаща вектор Б. .

A * = (2.4)

Тук a в + 1 \u003d b i (i \u003d. 1, 2, …, н. ).

Същността на метода Гаус е да донесе (чрез еквивалентни трансформации) Удължена система за система в триъгълна форма (така че само нулевите елементи са разположени под основния му диагонал).

А. * =

След това, започвайки от последния ред и се движите нагоре, можете последователно да определяте стойностите на целия компонент на разтвора.

Началото на трансформацията на разширена система за система към необходимия тип е да се видят стойностите на коефициентите, когато х. 1 и избиране на низ, в който има максимална стойност на абсолютна стойност (това е необходимо за намаляване на стойността на изчислителната грешка при последващи изчисления). Този низ от удължена матрица трябва да се променя на места от първия ред на неговата линия (или, какво е по-добре, за да се сгъне (или приспадане) с първия низ и резултатът е поставен в първия ред). След това всички елементи на тази нова първа линия (включително в последната си колона) трябва да бъдат разделени на този коефициент. След това новоизложеният коефициент а. 11 ще стане равно на един. Освен това от всяка от останалите линии на матрицата, е необходимо да се извади първата му струна, умножена по стойност на коефициента, когато х. 1 в този ред (т.е. по величина а I. 1 където i. =2, 3, … н. ). След това във всички редове, започващи с вторите коефициенти в х. 1 (т.е. всички коефициенти а I. 1 (i. =2, …, н. ) Ще бъде нула. Тъй като извършихме само еквивалентни трансформации - решението на новоизложената слава няма да се различава от източника.

Освен това, оставяйки първия низ от матрицата, ние ще направим всички гореописани действия с останалите редове на матрицата и, в резултат на това, наскоро полученият коефициент а. 22 ще бъде равен на един и всички коефициенти а I. 2 (i. =3, 4, …, н. ) ще бъде равен на нула. Продължавайки подобни действия, ние в крайна сметка даваме нашата матрица към формата, в която всички коефициенти а II. = 1 (i. =1, 2, …, н.) и всички коефициенти a ij. = 0 (i. =2, 3, …, н., й.< i.). Ако е стъпка, когато търсите най-голямата в абсолютната стойност на коефициента, когато x J. няма да можем да намерим ненур от коефициента - това ще означава, че оригиналната система няма едно решение. В този случай процесът на вземане на решение трябва да бъде преустановен.

Ако процесът на еквивалентна трансформация приключи успешно, тогава получената "триъгълна" удължена матрица ще съответства на такава система от линейни уравнения:

От последното уравнение на тази система ще намерим стойност x N. . След това замествате тази стойност в предпоследното уравнение, ще намерим стойността x N. -1 . След това замествате и двете от тях намерени стойности в третата под уравнението на системата, ще намерим стойността x N. -2 . Продължавайки така и се движат по уравнението на тази система отдолу нагоре, ние последователно ще намерим стойностите на други корени. И накрая, заместване на установените стойности x N. , x N. -1 , x N. -2 , х. 3 и х. 2 В първото уравнение на системата, намираме стойността x 1. Такава процедура за намиране на стойности на ROOR на триъгълна матрица обратен. Процесът на привеждане на първоначалната удължена матрица чрез еквивалентни трансформации към триъгълния външен вид директен инсулт Метод на Гаус ..

Достатъчно детайлен алгоритъм на решенията на метода Гаус е показан на фиг. .2.1 и Фиг. 2.1a.

Пример 2.. Намерете метода Gauss, решението на същия наклон, който вече сме решили метода на краката. Подгответе първата си разширена матрица. Получаване

А. * = .

Първо, пренаредете първите и трети линии на тази матрица (тъй като е елементът в първата си колона в първата му колона), и след това разделяме всички елементи от този нов първи низ до 3. Получаване

А. * = .

А. * =

Освен това пренаредете втората и третата линия на тази матрица, ние разделяме втория низ от пренаредената матрица при 2.3333 и, подобно на описаните по-горе, нулирайте коефициентите във втората колона на третата и четвъртата линия на матрицата. Получаване

А. * = .

След извършване на такива действия над третия и четвъртия редици на матрицата, ние получаваме

А. * = .

Като разделяте сега четвъртата линия на -5.3076, ние ще завършим поведението на удължена система за система към диагонална форма. Получаване

Фиг. 2.1. Алгоритъм за решаване на системи за линейни алгебрични уравнения от Гаус

Фиг. 2.1a. Macriblock."Изчисляване на стойностите на разтвора."

А. * = .

От последния ред веднага получаваме х. 4 = 0.7536. Издигането сега нагоре по редовете на матрицата и изпълнението на изчисленията, ние последователно получаваме х. 3 = 0.7971, х. 2 =- 0.1015 и х. 1 = 0.3333. Сравняване на разтвора, получен по този метод с разтвора, получен чрез метода на Cramer, не е трудно да се провери тяхното съвпадение.

Метод Гауса-Йордан. Този метод на разтвора е до голяма степен подобен на метода Гаус. Основната разлика е, че използването на еквивалентни трансформации, удължена матрица на системата на уравненията не се дава на триъгълна форма, а към диагонална форма, от основния диагонал, от които са единици и извън нея (с изключение на последното н. +1 Колона) - нули. След края на такава трансформация последната колона на разширената матрица ще съдържа разтвора на първоначалния наклон (t, E. x I. = а. I. Н. +1 (i. = 1, 2, … , н. ) в получената матрица). Обратното движение (както в метода Гаус) за крайните изчисления на стойностите на компонента на разтвора - не е необходимо.

Рязането на матрицата към диагонална точка се извършва главно, както и в метода Гаус. Ако в ред i. Коефициентът е x I. (i. = 1, 2, … , н. ) в абсолютна стойност малка, тогава търсенето се търси й. в който коефициентът коефициент x I. това ще бъде най-голямото в абсолютната стойност на това ( й. -I) се добавя низ последователно i. - този ред. Тогава всички елементи i. - th Rows са разделени на стойност на елемента x I. Но, за разлика от метода Гаус, след това се изважда от всеки ред с номера й. редове с номер i. умножено по ji. , но състояние й. > i. заменен с служителите на метода на Гауса-Йордан, се приспада от всеки ред с номера й. , освен това й. # i. , редове с номер i. умножено по ji. . Тези. Коефициентите се нулират както под и над основния диагонал.

Достатъчно детайлен алгоритъм за решаване на слова метода на Гаус-Йордан е показан на фиг. 2.2.

Пример 3.. Да намерим решението на Гаус-Йордан до една и съща слава, която вече сме решили методите на Крамър и Гаус.

Напълно подобен на метода Гаус ще бъде разширена система за система. След това пренаредете първите и трети линии на тази матрица (тъй като първата му колона е най-големият елемент в първата си колона), а след това разделяме всички елементи от тази нова първа линия до 3. След това изпълняваме изваждането от всеки ред Матрицата (с изключение на първите) елемента на първите редове, умножена по коефициента в първата колона на този ред. Получаваме същото като в метода Гаус

А. * = .

Допълнително пренареждане на местата на втората и третата линия на тази матрица, ние разделяме втория низ от пренаредената матрица с 2.3333 и ( вече за разлика от метода Гаус) Нулирайте коефициентите във втората колона на първата, третата и четвъртата реда на матрицата. Получаване