Издърпване на бели черни топки. Вероятност допълващ теорема: вероятността от едно (безразлично) събитие от няколко непълни събития е равна на сумата от тяхната вероятност

Лекция 1. .

Цели, цели и структура на медицинската и биологичната физика. Нейното място и роля в системата на медицинското образование, тълкуване на връзки с други биомедицински и клинични дисциплини.

Вероятност на биомедицинските процеси. Елементи на теорията на вероятностите. Вероятността за случайно събитие. Законът за добавянето и умножаването на вероятностите.

Принципи на вероятностни подходи към задачите на диагностиката и прогнозните заболявания.

Теория на вероятностите

В теория на вероятностите се изследват закономерности, принадлежащи към случайни събития, ценности, процеси. Лекарите рядко смятат, че диагнозата има вероятностна природа и като остроумен се наблюдава, само патологични проучвания могат значително да определят диагностицирането на починалия човек.

§2.1. Случайно събитие. Вероятност

Наблюдение на различни явления, може да се отбележи, че съществуват два вида връзки между условията S и началото или неприемливостта на някои събития НО.В някои случаи прилагането на сложния слой (тест) със сигурност води до събитие НО.Така например, материалната точка е маса t. 0 под влиянието на сила Е. (състояние С.) ускорението придобива но= Е./ м. 0 (Събитие НО).В други случаи, многократно повторение на тестване или не води до появата на събитие А. Такива събития са обичайни наречени случайно: те включват появата на пациент с дадено заболяване в офиса на пациент с определена страна на монетата по време на хвърлянето и т.н.

Не трябва да се мисли за случайни явления като нещастни, нищо не е причинено. Известно е, че много явления са взаимосвързани, отделно явление представлява следствие от някой друг и сам по себе си причинява последващо. Въпреки това, проследяването на количествената връзка между условията и събитието често е трудно или дори невъзможно. Така че, когато хвърляте играч (хомогенен куб с номерирани лица: 1, 2, 3, 4, 5 и 6), крайното положение на куба зависи от движението на ръката по време на хвърляне, съпротивление на въздуха, Позицията на куба при влизане в повърхността, повърхностните характеристики, на които падна кубчето, и други фактори, които не могат да бъдат взети под внимание.

В ежедневието по отношение на такива случайни събитияизползвате думите "възможно", "вероятно", "малко вероятно", "невероятно". В някои случаи такава оценка повече характеризира желанието на оратора, отколкото истинската степен на възможност или невъзможността на събитие. Въпреки това, случайни събития, ако техният брой е достатъчно голям, спазват определени модели. Количествената оценка на моделите, свързани с случайни събития, се дава в частта на математиката, наречена теория на вероятностите.

Теорията на вероятността изследва моделите, присъщи на масовите (статистически) случайни събития.

Отделни исторически факти, "изненади", "катастрофа" са изолирани, сякаш уникални, събития и количествени вероятности са невъзможни по отношение на тях. Исторически, теорията на вероятността се появява във връзка с опитите за преброяване на възможността за различни резултати в хазарта. Понастоящем тя се използва в науката, включително биологията и медицината, за да се оцени вероятността от практически важни събития. Само визуални примери остават от игри, които са удобни за използване, за да илюстрират теоретичните позиции.

Статистическа дефиниция на вероятността.Вероятност R (a)ввероятност Теориите действат като числена характеристика на степента Възможна външен вид на конкретно случайно събитие А с повтарящо се повторение на тест.

Да предположим, с 1000 хвърляния на играта, числото 4 капки 160 пъти. Съотношението 160/1000 \u003d 0.16 показва относителната честота на Fallout Number 4 в тази тестова серия. В по-общ случай, когато възникне случайно събитие t.веднъж в поредицата пснезависими тестове относителна честота на сътрудничество битие в тази серия от тестове или просто честотата на събитието

С голям брой тестове, честотата на събитието е приблизително постоянна: увеличаването на броя на тестовете намалява трептене на честотата на събитието, която е близо до постоянната стойност.

Вероятността за случайно събитие ще се нарече границата, до която честотата на събитията се стреми с неограничено увеличение на броя на тестовете:

(2.2)

Естествено, никой никога няма да може да направи неограничен брой тестове, за да определи вероятността. Няма нужда от това. Практически за вероятността [виж (2.2)] Можете да вземете относителната честота на събитието с голям брой тестове. Така например, от статистически закони на раждането, създадена в продължение на много години на наблюдения, вероятността от събитието, че новороденото ще бъде момче, се оценява на 0.515.

Класическа вероятностна дефиниция.Ако няма причини за тестване, в резултат на което един случай би се появил по-често от други. (равновесни събития идиот) възможно е да се определи вероятността въз основа на теоретични съображения. Например, разберете в случай на леене на монети, честотата на емблемата на герба на ръцете (събитие НО).Показани са различни експериментатори от няколко хиляди тестове, че относителната честота на такова събитие взема стойностите близо до K0.5. Като се има предвид, че появата на герба и обратната страна на монетата (събитие В)са равни растения, ако монетата е симетрична, преценка R (a)= P (B)\u003d 0.5 може да се направи без да се определя честотата на тези събития. Въз основа на концепцията за "равни възможности" на събитията се формулира друго определение за вероятност.

Да предположим, че в резултат на теста само един от псравновесие непълни събития (непълна събития за повикване, ако тяхното едновременно изпълнение е невъзможно). Нека разглежданото събитие НОсе случва в t.случаи, които се наричат \u200b\u200bблагоприятни а, това се случва с останалите p - t,неблагоприятен НО.Тогава вероятността може да се нарече благоприятно случаи до общия брой равновесието местни събития:

P (a) \u003dм./ н. . (2.3)

то класическа вероятностна дефиниция.

Разгледайте няколко примера.

1. В урната има 40 топки: 10 черни и 30 бели. Намерете вероятността разкритата на случайна топка да бъде черна.

Броят на предпочитаните случаи е равен на броя на черните топки в урната: t \u003d.10. Общият брой на равновесните събития (премахване на една топка) е равен на общия брой топки в урната: пс\u003d 40. Тези събития са непълни, като един и само една топка се отстранява. С формула (2.3) имаме:

R (a)= 10/40 = 1/4.

2. Намерете вероятността да намалите четно число при хвърляне на игрална кост.

При хвърляне на костите се прилагат шест равновесни непълни събития: появата на една цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6, т.е. n \u003d.6. Лъжните случаи са капки от един от числата 2, 4 или 6: t \u003d.3. Желаната вероятност:

P (a) \u003dм./ н. – 3/6 = 1/2.

Както може да се види от определенията на вероятността на събитие (2.2) и (2.3), за всички събития 0  R (a) 1.

Събитията, които в тези тестове не могат да се появят, се наричат \u200b\u200bневъзможно: вероятността им е равна нула.

Така че, например, е невъзможно да се издърпа червената топка с бели и черни топки, е невъзможно да се получи номер 7 на игра.

Събитие, което се изисква с този тест ще се появи, наречена надеждна, нейната вероятност на 1.

Пример за надеждно събитие е извличането на бяла топка от URN, в която се намират само бели топки.

В някои случаи е по-лесно да се изчисли вероятността от събитие, ако го изпратите под формата на комбинация от по-прости събития. Тази цел е част от теоремите на теорията на вероятността.

Вероятност допълващ теорема:вероятността от външен вид едно (безразлично какво) събитие от няколко глупости местните събития са равни на сумата на техните вероятности. За две непоследователни събития

P (А.или C) \u003d p (a) + p (b).(2.4)

Доказваме тази теорема. Нека бъде пс - общ брой тестове, t. 1 - броя на случаите, които благоприятни събития А, t. 2 - броя на случаите, които водят до събития В.Броят на случаите, благоприятстващ офанзивата или събитието НО,или събития В,по равно м. 1 +м. 2 . Тогава P (А.или C) \u003d (t 1 + Т. 2 ) / n \u003d t 1 / p + t 2 / P.Следователно, като се има предвид (2.3), ние имаме

P (А.или C) \u003d p (a) + p (b).

* Намерете вероятността от капки 1 или 6 при хвърляне на игрална кост.

Събития НО(отпадане 1) и В (полагането 6) са равни на: P (a) \u003d p (c) \u003d1/6, така че от (2.4) откриваме P (А.или C) \u003d 1/6 + 1/6 \u003d 1/3.

Добавянето на вероятности е валидно не само за две, но ии за произволен брой непълни събития.

* В урната има 50 топки: 10 бяла, 20 черна, 5 червена и 15 синя. Намерете вероятността от появата на бяла или черна или червена топка с еднократна работа на гърчовете на топката от урната.

Вероятността за отстраняване на бяла топка (събитие НО)равен P (a) \u003d 10/50 \u003d 1/5, черна купа (събитие C) - p (c) \u003d20/50 \u003d 2/5 и червено (събитие в) - P (c) \u003d5/50 \u003d 1/10. От тук по формулата на добавянето на вероятности P (А.или Вили в) \u003d P (a) + p (b) + p (c)= 1/5 + 2/5 + + 1/10= 7/10.

Ако две събития са уникални и непоследователни, те се наричат \u200b\u200bпротивоположни.

Такива събития са обичайни за обозначаване, например, НОи .

Сумата на вероятностите на две противоположни събития, както следва от теоремата на добавянето на вероятности, равна на хубаво:

(2.5)

* Илюстрираме справедливостта (2.5) от предишния пример. Нека отстраняването на бяло или черно или червената топка ще бъде събитие НО 1 , P (a 1 ) = 7/10. Противоположно събитие е доставката на синя топка. Тъй като сините топки 15, но общият брой топки 50, тогава ние получаваме R () = 15/50 \u003d 3/10 и P (А. 1 ) + P () = 7/10 + 3/10 = = 1.

* В урната има бели, черни и червени топки. Вероятността за доставка на черна или червена топка е 0.4. Намерете вероятността да получите от бялата топка урна.

Обозначаваме НОотстраняване на събития от черна или червена топка, P (a) \u003d0.4; противоположно събитие ще има конфискуване на бяла топка, след това на базата (2.5) вероятността за това събитие R () = 1 - P (a) \u003d= 1 - 0,4 = 0,6.

Система за събития (a 1 , НО 2 , ... А. к. ) Обадете се пълно, ако когато тествате, ще дойде един от тези събития. Сумата от вероятността за събития, образуваща пълна ШИСтемата е равна на една.

* В урната има 40 топки: 20 бели, 15 черни и 5 червени. Вероятността за появата на бяла купа (събитие НО) Равни P (a) \u003d20/40 \u003d 1/2, за черна топка (събитие C) - p (c) \u003d15/40 \u003d 3/8 и за червената топка (събитие C) - p (c)\u003d 5/40 \u003d 1/8. В този случай системата за събития НО 1 , НО 2 , НО 3 завършено е; Можете да се уверите, че P (a) + p (c) + p (c) \u003d1/2 + 3/8 + + 1/8 = 1.

Теорема за умножение на вероятност:вероятност заедно появата на независими събития е равна на продукта на техните вероятности. За две събития

P (А.и C) \u003d p (a) p (c).(2.6)

Доказваме тази теорема. От събития НОи Внезависим, всеки от t. 1 Дела, благоприятни НО,кореспонденция t. 2 дела, благоприятни В.По този начин общият брой на случаите, благоприятстващи се на съвместното появяване на събития НО и В,по равно t. 1 T. 2 . По същия начин общият брой на равни събития е равен пс 1 пс 2 , където пс 1 и пс 2 - номера на равни събития, съответно, за НО и В. . \\ T

* В един урн има 5 черни и 10 бели топки, в още 3 черни и 17 бели. Намерете шанса, когато първото премахване на топките от всяка урна, двете топки ще бъдат:

1) Черно; 2) бяло; 3) в първата урна, черната топка ще бъде извадена и във второто - бяло; 4) Бялата топка ще бъде извадена в първата урна, а във втория - черно.

Вероятността за издърпване на черната топка от първия урн (събитие НО) Равни P (a) \u003d

= 5/15 \u003d 1/3, черна топка от втория урн (събитие В)P (B)\u003d 3/20, бяла купа от първия урн (събитие НО")- P (a ") \u003d10/15 \u003d 2/3 и бяла топка от първия урн (събитие В ")-P (b ") \u003d17/20. Ние намираме вероятността за съвместния външен вид на две независими събития съгласно формула (2.6):

1) P (А.и C) \u003d p (a) p (c) \u003d(1/3) (3/20) \u003d 3/60 - и двете черни топки;

2) P (a "и в ") \u003d P (a ") p (в") \u003d(2/3) (17/20) \u003d 17/30 - и двете бели топки;

3) P (a "и в ") \u003d P (a) p (в ") \u003d(1/3) (17/20) \u003d 17/60 - черната топка ще бъде извадена в първия урн, а във втория - бял;

4) P (a "и б) \u003d P (a ") p (b) \u003d(2/3) (3/20) \u003d 1/10 - Бялата топка ще бъде извадена в първия урн, а във втория - черен.

Всички четири възможни случая НО и В, НО"и В ", НО и В ", НО"и В образуват пълна система от събития, така че

P (А.и C) + p (a "и В ") + p (aи В ") + p (a"и В)= 3/60 + 17/30 + 17/60 + 1/10 = 1.

* Намерете възможността и трите сина в семейството с три деца. Да приемем, че вероятността за раждане на едно момче е равно 0,515 и за всяко следващо дете не зависи от пода на предишни деца.

От теорема за умножение на вероятност, P (А.и Ви От)= 0,515 0,515 0,515  0.14.

Теоремата за умножение на вероятност става сложна, ако определя се вероятността за събитие, състоящо се от съвместния вид на две събития, зависими от това. В негослучай, когато е изпълнено събитие, при условие че това връзката и се случи, вероятността за съвместен външен вид две от тези събития са равни

P (А.и C) \u003d p (a) p (в / а), \\ t (2.8)

където P (в / а)-условна вероятностi.e. Вероятност за събитие Впри условие, че събитието НОдържани.

* В урна от 5 топки: 3 бели и 2 черни. Намерете вероятността черните и белите топки да бъдат извадени последователно един по един.

Вероятността първата балон да бъде конфискувана (събитие НО), равни P (a) \u003d t / p\u003d 2/5. След отстраняване на черната топка в урната, 4 топки остават: 3 бели и 1 черни. В този случай вероятността за отстраняване на Белохара (събитие Вслед изпълнение на събитие НО)равен P (в / а) \u003d3/4. Използвайки (2.8), получаваме

P (А.и В) \u003d.(2/5) (3/4) = 3/10.

Индивидуални задачи по математика

Задача 1.

В урна от 6 бели топки, 11 - черни. В същото време парцалите изваждат две топки. Намерете вероятността и двете топки да бъдат:

Решение

1) вероятността една от извадените топки да бъде бяла, е равна на броя на шансовете да извадите бяла топка от цялото количество топки в урната. Тези шансове са точно толкова бели топки в урната, а сумата от всички шансове е равна на количеството бели и черни топки.

Вероятността, че вторият от извадените топки също ще бъде бял равен

Тъй като една от белите топки вече е извадена.

По този начин, вероятността и двете топки, пълни от топките, ще бъдат бели, равни на продукта на тези вероятности, тъй като тези възможности са независими:

или Две черни топки:

3) вероятността и двете издърпани топки да бъдат различни цветове - вероятността първата топка да бъде бяла, а втората черна или Фактът, че първата топка ще бъде черна, а втората е бяла. Тя е равна на сумата от съответната вероятност.

Отговор: 1)

2) 3) .

Задача 2.

В първия урн 6 бели топки, 11 - черно, във второто - 5 бяло и 2 - черно. От всеки от урните, на случаен принцип се отстранява над топката. Намерете вероятността и двете топки да бъдат:

1) бял, 2) от същия цвят, 3) от различни цветове.

Решение

1) вероятността и двете топки да бъдат бели равни на проблема с вероятността топката, изтеглена от първия урн, ще бъде бяла по вероятността топката, изтеглена от втория роден, също ще бъде бяла:

2) Вероятността и двете извадени топки ще бъдат същият цвят е вероятността и двете топки да бъдат или бели или черни. Тя е равна на сумата на вероятностите - извадете две бели топки или Две черни топки:

3) вероятността топката да извади от първия урн, ще бъде бяла и топката извади от втория урн - черно, или Напротив - първата топка ще бъде черна, а втората е бяла, равна на сумата на съответните вероятности:

Отговор: 1)

2) 3) .

Задача 3.

Сред 24-те билета за лотария са 11 печеливши. Намерете вероятността поне един от двете закупени билета да бъде благоприятен.

Решение

Вероятността поне един от 24-те закупени билета да бъде благоприятен, равна на разликата между единицата и вероятността, че никой от закупените билети няма да бъде благоприятен. И вероятността, че никой от закупените билети няма да бъде благоприятен, е вероятността първата от билетите да не бъде благоприятна за вероятността, че вторият билет няма да бъде благоприятен:

Следователно, вероятността поне един от 24-те закупени билета да бъде благоприятен:

Отговор:

Задача 4.

В клетка 6 детайли за първия клас, 5 - втори и 2 - трети. При парцали се вземат две детайли. Каква е вероятността те да са едновременно сорт?

Решение

Желаната вероятност е вероятността и двете части да бъдат или 1-ва или 2-ри или 3-ти клас и са равни на сумата от съответните вероятности:

Вероятността и двете части ще бъдат първият клас:

Вероятността и двете части ще бъдат втори клас:

Вероятността и двете части ще бъдат трети клас:

Следователно вероятността за издърпване на 2 части от един сорт е:

Отговор:

Задача 5.

За час 0 ≤ t ≤ 1 (t - време в часове), един и само един автобус пристига на спиране.

Решение

Автобусът може да пристигне във всеки един момент t, където 0 ≤ t ≤ 1 (където t е времето в часове) или, че същото, 0 ≤ t ≤ 60 (където t е минута).

Пътникът пристига по това време t \u003d 0 и очаква не повече от 28 минути.

Възможността за пристигането на бузелката на станцията през това време или за останалите 32 минути е еднакво еднакво еднакво, следователно вероятността пътникът, който е пристигнал на тази спирка в момент t \u003d 0, ще трябва да очаква автобус не повече от 28 минути

Отговор:

Задача 8.

Вероятността за удряне на първия стрелец към целта е 0.2, втората - 0.2 и трета - 0.2. И трите стрелки едновременно уволнени. Намерете шанса:

1) В целта ще попадне само един стрелец;

2) В целта ще попаднат две стрелки;

3) поне един попада в целта.

Решение

1) вероятността само един стрелец да попадне в целта, равна на целта на мишената на първия стрелец и втори и трета страна или влизане в целта на втория стрелец и пропуснете първо и трето място или Третият стрелец в целта е първи и втори, което означава равно на сумата на съответните вероятности.

Вероятността, че първият стрелец ще стигне до целта, а втората и третата - ще пропуснат продукта на тези вероятности:

Подобни вероятности за влизане във втория стрелец до целта и пропускат първия и третия, както и проникването на третия и пропускът първо и второ:

, .

Следователно желаната вероятност:

2) вероятността двете стрелки да попадат в целта, равна на целта на целевия първи и втори стрелец и мъглата или удряне на целта първа и третия стрелец и пропуснете второто или Намирането в целта от втория и третия стрелец и пропуски е първо, което означава равно на сумата на съответните вероятности.

Вероятността първата и втората стрелки да попаднат в целта, а третата - хишар е равна на продукта на тези вероятности:

Подобни вероятности за удряне на първия и третия стрелец към целта и пропуските са на второ място, както и първата и третата и пропуските са първи.

За две непълни събития А и в вероятностите на тези събития, равни на сумата на техните вероятности:

P (a или c) \u003d p (a) + p (b).

Пример номер 3:намерете вероятността от загуба от 1 IL 6 при хвърляне на игрална кост.

Събитие a (загуба от 1) и в (загуба 6) са равни на: p (a) \u003d p (с) \u003d 1/6, следователно p (a или c) \u003d 1/6 + 1/6 \u003d 1/3

Вероятното добавяне е справедливо не само за двама, но и за всеки брой непълни събития.

Пример номер 4:в урната има 50 топки: 10 бяла, 20 черна, 5 червена и 15 синя. Намерете вероятността от появата на бяла или черна или червена топка с еднократна работа на гърчовете на топката от урната.

Вероятността за отстраняване на бяла топка (събитие а) е равна на p (a) \u003d 10/50 \u003d 1/5, черната купа (събитие б) е равна на p (b) \u003d 20/50 \u003d 2/5 и червената топка (събитие в) равна (c) \u003d 5/50 \u003d 1/10. Следователно, по формулата на добавянето на вероятности, получаваме p (a или в или c) \u003d p (a) + р (с) \u003d p (c) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/10 \u003d 7 / 10.

Сумата на вероятностите на две противоположни събития, както следва от теоремата на добавянето на вероятности, е равно на едно:

P (a) + p ( ) = 1

В по-горе разглеждания пример, отстраняването на бялата, черната и червената топка ще бъде събитие a 1, p (a 1) \u003d 7/10. Обратното събитие 1 е доставката на синя топка. Тъй като сините топки 15 и общия брой топки 50, тогава получаваме P (1) \u003d 15/50 \u003d 3/10 и P (A) + P () \u003d 7/10 +3/10 \u003d 1.

Ако събития a 1, a 2, ... и n формират пълна система от двойки непълни събития, тогава сумата от техните вероятности е равна на 1.

Като цяло вероятността за сумата от две събития А и се изчислява като

P (a + c) \u003d p (a) + p (c) - p (ab).

Теорема за умножение на вероятност:

Събития А и Б се наричат независим Ако вероятността за появата на дадена събитие не зависи от това дали дадено събитие е възникнало или не, и обратно, вероятността за събитие се появява, не зависи от това дали дадено събитие е настъпило или не.

Вероятността за съвместния вид на независимите събития е равна на работата на тяхната вероятност. За две събития P (a и c) \u003d p (a) · p (c).

Пример: В един урн, 5 черни и 10 бели топки, в още 3 черни и 17 бели. Намерете шанса, когато първото премахване на топките от всяка урна и двете топки ще се окажат черни.

Решение: вероятността за издърпване на черната топка от първата URN (Събитие A) - P (A) \u003d 5/15 \u003d 1/3, черната топка от втората URN (събитие Б) - P (b) \u003d 3 / 20.

P (a и c) \u003d p (a) · p (с) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20.

На практика това често е вероятността да бъде в зависимост от събитието, имало друго събитие a или не. В този случай говорете условна вероятност . Вероятността на събитието при условие, че събитието е това, което се случи. Условната вероятност се обозначава с p (b / a).

Теоремата за умножение на вероятностите е сложна, ако вероятността за събитие се състои от съвместен вид на зависими от две събития. В случая, когато е изпълнено събитието, при условие че е настъпило събитието, вероятността за съвместния външен вид на две от тези събития е равна на

P (a и b) \u003d p (a) p (в / а).

В URN 5 топки: 3 бели и 2 черни. Намерете вероятността черните и белите топки да бъдат извадени последователно един по един.

Вероятността първата черна топка да бъде иззела (събитие а), равна на p (a) \u003d m / n \u003d 2/5. След отстраняване на черната топка в урната, 4 топки остават: 3 бели и 1 черни. В този случай вероятността за премахване на бялата купа (събитие след събитието a) е равна на p (в / a) \u003d ¾. Получаваме p (a и c) \u003d p (a) p (в / a) \u003d (2/5) (3/4) \u003d 3/10.

Ако дадено събитие a може да възникне само с едно от събитията от H 1, H2, ... N N, които образуват пълна система от двойки непълни събития, тогава вероятността от събитие А се определя от формула пълна вероятност

P (a) \u003d р (а / п1) р (Н1) + р (А / п / п2) р (Н2) + ... + р (A / NN) P (NN).

За изчисляване на вероятността p (h i / a) в този случай формула Байеса.:

Контролни въпроси

1. Определете вероятността от събития.

2. Какви събития се наричат \u200b\u200bеквивалент?

3. Какви събития се наричат \u200b\u200bнадеждни?

4. Какви събития се наричат \u200b\u200bневъзможни?

5. Какви събития се наричат \u200b\u200bпротивоположни?

6. Формирайте класическа дефиниция на вероятностите.

7. Каква е вероятността за надеждно събитие? Невъзможно събитие?

8. Назовете формулата за добавяне и умножаване на вероятностите.

Домашна работа

Попълнете Б. работен тетрадка Урок 11-12.

Лекция № 6.

Предмет: :Основните понятия за теорията на вероятността и математическата статистика

Индивидуални задачи по математика

Вероятността, че вторият от извадените топки също ще бъде бял равен

Тъй като една от белите топки вече е извадена.

3) Вероятността и двете издърпани топки ще бъдат различни цветове са вероятността първата топка да бъде бяла, а втората черна или факта, че първата топка ще бъде черна, а вторият е бял. Тя е равна на сумата от съответната вероятност.

Отговор: 1) 2) 3) .

1) бял, 2) от същия цвят, 3) от различни цветове.

3) вероятността топката, изтеглена от първия урна, ще бъде бяла, а топката извади от втория урна - черна или обратно - първата топка ще бъде черна, а вторият е бял, равен на сумата на съответните вероятности:

Отговор: 1) 2) 3) .

Следователно, вероятността поне един от 24-те закупени билета да бъде благоприятен:

Отговор:

Вероятността и двете части ще бъдат първият клас:

Вероятността и двете части ще бъдат втори клас:

Вероятността и двете части ще бъдат трети клас:

Следователно вероятността за издърпване на 2 части от един сорт е:

За час 0 ≤ t ≤ 1 (t - време в часове), един и само един автобус пристига на спиране.

Пътникът пристига по това време t \u003d 0 и очаква не повече от 28 минути.

Отговор:

1) В целта ще попадне само един стрелец;

2) В целта ще попаднат две стрелки;

3) поне един попада в целта.

1) вероятността само един стрелец да влезе в целта, равна на вероятността да удари целта на първия стрелец и да пропусне втората и третата или третата цел да удари целта или да удари целта на третия разрив и на Първо и второ, което означава еднаква сума на съответните вероятности.

Следователно желаната вероятност:

2) вероятността две стрелки да попадат в целта, равна на целта на целевия първи и втори стрелец и грешката на третия или първия и третия стрелец и асумърт на втората или целта на втория и. \\ T Третият стрелец и пропуските са първи, което означава равно на сумата, съответстваща на вероятностите.

Подобни вероятности за влизане в първия и третия стрелец към целта и пропускат втората, както и първата и третата и пропуските са първите:

Следователно желаната вероятност:

3) вероятността поне една стрели да попадне в целта, равна на разликата между единицата и вероятността, че нито един стрелец не попада в целта. Вероятността, че в целта не попадат стрели, е равно на работата на тези вероятности:

Отговор: 1), 2), 3).

Ученикът знае 11 въпроса от 24 въпроса от програмата. Всеки билет за изпита съдържа три въпроса. Намерете шанса: 1) ученикът знае всичките три въпроса; 2) само два въпроса; 3) Само един въпрос за билет за изпита.

1) вероятността ученикът да знае и трите часа билет е равен на продукта от вероятността за познаване на всяка от тях. Тъй като всичките три въпроса са различни и не се повтарят, тогава:

2) вероятността ученикът да знае само два часа от билета, е равен на вероятността, че той знае първия и втория въпрос, а третият не знае, или че той знае първия и третия въпрос, а вторият - не знае, или че той познава втория и третия въпрос, а първият не знае. Това е, този шанс е равен на сумата на всички тези вероятности.

Първият срок на тази сума:

Вторият срок на тази сума:

И третият срок на тази сума:

Следователно желаната вероятност:

3) вероятността ученикът да знае само един въпрос от три равни на разликата и вероятността той да не знае един въпрос:

Отговор: 1), 2), 3) .

При първия урн от 6 бели топки и 11 - черно, във второто - 5 бяло и 2 - черно. Една топка беше прехвърлена от първата урна, след това една топка беше извадена от втората урна. Намерете шанса, че топката, взета от втория URN, е: 1) бяла, 2) черна.

1) вероятността това случайно взето от първата урна и отворената във втората ще бъде бяла:

Ако балон от първия урн във втория, се оказа бял, тогава белите топки във втория урн ще бъдат шест. Тогава вероятността топката, взета от втората урна, ще бъде бяла:

Вероятността това случайно да се вземе от първия урнен балон и се измил към втората, ще се окаже черно:

Ако топката, пренебрегвана от първата урна във втория, се оказа черна, след това три черни топки ще бъдат три.

Тогава вероятността топката, взета от втората урна, ще се окаже черна:

И вероятността от двете събития е равна на продукта на тези вероятности:

Отговор: 1) , 2) .

При първия урн от 6 бели и 11 - черни топки, във втория - 5 бели и 2 - черни, в третата 7 бели топки. Произволно избрана урна и от нея на случаен принцип изважда топка. Намерете шанса, че топката е разкрила:

1) бяло, 2) черно.

1) Вероятността при избора на една от трите урха е 1/3.

Вероятността за премахване на бяла топка от първия урн:

Така че, вероятността да се избере първата урна и да извади бяла топка от нея:

По същия начин вероятността за избор на втори балон и извадете бяла топка от нея:

Вероятността за избор на трети балон и извадете бяла топка:

Вероятността да извадите бяла топка от произволната на избраната урна е равна на сумата на тези вероятности:

Вероятността за избор на първия урн и дръпнете черната топка от нея:

По същия начин, вероятността за избор на втората урна и да извадите черната топка от нея:

Вероятността да се избере третата урна и да извади черна топка:

тъй като в третия урн всички топки са бели.

Вероятността за издърпване на черна топка от произволното на избраната урна е равна на сумата на тези вероятности:

Отговор: 1), 2).

В един от трите урни 6 бели и 11 - черни топки, във втория - 5 бели и 2 - черни, в третата 7 бели топки. При Rags избират от три урни и една топка отново е избрана от нея. Беше бял. Каква е вероятността: 1) Топката се отстранява от първия урн, 2) Топката се отстранява от втория урна, 3) топката е извадена от третата урна?

За да разрешите този проблем, използваме формулата Bayes, същността на която в следното: ако преди вероятността от хипотеза H 1, H2, ... NN е равен на P (H1), P (H2) , ..., P (NN) и в резултат на това събитие се случи, новите (условни) вероятности на хипотезите се изчисляват по формулата:

Където p (h i) е вероятността за хипотезата на H i, p (a | h i) е условната вероятност за събитие А с тази хипотеза.

Означава хипотеза:

H 1 - Изборът на първия URN, H 2 - изборът на втория URN, H 3 - изборът на третата урна.

Преди действие всички тези хипотези са еднакво еднакво:

След избор се оказа, че бялата топка е извадена. Намерете условни вероятности:

;

1) Според Bayes Formula A Posteriori (след опит), вероятността топката да бъде извадена от първия урн е:

2) По същия начин вероятността топката да бъде извадена от втората урна, равна на:

3) По същия начин, вероятността топката да бъде извадена от третата урна, е равна на:

1) ,

2) ,

3) .

От 24-те ученици, които дойдоха на математическия изпит, 6 са отлични, 11 - добре, 5 - посредствен, 2 е лош. В билетите за изпита 20 въпроса. Един отлично подготвен ученик може да отговори добре на всички подготвени въпроси - на 16, посредствени - с 10, BAD - за 5 въпроса. Изрязан на произволен ученик отговори на всичките три произволни въпроса. Намерете възможността този ученик да бъде подготвен: 1) отлично, 2) зле.

За да разрешите този проблем, ние прилагаме формулата на пчелите:

Където p (h i) е вероятността за хипотеза h i,

P (A | H i) е условната вероятност на събитие А с тази хипотеза.

Означава хипотеза:

H 1 - Ученикът е подготвен перфектно, H 2 - ученикът е добре подготвен,

H 3 - студентът е подготвен посредствен, H 4 - ученикът е добре подготвен.

Преди проучването на вероятните вероятности на тези хипотези:

, , ,

След проверката на изследването един от учениците се оказа, че той отговори на всичките три въпроса. Ще намерим условни вероятности, т.е. вероятността да отговорите на трите въпроса с ученик от всяка група за поверителност:

, ,

, .

1) Според Формула на Байес Posteriori (след изпита) вероятността ученикът да е приготвен перфектно, равен на:

2) По същия начин вероятността причиненият ученик е добре подготвен, равен на:

1) вероятността студентът да е бил подготвен отличен:

2) вероятността ученикът да е приготвен лошо:

Монетата се хвърля 11 пъти. Намерете вероятността, че емблемата ще падне: 1) 2 пъти, 2) не повече от 2 пъти, 3) най-малко един и не повече от 2 пъти.

Ако опитът се извършва N пъти, и събитието в същото време се появява всеки път с вероятността p (и съответно, не се появява с вероятност 1-0 q), след това вероятността от появата на това Събитие m пъти се оценява с помощта на двуномната формула за разпределение:

Броя на комбинациите от N елементи с m.

1) Б. този случай P \u003d 0.5 (вероятност за отлагане на герба на ръцете), \\ t

q \u003d 1 - P \u003d 0.5 (вероятност за загуба на бързане),

Оттук, вероятността за празната част от ръцете 2 пъти:

2) В този случай събитието (гербът) може да се появи 0 пъти, 1 или 2 пъти, което означава желаната вероятност:

3) В този случай събитие (герб) може да се появи 1 или 2 пъти, което означава желаната вероятност:

Вероятността, която гербът ще падне:

1) точно 2 пъти равен

2) не повече от 2 пъти:

3) най-малко един и не повече от 2 пъти:

11 Съобщения се предават в комуникационния канал, всеки от които е независим от другите с вероятност р \u003d 0.2, изкривена с смущения. Намерете шанса: 1) от 11 съобщения Rovno 2 ще бъдат изкривени чрез смущения,

2) Всички съобщения ще бъдат приети без изкривяване, 3) най-малко две съобщения ще бъдат изкривени.

1) тук p \u003d 0.2 (вероятност за изкривяване),

q \u003d 1 - р \u003d 0.8 (вероятност за неизбежност),

2) вероятността за приемане на всички 11 съобщения без изкривяване е равна на работата на всички вероятности за приемане на всяка от тях без изкривяване:

3) Изкривяване на най-малко две съобщения означава, че две или едно или едно съобщение могат да бъдат изкривени:

Вероятността:

1) от 11 съобщения ще бъдат изкривени точно 2 равни,

Нищо друго, освен отново събития и. Наистина, имаме: * \u003d, * \u003d, \u003d, \u003d. Друг пример за Algebra на събитието L е набор от четири събития :. Всъщност: * \u003d, * \u003d, \u003d,. 2. Две. Теорията на вероятностите проучва случайни събития. Това означава, че до определен момент във времето, като цяло, е невъзможно да се каже предварително за случайното събитие и това събитие ще се случи или не. Само ...