Pythagorejská čísla. Moderní špičkové technologie egyptská trojice čísel

Vitaly červ

Stažení:

Náhled:

Soutěž vědecké projektyškolní děti

V rámci krajské vědecké a praktické konference „Heuréka“

Malá akademie věd pro studenty Kubáně

Studium pythagorejských čísel

Oddílová matematika.

Červ Vitaly Gennadievich, třída 9

MOBU SOSH №14

Kořenovský okres

Umění. Žuravská

Vědecký poradce:

Manko Galina Vasilievna

Učitel matematiky

MOBU SOSH №14

Kořenovsk 2011

Wormyak Vitalij Gennadievič

Pythagorejská čísla

Anotace.

Téma výzkumu:Pythagorejská čísla

Cíle výzkumu:

Cíle výzkumu:

• Identifikace a rozvoj matematických schopností;
• Rozšíření matematická reprezentace na toto téma;
• Formování udržitelného zájmu o předmět;
• Rozvoj komunikačních a obecně vzdělávacích dovedností samostatná práce, schopnost vést diskusi, argumentovat atd.;
• Formování a rozvoj analytického a logického myšlení;

Metody výzkumu:

• Používání internetových zdrojů;
• Odkazování na referenční literaturu;
• Provedení experimentu;

Závěr:

• Tato práce může být použita v hodině geometrie jako doplňkový materiál pro dirigování volitelné předměty nebo volitelné předměty v matematice, stejně jako v mimoškolní aktivity matematika;

Wormyak Vitalij Gennadievič

Krasnodarské území, vesnice Zhuravskaya, MOBU střední škola č. 14, 9. třída

Pythagorejská čísla

Vědecký poradce: Manko Galina Vasilievna, učitelka matematiky MOBU střední škola №14

1. Úvod ………………………………………………………………… 3
2. Hlavní část

2.1 Historická stránka ………………………………………………… 4

2.2 Důkaz sudých a lichých větví ... ... ... ................................. 5-6

2.3 Odvození vzorů pro hledání

Pythagorejská čísla ………………………………………………………………… 7

2.4 Vlastnosti pythagorejských čísel ……………………………………………… 8

3. Závěr ………………………………………………………………………… 9

4. Seznam použitých zdrojů a literatury ………………………… 10

Aplikace ................................................. ................................................................... ......jedenáct

Příloha I ………………………………………………………………………… 11

Příloha II ………………………………………………………………… ..13

Wormyak Vitalij Gennadievič

Krasnodarské území, vesnice Zhuravskaya, MOBU střední škola č. 14, 9. třída

Pythagorejská čísla

Vědecký poradce: Manko Galina Vasilievna, učitelka matematiky MOBU střední škola №14

Úvod

O Pythagorovi a jeho životě jsem slyšel v páté třídě na hodině matematiky a zaujal mě výrok „Pythagorovy kalhoty jsou si ve všech směrech rovné“. Při studiu Pythagorovy věty jsem se zajímal o Pythagorova čísla.účel studia: Zjistěte více o Pythagorově větě a "Pythagorových číslech".

Relevance tématu... Hodnota Pythagorovy věty a Pythagorových trojic byla prokázána mnoha vědci světa po mnoho staletí. Problém, který bude v mé práci probrán, vypadá docela jednoduše, protože je založen na matematickém tvrzení, které každý zná – Pythagorově větě: v jakémkoli pravoúhlém trojúhelníku je čtverec postavený na přeponě, se rovná součtučtverce postavené na nohách. Nyní trojice přirozených čísel x, y, z, pro které x 2 + y 2 = z 2 , je zvykem volatPythagorejská trojčata... Ukazuje se, že pythagorejská trojčata byla známa již v Babylonu. Postupně je našli i řečtí matematici.

Účel této práce

1. Prozkoumejte pythagorejská čísla;
2. Pochopit, jak se získávají pythagorejská čísla;
3. Zjistěte, jaké vlastnosti mají pythagorejská čísla;
4. Experimentálně sestrojte kolmé přímky na zemi pomocí pythagorejských čísel;

V souladu s účelem práce řada následujícíchúkoly:

1. Prostudovat hlouběji historii Pythagorovy věty;

2. Analýza univerzálních vlastností pythagorejských tripletů.

3. Analýza praktické aplikace pythagorejských tripletů.

Předmět studia: Pythagorejská trojčata.

Předmět studia: matematika.

Metody výzkumu: - Používání internetových zdrojů; -Odkaz na referenční literaturu; -Provedení experimentu;

Teoretický význam:roli, kterou ve vědě sehrál objev pythagorejských trojic; praktické využití objevy Pythagora v lidském životě.

Použitá hodnotavýzkum spočívá v rozboru literárních zdrojů a systematizaci faktů.

Wormyak Vitalij Gennadievič

Krasnodarské území, vesnice Zhuravskaya, MOBU střední škola č. 14, 9. třída

Pythagorejská čísla

Vědecký poradce: Manko Galina Vasilievna, učitelka matematiky MOBU střední škola №14

Z historie pythagorejských čísel.

• Starověká Čína:

Ču-pejova matematická kniha:[ 2]

"Pokud se pravý úhel rozloží na jeho součásti, pak čára spojující konce jeho stran bude 5, když základna je 3 a výška je 4".

• Starověký Egypt: [2]

Cantor (největší německý historik matematiky) věří, že rovnost 3 ² + 4 ² = 5² byl Egypťanům znám již kolem roku 2300 před naším letopočtem. e. v době král Amenemkhet (podle papyru 6619 Berlínského muzea). Podle Kantora harpedonapti, nebo "napínače lana", postavené pravé úhly pomocí pravoúhlých trojúhelníků se stranami 3; 4 a 5.

• Babylonie: [3]

„Zásluhou prvních řeckých matematiků, jako byli Thales, Pythagoras a Pythagorejci, není objev matematiky, ale její systematizace a zdůvodnění. V jejich rukou se výpočetní receptury založené na vágních představách staly exaktní vědou."

• Historie Pythagorovy věty:,

Přestože je tato věta spojena se jménem Pythagoras, byla známá již dávno před ním.

V babylonských textech se nachází 1200 let před Pythagorem.

Zřejmě byl první, kdo o tom našel důkaz. V tomto ohledu byl proveden následující záznam: "... když zjistil, že v pravoúhlém trojúhelníku má přepona korespondenci s nohama, obětoval býka z pšeničného těsta."

Wormyak Vitalij Gennadievič

Krasnodarské území, vesnice Zhuravskaya, MOBU střední škola č. 14, 9. třída

Pythagorejská čísla

Vědecký poradce: Manko Galina Vasilievna, učitelka matematiky MOBU střední škola №14

Studium pythagorejských čísel.

• U každého trojúhelníku jsou strany ve vztahu 3: 4: 5, podle známé Pythagorovy věty, - obdélníkový, od r.

3 2 + 4 2 = 5 2.

• Kromě čísel 3, 4 a 5 existuje, jak známo, nekonečná množina kladných celých čísel a, b a c splňujících vztah
• A2 + b2 = c2.
• Tato čísla se nazývajíPythagorejská čísla

Pythagorejská trojčata jsou známá již velmi dlouho. V architektuře starověkých sopotamských náhrobků je rovnoramenný trojúhelník složený ze dvou pravoúhlých o stranách 9, 12 a 15 loket. Pyramidy faraona Sneferua (XXVII století př. n. l.) byly postaveny pomocí trojúhelníků o stranách 20, 21 a 29, stejně jako 18, 24 a 30 tuctů egyptských loket.[ 1 ]

Pravoúhlý trojúhelník s nohami 3, 4 a přeponou 5 se nazývá egyptský trojúhelník. Plocha tohoto trojúhelníku se rovná dokonalému číslu 6. Obvod se rovná 12 - číslu, které bylo považováno za symbol štěstí a prosperity.

Pomocí lana rozděleného uzly na 12 stejných částí stavěli staří Egypťané pravoúhlý trojuhelník a pravý úhel. Pohodlná a velmi přesná metoda, kterou používají zeměměřiči ke kreslení kolmých čar na zemi. Je třeba vzít šňůru a tři kolíčky, šňůra je umístěna v trojúhelníku tak, že jedna strana se skládá ze 3 částí, druhá ze 4 částí a poslední z pěti takovýchto částí. Šňůra bude umístěna v trojúhelníku s pravým úhlem.

Tato prastará metoda byla zjevně používána před tisíci lety staviteli egyptské pyramidy, založené na skutečnosti, že každý trojúhelník, jehož strany jsou podle Pythagorovy věty ve vztahu 3: 4: 5, je obdélníkový.

Euclid, Pythagoras, Diophantus a mnoho dalších se zabývalo hledáním pythagorejských trojic.[ 1]

Je jasné, že pokud (x, y, z ) Je pythagorejský triplet, tedy pro jakýkoli přirozený k trojitý (kx, ky, kz) bude také pythagorejským tripletem. Zejména (6, 8, 10), (9, 12, 15) atd. jsou pythagorejská trojčata.

S přibývajícími počty jsou pythagorejská trojčata stále méně běžná a stále obtížnější je najít. Pythagorejci vynalezli způsob hledání

takových trojic a pomocí nich dokázal, že pythagorejských trojic je nekonečně mnoho.

Trojice, které nemají žádného společného dělitele většího než 1, se nazývají nejjednodušší.

Podívejme se na některé vlastnosti pythagorejských trojic.[ 1]

Podle Pythagorovy věty mohou tato čísla sloužit jako délky nějakého pravoúhlého trojúhelníku; proto a a b se nazývají "nohy" a c - "hypotenuze".
Je jasné, že pokud a, b, c jsou trojice pythagorejských čísel, pak pa, pb, pc, kde p je celočíselný faktor, jsou pythagorejská čísla.
Opak je také pravdou!
Proto budeme nejprve zkoumat pouze trojice koprimárních pythagorejských čísel (zbytek z nich získáme vynásobením celočíselným faktorem p).

Ukažme si to v každém z nich trojčata a, b, c jedna z „noh“ musí být sudá a druhá lichá. Budeme argumentovat „rozporem“. Pokud jsou obě "nohy" a a b sudé, pak číslo a bude sudé 2 + ve 2 , a odtud "hypotenuze". To však odporuje skutečnosti, že čísla a, b a c nemají společné činitele, protože tři sudá čísla mají společný činitel 2. Alespoň jedna z „noh“ aab je tedy lichá.

Zbývá ještě jedna možnost: obě „nohy“ jsou liché a „hypotenza“ je sudá. Je snadné dokázat, že tomu tak není, protože pokud jsou „nohy“ ve tvaru 2 x + 1 a 2y + 1, pak součet jejich čtverců je

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y +1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2, tzn. je číslo, které po vydělení 4 dává zbytek 2. Mezitím musí být druhá mocnina libovolného sudého čísla dělitelná 4 beze zbytku.

To znamená, že součet druhých mocnin dvou lichých čísel nemůže být druhou mocninou sudého čísla; jinými slovy, naše tři čísla nejsou pythagorejská.

ZÁVĚR:

Takže z "nohy" a do jedné sudé a druhé liché. Proto číslo a 2 + ve 2 je lichá, což znamená, že "hypotenuse" s je také lichá.

Pythagoras našel vzorce, které lze v moderní symbolice zapsat takto: a = 2n + 1, b = 2n (n + 1), c = 2 n 2 + 2n + 1, kde n je celé číslo.

Tato čísla jsou pythagorejské trojice.

Wormyak Vitalij Gennadievič

Krasnodarské území, vesnice Zhuravskaya, MOBU střední škola č. 14, 9. třída

Pythagorejská čísla

Vědecký poradce: Manko Galina Vasilievna, učitelka matematiky MOBU střední škola №14

Odvození vzorů pro hledání pythagorejských čísel.

Zde jsou následující pythagorejské trojice:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

Je snadné vidět, že vynásobením každého z čísel pythagorejské trojice 2, 3, 4, 5 atd. dostaneme následující trojice.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 atd.

Jsou to také pythagorejská čísla /

Wormyak Vitalij Gennadievič

Krasnodarské území, vesnice Zhuravskaya, MOBU střední škola č. 14, 9. třída

Pythagorejská čísla

Vědecký poradce: Manko Galina Vasilievna, učitelka matematiky MOBU střední škola №14

Vlastnosti pythagorejských čísel.

• Při pohledu na pythagorejská čísla jsem viděl řadu vlastností:
• 1) Jedno z pythagorejských čísel musí být násobkem tří;
• 2) Druhý z nich musí být násobkem čtyř;
• 3) A třetí z pythagorejských čísel musí být násobkem pěti;

Wormyak Vitalij Gennadievič

Krasnodarské území, vesnice Zhuravskaya, MOBU střední škola č. 14, 9. třída

Pythagorejská čísla

Vědecký poradce: Manko Galina Vasilievna, učitelka matematiky MOBU střední škola №14

Závěr.

Geometrie, stejně jako jiné vědy, vzešla z potřeb praxe. Samotné slovo „geometrie“ je řecké, v překladu znamená „měřictví“.

Lidé velmi brzy čelili potřebě měřit půdu. Již 3-4 tisíce let před naším letopočtem. každý kousek úrodné země v údolích Nilu, Eufratu a Tigridu, řek Číny, byl důležitý pro životy lidí. To vyžadovalo určité geometrické a aritmetické znalosti.

Postupně lidé začali měřit a zkoumat vlastnosti složitějších geometrických tvarů.

V Egyptě i Babylonu byly vybudovány kolosální chrámy, jejichž stavbu bylo možné uskutečnit pouze na základě předběžných výpočtů. Stavělo se také vodovodní potrubí. To vše vyžadovalo výkresy a výpočty. V té době byly speciální případy Pythagorovy věty dobře známé, věděli už, že když vezmeme trojúhelníky se stranami x, y, z, kde x, y, z jsou celá čísla taková, že x 2 + y 2 = z 2 , pak budou tyto trojúhelníky obdélníkové.

Všechny tyto znalosti byly přímo aplikovány v mnoha sférách lidského života.

Až dosud tedy nachází velký objev vědce a filozofa starověku Pythagora přímé uplatnění v našem životě.

Výstavba domů, silnic, kosmické lodě, auta, obráběcí stroje, ropovody, letadla, tunely, metro a mnoho, mnoho dalšího. Pythagorejská trojčata nacházejí přímé uplatnění v designu mnoha věcí, které nás obklopují v každodenním životě.

A mysli vědců pokračují v hledání nových verzí důkazů Pythagorovy věty.

• PROTI Díky své práci se mi podařilo:
• 1. Zjistěte více o Pythagorovi, jeho životě, bratrství Pythagorejců.
• 2. Seznamte se s historií Pythagorovy věty.
• 3. Poznejte pythagorejská čísla, jejich vlastnosti, naučte se je hledat a aplikovat v praxi.

Wormyak Vitalij Gennadievič

Krasnodarské území, vesnice Zhuravskaya, MOBU střední škola č. 14, 9. třída

Pythagorejská čísla

Vědecký poradce: Manko Galina Vasilievna, učitelka matematiky MOBU střední škola №14

Literatura.

1. Zajímavá algebra. JÁ A. Perelman (str. 117–120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Anosov D.V. Pohled na matematiku a něco z ní. - M.: MTsNMO, 2003.

5. Dětská encyklopedie. - M .: Vydavatelství Akademie Pedagogické vědy RSFSR, 1959.

6. Štěpánová L.L. Vybrané kapitoly z elementární teorie čísel. - M.: Prometheus, 2001.

7. V. Serpinsky Pythagorejské trojúhelníky. - M .: Uchpedgiz, 1959. S. 111

Průběh výzkumu Historická stránka; Pythagorova věta; Dokažte, že jedna z „noh“ musí být sudá a druhá lichá; Odvozování vzorů pro hledání pythagorejských čísel; Odhalte vlastnosti pythagorejských čísel;

Úvod O Pythagorovi a jeho životě jsem slyšel v páté třídě na hodině matematiky a zaujal mě výrok "Pythagorovy kalhoty jsou si ve všech směrech rovné." Při studiu Pythagorovy věty jsem se zajímal o Pythagorova čísla. Stanovil jsem si výzkumný cíl: dozvědět se více o Pythagorově větě a „Pythagorových číslech“.

Věčná pravda bude, jak brzy se to pozná slabý člověk! A nyní věta Pythagora Verna, jako v jeho vzdáleném století

Z historie pythagorejských čísel. Matematická kniha starověké Číny Chu-pei: "Pokud se pravý úhel rozloží na jednotlivé části, pak čára spojující konce jeho stran bude 5, když základna je 3 a výška je 4".

Pythagorejská čísla mezi starověkými Egypťany Cantor (největší německý historik matematiky) věří, že rovnost 3 ² + 4 ² = 5 ² znali Egypťané již kolem roku 2300 př. Kr. př. n. l., za dob krále Amenemhata (podle papyru 6619 Berlínského muzea). Podle Cantora harpedonapty neboli „napínače lana“ stavěly pravé úhly pomocí pravoúhlých trojúhelníků se stranami 3; 4 a 5.

Pythagorova věta v Babylonii „Zásluhou prvních řeckých matematiků, jako byli Thales, Pythagoras a Pythagorejci, nebylo objevení matematiky, ale její systematizace a zdůvodnění. V jejich rukou se výpočetní receptury založené na vágních představách staly exaktní vědou."

U každého trojúhelníku jsou strany ve vztahu 3:4:5, podle známé Pythagorovy věty, - obdélníkový, protože 3 2 + 4 2 = 5 2. Kromě čísel 3, 4 a 5 existuje, jak víte, nekonečná množina kladných celých čísel a , в a с, splňujících vztah А 2 + в 2 = с 2. Tato čísla se nazývají pythagorejská čísla

Podle Pythagorovy věty mohou tato čísla sloužit jako délky nějakého pravoúhlého trojúhelníku; proto a a b se nazývají "nohy" a c - "hypotenuze". Je jasné, že pokud a, b, c jsou trojice pythagorejských čísel, pak pa, pb, pc, kde p je celočíselný faktor, jsou pythagorejská čísla. Opak je také pravdou! Nejprve tedy prozkoumáme pouze trojice koprime pythagorejských čísel (zbytek z nich získáme vynásobením celočíselným faktorem p)

Závěr! Takže z čísel a a do jednoho je sudé a druhé je liché, což znamená, že třetí číslo je také liché.

Zde jsou následující pythagorejské trojice: 3, 4, 5; 9 + 16 = 25. 5, 12, 13; 25 + 144 = 169. 7, 24, 25; 49 + 576 = 625. 8, 15, 17; 64 + 225 = 289. 9, 40, 41; 81 + 1600 = 1681. 12, 35, 37; 144 + 1225 = 1369. 20, 21, 29; 400 + 441 = 841

Je snadné vidět, že vynásobením každého z čísel pythagorejské trojice 2, 3, 4, 5 atd. dostaneme následující trojice. 6, 8, 10; 9.12.15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 atd. Jsou to také pythagorejská čísla.

Vlastnosti pythagorejských čísel Při zvažování pythagorejských čísel jsem viděl řadu vlastností: 1) Jedno z pythagorejských čísel musí být násobkem tří; 2) jeden z nich musí být násobkem čtyř; 3) A druhé z pythagorejských čísel musí být násobkem pěti;

Praktická aplikace pythagorejských čísel

Závěr: Výsledkem mé práce se mi podařilo 1. Dozvědět se více o Pythagorovi, jeho životě, bratrství Pythagorejců. 2. Seznamte se s historií Pythagorovy věty. 3. Poznejte pythagorejská čísla, jejich vlastnosti, naučte se je hledat. Empiricky – experimentálně odložte pravý úhel pomocí pythagorejských čísel.

»Uznávaný profesor matematiky na University of Warwick, slavný popularizátor vědy Ian Stewart, věnující se roli čísel v dějinách lidstva a významu jejich studia v naší době.

Pythagorova přepona

Pythagorejské trojúhelníky mají pravý úhel a celočíselné strany. Nejjednodušší z nich má nejdelší stranu o délce 5, zbytek - 3 a 4. Celkem je 5 pravidelných mnohostěnů. Rovnici pátého stupně nelze vyřešit pomocí kořenů pátého stupně – ani žádných jiných kořenů. Mřížky v rovině a v trojrozměrném prostoru nemají pětilalokovou rotační symetrii, proto takové symetrie chybí ani v krystalech. Lze je však nalézt v mřížkách ve čtyřrozměrném prostoru a v zajímavých strukturách známých jako kvazikrystaly.

Přepona nejmenší pythagorejské trojky

Pythagorova věta říká, že nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku (notoricky známá přepona) se vztahuje k dalším dvěma stranám tohoto trojúhelníku velmi jednoduše a krásně: druhá mocnina přepony se rovná součtu druhých mocnin ostatních dvou stran.

Tradičně nazýváme tuto větu jménem Pythagoras, ale ve skutečnosti je její historie spíše vágní. Hliněné tabulky naznačují, že starověcí Babyloňané znali Pythagorovu větu dávno před samotným Pythagorem; slávu objevitele mu přinesl matematický kult Pythagorejců, jejichž příznivci věřili, že vesmír je založen na číselných zákonech. Starověcí autoři připisovali Pythagorejcům – a tedy Pythagorovi – různé matematické věty, ale ve skutečnosti netušíme, jakou matematiku Pythagoras sám dělal. Ani nevíme, jestli Pythagorejci dokázali Pythagorovu větu, nebo jestli prostě věřili, že je pravdivá. Nebo s největší pravděpodobností měli přesvědčivé důkazy o jeho pravdivosti, které by nicméně nestačily k tomu, co dnes považujeme za důkaz.

Důkazy Pythagora

První známý důkaz Pythagorovy věty nacházíme v Euklidových prvcích. Jde o poměrně složitý důkaz pomocí kresby, na které by viktoriánští školáci okamžitě poznali „pythagorejské kalhoty“; kresba opravdu připomíná spodní prádlo sušící se na laně. Známé jsou doslova stovky dalších důkazů, z nichž většina činí argumentované tvrzení jasnějším.

// Rýže. 33. Pythagorejské kalhoty

Jedním z nejjednodušších důkazů je jakýsi matematický hlavolam. Vezměte libovolný pravoúhlý trojúhelník, vytvořte čtyři kopie a sesbírejte je do čtverce. Při jednom stohování vidíme čtverec na přeponě; na druhé, čtverce na dalších dvou stranách trojúhelníku. Zároveň je zřejmé, že oblasti jsou v obou případech stejné.

// Rýže. 34. Vlevo: čtverec na přeponě (plus čtyři trojúhelníky). Vpravo: součet čtverců na dalších dvou stranách (plus stejné čtyři trojúhelníky). Nyní vylučte trojúhelníky.

Perigalova pitva je další důkazní hádanka.

// Rýže. 35. Pitva Perigalle

Existuje také důkaz věty pomocí uspořádání čtverců v rovině. Možná tak objevili tuto větu Pythagorejci nebo jejich neznámí předchůdci. Když se podíváte na to, jak šikmý čtverec překrývá další dva čtverce, můžete vidět, jak rozřezat velký čtverec na kusy a pak z nich složit dva menší čtverce. Můžete také vidět pravoúhlé trojúhelníky, jejichž strany udávají rozměry tří zúčastněných čtverců.

// Rýže. 36. Dlažba důkaz

Existují zajímavé důkazy použití podobné trojúhelníky v trigonometrii. Je známo nejméně padesát různých důkazů.

Pythagorejská trojčata

V teorii čísel se Pythagorova věta stala zdrojem plodné myšlenky: najít celočíselná řešení algebraických rovnic. Pythagorejská trojice je množina celých čísel a, b a c takových, že

Geometricky taková trojice definuje pravoúhlý trojúhelník s celočíselnými stranami.

Nejmenší přepona Pythagorova tripletu je 5.

Další dvě strany tohoto trojúhelníku jsou 3 a 4. Zde

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Další největší přepona je 10, protože

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Jedná se však v podstatě o stejný trojúhelník se zdvojenými stranami. Další největší a skutečně odlišná přepona je 13

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euklides věděl, že existuje nekonečné množství různých variant pythagorejských trojic, a dal něco, co lze nazvat vzorcem, jak je všechny najít. Později Diophantus Alexandrijský navrhl jednoduchý recept, který se v podstatě shoduje s tím euklidovským.

Vezměte libovolná dvě přirozená čísla a vypočítejte:

jejich zdvojená práce;

rozdíl mezi jejich čtverci;

součet jejich čtverců.

Tři výsledná čísla budou stranami Pythagorova trojúhelníku.

Vezměte si například čísla 2 a 1. Vypočítejte:

dvojitý součin: 2 × 2 × 1 = 4;

rozdíl čtverců: 22 - 12 = 3;

součet čtverců: 22 + 12 = 5,

a dostali jsme slavný trojúhelník 3-4-5. Pokud místo toho vezmeme čísla 3 a 2, dostaneme:

dvojitý součin: 2 × 3 × 2 = 12;

rozdíl čtverců: 32 - 22 = 5;

součet čtverců: 32 + 22 = 13,

a dostaneme další nejznámější trojúhelník 5 - 12 - 13. Zkusme vzít čísla 42 a 23 a dostaneme:

dvojitý produkt: 2 × 42 × 23 = 1932;

rozdíl čtverců: 422 - 232 = 1235;

součet čtverců: 422 + 232 = 2293,

nikdo nikdy neslyšel o trojúhelníku 1235-1932-2293.

Ale fungují i ​​tato čísla:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

V diofanském pravidle je ještě jedna vlastnost, která již byla naznačena: po obdržení tří čísel můžeme vzít další libovolné číslo a všechna je jím vynásobit. Trojúhelník 3–4–5 lze tedy přeměnit na trojúhelník 6–8–10 vynásobením všech stran 2 nebo na trojúhelník 15–20–25 vynásobením všeho 5.

Přejdeme-li do jazyka algebry, má pravidlo následující podobu: nechť u, v a k jsou přirozená čísla. Pak pravoúhlý trojúhelník se stranami

2kuv ak (u2 - v2) má přeponu

Existují i ​​jiné způsoby, jak prezentovat hlavní myšlenku, ale všechny se scvrkají na výše popsaný. Tato metoda vám umožňuje získat všechny pythagorejské trojice.

Pravidelné mnohostěny

Pravidelných mnohostěnů je přesně pět. Pravidelný mnohostěn (neboli mnohostěn) je trojrozměrný obrazec s konečným počtem plochých ploch. Plochy se sbíhají do čar nazývaných hrany; hrany se setkávají v bodech zvaných vrcholy.

Vyvrcholením euklidovských „počátků“ je důkaz, že může existovat pouze pět pravidelných mnohostěnů, tedy mnohostěnů, ve kterých je každá plocha pravidelným mnohoúhelníkem (stejné strany, stejné úhly), všechny plochy jsou totožné a všechny vrcholy jsou obklopeny stejný počet stejně rozmístěné tváře. Zde je pět pravidelných mnohostěnů:

čtyřstěn se čtyřmi trojúhelníkovými plochami, čtyřmi vrcholy a šesti hranami;

krychle nebo šestistěn se 6 čtvercovými plochami, 8 vrcholy a 12 hranami;

osmistěn s 8 trojúhelníkovými plochami, 6 vrcholy a 12 hranami;

dvanáctistěn s 12 pětiúhelníkovými plochami, 20 vrcholy a 30 hranami;

dvacetistěn s 20 trojúhelníkovými plochami, 12 vrcholy a 30 hranami.

// Rýže. 37. Pět pravidelných mnohostěnů

Pravidelné mnohostěny lze nalézt i v přírodě. V roce 1904 publikoval Ernst Haeckel kresby drobných organismů známých jako radiolariáni; mnoho z nich se svým tvarem podobá pěti pravidelným mnohostěnům. Možná ale trochu poopravil přírodu a kresby tak úplně neodrážejí tvar konkrétních živých bytostí. První tři struktury jsou také pozorovány v krystalech. V krystalech nenajdete dvanáctistěn a dvacetistěn, i když nepravidelné dvanáctistěny a dvacetistěny tam občas narazí. Skutečné dvanáctistěny mohou vznikat jako kvazikrystaly, které jsou ve všech směrech podobné krystalům, až na to, že jejich atomy netvoří periodickou mřížku.

// Rýže. 38. Haeckelovy kresby: radiolariáni ve formě pravidelných mnohostěnů

// Rýže. 39. Vývoj pravidelných mnohostěnů

Může být zajímavé vyrobit modely pravidelných mnohostěnů z papíru tak, že předem vystřihneme sadu vzájemně propojených ploch - tomu se říká rozkládání mnohostěnu; výstružník se přehne podél okrajů a odpovídající okraje se slepí dohromady. Je užitečné přidat další lepicí podložku na jeden z okrajů každého takového páru, jak je znázorněno na obr. 39. Pokud taková oblast není, můžete použít lepicí pásku.

Rovnice pátého stupně

Neexistuje žádný algebraický vzorec pro řešení rovnic 5. stupně.

Obecně rovnice pátého stupně vypadá takto:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Problém je najít vzorec pro řešení takové rovnice (může mít až pět řešení). Zkušenosti z práce s kvadratickými a kubickými rovnicemi, stejně jako s rovnicemi čtvrtého stupně, naznačují, že takový vzorec by měl existovat pro rovnice pátého stupně a teoreticky by měly kořeny pátého, třetího a druhého stupně objevit se v něm. Opět můžeme bezpečně předpokládat, že takový vzorec, pokud existuje, bude velmi, velmi obtížný.

Tento předpoklad se nakonec ukázal jako mylný. Ve skutečnosti žádný takový vzorec neexistuje; alespoň neexistuje žádný vzorec pro koeficienty a, b, c, d, e a f, konstruované pomocí sčítání, odčítání, násobení a dělení a extrakce odmocnin. Takže na čísle 5 je něco velmi zvláštního. Důvody tohoto neobvyklého chování pětice jsou velmi hluboké a trvalo dlouho, než jsme na ně přišli.

První známkou problému bylo, že bez ohledu na to, jak moc se matematici snažili najít takový vzorec, bez ohledu na to, jak byli chytří, vždy selhali. Nějakou dobu všichni věřili, že důvody spočívají v neuvěřitelné složitosti vzorce. Věřilo se, že této algebře prostě nikdo nemůže správně porozumět. Někteří matematici však postupem času začali pochybovat, že takový vzorec vůbec existuje, a Niels Hendrik Abel dokázal v roce 1823 prokázat opak. Žádný takový vzorec neexistuje. Brzy poté Evariste Galois našel způsob, jak určit, zda rovnice jednoho nebo druhého stupně - 5., 6., 7., obecně jakákoliv - je řešitelná pomocí tohoto druhu vzorce.

Závěr z toho všeho je jednoduchý: číslo 5 je speciální. Můžete se rozhodnout algebraické rovnice(s pomocí kořeny n-tého stupně pro různé hodnoty n) pro stupně 1, 2, 3 a 4, ale ne pro 5. stupeň. Zde zřejmý vzorec končí.

Není žádným překvapením, že rovnice mocnin větších než 5 se chovají ještě hůře; zejména je s nimi spojena stejná obtíž: ne obecné vzorce abychom je vyřešili. To neznamená, že rovnice nemají řešení; to také neznamená, že je nemožné najít velmi přesné číselné hodnoty těchto řešení. Je to všechno o omezeních tradičních nástrojů algebry. To připomíná nemožnost třísekat úhel pomocí pravítka a kružítka. Odpověď existuje, ale uvedené metody jsou nedostatečné a neumožňují určit, co to je.

Krystalografické omezení

Krystaly ve dvou a třech rozměrech nemají 5paprskovou rotační symetrii.

Atomy v krystalu tvoří mřížku, tedy strukturu, která se periodicky opakuje v několika nezávislých směrech. Například vzor na tapetě se opakuje po délce role; navíc se obvykle opakuje vodorovně, někdy s posunem z jednoho kusu tapety na druhý. Tapeta je v podstatě dvourozměrný krystal.

Existuje 17 druhů plochých tapet (viz kapitola 17). Liší se v typech symetrie, tedy ve způsobech tuhého posunutí kresby tak, aby přesně ležela na sobě ve své původní poloze. Mezi typy symetrie patří zejména různé možnosti symetrie rotace, kdy se má obrázek otočit o určitý úhel kolem určitého bodu - středu symetrie.

Pořadí symetrie rotace udává, kolikrát lze těleso otočit do úplného kruhu, aby se všechny detaily na výkresu vrátily do původní polohy. Například otočení o 90° je rotační symetrie 4. řádu *. Výčet možných typů rotační symetrie v krystalové mřížce opět ukazuje na neobvyklost čísla 5: není tam. Existují možnosti s rotační symetrií 2, 3, 4 a 6. řádu, ale žádná tapeta nemá rotační symetrii 5. řádu. Rotační symetrie řádu více než 6 v krystalech také neexistuje, ale k prvnímu porušení sekvence přesto dochází u čísla 5.

Totéž se děje s krystalografickými systémy v trojrozměrném prostoru. Zde se mřížka opakuje ve třech nezávislých směrech. Je jich 219 odlišné typy symetrie, nebo 230, považujeme-li zrcadlový obraz kresby za její samostatnou verzi - navíc, že ​​v v tomto případěžádná zrcadlová symetrie. Opět jsou pozorovány rotační symetrie řádů 2, 3, 4 a 6, ale ne 5. Tato skutečnost se nazývá krystalografické omezení.

Ve čtyřrozměrném prostoru existují mřížky se symetrií 5. řádu; obecně platí, že pro mříže dostatečně velkých rozměrů je možný jakýkoli předem stanovený řád rotační symetrie.

// Rýže. 40. Krystalová buňka stolní sůl. Tmavé kuličky představují atomy sodíku, světlé - atomy chloru

Kvazikrystaly

Ačkoli rotační symetrie 5. řádu ve 2D a 3D mřížkách není možná, může existovat v o něco méně pravidelných strukturách známých jako kvazikrystaly. Pomocí Keplerovy skici Roger Penrose objevil planární systémy s více obecný typ pětinásobná symetrie. Říká se jim kvazikrystaly.

V přírodě existují kvazikrystaly. V roce 1984 Daniel Shechtman objevil, že slitina hliníku a manganu může tvořit kvazikrystaly; zpočátku krystalografové vítali jeho zprávu s jistou skepsí, ale později byl objev potvrzen a v roce 2011 byl Shekhtman oceněn Nobelova cena v chemii. V roce 2009 tým vědců pod vedením Luky Bindi objevil kvazikrystaly v minerálu z ruské Korjakské vysočiny – kombinaci hliníku, mědi a železa. Dnes se tento minerál nazývá ikosahedrit. Po změření obsahu různých izotopů kyslíku v minerálu pomocí hmotnostního spektrometru vědci prokázali, že tento minerál nepochází ze Země. Vznikla asi před 4,5 miliardami let, v době, kdy Sluneční Soustava právě se rodila a většinu času strávila v pásu asteroidů na oběžné dráze kolem Slunce, dokud nějaká porucha nezměnila její dráhu a nakonec ji přivedla na Zemi.

// Rýže. 41. Vlevo: jedna ze dvou kvazikrystalických mřížek s pětinásobně přesnou symetrií. Vpravo: atomový model ikosaedrického kvazikrystalu hliník-palladium-mangan

Vlastnosti

Od rovnice X 2 + y 2 = z 2 homogenní, při násobení X , y a z za stejné číslo dostanete další pythagorejskou trojku. Pythagorova trojice se nazývá primitivní, pokud ji nelze získat tímto způsobem, tedy - koprimá čísla.

Příklady

Některé pythagorejské trojice (seřazené vzestupně podle maximálního počtu, primitivní zvýrazněné):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Příběh

Pythagorejská trojčata jsou známá již velmi dlouho. V architektuře starověkých mezopotámských náhrobků se nachází rovnoramenný trojúhelník složený ze dvou obdélníkových o stranách 9, 12 a 15 loket. Pyramidy faraona Snephrua (XXVII století př. n. l.) byly postaveny pomocí trojúhelníků o stranách 20, 21 a 29 a také o 18, 24 a 30 tuctech egyptských loket.

X Všeruské symposium o aplikované a průmyslové matematice. Petrohrad, 19. května 2009

Zpráva: Algoritmus pro řešení diofantických rovnic.

Článek uvažuje o metodě studia diofantických rovnic a uvádí řešení řešená touto metodou: - Velká Fermatova věta; - hledání pythagorejských trojic atd. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Odkazy

• E. A. Gorin Mocniny prvočísel v pythagorejských trojicích // Matematické vzdělání... - 2008. - V. 12. - S. 105-125.

Nadace Wikimedia. 2010.

Podívejte se, co jsou "pythagorejské trojice" v jiných slovnících:

V matematice jsou Pythagorejská čísla (Pythagorejské trojice) n-tice tří celých čísel splňujících Pythagorejský vztah: x2 + y2 = z2. Obsah 1 Vlastnosti ... Wikipedie

Trojice přirozených čísel takové, že trojúhelník, jehož délky stran jsou úměrné (nebo rovné) těmto číslům, je například obdélníkový. tři čísla: 3, 4, 5... Velký encyklopedický slovník

Trojice přirozených čísel takové, že trojúhelník, jehož délky stran jsou úměrné (nebo stejné) těmto číslům, je obdélníkový. Podle věty se obracejte na Pythagorovu větu (viz Pythagorova věta), k tomu stačí, aby ... ... Velká sovětská encyklopedie

Trojice kladných celých čísel x, y, z splňující rovnici x2 + y 2 = z2. Všechna řešení této rovnice a tím i všechna P. čísla jsou vyjádřena vzorci x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2, kde a, b jsou libovolná kladná celá čísla (a> b). P. h... Encyklopedie matematiky

Trojice přirozených čísel takové, že trojúhelník, jehož délky stran jsou úměrné (nebo rovné) těmto číslům, je například obdélníkový. tři čísla: 3, 4, 5... Přírodní věda. encyklopedický slovník

Trojice takových přirozených čísel, že trojúhelník, jehož délky stran jsou úměrné (nebo rovné) těmto číslům, je obdélníkový, například trojice čísel: 3, 4, 5. * * * PYTAGORISKÁ ČÍSLA PYTAGORISKÁ ČÍSLA , trojice takových přirozených čísel, že ... ... encyklopedický slovník

V matematice se pythagorejská trojice nazývá n-tice tří přirozených čísel splňujících pythagorejský poměr: V tomto případě se čísla, která tvoří pythagorejskou trojici, nazývají pythagorejská čísla. Obsah 1 Primitivní trojčata ... Wikipedie

Pythagorova věta je jednou ze základních teorémů Euklidovské geometrie, která zakládá vztah mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku. Obsah 1 ... Wikipedie

Pythagorova věta je jednou ze základních teorémů Euklidovské geometrie, která zakládá vztah mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku. Obsah 1 Prohlášení 2 Důkazy ... Wikipedie

Toto je rovnice ve tvaru, kde P je celočíselná funkce (například polynom s celočíselnými koeficienty) a proměnné nabývají celočíselných hodnot. Pojmenován po starověkém řeckém matematikovi Diophantovi. Obsah 1 Příklady ... Wikipedie

Pohodlná a velmi přesná metoda, kterou používají zeměměřiči ke kreslení kolmých čar na zemi, je následující. Nechť je požadováno nakreslit kolmici k přímce MN bodem A (obr. 13). Oddělte od A ve směru AM třikrát větší vzdálenost a. Poté se na šňůře uvážou tři uzly, jejichž vzdálenosti se rovnají 4a a 5a. Připevněním krajních uzlů k bodům A a B přetáhněte šňůrku přes prostřední uzel. Šňůra bude umístěna v trojúhelníku, v jehož rohu A je přímka.

Tato prastará metoda, zjevně používaná před tisíci lety staviteli egyptských pyramid, je založena na skutečnosti, že každý trojúhelník, jehož strany spolu souvisí jako 3: 4: 5, podle známé Pythagorovy věty, je obdélníkový, od

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Kromě čísel 3, 4, 5 existuje, jak známo, nesčetná množina kladných celých čísel a, b, c splňujících vztah

A2 + b2 = c2.

Říká se jim pythagorejská čísla. Podle Pythagorovy věty mohou taková čísla sloužit jako délky stran nějakého pravoúhlého trojúhelníku; proto a a b se nazývají "nohy" a c "hypotenuze".

Je jasné, že pokud a, b, c jsou trojice pythagorejských čísel, pak pa, pb, pc, kde p je celočíselný faktor, jsou pythagorejská čísla. Naopak, pokud mají pythagorejská čísla společný činitel, pak je lze tímto společným činitelem zrušit všechna a opět získáte trojnásobek pythagorejských čísel. Proto budeme nejprve zkoumat pouze trojice koprimárních pythagorejských čísel (zbytek z nich získáme vynásobením celočíselným faktorem p).

Ukažme, že v každé z těchto trojic a, b, c musí být jedna „noha“ sudá a druhá lichá. Začneme argumentovat „rozporem“. Jsou-li obě "nohy" a a b sudé, pak číslo a 2 + b 2 bude sudé, a tedy "hypotenza". To je však v rozporu s tím, že čísla a, b, c nemají společné činitele, neboť tři sudá čísla mají společný činitel 2. Alespoň jedna z „noh“ a, b je tedy lichá.

Zbývá ještě jedna možnost: obě „nohy“ jsou liché a „hypotenza“ je sudá. Není těžké dokázat, že tomu tak není. Skutečně: pokud jsou „nohy“ tvaru

2x + 1 a 2r + 1,

pak je součet jejich čtverců

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

to znamená, že je to číslo, které po dělení 4 dává zbytek 2. Mezitím musí být druhá mocnina libovolného sudého čísla dělitelná 4 beze zbytku. Proto součet druhých mocnin dvou lichých čísel nemůže být druhou mocninou sudého čísla; jinými slovy, naše tři čísla nejsou pythagorejská.

Takže z "nohy" a, b je jedna sudá a druhá lichá. Proto je číslo a 2 + b 2 liché, což znamená, že "hypotenza" c je také lichá.

Pro jistotu předpokládejme, že „noha“ a je lichá a b je sudá. Od rovnosti

a 2 + b 2 = c 2

snadno získáme:

A2 = c2 - b2 = (c + b) (c - b).

Faktory c + b a c - b na pravé straně jsou relativně prvočísla. Pokud by tato čísla měla společný prvočinitel jiný než jednotu, pak součet

(c + b) + (c - b) = 2c,

a rozdíl

(c + b) - (c - b) = 2b,

a práce

(c + b) (c - b) = a 2,

to znamená, že čísla 2c, 2b a a by měla společný činitel. Protože a je liché, je tento součinitel odlišný od dvojky, a proto čísla a, b, c mají stejný společný součinitel, který však být nemůže. Výsledný rozpor ukazuje, že čísla c + b a c - b jsou koprimá.

Ale pokud je součin prvočísel přesný čtverec, pak každé z nich je čtverec, tzn.

Po vyřešení tohoto systému zjistíme:

C = (m2 + n2)/2, b = (m2 - n2)/2 a 2 = (c + b) (c - b) = m2n2, a = mn.

Takže uvažovaná pythagorejská čísla mají tvar

A = mn, b = (m2 - n2)/2, c = (m2 + n2)/2.

kde m a n jsou nějaká relativně prvočísla lichá čísla. Čtenář se může snadno přesvědčit o opaku: pro jakýkoli lichý typ dávají psané vzorce tři pythagorejská čísla a, b, c.

Zde je několik trojic pythagorejských čísel získaných pro různé typy:

Pro m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 pro m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 pro m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 pro m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 s m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 s m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 s m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 s m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 s m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 s m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 s m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 s m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 s m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 s m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 s m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 s m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Všechny ostatní trojice pythagorejských čísel mají buď společné faktory, nebo obsahují čísla větší než sto.)

Pythagorejské trojice čísel

Kreativní práce

žák 8 "A" třída

MAOU "Gymnasium č. 1"

Oktyabrsky okres Saratov

Panfilov Vladimír

Školitel - učitel matematiky nejvyšší kategorie

Grishina Irina Vladimirovna

Obsah

Úvod ………………………………………………………………………………………… 3

Teoretická část práce

Hledání hlavního pythagorejského trojúhelníku

(starověké hinduistické vzorce) ………………………………………………………………… 4

Praktická část práce

Kompilace pythagorejských trojic různými způsoby ...................... 6

Důležitá vlastnost pythagorejských trojúhelníků ………………………………………… ... 8

Závěr ………………………………………………………………………………… .... 9

Literatura ………………………………………………………………………… ... 10

Úvod

V tomto akademický rok v hodinách matematiky jsme studovali jednu z nejoblíbenějších geometrických vět - Pythagorovu větu. Pythagorova věta se v geometrii uplatňuje na každém kroku, našla široké uplatnění v praxi i běžném životě. Ale kromě samotné věty jsme také studovali větu obrácenou k Pythagorově větě. V souvislosti se studiem této věty jsme se seznámili s pythagorejskými trojicemi čísel, tzn. s množinami 3 přirozených číselA , b aC , pro který platí následující vztah: = + ... Mezi takové sady patří například tyto trojice:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Okamžitě jsem měl otázky: kolik pythagorejských trojic si dokážete vybavit? Jak je poskládat?

V naší učebnici geometrie zazněla po prezentaci věty obrácené k Pythagorově větě důležitá poznámka: lze dokázat, že nohyA ab a přeponaS pravoúhlé trojúhelníky, jejichž délky stran jsou vyjádřeny v přirozených číslech, lze najít podle vzorců:

A = 2 kmn b = k ( - ) c = k ( + , (1)

kdek , m , n - jakákoli přirozená čísla am > n .

Přirozeně vyvstává otázka - jak tyto vzorce dokázat? A pouze podle těchto vzorců lze sestavit pythagorejské trojice?

Ve své práci jsem se pokusil odpovědět na otázky, které jsem měl.

Teoretická část práce

Nalezení hlavního pythagorejského trojúhelníku (vzorce starých hinduistů)

Nejprve dokážeme vzorce (1):

Označme délky průchozích nohouX ana a délka přepony skrzz ... Podle Pythagorovy věty máme rovnost:+ = .(2)

Tato rovnice se nazývá Pythagorova rovnice. Studium pythagorejských trojúhelníků je redukováno na řešení rovnice (2) v přirozených číslech.

Pokud se každá strana pythagorejského trojúhelníku zvětší stejným počtem, pak dostaneme nový pravoúhlý trojúhelník, podobný tomuto se stranami vyjádřenými přirozenými čísly, tzn. opět Pythagorejský trojúhelník.

Mezi všemi takovými trojúhelníky je ten nejmenší, lze snadno uhodnout, že to bude trojúhelník, jehož stranyX ana vyjádřeno v relativních prvočíslech

(GCD (x, y )=1).

Takovému říkáme pythagorejský trojúhelníkhlavní .

Hledání hlavních pythagorejských trojúhelníků.

Nechte trojúhelník (X , y , z ) - hlavní pythagorejský trojúhelník. číslaX ana - jsou vzájemně jednoduché, a proto oba nemohou být sudé. Dokažme, že nemohou být obojí a liché. Chcete-li to provést, poznamenejte si todruhá mocnina lichého čísla při dělení 8 dává zbytek 1. Jakékoli liché přirozené číslo může být reprezentováno jako2 k -1 , kdek patříN .

Proto: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

čísla( k -1) ak - po sobě jdoucí, jeden z nich je nutně sudý. Pak výrazk ( k -1) děleno2 , 4 k ( k -1) je dělitelné 8, což znamená, že číslo po dělení 8 získá zbytek 1.

Součet druhých mocnin dvou lichých čísel dává při dělení 8 zbytek 2, proto je součet druhých mocnin dvou lichých čísel sudé číslo, ale ne násobek 4, a proto toto číslonemůže být druhou mocninou přirozeného čísla.

Rovnost (2) tedy nemůže platit, jestližeX ana oba jsou zvláštní.

Pokud tedy Pythagorejský trojúhelník (x, y, z ) je hlavní, pak mezi číslyX ana jeden musí být sudý a druhý lichý. Nechť číslo y je sudé. číslaX az lichý (lichýz vyplývá z rovnosti (2)).

Z rovnice+ = dostaneme to= ( z + X )( z - X ) (3).

číslaz + X az - X jako součet a rozdíl dvou lichých čísel - čísla jsou sudá, a proto (4):

z + X = 2 A , z - X = 2 b , kdeA ab patřit kN .

z + X =2 A , z - X = 2 b ,

z = a + b , X = A - b. (5)

Z těchto rovností vyplývá, žeA ab - coprime čísla.

Dokažme to argumentací protikladem.

Nechat gcd (A , b )= d , kded >1 .

Pakd z aX , a proto ta číslaz + X az - X ... Pak na základě rovnosti (3) by byl dělitelem čísla ... V tomto případěd bylo by společný dělitelčíslana aX ale číslana aX musí být vzájemně jednoduché.

Číslona je proto známo, že je sudýy = 2 s , kdeS - přirozené číslo. Rovnost (3) založená na rovnosti (4) má následující podobu: = 2a * 2 b , nebo = ab.

Z aritmetiky je známo, žejestliže součin dvou prvočísel je druhou mocninou přirozeného čísla, pak každé z těchto čísel je také druhou mocninou přirozeného čísla.

Prostředek,a = ab = , kdem an Jsou vzájemně prvočísla, od jsou to dělitelé prvočíselA ab .

Na základě rovnosti (5) máme:

z = + , X = - , = ab = * = ; c = mn

Paky = 2 mn .

číslam an od té doby jsou coprime, nemohou být sudé současně. Ale nemohou být zároveň liché, protože v tomto případěx = - by bylo vyrovnané, což je nemožné. Takže jedno z číselm nebon je sudá a druhá lichá. Očividně,y = 2 mn je dělitelný 4. V každém základním pythagorejském trojúhelníku je tedy alespoň jedna z ramen dělitelná 4. Z toho plyne, že neexistují žádné pythagorejské trojúhelníky, jejichž všechny strany by byly prvočísla.

Získané výsledky lze vyjádřit jako následující věta:

Všechny základní trojúhelníky, ve kterýchna je sudé číslo získané ze vzorce

x = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), kdem an - všechny dvojice prvočísel, z nichž jedna je sudá a druhá lichá (nezáleží na tom, která). Každá základní pythagorejská trojice (x, y, z ), kdena - sudý, - je takto jednoznačně určen.

číslam an nemohou být oba sudé nebo oba liché, protože v těchto případech

x = by bylo vyrovnané, což je nemožné. Takže jedno z číselm nebon je sudý a druhý je lichý (y = 2 mn je násobkem 4).

Praktická část práce

Skládání pythagorejských trojic různými způsoby

Ve vzorcích indiánům an - coprime, ale mohou to být čísla s libovolnou paritou a je poměrně obtížné z nich sestavit pythagorejské trojice. Proto se pokusíme najít jiný přístup k sestavování pythagorejských trojic.

= - = ( z - y )( z + y ), kdeX - zvláštní,y - dokonce,z - zvláštní

proti = z - y , u = z + y

= uv , kdeu - zvláštní,proti - lichý (coprime)

Protože součin dvou lichých prvočísel je pak druhou mocninou přirozeného číslau = , proti = , kdek al - vzájemně prvočíslo, lichá čísla.

z - y = z + y = k 2 , proto sečtením rovnosti a odečtením druhé od jedné dostaneme:

2 z = + 2 y = - to je

z = y = x = kl

k

l

X

y

z

37

9

1

9

40

41 (snuly)*(100…0 (snuly) +1)+1 =200…0 (s-1nuly) 200…0 (s-1nuly) 1

Důležitá vlastnost pythagorejských trojúhelníků

Teorém

V hlavním pythagorejském trojúhelníku je jedna z nohou nutně dělitelná 4, jedna z nohou je nutně dělitelná 3 a plocha pythagorejského trojúhelníku je nutně násobkem 6.

Důkaz

Jak víme, v každém Pythagorejském trojúhelníku je alespoň jedna z nohou dělitelná 4.

Dokažme, že jedna z nohou je také dělitelná 3.

Pro důkaz předpokládejme, že v Pythagorejském trojúhelníku (X , y , z X neboy násobek 3.

Nyní dokážeme, že plocha pythagorejského trojúhelníku je dělitelná 6.

Každý pythagorejský trojúhelník má obsah vyjádřený přirozeným číslem dělitelným 6. Vyplývá to z toho, že alespoň jedna z větví je dělitelná 3 a alespoň jedna z větví je dělitelná 4. Obsah trojúhelníku , určený polovičním součinem nohou, by měl být vyjádřen jako násobek 6 ...

Závěr

V práci

- osvědčené receptury starých hinduistů

-Byla provedena studie o počtu pythagorejských trojic (je jich nekonečně mnoho)

- jsou naznačeny metody hledání pythagorejských trojic

-studoval některé vlastnosti pythagorejských trojúhelníků

Bylo to pro mě velmi zajímavé téma a hledání odpovědí na mé otázky se stalo velmi zajímavým cvičením. Do budoucna plánuji zvážit spojení Pythagorových trojic s Fibonacciho posloupností a Fermatovou větou a naučit se mnoho dalších vlastností Pythagorových trojúhelníků.

Literatura

L.S. Atanasyan "Geometrie. 7-9 tříd" M.: Vzdělávání, 2012.

V. Serpinsky „Pythagorejské trojúhelníky“ M.: Uchpedgiz, 1959.

Saratov

2014