Дифференциал функции. Инвариантность формы дифференциала Инвариантность дифференциала сложной функции

Формула дифференциала функции имеет вид

где - дифференциал независимой переменной.

Пусть теперь дана сложная (дифференцируемая) функция , где,.Тогда по формуле производной сложной функции находим

так как .

Итак, , т.е. формула дифференциала имеет один и тот же вид для независимой переменнойи для промежуточного аргумента, представляющего собой дифференцируемую функцию от.

Это свойство принято называть свойством инвариантности формулы или формы дифференциала . Заметим, что производная этим свойством не обладает.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у= f (x ) дифференцируема в точке х 0 . Дадим в этой точке аргументу приращение х . Функция получит приращение  у . Найдем .

Следовательно, у= f (x ) непрерывна в точке х 0 .

Следствие. Если х 0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Дифференциал. Геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается какили. Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента.

Основные правила дифференцирования. Производная постоянной, производная суммы.

Пусть функции иимеют производные в точке. Тогда

1. Константу можно выносить за знак производной.

5. Дифференциал константы равен нулю.

2. Производная суммы/разности .

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

Основные правила дифференцирования. Производная произведения.

3. Производная произведения .

Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции.

5. Производная сложной функции .

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргументапо основному аргументу.

И имеют производные соответственно в точкахи. Тогда

Теорема

(О производной обратной функции)

Если функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точкии дифференцируема в этой точке, то обратная функцияимеет производную в точке, причем.

Формулы дифференцирования. Производная показательной функции.

Мы видели, что дифференциал функции может быть записан в виде:
(1),

если есть независимая переменная. Пусть теперьесть сложная функ­ция от, т.е.
,
и поэтому
. Если производные функций
и
существуют, то
, как производная сложной функции. Дифференциал
или. Но
и поэтому можем записать
, т.е. получили снова выражение для
как и в (1).

Вывод: формула (1) верна как и в случае, когдаесть независимая переменная, так и в случае, когдаесть функция от независимой пере­менной. В первом случае под
понимается дифференциал независимой переменной
, во втором – дифференциал функции (при этом
, вообще говоря). Это свойство сохранения формы (1) и называетсяинвариантностью формы дифференциала .

Инвариантность формы дифференциала даёт большие выгоды при вычислении дифференциалов сложных функций.

Например : нужно вычислить
. Независимо от того, зависимая или независимая переменная, мы можем записать. Если- функция, например
, то найдём
и, пользуясь инвариантностью формы дифференциала, имеем право записать.

§18. Производные высших порядков.

Пусть функция у= (х) дифференцируема на некотором проме­жутке Х, (т.е. имеет конечную производную у 1 = 1 (х) в каждой точке этого промежутка). Тогда 1 (х) есть в Х сама функция от х. Может оказаться, что в некоторых точках или во всех х 1 (х) сама имеет производную, т.е. существует производная от производной (у 1) 1 =( 1 (х) 1 . В этом случае ее называют второй производной или производной второго порядка. Обозначают символами у 11 , 11 (х), d 2 у/ dх 2 . Если нужно подчеркнуть, что производная находится в т.х 0 , то пишут

у 11 /х=х 0 или 11 (х 0) или d 2 у/ dх 2 /х=х 0

производная у 1 называется производной первого порядка или первой производной.

Итак, производной второго порядка называют производную от производной первого порядка функции.

Совершенно аналогично, производная (там, где она существует) от производной второго порядка называется производной третьего порядка или третьей производной.

Обозначают (у 11) 1 = у 111 = 111 (х)= d 3 у/ dх 3 = d 3 (х) / dх 3

Вообще производной n-го порядка функции у= (х) называется производная от производной (n-1) порядка этой функции. (если они существуют, конечно).

Обозначают

Читают: n-ая производная от у, от (х); d n у по d х в n-ой.

Четвертый, пятый и т.д. порядок неудобно обозначать штрихами, поэтому пишут число в скобках, вместо  v (х) пишут (5) (х).

В скобках, чтобы не путать n-ый порядок производной и n-ую степень функции.

Производные порядка, выше первого, называют производными высших порядков.

Из самого определения следует, что для нахождения n-ой производной нужно найти последовательно все предыдущие от 1-ой до (n-1)-ой.

Примеры: 1) у=х 5 ; у 1 =5х 4 ; у 11 =20х 3 ;

у 111 =60х 2 ; у (4) =120х; у (5) =120; у (6) =0,…

2) у=е х; у 1 =е х; у 11 =е х;…;

3) у=sinх; у 1 =cosх; у 11 = -sinх; у 111 = -cosх; у (4) = sinх;…

Заметим, что вторая производная имеет определенный механический смысл.

Если первая производная пути по времени есть скорость прямолинейного неравномерного движения

V=ds/dt, где S=f(t) – уравнение движения, то V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 -есть скорость изменения скорости, т.е. ускорение движения:

a= f 11 (t)= dV/dt= d 2 S/dt 2 .

Итак, вторая производная пути по времени,есть ускорение движения точки – в этом состоит механический смысл второй производной.

В ряде случаев удается написать выражение производной любого порядка, минуя промежуточные.

Примеры :

у=е х; (у) (n) =(е х) (n) =е х;

у=а х; у 1 =а х lnа; у 11 =а х (lnа) 2 ; у (n) =а х (lnа) n ;

у=х α ; у 1 = αx α-1 ; у 11 =
; у (п) = α(α-1)… (α-n+1)x α-n , при=n имеем

у (п) =(х п) (п) = n! Производные порядка вышеnвсе равны нулю.

у= sinх; у 1 =cosх; у 11 = -sinх; у 111 = -cosх; у (4) = sinх;… и т.д.. Т.к.

у 1 = sin(х+/2); у 11 = sin(х+2/2); у 111 = sin(х+3/2); и т.д., то у (п) =(sinх) (п) = sin(х+n/2).

Легко установить последовательным дифференцированием и общие формулы:

1) (СU) (n) = С(U) (n) ; 2) (U±V) (n) = U (n) ± V (n)

Более сложной оказывается формула для n-ой производной от произведения двух функций (U·V) (n) . Она носит название формулы Лейбница.

Получим ее

у= U·V; у 1 = U 1 V+ UV 1 ; у 11 = U 11 V+ U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 = U 11 V+2U 1 V 1 + UV 11 ;

у 111 = U 111 V+ U 11 V 1 +2U 11 V 1 +2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 = U 111 V+3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 111 ;

Аналогично получим

у (4) = U (4) V+4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4) и т.д.

Нетрудно заметить, что правые части всех этих формул напоминают разложение степеней бинома U+V, (U+V) 2 , (U+V) 3 и т.д. Только вместо степеней U и V тут стоят производные соответствующих порядков. Сходство будет особенно полным, если в полученных формулах писать вместо U и V, U (0) и V (0) , т.е. 0-ые производные от функций U и V (сами функции).

Распространяя этот закон на случай любого n, получим общую формулу

у (n) = (UV) (n) = U (n) V+ n/1! U (n-1) V 1 + n(n-1)/2! U (n-2) V (2) + n(n-1)(n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-к+1)/К! U (к) V (n-к) +…+ UV (n) - формула Лейбница.

Пример: найти (е х х) (n)

(е х) (n) =е х, х 1 =1, х 11 =0 и х (n) =0, поэтому (е х х) (n) = (е х) (n) х+ n/1! (е х) (n-1) х 1 = е х х+ nе х =е х (х+ n).

Если дифференцируемая функция независимых переменных а ее полный дифференциал dz равен Пусть теперь Предположим, что в точке ({,?/) функции »?) и г)) имеют непрерывные частные производные по (и по rf, а в соответствующей точке (ж, у) существуют и непрерывны частные производные и вследствие чего функция г = f(x, у) дифференцируема в этой точке. При этих условиях функция имеет в точке 17) производные Дифференциал сложной функции Инвариантность формы дифференциала Неявные функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности Касательная плоскость поверхности Геометрический смысл полного дифференциала Нормаль к поверхности Как видно из формул (2), щ и щ непрерывны в точке ({,*?). Поэтому функция в точке дифференцируема, примем согласно формуле полного дифференциала для функции от независимых переменных £ и т], имеем Заменив в правой части равенства (3) щ и щ их выражениями из формул (2), получим или как по условию функции в точке ({,17) имеют непрерывные частные производные, то они в этой точке дифференцируемы и Из соотношений (4) и (5) получаем, что Сравнение формул (1) и (6) показывает, что полный дифференциал функции z = /(я, у) выражается формулой одного и того же вида как в случае, когда аргументы х и у функции /(г, у) являются независимыми переменными, так и в случае, когда эти аргументы являются в свою очередь функциями от некоторых переменных. Таким образом, полный дифференциал функции нескольких переменных обладает свойством инвариантности формы. Замечание. Из инвариантности формы полного дифференциала следует: еслнх и у являются дифференцируемыми функциями какого угодно конечного числа переменных то остаются в силе формулы Пусть имеем уравнение где есть функция двух переменных, заданная в некоторой области G на плоскости хОу. Если для каждого значения х из некоторого интервала (хо - Ло, хо + ^о) существует ровно одно значение у, которое совместно с х удовлетворяет уравнению (1), то этим определяется функция у = у(х), для которой равенство выпсишяется тождественно по х в указанном интервале. В этом случае говорят, что уравнение (1) определяет величину у как неявную функцию х. Иными словами, функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно у, называется неявной функцией", она становится явной, если зависимость у от х задается непосредственно. Примеры. 1. Уравнение определяет на всей OcW рх величину у как однозначную функцию х: 2. Уравнением величина у определяется как однозначная функция х. Проиллюстрируем это утверждение. Уравнение удовлетворяется парой значений х = 0, у = 0. Будем считать * параметром и рассмотрим функции. Вопросо том, существует ли для выбранного хо соответств ующее единственное значение Уо таков, что пара (удовлетворяет уравнению (2), сводится к тому, пересеяв стоя ли кривые х а у и единственной точке. Построим их графики на плоскости хОу (рис.11). Кривая » = х + с sin у, где х рассматривается как параметр, получается параллельным переносом вдоль оси Ох иривой г = г sin у. Геометрически очевидно, что при всяком х кривые х = у и г = t+c $1пу имеют единствен»ую точку пересечения, ор-динвтв у которой является функцией от х, определяемой уравнением (2) неявно. Через элементарные функции эта зависимость не выражаетоя. 3. Уравнение ни при каких действительных х не определяет у квк действительную функцию аргументе х. В таком же смысле можно говорить о неявных функциях нескольких переменных. Следующая теорема дает достаточные условия однозначной разрешимости уравнения = 0 (1) относительно у в некоторой окрестности задан ной точки (®о> Уо). Теореме 8 (существомкм неявной функции). Пусть выполнены следующие условия: 1) функция определено и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке в точке функция у) обращается в н\ль, 3) в прямоугольнике D существуют и непрерывны частные производные 4) У) Гогда любого достаточно ма/юео положительного числа е найдется окрестность этой окрестности существует единственная^ непрерывная функция y = f(x) (рис. 12), которая принимает значение), удовлетворяет умовию \y - yol и обращает уравнение (1) в тождество: Эта функция непрерывно дифференцируема в окрестности точки Xq, причем Выведем формулу (3) для производной неявной функции, считая существование этой производной доказанным. Пусть у = f(x) - неявная дифференцируемая функция, определяемая уравнением (1). Тогда в интервале) имеет место тождество Дифференциал сложной функции Инвариантность формы дифференциала Неявные функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности Касательная плоскость поверхности Геометрический смысл полного дифференциала Нормаль к поверхности вследствие него в этом интервале Согласно правилу дифференцирования сложной функции имеем Единственная в том смысле, чтолюбаяточка (х, у), лежащая на кривой принадлежащая окрестности точки (хо, уо)» имеет координаты, связанные уравнением Отсюда при у = f(x) получаем, что и, значит, Пример. Найти j* от функции у = у(х), определяемой уравнением В данном случае Отсюда в силу формулы (3) Замечание. ТеорсмаЗдастусловиядлясуществования единственной неявной функции, графиккоторой проходит через заданную точку (хо, уо). достаточные, но не необходимые. В само^деле, рассмотрим уравнение Здесь имеет непрерывные частные производные равна нулю в точке 0(0,0). Тем не менее, данное уравнение имеетединственное решение равное нулю при Задача. Пусть дано уравнение - однозначная функция, удовлетворяющая уравнению (Г). 1) Сколько однозначных функций (2") удовлетворяет уравнению (!")? 2) Сколько однозначных непрерывных функций удовлетворяет уравнению (!")? 3) Сколько однозначйых дифференцируемых фуисций удовлетворяет уравнению {!")? 4) Сколько однозначных непрерывных функций, удовлетворяет" уравнению (1"), если и достаточно мало? Теорема существования, аналогичная теореме 8, имеет место и в случае неявной функции z - z(x, у) двух переменных, определяемой уравнением Теорема 9. Пусть выполнены следующие условияГ) функция & определена и непрерывна в области D в области D существуют и непрерывны частные производные Тогда для любого достаточно малого е > О найдется окрестность Г2 точки (®о»Уо)/ в которой существует единственная непрерывная функция z - /(ж, у), принимающая значение при х = ж0, у = уо, удовлетворяющая условию и обращающая уравнение (4) в тождество: При этом функция в области Q имеет непрерывные частные производные иГГ Найдем выражения для этих производных. Пусть уравнение определяет z как однозначную и дифференцируемую функцию z = /(ж, у) независимых переменных хну. Если в это уравнение вместо z подставить функцию f(x, у), то получим тождество Следовательно, полные частные производные по ж и по у функции у, z), где z = /(г, у), также долкны быть равны нулю. Дифференцируя, найдем откуда Эти формулы дают выражения для частных производных неявной функциидвух независимых переменных. Пример. Найти частные проиааодныа от функции х(г,у), заданной уравнением 4 Имеем откуда §11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 11.1. Предварительные сведения Пусть имеем поверхность S, заданную уравнением Определен*. Точка М(х, у, z) поверхности (1) называется обыкновенной точкой этой поверхност и, если в точке М все три производные существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля. Если в точке Му, z) поверхности (1) все три производные равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М называется особой точкой поверхности. Пример. Рассмотрим круговой конус (рис. 13). Здесь так что Единственной особой тонкой мляется начало координат 0(0,0,0): в этой точка аса частные производные одновременно обращаются в нуль. Рис. 13 Рассмотрим пространственную кривую L, заданную параметрическими уравнение ями, Пусть функции имеют непрерывные производные в интервале. Исключим из рассмотрения особые точки кривой, в которых Пусть - обыкновенная точка кривой L, определяемая значением to параметра. Тогда - вектор касательной к кривой в точке. Касательная плоскость поверхности Пусть поверхность 5 задана уравнением Возьмем на поверхности S обыкновенную точку Р и проведем через нее некоторую кривую L, лежащую на поверхности и задаваемую параметрическими уравнениями Предположим, что функции £(*), »/(0» С(0 имеют непрерывные производные, нигде на (а}р) не обращающиеся одновременно в нуль. По определению, касательная кривой L в точке Р называется касатыьной к поверхности 5 в этой точке. Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то, поскольку кривая L лежит на поверхности S, уравнение (1) обратится в тождество относительно t: Дифференцируя это тождество по t, по правилу дифференцирования сложной функции получим Выражение в левой части (3) является скалярным произведением двух векторов: В точке P вектор г направлен по касательной к кривой L в этой точке (рис. 14). Что касается вектора п, то он зависит только от координат этой точки и вида функции ^"(ж, у, z) и не зависит от вида кривой, проходящей через точку Р. Так как Р - обыкновенная точка поверхности 5, то длина вектора п отлична от нуля, То, что скалярное произведение означает, что вектор г, касательный к кривой L в точке Р, перпендикулярен вектору п в этой точке (рис. 14). Эти рассуждения сохраняют свою силу для любой кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности S. Следовательно, любая касательная прямая к поверхности 5 в точке Р перпендикулярна вектору п, и, значит, все эти прямые лежат в одной плоскости, тоже перпендикулярной вектору п. Определение. Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к поверхности 5, проходящие через данную обыкновенную точку Р G 5, называется касательной плоскостью поверхности в точке Р (рис. 15). Вектор Дифференциал сложной функции Инвариантность формы дифференциала Неявные функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности Касательная плоскость поверхности Геометрический смысл полного дифференциала Нормаль к поверхности есть нормальный вектор касательной плоскости к поверхности в точке Р. Отсюда сразу получаем уравнение касательной плоскости к поверхности ЗГ(в обыкновенной точке Р0(®о, Уо» этой поверхности: Если поверхность 5 задана уравнением то, записав это уравнение в виде получим и уравнение касательной плоскости в точке, будет выгл -деть так 11.3. Геометрический смысл полного дифференциала Если в формуле (7) положить, то она примет вид Права часть (8) представляет собой полный дифференциал функции z в точке М0(х0) уо) на плоскости хОу> так что Таким образом, полный дифференциал функции z = /(х, у) двух независимых переменных х и у в точке М0, отвечающий приращениям Дх и Ду переменных и у, равен приращению z - z0 аппликаты z точки касательной плоскости поверхности 5 в точке Я>(хо» Уо» /(, Уо)) ПРИ переходе от точки М0(хо, Уо) к точке - 11.4. Нормаль к поверхности Определение. Прямая, проходящая через точку Ро(хо, уо, го) поверхности перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в точке Ро, называется нормалью к поверхности в точке Pq. Вектор)L является направляющим вектором нормали, а ее уравнения имеют вид Если поверхность 5 задана уравнением, то уравнения нормали в точке) выглядят так: в точке Здесь В точке (0,0) зти производные равны нулю: и уравнение касательной плоскости в точке 0(0,0,0) принимает следующий вид: (плоскость хОу). Уравнения нормали

Правило дифференцирования сложной функции приведет нас к одному замечательному и важному свойству дифференциала.

Пусть функции таковы, что из них может быть составлена сложная функция: . Если существуют производные то - по правилу V - существует и производная

Заменяя, однако, производную ее выражением (7) и замечая, что есть дифференциал х как функции от t, окончательно получим:

т. е. вернемся к прежней форме дифференциала!

Таким образом, мы видим, что форма дифференциала может быть сохранена даже в том случае, если прежняя независимая переменная заменена новой. Мы всегда имеем право писать дифференциал у в форме (5), будет ли х независимой переменной или нет; разница лишь в том, что, если за независимую переменную выбрано t, то означает не произвольное приращение а дифференциал х как функции от Это свойство и называют инвариантностью формы дифференциала.

Так как из формулы (5) непосредственно получается формула (6), выражающая производную через дифференциалы то и последняя формула сохраняет силу, по какой бы независимой переменной (конечно, одной и той же в обоих случаях) ни были вычислены названные дифференциалы.

Пусть, например, так что

Положим теперь Тогда и мы будем иметь: Легко проверить, что формула

дает лишь другое выражение для вычисленной выше производной.

Этим обстоятельством особенно удобно пользоваться в случаях, когда зависимость у от х не задана непосредственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных х и у от некоторой третьей, вспомогательной, переменной (называемой параметром):

Предполагая, что обе эти функции имеют производные и что для первой из них существует обратная функция имеющая производную , легко видеть, что тогда и у оказывается функцией от х:

для которой также существует производная. Вычисление этой производной может быть выполнено по указанному выше правилу:

не восстанавливая непосредственной зависимости у от х.

Например, если производную можно определить, как это сделано выше, не пользуясь вовсе зависимостью .

Если рассматривать х и у как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (8) каждому значению параметра t ставят в соответствие некоторую точку, которая с изменением t описывает кривую на плоскости. Уравнения (8) называются параметрическими уравнениями этой кривой.

В случае параметрического задания кривой, формула (10) позволяет непосредственно по уравнениям (8) установить угловой коэффициент касательной, не переходя к заданию кривой уравнением (9); именно,

Замечание. Возмохсность выражать производную через дифференциалы, взятые по любой переменной, в частности, приводит к тому, что формулы

выражающие в лейбницевых обозначениях правила дифференцирования обратной функции и сложной функции, становятся простыми алгебраическими тождествами (поскольку все дифференциалы здесь могут быть взяты по одной и той же переменной). Не следует думать, впрочем, что этим дан новый вывод названных формул: прежде всего, здесь не доказывалось существование производных слева, главное же - мы существенно пользовались инвариантностью формы дифференциала, которая сама есть следствие правила V.

Дифференциал функции

Функция называется дифференцируемой в точке , предельной для множества E , если ее приращение Δf (x 0), соответствующее приращению аргумента x , может быть представлено в виде

Δf (x 0) = A (x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

где ω (x - x 0) = о (x - x 0) при x → x 0 .

Отображение , называется дифференциалом функции f в точке x 0 , а величина A (x 0)h - значением дифференциала в этой точке.

Для значения дифференциала функции f принято обозначение df или df (x 0), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом,

df (x 0) = A (x 0)h .

Разделив в (1) на x - x 0 и устремив x к x 0 , получим A (x 0) = f" (x 0). Поэтому имеем

df (x 0) = f" (x 0)h . (2)

Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала df (x 0) (при f" (x 0) ≠ 0) есть главная часть приращения функции f в точке x 0 , линейная и однородная в то же время относительно приращения h = x - x 0 .

Критерий дифференцируемости функции

Для того чтобы функция f являлась дифференцируемой в данной точке x 0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x - независимая переменная, то dx = x - x 0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df (x 0) = f" (x 0)dx . (3)

Если x = φ (t ) - дифференцируемая функция, то dx = φ" (t 0)dt . Следовательно,