Построение графика y f x l. Урок1
>>Математика:Как построить график функции у = f(x + l) + m, если известен график функции у = f(x)
Как построить график функции у = f(x + l) + m, если известен график функции у = f(x)
График функции у = f(x + 1) + т можно получить из графика функции у - f{x) последовательным применением тех преобразований, о которых мы говорили в § 10 и 11.
Пример 1. Построить график функции у = (х - 2) 2 - 3.
Решение. Осуществим построение по этапам.
Первый этап. Построим график функции у - х 2 (пунктирная линия на рис. 54).
Второй этап . Сдвинув параболу у = х 2 на 2 единицы вправо, получим график функции у = (х - 2) 2 (сплошная черная линия на рис. 54).
Третий этап. Сдвинув параболу у = (х - 2) 2 на 3 единицы вниз, получим график функции у = (х - 2) 2 - 3 (цветная линия на рис. 54).
Замечание. Математику, который привык быть экономным в своих действиях, такое решение не очень понравится, хотя оно абсолютно правильное.
Он спросит: зачем мне строить три графика , когда я могу обойтись построением только одного графика? Ведь фактически графиком функции у = (х - 2) 2 - 3 является та же парабола, что служила графиком функции у = х 2 , только вершина параболы переместилась из начала координат в точку (2; -3).
Поэтому, продолжит математик, я сделаю так: перейду к вспомогательной системе координат с началом в точке (2; -3). Для этого построю (пунктиром) прямые х = 2 и у=-3 (рис 55). В этой вспомогательной системе координат
воспользуюсь шаблоном параболы у = х 2 (математики обычно в таких случаях выражаются по-другому, они говорят: «привяжем функцию у = х 2 к новой системе координат») и получу в итоге требуемый график (рис.56)
Попробуем воспользоваться советом математика при решении следующего примера.
Пример 2. Построить график функции у = - 2(х + З) 2 + 1.
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-3; 1) (пунктирные прямые х = -3, у = 1 на рис. 57).
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели:
Оборудование: интерактивная доска, проектор, презентация к уроку.
ХОД УРОКА
у = x 2 и у = x 2 +1. Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы (параллельном переносе) на 1 единицу вверх. (Слайд 10.)
На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x 2 и у = x 2 – 1. Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы (параллельном переносе) на 1 единицу вниз. (Слайд 11.)
На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x 2 и у = (x – 1) 2 . Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы (параллельном переносе) на 1 единицу вправо. (Слайд 12.)
На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x 2 и у = (x + 1) 2 . Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы (параллельном переносе) на 1 единицу влево. (Слайд 13.)
С помощью учителя учащиеся формулируют правило построения графика функции у = f (x + l) и графика функции у = f (x) + m с помощью сдвига графика функции у = f (x) . (Слайды 14-18. Анимация сдвигов графиков на слайдах помогает лучшему восприятию правила.)
Затем рассматривается вариант построения графика функции у = f (x + l) и графика функции у = f (x) + m с помощью сдвига графика функции у = f (x) , если известен график функции у = f (x) с помощью сдвига осей координат. (Слайды 19-23. Анимация сдвигов осей координат на слайдах помогает лучшему восприятию правила построения графиков.)
Правила построения графиков функций у = f (x + l) и у = f (x) + m записываются в тетрадь.
4. Закрепление материала
№ 19.6, № 20.6, № 19.11(в), № 19.12(в), № 19.13(в), № 19.14(в), № 20.11(в), № 20.12(в), № 20.13(в), № 20.14(в).
Параграф 19, 20 учебника, № 19.5, № 20.5, № 19.11–19.14(а), № 20.11–20.14(а).
6. Подведение итогов урока
В этом видеоуроке будет рассмотрен вопрос графического представления функции y = f(x + l), при условии, что график функции y = f(x) известен заранее.
Для полноты понимания, объяснения будут сопровождаться визуальным дополнением. Для этого построим графики функций у = х 2 и у = (х + 3) 2 в одной системе координат. Первая из функций уже была рассмотрена в наших видеоуроках ранее, и мы знаем, что ее график - это парабола. Для функции у = (х + 3) 2 , подставляя значения аргумента х, рассчитываем координаты точек, по которым и строим график. Соединив точки плавной кривой, мы видим, что график являет собой параболу. Можно заметить, что этот график имеет такой же вид, что и в случае у = х 2 , однако в этом случае он перемещен влево на три единицы по оси абсцисс. Соответственно, наблюдается и смещение вершины параболы в положение (- 3; 0), а не в начале координат, как это наблюдаем у параболы равенства у = х 2 . Ось симметрии также смещена, и соответствует линии в положении х = - 3, а не х = 0, как это мы можем наблюдать в случае графика уравнения у = х 2 .
Когда мы изображаем, как демонстрирует видео, графики функций у = x 2 и у = (х - 2) 2 в одной координатной сетке, можно заметить, что второй график похож на первый с той лишь особенностью, что наблюдается смещение по оси абсцисс вправо на 2 позиции. Как это выглядит воочию, вы можете увидеть в предложенном видеоматериале.
После просмотра этого примера становится ясно, что графически решения функций данного типа происходят по тому же алгоритму.
Еще один пример, который предлагает наше видео, - это равенство у = -2 (х - 4) 2 . Ее графиком также является парабола вида y = - 2x 2 , претерпевшая сдвиг, то есть параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на четыре единицы. С самим графиком вас познакомит это видео.
Исходя из изложенного выше, можно сделать следующие выводы:
1) Для того чтобы начертить график функции типа у = f(x + l), в случае если l - это положительное число, заданное условием, необходимо переместить график равенства по оси х влево на l единиц масштаба;
2) Для того, чтобы построить график функции у = f(x - l), где число l - это заданное положительное число, то нужно график функции у = f(x) просто сдвинуть вдоль оси х на l единиц масштаба вправо.
То есть, если знак числа l положительный, то смещаем в направлении убывания значений по оси абсцисс, а если отрицательный, то в сторону увеличения.
Пример 1. Используя полученные в видеоматериале знания, необходимо построить график функции y = - 3 / (x+5)
Для решения этой задачи сначала строим гиперболу для равенства y = -3/x, после этого сдвигаем полученный график вдоль оси абсцисс влево на 5 единиц масштаба. В результате чего у нас получился требуемый график - это гипербола с асимптотами х=-5 и у = 0. Сам график вы видели при просмотре предложенного видео.
Следующий пример состоит в следующем: необходимо построить график функции у = |х+2|. Суть решения данной задачи имеет такой же алгоритм, что и в предыдущем случае. Сначала строим график функции у = |х|, а затем сдвигаем его на две единицы масштаба влево.
В дополнение следует сказать, что при построении графика функции вида у = f(x + l), в случае если l - это любое число, отличительное от нуля, то есть как положительное, так и отрицательное. При решении задач функций мы рассчитывали координаты точек, по которым и строили графики, не обращая внимания на знак возле некоего числа l, которое присутствовало в наших функциях, а просто отмечали сдвиг графика в той или иной мере. Однако следует отметить, что направление сдвига все же определялось именно знаком числа l: в случае, когда значение числа l было положительным, график сдвигался влево, а в случае, когда число l было меньше нуля, график сдвигался вправо.
Урок «Как построить график функции у = f (x + l )+ m , если известен график функции у = f (x ).
8А класс. Учитель Бобунова В.В. МОУ СОШ №1 г.Пугачев Саратовская область
Базовый учебник
Цель урока : повторить правила построения графиков функций у=(х+l) и у=f(x)+m, если известен график функции у= f (x ); рассмотреть правило построения графика функции у= f(х+ l )+ m , если известен график функции у= f (x ); развивать умение строить графики различных функций.
Задачи:
образовательные:
- научить учащихся строить график функции у =f(x+l)+m, если известен график функции у =f(x); научить применять эти способы при выполнение упражнений; совершенствовать умение строить графики функций у=f(x)+m и у=(х+l) , если известен график функции у=f(x);
р азвивающие:
- развивать ИКТ-компетентность учащихся в ходе выполнения самостоятельных заданий с помощью ЭОР; развивать умение обосновывать свое решение; развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать и систематизировать;
в оспитательные:
развивать умение вести индивидуальную, групповую дискуссию;
формирование ответственности каждого за конечные результаты работы в паре, этичного поведения.
Тип урока - изложение нового материала.
Методы обучения: иллюстративно-словесный (иллюстративно-словесный и частично-поисковый).
Формы работы - индивидуальная (фронтальная, работа в парах)
Оборудование : Компьютер, мультимедийный проектор, экран, мультимедийная презентация к уроку, раздаточный материал.
Ход урока.
1. Организационный момент
, проверка домашнего задания. Учитель сканирует домашнее задание одного из учеников, показывает его классу, учащиеся проверяют свои работы.
2. Индивидуальная работа
.
Четырем ученикам раздаются карточки для индивидуальной работы у доски.
Карточка 1
Построить графики данных функций:
,
, .
3. Актуализация знаний. Работа с графиками функций. Напишите уравнение графика функции,изображенного на рисунке (слайды1-5). При проверке задания вспомнить уже изученные правила построения графиков функций у= f (x + l ) и у=f(x)+m f(x) .
4. Объяснение нового материала.
Задание классу
:
на одной координатной плоскости построить штриховой линией графики следующих функций:
у=х
2
, у=(х-2)
2
, у=х
2
-3.
Затем предлагается учащимся самостоятельно построить сплошной линией график функции у = (х-2)
2
-3 . Происходит обсуждение построения данного графика и ученикам предлагается сформулировать правило построения графика функции
у=f(x+l)+m
, если известен график функции
f
(x
)
.
Чтобы построить график функции
у=
f
(x
+
l
)+
m
, если известен график функции
у=f(х)
, надо график функции
у=
f
(x
)
сдвинуть по оси
x
на
/
l
/
единиц вправо, если
l
или влево, если
l
>0
, а затем сдвинуть получивший график по оси
у
на
/m/
единиц
наверх, если
m
>0
, вниз, если
m
.
Задание классу. В какую точку переместится вершина параболы, заданной уравнением:
1.у=(х+1)²-2
2. у =(х-7)²-4
3.у=4(х-2)²+8
4. у=0,5(х-3,5)²+6
Вопрос классу
: «Обязательно ли строить три графика для
построения графика функции у =
f
(x
+
l
)+
m
?
»
После обсуждения делается вывод: «Фактически графиком функции у =(х - 2)
2
- 3 является та же парабола, что служила графиком функции у = х
2
,
только вершина параболы переместилась из начала координат в точку (2; -3).Следовательно для ее построения нужно перенести систему координат в точку (2;-3), в новой системе координат построить график функции у=х
2
.
5. Закрепление нового материала.
Фронтальная работа с полным проговариванием правила построения. Построить график функции у = 0,5(х-5)
2
-7
Самостоятельная работа(в парах).
1.Построить график функции у=2(х+3) 2 +1.
2.Построить график функции у=√х+6+4.
3. № 21.16(в)
4.Решите графически уравнение -3=х, используя график в упражнении №21.16(в).
5. Решите графически систему уравнений
VI . Итог урока
Ребята давайте подведем итог урока. Что же мы сегодня повторили, закрепили, узнали нового на уроке. (Учащиеся рассказывают основные моменты урока) А что вам показалось самым сложным при построении графиков?
Вы показали хорошие знания. Молодцы! Оценки …
VII .Домашнее задание. п.12,№21.7; 21.16(а);21.20(б). Дополнительное задание : построить график функции у=х 2 -4х+6. Это творческое задание, построить график квадратичной функции исходя из имеющихся знаний по преобразованиям графиков функций.
Литература.
Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2010. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.|; Под ред. А. Г. Мордковича. - 12-е изд., испр. - М. : Мнемозина, 2010.
Включить эффекты
1 из 17
Отключить эффекты
Смотреть похожие
Код для вставки
ВКонтакте
Одноклассники
Телеграм
Рецензии
Добавить свою рецензию
Слайд 1
Слайд 2
x y 2 1 1 0 6 -2 3 Устная работа на повторение 1) [-1;3] 2) 3) [-2;6] 4)
Слайд 3
x y 3 1 1 0 6 -2 3 Устная работа на повторение 1) [-1;3] 2) 3) [-2;6] 4) Найдите область значений функции
Слайд 4
x y 4 1 1 0 6 -2 3 Устная работа на повторение 1) 1 2) 1;1 3) 1;4 4) 4 Найдите нули функции
Слайд 5
На одном из рисунков изображен график функции, возрастающей на промежутке . Укажите этот рис. Устная работа на повторение
Слайд 6
Устная работа на повторение
Слайд 7
F(-1)
Слайд 8
Область определения функции… Область значений функции … Нули функции … Положительные и отрицательные значения функции … Монотонность функции … Наибольшее и наименьшее значение функции … Непрерывность … Ограниченность … Выпуклость … Устная работа на повторение
Слайд 9
Как построить график функции y=f(x+l)+m из графика функции y=f(x)
Слайд 10
10 m >0 m
Слайд 11
Графиком функции у=а(х+l)2 является парабола, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х на l единиц влево, если l> 0 l
Слайд 12
x y 12 Х=5 у=4 1 1 0 5 4 5 ед. 4 ед.
Слайд 13
В классе № 21.5 (устно) №21.12-21.13 (в,г) № 21.10 (г)
Слайд 14
Практическая работа
На выбор построить по 2 графика: № 21.8 (а); № 21.9 (а); № 21.11 (в); № 21.11 (г).
Слайд 15
Преобразование графиков функций
Задание на дом §21. № 21.11 (а,б) № 21.12-19.13 (а,б)
Слайд 16
Литература
Рисунки для устной работы из учебника С.А. Теляковского «Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений». М.: Просвещение. 2003г.
Слайд 17
Посмотреть все слайды
Конспект
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия №1 г.Лебедянь Липецкой области
(план рассчитан на 2 часа)
Учитель математики
Гладунец Ирина Владимировна
АННОТАЦИЯ
ВВЕДЕНИЕ
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Цель урока:
Задачи урока:
Образовательные:
Развивающие:
Воспитательные:
Тип урока : изучение нового материала.
Вид урока: комбинированный.
Формы работы учащихся : фронтальная, коллективная.
Межпредметные связи: физика.
Внутрипредметные связи:
СТРУКТУРА УРОКА
Этап урока | № слайда презентации | Деятельность учителя
| Деятельность ученика |
(в мин) |
|
Организационный момент | Приветствует обучающихся. | ||||
Актуализация знаний |
Найдите область определения функции Найдите область определения функции Найдите нули функции Найдите нули функции На одном из рисунков изображен график функции, убывающей на промежутке . Укажите этот рис. На рисунке изображен график функции у = f(x). Из приведенных утверждений выберите верное Перечислить свойства функции | Отвечают на вопросы учителя | |||
Изучение нового материала | |||||
Физкультминутка | Выполняют упражнения | ||||
|
№ 21.5 (устно) №21.12-21.13 (в,г) | |||||
Практическая работа | |||||
Контроль практической работы | |||||
Домашнее задание | Задает задание на дом. | Записывают задание в дневник. | |||
Итоги урока | Отвечают на вопросы учителя. | ||||
Рефлексия | Подводят итоги урока. |
ХОД УРОКА
График функции у = ах2 + m является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вверх, если m >0, или на - m единиц вниз, если m < 0.
Графиком функции у=а(х+l)2 является парабола, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х на l единиц влево, если l>0, или на – l единиц вправо, если l<0
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия №1 г.Лебедянь Липецкой области
Разработка урока алгебры в 8 классе по теме
Как построить график функции y=f(x+l)+m из графика функции y=f(x)
(план рассчитан на 2 часа)
Учитель математики
Гладунец Ирина Владимировна
АННОТАЦИЯ
Данный урок может быть интересен тем, что на уроке изучения нового материала сразу же проводится практическая работа обучающего характера с целью закрепления изученного. Причем работа проводится коллективно (в группах). �Урок помогает способствовать развитию познавательной деятельности обучения, развивать у учащихся внимание и формировать потребность в приобретении знаний, воспитывать навыки самоконтроля, привычки к рефлексии, добиваться изменения роли ученика в учебном процессе от пассивного наблюдателя до активного исследователя
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность данной разработки заключается в том, что современный урок должен быть не только нескучным и интересным, но отображать современные методики и ресурсы. В данном случае используются самостоятельная отработка изученного материала в ходе коллективной работы, компьютерное обеспечение, наглядность, взаимопомощь и взаимоконтроль обучающихся, а значит, урок обеспечивает коммуникативность и научное развитие обучающихся на уроке, что соответствует современным требованиям образования. Данный урок позволяет развивать логическое мышление обучающихся; развивать умение обобщать и делать выводы; развивать познавательный интерес и коммуникативные навыки при работе с партнером. Также урок помогает способствовать формированию ответственного отношения к учению; воспитывать культуру учебного труда, навыков экономного расходования учебного времени; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.
Урок рассчитан на детей различного уровня развития, основной акцент в методике проведения урока на коллективный метод работы. Данный урок разработан так, что он соответствует требованиям к современному уроку развитие самостоятельности в обучении и развитию коммуникативный качеств.
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
Цель урока:
изучить алгоритм построения графика функции y=f(x+l)+m из графика функции y=f(x) и закрепить изученный материал в ходе самостоятельной работы обучающего характера.
Задачи урока:
Образовательные:
закрепить навык построения графиков различных функций;
закрепить навык смещения графика функции y=f(x) вдоль осей Ох и Оу
осуществить проверку ЗУНов по данной теме в ходе практической (коллективной) работы.
Развивающие:
способствовать развитию познавательной деятельности обучения с помощью применения информационно-коммуникационных технологий на уроках;
развивать у учащихся логическое мышление, внимание; формировать потребность в приобретении знаний.
Воспитательные:
воспитывать навыки самоконтроля, привычки к рефлексии;
добиваться изменения роли ученика в учебном процессе от пассивного наблюдателя до активного исследователя.
Тип урока : изучение нового материала.
Вид урока: комбинированный.
Формы работы учащихся : фронтальная, коллективная.
Материально- техническое оборудование: компьютер, медиапроектор, экран.
Формирование ключевых компетенций: умение строить графики ранее изученных функций и смещать их вдоль осей Ох, Оу.
Межпредметные связи: физика.
Внутрипредметные связи: функции: линейная, частный случай квадратичной функции, обратная пропорциональность, у=√х.
СТРУКТУРА УРОКА
Этап урока | № слайда презентации | Деятельность учителя (с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация) | Деятельность ученика |
(в мин) |
|
Организационный момент | Приветствует обучающихся. | Приветствуют учителя. Записывают число | |||
Актуализация знаний | Задает вопросы ученикам на повторение: Найдите область определения функции Найдите область определения функции Найдите нули функции Найдите нули функции На одном из рисунков изображен график функции, убывающей на промежутке . Укажите этот рис. На рисунке изображен график функции у = f(x). Из приведенных утверждений выберите верное Перечислить свойства функции | Отвечают на вопросы учителя | |||
Формулировка темы и цели урока | Формулирует тему урока и его цель и задачи. | Записывают тему урока в тетрадь. | |||
Изучение нового материала | Демонстрирует презентацию. Работа с графиком функции у=1/2х2. Преобразование графика путем смещения его вправо на 5 ед. масштаба и вверх на 4 ед. | Просматривают презентацию, отвечают на вопросы учителя, обобщают материал, делают выводы. Строят графики и их смещение в тетради. | |||
Физкультминутка | Декламирует в стихотворной форме упражнения. | Выполняют упражнения | |||
Закрепление полученных знаний, умений и навыков | Предлагает решить задачи из учебника № 21.5 (устно) №21.12-21.13 (в,г) | Выполняют в тетради и на доске. | |||
Практическая работа | Предлагает выполнить практическое задание, разбив класс на группы по 4(3) человека. | Выполняют практическую работу в тетради, затем делают отчет на двойном листочке, выставляя оценки друг другу, согласно активности членов группы и их участия в работе и отчете. | |||
Контроль практической работы | Проверяет отчеты в группах, выставляет оценки ученикам. | Сдают отчет по практической работе учителю | |||
Домашнее задание | Задает задание на дом. | Записывают задание в дневник. | |||
Итоги урока | Задает ученикам вопросы об алгоритме построения графиков функций и их перемещении вдоль осей координат. | Отвечают на вопросы учителя. | |||
Рефлексия | Проводит психологическое тестирование на рефлексию | Подводят итоги урока. |
ХОД УРОКА
Повторение ранее изученного материала
Тест-самопроверка (слайды 2-8)
2. Актуализация знаний (слайды 9-11)
Тема нашего урока: «Как построить график функции y=f(x+l)+m из графика функции y=f(x). Нам необходимо выработать навык построения графика функции y=f(x+l)+m путем смещения вдоль осей координат графика y=f(x) (исходной), или «привязав» график исходной функции к новой системе координат. Затем закрепим полученные знания на практической коллективной обучающей работе.
Вспомним как строили графики функций y=f(x)+m и y=f(x+l).
График функции у = ах2 + m является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вверх, если m >0, или на - m единиц вниз, если m < 0.
Графиком функции у=а(х+l)2 является парабола, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х на l единиц влево, если l>0, или на – l единиц вправо, если l<0
Изучение нового материала(слайд 12)
Работа с графиком функции у=1/2х2. Преобразование графика путем смещения его вправо на 5 ед. масштаба и вверх на 4 ед.
Закрепление изученного (слайд 13)
№ 21.5 (устно), №21.12-21.13 (в,г), № 21.10 (г)
Практическая (обучающая) работа (коллективная) (слайд 14)
На выбор построить по 2 графика: № 21.8 (а); 21.9 (а); 21.11 (в); 21.11 (г).
Обучающиеся класса разбиваются на группы по 4 человека так, чтобы в группу попали ученики разного уровня обучаемости. Обсуждая, как построить графики функций, каждый работает в своей тетради. Затем результаты своей коллективной работы ученики переносят на двойной листок. Записывают всех членов группы и ставят оценку каждому члену группы согласно активности и участия в работе. Затем листочки сдают на проверку учителю.
Во время работы ученики могут обращаться к учителю за помощью.
Оценки могут быть выставлены в журнал (на усмотрения учителя).
Задание на дом: §21, № 21.11 (а,б), № 21.12-19.13 (а,б) (слайд 15)
Рисунки для устной работы на повторение из учебника С.А. Теляковского «Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений». М.: Просвещение. 2003г.