Движение материальной точки под углом к горизонту. Примеры решенных задач по физике на тему "свободное движение тела, брошенного под углом к горизонту"

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Рассмотрим движение тела, брошенного со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к горизонту, в плоскости XOY, расположив тело в момент бросания в начало координат, как это изображено на рисунке 1.

В отсутствии сил сопротивления, движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как частный случай криволинейного движения под действием силы тяжести. Применяя 2 - ой закон Ньютона


∑ F i

получаем
mg = ma ,


	a = g
Проекции вектора ускорения a на оси ОХ и ОУ равны:


		= −g
где g = const - это	ускорение свободного падения,			которого всегда
направлен вертикально вниз,	численное значение g = 9,8м/с2 ;		= −g		т.к. ось ОУ на

рисунке 1 направлена вверх, в случае, когда ось OY направлена вниз, то проекция вектора

2 a на ось ОУ будет положительна (читая условия задач, выбирайте сами направление осей, если это не прописано в условии).

Значения проекций вектора ускорения a на оси ОХ и ОУ дают основание сделать

следующий вывод:

∙ тело, брошенное под углом к горизонту, одновременно участвует в двух движениях - равномерном по горизонтали и равнопеременном по


вертикали.
Скорость тела в таком случае

	V = Vx + Vy

Скорость тела в начальный момент времени (в момент бросания тела)
V 0 = V 0 x			V 0 y .
Проекции вектора начальной скорости на оси ОХ и ОУ равны
		V cosα

V 0 y		V 0 sin α

Для равнопеременного движения зависимости скорости и перемещения от времени задаются уравнениями:

V 0 + at

S 0 + V 0 t +

и S 0 - это скорость и перемещение тела в начальный момент времени,

и S t - это скорость и перемещение тела в момент времени t.

Проекции векторного уравнения (8) на оси ОХ и ОУ равны

V 0 x

Ax t ,

V ty = V 0 y + a y t

Const

V 0 y - gt

Проекции векторного уравнения (9) на оси ОХ и ОУ равны

S ox + V ox t +

a y t 2

S 0 y

V oy t +

с учетом равенств (4), получаем

S 0 y

V oy t -

gt 2

где Sox и Soy -

координаты тела

в начальный момент времени,

а Stx и Sty -

координаты тела в момент времени t.

За время своего движения t (от момента бросания до момента падения на тот же

уровень) тело поднимается на максимальную высоту hmax , спускается с неё и отлетает от места бросания на расстояние L (дальность полета) - см. рисунок 1.

1) Время движения тела t можно найти, учитывая значения координат тела Sy в

Soy = 0, Sty = 0,

подставив значения Voy и (14) во второе уравнение системы (13), получаем

2) Дальность полета L можно найти, учитывая значения координат тела Sх в

начальный момент времени и в момент времени t (см. рис.1)

Soх = 0, Stх = L,

подставив значения Vox и (17) в первое уравнение системы (13), получаем

		L = V 0 cosα × t ,
откуда, с учетом (16), получаем
L = V cosα ×	2V sin α
L = V cosα ×

3) Максимальную высоту подъёма тела h max можно найти, учитывая значение

скорости тела V в точке максимального подъёма тела

V 0 x

Т.к. в этой точке V y

Используя вторые уравнения систем (11) и (13) ,

значение Voу , а также тот факт,

что в точке максимального подъёма тела Sy = hmax , получаем

0 = V 0 sin α - g × t под

gt под2

V 0 sin α × t -

h max

где tпод - время подъёма - время движения на высоту максимального подъёма тела.

Решая эту систему, получаем

t под =

V 0 sin α

sin 2 α

Сравнение значений (16) и (22), даёт основание сделать вывод

· время движения на высоту максимального подъёма тела (t под ) равно времени спуска тела (tсп ) с этой высоты и равно половине времени всего движения тела от момента бросания до момента падения на тот же уровень

t под	T сп

Изучать движение тела, брошенного со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к горизонту, в плоскости XOY, очень наглядно на компьютерной модели

"Свободное падение тел" в сборнике компьютерных моделей "Открытая физика"

компании ФИЗИКОН. В этой модели можно задавать разные начальные условия.

Например, рассмотренный нами случай нужно задавать (команда "Очистить") при начальном условии h = 0 и выбранных V0 и α. Команда "Старт" продемонстрирует движение тела и даст картинку траектории движения и направление векторов скорости тела в фиксированные моменты времени.

Рис.2. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе

"Механика"; тело движется из точки начала координат и падает на том же уровне .

Если условие задачи отличается от рассмотренного нами случая, то необходимо

для решения задачи, выбрав направление осей, разместить тело в начальный момент

времени, изобразить траекторию движения тела до точки падения, таким образом

определив координаты тела в начальный и конечный моменты времени. Затем

использовать уравнения (3), (5), (8) и (9) как основу для решения и рассмотренный выше

алгоритм решения задачи.

Рассмотрим частные случаи.

6 1. Тело бросили со скоростью V 0 , вектор которой направлен под углом α к

горизонту, с высоты h и оно упало на расстоянии L от места бросания. y в начальный

Soy = h,

а значения остальных координат будут выбраны так же, как мы выбирали.

Рис.3. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе

"Механика"; тело движется из точки h = 50м и падает на нулевой уровень .

2. Тело бросили горизонтально со скоростью V 0 , с высоты h и оно упало на расстоянии L от места бросания. Отличие от рассмотренного нами случая заключается в том, значения координат тела S y в начальный момент определится так же уравнением (25),

а значения остальных координат будут выбраны так же, как мы выбирали. Но в этом случае начальная скорость тела в проекции на ось ОУ равна нулю (так как α = 0), т.е.

проекции вектора начальной скорости на оси ОХ и ОУ равны



V 0 y

Рис.4. Диалоговое окно компьютерной модели "Свободное падение тел" в разделе

"Механика"; тело, брошенное горизонтально, движется из точки h = 50м и падает на нулевой уровень .

Обновлено:

На нескольких примерах (которые я изначально решал, как обычно, на otvet.mail.ru) рассмотрим класс задач элементарной баллистики: полет тела, запущенного под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью, без учета сопротивления воздуха и кривизны земной поверхности (то есть направление вектора ускорения свободного падения g считаем неизменным).

Задача 1. Дальность полета тела равна высоте его полета над поверхностью Земли. Под каким углом брошено тело? (в некоторых источниках почему-то приведен неправильный ответ - 63 градуса).

Обозначим время полета как 2*t (тогда в течение t тело поднимается вверх, и в течение следующего промежутка t - спускается). Пусть горизонтальная составляющая скорости V1, вертикальная - V2. Тогда дальность полета S = V1*2*t. Высота полета H = g*t*t/2 = V2*t/2. Приравниваем
S = H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Отношение вертикальной и горизонтальной скоростей есть тангенс искомого угла α, откуда α = arctan(4) = 76 градусов.

Задача 2. Тело брошено с поверхности Земли со скоростью V0 под углом α к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела: а) в начале движения; б) в верхней точке траектории.

В обоих случая источник криволинейности движения - это гравитация, то есть ускорение свободного падения g, направленное вертикально вниз. Все что здесь требуется - найти проекцию g, перпендикулярную текущей скорости V, и приравнять ее центростремительному ускорению V^2/R, где R - искомый радиус кривизны.

Как видно из рисунка, для начала движения мы можем записать
gn = g*cos(a) = V0^2/R
откуда искомый радиус R = V0^2/(g*cos(a))

Для верхней точки траектории (см. рисунок) имеем
g = (V0*cos(a))^2/R
откуда R = (V0*cos(a))^2/g

Задача 3. (вариация на тему) Снаряд двигался горизонтально на высоте h и разорвался на два одинаковых осколка, один из которых упал на землю через время t1 после взрыва. Через какое время после падения первого осколка упадёт второй?

Какую бы вертикальную скорость V ни приобрел первый осколок, второй приобретет ту же по модулю вертикальную скорость, но направленную в противоположную сторону (это следует из одинаковой массы осколков и сохранения импульса). Кроме того, V направлена вниз, поскольку иначе второй осколок прилетит на землю ДО первого.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Второй полетит вверх, потеряет вертикальную скорость через время V/g, и затем через такое же время долетит вниз до начальной высоты h, и время t2 его задержки относительно первого осколка (не время полета от момента взрыва) составит
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

дополнено 2018-06-03

Цитата:
Камень брошен со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. Определить тангенциальное и нормальное ускорение тела спустя 1,0 с после начала движения, радиус кривизны траектории в этот момент времени, длительность и дальность полета. Какой угол образует вектор полного ускорения с вектором скорости при t = 1,0 с

Начальная горизонтальная скорость Vг = V*cos(60°) = 10*0.5 = 5 м/с, и она не меняется в течение всего полёта. Начальная вертикальная скорость Vв = V*sin(60°) = 8.66 м/с. Время полёта до максимально высокой точки t1 = Vв/g = 8.66/9.8 = 0.884 сек, а значит длительность всего полёта 2*t1 = 1.767 с. За это время тело пролетит по горизонтали Vг*2*t1 = 8.84 м (дальность полёта).

Через 1 секунду вертикальная скорость составит 8.66 - 9.8*1 = -1.14 м/с (направлена вниз). Значит угол скорости к горизонту составит arctan(1.14/5) = 12.8° (вниз). Поскольку полное ускорение здесь единственное и неизменное (это ускорение свободного падения g , направленное вертикально вниз), то угол между скоростью тела и g в этот момент времени составит 90-12.8 = 77.2°.

Тангенциальное ускорение - это проекция g на направление вектора скорости, а значит составляет g*sin(12.8) = 2.2 м/с2. Нормальное ускорение - это перпендикулярная к вектору скорости проекция g , она равна g*cos(12.8) = 9.56 м/с2. И поскольку последнее связано со скоростью и радиусом кривизны выражением V^2/R, то имеем 9.56 = (5*5 + 1.14*1.14)/R, откуда искомый радиус R = 2.75 м.

Кинематика - это просто!

После броска, в полете, на тело действуют сила тяжести Fт и сила сопротивления воздуха Fс .
Если движение тела происходит на малых скоростях, то при расчете силу сопротивления воздуха обычно не учитывают.
Итак, можно считать, что на тело действует только сила тяжести, значит движение брошенного тела является свободным падением .
Если это свободное падение, то ускорение брошенного тела равно ускорению свободного падения g .
На малых высотах относительно поверхности Земли сила тяжести Fт практически не меняется, поэтому тело движется с постоянным ускорением.

Итак, движение тела, брошенного под углом к горизонту является вариантом свободного падения, т.е. движением с постоянным ускорением и криволинейной траекторией (т.к. векторы скорости и ускорения не совпадают по направлению).

Формулы этого движения в векторном виде: Для расчета движения тела выбирают прямоугольную систему координат XOY, т.к. траекторией движения тела является парабола, лежащая в плоскости, проходящей через векторы Fт и Vo .
За начало координат обычно выбирают точку начала движения брошенного тела.

В любой момент времени изменение скорости движения тела по направлению совпадает с ускорением.

Вектор скорости тела в любой точке траектории можно разложить на 2 составляющих: вектор V x и вектор V y .
В любой момент времени скорость тела будет определяться, как геометрическая сумма этих векторов:

Согласно рисунку, проекции вектора скорости на координатные оси OX и OY выглядят так:

Расчет скорости тела в любой момент времени:

Расчет перемещения тела в любой момент времени:

Каждой точке траектории движения тела соответствуют координаты X и Y:

Расчетные формулы для координат брошенного тела в любой момент времени:

Из уравнения движения можно вывести формулы для расчета максимальной дальности полета L:

и максимальной высоты полета Н:

P.S.
1. При равных по величине начальных скоростях Vo дальность полета:
- возрастает, если начальный угол бросания увеличивать от 0 o до 45 o ,
- убывает, если начальный угол бросания увеличивать от 45 o до 90 o .

2. При равных начальных углах бросания дальность полета L возрастает с увеличением начальной скорости Vo.

3. Частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту, является движение тела, брошенного горизонтально , при этом начальный угол бросания равен нулю.

Что такое свободное падение? Это падение тел на Землю при отсутствии сопротивления воздуха. Иначе говоря - падение в пустоте. Конечно, отсутствие сопротивления воздуха - это вакуум, который нельзя встретить на Земле в нормальных условиях. Поэтому мы не будем брать силу сопротивления воздуха во внимание, считая ее настолько малой, что ей можно пренебречь.

Ускорение свободного падения

Проводя свои знаменитые опыты на Пизанской башне Галилео Галилей выяснил, что все тела, независимо от их массы, падают на Землю одинаково. То есть, для всех тел ускорение свободного падения одинаково. По легенде, ученый тогда сбрасывал с башни шары разной массы.

Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения - ускорение, с которым все тела падают на Землю.

Ускорение свободного падения приблизительно равно 9 , 81 м с 2 и обозначается буквой g . Иногда, когда точность принципиально не важна, ускорение свободного падения округляют до 10 м с 2 .

Земля - не идеальный шар, и в различных точках земной поверхности, в зависимости от координат и высоты над уровнем моря, значение g варьируется. Так, самое большое ускорение свободного падения - на полюсах (≈ 9 , 83 м с 2) , а самое малое - на экваторе (≈ 9 , 78 м с 2) .

Свободное падение тела

Рассмотрим простой пример свободного падения. Пусть некоторое тело падает с высоты h с нулевой начальной скоростью. Допустим мы подняли рояль на высоту h и спокойно отпустили его.

Свободное падение - прямолинейное движение с постоянным ускорением. Направим ось координат от точки начального положения тела к Земле. Применяя формулы кинематики для прямолинейного равноускоренного движения, можно записать.

h = v 0 + g t 2 2 .

Так как начальна скорость равна нулю, перепишем:

Отсюда находится выражение для времени падения тела с высоты h:

Принимая во внимание, что v = g t , найдем скорость тела в момент падения, то есть максимальную скорость:

v = 2 h g · g = 2 h g .

Аналогично можно рассмотреть движение тела, брошенного вертикально вверх с определенной начальной скоростью. Например, мы бросаем вверх мячик.

Пусть ось координат направлена вертикально вверх из точки бросания тела. На сей раз тело движется равнозамедленно, теряя скорость. В наивысшей точки скорость тела равна нулю. Применяя формулы кинематики, можно записать:

Подставив v = 0 , найдем время подъема тела на максимальную высоту:

Время падения совпадает со временем подъема, и тело вернется на Землю через t = 2 v 0 g .

Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально:

Взглянем на рисунок ниже. На нем приведены графики скоростей тел для трех случаев движения с ускорением a = - g . Рассмотрим каждый из них, предварительно уточнив, что в данном примере все числа округлены, а ускорение свободного падения принято равным 10 м с 2 .

Первый график - это падение тела с некоторой высоты без начальной скорости. Время падения t п = 1 с. Из формул и из графика легко получить, что высота, с которой падало тело, равна h = 5 м.

Второй график - движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v 0 = 10 м с. Максимальная высота подъема h = 5 м. Время подъема и время падения t п = 1 с.

Третий график является продолжением первого. Падающее тело отскакивает от поверхности и его скорость резко меняет знак на противоположный. Дальнейшее движение тела можно рассматривать по второму графику.

С задачей о свободном падении тела тесно связана задача о движении тела, брошенного под определенным углом к горизонту. Так, движение по параболической траектории можно представить как сумму двух независимых движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

Вдоль оси O Y тело движется равноускоренно с ускорением g , начальная скорость этого движения - v 0 y . Движение вдоль оси O X - равномерное и прямолинейное, с начальной скоростью v 0 x .

Условия для движения вдоль оси О Х:

x 0 = 0 ; v 0 x = v 0 cos α ; a x = 0 .

Условия для движения вдоль оси O Y:

y 0 = 0 ; v 0 y = v 0 sin α ; a y = - g .

Приведем формулы для движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Время полета тела:

t = 2 v 0 sin α g .

Дальность полета тела:

L = v 0 2 sin 2 α g .

Максимальная дальность полета достигается при угле α = 45 ° .

L m a x = v 0 2 g .

Максимальная высота подъема:

h = v 0 2 sin 2 α 2 g .

Отметим, что в реальных условиях движение тела, брошенного под углом к горизонту, может проходить по траектории, отличной от параболической вследствие сопротивления воздуха и ветра. Изучением движения тел, брошенных в пространстве, занимается специальная наука - баллистика.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Теория

Если тело бросить под углом к горизонту, то в полете на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Если силой сопротивления пренебречь, то остается единственная сила – сила тяжести. Поэтому вследствие 2-го закона Ньютона тело движется с ускорением, равным ускорению свободного падения ; проекции ускорения на координатные оси равны а х = 0, а у = -g.

Любое сложное движение материальной точки можно представить как наложение независимых движений вдоль координатных осей, причем в направлении разных осей вид движения может отличаться. В нашем случае движение летящего тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y) (рис. 1).

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

где – начальная скорость, α – угол бросания.

Координаты тела, следовательно, изменяются так:

При нашем выборе начала координат начальные координаты (рис. 1) Тогда

Второе значение времени, при котором высота равна нулю, равно нулю, что соответствует моменту бросания, т.е. это значение также имеет физический смысл.

Дальность полета получим из первой формулы (1). Дальность полета – это значение координаты х в конце полета, т.е. в момент времени, равный t 0 . Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

(3)

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъема брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полета (2), т.к. именно в средней точке траектории высота полета максимальна. Проводя вычисления, получаем