Proyecto sobre el tema de la prehistoria del análisis matemático. Análisis matemático de la historia.

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En los próximos 10 años Ciencias Naturales acercarse a lo humanitario para responder a las complejas preguntas de la humanidad. Y el lenguaje de las matemáticas jugará un papel muy importante en esto. Será posible descubrir nuevas tendencias en la historia, explicarlas y, en el futuro, incluso predecir lo que sucederá. Eso dice el investigador de historia Jean-Baptiste Michel, quien dio una charla TED en febrero de este año y expuso su punto de vista sobre cómo las matemáticas pueden ser útiles para los historiadores.

En su breve presentación (6 min.), Jean-Baptiste Michel habla sobre cómo la historia digitalizada está en camino de revelar tendencias subyacentes profundas, como cambios en el lenguaje o la letalidad de las guerras.

Texto de voz

Resulta que el lenguaje de las matemáticas es una herramienta poderosa. Contribuyó a un progreso significativo en física, biología y economía, pero no en humanidades e historia Tal vez la gente piense que es imposible, que es imposible contar las hazañas de la humanidad o medir la historia. Sin embargo, pienso lo contrario. Aquí hay unos ejemplos.

Mi colega Erez y yo estábamos pensando en esto: dos reyes que viven en siglos diferentes hablan absolutamente idiomas diferentes. Esta es una poderosa fuerza histórica. Por ejemplo, léxico y las reglas gramaticales utilizadas por el rey de Inglaterra, Alfredo el Grande, eran muy diferentes al habla del rey del hip-hop, Jay-Z. (Risas) No hay nada que puedas hacer. Con el tiempo, el idioma cambia, y este es un factor influyente.

Erez y yo queríamos saber más sobre esto. Por lo tanto, recurrimos a la clase de conjugación en tiempo pasado, donde la terminación "-ed" en el verbo denota una acción en tiempo pasado. "Hoy camino". [Yo camino hoy] "Ayer caminé". [Yo caminé ayer]. Pero no todos los verbos son correctos. Por ejemplo, "Ayer pensé". [Estaba pensando ayer]. Es curioso que hoy en día en la época de Jay-Z tengamos más verbos regulares de lo que eran en la época de Alfred. Por ejemplo, el verbo "to wed" [casarse] se volvió correcto.

Erez y yo rastreamos el destino de más de 100 verbos irregulares durante 12 siglos de historia. del idioma ingles y notó que este complejo cambio histórico se puede resumir con una fórmula matemática bastante simple: si un verbo se usa 100 veces más que otros, se vuelve correcto 10 veces más lento.Aquí hay un hecho histórico envuelto matemáticamente.

En algunos casos, las matemáticas ayudan a explicar o sugerir versiones para eventos históricos. Junto con Steve Pinker, reflexionamos sobre la escala de las guerras de los últimos dos siglos. Hay un patrón bien conocido: guerras que duraron 100 veces más vidas, sucedió 10 veces menos a menudo. Por ejemplo, 30 guerras fueron similares en letalidad a la Guerra de los Seis Días, y solo 4 guerras cobraron 100 veces más vidas que la Primera. Guerra Mundial. Entonces, ¿cuál es el mecanismo histórico que conduce a esto? ¿Cuál es la raíz de la causa?

Usando análisis matemático, Steve y yo creemos que se basa en una propiedad muy simple de nuestro cerebro. Esta es una propiedad bien conocida de entender valores relativos, como la intensidad de la luz o el volumen.Por ejemplo, si necesitamos movilizar 10.000 soldados para la batalla, la cifra nos parecerá enorme, especialmente si solo se movilizaron 1.000 soldados la última vez. Pero esto no es mucho en absoluto, relativamente poco, nadie se dará cuenta si momento presente Se movilizaron 100.000 soldados. Debido a la forma en que representamos los números, a medida que continúa la guerra, el número de movilizados y heridos aumentará no linealmente: 10 000, 11 000, 12 000, sino exponencialmente: 10 000, 20 000, 40 000. Esto explica el modelo del que hablamos anteriormente.

Las matemáticas pueden conectar propiedades conocidas del cerebro humano con un patrón histórico a largo plazo que abarca siglos y continentes.

Creo que estos dos ejemplos se volverán comunes en los próximos 10 años. Esto será posible gracias al alto ritmo de digitalización de los documentos históricos, desde el principio de los tiempos se han escrito unos 130 millones de libros. Muchos libros han sido digitalizados por empresas como Google: más de 20 millones de libros. Cuándo hechos históricos disponible en forma digital, puede ver fácil y rápidamente las tendencias en nuestra historia y cultura usando análisis matemático.

Por lo tanto, creo que en los próximos 10 años, las ciencias naturales se acercarán a las humanidades para responder a las complejas preguntas de la humanidad. Y el lenguaje de las matemáticas jugará un papel muy importante en esto. Será posible descubrir nuevas tendencias en la historia, explicarlas y, en el futuro, incluso predecir lo que sucederá.

Muchas gracias.

(Aplausos)

Traducción: Olga Dmitrochenkova

El objetivo general del curso es revelar a los estudiantes que completan su educación matemática general algunos aspectos históricos de las matemáticas, para mostrar hasta cierto punto la naturaleza de la creatividad matemática. De forma concisa se considera el panorama general del desarrollo de las ideas y teorías matemáticas, desde la época babilónica y egipcia hasta principios del siglo XX. El curso incluye una sección "Matemáticas e informática", que proporciona una descripción general de los hitos en la historia de la tecnología informática, fragmentos de la historia del desarrollo de las computadoras en Rusia, fragmentos de la historia de la informática. Como materiales de enseñanza se ofrece una lista bastante grande de referencias y algún material de referencia para trabajos independientes y para la preparación de resúmenes.

El período de acumulación de conocimientos matemáticos.
Formación de conceptos primarios: números y formas geométricas. Matemáticas en los países de civilizaciones antiguas: en el antiguo Egipto, Babilonia, China, India. Los principales tipos de sistemas numéricos. Los primeros logros de aritmética, geometría, álgebra.
Matemáticas de constantes.
Formación ciencia matemática(siglo VI aC - siglo VI dC). Creación de las matemáticas como ciencia deductiva abstracta en Antigua Grecia. Condiciones para el Desarrollo de las Matemáticas en la Antigua Grecia. Escuela de Pitágoras. El descubrimiento de la inconmensurabilidad y la creación del álgebra geométrica. Famosos problemas de la antigüedad. Método de agotamiento, métodos infinitesimales de Eudoxo y Arquímedes. Construcción axiomática de las matemáticas en los Elementos de Euclides. "Secciones cónicas" de Apolonio. Ciencia de los primeros siglos de nuestra era: "Mecánica" de Heron, "Almagesto" de Ptolomeo, su "Geografía", el surgimiento de una nueva álgebra alfabética en los escritos de Diofanto y el comienzo del estudio. ecuaciones indefinidas. La decadencia de la ciencia antigua.
Matemáticas de los pueblos Asia Central y el Oriente árabe en los siglos VII-XVI. Separación del álgebra en un área independiente de las matemáticas. Formación de trigonometría en aplicaciones de las matemáticas a la astronomía. El estado del conocimiento matemático en los países Europa Oriental y en Rusia en la Edad Media. El Libro del Ábaco de Leonardo de Pisa. Apertura de las primeras universidades. Avances en las Matemáticas del Renacimiento.
Panorama del desarrollo de las matemáticas en los siglos XVII-XIX.
Revolución científica del siglo XVII. y la creación de matemáticas de variables. Las primeras academias de ciencias. Análisis matemático y su vinculación con la mecánica en los siglos XVII-XVIII. Obras de Euler, Lagrange, Laplace. El auge de las matemáticas en Francia durante la Revolución y la apertura de la Ecole Polytechnique.
Álgebra siglos XVI-XIX.
Avances del álgebra en el siglo XVI: la solución de ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado y la introducción de los números complejos. Creación del cálculo literal por F. Viet y comienzo de la teoría general de ecuaciones (Viet, Descartes). El teorema fundamental del álgebra de Euler y sus demostraciones. El problema de las soluciones de ecuaciones en radicales. Teorema de Abel sobre la insolubilidad de ecuaciones de grado n > 4 en radicales. Los resultados de Abel. teoría de Galois; Introducción grupal y de campo. La marcha victoriosa de la teoría de grupos: su papel en el álgebra, la geometría, el análisis y las ciencias naturales matemáticas. El concepto de espacio vectorial n-dimensional. El enfoque axiomático de Dedekind y la creación del álgebra abstracta.
Desarrollo de análisis matemático.
Formación de las matemáticas de variables en el siglo XVII, conexión con la astronomía: las leyes de Kepler y los trabajos de Galileo, desarrollando las ideas de Copérnico. La invención de los logaritmos. Formas diferenciales y métodos de integración en la obra de Kepler, Cavalieri, Fermat, Descartes, Pascal, Wallis, N. Mercator. Creación del análisis matemático por Newton y Leibniz. El análisis matemático en el siglo XVIII. y su conexión con las ciencias naturales. obra de Euler. La doctrina de las funciones. Creación y desarrollo del cálculo de variaciones, teoría ecuaciones diferenciales y la teoría de ecuaciones integrales. Serie de potencias y serie trigonométrica. teoría general funciones de variable compleja en Riemann y Weierstrass. Formación de análisis funcional. Problemas de fundamentación del análisis matemático. Su construcción se basa en la doctrina de los límites. Obras de Cauchy, Bolzano y Weierstrass. Teoría de los números reales (de Eudoxo a Dedekind). Creación de la teoría de los conjuntos infinitos por Kantor y Dedekind. Las primeras paradojas y problemas de los fundamentos de las matemáticas.
Matemáticas en Rusia (revisión).
El conocimiento matemático antes del siglo XVII. Reformas de Peter I. Fundación de la Academia de Ciencias de San Petersburgo y la Universidad de Moscú. Escuela de Matemáticas de San Petersburgo (M.V. Ostrogradsky, P.L. Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov). Las direcciones principales de la creatividad Chebyshev. Vida y obra de SV Kovalevskaya. Organización de la Sociedad Matemática. colección matemática. Las primeras escuelas científicas en la URSS. Escuela de Teoría de Funciones de Moscú (N.N. Luzin, D.F. Egorov y sus alumnos). Matemáticas en la Universidad de Moscú. Matemáticas en la Universidad de los Urales, Escuelas Urales de Matemáticas (P.G. Kontorovich, G.I. Malkin, E.A. Barbashin, V.K. Ivanov, S.B. Stechkin, A.F. Sidorov).
Matemáticas e Informática (repaso)
Hitos de la tecnología informática desde la máquina de dibujar de Leonardo da Vinci hasta las primeras computadoras.
Fragmentos de la historia de las computadoras. El problema de la automatización de cálculos complejos (diseño de aeronaves, física atómica y etc.). Conexión de la electrónica y la lógica: sistema binario de Leibniz, álgebra de la lógica de J. Boole. "Ciencias de la Computación" e "informática". Informática teórica y aplicada. Nuevo Tecnologías de la información: dirección científica– inteligencia artificial y sus aplicaciones (utilizando métodos lógicos para probar la corrección de los programas, proporcionando una interfaz en un lenguaje natural profesional con paquetes de software de aplicación, etc.).
Fragmentos de la historia del desarrollo de las computadoras en Rusia. Desarrollos de S.A. Lebedev y sus alumnos, su aplicación (cálculo de las órbitas de los planetas menores, compilación de mapas basados en estudios geodésicos, creación de diccionarios y programas de traducción, etc.). Creación de máquinas domésticas (A.A. Lyapunov, A.P. Ershov, B.I. Rameev, M.R. Shura-Bura, G.P. Lopato, M.A. Kartsev y muchos otros), aparición de computadoras personales. Uso polifacético de las máquinas: gestión vuelos espaciales, vigilancia espacial, articulos cientificos, para el control de procesos tecnológicos, tratamiento de datos experimentales, diccionarios de traducción electrónica, tareas económicas, máquinas de profesores y alumnos, ordenadores domésticos, etc.).

TEMAS DE RESUMEN

Serie biográfica.
La historia de la formación y desarrollo de una sección particular de las matemáticas en un período particular. La historia de la formación y desarrollo de las matemáticas en un Período histórico en un estado particular.
La historia del surgimiento de los centros científicos y su papel en el desarrollo de ramas específicas de las matemáticas.
La historia de la formación y el desarrollo de la informática para períodos de tiempo específicos.
Los fundadores de algunas áreas de la informática.
Eminentes científicos específicos y la cultura mundial en varios períodos.
De la historia de las matemáticas rusas (específico era histórica e individuos específicos).

Mecánica antigua ("Equipo de combate de la antigüedad").
Matemáticas de la época del Califato árabe.
Fundamentos de Geometría: De Euclides a Hilbert.
Notable matemático Niels Henrik Abel.
Enciclopedista del siglo XV Gerolamo Cardano.
gran familia Bernoulli.
Figuras destacadas en el desarrollo de la teoría de la probabilidad (de Laplace a Kolmogorov).
El período del precursor de la creación del cálculo diferencial e integral.
Newton y Leibniz son los creadores del cálculo diferencial e integral.
Alexey Andreevich Lyapunov - el creador de la primera computadora en Rusia.
"Pasión por la ciencia" (S.V. Kovalevskaya).
Blaise Pascual.
Del ábaco a la computadora.
"Ser capaz de dar dirección es un signo de genialidad". Serguéi Alekseevich Lebedev. Desarrollador y diseñador de la primera computadora en la Unión Soviética.
Orgullo ciencia rusa- Pafnuty Lvovich Chebyshev.
François Viet es el padre del álgebra moderna y un ingenioso criptógrafo.
Andrei Nikolaevich Kolmogorov y Pavel Sergeevich Alexandrov son un fenómeno único de la cultura rusa, su tesoro nacional.
Cibernética: neuronas - autómatas - perceptrones.
Leonhard Euler y Rusia.
Matemáticas en Rusia desde Pedro I hasta Lobachevsky.
Pierre Fermat y René Descartes.
Cómo se inventó la computadora personal.
De la historia de la criptografía.
Generalización del concepto de espacio geométrico. Historia de la creación y desarrollo de la topología.
proporción áurea en música, astronomía, combinatoria y pintura.
La proporción áurea en el sistema solar.
Lenguajes de programación, su clasificación y desarrollo.
Teoría de probabilidad. Aspecto de la historia.
Historia del desarrollo de la geometría no euclidiana (Lobachevsky, Gauss, Bolyai, Riemann).
El rey de la teoría de números es Carl Friedrich Gauss.
Tres célebres problemas de la antigüedad como estímulo para el surgimiento y desarrollo de diversas ramas de las matemáticas.
Aryabhata, "Copérnico de Oriente".
David Gilberto. 23 problemas de Hilbert.
El desarrollo del concepto de número de Eudoxo a Dedekind.
Métodos integrales en Eudoxo y Arquímedes.
Cuestiones de metodología de las matemáticas. Hipótesis, leyes y hechos.
Cuestiones de metodología de las matemáticas. Métodos de las matemáticas.
Cuestiones de metodología de las matemáticas. Estructura, fuerzas motrices, principios y patrones.
Pitágoras es un filósofo y matemático.
Galileo Galilei. Formación de la mecánica clásica.
camino de la vida y actividad científica MV Ostrogradsky.
La contribución de los científicos rusos a la teoría de la probabilidad.
El desarrollo de las matemáticas en Rusia en los siglos XVIII y XIX.
La historia del descubrimiento de los logaritmos y su conexión con las áreas.
De la historia del desarrollo de la tecnología informática.
Las máquinas informáticas antes de la era electrónica. Primeras computadoras.
Hitos en la historia de la tecnología informática rusa y las matemáticas informáticas.
La historia del desarrollo de los sistemas operativos. Cronología de la aparición de WINDOWS 98.
B. Pascal, G. Leibniz, P. Chebyshev.
Norbert Wiener, Claude Shannon y la teoría de la informática.
De la historia de las matemáticas en Rusia.
Vida y obra de Gauss.
Formación y desarrollo de la topología.
Evariste Galois - matemático y revolucionario.
La proporción áurea desde Leonardo Fibonacci y Leonardo da Vinci hasta el siglo XXI.
Matemáticas en Rusia en los siglos XVIII-XIX.
Informática, cuestiones de historia.
De la historia de las matemáticas rusas: N.I. Lobachevsky, M.V. Ostrogradsky, S.V. Kovalevskaya.
Matemáticas antiguas siglos VI-IV. ANTES DE CRISTO.
Lenguajes de programación: cuestiones de historia.
Pierre Fermat y René Descartes.
Leonardo Euler.
La historia de la creación del cálculo integral y diferencial por I. Newton y G. Leibniz.
Las matemáticas del siglo XVII como precursoras de la creación del análisis matemático.
Análisis matemático después de Newton y Leibniz: crítica y justificación.
Matemáticas de los siglos XVII, XVIII: la formación de geometrías analíticas, proyectivas y diferenciales.

1. El período de creación de las matemáticas de variables. Creación de geometría analítica, cálculo diferencial e integral

En el siglo 17 comienza un nuevo período en la historia de las matemáticas: el período de las matemáticas de las variables. Su origen está relacionado, en primer lugar, con los éxitos de la astronomía y la mecánica.

Kepler en 1609-1619 descubrió y formuló matemáticamente las leyes del movimiento planetario. Galileo en 1638 creó la mecánica del movimiento libre de los cuerpos, fundó la teoría de la elasticidad, aplicó métodos matemáticos para estudiar el movimiento, para encontrar patrones entre la trayectoria del movimiento, su velocidad y aceleración. Newton en 1686 formuló la ley de la gravitación universal.

El primer paso decisivo en la creación de las matemáticas de variables fue la aparición del libro "Geometría" de Descartes. Los principales méritos de Descartes ante las matemáticas son la introducción de una variable y la creación de la geometría analítica. En primer lugar, se interesó por la geometría del movimiento y, tras aplicar métodos algebraicos al estudio de los objetos, se convirtió en el creador de la geometría analítica.

La geometría analítica comenzó con la introducción de un sistema de coordenadas. En honor al creador, un sistema de coordenadas rectangulares que consta de dos ejes que se cruzan en ángulo recto, las escalas de medición ingresadas en ellos y el punto de referencia, el punto de intersección de estos ejes, se denomina sistema de coordenadas en el plano. Junto con el tercer eje, es un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio.

Por los años 60 del siglo XVII. Se han desarrollado numerosos métodos para calcular áreas limitadas por varias líneas curvas. Solo se necesitó un impulso para crear un cálculo integral unificado a partir de métodos dispares.

Los métodos diferenciales resolvieron el principal problema: conociendo una recta curva, hallar sus tangentes. Muchos problemas prácticos llevaron a la formulación de un problema inverso. En el proceso de resolver el problema, resultó que los métodos de integración son aplicables a él. Así, se estableció una conexión profunda entre los métodos integral y diferencial, lo que creó la base para un cálculo unificado. La forma más antigua de cálculo diferencial e integral es la teoría de flujos construida por Newton.

matemáticos del siglo XVIII trabajado simultáneamente en el campo de las ciencias naturales y la tecnología. Lagrange sentó las bases de la mecánica analítica. Su trabajo demostró cuántos resultados se pueden obtener en mecánica gracias a los poderosos métodos de análisis matemático. La obra monumental de Laplace "Mecánica Celestial" resumió todo el trabajo anterior en esta área.

siglo 18 dio a las matemáticas un poderoso aparato: el análisis de los infinitesimales. Durante este período, Euler introdujo el símbolo f(x) para una función en las matemáticas y mostró que la dependencia funcional es el principal objeto de estudio del análisis matemático. Se desarrollaron métodos para calcular derivadas parciales, integrales múltiples y curvilíneas y diferenciales de funciones de muchas variables.

En el siglo XVIII. del análisis matemático surgieron varias disciplinas matemáticas importantes: la teoría de las ecuaciones diferenciales, el cálculo de variaciones. En este momento, comenzó el desarrollo de la teoría de la probabilidad.

Las raíces ideológicas de la geometría analítica se encuentran en el suelo fértil de las matemáticas clásicas de la Grecia antigua. El segundo en su naturaleza epocal después de los ingeniosos "Principios" de Euclides es el tratado fundamental de Apolonio de Perge (c. 260 - 170 aC...

Método analítico en la resolución de problemas planimétricos

La geometría analítica no tiene un contenido estrictamente definido y no es el objeto de estudio el que lo determina, sino el método...

Investigación de funciones

Conceptos clave Máximo local. mínimo local. Extremo local. Monotonicidad de la función. 1. Extremos locales de una función Sea una función y = f(x) dada en un conjunto X y x0 un punto interior del conjunto X...

Investigación de funciones

Consideremos algunos teoremas que nos permitirán estudiar más a fondo el comportamiento de las funciones. Se llaman los teoremas fundamentales del análisis matemático o los teoremas fundamentales del cálculo diferencial...

Aplicación de una integral definida a la resolución de problemas de contenido práctico

Aplicación del cálculo diferencial e integral a la resolución de problemas físicos y geométricos en MATLab

La historia del concepto de integral está estrechamente relacionada con los problemas de encontrar cuadraturas. Los matemáticos de la Antigua Grecia y Roma llamaron a los problemas de cuadratura de una u otra figura plana los problemas que ahora llamamos problemas de cálculo de áreas...

Usar la derivada y la integral para resolver ecuaciones y desigualdades

al demostrar desigualdades TEOREMA 1 (Roll) Sea la función f:R que satisfaga las siguientes condiciones: 1) fC; 2) x(a,b) existe f/(x); 3) f(a)=f(b). Entonces C(a,b): f/(C)=0. El significado geométrico del teorema de Rolle: bajo las condiciones 1)-3) del teorema en el intervalo (a...

Aplicar la derivada a la resolución de problemas

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definición - Mathematical_analysis

En el proceso educativo, el análisis incluye:

Al mismo tiempo, se dan opcionalmente elementos de análisis funcional y la teoría de la integral de Lebesgue, y TFKP, cálculo de variaciones, teoría de ecuaciones diferenciales se leen en cursos separados. El rigor de la presentación sigue los patrones de finales del siglo XIX y, en particular, utiliza la teoría de conjuntos ingenua.

El programa del curso de análisis que se imparte en las universidades de la Federación Rusa corresponde aproximadamente al programa del curso angloamericano "Cálculo".

Historia

Los precursores del análisis matemático fueron el antiguo método de agotamiento y el método de los indivisibles. Las tres direcciones, incluido el análisis, tienen una idea inicial común: la descomposición en elementos infinitesimales, cuya naturaleza, sin embargo, parecía bastante vaga para los autores de la idea. Enfoque algebraico ( cálculo infinitesimal) comienza a aparecer en Wallis, James Gregory y Barrow. El nuevo cálculo como sistema fue creado en su totalidad por Newton, quien, sin embargo, no publicó sus descubrimientos durante mucho tiempo.

La fecha oficial de nacimiento del cálculo diferencial se puede considerar mayo, cuando Leibniz publicó el primer artículo « Nuevo método altas y bajas…. Este artículo, de forma concisa e inaccesible, esbozaba los principios de un nuevo método llamado cálculo diferencial.

Leibniz y sus alumnos

Estas definiciones se explican geométricamente, con la Fig. los incrementos infinitesimales se representan como finitos. La consideración se basa en dos requisitos (axiomas). Primero:

Se requiere que dos cantidades, que difieren entre sí solo por una cantidad infinitesimal, se puedan tomar [¿al simplificar expresiones?] indiferentemente una en lugar de la otra.

La continuación de cada línea se llama tangente a la curva. Investigando la tangente que pasa por el punto, Lopital da gran importancia Talla

alcanzando valores extremos en los puntos de inflexión de la curva, mientras que a la relación no se le otorga ningún significado especial.

Cabe destacar la búsqueda de puntos extremos. Si, con un aumento continuo en el diámetro, la ordenada primero aumenta y luego disminuye, entonces el diferencial es primero positivo en comparación con y luego negativo.

Pero cualquier cantidad que crece o decrece continuamente no puede pasar de positiva a negativa sin pasar por infinito o cero... De ello se deduce que la diferencia entre la magnitud mayor y la menor debe ser igual a cero o infinito.

Esta formulación probablemente no sea perfecta, si recordamos el primer requisito: digamos, entonces, en virtud del primer requisito

;

en cero, el lado derecho es cero, pero el lado izquierdo no lo es. Aparentemente debería haberse dicho que es posible transformar de acuerdo con el primer requisito para que en el punto máximo. . En los ejemplos, todo se explica por sí mismo, y solo en la teoría de los puntos de inflexión Lopital escribe que es igual a cero en el punto máximo, dividido por .

Además, solo con la ayuda de diferenciales, se formulan condiciones para un extremo y se considera una gran cantidad de problemas complejos, principalmente relacionados con la geometría diferencial en el plano. Al final del libro, en el cap. 10, se enuncia lo que ahora se llama la regla de L'Hopital, aunque en una forma no del todo ordinaria. Sea el valor de la ordenada de la curva expresado como una fracción, cuyo numerador y denominador se anulan en . Entonces el punto de la curva con tiene una ordenada igual a la razón de la diferencial del numerador a la diferencial del denominador, tomada en .

Tal como lo concibió L'Hopital, lo que escribió fue la primera parte del Análisis, mientras que la segunda debía contener cálculo integral, es decir, una forma de encontrar la conexión de variables según conexión conocida sus diferenciales. Su primera exposición la da Johann Bernoulli en su Clases de matemáticas sobre el método integral. Aquí se da un método para tomar la mayoría de las integrales elementales y se indican métodos para resolver muchas ecuaciones diferenciales de primer orden.

Al señalar la utilidad práctica y la simplicidad del nuevo método, Leibniz escribió:

Lo que un hombre versado en este cálculo puede acertar en tres líneas, otros hombres más eruditos se vieron obligados a buscar, siguiendo complejos rodeos.

Euler

Los cambios que tuvieron lugar durante el próximo medio siglo se reflejan en el extenso tratado de Euler. La presentación del análisis abre la "Introducción" de dos volúmenes, que contiene investigaciones sobre varias representaciones de funciones elementales. El término "función" aparece por primera vez solo en Leibniz, pero fue Euler quien lo adelantó a los primeros roles. La interpretación original del concepto de función era que una función es una expresión para contar (alemán. Rechnungsausdrϋck) o expresión analítica.

La función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de alguna manera de esta cantidad variable y números o cantidades constantes.

Al enfatizar que “la principal diferencia entre las funciones radica en la forma en que se componen de variables y constantes”, Euler enumera las acciones “mediante las cuales las cantidades pueden combinarse y mezclarse entre sí; estas acciones son: suma y resta, multiplicación y división, exponenciación y extracción de raíces; la solución de ecuaciones [algebraicas] también debe incluirse aquí. Además de estas operaciones, llamadas algebraicas, existen muchas otras, trascendentales, como las exponenciales, logarítmicas y un sinfín más, entregadas por el cálculo integral. Tal interpretación hizo posible tratar fácilmente con funciones de múltiples valores y no requirió una explicación de qué campo se considera la función: la expresión de conteo se define para valores complejos de variables incluso cuando esto no es necesario para el problema bajo consideración.

Las operaciones de expresión estaban permitidas solo en un número finito, y lo trascendente penetraba con la ayuda de infinitas un número grande. En expresiones, este número se usa junto con los números naturales. Por ejemplo, tal expresión para el exponente se considera válida

en el que solo autores posteriores vieron la transición al límite. Se hicieron varias transformaciones con expresiones analíticas, lo que permitió a Euler encontrar representaciones para funciones elementales en forma de series, productos infinitos, etc. Euler transforma expresiones para contar de la misma manera que lo hacen en álgebra, sin prestar atención a la posibilidad de calcular el valor de una función en un punto para cada uno a partir de fórmulas escritas.

A diferencia de L'Hôpital, Euler considera las funciones trascendentales en detalle y, en particular, sus dos clases más estudiadas: exponencial y trigonométrica. Descubre que todas las funciones elementales se pueden expresar mediante operaciones aritméticas y dos operaciones: tomar el logaritmo y el exponente.

El mismo curso de la demostración demuestra perfectamente la técnica de usar lo infinitamente grande. Definición de seno y coseno usando círculo trigonométrico, Euler deduce lo siguiente de las fórmulas de adición:

Poniendo y , se pone

descartando valores infinitesimales de orden superior. Usando esta y una expresión similar, Euler también obtiene su famosa fórmula

Habiendo indicado varias expresiones para funciones que ahora se llaman elementales, Euler procede a considerar curvas en el plano, dibujadas movimiento libre las manos. En su opinión, no es posible encontrar una única expresión analítica para cada una de esas curvas (véase también la Controversia de las cuerdas). En el siglo XIX, por sugerencia de Casorati, esta afirmación se consideró errónea: según el teorema de Weierstrass, cualquier continuo en sentido moderno la curva se puede describir aproximadamente mediante polinomios. De hecho, a Euler no le convenció mucho esto, porque todavía tenemos que reescribir el pasaje hasta el límite usando el símbolo .

La presentación de Euler del cálculo diferencial comienza con la teoría de las diferencias finitas, seguida en el tercer capítulo por una explicación filosófica de que "una cantidad infinitesimal es exactamente cero", que sobre todo no convenía a los contemporáneos de Euler. Entonces, los diferenciales se forman a partir de diferencias finitas con un incremento infinitesimal, ya partir de la fórmula de interpolación de Newton, la fórmula de Taylor. Este método se remonta esencialmente al trabajo de Taylor (1715). En este caso, Euler tiene una razón estable que, sin embargo, se considera como la razón de dos infinitesimales. Los últimos capítulos están dedicados al cálculo aproximado mediante series.

En el cálculo integral de tres volúmenes, Euler interpreta e introduce el concepto de integral de la siguiente manera:

Esa función, cuyo diferencial se llama su integral y se denota por el signo colocado al frente.

En general, esta parte del tratado de Euler está dedicada al problema más general de la integración de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista moderno. Al mismo tiempo, Euler encuentra una serie de integrales y ecuaciones diferenciales que conducen a nuevas funciones, por ejemplo, funciones -, funciones elípticas, etc. En la década de 1830, Jacobi dio una prueba rigurosa de su no elementalidad para funciones elípticas y por Liouville (ver funciones elementales).

Lagrange

El siguiente trabajo importante, que desempeñó un papel importante en el desarrollo del concepto de análisis, fue Teoría de las funciones analíticas Lagrange y un extenso recuento del trabajo de Lagrange, realizado por Lacroix de una manera un tanto ecléctica.

Deseando deshacerse por completo de lo infinitesimal, Lagrange invirtió la conexión entre las derivadas y la serie de Taylor. Por función analítica, Lagrange entendió una función arbitraria investigada por métodos de análisis. Designó la función en sí como , dando una forma gráfica de escribir la dependencia; antes, Euler manejaba solo con variables. Para aplicar los métodos de análisis, según Lagrange, es necesario que la función se expanda en una serie

cuyos coeficientes serán nuevas funciones de . Queda por llamar a la derivada (coeficiente diferencial) y designarla como . Así, el concepto de derivada se introduce en la segunda página del tratado y sin la ayuda de los infinitesimales. Queda por señalar que

entonces el coeficiente es el doble de la derivada de la derivada, es decir

etc.

Este enfoque de la interpretación del concepto de derivada se utiliza en el álgebra moderna y sirvió como base para la creación de la teoría de las funciones analíticas de Weierstrass.

Lagrange operó tales series como formales y obtuvo una serie de teoremas notables. En particular, por primera vez y con bastante rigor demostró la solución del problema inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias en series de potencias formales.

La cuestión de estimar la precisión de las aproximaciones proporcionadas por sumas parciales de la serie de Taylor fue planteada por primera vez por Lagrange: al final Teorías de las funciones analíticas derivó lo que ahora se llama la fórmula del resto de Lagrange de Taylor. Sin embargo, a diferencia de los autores modernos, Lagrange no vio la necesidad de utilizar este resultado para justificar la convergencia de la serie de Taylor.

Posteriormente, la cuestión de si las funciones utilizadas en el análisis pueden realmente expandirse en una serie de potencias se convirtió en tema de discusión. Por supuesto, Lagrange sabía que en algunos puntos las funciones elementales pueden no expandirse en una serie de potencias, pero en estos puntos no son diferenciables en ningún sentido. Koshy en su Análisis algebraico dio la función como un contraejemplo

extendido por cero en cero. Esta función es suave en todas partes en el eje real y tiene una serie cero de Maclaurin en cero, que, por lo tanto, no converge a . Contra este ejemplo, Poisson objetó que Lagrange definió una función como una sola expresión analítica, mientras que en el ejemplo de Cauchy la función se da de manera diferente en cero y en . Solo en finales del siglo XIX siglo, Pringsheim demostró que existe una función infinitamente diferenciable dada por una sola expresión para la cual la serie de Maclaurin diverge. Un ejemplo de tal función entrega la expresión

Mayor desarrollo

A último tercio En el siglo XIX, Weierstrass hizo una aritmetización del análisis, considerando insuficiente la justificación geométrica, y propuso la definición clásica del límite en términos del lenguaje ε-δ. También creó la primera teoría rigurosa del conjunto de números reales. Al mismo tiempo, los intentos de mejorar el teorema de integrabilidad de Riemann llevaron a la creación de una clasificación de discontinuidad de funciones reales. También se descubrieron ejemplos "patológicos" (en ninguna parte funciones continuas diferenciables, curvas que llenan el espacio). En este sentido, Jordan desarrolló la teoría de la medida y Kantor, la teoría de conjuntos, ya principios del siglo XX, el análisis matemático se formalizó con su ayuda. Otro evento importante El siglo XX fue el desarrollo del análisis no estándar como un enfoque alternativo a la justificación del análisis.

Secciones de análisis matemático

ver también

Bibliografía

artículos de enciclopedia

literatura educativa

Libros de texto estándar

Durante muchos años, los siguientes libros de texto han sido populares en Rusia:

Algunas universidades tienen sus propias pautas para el análisis:

Matemáticas en Universidad Tecnica Recopilación material didáctico en el volumen 21.

Bogdanov Yu.S. Conferencias sobre análisis matemático (en dos partes). - Minsk: BGU, 1974. - 357 p.

libros de texto avanzados

Tutoriales:

Rudin W. Fundamentos del análisis matemático. M., 1976: un pequeño libro, escrito de manera muy clara y concisa.

Tareas de mayor complejidad:

G. Polia, G. Sege, Problemas y teoremas de análisis.