Correspondencia entre los signos de los coeficientes k y b. GIA

5. monomio Se llama el producto de factores numéricos y alfabéticos. Coeficiente se llama factor numérico de un monomio.

6. Para escribir un monomio en forma estándar, necesario: 1) Multiplicar los factores numéricos y poner su producto en primer lugar; 2) Multiplicar potencias con las mismas bases y colocar el producto resultante después del factor numérico.

7. Un polinomio se llama suma algebraica varios monomios.

8. Para multiplicar un monomio por un polinomio, Debes multiplicar el monomio por cada término del polinomio y sumar los productos resultantes.

9. Para multiplicar un polinomio por un polinomio, Es necesario multiplicar cada término de un polinomio por cada término de otro polinomio y sumar los productos resultantes.

10. A través de dos puntos cualesquiera se puede trazar una línea recta, y solo uno.

11. Dos rectas o tener solo una. punto común, o no tienen puntos en común.

12. Dos figuras geométricas se llaman iguales si pueden combinarse mediante superposición.

13. El punto de un segmento que lo divide por la mitad, es decir, en dos segmentos iguales, se llama punto medio del segmento.

14. Rayo que sale del vértice de un ángulo y lo divide en dos. ángulos iguales, se llama bisectriz del ángulo.

15. El ángulo de rotación es de 180°.

16. Un ángulo se llama recto si mide 90°.

17. Un ángulo se llama agudo si mide menos de 90°, es decir, menos que un ángulo recto.

18. Un ángulo se llama obtuso si mide más de 90°, pero menos de 180°, es decir, más que un ángulo recto, pero menos que un ángulo llano.

19. Dos ángulos en los que un lado es común y los otros dos son continuación uno del otro, se llaman adyacentes.

20. La suma de los ángulos adyacentes es 180°.

21. Dos ángulos se llaman verticales si los lados de un ángulo son continuación de los lados del otro.

22. Los ángulos verticales son iguales.

23. Dos líneas que se cruzan se llaman perpendiculares (o mutuamente

perpendicular) si forman cuatro ángulos rectos.

24. Dos rectas perpendiculares a una tercera no se cruzan.

25. Factoriza el polinomio- significa representarlo como producto de varios monomios y polinomios.

26. Métodos para factorizar un polinomio:

a) poner el factor común entre paréntesis,

b) uso de fórmulas de multiplicación abreviadas,

c) método de agrupación.

27. Para factorizar un polinomio quitando el factor común de entre paréntesis, necesitas:

a) encuentre este factor común,

b) sácalo de paréntesis,

c) divide cada término del polinomio por este factor y suma los resultados resultantes.

Signos de igualdad de triángulos.

1) Si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

2) Si un lado y dos ángulos adyacentes de un triángulo son respectivamente iguales al lado y dos ángulos adyacentes de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

3) Si tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a tres lados de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.

Mínimo educativo

1. Factorización mediante fórmulas de multiplicación abreviadas:

a 2 – b 2 = (a – b) (a + b)

a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)

un 3 + segundo 3 = (a + segundo) (un 2 – ab + segundo 2)

2. Fórmulas de multiplicación abreviadas:

(a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

(a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

3. El segmento que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto se llama mediana triángulo.

4. La perpendicular trazada desde el vértice de un triángulo hasta la recta que contiene el lado opuesto se llama altura triángulo.

5. EN triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales.

6. En un triángulo isósceles, la bisectriz trazada hacia la base es la mediana y la altitud.

7. Circunferencia llamado figura geométrica, que consta de todos los puntos del plano ubicados en distancia dada Desde este punto.

8. El segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia se llama radio círculo .

9. Un segmento que une dos puntos de una circunferencia se llama acorde.

Una cuerda que pasa por el centro de una circunferencia se llama diámetro

10. Proporcionalidad directa y = kx , Dónde X - variable independiente, A – un número distinto de cero ( A – coeficiente de proporcionalidad).

11. Gráfico de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

12. Función lineal es una función que puede estar dada por la fórmula y = kx + b , Dónde X - variable independiente, A Y b - algunos números.

13. Gráfica de una función lineal- esta es una línea recta.

14 X – argumento de función (variable independiente)

en – valor de la función (variable dependiente)

15. En b=0 la función toma la forma y=kx, su gráfica pasa por el origen.

En k=0 la función toma la forma y=b, su gráfica es una recta horizontal que pasa por el punto ( 0;b).

Correspondencia entre las gráficas de una función lineal y los signos de los coeficientes k y b

1. Dos rectas en un plano se llaman paralelo, si no se cruzan.

Una función lineal es una función de la forma y=kx+b, donde x es la variable independiente, k y b son números cualesquiera.
La gráfica de una función lineal es una línea recta.

1. Para construir gráfica de una función, Necesitamos las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la gráfica de la función. Para encontrarlos, debes tomar dos valores de x, sustituirlos en la ecuación de la función y usarlos para calcular los valores de y correspondientes.

Por ejemplo, para trazar la función y= x+2, conviene tomar x=0 y x=3, entonces las ordenadas de estos puntos serán iguales a y=2 e y=3. Obtenemos los puntos A(0;2) y B(3;3). Conectémoslos y obtengamos una gráfica de la función y= x+2:

2. En la fórmula y=kx+b, el número k se llama coeficiente de proporcionalidad:
si k>0, entonces la función y=kx+b aumenta
si k
El coeficiente b muestra el desplazamiento de la gráfica de la función a lo largo del eje OY:
si b>0, entonces la gráfica de la función y=kx+b se obtiene a partir de la gráfica de la función y=kx desplazando b unidades hacia arriba a lo largo del eje OY
si b
La siguiente figura muestra las gráficas de las funciones y=2x+3; y= ½x+3; y=x+3

Tenga en cuenta que en todas estas funciones el coeficiente k Por encima de cero, y las funciones son creciente. Además, que mas valor k, mayor será el ángulo de inclinación de la recta con respecto a la dirección positiva del eje OX.

En todas las funciones b=3 - y vemos que todas las gráficas intersectan el eje OY en el punto (0;3)

Ahora considere las gráficas de las funciones y=-2x+3; y=- ½x+3; y=-x+3

Esta vez en todas las funciones el coeficiente k menos que cero y funciones están disminuyendo. Coeficiente b=3, y las gráficas, como en el caso anterior, cortan el eje OY en el punto (0;3)

Considere las gráficas de las funciones y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Ahora, en todas las ecuaciones funcionales los coeficientes k son iguales a 2. Y tenemos tres rectas paralelas.

Pero los coeficientes b son diferentes y estas gráficas cruzan el eje OY en diferentes puntos:
La gráfica de la función y=2x+3 (b=3) corta al eje OY en el punto (0;3)
La gráfica de la función y=2x (b=0) corta el eje OY en el punto (0;0) - el origen.
La gráfica de la función y=2x-3 (b=-3) corta al eje OY en el punto (0;-3)

Entonces, si conocemos los signos de los coeficientes k y b, podemos imaginar inmediatamente cómo se ve la gráfica de la función y=kx+b.
Si k 0

Si k>0 yb>0, entonces la gráfica de la función y=kx+b queda así:

Si k>0 y b, entonces la gráfica de la función y=kx+b queda así:

Si k, entonces la gráfica de la función y=kx+b se ve así:

Si k=0, entonces la función y=kx+b se convierte en la función y=b y su gráfica se ve así:

Las ordenadas de todos los puntos de la gráfica de la función y=b son iguales a b Si b=0, entonces la gráfica de la función y=kx (proporcionalidad directa) pasa por el origen:

3. Observemos por separado la gráfica de la ecuación x=a. La gráfica de esta ecuación es una línea recta paralela al eje OY, cuyos puntos tienen una abscisa x=a.

Por ejemplo, la gráfica de la ecuación x=3 se ve así:
¡Atención! La ecuación x=a no es una función, por lo que un valor del argumento corresponde diferentes significados funciones, lo cual no corresponde a la definición de función.

4. Condición para el paralelismo de dos rectas:

La gráfica de la función y=k 1 x+b 1 es paralela a la gráfica de la función y=k 2 x+b 2 si k 1 =k 2

5. La condición para que dos rectas sean perpendiculares:

La gráfica de la función y=k 1 x+b 1 es perpendicular a la gráfica de la función y=k 2 x+b 2 si k 1 *k 2 =-1 o k 1 =-1/k 2

6. Puntos de intersección de la gráfica de la función y=kx+b con los ejes coordenados.

Con eje OY. La abscisa de cualquier punto perteneciente al eje OY es igual a cero. Por lo tanto, para encontrar el punto de intersección con el eje OY, debes sustituir cero en la ecuación de la función en lugar de x. Obtenemos y=b. Es decir, el punto de intersección con el eje OY tiene coordenadas (0; b).

Con eje OX: La ordenada de cualquier punto perteneciente al eje OX es cero. Por lo tanto, para encontrar el punto de intersección con el eje OX, debes sustituir cero en la ecuación de la función en lugar de y. Obtenemos 0=kx+b. Por tanto x=-b/k. Es decir, el punto de intersección con el eje OX tiene coordenadas (-b/k;0):

Una función lineal es una función de la forma y = kx + b, definida sobre el conjunto de todos los números reales. Aquí k es la pendiente (número real), b es la intersección (número real), x es la variable independiente.

En el caso particular, si k = 0, obtenemos una función constante y = b, cuya gráfica es una recta paralela al eje Ox que pasa por el punto de coordenadas (0; b).

Si b = 0, entonces obtenemos la función y = kx, que es proporcionalidad directa.

El significado geométrico del coeficiente b es la longitud del segmento que corta la recta a lo largo del eje Oy, contando desde el origen.

El significado geométrico del coeficiente k es el ángulo de inclinación de la línea recta hacia la dirección positiva del eje Ox, calculado en sentido antihorario.

Propiedades de una función lineal:

1) El dominio de definición de una función lineal es todo el eje real;

2) Si k ≠ 0, entonces el rango de valores de la función lineal es todo el eje real. Si k = 0, entonces el rango de valores de la función lineal consta del número b;

3) La uniformidad y la imparidad de una función lineal dependen de los valores de los coeficientes k y b.

a) b ≠ 0, k = 0, por lo tanto, y = b - par;

b) b = 0, k ≠ 0, por lo tanto y = kx - impar;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, por lo tanto y = kx + b es una función de forma general;

d) b = 0, k = 0, por lo tanto y = 0 es una función par e impar.

4) Una función lineal no tiene la propiedad de periodicidad;

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, por lo tanto (-b/k; 0) es el punto de intersección con el eje de abscisas.

Oy: y = 0k + b = b, por lo tanto (0; b) es el punto de intersección con la ordenada.

Nota: Si b = 0 y k = 0, entonces la función y = 0 desaparece para cualquier valor de la variable x. Si b ≠ 0 y k = 0, entonces la función y = b no desaparece para ningún valor de la variable x.

6) Los intervalos de signo constante dependen del coeficiente k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - positivo en x de (-b/k; +∞),

y = kx + b - negativo para x de (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - positivo en x desde (-∞; -b/k),

y = kx + b - negativo para x de (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b es positivo en todo el dominio de definición,

k = 0, segundo< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Los intervalos de monotonicidad de una función lineal dependen del coeficiente k.

k > 0, por lo tanto y = kx + b aumenta en todo el dominio de definición,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) La gráfica de una función lineal es una línea recta. Para construir una línea recta basta con conocer dos puntos. Posición de la línea en Plano coordinado Depende de los valores de los coeficientes k y b. A continuación se muestra una tabla que ilustra claramente esto, Figura 1. (Fig. 1)

Ejemplo: Considere la siguiente función lineal: y = 5x - 3.

3) función general;

4) No periódico;

5) Puntos de intersección con ejes de coordenadas:

Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5, por lo tanto (3/5; 0) es el punto de intersección con el eje x.

Oy: y = -3, por lo tanto (0; -3) es el punto de intersección con la ordenada;

6) y = 5x - 3 - positivo para x de (3/5; +∞),

y = 5x - 3 - negativo en x desde (-∞; 3/5);

7) y = 5x - 3 aumentos en todo el dominio de definición;

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Como muestra la práctica, las tareas sobre las propiedades y gráficas de una función cuadrática causan serias dificultades. Esto es bastante extraño, porque estudian la función cuadrática en el octavo grado, y luego durante el primer trimestre del noveno grado "atormentan" las propiedades de la parábola y construyen sus gráficas para varios parámetros.

Esto se debe al hecho de que cuando obligan a los estudiantes a construir parábolas, prácticamente no dedican tiempo a "leer" los gráficos, es decir, no practican la comprensión de la información recibida de la imagen. Aparentemente, se supone que, después de construir una docena o dos gráficos, un estudiante inteligente descubrirá y formulará la relación entre los coeficientes en la fórmula y apariencia Artes graficas. En la práctica esto no funciona. Para tal generalización, se requiere una experiencia seria en miniinvestigación matemática, que la mayoría de los estudiantes de noveno grado, por supuesto, no poseen. Mientras tanto, la Inspección del Estado propone determinar los signos de los coeficientes utilizando el cuadro.

No exigiremos lo imposible a los escolares y simplemente ofreceremos uno de los algoritmos para resolver este tipo de problemas.

Entonces, una función de la forma y = hacha 2 + bx + c llamada cuadrática, su gráfica es una parábola. Como sugiere el nombre, el término principal es hacha 2. Eso es A no debe ser igual a cero, los coeficientes restantes ( b Y Con) puede ser igual a cero.

Veamos cómo los signos de sus coeficientes afectan la apariencia de una parábola.

La dependencia más simple del coeficiente. A. La mayoría de los escolares responden con confianza: “si A> 0, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

EN en este caso A = 0,5

Y ahora por A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

En este caso A = - 0,5

Impacto del coeficiente Con También es bastante fácil de seguir. Imaginemos que queremos encontrar el valor de una función en un punto X= 0. Sustituye cero en la fórmula:

y = a 0 2 + b 0 + C = C. Resulta que y = c. Eso es Con es la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje y. Normalmente, este punto es fácil de encontrar en el gráfico. Y determine si está por encima de cero o por debajo. Eso es Con> 0 o Con < 0.

Con > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Con < 0

y = x 2 + 4x - 3

En consecuencia, si Con= 0, entonces la parábola pasará necesariamente por el origen:

y = x2 + 4x

Más difícil con el parámetro. b. El punto en el que lo encontraremos depende no sólo de b sino también de A. Esta es la cima de la parábola. Su abscisa (coordenada del eje X) se encuentra mediante la fórmula x en = - b/(2a). De este modo, b = - 2ax pulg. Es decir, procedemos de la siguiente manera: encontramos el vértice de la parábola en la gráfica, determinamos el signo de su abscisa, es decir, miramos a la derecha de cero ( x en> 0) o hacia la izquierda ( x en < 0) она лежит.

Sin embargo, eso no es todo. También debemos prestar atención al signo del coeficiente. A. Es decir, mira hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola. Y solo después de eso, según la fórmula. b = - 2ax pulg determinar el signo b.

Veamos un ejemplo:

Las ramas están dirigidas hacia arriba, lo que significa A> 0, la parábola corta al eje en bajo cero significa Con < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x en> 0. Entonces b = - 2ax pulg = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Con < 0.

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