En un trapecio rectangular las diagonales son mutuas. Diagonales de un trapecio
Si las diagonales de un trapezoide isósceles son perpendiculares, el siguiente material teórico será útil para resolver el problema.
1. Si las diagonales de un trapezoide isósceles son perpendiculares, la altura del trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases.
Dibujemos una línea CF paralela a BD por el punto C y extendamos la línea AD hasta que se cruce con CF.
El cuadrilátero BCFD es un paralelogramo (BC∥ DF como base de un trapezoide, BD∥ CF por construcción). Entonces CF=BD, DF=BC y AF=AD+BC.
El triángulo ACF tiene un ángulo recto (si una línea es perpendicular a una de dos líneas paralelas, entonces también es perpendicular a la otra línea). Como en un trapezoide isósceles las diagonales son iguales, y CF=BD, entonces CF=AC, es decir, el triángulo ACF es isósceles con base AF. Esto significa que su altura CN es también la mediana. Y como la mediana de un triángulo rectángulo trazado hasta la hipotenusa es igual a la mitad de ella, entonces
que en vista general Se puede escribir como
donde h es la altura del trapecio, a y b son sus bases.
2. Si las diagonales de un trapecio isósceles son perpendiculares, entonces su altura es igual a línea media.
Dado que la línea media del trapezoide m es igual a la mitad de la suma de las bases, entonces
3. Si las diagonales de un trapezoide isósceles son perpendiculares, entonces el área del trapezoide es igual al cuadrado de la altura del trapezoide (o al cuadrado de la mitad de las bases, o al cuadrado de la línea media ).
Dado que el área de un trapezoide se encuentra mediante la fórmula
y la altura, la mitad de la suma de las bases y la línea media de un trapezoide isósceles con diagonales perpendiculares son iguales entre sí:
4. Si las diagonales de un trapecio isósceles son perpendiculares, entonces el cuadrado de su diagonal es igual a la mitad del cuadrado de la suma de las bases, así como al doble del cuadrado de la altura y al doble del cuadrado de la línea media.
Dado que el área de un cuadrilátero convexo se puede encontrar a través de sus diagonales y el ángulo entre ellas usando la fórmula
De nuevo el triángulo pitagórico :))) Si un trozo de la diagonal grande desde la base grande hasta el punto de intersección se designa x, entonces de la similitud obvia de los triángulos rectángulos con ángulos iguales se deduce.x/64 = 36/x, por lo tanto x = 48;48/64 = 3/ 4, por lo tanto TODOS los triángulos rectángulos formados por bases, diagonales y un lado perpendicular a la base son semejantes a un triángulo de lados 3,4,5. La única excepción es un triángulo formado por trozos de diagonales y un lado oblicuo, pero no nos interesa :). (Para que quede claro, la similitud sobre qué estamos hablando acerca de- simplemente NOMBRE DIFERENTE funciones trigonométricasángulos :) ya conocemos la tangente del ángulo entre la diagonal grande y la base grande, es igual a 3/4, lo que significa que el seno es 3/5 y el coseno es 4/5 :)) Puedes inmediatamente escribir
Respuestas. La base inferior es 80, la altura del trapezoide será 60 y la superior será 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)
Tareas similares:
1. La base del prisma es un triángulo, un lado del cual mide 2 cm y los otros dos miden 3 cm cada uno. El borde lateral mide 4 cm y forma un ángulo de 45 con el plano de la base. de un cubo igual.
2. La base del prisma inclinado es un triángulo equilátero de lado a; una de las caras laterales es perpendicular al plano de la base y es un rombo cuya diagonal menor es igual a c. Encuentra el volumen del prisma.
3. En un prisma inclinado, la base es triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es igual a c, uno esquina filosa 30, el borde lateral es igual a k y forma un ángulo de 60 con el plano de la base. Encuentra el volumen del prisma.
1. Encuentra el lado del cuadrado si su diagonal mide 10 cm.
2. En un trapezoide isósceles, el ángulo obtuso es de 135 grados, la base mide 4 cm y la altura es 2 cm, ¿encuentra el área del trapezoide?
3. La altura del trapezoide es 3 veces mayor que una de las bases, pero la mitad que la otra. ¿Encuentra las bases del trapezoide y la altura si el área del trapezoide es de 168 cm cuadrados?
4. En el triángulo ABC, el ángulo A = En el ángulo = 75 grados. Encuentra BC si el área del triángulo es de 36 cm cuadrados.
1. En un trapezoide ABCD de lados AB y CD, las diagonales se cortan en el punto O
a) Compara las áreas de los triángulos ABD y ACD.
b) Compara las áreas de los triángulos ABO y CDO.
c) Demostrar que OA*OB=OC*OD
2. La base de un triángulo isósceles está relacionada con el lado como 4:3 y la altura trazada hasta la base es de 30 cm. Encuentra los segmentos en los que la bisectriz del ángulo en la base divide esta altura.
3. La recta AM es tangente a un círculo, AB es una cuerda de este círculo. Demuestre que el ángulo MAB se mide por la mitad del arco AB ubicado dentro del ángulo MAB.
- El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapezoide es igual a la mitad de la diferencia de las bases.
- Los triángulos formados por las bases de un trapezoide y los segmentos de las diagonales hasta su punto de intersección son semejantes.
- Los triángulos formados por segmentos de las diagonales de un trapezoide, cuyos lados se encuentran en los lados laterales del trapezoide, son iguales en tamaño (tienen la misma área)
- Si extiendes los lados del trapezoide hacia la base más pequeña, se cruzarán en un punto con la línea recta que conecta los puntos medios de las bases.
- Un segmento que conecta las bases de un trapecio y que pasa por el punto de intersección de las diagonales del trapezoide se divide por este punto en una proporción igual a la relación de las longitudes de las bases del trapezoide.
- Un segmento paralelo a las bases del trapezoide y trazado por el punto de intersección de las diagonales se divide por la mitad por este punto, y su longitud es igual a 2ab/(a + b), donde a y b son las bases del trapezoide
Propiedades de un segmento que conecta los puntos medios de las diagonales de un trapecio
Conectemos los puntos medios de las diagonales del trapezoide ABCD, como resultado de lo cual tendremos un segmento LM.
Un segmento que conecta los puntos medios de las diagonales de un trapezoide. se encuentra en la línea media del trapezoide.
este segmento paralelo a las bases del trapezoide.
La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapezoide es igual a la mitad de la diferencia de sus bases.
LM = (AD - BC)/2
o
LM = (a-b)/2
Propiedades de los triángulos formados por las diagonales de un trapecio
Triángulos que están formados por las bases de un trapezoide y el punto de intersección de las diagonales del trapecio - son similares.
Los triángulos BOC y AOD son semejantes. Como los ángulos BOC y AOD son verticales, son iguales.
Los ángulos OCB y OAD son ángulos internos que se encuentran transversalmente a las rectas paralelas AD y BC (las bases del trapecio son paralelas entre sí) y a la recta secante AC, por lo tanto son iguales.
Los ángulos OBC y ODA son iguales por la misma razón (internos transversalmente).
Dado que los tres ángulos de un triángulo son iguales a los ángulos correspondientes de otro triángulo, entonces estos triángulos son similares.
¿Qué se sigue de esto?
Para resolver problemas de geometría, la similitud de triángulos se utiliza de la siguiente manera. Si conocemos las longitudes de dos elementos correspondientes triangulos semejantes, luego encontramos el coeficiente de similitud (dividimos uno por el otro). A partir de donde las longitudes de todos los demás elementos están relacionadas entre sí exactamente por el mismo valor.
Propiedades de los triángulos que se encuentran en el lado lateral y las diagonales de un trapezoide.
Considere dos triángulos que se encuentran en los lados laterales del trapezoide AB y CD. Estos son los triángulos AOB y COD. A pesar de que los tamaños de los lados individuales de estos triángulos pueden ser completamente diferentes, pero las áreas de los triángulos formados por los lados laterales y el punto de intersección de las diagonales del trapezoide son iguales, es decir, los triángulos son iguales en tamaño.
Si extendemos los lados del trapezoide hacia la base más pequeña, entonces el punto de intersección de los lados será coincidir con una línea recta que pasa por el medio de las bases.
Por tanto, cualquier trapezoide se puede expandir hasta formar un triángulo. Donde:
- Los triángulos formados por las bases de un trapezoide que tienen un vértice común en el punto de intersección de los lados extendidos son semejantes.
- La recta que une los puntos medios de las bases del trapezoide es, al mismo tiempo, la mediana del triángulo construido.
Propiedades de un segmento que conecta las bases de un trapezoide.
Si dibuja un segmento cuyos extremos se encuentran en las bases de un trapezoide, que se encuentra en el punto de intersección de las diagonales del trapezoide (KN), entonces la relación de sus segmentos constituyentes desde el lado de la base hasta el punto de intersección de las diagonales (KO/ON) será igual a la razón de las bases del trapezoide(BC/AD).
KO/ON = BC/AD
Esta propiedad se deriva de la similitud de los triángulos correspondientes (ver arriba).
Propiedades de un segmento paralelo a las bases de un trapezoide
Si dibujamos un segmento paralelo a las bases del trapecio y que pasa por el punto de intersección de las diagonales del trapezoide, entonces tendrá las siguientes propiedades:
- Distancia especificada (KM) atravesado por el punto de intersección de las diagonales del trapezoide
- Longitud de la sección pasando por el punto de intersección de las diagonales del trapezoide y paralelo a las bases es igual a KM = 2ab/(a + b)
Fórmulas para encontrar las diagonales de un trapezoide.
a, b- bases trapezoidales
cd- lados del trapezoide
d1 d2- diagonales de un trapezoide
α β - ángulos con una base más grande del trapezoide
Fórmulas para encontrar las diagonales de un trapezoide a través de las bases, lados y ángulos en la base.
El primer grupo de fórmulas (1-3) refleja una de las principales propiedades de las diagonales trapezoidales:
1. La suma de los cuadrados de las diagonales de un trapezoide es igual a la suma de los cuadrados de los lados más el doble del producto de sus bases. Esta propiedad de las diagonales trapezoidales se puede demostrar como un teorema separado.
2 . Esta fórmula obtenido transformando la fórmula anterior. El cuadrado de la segunda diagonal se pasa por el signo igual, después de lo cual se extrae la raíz cuadrada de los lados izquierdo y derecho de la expresión.
3 . Esta fórmula para encontrar la longitud de la diagonal de un trapezoide es similar a la anterior, con la diferencia de que se deja otra diagonal en el lado izquierdo de la expresión
El siguiente grupo de fórmulas (4-5) tiene un significado similar y expresa una relación similar.
El grupo de fórmulas (6-7) le permite encontrar la diagonal de un trapezoide si se conocen la base más grande del trapezoide, un lado y el ángulo en la base.
Fórmulas para encontrar las diagonales de un trapezoide a través de la altura.
Tarea.
Las diagonales del trapezoide ABCD (AD | | BC) se cruzan en el punto O. Encuentre la longitud de la base BC del trapezoide si la base AD = 24 cm, longitud AO = 9 cm, longitud OS = 6 cm.
Solución.
La solución a este problema es ideológicamente absolutamente idéntica a los problemas anteriores.
Los triángulos AOD y BOC son similares en tres ángulos: AOD y BOC son verticales y los ángulos restantes son iguales en pares, ya que están formados por la intersección de una recta y dos rectas paralelas.
Dado que los triángulos son similares, todas sus dimensiones geométricas están relacionadas entre sí, al igual que las dimensiones geométricas de los segmentos AO y OC que conocemos según las condiciones del problema. Eso es
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/a.C.
antes de Cristo = 24 * 6 / 9 = 16
Respuesta: 16cm
Tarea .
En el trapecio ABCD se sabe que AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Encuentra el área del trapezoide. 
Solución .
Para encontrar la altura de un trapezoide desde los vértices de la base más pequeña B y C, bajamos dos alturas hasta la base más grande. Como el trapezoide es desigual, denotamos la longitud AM = a, longitud KD = b ( no confundir con la notación en la fórmula encontrar el área de un trapezoide). Dado que las bases del trapezoide son paralelas y bajamos dos alturas perpendiculares a la base más grande, entonces MBCK es un rectángulo.
Medio
ANUNCIO = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16-b
Los triángulos DBM y ACK son rectangulares, por lo que sus ángulos rectos están formados por las altitudes del trapezoide. Denotemos la altura del trapezoide por h. Entonces, por el teorema de Pitágoras
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Y
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Tengamos en cuenta que a = 16 - b, entonces en la primera ecuación
h 2 + (24 - 16 + segundo) 2 = 425
h2 = 425 - (8 + segundo) 2
Sustituyamos el valor del cuadrado de la altura en la segunda ecuación obtenida usando el Teorema de Pitágoras. Obtenemos:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - segundo 2 + 576 - 48b + segundo 2 = -256
-64b = -768
segundo = 12
Entonces KD = 12
Dónde
h2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Encuentra el área de un trapezoide a través de su altura y la mitad de la suma de sus bases.
, donde a b - la base del trapezoide, h - la altura del trapezoide
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2
Respuesta: el área del trapezoide es 80 cm2.