Как понимать самую знаменитую формулу эйнштейна. Объяснение законов фотоэффекта

Если атомы подвергнуть облучению светом, то свет будет поглощаться атомами. Естественно допустить, что при определённых условиях поглощение будет столь велико, что внешние (валентные) будут отрываться от атомов. Это явление наблюдается в действительности. Классическая электродинамика, обычная волновая теория света не в состоянии дать удовлетворительное объяснение фотоэффекту. Эйнштейн выдвигает предположение, что свет сам по себе имеет корпускулярную природу, что имеет смысл смотреть на свет не как на поток волн, а как на поток частиц. Свет не только излучается, но и распространяется и поглощается в виде квантов! Эти кванты, или частицы, световой энергии Эйнштейн назвал фотонами.

Фотоны, падая на поверхность металла, проникают на очень короткое расстояние в металл и поглощаются нацело отдельными его электронами проводимости. Они сразу же увеличивают свою энергию до значения, достаточного, чтобы преодолеть потенциальный барьер вблизи поверхности металла, и вылетают наружу.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

У различных металлов красная граница фотоэффекта различна

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Для определения постоянной Планка была составлена цепь (рис. 1). Когда скользящий контакт потенциометра находится в крайнем левом положении, чувствительный амперметр при освещении фотоэлемента регистрирует слабый фототок. Передвигая скользящий контакт вправо, постепенно увеличивают запирающее напряжение до тех пор, пока в цепи прекратится фототок. При освещении фотоэлемента фиолетовым светом с частотой ТГц запирающее напряжение 2 В, а при освещении красным светом =390 TГц запирающее напряжение равно 0,5 В. Какое значение постоянной Планка было получено?
Решение	В качестве основы для решения задачи служит уравнение Эйнштейна: В том случае когда достигают напряжения при котором фототок прекращается отрицательная работа внешнего поля над электронами ровна электрона, то есть: Тогда уравнение Эйнштейна примет вид: Запишем это уравнение для двух состояний, описанных в условиях задачи: Вычтем первое уравнение из второго, получим: Дополним данные задачи табличным значением заряда электрона Кл Переведем данные в СИ: 750 TГц = Гц, 390 TГц = Гц Проведем расчёт
Ответ	Постоянная Планка равна Дж с.

ПРИМЕР 2

Задание

В вакуумном фотоэлементе, облучаемом светом с частотой , фотоэлектрон попадает в задерживающее электрическое поле. К электродам фотоэлемента приложено напряжение U, расстояние между электродами равно H, электрон вылетает под углом к плоскости катода. Как изменяется импульс и координаты электрона по сравнению с начальными в момент его возврата на катод? А- работа выхода.

Решение

При решении задачи используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: Далее надо представить движение электрона. Допустим, что в области движения электрона электрическое поле однородно. Такое допущение можно сделать, если считать, что анод располагается сравнительно далеко от вершины траектории электрона. Найдем изменение электрона по возвращении на катод. Выполним построения рис. 2. Изменение импульса- основание треугольника с углом при вершине . Тогда ,

В самом первом посте своего ЖЖ я обещал, что буду постить всякий бред и прочую бяку с формулами. По части бреда считаю план выполненным на 100%, а вот теперь я приступаю (уже приступил в теме про гравитационно-волновые детекторы) ко второй части плана - буду постить бяку с формулами, чтобы плевались домохозяки и даже ЖЭТФ.

Вспоминаю, что меня просили пояснить кое-что про уравнения Эйнштейна. В частности что и откуда. В рамках комментариев я, конечно, пояснил по минимуму, но вряд ли это внесло какую-то реальную ясность. Поэтому я решил написать более развернутое сообщение на этот счет. Я буду писать немного про тензоры для того, чтобы было понятно о чем я буду говорить дальше.

Но сначала некоторые соглашения. В моем посте используется правило суммирования Эйнштейна (это суммирование по повторяющимся индексам) - я его сейчас поясню, а потом оно подразумевается само собой.
Итак, пусть имеется запись

Согласно правилу Эйнштейна, при известной размерности пространства (либо при неизвестной надо явно указать до какого элемента идет суммирование), знак суммы опускается, и подразумевается суммирование по повторяющимся индексам (индекс "i " у a и у b . И записывается это так

Поэтому везде, где отныне будут встречаться повторяющиеся индексы, подразумевается суммирование (причем не только одинарное, но может быть и двойное).

Пусть мы имеем две системы координат

Контравариантным тензором 2-го ранга

т.е. идет дифференцирование старых координат по новым. Здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Ковариантным тензором 2-го ранга называется величина, которая преобразуется при преобразовании координат по правилам

Частными видами тензоров являются всем хорошо известные векторы (тензор 1го ранга) и скаляры (тензор 0-го ранга).

В инерциальной системе отсчета в декартовой системе координат, как известно, интервал ds определяется как

В неинерциальной СО квадрат интервала - некоторая квадратичная форма вида

тут снова суммирование по повторяющимся индексам.
(это можно проверить на частных примерах - попробовать преобразовать ИСО к вращающеся например).
Очевидно , что
а) по размерности получается, что величина стоящая перед произведением дифференциалов координат есть скаляр.
б) дифференциалы координат можно переставить, а это значит, что величина g не зависит от порядка индексов.
Таким образом g ik - симметричный 4-тензор. Он называется метрическим тензором.

В обычной инерциальной системе координат, как нетрудно понять из записи для интервала, матрица метрического тензора имеет вид

Совокупность главных значений (1, -1, -1 , -1) называется сигнатурой матрицы (иногда пишут просто (+,-,-,-)). Определитель в данном случае отрицательный. Это опять же очевидно.
Все, что сказано про неинерциальные СО, совершенно 100% переносится на произвольную криволинейную систему координат в отрыве от физики вообще.

К сожалению, я не могу написать много про тензор кривизны

R iklm потому что для этого нужно написать целый трактат - как он выводится, откуда берется и прочее. Придется писать про символы Кристоффеля, это очень долго. Может быть в другой раз, если кому-то будет интересно.

Тензор Риччи получается сверткой тензора кривизны

он симметричен.

Я думаю, все знают принцип наименьшего действия Гамильтона. В данном случае он записывается как

здесь лямбда может рассматриваться как "плотность" функции Лагранжа. Из него потом получается и тензор энергии-импульса

здесь - тензор энергии-импульса .

Уравнения Эйнштейна получаются из принципа наименьшего действия. Вывод их не так уж сложен, если хорошо знать все, что я сказал выше. Но, естественно, в данном случае я его писать не буду. Уравнения Эйнштейна имеют вид

Уравнения эти нелинейны, и, как следствие, для их решений несправедлив принцип суперпозиции.

Вывод закона Ньютона из уравнений Эйнштейна . При переходе к нерелятивистскому случаю надо потребовать малости всех скоростей и, как следствие, малости гравитационного поля. Тогда от всех тензоров останутся только нулевые компоненты

В этом случае уравнения Эйнштейна дают

(здесь m это масса единицы объема, т.е. плотность в отличие от дальнейшего изложения)
Это всем известное уравнение Пуассона для гравитационного потенциала из которого для потенциала поля одной частицы m и, соответственно, силы действующей в этом поле на другую частицу M можно получить выражения

Это известный закон тяготения Ньютона.

Гравитационные волны . Речь пойдет о слабых гравитационных волнах, которые только и можно детектировать при помощи интерферометров . Думаю, каждый знает, что для поиска слабых возмущений надо представить искомую функцию в виде стационарной части и возмущения. В данном случае тензор кривизны можно представить в виде невозмущенного тензора галилеевой метрики и тензора h описывающего слабое возмущение метрики

При определенных дополнительных условиях тензор Риччи примет вид

(на всякий случай я пояснил, что такое оператор Д"Аламбера, хотя думаю это всем хорошо известно).
Немного все это помутузив, можно получить

Обычное волновое уравнение. Это значит, что гравитационные волны распространяются со скоростью света.

Вот и сказочке конец. Я думаю это более развернутый ответ, что я дал тогда в комментариях, но я не уверен, что стало намного понятнее. Но хотел бы надеяться. До новых встреч в эфирах, господа!

Трудности классического объяснения фотоэффекта

Как можно было бы объяснить фотоэффект с точки зрения классической электродинамики и волновых представлений о свете?

Известно, что для вырывания электрона из вещества требуется сообщить ему некоторую энергию A , называемую работой выхода электрона. В случае свободного электрона в металле это работа по преодолению поля положительных ионов кристаллической решетки, удерживающего электрон на границе металла. В случае электрона, находящегося в атоме, работа выхода есть работа по разрыву связи электрона с ядром.

В переменном электрическом поле световой волны электрон начинает совершать колебания.

А если энергия колебаний превысит работу выхода, то электрон будет вырван из вещества.

Однако в рамках таких представлений невозможно понять второй и третий законы фотоэффекта. Почему кинетическая энергия выбитых электронов не зависит от интенсивности излучения? Ведь чем больше интенсивность, тем больше напряженность электрического поля в электромагнитной волне, тем больше сила, действующая на электрон, тем больше энергия его колебаний и с тем большей кинетической энергией электрон вылетит из катода. Но эксперимент показывает иное.

Откуда берется красная граница фотоэффекта? чем «провинились» низкие частоты? Казалось бы, с ростом интенсивности света растет и сила, действующая на электроны; поэтому даже при низкой частоте света электрон рано или поздно будет вырван из вещества когда интенсивность достигнет достаточно большого значения. Однако красная граница ставит жесткий запрет на вылет электронов при низких частотах падающего излучения.

Кроме того, при освещении катода излучением сколь угодно слабой интенсивности (с частотой выше красной границы) фотоэффект начинается мгновенно в момент включения освещения. Между тем, электронам требуется некоторое время для «расшатывания» связей, удерживающих их в веществе, и это время «раскачки» должно быть тем больше, чем слабее падающий свет. Аналогия такая: чем слабее вы толкаете качели, тем дольше придется их раскачивать до заданной амплитуды. Выглядит опять-таки логично, но опыт единственный критерий истины в физике! этим доводам противоречит.

Так на рубеже XIX и XX столетий в физике возникла тупиковая ситуация: электродинамика, предсказавшая существование электромагнитных волн и великолепно работающая в диапазоне радиоволн, отказалась объяснять явление фотоэффекта.

Выход из этого тупика был найден Альбертом Эйнштейном в 1905 году. Он нашел простое уравнение, описывающее фотоэффект. Все три закона фотоэффекта оказались следствиями уравнения Эйнштейна.

Главная заслуга Эйнштейна состояла в отказе от попыток истолковать фотоэффект с позиций классической электродинамики. Эйнштейн привлек к делу смелую гипотезу о квантах, высказанную Максом Планком пятью годами ранее.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Гипотеза Планка говорила о дискретности излучения и поглощения электромагнитных волн, то есть о прерывистом характере взаимодействия света с веществом. При этом Планк считал, что распространение света это непрерывный процесс, происходящий в полном соответствии с законами классической электродинамики.

Эйнштейн пошел еще дальше: он предположил, что свет в принципе обладает прерывистой структурой: не только излучение и поглощение, но также и распространение света происходит отдельными порциями квантами, обладающими энергией E = h ν .

Планк рассматривал свою гипотезу лишь как математический трюк и не решился опровергнуть электродинамику применительно к микромиру. Физической реальностью кванты стали благодаря Эйнштейну.

Кванты электромагнитного излучения (в частности, кванты света) стали впоследствии называться фотонами. Таким образом, свет состоит из особых частиц фотонов, движущихся в вакууме со скоростью c . Каждый фотон монохроматического света, имеющего частоту, несет энергию h ν .

Фотоны могут обмениваться энергией и импульсом с частицами вещества; в таком случае мы говорим о столкновении фотона и частицы. В частности, происходит столкновение фотонов с электронами металла катода.

Поглощение света это поглощение фотонов, то есть неупругое столкновение фотонов с частицами (атомами, электронами). Поглощаясь при столкновении с электроном, фотон передает ему свою энергию. В результате электрон получает кинетическую энергию мгновенно, а не постепенно, и именно этим объясняется безынерционность фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта есть не что иное, как закон сохранения энергии. На что идет энергия фотона h ν при его неупругом столкновении с электроном? Она расходуется на совершение работы выхода A по извлечению электрона из вещества и на придание электрону кинетической энергии mv 2 /2: h ν = A + mv 2 /2 (4)

Слагаемое mv 2 /2 оказывается максимальной кинетической энергией фотоэлектронов. Почему максимальной? Этот вопрос требует небольшого пояснения.

Электроны в металле могут быть свободными и связанными. Свободные электроны «гуляют» по всему металлу, связанные электроны «сидят» внутри своих атомов. Кроме того, электрон может находиться как вблизи поверхности металла, так и в его глубине.

Ясно, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона получится в том случае, когда фотон попадет на свободный электрон в поверхностном слое металла тогда для выбивания электрона достаточно одной лишь работы выхода.

Во всех других случаях придется затрачивать дополнительную энергию на вырывание связанного электрона из атома или на «протаскивание» глубинного электрона к поверхности. Эти лишние затраты приведут к тому, что кинетическая энергия вылетевшего электрона окажется меньше.

Замечательное по простоте и физической ясности уравнение (4) содержит в себе всю теорию фотоэффекта:

1. число выбиваемых электронов пропорционально числу поглощенных фотонов. С увеличением интенсивности света количество фотонов, падающих на катод за секунду, возрастает. Стало быть, пропорционально возрастает число поглощенных фотонов и, соответственно, число выбитых за секунду электронов.

2. Выразим из формулы (4) кинетическую энергию: mv 2 /2 = h ν - A

Действительно, кинетическая энергия выбитых электронов линейно растет с частотой и не зависит от интенсивности света.

Зависимость кинетической энергии от частоты имеет вид уравнения прямой, проходящей через точку (A / h ; 0). Этим полностью объясняется ход графика на рис. 3.

3. Для того, чтобы начался фотоэффект, энергии фотона должно хватить как минимум на совершение работы выхода: h ν > A . Наименьшая частота ν 0 , определяемая равенством

h ν о = A ;

Как раз и будет красной границей фотоэффекта. Как видим, красная граница фотоэффекта ν 0 = A / h определяется только работой выхода, т. е. зависит лишь от вещества облучаемой поверхности катода.

Если ν < ν 0 , то фотоэффекта не будет сколько бы фотонов за секунду не падало на катод. Следовательно, интенсивность света роли не играет; главное хватает ли отдельному фотону энергии, чтобы выбить электрон.

Уравнение Эйнштейна (4) дает возможность экспериментального нахождения постоянной Планка. Для этого надо предварительно определить частоту излучения и работу выхода материала катода, а также измерить кинетическую энергию фотоэлектронов.

В ходе таких опытов было получено значение h , в точности совпадающее с (2). Такое совпадение результатов двух независимых экспериментов на основе спектров теплового излучения и уравнения Эйнштейна для фотоэффекта означало, что обнаружены совершенно новые «правила игры», по которым происходит взаимодействие света и вещества. В этой области классическая физика в лице механики Ньютона и электродинамики Максвелла уступает место квантовой физике теории микромира, построение которой продолжается и сегодня.

Пространства - время для учитывая расположение стресс-энергии в пространстве - времени. Взаимосвязь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет ЭФЭ быть записана в виде набора нелинейных уравнений с частными производным, когда используется таким образом. Решения ЭФЭ являются компонентами метрического тензора. В инерционных траекториях частиц и излучение (геодезические) в полученной геометрии затем вычисляются с использованием уравнения геодезического .

А также повинуясь сохранение местной энергии-импульса, то EFE сводятся к закону тяготения Ньютона , где гравитационное поле является слабым и скорости намного меньше скорости света .

Точные решения для ЭФЭ могут быть найдены только при упрощающих допущениях, такие как симметрия . Специальные классы точных решений наиболее часто изучаются как они моделируют многие гравитационные явления, такие как вращающиеся черные дыры и расширение Вселенной . Дальнейшее упрощение достигается при аппроксимации фактического пространства - времени, как плоское пространства - времени с небольшим отклонением, что приводит к линеаризованной ЭФЭ . Эти уравнения используются для изучения таких явлений, как гравитационные волны .

Математическая форма

Полевые уравнения Эйнштейна (ОСЕ) можно записать в виде:

Р μ ν - 1 2 р г μ ν + Λ г μ ν знак равно 8 π г с 4 T μ ν {\ Displaystyle R _ {\ му \ Nu} - {\ tfrac {1} {2}} Р \, G _ {\ му \ Nu} + \ Lambda G _ {\ му \ Nu} = {\ гидроразрыва {8 \ р G } {с ^ {4}}} _ {Т \ му \ Nu}}

где R μν является тензор кривизны Риччи , R является скалярная кривизна , г μν является метрический тензор , Λ является космологическая постоянная , G является постоянная тяготения Ньютона , с представляет собой скорость света в вакууме, а Т μν является стресс- тензор энергии .

ЭФЭ является тензором уравнение, связывающее набор симметричных 4 × 4 тензоров . Каждый тензор имеет 10 независимых компонент. Четыре Bianchi тождества уменьшить число независимых уравнений с 10 до 6, в результате чего показателя с четырьмя крепежных калибровочными степенями свободы , которые соответствуют свободе выбора системы координат.

Хотя полевые уравнения Эйнштейна были первоначально сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их последствия в п измерениях. Уравнения в контекстах вне общей теории относительности до сих пор называют уравнениями поля Эйнштейна. Вакуумные полевые уравнения (полученные при Т тождественно равна нулю) определяют многообразия Эйнштейна .

Несмотря на простой внешний вид уравнений на самом деле они довольно сложны. Принимая во внимание указанное распределение материи и энергии в виде тензора энергии, ЭФЭ понимаются уравнения для метрического тензора г μν , так как и тензор Риччи и скалярная кривизна зависит от метрики в сложной нелинейной манере. В самом деле, когда полностью выписана, то ЭФЭ представляют собой система из десяти соединенных, нелинейных, гиперболических-эллиптических дифференциальных уравнений .

Можно написать EFE в более компактной форме, определив тензор Эйнштейна

г μ ν знак равно р μ ν - 1 2 р г μ ν , {\ Displaystyle G _ {\ му \ Nu} = Р _ {\ му \ Nu} - {\ tfrac {1} {2}} _ {Rg \ му \ Nu}}

которая представляет собой симметричный тензор второго ранга, который является функцией метрики. ЭФЭ, то можно записать в виде

г μ ν + Λ г μ ν знак равно 8 π г с 4 T μ ν , {\ Displaystyle G _ {\ мю \ Nu} + \ Lambda G _ {\ му \ Nu} = {\ гидроразрыва {8 \ р G} {с ^ {4}}} T _ {\ му \ Nu}.}

В стандартных единицах, каждый член с левой имеет единицы 1 / длина 2 . При таком выборе Эйнштейна постоянной , как 8πG / с 4 , то тензор энергии-импульса на правой стороне уравнения должны быть записаны с каждым компонентом в единицах плотности энергии (то есть энергии на единицу объема = давление).

Вход конвенции

Выше форма ЭФЭ является стандартом, установленным Мизнер, Thorne, и Wheeler . Авторы проанализировали все конвенции, которые существуют и классифицированы в соответствии со следующими тремя знаками (S1, S2, S3):

г μ ν знак равно [ S 1 ] × диаг ⁡ (- 1 , + 1 , + 1 , + 1) р μ α β γ знак равно [ S 2 ] × (Γ α γ , β μ - Γ α β , γ μ + Γ σ β μ Γ γ α σ - Γ σ γ μ Γ β α σ) г μ ν знак равно [ S 3 ] × 8 π г с 4 T μ ν {\ Displaystyle {\ {начинаются выровнены} _ {г \ му \ Nu} & = \ раз \ OperatorName {Diag} (-1, + 1, + 1, + 1) \\ {R ^ { \ му}} _ {\ альфа \ бета \ гамма} & = \ раз \ влево (\ Gamma _ {\ альфа \ гамма, \ бета} ^ {\ му} - \ Gamma _ {\ альфа \ бета, \ гамма} ^ {\ му} + \ Gamma _ {\ Sigma \ бета} ^ {\ му} \ гамма _ {\ Gamma \ альфа} ^ {\ Sigma} - \ Gamma _ {\ Sigma \ Gamma} ^ {\ му} \ Гамма _ {\ бета \ альфа} ^ {\ Sigma} \ справа) \\ G _ {\ му \ Nu} & = \ раз {\ гидроразрыва {8 \ Pi G} {с ^ {4}}} T _ {\ му \ Nu} \ {конец выровнен}}}

Третий знак выше относится к выбору конвенции для тензора Риччи:

р μ ν знак равно [ S 2 ] × [ S 3 ] × р α μ α ν {\ Displaystyle R _ {\ мю \ Nu} = \ [раз S3] \ {раза R ^ {\ альфа}} _ {\ му \ альфа \ Nu}} р μ ν - 1 2 р г μ ν + Λ г μ ν знак равно 8 π г с 4 T μ ν , {\ Displaystyle R _ {\ му \ Nu} - {\ tfrac {1} {2}} Р \, G _ {\ му \ Nu} + \ Lambda G _ {\ му \ Nu} = {\ гидроразрыва {8 \ р G } {с ^ {4}}} T _ {\ му \ Nu} \ ,.}

Поскольку Λ постоянна, то закон сохранения энергии не меняется.

Космологический термин был первоначально введен Эйнштейном, чтобы для вселенной, не расширяться или сжиматься . Эти усилия увенчались успехом, потому что:

• Вселенная описывается этой теорией была нестабильна, и
• наблюдения Эдвина Хаббла подтвердили, что наша Вселенная расширяется .

Таким образом, Эйнштейн отказался от Л , называя ее «самой большой ошибкой [он] когда - либо делал».

Несмотря на мотивацию Эйнштейна для введения космологической постоянной, нет ничего несовместима с наличием такого члена в уравнениях. В течение многих лет космологическая постоянная была почти повсеместно считается равным 0. Однако недавние улучшенные астрономические методы обнаружили, что положительное значение Л необходимо для объяснения ускоряющейся Вселенной . Тем не менее, космологический пренебрежимо мало в масштабе галактики или меньше.

Эйнштейн подумал о космологической постоянной в качестве независимого параметра, но его член в уравнении поля можно также перемещать алгебраически к другой стороне, написанной как часть тензора энергии:

T μ ν (v a с) знак равно - Λ с 4 8 π г г μ ν , {\ Displaystyle T _ {\ му \ Nu} ^ {\ mathrm {(ВПТ)}} = - {\ гидроразрыва {\ Lambda с ^ {4}} {8 \ пи G}} G _ {\ му \ Nu} \, .} р α β [ γ δ ; ε ] знак равно 0 {\ Displaystyle R _ {\ альфа \ бета [\ гамма \ дельта; \ varepsilon]} = 0}

с г αβ дает, используя тот факт, что метрический тензор ковариантно постоянен, то есть г αβ ; γ = 0 ,

р γ β γ δ ; ε + р γ β ε γ ; δ + р γ β δ ε ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ гамма \ дельта; \ varepsilon} + {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ varepsilon \ гамма; \ дельта} + {R ^ {\ гамма}} _ {\ бета \ дельта \ varepsilon; \ гамма} = \, 0}

Антисимметрия тензора Римана позволяет второй член в приведенном выше выражении должна быть переписана:

р γ β γ δ ; ε - р γ β γ ε ; δ + р γ β δ ε ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ гамма \ дельта; \ varepsilon} - {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ гамма \ varepsilon; \ дельта} + {R ^ {\ гамма}} _ {\ бета \ дельта \ varepsilon; \ гамма} = 0}

что эквивалентно

р β δ ; ε - р β ε ; δ + р γ β δ ε ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle R _ {\ бета \ дельта; \ varepsilon} _ {-R \ бета \ varepsilon; \ дельта} + {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ дельта \ varepsilon; \ гамма} = 0}

Затем контракт снова с метрикой

г β δ (р β δ ; ε - р β ε ; δ + р γ β δ ε ; γ) знак равно 0 {\ Displaystyle г ^ {\ бета \ дельта} \ влево (R _ {\ бета \ дельта; \ varepsilon} -R _ {\ бета \ varepsilon; \ дельта} + {R ^ {\ Gamma}} _ {\ бета \ дельта \ varepsilon; \ Gamma} \ справа) = 0}

получить

р δ δ ; ε - р δ ε ; δ + р γ δ δ ε ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle {R ^ {\ дельта}} _ {\ Delta; \ varepsilon} - {R ^ {\ дельта}} _ {\ varepsilon; \ дельта} + {R ^ {\ Gamma \ дельта}} _ {\ дельта \ varepsilon; \ гамма} = 0}

Определения тензора кривизны Риччи и скалярной кривизны, то показывают, что

р; ε - 2 р γ ε ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle R _ {; \ varepsilon} -2 {R ^ {\ Gamma}} _ {\ varepsilon; \ гамма} = 0}

которое можно переписать в виде

(р γ ε - 1 2 г γ ε р) ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle \ слева ({R ^ {\ Gamma}} _ {\ varepsilon} - {\ tfrac {1} {2}} {г ^ {\ Gamma}} _ {\ varepsilon} R \ справа) _ {; \ Gamma} = 0}

Окончательное сжатие с г еДом дает

(р γ δ - 1 2 г γ δ р) ; γ знак равно 0 {\ Displaystyle \ слева (R ^ {\ Gamma \ дельта} - {\ tfrac {1} {2}} г ^ {\ Gamma \ дельта} R \ справа) _ {; \ гамма} = 0}

которые в силе симметрии в квадратных скобках термина и определением тензора Эйнштейна , дает после перемаркировки индексов,

г α β ; β знак равно 0 {\ Displaystyle {G ^ {\ альфа \ бета}} _ {; \ бета} = 0}

Используя EFE, это сразу дает,

∇ β T α β знак равно T α β ; β знак равно 0 {\ Displaystyle \ набла _ {\ бета} Т ^ {\ альфа \ бета} = {Т ^ {\ альфа \ бета}} _ {; \ бета} = 0}

который выражает локальное сохранение стресс-энергии. Этот закон сохранения является физическим требованием. С его полевых уравнений Эйнштейна гарантировал, что общая теория относительности согласуется с этим условием сохранения.

нелинейность

Нелинейность EFE отличает общую теорию относительности от многих других фундаментальных физических теорий. Так, например, уравнение Максвелла из электромагнетизма является линейными в электрических и магнитных полей , а также заряд и распределение токов (т.е. суммы двух решений также является решением); Другой пример является уравнением Шредингера из квантовой механики , которая является линейной в волновой функции .

Принцип соответствия

d 2 Икс α d τ 2 знак равно - Γ β γ α d Икс β d τ d Икс γ d τ , {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d ^ {2} х ^ {\ альфа}} {d \ тау ^ {2}}} = - \ Gamma _ {\ бета \ гамма} ^ {\ альфа} {\ гидроразрыва {дх ^ {\ бета}} {d \ тау}} {\ гидроразрыва {дх ^ {\ Gamma}} {d \ тау}} \ ,.}

Чтобы увидеть, как последнее сводится к первому, мы предполагаем, что скорость испытателя частицы близка к нулю

d Икс β d τ ≈ (d T d τ , 0 , 0 , 0) {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {дх ^ {\ бета}} {d \ тау}} \ ок \ влево ({\ гидроразрыва {дт} {d \ тау}}, 0,0,0 \ справа)}

и поэтому

d d T (d T d τ) ≈ 0 {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дт}} \ влево ({\ гидроразрыва {дт} {d \ тау}} \ справа) \ около 0}

и что метрика и ее производные примерно статические и что квадраты отклонений от метрики Минковского пренебрежимо малы. Применение этих упрощающих допущений пространственных компонент геодезическое уравнение дает

d 2 Икс я d T 2 ≈ - Γ 00 я {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d ^ {2} х ^ {я}} {дт ^ {2}}} \ ок - \ Gamma _ {00} ^ {я}}

где два фактора DT / дифференциала dr были разделены из. Это позволит снизить его ньютоновский аналог, при условии

Φ , я ≈ Γ 00 я знак равно 1 2 г я α (г α 0 , 0 + г 0 α , 0 - г 00 , α) , {\ Displaystyle \ Phi _ {, я} \ примерно \ Gamma _ {00} ^ {я} = {\ tfrac {1} {2}} г ^ {я \ альфа} \ влево (G _ {\ альфа-0,0 } + g_ {0 \ альфа-, 0} -g_ {00 \ альфа} \ справа) \ ,.}

Наши предположения заставляют альфа = я и времени (0) производные равными нулю. Таким образом, это упрощает для

2 Φ , я ≈ г я J (- г 00 , J) ≈ - г 00 , я {\ Displaystyle 2 \ Phi _ {, я} \ ок г ^ {IJ} \ влево (-g_ {00, J} \ справа) \ ок -g_ {00, я} \}

которое выполняется, позволяя

г 00 ≈ - с 2 - 2 Φ , {\ Displaystyle g_ {00} \ ок -с ^ {2} -2 \ Phi \ ,.}

Обращаясь к уравнениям Эйнштейна, нам нужно только компонент времени времени

р 00 знак равно К (T 00 - 1 2 T г 00) {\ Displaystyle R_ {00} = К \ влево (Т_ {00} - {\ tfrac {1} {2}} Tg_ {00} \ справа)}

в скорости и статическое поле допущение низкого означает, что

T μ ν ≈ d я a г (T 00 , 0 , 0 , 0) ≈ d я a г (ρ с 4 , 0 , 0 , 0) , {\ Displaystyle Т _ {\ му \ Nu} \ ок \ mathrm {Diag} \ влево (Т_ {00}, 0,0,0 \ справа) \ ок \ mathrm {Diag} \ влево (\ Rho с ^ {4} , 0,0,0 \ справа) \ ,.} T знак равно г α β T α β ≈ г 00 T 00 ≈ - 1 с 2 ρ с 4 знак равно - ρ с 2 {\ Displaystyle Т = г ^ {\ альфа \ бета} Т _ {\ альфа \ бета} \ около г ^ {00} T_ {00} \ ок - {\ гидроразрыва {1} {с ^ {2}}} \ Rho с ^ {4} = - \ Rho с ^ {2} \,}

и поэтому

К (T 00 - 1 2 T г 00) ≈ К (ρ с 4 - 1 2 (- ρ с 2) (- с 2)) знак равно 1 2 К ρ с 4 , {\ Displaystyle К \ влево (Т_ {00} - {\ tfrac {1} {2}} Tg_ {00} \ справа) \ ок К \ влево (\ ро с ^ {4} - {\ tfrac {1} { 2}} \ влево (- \ Rho с ^ {2} \ справа) \ влево (-c ^ {2} \ справа) \ справа) = {\ tfrac {1} {2}} К \ Rho с ^ {4 } \ ,.}

Из определения тензора Риччи

р 00 знак равно Γ 00 , ρ ρ - Γ ρ 0 , 0 ρ + Γ ρ λ ρ Γ 00 λ - Γ 0 λ ρ Γ ρ 0 λ , {\ Displaystyle R_ {00} = \ Gamma _ {00, \ Rho} ^ {\} - ро \ Gamma _ {\ Rho 0,0} ^ {\ Rho} + \ Gamma _ {\ Rho \ Lambda} ^ { \ Rho} \ Gamma _ {00} ^ {\ Lambda} - \ Gamma _ {0 \ Lambda} ^ {\ Rho} \ Gamma _ {\ Rho 0} ^ {\ Lambda}}.

Наши упрощающие предположения делают квадраты Г исчезают вместе с производными по времени

р 00 ≈ Γ 00 , я я, {\ Displaystyle R_ {00} \ ок \ Gamma _ {00, я} ^ {я} \ ,.}

Сочетание приведенных выше уравнений вместе

Φ , я я ≈ Γ 00 , я я ≈ р 00 знак равно К (T 00 - 1 2 T г 00) ≈ 1 2 К ρ с 4 {\ Displaystyle \ Phi _ {, II} \ приблизительно \ Gamma _ {00, я} ^ {я} \ около R_ {00} = К \ влево (Т_ {00} - {\ tfrac {1} {2}} Tg_ {00} \ справа) \ около {\ tfrac {1} {2}} K \ Rho с ^ {4}}

которая сводится к уравнению ньютоновского поля при условии

1 2 К ρ с 4 знак равно 4 π г ρ {\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} К \ Rho с ^ {4} = 4 \ р С \ Rho \,}

который будет иметь место, если

К знак равно 8 π г с 4 , {\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {8 \ р G} {с ^ {4}}} \ ,.}

Вакуумная уравнения поля

Швейцарский монета с 1979, показывая вакуума уравнений поля с нулевой космологической постоянной (вверху).

Если тензор энергии-импульса Т μν равен нулю в рассматриваемой области, то уравнения поля также называют вакуумной полевых уравнений . Установив T μν = 0 в , вакуумные уравнения могут быть записаны в виде

р μ ν знак равно 0 , {\ Displaystyle R _ {\ му \ Nu} = 0 \ ,.}

В случае ненулевой космологической постоянной, уравнения с исчезающей

используется, то полевые уравнения Эйнштейна, называются уравнениями Эйнштейна-Максвелла (с космологической постоянной Л , принимаемым равным нулю в обычной теории относительности):

р α β - 1 2 р г α β + Λ г α β знак равно 8 π г с 4 μ 0 (F α ψ F ψ β + 1 4 г α β F ψ τ F ψ τ) , {\ Displaystyle R ^ {\ альфа \ бета} - {\ tfrac {1} {2}} Rg ^ {\ альфа \ бета} + \ Lambda г ^ {\ альфа \ бета} = {\ гидроразрыва {8 \ р G } {с ^ {4} \ му _ {0}}} \ влево ({F ^ {\ альфа}} ^ {\ Psi} {F _ {\ Psi}} ^ {\ бета} + {\ tfrac {1} {4}} г ^ {\ альфа \ бета} F _ {\ Psi \ тау} F ^ {\ Psi \ тау} \ справа).}

Изучение точных решений уравнений Эйнштейна является одним из направлений деятельности космологии . Это приводит к предсказанию черных дыр и различным моделям эволюции Вселенной .

Можно также открыть новые решения полевых уравнений Эйнштейна с помощью метода ортонормреперов, как впервые Эллис и MacCallum. При таком подходе, поле Эйнштейна уравнения сводятся к набору связанных, нелинейных, обыкновенных дифференциальных уравнений. Как обсуждалось Хсу и Wainwright, самоподобные решения уравнений поля Эйнштейна являются неподвижными точками в результате динамической системы . Новые решения были обнаружены с помощью этих методов Леблан и Коли и Haslam. .

полиномиальная форма

Можно подумать, что EFE не является многочленом, так как они содержат инверсию метрического тензора. Однако уравнения могут быть организованы таким образом, что они содержат только метрический тензор, а не его обратный. Во-первых, определитель метрики в 4-х измерениях можно записать:

йе (г) знак равно 1 24 ε α β γ δ ε κ λ μ ν г α κ г β λ г γ μ г δ ν {\ Displaystyle \ Det (г) = {\ tfrac {1} {24}} \ varepsilon ^ {\ альфа \ бета \ гамма \ дельта} \ varepsilon ^ {\ каппа \ Lambda \ му \ Nu} G _ {\ альфа \ каппа} _ {г \ бета \ Lambda} _ {г \ гамма-\ му} _ {г \ дельта \ Nu} \,}

используя символ Леви-Чивита ; и обратные метрик в 4 -х измерениях можно записать в виде:

г α κ знак равно 1 6 ε α β γ δ ε κ λ μ ν г β λ г γ μ г δ ν йе (г) , {\ Displaystyle г ^ {\ альфа \ каппа} = {\ гидроразрыва {{\ tfrac {1} {6}} \ varepsilon ^ {\ альфа \ бета \ гамма \ дельта} \ varepsilon ^ {\ каппа \ Lambda \ му \ Nu} _ {г \ бета \ Lambda} _ {г \ гамма-\ му} _ {г \ дельта \ Nu}} {\ Det (г)}} \ ,.}

Подставляя это определение обратной метрики в уравнение, то умножая обе стороны от ого (г ) до тех пор, пока еще не остались в результатах знаменателя в полиномиальных уравнениях метрического тензора и его первые и вторых производных. Действия, из которого получены уравнения также можно записать в виде полинома с помощью подходящего переопределения полей.

внешняя ссылка

Wikibooks есть книги

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение Эйнштейна – та самая знаменитая формула релятивистской механики – устанавливает связь между массой покоящегося тела и его полной энергией:

Здесь – полная энергия тела (так называемая энергия покоя), – его , а – света в вакууме, которая приблизительно равна м/с.

Уравнение Эйнштейна

Формула Эйнштейна утверждает, что масса и энергия эквивалентны друг другу. Это значит, что любое тело обладает – энергией покоя – пропорциональной его массе. В свое время природа затратила энергию, чтобы собрать это тело из элементарных частиц материи, и энергия покоя служит мерой этой работы.

Действительно, при изменении внутренней энергии тела его масса изменяется пропорционально изменению энергии:

Например, при нагреве тела его внутренняя энергия возрастает, и масса тела увеличивается. Правда, эти изменения настолько малы, что в повседневной жизни мы их не замечаем: при нагреве 1 кг воды на она станет тяжелее на 4,7 10 -12 кг.

Кроме того, масса может преобразовываться в энергию, и наоборот. Преобразование массы в энергию происходит при ядерной реакции: масса ядер и частиц, образовавшихся в результате реакции, меньше, чем масса столкнувшихся ядер и частиц, а получившийся дефект массы превращается в энергию. А при фотонном рождении несколько фотонов (энергия) превращаются в электрон, вполне материальный и имеющий массу покоя.

Уравнение Эйнштейна для движущегося тела

Для движущегося тела уравнений Эйнштейна выглядит:

В этой формуле v – скорость, с которой движется тело.

Из последней формулы можно сделать несколько важных выводов:

1) Каждое тело, обладает определенную энергию, которая больше нуля. Поэтому title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="34" width="102" style="vertical-align: -11px;"> , а значит, v

2) Некоторые частицы – например, фотоны – не имеют массы, а вот энергия у них есть. При подстановке в последнюю формулу мы получили бы не соответствующее действительности , если бы не одно «но»: эти частицы движутся со скоростью света с=3 10 8 м/с. Знаменатель формулы Эйнштейна при этом обращается в нуль: она не подходит для расчёта энергии безмассовых частиц.

Формула Эйнштейна показала, что в веществе содержится колоссальный запас энергии – и тем самым сыграла неоценимую роль в развитии ядерной энергетики, а также подарила военной промышленности атомную бомбу.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	-мезон имеет массу покоя кг и движется со скоростью 0,8с. Какова его ?
Решение	Найдем скорость -мезона в единицах СИ: Рассчитаем энергию покоя -мезона по формуле Эйнштейна: Полная энергия -мезона: Полная энергия -мезона состоит из энергии покоя и кинетической энергии. Поэтому кинетическая энергия:
Ответ	Дж