Pirmskaitļi un saliktie skaitļi. Skaitļa 6 salikto skaitļu faktorēšana, kas iekļauti pirmfaktoros

Šis tiešsaistes kalkulators ir paredzēts funkcijas faktorizēšanai.

Piemēram, faktorizēt: x 2 /3-3x+12. Rakstīsim kā x^2/3-3*x+12. Varat arī izmantot šo pakalpojumu, kurā visi aprēķini tiek saglabāti Word formātā.

Piemēram, sadaliet terminos. Rakstīsim kā (1-x^2)/(x^3+x) . Lai redzētu risinājuma gaitu, noklikšķiniet uz Rādīt darbības. Ja jums ir nepieciešams iegūt rezultātu Word formātā, izmantojiet šo pakalpojumu.

Piezīme: skaitli "pi" (π) raksta kā pi; kvadrātsakne kā sqrt , piemēram, sqrt(3) , pieskares tg raksta tan . Lai skatītu atbildi, skatiet sadaļu Alternatīva.

Ja ir dota vienkārša izteiksme, piemēram, 8*d+12*c*d, tad izteiksmes faktorēšana nozīmē izteiksmes attēlošanu faktoru veidā. Lai to izdarītu, jums ir jāatrod kopīgi faktori. Rakstīsim šo izteiksmi šādi: 4*d*(2+3*c) .
Norādiet produktu divu binomiālu veidā: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy. Šeit jau ir jāatrod vairāki kopīgi faktori: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Izņemam (x+7z) un iegūstam: (x+7z)(x + 3y) .

skatiet arī Polinomu dalīšana ar stūri (tiek parādīti visi dalīšanas soļi ar kolonnu)

Noderīgi, pētot faktorizācijas noteikumus saīsinātās reizināšanas formulas, ar kura palīdzību būs skaidrs, kā atvērt iekavas ar kvadrātu:

(a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
(a+b)(a-b) = a 2–b 2
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
(a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
(a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktorizācijas metodes

Pēc dažu triku apguves faktorizēšana Var veikt šādu risinājumu klasifikāciju:

Izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas.
Kopēja faktora atrašana.

Ko nozīmē faktorings? Kā to izdarīt? Ko jūs varat mācīties no skaitļa iekļaušanas galvenajos faktoros? Atbildes uz šiem jautājumiem ir ilustrētas ar konkrētiem piemēriem.

Definīcijas:

Skaitli, kuram ir tieši divi dažādi dalītāji, sauc par pirmskaitļiem.

Skaitli, kuram ir vairāk nekā divi dalītāji, sauc par saliktiem.

Faktorēt naturālu skaitli nozīmē attēlot to kā naturālu skaitļu reizinājumu.

Iekļaut naturālu skaitli pirmskaitļos nozīmē attēlot to kā pirmskaitļu reizinājumu.

Piezīmes:

Pirmskaitļa sadalīšanā viens no faktoriem ir vienāds ar vienu, bet otrs ir vienāds ar pašu skaitli.
Nav jēgas runāt par faktoringa vienotību.
Saliktu skaitli var ieskaitīt faktoros, no kuriem katrs atšķiras no 1.

	Saskaitīsim skaitli 150. Piemēram, 150 ir 15 reizes 10. 15 ir salikts skaitlis. To var ieskaitīt galvenajos faktoros 5 un 3. 10 ir salikts skaitlis. To var ieskaitīt galvenajos faktoros 5 un 2. Ierakstot to sadalīšanos primārajos faktoros, nevis 15 un 10, mēs ieguvām skaitļa 150 sadalīšanos.
	Skaitli 150 var faktorizēt citā veidā. Piemēram, 150 ir skaitļu 5 un 30 reizinājums. 5 ir pirmskaitlis. 30 ir salikts skaitlis. To var uzskatīt par 10 un 3 reizinājumu. 10 ir salikts skaitlis. To var ieskaitīt galvenajos faktoros 5 un 2. Mēs ieguvām 150 faktorizāciju galvenajos faktoros citādā veidā.
	Ņemiet vērā, ka pirmais un otrais paplašinājums ir vienādi. Tie atšķiras tikai faktoru secībā. Ir pieņemts rakstīt faktorus augošā secībā.
Katru salikto skaitli unikālā veidā var faktorizēt primārajos faktoros atkarībā no faktoru secības.

Sadalīšanās laikā lieli skaitļi Lai iegūtu galvenos faktorus, izmantojiet kolonnu apzīmējumu:

Mazākais pirmskaitlis, kas dalās ar 216, ir 2.

Sadaliet 216 ar 2. Mēs iegūstam 108.

Iegūtais skaitlis 108 tiek dalīts ar 2.

Veiksim sadalīšanu. Rezultāts ir 54.

Saskaņā ar dalāmības ar 2 testu skaitlis 54 dalās ar 2.

Pēc dalīšanas mēs iegūstam 27.

Skaitlis 27 beidzas ar nepāra ciparu 7. Tas

Nedalās ar 2. Nākamais pirmskaitlis ir 3.

Sadaliet 27 ar 3. Iegūstam 9. Vismazāk pirmskaitļi

Skaitlis, ar kuru dalīts 9, ir 3. Trīs ir pats par sevi pirmskaitlis, tas dalās ar sevi un ar vienu. Sadalīsim 3 ar sevi. Galu galā mēs saņēmām 1.

Skaitlis dalās tikai ar tiem pirmskaitļiem, kas ir daļa no tā sadalīšanās.
Skaitlis dalās tikai tajos saliktajos skaitļos, kuru sadalīšanās pirmfaktoros tajā ir pilnībā ietverta.

Apskatīsim piemērus:

4900 dalās ar pirmskaitļiem 2, 5 un 7 (tie ir iekļauti skaitļa 4900 izvērsumā), bet nedalās, piemēram, ar 13.

11 550 75. Tas tā ir tāpēc, ka skaitļa 75 dekompozīcija ir pilnībā ietverta skaitļa 11550 dekompozīcija.

Dalīšanas rezultāts būs koeficientu 2, 7 un 11 reizinājums.

11550 nedalās ar 4, jo četrinieka paplašinājumā ir papildu divi.

Atrodiet skaitļa a dalīšanas ar skaitli b koeficientu, ja šos skaitļus sadala pirmreizējos šādi: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Skaitļa b dekompozīcija ir pilnībā ietverta skaitļa a sadalīšanā.

Rezultāts, dalot a ar b, ir trīs skaitļu reizinājums, kas paliek a izvērsumā.

Tātad atbilde ir: 30.

Bibliogrāfija

Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.g.
Merzļaks A.G., Polonskis V.V., Jakirs M.S. Matemātika 6. klase. - ģimnāzija. 2006. gads.
Depmans I.Ya., Viļenkins N.Ya. Aiz matemātikas mācību grāmatas lappusēm. - M.: Izglītība, 1989.g.
Rurukins A.N., Čaikovskis I.V. Uzdevumi matemātikas kursam 5.-6.klasei. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Rurukins A.N., Sočilovs S.V., Čaikovskis K.G. Matemātika 5.-6. Rokasgrāmata 6. klases skolēniem neklātienes skola MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Ševrins L.N., Geins A.G., Korjakovs I.O., Volkovs M.V. Matemātika: Mācību grāmata-sarunu biedrs 5.-6.klasei vidusskola. - M.: Izglītība, matemātikas skolotāju bibliotēka, 1989.g.

Interneta portāls Matematika-na.ru ().
Interneta portāls Math-portal.ru ().

Mājasdarbs

Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Nr.127, Nr.129, Nr.141.
Citi uzdevumi: Nr.133, Nr.144.

Viss sākas ar ģeometrisko progresiju. Pirmajā lekcijā par rindām (skat. sadaļu 18.1. Pamatdefinīcijas) esam pierādījuši, ka šī funkcija ir sērijas summa , un sērija saplūst ar funkciju pie
. Tātad,

Ļaujiet mums uzskaitīt vairākas šīs sērijas šķirnes. Nomaiņa X ieslēgts - X , saņemam

nomainot X ieslēgts
mēs saņemam

utt.; Visu šo sēriju konverģences reģions ir vienāds:
.

2.
.

Visi šīs funkcijas atvasinājumi punktā X =0 ir vienādi
, tā seriāls izskatās

Šīs sērijas konverģences apgabals ir visa skaitliskā ass (sadaļas 6. piemērs 18.2.4.3. Pakāpju rindas konverģences rādiuss, konverģences intervāls un konverģences apgabals), Tāpēc
plkst
. Rezultātā Teilora formulas atlikušais termins
. Tāpēc sērija saplūst ar
jebkurā brīdī X .

3.
.

Šī sērija pilnībā saplūst

, un tā summa patiešām ir vienāda
. Atlikušajam Teilora formulas terminam ir forma
, Kur
vai
- ierobežota funkcija un
(tas ir iepriekšējās paplašināšanas vispārīgais termins).

4.
.

Šo paplašinājumu, tāpat kā iepriekšējos, var iegūt, secīgi aprēķinot atvasinājumus, bet mēs turpināsim citādi. Atšķirsim iepriekšējās sērijas terminus pēc termina:

Konverģence uz funkciju uz visas ass izriet no teorēmas par pakāpju rindas diferenciāciju pēc termiņa.

5. Neatkarīgi pierādīt, ka uz visas skaitliskās ass, .

6.
.

Šīs funkcijas sēriju sauc binominālās sērijas. Šeit mēs aprēķināsim atvasinājumus.

...Maklaurina sērijai ir forma

Mēs meklējam konverģences intervālu: tātad konverģences intervāls ir
. Mēs nepētīsim atlikušo termiņu un rindas uzvedību konverģences intervāla galos; izrādās, ka kad
Sērija absolūti saplūst abos punktos
, plkst
sērijas nosacīti saplūst punktā
un vienā punktā atšķiras
, plkst
atšķiras abos punktos.

7.
.

Šeit mēs izmantosim faktu, ka
. Kopš tā laika pēc integrācijas pa vienam periodam,

Šīs sērijas konverģences apgabals ir pusintervāls
, konverģence uz funkciju iekšējos punktos izriet no teorēmas par pakāpes rindas integrāciju pa termiņam punktā X =1 — gan no funkcijas, gan pakāpju rindas summas nepārtrauktības visos punktos, patvaļīgi tuvu X =1 palicis. Ņemiet vērā, ka ņemot X =1, mēs atradīsim sērijas summu.

8. Integrējot sērijas terminu pēc termina, mēs iegūstam funkcijas paplašinājumu
. Veiciet visus aprēķinus pats, izrakstiet konverģences reģionu.

9. Pierakstīsim funkcijas paplašinājumu
pēc binominālās sērijas formulas ar
: . Saucējs
attēlots kā , dubultais faktoriāls
ir visu naturālo skaitļu reizinājums ar tādu pašu paritāti kā , Nepārsniedz . Izplešanās saplūst ar funkciju plkst
. Integrējot to pēc termiņa no 0 līdz X , saņemsim . Izrādās, ka šī sērija saplūst ar funkciju visā intervālā
; plkst X =1 mēs iegūstam vēl vienu skaistu skaitļa attēlojumu :
.

18.2.6.2. Problēmu risināšana, kas saistītas ar funkciju sērijas paplašināšanu. Lielākā daļa problēmu, kurās jums ir jāpaplašina elementāra funkcija jaudas sērijā
, tiek atrisināts, izmantojot standarta paplašinājumus. Par laimi, katrai pamata elementārajai funkcijai ir īpašība, kas ļauj to izdarīt. Apskatīsim vairākus piemērus.

1. Izvērsiet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. . Sērija saplūst plkst
.

2. Paplašiniet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums.
. Konverģences apgabals:
.

3. Paplašiniet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. . Sērija saplūst plkst
.

4. Izvērsiet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. . Sērija saplūst plkst
.

5. Izvērsiet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. . Konverģences reģions
.

6. Izvērsiet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. Izvērsumu otrā tipa vienkāršu racionālu daļskaitļu sērijā iegūst, pa rindkopai diferencējot atbilstošos pirmā tipa frakciju paplašinājumus. Šajā piemērā. Turklāt, diferencējot pa terminiem, mēs varam iegūt funkciju paplašinājumus
,
utt.

7. Izvērsiet funkciju
pa grādiem
.

Risinājums. Ja racionālā daļa nav vienkārša daļdaļa, tā vispirms tiek attēlota kā vienkāršu daļskaitļu summa:
, un pēc tam rīkojieties kā 5. piemērā: kur
.

Protams, šī pieeja nav piemērojama, piemēram, funkcijas sadalīšanai pa grādiem X . Šeit, ja jums ir jāiegūst daži pirmie Teilora sērijas termini, vienkāršākais veids ir atrast vērtības attiecīgajā punktā. X =0 nepieciešamo pirmo atvasinājumu skaits.

Katram naturālajam skaitlim, izņemot vienu, ir divi vai vairāki dalītāji. Piemēram, skaitlis 7 bez atlikuma dalās tikai ar 1 un 7, tas ir, tam ir divi dalītāji. Un skaitlim 8 ir dalītāji 1, 2, 4, 8, tas ir, uzreiz 4 dalītāji.

Kāda ir atšķirība starp pirmskaitļiem un saliktajiem skaitļiem?

Skaitļus, kuriem ir vairāk nekā divi dalītāji, sauc par saliktiem skaitļiem. Skaitļus, kuriem ir tikai divi dalītāji: viens un pats skaitlis, sauc par pirmskaitļiem.

Skaitlim 1 ir tikai viens dalījums, proti, pats skaitlis. Viens nav ne pirmskaitlis, ne salikts skaitlis.

Piemēram, skaitlis 7 ir galvenais un skaitlis 8 ir salikts.

Pirmie 10 pirmskaitļi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Skaitlis 2 ir vienīgais pāra pirmskaitlis, visi pārējie pirmskaitļi ir nepāra.

Skaitlis 78 ir salikts, jo papildus 1 un pašam tas dalās arī ar 2. Dalot ar 2, iegūstam 39. Tas ir, 78 = 2*39. Šādos gadījumos viņi saka, ka skaitlis tika ieskaitīts faktoros 2 un 39.

Jebkuru saliktu skaitli var sadalīt divos faktoros, no kuriem katrs ir lielāks par 1. Šis triks nedarbosies ar pirmskaitli. Tā tas notiek.

Skaitļu iekļaušana galvenajos faktoros

Kā minēts iepriekš, jebkuru salikto skaitli var iedalīt divos faktoros. Ņemsim, piemēram, skaitli 210. Šo skaitli var sadalīt divos faktoros 21 un 10. Bet arī skaitļi 21 un 10 ir salikti, sadalīsim tos divos faktoros. Mēs iegūstam 10 = 2 * 5, 21 = 3 * 7. Rezultātā skaitlis 210 tika sadalīts 4 faktoros: 2,3,5,7. Šie skaitļi jau ir pirmskaitļi, un tos nevar paplašināt. Tas ir, mēs iekļāvām skaitli 210 galvenajos faktoros.

Faktorējot saliktos skaitļus primārajos faktoros, tos parasti raksta augošā secībā.

Jāatceras, ka jebkuru saliktu skaitli var unikālā veidā sadalīt primārajos faktoros, līdz pat permutācijai.

Parasti, sadalot skaitli pirmfaktoros, tiek izmantoti dalāmības kritēriji.

Ieskaitīsim skaitli 378 primārajos faktoros

Mēs pierakstīsim ciparus, atdalot tos ar vertikālu līniju. Skaitlis 378 dalās ar 2, jo beidzas ar 8. Sadalot, iegūstam skaitli 189. Skaitļa 189 ciparu summa dalās ar 3, tas nozīmē, ka pats skaitlis 189 dalās ar 3. Rezultāts ir 63.

Arī skaitlis 63 dalās ar 3 atbilstoši dalāmībai. Iegūstam 21, skaitli 21 atkal var dalīt ar 3, iegūstam 7. Septiņi tiek dalīti tikai paši, mēs iegūstam vienu. Tas pabeidz sadalīšanu. Pa labi aiz rindas ir galvenie faktori, kuros tiek sadalīts skaitlis 378.

378|2
189|3
63|3
21|3