Taisnstūra trapecveida formā diagonāles ir savstarpējas. Trapeces diagonāles
Ja vienādsānu trapecē diagonāles ir perpendikulāras, uzdevuma risināšanā noderēs sekojošais teorētiskais materiāls.
1. Ja vienādsānu trapeces diagonāles ir perpendikulāras, trapeces augstums ir vienāds ar pusi no pamatu summas.
Novelkam caur punktu C taisni CF paralēli BD un pagarināsim taisni AD, līdz tā krustojas ar CF.
Četrstūris BCFD ir paralelograms (BC∥ DF kā trapeces pamats, BD∥ CF pēc konstrukcijas). Tātad CF=BD, DF=BC un AF=AD+BC.
Trijstūris ACF ir taisnleņķis (ja taisne ir perpendikulāra vienai no divām paralēlām taisnēm, tad tā ir perpendikulāra arī otrai taisnei). Tā kā vienādsānu trapecē diagonāles ir vienādas un CF=BD, tad CF=AC, tas ir, trīsstūris ACF ir vienādsānu ar bāzi AF. Tas nozīmē, ka tā augstums CN ir arī mediāna. Un tā kā taisnleņķa trijstūra mediāna, kas novilkta uz hipotenūzu, ir vienāda ar pusi no tās, tad
kas iekšā vispārējs skats var rakstīt kā
kur h ir trapeces augstums, a un b ir tās pamatnes.
2. Ja vienādsānu trapeces diagonāles ir perpendikulāras, tad tās augstums ir vienāds ar viduslīnija.
Tā kā trapeces m viduslīnija ir vienāda ar pusi no pamatu summas, tad
3. Ja vienādsānu trapeces diagonāles ir perpendikulāras, tad trapeces laukums ir vienāds ar trapeces augstuma kvadrātu (vai pamatu pussummas kvadrātu, vai viduslīnijas kvadrātu). ).
Tā kā trapeces laukums tiek atrasts pēc formulas
un vienādsānu trapeces ar perpendikulārām diagonālēm augstums, puse no pamatu summas un viduslīnija ir vienādi:
4. Ja vienādsānu trapeces diagonāles ir perpendikulāras, tad tās diagonāles kvadrāts ir vienāds ar pusi no pamatu summas kvadrāta, kā arī ar divkāršu augstuma kvadrātu un divreiz ar viduslīnijas kvadrātu.
Tā kā izliekta četrstūra laukumu var atrast caur tā diagonālēm un leņķi starp tām, izmantojot formulu
Atkal Pitagora trijstūris :))) Ja lielas diagonāles gabals no lielās pamatnes līdz krustojuma punktam ir apzīmēts ar x, tad no acīmredzamās taisnleņķa trijstūri ar vienādiem leņķiem līdzības izriet.x/64 = 36/x, tātad x = 48;48/64 = 3/ 4, tāpēc VISI taisnleņķa trijstūri, ko veido pamatnes, diagonāles un pamatnei perpendikulāra mala, ir līdzīgi trijstūrim ar malām 3,4,5. Vienīgais izņēmums ir trīsstūris, ko veido diagonāļu gabaliņi un slīpa mala, bet mūs tas neinteresē :). (Lai būtu skaidrs, līdzība par kuru mēs runājam par- vienkārši NOSAUKUMS DAŽĀDI trigonometriskās funkcijas leņķi :) mēs jau zinām leņķa tangensu starp lielo diagonāli un lielo pamatni, tas ir vienāds ar 3/4, kas nozīmē, ka sinuss ir 3/5, bet kosinuss ir 4/5 :)) Var uzreiz rakstīt
Atbildes. Apakšējā pamatne ir 80, trapeces augstums būs 60, bet augšējā - 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)
Līdzīgi uzdevumi:
1. Prizmas pamatne ir trīsstūris, kura viena mala ir 2 cm, bet pārējās divas ir 3 cm garas vienāda kuba.
2. Slīpās prizmas pamats ir vienādmalu trīsstūris ar malu a; viena no sānu malām ir perpendikulāra pamatnes plaknei un ir rombs, kura mazākā diagonāle ir vienāda ar c. Atrodiet prizmas tilpumu.
3. Slīpā prizmā pamatne ir taisnleņķa trīsstūris, kura hipotenūza ir vienāda ar c, viens ass stūris 30, sānu mala ir vienāda ar k un veido 60 leņķi ar pamatnes plakni. Atrodiet prizmas tilpumu.
1. Atrodiet kvadrāta malu, ja tās diagonāle ir 10 cm
2. Vienādsānu trapecē strups leņķis ir 135 grādi, pamatne ir 4 cm un augstums ir 2 cm, atrast trapeces laukumu?
3. Trapeces augstums ir 3 reizes lielāks par vienu no pamatnēm, bet uz pusi mazāks par otru. Atrodi trapeces pamatus un augstumu, ja trapeces laukums ir 168 cm kvadrāts?
4. Trijstūrī ABC leņķis A = Leņķī = 75 grādi. Atrodiet BC, ja trijstūra laukums ir 36 cm kvadrāts.
1. Trapecveida ABCD ar malām AB un CD diagonāles krustojas punktā O
a) Salīdziniet trīsstūru ABD un ACD laukumus
b) Salīdziniet trīsstūru ABO un CDO laukumus
c) Pierādiet, ka OA*OB=OC*OD
2. Vienādsānu trijstūra pamatne ir saistīta ar malu kā 4:3, un augstums, kas novilkts uz pamatni, ir 30 cm. Atrodiet segmentus, kuros leņķa bisektrise pie pamatnes sadala šo augstumu.
3. Līnija AM ir pieskares riņķim, AB ir šī riņķa horda. Pierādīt, ka leņķi MAB mēra ar pusi no loka AB, kas atrodas leņķa MAB iekšpusē.
- Nogrieznis, kas savieno trapeces diagonāļu viduspunktus, ir vienāds ar pusi no pamatu starpības
- Trijstūri, ko veido trapeces pamatnes un diagonāļu segmenti līdz to krustojuma punktam, ir līdzīgi
- Trijstūri, ko veido trapeces diagonāļu segmenti, kuru malas atrodas uz trapeces sānu malām - vienāda izmēra (ar vienādu laukumu)
- Ja jūs pagarināsiet trapeces malas uz mazāko pamatni, tad tās vienā punktā krustosies ar taisnu līniju, kas savieno pamatu viduspunktus
- Segmentu, kas savieno trapeces pamatus un iet caur trapeces diagonāļu krustpunktu, dala ar šo punktu proporcijā, kas vienāda ar trapeces pamatu garumu attiecību
- Nogrieznis, kas ir paralēls trapeces pamatiem un novilkts caur diagonāļu krustpunktu, tiek dalīts uz pusēm ar šo punktu, un tā garums ir vienāds ar 2ab/(a + b), kur a un b ir trapeces pamati. trapecveida
Trapeces diagonāļu viduspunktus savienojošā segmenta īpašības
Savienosim trapeces ABCD diagonāļu viduspunktus, kā rezultātā iegūsim nogriezni LM.
Nogrieznis, kas savieno trapeces diagonāļu viduspunktus atrodas uz trapeces viduslīnijas.
Šis segments paralēli trapeces pamatiem.
Tā posma garums, kas savieno trapeces diagonāļu viduspunktus, ir vienāds ar pusi no tā pamatu starpības.
LM = (AD — BC)/2
vai
LM = (a-b)/2
Trapecveida diagonāļu veidoto trīsstūru īpašības
Trijstūri, ko veido trapeces pamati un trapeces diagonāļu krustpunkts - ir līdzīgi.
Trijstūri BOC un AOD ir līdzīgi. Tā kā leņķi BOC un AOD ir vertikāli, tie ir vienādi.
Leņķi OCB un OAD ir iekšējie leņķi, kas atrodas šķērsām ar paralēlām taisnēm AD un BC (trapeces pamati ir paralēli viens otram) un šķērslīniju AC, tāpēc tie ir vienādi.
Leņķi OBC un ODA ir vienādi tā paša iemesla dēļ (iekšēji šķērsām).
Tā kā visi trīs viena trijstūra leņķi ir vienādi ar cita trijstūra atbilstošajiem leņķiem, tad šie trīsstūri ir līdzīgi.
Kas no tā izriet?
Lai atrisinātu ģeometrijas uzdevumus, trīsstūru līdzība tiek izmantota šādi. Ja zinām divu atbilstošo elementu garumus līdzīgi trīsstūri, tad atrodam līdzības koeficientu (dalām vienu ar otru). No kurienes visu pārējo elementu garumi ir saistīti viens ar otru ar tieši tādu pašu vērtību.
Trapeces sānu malās esošo trīsstūru un diagonāļu īpašības
Apsveriet divus trīsstūrus, kas atrodas trapeces AB un CD sānu malās. Tie ir trīsstūri AOB un COD. Neskatoties uz to, ka šo trīsstūru atsevišķu malu izmēri var būt pilnīgi atšķirīgi, bet trijstūru laukumi, ko veido trapeces sānu malas un diagonāļu krustpunkts, ir vienādi, tas ir, trīsstūri ir vienāda izmēra.
Ja mēs pagarināsim trapeces malas uz mazāko pamatni, tad malu krustošanās punkts būs sakrīt ar taisnu līniju, kas iet caur pamatu vidu.
Tādējādi jebkuru trapecveida formu var izvērst trīsstūrī. Kurā:
- Trijstūri, ko veido trapeces pamati ar kopīgu virsotni pagarināto malu krustpunktā, ir līdzīgi
- Taisnā līnija, kas savieno trapeces pamatu viduspunktus, tajā pašā laikā ir konstruētā trīsstūra mediāna
Trapeces pamatus savienojošā segmenta īpašības
Ja jūs uzzīmējat segmentu, kura gali atrodas uz trapeces pamatiem, kas atrodas trapeces diagonāļu (KN) krustpunktā, tad to veidojošo segmentu attiecība no pamatnes malas līdz krustojuma punktam. diagonāles (KO/ON) būs vienāds ar trapeces pamatu attiecību(BC/AD).
KO/ON = BC/AD
Šī īpašība izriet no atbilstošo trīsstūru līdzības (skatīt iepriekš).
Trapeces pamatiem paralēlā segmenta īpašības
Ja mēs uzzīmēsim segmentu, kas ir paralēls trapeces pamatiem un iet caur trapeces diagonāļu krustošanās punktu, tad tam būs šādas īpašības:
- Norādītais attālums (KM) dalīts ar trapecveida diagonāļu krustpunktu
- Sadaļas garums kas iet caur trapeces diagonāļu krustpunktu un paralēli pamatiem ir vienāds ar KM = 2ab/(a + b)
Formulas trapeces diagonāļu atrašanai
a, b- trapecveida pamatnes
c,d- trapeces malas
d1 d2- trapeces diagonāles
α β - leņķi ar lielāku trapeces pamatni
Formulas trapeces diagonāļu atrašanai caur pamatiem, malām un leņķiem pie pamatnes
Pirmā formulu grupa (1-3) atspoguļo vienu no galvenajām trapecveida diagonāļu īpašībām:
1. Trapeces diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar malu kvadrātu summu plus divkārša tās pamatu reizinājums. Šo trapecveida diagonāļu īpašību var pierādīt kā atsevišķu teorēmu
2 . Šī formula iegūts, pārveidojot iepriekšējo formulu. Otrās diagonāles kvadrāts tiek izmests caur vienādības zīmi, pēc kura kvadrātsakne tiek izvilkta no izteiksmes kreisās un labās puses.
3 . Šī trapeces diagonāles garuma atrašanas formula ir līdzīga iepriekšējai, ar atšķirību, ka izteiksmes kreisajā pusē ir atstāta cita diagonāle
Nākamā formulu grupa (4-5) ir līdzīgas pēc nozīmes un izsaka līdzīgas attiecības.
Formulu grupa (6-7) ļauj atrast trapeces diagonāli, ja ir zināma trapeces lielākā pamatne, viena sānu mala un leņķis pie pamatnes.
Formulas trapeces diagonāļu atrašanai augstumā
Uzdevums.
Trapeces ABCD (AD | | BC) diagonāles krustojas punktā O. Atrodiet trapeces pamatnes BC garumu, ja pamatne AD = 24 cm, garums AO = 9 cm, garums OS = 6 cm.
Risinājums.
Šīs problēmas risinājums ideoloģijā ir absolūti identisks iepriekšējām problēmām.
Trijstūri AOD un BOC ir līdzīgi trīs leņķos - AOD un BOC ir vertikāli, un pārējie leņķi ir pa pāriem vienādi, jo tos veido vienas taisnes un divu paralēlu līniju krustojums.
Tā kā trijstūri ir līdzīgi, visi to ģeometriskie izmēri ir saistīti viens ar otru, tāpat kā mums zināmie segmentu AO un OC ģeometriskie izmēri atbilstoši uzdevuma nosacījumiem. Tas ir
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/BC
BC = 24 * 6/9 = 16
Atbilde: 16 cm
Uzdevums .
Trapecē ABCD zināms, ka AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Atrodiet trapeces laukumu. 
Risinājums.
Lai atrastu trapeces augstumu no mazākās bāzes B un C virsotnēm, mēs pazeminām divus augstumus uz lielāko pamatni. Tā kā trapece ir nevienāda, mēs apzīmējam garumu AM = a, garumu KD = b ( nedrīkst sajaukt ar apzīmējumu formulā trapeces laukuma atrašana). Tā kā trapeces pamati ir paralēli, un mēs nolaidām divus augstumus perpendikulāri lielākajai pamatnei, tad MBCK ir taisnstūris.
Līdzekļi
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trijstūri DBM un ACK ir taisnstūrveida, tāpēc to taisnos leņķus veido trapeces augstumi. Apzīmēsim trapeces augstumu ar h. Tad pēc Pitagora teorēmas
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Un
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Ņemsim vērā, ka a = 16 - b, tad pirmajā vienādojumā
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Aizstāsim augstuma kvadrāta vērtību ar otro vienādojumu, kas iegūts, izmantojot Pitagora teorēmu. Mēs iegūstam:
425 — (8 + b) 2 + (24 – b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Tātad KD = 12
Kur
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Atrodiet trapeces laukumu caur tās augstumu un pusi no tās pamatu summas
, kur a b - trapeces pamatne, h - trapeces augstums
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm2
Atbilde: trapeces laukums ir 80 cm2.