Krustpunkta augstumi tiek dalīti ar attiecību. Nodarbības kopsavilkums "teorēma par trijstūra augstumu krustpunktu"

Nodarbībā ir trijstūra augstuma atrašanas īpašību un formulu apraksts, kā arī uzdevumu risināšanas piemēri. Ja neesat atradis piemērotas problēmas risinājumu - rakstiet par to forumā. Protams, kurss tiks atjaunināts.

Trijstūra AUGSTUMS

Trīsstūra augstums- no trijstūra virsotnes nomests perpendikuls, kas novilkts uz pretējo virsotnes malu vai tās turpinājumu.

Īpašības trijstūra augstumi:

Ja trijstūrī divi augstumi ir vienādi, tad šāds trīsstūris ir vienādsānu
Jebkurā trijstūrī segments, kas savieno trijstūra divu augstumu pamatus, nogriež trīsstūri, kas ir līdzīgs dotajam
Trijstūrī līnijas nogrieznis, kas savieno trijstūra divu augstumu pamatus, kas atrodas no divām pusēm, nav paralēls trešajai malai, ar kuru tam nav kopīgi punkti. Caur diviem tā galiem, kā arī caur divām šīs malas virsotnēm vienmēr var uzzīmēt apli
Akūtā trijstūrī tā divi augstumi nogriež līdzīgus trīsstūrus.
Trijstūra minimālais augstums vienmēr ir šajā trīsstūrī

Trīsstūra ortocentrs

Visi trīs trīsstūra augstumi (novilkti no trim virsotnēm) krustojas vienā punktā, kas ir sauc par ortocentru. Lai atrastu augstumu krustpunktu, pietiek uzzīmēt divus augstumus (divas līnijas krustojas tikai vienā punktā).

Ortocentra atrašanās vietu (punkts O) nosaka trīsstūra veids.

Akūtā trijstūrī augstumu krustošanās punkts atrodas trijstūra plaknē. (1. att.).

Taisnleņķa trijstūrim augstumu krustpunkts sakrīt ar taisnā leņķa virsotni (2. att.).

Strupā trijstūrī augstumu krustošanās punkts atrodas aiz trijstūra plaknes (3. att.).

Vienādsānu trijstūrī mediāna, bisektrise un augstums, kas novilkts līdz trijstūra pamatnei, ir vienādi.

Vienādmalu trīsstūrī visas trīs "ievērojamās" līnijas (augstums, bisektrise un mediāna) sakrīt, un trīs "ievērojamie" punkti (ortocentra punkti, smaguma centrs un ierakstīto un ierobežoto apļu centrs) atrodas vienā un tajā pašā krustošanās punktā. "ievērojamās" līnijas, t.i. arī sakrīt.

AUGSTS STRIKUTNIKS

Trikoutnika augstums - izlaidumi no tricutnik augšdaļas perpendikulāri, zīmējot uz pretējo virsotni bіk vai її prodovzhennya.

Visi trīs tricutnika augstumi (tiek veikti no trim virsotnēm) pārklājas vienā punktā, kā to sauc par ortocentru. Lai uzzinātu augstuma līnijas punktu, veiciet to, lai novilktu divus augstumus (divas taisnas līnijas savijas tikai vienā punktā).

Ortocentra atrašanās vieta (punkts O) tiek noteikta pēc trikotāžas veida.

Gostrokutny tricutnik vertikālās līnijas punkts atrodas tricutnik zonā. (Mal.1).

Taisngriezuma trikutnikā vertikālās augstuma līnijas punkts paceļas no taisnās kutas augšdaļas (Mal. 2).

Strupleņķa trikotnikā vertikālās līnijas punkts atrodas aiz trikutnika plaknes (3. mal.).

Vienāds augšstilba kaula trikotāžas gadījumā izvairās no mediānas, bisektīvas un augstuma, kas pievilktas līdz trikotāžas pamatnei.

Vienādmalā trikotāžā iet visas trīs “piezīmju” līnijas (augstums, bisectrix un mediāna) un atrodas trīs “piezīmju” punkti (ortocentra punkti, vagas centrs un ierakstītā un ierobežotā kila centrs). vienā “piezīmju” līniju šķērsstieņa punktā, tātad tās ir tezh.

Formulas trijstūra augstuma noteikšanai

Attēls ir parādīts, lai atvieglotu trīsstūra augstuma noteikšanas formulu uztveri. Vispārējs noteikums- sānu garums ir norādīts ar mazu burtu pretī atbilstošajam leņķim. Tas ir, mala a atrodas pretējā leņķī A.
Augstumu formulās apzīmē ar burtu h, kura apakšindekss atbilst pusei, uz kuras tas ir nolaists.

Citi apzīmējumi:
a,b,c- trijstūra malu garumi
h a- trijstūra augstums, kas novilkts uz malu a no pretējā leņķa
h b- augstums novilkts uz sāniem b
h c- augstums novilkts uz sāniem c
R- ierobežotā apļa rādiuss
r- ierakstītā apļa rādiuss

Formulu skaidrojumi.
Trijstūra augstums ir vienāds ar tās malas garuma reizinājumu, kas atrodas blakus leņķim, no kura šis augstums ir pazemināts par leņķa sinusu starp šo malu un malu, kurā šāds augstums ir pazemināts (Formula 1)
Trijstūra augstums ir vienāds ar trijstūra laukuma divkāršo daļu, kas dalīta ar tās malas garumu, līdz kurai šis augstums ir pazemināts (Formula 2)
Trijstūra augstums ir vienāds ar to malu reizinājumu, kas atrodas blakus leņķim, no kura šis augstums ir pazemināts, par divreiz lielāku ap to apzīmētā riņķa rādiusu (4. formula).
Trijstūra malu augstumi ir saistīti viens ar otru tādā pašā proporcijā kā viena un tā paša trijstūra malu garumu apgrieztās proporcijas ir saistītas viena ar otru, un trijstūra malu pāru reizinājumi, kuriem ir kopīgs leņķis ir saistīti viens ar otru tādā pašā proporcijā (5. formula).
Trijstūra augstumu savstarpējo vērtību summa ir vienāda ar šādā trijstūrī ierakstītā apļa rādiusa apgriezto vērtību (Formula 6)
Trijstūra laukumu var atrast caur šī trijstūra augstumu garumiem (Formula 7)
Trijstūra malas garumu, uz kuras ir pazemināts augstums, var uzzināt, izmantojot 7. un 2. formulu.

Uzdevums priekš .

taisnstūrī trīsstūris ABC(leņķis C = 90 0) tiek uzzīmēts augstums CD. Nosakiet CD, ja AD = 9 cm, BD = 16 cm

Risinājums.

Trijstūri ABC, ACD un CBD ir līdzīgi. Tas izriet tieši no otrā līdzības kritērija (leņķu vienādība šajos trīsstūros ir acīmredzama).

Taisni trīsstūri ir vienīgais trijstūris, ko var sagriezt divos trīsstūros, kas ir līdzīgi viens otram un sākotnējam trīsstūrim.

Šo trīs trīsstūru apzīmējumi šajā virsotņu secībā: ABC, ACD, CBD. Tādējādi mēs vienlaikus parādām virsotņu atbilstību. (Trijstūra ABC virsotne A atbilst arī trijstūra ACD virsotnei A un trijstūra CBD virsotnei C utt.)

Trijstūri ABC un CBD ir līdzīgi. Līdzekļi:

AD/DC = DC/BD, t.i.

Pitagora teorēmas pielietošanas uzdevums.

Trijstūris ABC ir taisnleņķa trīsstūris. Šajā gadījumā C ir taisns leņķis. No tā tiek izvilkts augstums CD=6cm. Segmentu starpība BD-AD=5 cm.

Atrast: Trijstūra ABC malas.

Risinājums.

1. Sastādiet vienādojumu sistēmu pēc Pitagora teorēmas

CD2+BD2=BC2

CD2+AD2=AC2

jo CD=6

Tā kā BD-AD=5, tad

BD = AD+5, tad vienādojumu sistēma iegūst formu

36+(AD+5) 2 =BC 2

Saskaitīsim pirmo un otro vienādojumu. Tā kā kreisā puse tiek pievienota kreisajai pusei, bet labā puse - labajā pusē, vienlīdzība netiks pārkāpta. Mēs iegūstam:

36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

2. Tagad, skatoties uz trijstūra sākotnējo zīmējumu, saskaņā ar to pašu Pitagora teorēmu vienādībai jābūt patiesai:

AC 2 + BC 2 = AB 2

Tā kā AB=BD+AD, vienādojums kļūst:

AC2+BC2=(AD+BD)2

Tā kā BD-AD=5, tad BD = AD+5, tad

AC2+BC2=(AD+AD+5)2

3. Tagad apskatīsim rezultātus, ko ieguvām, risinot pirmo un otro risinājuma daļu. Proti:

72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2

AC2+BC2=(AD+AD+5)2

Viņiem ir vispārējā daļa AC 2 + BC 2 . Tādējādi mēs tos pielīdzinām viens otram.

72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2

72+AD 2+10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25

2AD 2 -10AD+72=0

Saņemtajā kvadrātvienādojums diskriminants ir vienāds ar D=676, vienādojuma saknes ir:

Tā kā segmenta garums nevar būt negatīvs, mēs atmetam pirmo sakni.

Attiecīgi

AB=BD+AD=4+9=13

Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs atrodam atlikušās trīsstūra malas:

AC = sakne no (52)

Trīsstūri.

Pamatjēdzieni.

Trīsstūris- šis ir skaitlis, kas sastāv no trim segmentiem un trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnas līnijas.

Segmentus sauc ballītēm, un punkti virsotnes.

Leņķu summa trīsstūris ir vienāds ar 180º.

Trīsstūra augstums.

Trīsstūra augstums ir perpendikuls, kas novilkts no virsotnes uz pretējo pusi.

Akūtā leņķa trijstūrī augstums ir ietverts trijstūra iekšpusē (1. att.).

Taisnstūra trīsstūrī kājas ir trijstūra augstumi (2. att.).

Strupā trijstūrī augstums iet ārpus trijstūra (3. att.).

Trīsstūra augstuma īpašības:

Trijstūra bisektrise.

Trijstūra bisektrise- tas ir segments, kas sadala virsotnes stūri uz pusēm un savieno virsotni ar punktu pretējā pusē (5. att.).

Bisektoru īpašības:

Trijstūra mediāna.

Trīsstūra mediāna- tas ir segments, kas savieno virsotni ar pretējās puses vidu (9.a att.).

Mediānas garumu var aprēķināt, izmantojot formulu:

2b 2 + 2c 2 - a 2
m a 2 = ——————
4

Kur m a- vidusdaļa novilkta uz sāniem A.

Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzai novilktā mediāna ir puse no hipotenūzas:

c
mc = —
2

Kur mc ir mediāna, kas piesaistīta hipotenūzai c(9.c att.)

Trijstūra mediānas krustojas vienā punktā (trijstūra masas centrā) un tiek dalītas ar šo punktu attiecībā 2:1, skaitot no augšas. Tas ir, segments no virsotnes līdz centram ir divreiz lielāks par segmentu no trijstūra centra līdz malai (9.c att.).

Trīs trijstūra mediānas sadala to sešos vienāda laukuma trīsstūros.

vidējā līnija trīsstūris.

Trijstūra vidējā līnija- tas ir segments, kas savieno tā abu malu viduspunktus (10. att.).

Trijstūra viduslīnija ir paralēla trešajai malai un vienāda ar pusi no tās.

Trijstūra ārējais stūris.

ārējais stūris trīsstūris ir vienāda ar summu divi neblakus esošie iekšējie stūri (11. att.).

Trijstūra ārējais leņķis ir lielāks par jebkuru leņķi, kas nav blakus.

Taisns trīsstūris.

Taisns trīsstūris- tas ir trīsstūris, kuram ir taisns leņķis (12. att.).

Tiek saukta taisnleņķa trijstūra mala, kas ir pretēja taisnajam leņķim hipotenūza.

Pārējās divas puses sauc kājas.

Proporcionāli segmenti taisnleņķa trijstūrī.

1) Taisnleņķa trijstūrī augstums, kas novilkts no taisnleņķa, veido trīs līdzīgi trīsstūri: ABC, ACH un HCB (14.a att.). Attiecīgi leņķi, ko veido augstums, ir vienādi ar leņķiem A un B.

Att.14a

Vienādsānu trīsstūris.

Vienādsānu trīsstūris- tas ir trīsstūris, kura divas malas ir vienādas (13. att.).

Šīs vienādas puses sauca puses, un trešais pamata trīsstūris.

Vienādsānu trijstūrī leņķi pie pamatnes ir vienādi. (Mūsu trīsstūrī leņķis A vienāds ar leņķi C).

Vienādsānu trijstūrī mediāna, kas novilkta uz pamatni, ir gan trijstūra bisektrise, gan augstums.

Vienādmalu trīsstūris.

Vienādmalu trīsstūris ir trijstūris, kura visas malas ir vienādas (14. att.).

Vienādmalu trīsstūra īpašības:

Ievērojamas trīsstūru īpašības.

Trijstūriem ir oriģinālas īpašības, kas palīdzēs veiksmīgi atrisināt ar šīm formām saistītās problēmas. Dažas no šīm īpašībām ir aprakstītas iepriekš. Bet mēs tos atkārtojam vēlreiz, pievienojot tiem dažas citas lieliskas funkcijas:

1) taisnleņķa trīsstūrī ar leņķiem 90º, 30º un 60º, kāja b, kas atrodas pretī 30º leņķim, ir vienāds ar puse no hipotenūzas. Kājaa vairāk kājub√3 reizes (15. att.). A). Piemēram, ja b kājiņa ir 5, tad hipotenūza c obligāti vienāds ar 10, un kāju A vienāds ar 5√3.

2) Taisnleņķa vienādsānu trīsstūrī ar leņķiem 90º, 45º un 45º hipotenūza ir √2 reizes lielāka par kāju (15. att. b). Piemēram, ja kājas ir 5, tad hipotenūza ir 5√2.

3) Trijstūra viduslīnija ir puse paralēlā puse(15. att Ar). Piemēram, ja trijstūra mala ir 10, tad tai paralēlā viduslīnija ir 5.

4) Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzai novilktā mediāna ir vienāda ar pusi no hipotenūzas (9.c att.): mc= c/2.

5) Trijstūra mediānas, kas krustojas vienā punktā, tiek dalītas ar šo punktu attiecībā 2:1. Tas ir, segments no virsotnes līdz mediānu krustpunktam ir divreiz lielāks par segmentu no mediānu krustošanās punkta līdz trijstūra malai (9.c att.)

6) Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas viduspunkts ir ierobežotā apļa centrs (15. att. d).

Trīsstūru vienādības zīmes.

Pirmā vienlīdzības zīme: Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Otrā vienlīdzības zīme: ja viena trijstūra mala un tai piegulošie leņķi ir vienādi ar cita trijstūra malu un tai blakus esošajiem leņķiem, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Trešā vienlīdzības zīme: Ja viena trijstūra trīs malas ir vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

Trijstūra nevienlīdzība.

Jebkurā trīsstūrī katra mala ir mazāka par pārējo divu malu summu.

Pitagora teorēma.

Taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu:

c 2 = a 2 + b 2 .

Trijstūra laukums.

1) Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā malas reizinājuma un augstuma, kas novilkta uz šo pusi:

Ak
S = ——
2

2) Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no jebkuru divu tā malu reizinājuma un leņķa sinusa starp tām:

1
S = — AB · AC · grēks A
2

Trīsstūris, kas norobežots ap apli.

Apli sauc par ierakstītu trijstūrī, ja tas skar visas tā malas (16. att.). A).

Aplī ierakstīts trīsstūris.

Trīsstūri sauc par ierakstītu aplī, ja tas pieskaras tam ar visām virsotnēm (17. att. a).

Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trīsstūris (18. att.).

Sinus akūts leņķis x pretī katetru hipotenūzai.
Apzīmēts šādi: grēksx.

Kosinuss akūts leņķis x taisnleņķa trīsstūris ir attiecība blakus katetru hipotenūzai.
To apzīmē šādi: cos x.

Pieskares akūts leņķis x ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo kāju.
Apzīmēts šādi: tgx.

Kotangenss akūts leņķis x ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kāju.
Apzīmēts šādi: ctgx.

Noteikumi:

Kāja pretējā stūrī x, ir vienāds ar hipotenūzas un grēka reizinājumu x:

b=c grēks x

Kāja blakus stūrim x, ir vienāds ar hipotenūzas un cos reizinājumu x:

a = c cos x

Kāja pretējā stūrī x, ir vienāds ar otrā posma un tg reizinājumu x:

b = a tg x

Kāja blakus stūrim x, ir vienāds ar otrās kājas un ctg reizinājumu x:

a = b ctg x.

Jebkuram asam leņķim x:

grēks (90° - x) = cos x

cos (90°- x) = grēks x

Trīsstūris) vai iziet ārpus trijstūra pie neasā trijstūra.

Enciklopēdisks YouTube

1 / 5

✪ Trijstūra VIDĒJĀS BISKTRIKSA AUGSTUMS 7. pakāpe

✪ bisektrise, mediāna, trijstūra augstums. Ģeometrija 7. klase

✪ 7. klase, 17. stunda, trijstūra mediānas, bisektrise un augstumi

✪ Mediāna, Bisektrise, Trīsstūra augstums | Ģeometrija

✪ Kā atrast bisektora garumu, mediānu un augstumu? | Tērzēt ar mani #031 | Boriss Trušins

Subtitri

Trīsstūra trīsstūra augstumu (ortocentra) krustošanās punkta īpašības

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ virs labā bultiņa (CA))+(\overright arrow (EC))\cdot (\overright arrow (AB))=0)

(Lai pierādītu identitāti, jāizmanto formulas

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA) )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EK)))

Punkts E jāuzskata par trijstūra divu augstumu krustpunktu.)

Ortocentrs izogonāls konjugāts ar centru ierobežots aplis .
Ortocentrs atrodas uz vienas līnijas ar centroīdu, centru ierobežots aplis un apļa centrs deviņi punkti (skat. Eilera līniju).
Ortocentrs akūts trīsstūris ir tā ortotrijstūrī ierakstīta riņķa centrs.
Trijstūra centrs, ko apraksta ortocentrs ar virsotnēm dotā trijstūra malu viduspunktos. Pēdējo trīsstūri sauc par papildu trīsstūri attiecībā pret pirmo trīsstūri.
Pēdējo īpašību var formulēt šādi: Ap trijstūri norobežota apļa centrs kalpo ortocentrs papildu trijstūris.
Punkti, simetriski ortocentrs trijstūris attiecībā pret tā malām atrodas uz ierobežotā apļa.
Punkti, simetriski ortocentrs trijstūri attiecībā pret malu viduspunktiem arī atrodas uz ierobežotā apļa un sakrīt ar punktiem, kas ir diametrāli pretēji attiecīgajām virsotnēm.
Ja O ir ierobežotā apļa ΔABC centrs, tad O H → = O A → + O B → + O C → (\displeja stils (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
Attālums no trijstūra virsotnes līdz ortocentram ir divreiz lielāks par attālumu no ierobežotā apļa centra līdz pretējai malai.
Jebkurš segments, kas novilkts no ortocentrs vienmēr sadala Eilera apli uz pusēm, līdz tas šķērso apli. Ortocentrs ir šo divu apļu viendabīguma centrs.
Teorēma Hamiltons. Trīs līnijas segmenti, kas savieno ortocentru ar akūtā leņķa trijstūra virsotnēm, sadala to trīs trīsstūros, kuriem ir tāds pats Eilera aplis (deviņu punktu aplis) kā sākotnējam akūtleņķa trijstūrim.
Hamiltona teorēmas sekas:
- Trīs līniju segmenti, kas savieno ortocentru ar akūtā leņķa trijstūra virsotnēm, sadala to trīs daļās Hamiltona trīsstūris kam ir vienādi ierobežotu apļu rādiusi.
- Trīs ierobežoto apļu rādiusi Hamiltona trīsstūri ir vienādi ar apļa rādiusu, kas ir ierobežots ap sākotnējo akūtā leņķa trīsstūri.
Akūtā trijstūrī ortocentrs atrodas trīsstūra iekšpusē; strupā - ārpus trijstūra; taisnstūrveida formā - taisna leņķa virsotnē.

Vienādsānu trijstūra augstumu īpašības

Ja trijstūrī divi augstumi ir vienādi, tad trijstūris ir vienādsānu (Šteinera-Lemusa teorēma), un trešais augstums ir gan leņķa, no kura tas iziet, mediāna un bisektrise.
Ir arī otrādi: vienādsānu trīsstūrī divi augstumi ir vienādi, un trešais augstums ir gan mediāna, gan bisektrise.
Vienādmalu trīsstūrim visi trīs augstumi ir vienādi.

Trijstūra augstumu pamatu īpašības

Pamati augstumi veido tā saukto ortotrijstūri, kuram ir savas īpašības.
Aplis, kas apzīmēts netālu no ortotrijstūra, ir Eilera aplis. Uz šī apļa atrodas arī trīs trijstūra malu viduspunkti un trīs nogriežņu viduspunkti, kas savieno ortocentru ar trijstūra virsotnēm.
Vēl viens pēdējā īpašuma formulējums:
- Eilera teorēma apļa deviņiem punktiem. Pamati trīs augstumi patvaļīgs trīsstūris, tā trīs malu viduspunkti ( tās iekšējās pamati mediānas) un trīs segmentu viduspunkti, kas savieno tā virsotnes ar ortocentru, visi atrodas uz viena apļa (uz deviņu punktu aplis).
Teorēma. Jebkurā trīsstūrī savienojošais līnijas posms pamatojums divi augstumi trijstūris nogriež dotajam līdzīgu trīsstūri.
Teorēma. Trijstūrī līnijas posms savienojas pamatojums divi augstumi trīsstūri no divām pusēm antiparalēli trešā persona, ar kuru viņam nav kopīgu punktu. Caur tā diviem galiem, kā arī caur divām trešās minētās malas virsotnēm vienmēr ir iespējams novilkt apli.

Citas trīsstūra augstumu īpašības

Ja trīsstūris daudzpusīgs (skalēns), tad tā iekšējais bisektrise, kas novilkta no jebkuras virsotnes, atrodas starp iekšējais mediāna un augstums, kas ņemts no vienas virsotnes.
Trijstūra augstums ir izogonāli konjugēts ar diametru (rādiusu) ierobežots aplis vilkts no tās pašas virsotnes.
Akūtā leņķa trijstūrī divi augstumi nogrieziet no tā līdzīgus trīsstūrus.
Taisnstūra trijstūrī augstums, kas novilkta no taisnā leņķa virsotnes, sadala to divos trīsstūros, kas ir līdzīgi sākotnējam.

Trijstūra minimālā augstuma īpašības

Trijstūra minimālajam augstumam ir daudz ekstrēmu īpašību. Piemēram:

Trijstūra minimālās ortogonālās projekcijas uz taisnēm, kas atrodas trijstūra plaknē, garums ir vienāds ar mazāko no tā augstumiem.
Minimālajam taisnajam griezumam plaknē, caur kuru var izvilkt neelastīgu trīsstūrveida plāksni, jābūt vienādam ar šīs plāksnes mazāko augstumu.
Nepārtraukti kustoties diviem punktiem pa trijstūra perimetru vienam pret otru, maksimālais attālums starp tiem kustības laikā no pirmās tikšanās uz otro nedrīkst būt mazāks par trijstūra mazākā augstuma garumu.
Trijstūra minimālais augstums vienmēr ir šajā trīsstūrī.

Pamata attiecības

h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a))) Kur S (\displaystyle S)- trīsstūra laukums, a (\displaystyle a)- trijstūra malas garums, uz kura ir pazemināts augstums.
h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),) Kur b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- sānu produkts, R − (\displaystyle R-) ierobežotā apļa rādiuss
h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), Kur r (\displaystyle r) ir ierakstītā apļa rādiuss.
S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c - 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c - 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c) ))))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), Kur S (\displaystyle S) - trijstūra laukums.
a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c - 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c - 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (a))))))))), a (\displaystyle a)- trijstūra mala, uz kuru krīt augstums h a (\displaystyle h_(a)).
Vienādsānu trīsstūra augstums, kas nolaists līdz pamatnei: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2, (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))

Kur c (\displaystyle c)- bāze, a (\displaystyle a)- sānu.

Teorēma par taisnleņķa trijstūra augstumu

Ja augstums taisnleņķa trijstūrī ABC ir h (\displaystyle h), kas novilkta no taisna leņķa virsotnes, dala hipotenūzu ar garumu c (\displaystyle c) segmentos m (\displaystyle m) Un n (\displaystyle n) kas atbilst kājām b (\displaystyle b) Un a (\displaystyle a), tad šādas vienādības ir patiesas.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas kārtību, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citu sabiedrības interešu apsvērumu dēļ.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.