Метод полных дифференциалов. Уравнения в полных дифференциалах
Рассмотрен метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
СодержаниеОпределение
Пусть s(x)
,
q(x)
- функции от переменной x
;
p(y)
,
r(y)
- функции от переменной y
.
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными - это уравнение вида
Метод решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим уравнение:
(i) .
Выразим производную y′
через дифференциалы.
;
.
Умножим на dx
.
(ii)
Разделим уравнение на s(x)
r(y)
.
Это можно сделать, если s(x)
r(y) ≠ 0
.
При s(x)
r(y) ≠ 0
имеем
.
Интегрируя, получаем общий интеграл в квадратурах
(iii) .
Поскольку мы делили на s(x)
r(y)
,
то получили интеграл уравнения при s(x) ≠ 0
и r(y) ≠ 0
.
Далее нужно решить уравнение
r(y) = 0
.
Если это уравнение имеют корни, то они также являются решениями уравнения (i). Пусть уравнение r(y) = 0
.
имеет n
корней a i
,
r(a i ) = 0
,
i = 1, 2, ... ,
n
.
Тогда постоянные y = a i
являются решениями уравнения (i). Часть этих решений может уже содержаться в общем интеграле (iii).
Заметим, что если исходное уравнение задано в форме (ii), то следует также решить уравнение
s(x) = 0
.
Его корни b j
,
s(b j ) = 0
,
j = 1, 2, ... ,
m
.
дают решения x = b j
.
Пример решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
Решить уравнение
Выразим производную через дифференциалы:
Умножим на dx
и разделим на .
При y ≠ 0
имеем:
Интегрируем.
Вычисляем интегралы, применяя формулу .
Подставляя, получаем общий интеграл уравнения
.
Теперь рассмотрим случай, y = 0
.
Очевидно, что y = 0
является решением исходного уравнения. Оно не входит в общий интеграл .
Поэтому добавим его в окончательный результат.
; y = 0 .
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.
В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V , которая также является производной по времени t от перемещения S . Т.е.
Тогда
получаем:
- уравнение связывает функцию f(t)
с независимой переменной t
и производной второго порядка функции
f(t).
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением , если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Пример.
-
обыкновенное дифференциальное уравнение
1 – го порядка. В общем виде записывается
.
-
обыкновенное дифференциальное уравнение
2 – го порядка. В общем виде записывается
-
дифференциальное уравнение в частных
производных первого порядка.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Свойства общего решения.
1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.
2) При каких- либо начальных условиях х = х 0 , у(х 0) = у 0 существует такое значение С = С 0 , при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С 0).
Определение. Решение вида у = (х, С 0) называется частным решением дифференциального уравнения.
Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С 0), удовлетворяющего начальным условиям у(х 0) = у 0 .
Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)
Если
функция
f
(x
,
y
)
непрерывна в некоторой области
D
в плоскости
XOY
и имеет в этой области непрерывную
частную производную
,
то какова бы не была точка (х
0
,
у
0
)
в области
D
,
существует единственное решение
уравнения
,
определенное в некотором интервале,
содержащем точку х
0
,
принимающее при х = х
0
значение
(х
0
)
= у
0
,
т.е. существует единственное решение
дифференциального уравнения.
Определение.
Интегралом
дифференциального
уравнения называется любое уравнение,
не содержащее производных, для которого
данное дифференциальное уравнение
является следствием.
Пример.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:
Теперь
интегрируем:
-
это общее решение исходного дифференциального
уравнения.
Допустим, заданы некоторые начальные условия: x 0 = 1; y 0 = 2, тогда имеем
При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).
Определение. Интегральной кривой называется график y = (x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.
Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.
Особые решения не зависят от постоянной С.
Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.
Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.
Пример.
Найти особое решение, если оно существует.
Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С 1 = 0 ошибочно, ведь C 1 = e C 0.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:
Если
такое соотношение преобразовать к виду
то это дифференциальное уравнение
первого порядка будет называться
уравнением,разрешенным
относительно производной.
Функцию
f(x,y)
представим в виде:
тогда при подстановке в полученное выше
уравнение имеем:
это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.
Уравнения вида y ’ = f ( x ).
Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале
a
< x
< b.
В таком случае все решения данного
дифференциального уравнения находятся
как
.
Если заданы начальные условия х 0
и у 0 ,
то можно определить постоянную С.
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение.
Дифференциальное уравнение
называетсяуравнением
с разделяющимися переменными
,
если его можно записать в виде
.
Такое уравнение можно представить также в виде:
Перейдем
к новым обозначениям
Получаем:
После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Пример.
Найти общее решение дифференциального
уравнения:
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям. ):
это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.
-
верно
Пример.
Найти решение дифференциального
уравнения
при условии у(2) = 1.
при у(2) = 1 получаем
Итого:
или
- частное решение;
Проверка:
, итого
-
верно.
Пример.
Решить уравнение
-
общий интеграл
-
общее решение
Пример.
Решить уравнение
Пример.
Решить уравнение
при
условии у(1) = 0.
Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям. ).
Если у(1) = 0, то
Итого,
частный интеграл:
.
Пример. Решить уравнение .
Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:
Пример.
Решить уравнение
Преобразуем заданное уравнение:
Получили
общий интеграл данного дифференциального
уравнения. Если из этого соотношения
выразить искомую функцию у, то получим
общее решение.
Пример.
Решить уравнение
.
;
;
Допустим, заданы некоторые начальные условия х 0 и у 0 . Тогда:
Получаем
частное решение
Однородные уравнения.
Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
Пример.
Является ли однородной функция
Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.
Определение.
Дифференциальное уравнение вида
называетсяоднородным
,
если его правая часть f(x,
y)
есть однородная функция нулевого
измерения относительно своих аргументов.
Любое уравнение вида является однородным, если функцииP (x , y ) и Q (x , y ) – однородные функции одинакового измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим
однородное уравнение
Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:
Т.к.
параметр t
вообще говоря произвольный, предположим,
что
.
Получаем:
Правая
часть полученного равенства зависит
фактически только от одного аргумента
,
т.е.
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:
таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.
Пример.
Решить уравнение
.
Введем вспомогательную функцию u .
.
Отметим,
что введенная нами функция u
всегда положительна, т.к. в противном
случае теряет смысл исходное
дифференциальное уравнение, содержащее
.
Подставляем в исходное уравнение:
Разделяем
переменные:
Интегрируя, получаем:
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
Уравнения, приводящиеся к однородным.
Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.
Это
уравнения вида
.
Если
определитель
то переменные могут быть разделены
подстановкой
где
и
- решения системы уравнений
Пример. Решить уравнение
Получаем
Находим
значение определителя
.
Решаем систему уравнений
Применяем подстановку в исходное уравнение:
Заменяем
переменную
при подстановке в выражение, записанное
выше, имеем:
English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.
中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。
Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.
日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。
Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.
Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.
Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).
Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.
You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.