По какому правилу выполняется сложение десятичных дробей. Сложение и вычитание десятичных дробей
Является сложение десятичных дробей . В этой статье мы рассмотрим правила сложения конечных десятичных дробей, на примерах разберем, как проводится сложение конечных десятичных дробей столбиком, а также остановимся на принципах сложения бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей. В заключение остановимся на сложении десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами.
Отметим, что в этой статье мы будем говорить лишь о сложении положительных десятичных дробей (смотрите положительные и отрицательные числа). Остальные варианты покрываются материалом статей сложение рациональных чисел и сложение действительных чисел .
Навигация по странице.
Общие принципы сложения десятичных дробей
Пример.
Выполните сложение десятичной дроби 0,43 и десятичной дроби 3,7 .
Решение.
Десятичной дроби 0,43 соответствует обыкновенная дробь 43/100 , а десятичной дроби 3,7 – обыкновенная дробь 37/10 (при необходимости смотрите перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные). Таким образом, 0,43+3,7=43/100+37/10 .
На этом сложение конечных десятичных дробей завершено.
Ответ:
4,13 .
Теперь добавим к рассмотрению периодические десятичные дроби.
Пример.
Сложите конечную десятичную дробь 0,2 с периодической десятичной дробью 0,(45) .
Решение.
Тогда .
Ответ:
0,2+0,(45)=0,65(45) .
Теперь остановимся на принципе сложения бесконечных непериодических десятичных дробей.
Напомним, что бесконечные непериодические десятичные дроби в отличие от конечных и периодических десятичных дробей не могут быть представлены в виде обыкновенных дробей (они представляют иррациональные числа), поэтому сложение бесконечных непериодических дробей не может быть сведено к сложению обыкновенных дробей.
При выполнении сложения бесконечных непериодических дробей их заменяют приближенными значениями, то есть, предварительно проводят их округление (смотрите округление чисел ) до некоторого разряда. Повышая точность, с которой берутся приближенные значения исходных бесконечных непериодических десятичных дробей, получается более точное значение результата сложения. Таким образом, сложение бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к сложению конечных десятичных дробей.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Проведите сложение бесконечных непериодических десятичных дробей 4,358… и 11,11002244… .
Решение.
Округлим складываемые десятичные дроби до сотых (до тысячных мы уже не сможем округлить дробь 4,358… , так как значение разряда десятитысячных неизвестно), имеем 4,358…≈4,36 и 11,11002244…≈11,11 . Теперь осталось сложить конечные десятичные дроби: .
Ответ:
4,358…+11,11002244…≈15,47 .
В заключение этого пункта скажем, что для сложения положительных десятичных дробей характерны все свойства сложения натуральных чисел . То есть, сочетательное свойство сложения позволяет однозначно определить сложение трех и большего количества десятичных дробей, а переместительное свойство сложения позволяет переставлять складываемые десятичные дроби местами.
Сложение десятичных дробей столбиком
Достаточно удобно выполнять сложение конечных десятичных дробей столбиком. Этот способ позволяет обойтись без перевода складываемых десятичных дробей в обыкновенные дроби.
Чтобы выполнить сложение десятичных дробей столбиком , надо:
- записать одну дробь под другой так, чтобы одинаковые разряды оказались друг под другом, а запятая под запятой (для удобства можно уравнять количество десятичных знаков, приписав к одной из дробей справа некоторое количество нулей);
- дальше, не обращая внимания на запятые, выполнить сложение так, как выполняется сложение столбиком натуральных чисел ;
- в полученной сумме поставить десятичную запятую так, чтобы она находилась под десятичными запятыми слагаемых.
Для ясности рассмотрим пример сложения десятичных дробей столбиком.
Пример.
Проведите сложение десятичных дробей 30,265 и 1 055,02597 .
Решение.
Выполним сложение десятичных дробей столбиком.
Для начала уравняем количество десятичных знаков в складываемых дробях. Для этого нужно дописать два нуля справа в дроби 30,265 , при этом получится равная ей дробь 30,26500 .
Теперь записываем дроби 30,26500
и 1 055,02597
в столбик, чтобы соответствующие разряды были друг под другом:
Выполняем сложение по правилам сложения в столбик, не обращая внимания на запятые:
Осталось лишь поставить десятичную запятую в полученном числе, после чего сложение десятичных дробей столбиком принимает законченный вид:
Ответ:
30,26500+1 055,02597=1 085,29097 .
Сложение десятичных дробей с натуральными числами
Сразу озвучим правило сложения десятичных дробей с натуральными числами : чтобы сложить десятичную дробь и натуральное число нужно данное натуральное число прибавить к целой части десятичной дроби, а дробную часть оставить прежней. Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным.
Разберем пример применения этого правила.
Пример.
Вычислите сумму десятичной дроби 6,36 и натурального числа 48 .
Решение.
Целая часть десятичной дроби 6,36 равна 6 , если к ней прибавить натуральное число 48 , то мы получим число 54 . Таким образом, 6,36+48=54,36 .
Ответ:
6,36+48=54,36 .
Сложение десятичных дробей с обыкновенными дробями и смешанными числами
Сложение конечных десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом можно свести к сложению обыкновенных дробей или сложению обыкновенной дроби и смешанного числа. Для этого десятичную дробь достаточно заменить равной ей обыкновенной дробью.
Пример.
Выполните сложение десятичной дроби 0,45 и обыкновенной дроби 3/8 .
Решение.
Заменим десятичную дробь 0,45 обыкновенной дробью: . После этого сложение десятичной дроби 0,45 и обыкновенной дроби 3/8 сводится к сложению обыкновенных дробей 9/20 и 3/8 . Закончим вычисления: . При надобности полученную обыкновенную дробь можно перевести в десятичную.
В этой статье внимание сосредоточим на вычитании десятичных дробей . Здесь мы рассмотрим правила вычитания конечных десятичных дробей, остановимся на вычитании десятичных дробей столбиком, а также рассмотрим, как проводится вычитание бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей. Наконец, поговорим о вычитании десятичных дробей из натуральных чисел, обыкновенных дробей и смешанных чисел, и о вычитании натуральных чисел, обыкновенных дробей и смешанных чисел из десятичных дробей.
Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать лишь вычитание меньшей десятичной дроби из большей десятичной дроби, другие случаи разберем в статьях вычитание рациональных чисел и вычитание действительных чисел .
Навигация по странице.
Общие принципы вычитания десятичных дробей
По своей сути вычитание конечных десятичных дробей и бесконечных периодических десятичных дробей представляет вычитание соответствующих обыкновенных дробей. Действительно, указанные десятичные дроби являются десятичной записью обыкновенных дробей, о чем сказано в статье перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби и обратно .
Рассмотрим примеры вычитания десятичных дробей, отталкиваясь от озвученного принципа.
Пример.
Выполните вычитание из десятичной дроби 3,7 десятичной дроби 0,31 .
Решение.
Так как 3,7=37/10 и 0,31=31/100 , то . Так вычитание десятичных дробей свелось к вычитанию обыкновенных дробей с разными знаменателями : . Полученную дробь представим в виде десятичной дроби: 339/100=3,39 .
Ответ:
3,7−0,31=3,39 .
Заметим, что вычитание конечных десятичных дробей удобно проводить столбиком, об этом методе мы поговорим в .
Сейчас разберем пример вычитания периодических десятичных дробей.
Пример.
Отнимите от периодической десятичной дроби 0,(4) периодическую десятичную дробь 0,41(6) .
Решение.
Ответ:
0,(4)−0,41(6)=0,02(7) .
Осталось озвучить принцип вычитания бесконечных непериодических дробей .
Вычитание бесконечных непериодических дробей сводится к вычитанию конечных десятичных дробей. Для этого вычитаемые бесконечные десятичные дроби округляют до некоторого разряда, обычно, до самого младшего из возможных (смотрите округление чисел ).
Пример.
Проведите вычитание конечной десятичной дроби 0,52 из бесконечной непериодической десятичной дроби 2,77369… .
Решение.
Округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь до 4 знака после запятой, имеем 2,77369…≈2,7737 . Таким образом, 2,77369…−0,52≈2,7737−0,52 . Вычислив разность конечных десятичных дробей, получаем 2,2537 .
Ответ:
2,77369…−0,52≈2,2537 .
Вычитание десятичных дробей столбиком
Очень удобным способом вычитания конечных десятичных дробей является вычитание столбиком. Вычитание десятичных дробей столбиком очень схоже с вычитанием столбиком натуральных чисел .
Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей столбиком , нужно:
- уравнять количество десятичных знаков в записях десятичных дробей (если оно, конечно, отличается), дописав справа некоторое количество нулей к одной из дробей;
- вычитаемое записать под уменьшаемым так, чтобы цифры соответствующих разрядов находились друг под другом, и запятая находилась под запятой;
- выполнить вычитание столбиком, не обращая внимания на запятые;
- в полученной разности поставить запятую так, чтобы она располагалась под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.
Рассмотрим пример вычитания десятичных дробей столбиком.
Пример.
Выполните вычитание десятичной дроби 10,30501 из десятичной дроби 4 452,294 .
Решение.
Очевидно, количество десятичных знаков дробей различно. Уравняем его, дописав два нуля справа в записи дроби 4 452,294 , при этом получится равная ей десятичная дробь 4 452,29400 .
Теперь запишем вычитаемое под уменьшаемым, как это предполагает метод вычитания десятичных дробей столбиком:
Проводим вычитание, не обращая внимания на запятые:
Осталось лишь поставить десятичную запятую в полученной разности:
На этом этапе запись приняла законченный вид, и вычитание десятичных дробей столбиком закончено. Получился следующий результат .
Ответ:
4 452,294−10,30501=4 441,98899 .
Вычитание десятичной дроби из натурального числа и наоборот
Вычитание конечной десятичной дроби из натурального числа удобнее всего выполнить столбиком, записав уменьшаемое натуральное число в виде десятичной дроби с нулями в дробной части. Разберемся с этим при решении примера.
Пример.
Отнимите от натурального числа 15 десятичную дробь 7,32 .
Решение.
Представим натуральное число 15 в виде десятичной дроби, дописав после десятичной запятой две цифры 0 (так как вычитаемая десятичная дробь имеет две цифры в дробной части), имеем 15,00 .
Теперь выполним вычитание десятичных дробей столбиком:
В итоге получаем 15−7,32=7,68 .
Ответ:
15−7,32=7,68 .
Вычитание бесконечной периодической десятичной дроби из натурального числа можно свести к вычитанию обыкновенной дроби из натурального числа. Для этого периодическую десятичную дробь достаточно заменить соответствующей обыкновенной дробью.
Пример.
Проведите вычитание из натурального числа 1 периодической десятичной дроби 0,(6) .
Решение.
Периодической десятичной дроби 0,(6) отвечает обыкновенная дробь 2/3 . Таким образом, 1−0,(6)=1−2/3=1/3 . Полученную обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби 0,(3) .
Ответ:
1−0,(6)=0,(3) .
Вычитание бесконечной непериодической десятичной дроби из натурального числа сводится к вычитанию конечной десятичной дроби. Для этого бесконечную непериодическую десятичную дробь нужно округлить до некоторого разряда.
Пример.
Отнимите от натурального числа 5 бесконечную непериодическую десятичную дробь 4,274… .
Решение.
Сначала округлим бесконечную десятичную дробь, мы можем провести округление до сотых, имеем 4,274…≈4,27 . Тогда 5−4,274…≈5−4,27 .
Представим натуральное число 5
как 5,00
, и выполним вычитание десятичных дробей столбиком:
Ответ:
5−4,274…≈0,73 .
Осталось озвучить правило вычитания натурального числа из десятичной дроби : чтобы вычесть натуральное число из десятичной дроби, надо это натуральное число вычесть из целой части уменьшаемой десятичной дроби, а дробную часть оставить без изменения. Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным. Рассмотрим решение примера.
Пример.
Выполните вычитание натурального числа 17 из десятичной дроби 37,505 .
Решение.
Целая часть десятичной дроби 37,505 равна 37 . Вычтем из нее натуральное число 17 , имеем 37−17=20 . Тогда 37,505−17=20,505 .
Ответ:
37,505−17=20,505 .
Вычитание десятичной дроби из обыкновенной дроби или смешанного числа и наоборот
Вычитание конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби из обыкновенной дроби можно свести к вычитанию обыкновенных дробей. Для этого вычитаемую десятичную дробь достаточно перевести в обыкновенную дробь.
Пример.
Отнимите десятичную дробь 0,25 от обыкновенной дроби 4/5 .
Решение.
Так как 0,25=25/100=1/4 , то разность обыкновенной дроби 4/5 и десятичной дроби 0,25 равна разности обыкновенных дробей 4/5 и 1/4 . Итак, 4/5−0,25=4/5−1/4=16/20−5/20=11/20 . В десятичной записи полученная обыкновенная дробь имеет вид 0,55 .
Ответ:
4/5−0,25=11/20=0,55 .
Аналогично вычитание конечной десятичной дроби или периодической десятичной дроби из смешанного числа сводится к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа.
Пример.
Выполните вычитание десятичной дроби 0,(18) из смешанного числа .
Решение.
Для начала переведем периодическую десятичную дробь 0,(18) в обыкновенную дробь: . Таким образом, . Полученное смешанное число в десятичной записи имеет вид 8,(18) .
Как и сложение, вычитание десятичных дробей зависит от правильной записи чисел.
Правило вычитания десятичных дробей
1) ЗАПЯТАЯ ПОД ЗАПЯТОЙ!
Эта часть правила самая важная. При вычитании десятичных дробей их следует записать так, чтобы запятые уменьшаемого и вычитаемого находились строго одна под другой.
2) Уравниваем количество цифр после запятой. Для этого в том числе, где количество цифр после запятой меньше, дописываем после запятой в конце нули.
3) Вычитаем числа, не обращая внимания на запятую.
4) Сносим запятую под запятыми.
Примеры на вычитание десятичных дробей .
Чтобы найти разность десятичных дробей 9,7 и 3,5, запишем их так, чтобы запятые в обоих числах находились строго одна под другой. Затем вычитаем, не обращая внимания на запятую. В полученном результате запятую сносим, то есть записываем под запятыми уменьшаемого и вычитаемого:
2) 23,45 — 1,5
Чтобы из одной десятичной дроби вычесть другую, надо записать их так, чтобы запятые располагались точно одна под другой. Так как у 23,45 после запятой две цифры, а у 1,5 — только одна, дописываем в 1,5 нуль. После этого ведем вычитания, не обращая внимания на запятую. В результат сносим запятую под запятыми:
23,45 — 1,5=21,95.
Вычитание десятичных дробей начинаем с их записи так, чтобы запятые были расположены ровно одна под одной. В первом числе после запятой одна цифра, во втором — три, поэтому на место недостающих двух цифр в первом числе записываем нули. Затем вычитаем числа, не обращая внимания на запятую. В полученном результате сносим запятую под запятыми:
63,5-8,921=54,579.
4) 2,8703 — 0,507
Чтобы вычесть эти десятичные дроби, записываем их так, чтобы запятая второго числа расположилась точно под запятой первого. В первом числе после запятой четыре цифры, во втором — три, поэтому второе число дополняем после запятой нулем в конце. После этого вычитаем эти числа, как обычные натуральные, не учитывая запятую. В полученном результате записываем запятую под запятыми:
2,8703 — 0,507 = 2,3663.
5) 35,46 — 7,372
Вычитание десятичных дробей начинаем с записи чисел таким образом, чтобы запятые находились одна под другой. Дополняем нулем после запятой первое число, чтобы в обоих дробях после запятой было по три цифры. Затем вычитаем, не обращая внимания на запятую. В ответе сносим запятую под запятыми:
35,46 — 7,372 = 28,088.
Чтобы из натурального числа вычесть десятичную дробь, в его записи в конце ставим запятую и приписываем необходимое количество нулей после запятой. Зачем вычитаем, не беря во внимание запятую. В ответ сносим запятую ровно под запятыми:
45 — 7,303 = 37,698.
7) 17,256 — 4,756
Этот пример на вычитание десятичных дробей выполняем аналогично. В результате получили число с нулями после запятой в конце. Их в ответе не пишем: 17,256 — 4,756 =12,5.
В этом уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.
Содержание урокаСложение десятичных дробей
Как мы знаем, десятичная дробь имеет целую и дробную часть. При сложении десятичных дробей, целые и дробные части складываются по отдельности.
Например, сложим десятичные дроби 3,2 и 5,3. Десятичные дроби удобнее складывать в столбик.
Запишем сначала эти две дроби в столбик, при этом целые части обязательно должны быть под целыми, а дробные под дробными. В школе это требование называют «запятая под запятой» .
Запишем дроби в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой:
Начинаем складывать дробные части: 2 + 3= 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:
Теперь складываем целые части: 3 + 5 = 8. Записываем восьмёрку в целой части нашего ответа:
Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой» :
Получили ответ 8,5. Значит выражения 3,2 + 5,3 равно 8,5
На самом деле не всё так просто, как кажется на первый взгляд. Здесь тоже имеются свои подводные камни, о которых мы сейчас поговорим.
Разряды в десятичных дробях
У десятичных дробей, как и у обычных чисел, есть свои разряды. Это разряды десятых, разряды сотых, разряды тысячных. При этом разряды начинаются после запятой.
Первая цифра после запятой отвечает за разряд десятых, вторая цифра после запятой за разряд сотых, третья цифра после запятой за разряд тысячных.
Разряды в десятичных дробях хранят в себе некоторую полезную информацию. В частности, они сообщают сколько в десятичной дроби десятых частей, сотых частей и тысячных частей.
Например, рассмотрим десятичную дробь 0,345
Позиция, где находится тройка, называется разрядом десятых
Позиция, где находится четвёрка, называется разрядом сотых
Позиция, где находится пятёрка, называется разрядом тысячных
Посмотрим на данный рисунок. Видим, что в разряде десятых располагается тройка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится три десятых .
Если мы сложим дроби , и то получим изначальную десятичную дробь 0,345
Видно, что сначала мы получили ответ , но перевели его в десятичную дробь и получили 0,345.
При сложении десятичных дробей соблюдаются те же принципы и правила, что и при сложении обычных чисел. Сложение десятичных дробей происходит по разрядам: десятые части складываются с десятыми частями, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.
Поэтому при сложении десятичных дробей требуют соблюдать правило «запятая под запятой» . Запятая под запятой обеспечивает тот самый порядок, в котором десятые части складываются с десятыми, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.
Пример 1. Найти значение выражения 1,5 + 3,4
В первую очередь складываем дробные части 5 + 4 = 9. Записываем девятку в дробной части нашего ответа:
Теперь складываем целые части 1 + 3 = 4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:
Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»:
Получили ответ 4,9. Значит значение выражения 1,5 + 3,4 равно 4,9
Пример 2. Найти значение выражения: 3,51 + 1,22
Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»
В первую очередь складываем дробную часть, а именно сотые части 1+2=3. Записываем тройку в сотой части нашего ответа:
Теперь складываем десятые части 5+2=7. Записываем семёрку в десятой части нашего ответа:
Теперь складываем целые части 3+1=4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной, соблюдая правило «запятая под запятой»:
Получили ответ 4,73. Значит значение выражения 3,51 + 1,22 равно 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Как и в обычных числах, при сложении десятичных дробей может произойти . В этом случае в ответе записывается одна цифра, а остальные переносят на следующий разряд.
Пример 3. Найти значение выражения 2,65 + 3,27
Записываем в столбик данное выражение:
Складываем сотые части 5+7=12. Число 12 не поместится в сотой части нашего ответа. Поэтому в сотой части записываем цифру 2, а единицу переносим на следующий разряд:
Теперь складываем десятые части 6+2=8 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получим 9. Записываем цифру 9 в десятой части нашего ответа:
Теперь складываем целые части 2+3=5. Записываем цифру 5 в целой части нашего ответа:
Получили ответ 5,92. Значит значение выражения 2,65 + 3,27 равно 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Пример 4. Найти значение выражения 9,5 + 2,8
Записываем в столбик данное выражение
Складываем дробные части 5 + 8 = 13. Число 13 не поместится в дробной часть нашего ответа, поэтому сначала записываем цифру 3, а единицу переносим на следующий разряд, точнее переносим её к целой части:
Теперь складываем целые части 9+2=11 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 12. Записываем число 12 в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 12,3. Значит значение выражения 9,5 + 2,8 равно 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
При сложении десятичных дробей количество цифр после запятой в обеих дробях должно быть одинаковым. Если цифр не хватает, то эти места в дробной части заполняются нулями.
Пример 5 . Найти значение выражения: 12,725 + 1,7
Прежде чем записывать в столбик данное выражение, сделаем количество цифр после запятой в обеих дробях одинаковым. В десятичной дроби 12,725 после запятой три цифры, а в дроби 1,7 только одна. Значит в дроби 1,7 в конце нужно добавить два нуля. Тогда получим дробь 1,700. Теперь можно записать в столбик данное выражение и начать вычислять:
Складываем тысячные части 5+0=5. Записываем цифру 5 в тысячной части нашего ответа:
Складываем сотые части 2+0=2. Записываем цифру 2 в сотой части нашего ответа:
Складываем десятые части 7+7=14. Число 14 не поместится в десятой части нашего ответа. Поэтому сначала записываем цифру 4, а единицу переносим на следующий разряд:
Теперь складываем целые части 12+1=13 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 14. Записываем число 14 в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 14,425. Значит значение выражения 12,725+1,700 равно 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Вычитание десятичных дробей
При вычитании десятичных дробей нужно соблюдать те же правила, что и при сложении: «запятая под запятой» и «равное количества цифр после запятой».
Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2
Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»:
Вычисляем дробную часть 5−2=3. Записываем цифру 3 в десятой части нашего ответа:
Вычисляем целую часть 2−2=0. Записываем ноль в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 0,3. Значит значение выражения 2,5 − 2,2 равно 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Пример 2. Найти значение выражения 7,353 — 3,1
В этом выражении разное количество цифр после запятой. В дроби 7,353 после запятой три цифры, а в дроби 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце нужно добавить два нуля, чтобы сделать количество цифр в обеих дробях одинаковым. Тогда получим 3,100.
Теперь можно записать в столбик данное выражение и вычислить его:
Получили ответ 4,253. Значит значение выражения 7,353 − 3,1 равно 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Как и в обычных числах, иногда придётся занимать единицу у соседнего разряда, если вычитание станет невозможным.
Пример 3. Найти значение выражения 3,46 − 2,39
Вычитаем сотые части 6−9. От число 6 не вычесть число 9. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда число 6 обращается в число 16. Теперь можно вычислить сотые части 16−9=7. Записываем семёрку в сотой части нашего ответа:
Теперь вычитаем десятые части. Поскольку мы заняли в разряде десятых одну единицу, то цифра, которая там располагалась, уменьшилась на одну единицу. Другими словами, в разряде десятых теперь не цифра 4, а цифра 3. Вычислим десятые части 3−3=0. Записываем ноль в десятой части нашего ответа:
Теперь вычитаем целые части 3−2=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 1,07. Значит значение выражения 3,46−2,39 равно 1,07
3,46−2,39=1,07
Пример 4 . Найти значение выражения 3−1,2
В этом примере из целого числа вычитается десятичная дробь. Запишем данное выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 оказалась под числом 3
Теперь сделаем количество цифр после запятой одинаковым. Для этого после числа 3 поставим запятую и допишем один ноль:
Теперь вычитаем десятые части: 0−2. От нуля не вычесть число 2. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда, 0 обращается в число 10. Теперь можно вычислить десятые части 10−2=8. Записываем восьмёрку в десятой части нашего ответа:
Теперь вычитаем целые части. Раньше в целой располагалось число 3, но мы заняли у него одну единицу. В результате оно обратилось в число 2. Поэтому из 2 вычитаем 1. 2−1=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 1,8. Значит значение выражения 3−1,2 равно 1,8
Умножение десятичных дробей
Умножение десятичных дробей это просто и даже увлекательно. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые.
Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Чтобы сделать это, надо посчитать количество цифр после запятой в обеих дробях, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.
Пример 1. Найти значение выражения 2,5 × 1,5
Перемножим эти десятичные дроби как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Чтобы не обращать внимания на запятые, можно на время представить, что они вообще отсутствуют:
Получили 375. В этом числе необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в дробях 2,5 и 1,5. В первой дроби после запятой одна цифра, во второй дроби тоже одна. Итого две цифры.
Возвращаемся к числу 375 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 3,75. Значит значение выражения 2,5 × 1,5 равно 3,75
2,5 × 1,5 = 3,75
Пример 2. Найти значение выражения 12,85 × 2,7
Перемножим эти десятичные дроби, не обращая внимания на запятые:
Получили 34695. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 12,85 и 2,7. В дроби 12,85 после запятой две цифры, в дроби 2,7 одна цифра — итого три цифры.
Возвращаемся к числу 34695 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 34,695. Значит значение выражения 12,85 × 2,7 равно 34,695
12,85 × 2,7 = 34,695
Умножение десятичной дроби на обычное число
Иногда возникают ситуации, когда требуется умножить десятичную дробь на обычное число.
Чтобы перемножить десятичную дробь и обычное число, нужно перемножить их, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби. Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.
Например, умножим 2,54 на 2
Умножаем десятичную дробь 2,54 на обычное число 2, не обращая внимания на запятую:
Получили число 508. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,54. В дроби 2,54 после запятой две цифры.
Возвращаемся к числу 508 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 5,08. Значит значение выражения 2,54 × 2 равно 5,08
2,54 × 2 = 5,08
Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000
Умножение десятичных дробей на 10, 100 или 1000 выполняется таким же образом, как и умножение десятичных дробей на обычные числа. Нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби, затем в ответе отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько было цифр после запятой в десятичной дроби.
Например, умножим 2,88 на 10
Умножим десятичную дробь 2,88 на 10, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби:
Получили 2880. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,88. Видим, что в дроби 2,88 после запятой две цифры.
Возвращаемся к числу 2880 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 28,80. Отбросим последний ноль — получим 28,8. Значит значение выражения 2,88×10 равно 28,8
2,88 × 10 = 28,8
Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.
Например, решим предыдущий пример 2,88×10 этим способом. Не приводя никаких вычислений, сразу же смотрим на множитель 10. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на одну цифру, получим 28,8.
2,88 × 10 = 28,8
Попробуем умножить 2,88 на 100. Сразу же смотрим на множитель 100. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на две цифры, получаем 288
2,88 × 100 = 288
Попробуем умножить 2,88 на 1000. Сразу же смотрим на множитель 1000. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на три цифры. Третьей цифры там нет, поэтому мы дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 2880.
2,88 × 1000 = 2880
Умножение десятичных дробей на 0,1 0,01 и 0,001
Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001 происходит таким же образом, как и умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Необходимо перемножить дроби, как обычные числа, и в ответе поставить запятую, отсчитав столько цифр справа, сколько цифр после запятой в обеих дробях.
Например, умножим 3,25 на 0,1
Умножаем эти дроби, как обычные числа, не обращая внимания на запятые:
Получили 325. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 3,25 и 0,1. В дроби 3,25 после запятой две цифры, в дроби 0,1 одна цифра. Итого три цифры.
Возвращаемся к числу 325 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую. Отсчитав три цифры мы обнаруживаем, что цифры закончились. В этом случае нужно дописать один ноль и поставить запятую:
Получили ответ 0,325. Значит значение выражения 3,25 × 0,1 равно 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается влево на столько цифр, сколько нулей во множителе.
Например, решим предыдущий пример 3,25 × 0,1 этим способом. Не приводя никаких вычислений сразу же смотрим на множитель 0,1. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на одну цифру. Передвинув запятую на одну цифру влево мы видим, что перед тройкой больше нет никаких цифр. В этом случае дописываем один ноль и ставим запятую. В результате получаем 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Попробуем умножить 3,25 на 0,01. Сразу же смотрим на множитель 0,01. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на две цифры, получаем 0,0325
3,25 × 0,01 = 0,0325
Попробуем умножить 3,25 на 0,001. Сразу же смотрим на множитель 0,001. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на три цифры, получаем 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Нельзя путать умножение десятичных дробей на 0,1, 0,001 и 0,001 с умножением на 10, 100, 1000. Типичная ошибка большинства людей.
При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо на столько же цифр сколько нулей во множителе.
А при умножении на 0,1, 0,01 и 0,001 запятая переносится влево на столько же цифр сколько нулей во множителе.
Если на первых порах это сложно запомнить, можно пользоваться первым способом, в котором умножение выполняется как с обычными числами. В ответе нужно будет отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько цифр после запятой в обеих дробях.
Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.
В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.
Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь . Значит каждому другу достанется по яблока. Другими словами, по половине яблока. Дробь это ответ к задаче «как разделить одно яблоко на двоих»
Оказывается, можно решать эту задачу и дальше, если разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь наоборот, делимое меньше делителя.
Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.
При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.
Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:
Единицу на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице» , то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:
Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:
Настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:
Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:
Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10
Получили ответ 0,5. Значит дробь равна 0,5
Половину яблока можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки (0,5 и 0,5), мы опять получим изначальное одно целое яблоко:
Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см
Пример 2. Найти значение выражения 4: 5
Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:
Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:
Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого справа от 4 дописываем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.
Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:
Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4: 5 равно 0,8
Пример 3. Найти значение выражения 5: 125
Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Записываем 0 в частном и ставим запятую:
Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0
Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого справа от этой пятёрки запишем ноль:
Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном опять записываем 0
Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50
Теперь делим число 50 на 125 частей. Для этого справа от 50 запишем ещё один ноль:
Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:
Завершаем пример, умножив 4 на 125, и получив 500
Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5: 125 равно 0,04
Деление чисел без остатка
Итак, поставим в частном после единицы запятую, тем самым указывая, что деление целых частей закончилось и мы приступаем к дробной части:
Допишем ноль к остатку 4
Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном:
40−40=0. Получили 0 в остатке. Значит деление на этом полностью завершено. При делении 9 на 5 получается десятичная дробь 1,8:
9: 5 = 1,8
Пример 2 . Разделить 84 на 5 без остатка
Сначала разделим 84 на 5 как обычно с остатком:
Получили в частном 16 и еще 4 в остатке. Теперь разделим этот остаток на 5. Поставим в частном запятую, а к остатку 4 допишем 0
Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмерку в частном после запятой:
и завершаем пример, проверив есть ли еще остаток:
Деление десятичной дроби на обычное число
Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:
- разделить целую часть десятичной дроби на это число;
- после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.
Например, разделим 4,8 на 2
Запишем этот пример уголком:
Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:
Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:
4−4=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем, поскольку решение не завершено. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2
8: 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:
Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8: 2 равно 2,4
Пример 2. Найти значение выражения 8,43: 3
Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:
Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:
Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:
24−24=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить этот пример:
Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43: 3 равно 2,81
Деление десятичной дроби на десятичную дробь
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на обычное число.
Например, разделим 5,95 на 1,7
Запишем уголком данное выражение
Теперь в делимом и в делителе перенесём запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит мы должны в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим:
После перенесения запятой вправо на одну цифру десятичная дробь 5,95 обратилась в дробь 59,5. А десятичная дробь 1,7 после перенесения запятой вправо на одну цифру обратилась в обычное число 17. А как делить десятичную дробь на обычное число мы уже знаем. Дальнейшее вычисление не составляет особого труда:
Запятая переносится вправо с целью облегчить деление. Это допускается по причине того, что при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число, частное не меняется. Что это значит?
Это одна из интересных особенностей деления. Его называют свойством частного. Рассмотрим выражение 9: 3 = 3. Если в этом выражении делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное 3 не изменится.
Давайте умножим делимое и делитель на 2, и посмотрим, что из этого получится:
(9 × 2 ) : (3 × 2 ) = 18: 6 = 3
Как видно из примера, частное не поменялось.
Тоже самое происходит, когда мы переносим запятую в делимом и в делителе. В предыдущем примере, где мы делили 5,91 на 1,7 мы перенесли в делимом и делителе запятую на одну цифру вправо. После переноса запятой, дробь 5,91 преобразовалась в дробь 59,1 а дробь 1,7 преобразовалась в обычное число 17.
На самом деле внутри этого процесса происходило умножение на 10. Вот как это выглядело:
5,91 × 10 = 59,1
Поэтому от количества цифр после запятой в делителе зависит то, на что будет умножено делимое и делитель. Другими словами, от количества цифр после запятой в делителе будет зависеть то, на сколько цифр в делимом и в делителе запятая будет перенесена вправо.
Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000
Деление десятичной дроби на 10, 100, или 1000 осуществляется таким же образом, как и . Например, разделим 2,1 на 10. Решим этот пример уголком:
Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.
Решим предыдущий пример этим способом. 2,1: 10. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 2,1 нужно перенести запятую влево на одну цифру. Переносим запятую влево на одну цифру и видим, что там больше не осталось цифр. В этом случае перед цифрой дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 0,21
Попробуем разделить 2,1 на 100. В числе 100 два нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на две цифры:
2,1: 100 = 0,021
Попробуем разделить 2,1 на 1000. В числе 1000 три нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на три цифры:
2,1: 1000 = 0,0021
Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01 и 0,001
Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, и 0,001 осуществляется таким же образом, как и . В делимом и в делителе надо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.
Например, разделим 6,3 на 0,1. В первую очередь перенесём запятые в делимом и в делителе вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит переносим запятые в делимом и в делителе вправо на одну цифру.
После перенесения запятой вправо на одну цифру, десятичная дробь 6,3 превращается в обычное число 63, а десятичная дробь 0,1 после перенесения запятой вправо на одну цифру превращается в единицу. А разделить 63 на 1 очень просто:
Значит значение выражения 6,3: 0,1 равно 63
Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится вправо на столько цифр, сколько нулей в делителе.
Решим предыдущий пример этим способом. 6,3: 0,1. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 6,3 нужно перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим запятую вправо на одну цифру и получаем 63
Попробуем разделить 6,3 на 0,01. В делителе 0,01 два нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на две цифры. Но в делимом после запятой только одна цифра. В этом случае в конце нужно дописать ещё один ноль. В результате получим 630
Попробуем разделить 6,3 на 0,001. В делителе 0,001 три нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на три цифры:
6,3: 0,001 = 6300
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках