Sode in lihe linearne funkcije. Sode in lihe funkcije

- (mat.) Funkcija y = f (x) se imenuje tudi, če se ne spremeni, ko neodvisna spremenljivka spremeni samo predznak, torej če je f (x) = f (x). Če je f (x) = f (x), se funkcija f (x) imenuje liha. Na primer, y = cosx, y = x2 ... ...

F (x) = x je primer lihe funkcije. f (x) = x2 je primer sode funkcije. f (x) = x3 ... Wikipedia

Funkcija, ki izpolnjuje enakost f (x) = f (x). Glej sode in lihe funkcije ... Velika sovjetska enciklopedija

F (x) = x je primer lihe funkcije. f (x) = x2 je primer sode funkcije. f (x) = x3 ... Wikipedia

Posebne funkcije, ki jih je uvedel francoski matematik E. Mathieu leta 1868 pri reševanju problemov o nihanju eliptične membrane. M. f. se uporabljajo tudi pri študiju distribucije elektromagnetnih valov v eliptičnem cilindru ... Velika sovjetska enciklopedija

Zahteva "greh" je preusmerjena sem; glej tudi druge pomene. Zahteva "sec" je preusmerjena sem; glej tudi druge pomene. Zahteva Sinus je preusmerjena sem; glej tudi druge pomene ... Wikipedia

Funkcija se imenuje soda (liha), če za katero koli in enakost

Graf sode funkcije je simetričen glede na os
.

Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor.

Primer 6.2. Raziščite enakost ali neparnost funkcije

1)
; 2)
; 3)
.

Rešitev.

1) Funkcija je definirana na
... Najti
.

tiste.
... To pomeni, da je ta funkcija enakomerna.

2) Funkcija je definirana na

tiste.
... Tako je ta funkcija čudna.

3) funkcija je definirana za, t.j. za

,
... Funkcija torej ni niti soda niti liha. Recimo temu splošna funkcija.

3. Študija funkcije za monotonost.

Funkcija
se imenuje naraščanje (zmanjšanje) na določenem intervalu, če v tem intervalu vsaka večja vrednost argumenta ustreza večji (manjši) vrednosti funkcije.

Funkcije, ki naraščajo (zmanjšajo) na določenem intervalu, se imenujejo monotone.

Če je funkcija
diferenciran na intervalu
in ima pozitivno (negativno) izpeljanko
, nato funkcija
se v tem intervalu poveča (zmanjša).

Primer 6.3... Poiščite intervale monotonosti funkcij

1)
; 3)
.

Rešitev.

1) Ta funkcija je definirana na celotni številski osi. Poiščimo izpeljanko.

Izvod je nič, če
in
... Območje definicije - številska os, razdeljena s pikami
,
v intervalih. Določimo predznak izpeljanke v vsakem intervalu.

V intervalu
izpeljanka je negativna, funkcija na tem intervalu pada.

V intervalu
odvod je pozitiven, zato se funkcija na tem intervalu poveča.

2) Ta funkcija je definirana, če
oz

Določite predznak kvadratnega trinoma v vsakem intervalu.

Tako je domena funkcije

Poiščite izpeljanko
,
, če
, tj.
, ampak
... Določimo predznak izpeljanke v intervalih
.

V intervalu
izpeljanka je negativna, zato funkcija pada na intervalu
... V intervalu
odvod je pozitiven, funkcija raste na intervalu
.

4. Preiskava funkcije za ekstrem.

Dot
se imenuje največja (minimalna) točka funkcije
če obstaja taka soseska točke to za vsakogar
iz te soseske neenakost

.

Najvišji in minimalni točki funkcije imenujemo skrajne točke.

Če je funkcija
na točki ima ekstrem, potem je izvod funkcije na tej točki nič ali ne obstaja (nujen pogoj za obstoj ekstrema).

Točke, pri katerih je izpeljanka enaka nič ali ne obstaja, se imenujejo kritične.

5. Zadostni pogoji za obstoj ekstremuma.

1. pravilo... Če pri prehodu (od leve proti desni) skozi kritično točko izpeljanka
spremeni znak iz "+" v "-", nato na točki funkcijo
ima maksimum; če od "-" do "+", potem minimalno; če
ne spremeni predznaka, potem ni ekstrema.

2. pravilo... Naj na točki
prva izpeljanka funkcije
je nič
, druga izpeljanka pa obstaja in ni nič. Če
, potem Je največja točka, če
, potem Je minimalna točka funkcije.

Primer 6.4 ... Raziščite največje in minimalne funkcije:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Rešitev.

1) Funkcija je definirana in neprekinjena na intervalu
.

Poiščite izpeljanko
in reši enačbo
, tj.
.Od tod
- kritične točke.

Določimo predznak izvoda v intervalih,
.

Pri prečkanju točk
in
izpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+", torej v skladu s pravilom 1
- točke minimuma.

Pri prečkanju točke
izpeljanka torej spremeni predznak iz "+" v "-".
Je največja točka.

,
.

2) Funkcija je definirana in neprekinjena v intervalu
... Poiščite izpeljanko
.

Reševanje enačbe
, najti
in
- kritične točke. Če je imenovalec
, tj.
, potem izpeljanka ne obstaja. torej
- tretja kritična točka. Določimo predznak izpeljanke v intervalih.

Posledično ima funkcija minimum na točki
, največ v točkah
in
.

3) Funkcija je definirana in neprekinjena, če
, tj. pri
.

Poiščite izpeljanko

Poiščimo kritične točke:

Točkovna soseska
ne spadajo v področje definicije, zato niso tako ekstremni. Torej, raziščimo kritične točke
in
.

4) Funkcija je definirana in neprekinjena na intervalu
... Uporabljamo pravilo 2. Poišči izpeljanko
.

Poiščimo kritične točke:

Poiščite drugo izpeljanko
in definiraj njegov predznak na točkah

Na točkah
funkcija ima minimalno.

Na točkah
funkcija ima maksimum.

celoče za vse \ (x \) iz njegove domene definicije velja: \ (f (-x) = f (x) \).

Graf sode funkcije je simetričen glede na os \ (y \):

Primer: funkcija \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) je soda, ker \ (f (-x) = (- x) ^ 2 + \ cos ((- x)) = x ^ 2 + \ cos x = f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) Klicana je funkcija \ (f (x) \). Čudenče za vse \ (x \) iz njegove domene velja: \ (f (-x) = - f (x) \).

Graf neparne funkcije je simetričen glede na izvor:

Primer: funkcija \ (f (x) = x ^ 3 + x \) je liha, ker \ (f (-x) = (- x) ^ 3 + (- x) = - x ^ 3-x = - (x ^ 3 + x) = - f (x) \).

\ (\ blacktriangleright \) Funkcije, ki niso niti sode niti lihe, se imenujejo generične funkcije. Takšno funkcijo je vedno mogoče enolično predstaviti kot vsoto sode in lihe funkcije.

Na primer, funkcija \ (f (x) = x ^ 2-x \) je vsota sode funkcije \ (f_1 = x ^ 2 \) in lihe \ (f_2 = -x \).

\ (\ črni trikotnik desno \) Nekatere lastnosti:

1) Zmnožek in količnik dveh funkcij iste parnosti je soda funkcija.

2) Zmnožek in količnik dveh funkcij različnih paritet je liha funkcija.

3) Vsota in razlika sodih funkcij je soda funkcija.

4) Vsota in razlika lihih funkcij je liha funkcija.

5) Če je \ (f (x) \) soda funkcija, potem ima enačba \ (f (x) = c \ (c \ in \ mathbb (R) \)) edinstven koren, če in samo če, ko \ (x = 0 \).

6) Če je \ (f (x) \) soda ali liha funkcija in ima enačba \ (f (x) = 0 \) koren \ (x = b \), potem bo ta enačba nujno imela drugo koren \ (x = -b \).

\ (\ črni trikotnik desno \) Funkcija \ (f (x) \) se imenuje periodična na \ (X \), če \ (f (x) = f (x + T) \), kjer je \ (x, x + T \ v X \). Najmanjša \ (T \), za katero velja ta enakost, se imenuje glavna (glavna) perioda funkcije.

Periodična funkcija ima poljubno število v obliki \ (nT \), kjer bo \ (n \ in \ mathbb (Z) \) tudi točka.

Primer: kateri koli trigonometrična funkcija je periodičen;
za funkcije \ (f (x) = \ sin x \) in \ (f (x) = \ cos x \) je glavna obdobje \ (2 \ pi \), za funkcije \ (f (x) = \ mathrm ( tg) \, x \) in \ (f (x) = \ mathrm (ctg) \, x \) glavna doba je \ (\ pi \).

Če želite narisati graf periodične funkcije, lahko narišete njen graf na katerem koli segmentu dolžine \ (T \) (glavna obdobja); potem se graf celotne funkcije zaključi s premikom konstruiranega dela za celo število pik v desno in levo:

\ (\ blacktriangleright \) Domena \ (D (f) \) funkcije \ (f (x) \) je niz, sestavljen iz vseh vrednosti argumenta \ (x \), za katere je funkcija smiselna (definirano).

Primer: funkcija \ (f (x) = \ sqrt x + 1 \) ima obseg: \ (x \ in

Naloga 1 # 6364

Raven naloge: Enako kot izpit

Za katere vrednosti parametra \ (a \) je enačba

ima edino rešitev?

Upoštevajte, da ker sta \ (x ^ 2 \) in \ (\ cos x \) sodi funkciji, potem, če ima enačba koren \ (x_0 \), bo imela tudi koren \ (- x_0 \).
Dejansko naj je \ (x_0 \) koren, to je enakost \ (2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \) prav. Nadomestek \ (- x_0 \): \ (2 (-x_0) ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos (-x_0)) + a ^ 2 = 2x_0 ^ 2 + a \ mathrm (tg) \, (\ cos x_0) + a ^ 2 = 0 \).

Torej, če je \ (x_0 \ ne 0 \), bo enačba že imela vsaj dva korena. Zato je \ (x_0 = 0 \). Nato:

Za parameter \ (a \) smo dobili dve vrednosti. Upoštevajte, da smo uporabili dejstvo, da je \ (x = 0 \) natančno koren prvotne enačbe. Nikoli pa nismo izkoristili dejstva, da je edini. Zato je treba dobljene vrednosti parametra \ (a \) nadomestiti v izvirno enačbo in preveriti, za kateri \ (a \) bo koren \ (x = 0 \) res edinstven.

1) Če je \ (a = 0 \), potem ima enačba obliko \ (2x ^ 2 = 0 \). Očitno ima ta enačba samo en koren \ (x = 0 \). Zato nam ustreza vrednost \ (a = 0 \).

2) Če \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \), potem ima enačba obliko \ Enačbo prepišemo kot \ Ker \ (- 1 \ leqslant \ cos x \ leqslant 1 \), potem \ (- \ mathrm (tg) \, 1 \ leqslant \ mathrm (tg) \, (\ cos x) \ leqslant \ mathrm (tg) \, 1 \)... Zato vrednosti desne strani enačbe (*) pripadajo segmentu \ ([- \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1; \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1] \).

Ker je \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), je leva stran enačbe (*) večja ali enaka \ (0+ \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \).

Tako lahko enakost (*) velja le, če sta obe strani enačbe \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \). To pomeni da \ [\ začetek (primeri) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ end (primeri) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (primeri) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ mathrm (tg) \, 1 \ end (case) \ quad \ Levorightarrow \ quad x = 0 \] Zato nam ustreza vrednost \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \).

odgovor:

\ (a \ in \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)

Naloga 2 # 3923

Raven naloge: Enako kot izpit

Poiščite vse vrednosti parametra \ (a \), za vsako od katerih je graf funkcije \

simetrično glede na izvor.

Če je graf funkcije simetričen glede na izvor, potem je taka funkcija čudna, to pomeni, da \ (f (-x) = - f (x) \) velja za katero koli \ (x \) iz domene funkcijo. Tako je treba najti tiste vrednosti parametra, za katere \ (f (-x) = - f (x). \)

\ [\ začetek (poravnano) & 3 \ mathrm (tg) \, \ levo (- \ dfrac (ax) 5 \ desno) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ levo (3 \ mathrm (tg) \, \ levo (\ dfrac (ax) 5 \ desno) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ desno) \ quad \ Rightarrow \ quad -3 \ mathrm (tg) \ , \ dfrac (ax) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ levo (3 \ mathrm (tg) \, \ levo (\ dfrac (ax) 5 \ desno) +2) \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ desno) \ quad \ Rightarrow \\ \ Rightarrow \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a - 3x) 4 = 0 \ quad \ Desno \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ levo (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ desno) \ cdot \ cos \ dfrac12 \ levo (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4- \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ desno) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin (2 \ pi a) \ cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ konec (poravnano) \]

Zadnja enačba mora biti izpolnjena za vse \ (x \) iz domene \ (f (x) \), torej \ (\ sin (2 \ pi a) = 0 \ Desna puščica a = \ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \).

odgovor:

\ (\ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \)

Naloga 3 # 3069

Raven naloge: Enako kot izpit

Poiščite vse vrednosti parametra \ (a \), za vsako od katerih ima enačba \ 4 rešitve, kjer je \ (f \) soda periodična funkcija s periodo \ (T = \ dfrac (16) 3 \) definirana na celi številski premici in \ (f (x) = ax ^ 2 \) za \ (0 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83. \)

(Izziv naročnikov)

Ker je \ (f (x) \) soda funkcija, je njen graf simetričen glede na ordinatno os, torej za \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant 0 \)\ (f (x) = ax ^ 2 \). Tako za \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83 \), in to je odsek dolžine \ (\ dfrac (16) 3 \), funkcije \ (f (x) = ax ^ 2 \).

1) Naj \ (a> 0 \). Potem bo graf funkcije \ (f (x) \) videti takole:

Potem, da bi imela enačba 4 rešitve, je potrebno, da graf \ (g (x) = | a + 2 | \ cdot \ sqrtx \) poteka skozi točko \ (A \):

zato \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt8 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (zbrano) \ begin (poravnano) & 9 (a + 2) = 32a \\ & 9 (a +2) = - 32a \ konec (poravnano) \ konec (zbrano) \ desno. \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ začetek (zbrano) \ začetek (poravnano) & a = \ dfrac (18) (23) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ konec (poravnano) \ konec (zbrano) \ desno. \] Ker je \ (a> 0 \), potem je \ (a = \ dfrac (18) (23) \) primeren.

2) Naj \ (a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Potrebno je, da gre graf \ (g (x) \) skozi točko \ (B \): \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt (-8) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (zbrano) \ begin (poravnano) & a = \ dfrac (18) ( 23 ) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ konec (poravnano) \ konec (zbrano) \ desno. \] Ker \ (a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Primer, ko \ (a = 0 \) ne ustreza, od takrat \ (f (x) = 0 \) za vse \ (x \), \ (g (x) = 2 \ sqrtx \) in enačba bo imela samo 1 koren.

odgovor:

\ (a \ in \ levo \ (- \ dfrac (18) (41); \ dfrac (18) (23) \ desno \) \)

Naloga 4 # 3072

Raven naloge: Enako kot izpit

Poiščite vse vrednosti \ (a \), za vsako od njih enačba \

ima vsaj en koren.

(Izziv naročnikov)

Enačbo prepišemo kot \ in upoštevaj dve funkciji: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) in \ (f (x) = 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ ).
Funkcija \ (g (x) \) je soda, ima minimalno točko \ (x = 0 \) (poleg tega \ (g (0) = 49 \)).
Funkcija \ (f (x) \) za \ (x> 0 \) je padajoča, za \ (x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Dejansko se za \ (x> 0 \) drugi modul širi pozitivno (\ (| x | = x \)), zato bo ne glede na to, kako se razširi prvi modul, \ (f (x) \) enako \ ( kx + A \), kjer je \ (A \) izraz iz \ (a \), \ (k \) pa je bodisi \ (- 9 \) ali \ (- 3 \). Za \ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Poiščite vrednost \ (f \) na največji točki: \

Da ima enačba vsaj eno rešitev, morata imeti grafa funkcij \ (f \) in \ (g \) vsaj eno presečišče. Zato potrebujete: \ \\]

odgovor:

\ (a \ v \ (- 7 \) \ skodelica \)

Naloga 5 # 3912

Raven naloge: Enako kot izpit

Poiščite vse vrednosti parametra \ (a \), za vsako od katerih je enačba \

ima šest različnih rešitev.

Naredimo zamenjavo \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \). Potem dobi enačba obliko \ Postopoma bomo zapisovali pogoje, pod katerimi bo izvirna enačba imela šest rešitev.
Upoštevajte, da ima kvadratna enačba \ ((*) \) lahko največ dve rešitvi. Vsaka kubična enačba \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \) ima lahko največ tri rešitve. Torej, če ima enačba \ ((*) \) dve različni rešitvi (pozitivno !, ker mora biti \ (t \) večji od nič) \ (t_1 \) in \ (t_2 \), potem, ko smo naredili obratno spremenimo, dobimo: \ [\ levo [\ začni (zbrano) \ začni (poravnano) & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2) +4) = t_2 \ konec (poravnano) \ konec (zbrano) \ desno. \] Ker je lahko vsako pozitivno število do neke mere predstavljeno kot \ (\ sqrt2 \), npr. \ (t_1 = (\ sqrt2) ^ (\ log _ (\ sqrt2) t_1) \), potem bo prva enačba niza prepisana kot \ Kot smo že rekli, ima vsaka kubična enačba največ tri rešitve, zato bo imela vsaka enačba iz množice največ tri rešitve. To pomeni, da celoten sklop ne bo imel več kot šest rešitev.
To pomeni, da mora imeti prvotna enačba šest rešitev, mora imeti kvadratna enačba \ ((*) \) dve različni rešitvi, vsaka dobljena kubična enačba (iz niza) pa mora imeti tri različne rešitve (poleg tega nobena rešitev ene enačba mora sovpadati s katero - ali po odločitvi druge!)
Očitno je, da če ima kvadratna enačba \ ((*) \) eno rešitev, potem ne bomo dobili šestih rešitev prvotne enačbe.

Tako postane načrt rešitve jasen. Točko za točko zapišimo pogoje, ki morajo biti izpolnjeni.

1) Da ima enačba \ ((*) \) dve različni rešitvi, mora biti njen diskriminanta pozitivna: \

2) Potrebujete tudi, da sta oba korena pozitivna (ker je \ (t> 0 \)). Če je zmnožek dveh korenov pozitiven in njuna vsota pozitivna, bodo koreni sami pozitivni. Zato potrebujete: \ [\ začetek (primeri) 12-a> 0 \\ - (a-10)> 0 \ konec (primeri) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a<10\]

Tako smo si že zagotovili dve različni pozitivni koreni \ (t_1 \) in \ (t_2 \).

3) Poglejmo si takšno enačbo \ Za kateri \ (t \) bo imel tri različne rešitve?
Razmislite o funkciji \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \).
Lahko se faktorizira: \ Zato so njene ničle \ (x = -1; 2 \).
Če najdemo izvod \ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \), potem dobimo dve točki ekstrema \ (x_ (max) = 0, x_ (min) = 2 \).
Zato je graf videti takole:

Vidimo, da je katera koli vodoravna črta \ (y = k \), kjer je \ (0 \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t \) imel tri različne rešitve, je potrebno, da \ (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Tako potrebujete: \ [\ začetek (primeri) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Takoj opazimo tudi, da če sta številki \ (t_1 \) in \ (t_2 \) različni, potem sta številki \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) in \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) bodo drugačne, zato tudi enačbe \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_1 \) in \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_2 \) bodo imeli neusklajene korenine.
Sistem \ ((**) \) je mogoče prepisati na naslednji način: \ [\ začetek (primeri) 1

Tako smo ugotovili, da morata oba korena enačbe \ ((*) \) ležati v intervalu \ ((1; 4) \). Kako zapišete ta pogoj?
Koren ne bomo izrecno zapisali.
Razmislite o funkciji \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \). Njegov graf je parabola z navzgornjimi vejami, ki ima dve presečnici z abscisno osjo (ta pogoj smo zapisali v točki 1)). Kako naj bi izgledal njen graf, da so presečišča z abscisno osjo v intervalu \ ((1; 4) \)? Torej:

Prvič, vrednosti \ (g (1) \) in \ (g (4) \) funkcije v točkah \ (1 \) in \ (4 \) morajo biti pozitivne, in drugič, oglišče parabola \ (t_0 \ ) mora biti tudi v območju \ ((1; 4) \). Zato lahko sistem zapišemo: \ [\ začetek (primeri) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\ (a \) ima vedno vsaj en koren \ (x = 0 \). Zato je za izpolnitev pogoja problema potrebna enačba \

imel štiri različne korene, ki niso nič, ki skupaj z \ (x = 0 \) predstavljajo aritmetično progresijo.

Upoštevajte, da je funkcija \ (y = 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \) soda, torej če je \ (x_0 \) koren enačbe \ ((* ) \ ), potem bo \ (- x_0 \) tudi njegov koren. Potem je potrebno, da so korenine te enačbe števila, urejena v naraščajočem vrstnem redu: \ (- 2d, -d, d, 2d \) (potem \ (d> 0 \)). Takrat bo teh pet številk tvorilo aritmetično napredovanje (z razliko \ (d \)).

Da so te korenine števila \ (- 2d, -d, d, 2d \), je potrebno, da so številke \ (d ^ (\, 2), 4d ^ (\, 2) \) korenine enačba \ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) = 0 \). Potem po Vietinem izreku:

Enačbo prepišemo kot \ in upoštevaj dve funkciji: \ (g (x) = 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \) in \ (f (x) = 13 | x | -2 | 5x + 12a | \) ...
Funkcija \ (g (x) \) ima največjo točko \ (x = 0 \) (poleg tega \ (g _ (\ besedilo (vert)) = g (0) = - a ^ 2 + 20a-4 \)):
\ (g "(x) = - 2 ^ (x ^ 2 + 2) \ cdot \ ln 2 \ cdot 2x \)... Izpeljan nič: \ (x = 0 \). Za \ (x<0\) имеем: \(g">0 \), za \ (x> 0 \): \ (g "<0\) .
Funkcija \ (f (x) \) za \ (x> 0 \) narašča, za \ (x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Dejansko se bo za \ (x> 0 \) prvi modul odprl pozitivno (\ (| x | = x \)), zato bo ne glede na to, kako se bo odprl drugi modul, \ (f (x) \) enak na \ ( kx + A \), kjer je \ (A \) izraz iz \ (a \), \ (k \) pa je enako bodisi \ (13-10 = 3 \) ali \ (13 + 10 = 23 \). Za \ (x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Poiščite vrednost \ (f \) na minimalni točki: \

Da ima enačba vsaj eno rešitev, morata imeti grafa funkcij \ (f \) in \ (g \) vsaj eno presečišče. Zato potrebujete: \ Če rešimo ta niz sistemov, dobimo odgovor: \\]

odgovor:

\ (a \ v \ (- 2 \) \ skodelica \)

Skrij Pokaži

Metode za nastavitev funkcije

Naj bo funkcija podana s formulo: y = 2x ^ (2) -3. Če neodvisni spremenljivki x dodelite poljubne vrednosti, lahko s to formulo izračunate ustrezne vrednosti odvisne spremenljivke y. Na primer, če je x = -0,5, potem s formulo ugotovimo, da je ustrezna vrednost y y = 2 \ cdot (-0,5) ^ (2) -3 = -2,5.

Če vzamete katero koli vrednost, ki jo sprejme argument x v formuli y = 2x ^ (2) -3, lahko izračunate samo eno vrednost funkcije, ki ji ustreza. Funkcijo lahko predstavimo kot tabelo:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

S to tabelo lahko ugotovite, da bo za vrednost argumenta −1 ustrezala vrednost funkcije −3; in vrednost x = 2 bo ustrezala y = 0 itd. Pomembno je tudi vedeti, da samo ena vrednost funkcije ustreza vsaki vrednosti argumenta v tabeli.

Funkcije je mogoče definirati tudi z uporabo grafov. S pomočjo grafa se ugotovi, katera vrednost funkcije ustreza določeni vrednosti x. Najpogosteje bo to približna vrednost funkcije.

Soda in liha funkcija

Funkcija je enakomerno delovanje ko je f (-x) = f (x) za kateri koli x iz domene. Takšna funkcija bo simetrična glede na os Oy.

Funkcija je čudna funkcija ko je f (-x) = - f (x) za kateri koli x iz domene. Takšna funkcija bo simetrična glede na izvor O (0; 0).

Funkcija je niti približno, niti nenavadno in poklical splošno funkcijo kadar ni simetričen glede na os ali izvor.

Poglejmo spodnjo funkcijo za pariteto:

f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7)

D (f) = (- \ infty; + \ infty) s simetrično domeno okoli izhodišča. f (-x) = 3 \ cdot (-x) ^ (3) -7 \ cdot (-x) ^ (7) = -3x ^ (3) + 7x ^ (7) = - (3x ^ (3) -7x ^ (7)) = -f (x).

Torej je funkcija f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7) liha.

Periodična funkcija

Funkcija y = f (x), v domeni katere velja enakost f (x + T) = f (x-T) = f (x) za kateri koli x, se imenuje periodična funkcija z obdobjem T \ neq 0.

Ponovitev grafa funkcije na katerem koli segmentu abscisne osi, ki ima dolžino T.

Intervali, kjer je funkcija pozitivna, to je f (x)> 0, so odseki abscisne osi, ki ustrezajo točkam grafa funkcije, ki ležijo nad abscisno osjo.

f (x)> 0 vklopljeno (x_ (1); x_ (2)) \ skodelica (x_ (3); + \ infty)

Vrzeli, kjer je funkcija negativna, t.j. f (x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f (x)< 0 на (- \ infty; x_ (1)) \ skodelica (x_ (2); x_ (3))

Omejena funkcija

Omejeno od spodaj običajno je, da funkcijo y = f (x), x \ v X pokličemo, kadar obstaja število A, za katerega velja neenakost f (x) \ geq A za kateri koli x \ v X.

Primer funkcije, omejene od spodaj: y = \ sqrt (1 + x ^ (2)), saj je y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ geq 1 za kateri koli x.

Omejeno na vrhu funkcija y = f (x), x \ v X se imenuje, če obstaja število B, za katero velja neenakost f (x) \ neq B za kateri koli x \ v X.

Primer funkcije, omejene od spodaj: y = \ sqrt (1-x ^ (2)), x \ in [-1; 1] ker je y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ neq 1 za kateri koli x \ v [-1; 1].

Omejeno običajno je klicati funkcijo y = f (x), x \ v X, kadar obstaja število K> 0, za katero je neenakost \ levo | f (x) \ desno | \ neq K za kateri koli x \ v X.

Primer omejene funkcije: y = \ sin x je omejen na celo številsko os, saj \ levo | \ sin x \ desno | \ neq 1.

Povečanje in zmanjševanje funkcije

Običajno je govoriti o funkciji, ki se v obravnavanem intervalu povečuje kot povečanje funkcije takrat, ko bo večja vrednost x ustrezala večji vrednosti funkcije y = f (x). Iz tega sledi, da bo iz obravnavanega intervala vzeti dve poljubni vrednosti argumenta x_ (1) in x_ (2) in x_ (1)> x_ (2), bo y (x_ (1))> y (x_ (2)).

Funkcija, ki se zmanjša na obravnavanem intervalu, se imenuje padajoča funkcija takrat, ko bo večja vrednost x ustrezala manjši vrednosti funkcije y (x). Iz tega sledi, da bo iz obravnavanega intervala vzeti dve poljubni vrednosti argumenta x_ (1) in x_ (2) in x_ (1)> x_ (2), bo y (x_ (1))< y(x_{2}) .

Zakoreninjena funkcija običajno je klicati točke, na katerih funkcija F = y (x) seka abscisno os (dobijo jih kot rezultat reševanja enačbe y (x) = 0).

a) Če se soda funkcija poveča za x> 0, potem se zmanjša za x< 0

b) Ko se soda funkcija zmanjša za x> 0, se poveča za x< 0

c) Ko se liha funkcija poveča za x> 0, se poveča tudi za x< 0

d) Ko se liha funkcija zmanjša za x> 0, se zmanjša za x< 0

Ekstremi funkcije

Minimalna točka funkcije y = f (x) je običajno imenovati takšno točko x = x_ (0), v kateri bo njena soseska imela druge točke (razen točke x = x_ (0)), zanje pa potem neenakost f ( x)> f (x_ (0)). y_ (min) - oznaka funkcije na točki min.

Največja točka funkcije y = f (x) je običajno imenovati takšno točko x = x_ (0), v kateri bo njena soseska imela druge točke (razen točke x = x_ (0)), zanje pa potem neenakost f ( x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Potreben pogoj

Po Fermatovem izreku: f "(x) = 0, ko ima funkcija f (x), ki je diferencibilna v točki x_ (0), na tej točki ekstrem.

Zadostno stanje

Ko se predznak odvoda spremeni iz plusa v minus, bo x_ (0) minimalna točka;
x_ (0) - bo največja točka le, če izpeljanka spremeni predznak iz minusa v plus, ko gre skozi stacionarno točko x_ (0).

Največja in najmanjša vrednost funkcije v intervalu

Koraki izračuna:

Iščemo izpeljanko f "(x);
Najdemo stacionarne in kritične točke funkcije ter izberemo tiste, ki pripadajo segmentu;
Vrednosti funkcije f (x) najdemo na stacionarnih in kritičnih točkah in koncih segmenta. Manjši od dobljenih rezultatov bo najmanjša vrednost funkcije, in več - Največji.

Študija funkcije.

1) D (y) - Domena: množica vseh teh vrednosti spremenljivke x. za katerega sta algebraična izraza f (x) in g (x) smiselna.

Če je funkcija podana s formulo, potem je domena sestavljena iz vseh vrednosti neodvisne spremenljivke, za katere je formula smiselna.

2) Lastnosti funkcije: sodo / liho, periodičnost:

Čuden in celo kličemo funkcije, katerih grafi imajo simetrijo glede na spreminjanje predznaka argumenta.

Nenavadna funkcija- funkcija, ki ob spremembi predznaka neodvisne spremenljivke spremeni svojo vrednost v nasprotno (simetrično glede na središče koordinat).

Enakomerna funkcija- funkcija, ki ob spremembi predznaka neodvisne spremenljivke ne spremeni svoje vrednosti (simetrična glede na ordinato).

Niti sodo niti liho delovanje (splošna funkcija)- funkcija, ki nima simetrije. Ta kategorija vključuje funkcije, ki ne sodijo v prejšnji 2 kategoriji.

Pokličejo se funkcije, ki ne spadajo v nobeno od zgornjih kategorij ne sodo ne liho(ali splošne funkcije).

Nenavadne funkcije

Neparna moč, kjer je poljubno celo število.

Tudi funkcije

Soda stopnja, kjer je poljubno celo število.

Periodična funkcija- funkcija, ki ponavlja svoje vrednosti v nekem rednem intervalu argumenta, to pomeni, da ne spremeni svoje vrednosti, ko se argumentu doda določeno število, ki ni nič ( obdobje funkcije) na celotnem področju definicije.

3) Ničele (korenine) funkcije so točke, kjer izgine.

Iskanje presečišča grafa z osjo oj... Če želite to narediti, morate izračunati vrednost f(0). Poiščite tudi presečišča grafa z osjo Ox, zakaj najti korenine enačbe f(x) = 0 (ali se prepričajte, da ni korenin).

Točke, na katerih graf prečka os, se imenujejo ničle funkcije... Če želite najti ničle funkcije, morate rešiti enačbo, torej najti te vrednosti "x" pri katerem funkcija izgine.

4) Intervali konstantnosti znakov, znakov v njih.

Vrzeli, kjer f (x) ohranja znak.

Interval konstantnosti je interval na vsaki točki katerega funkcija je pozitivna ali negativna.

NAD absciso.

POD osjo.

5) Kontinuiteta (prelomne točke, prelomni značaj, asimptote).

Neprekinjena funkcija- funkcija brez "skokov", to je tista, pri kateri majhne spremembe v argumentu vodijo do majhnih sprememb vrednosti funkcije.

Odstranljive prelomne točke

Če je meja funkcije obstaja, vendar funkcija na tej točki ni definirana ali pa meja ne sovpada z vrednostjo funkcije na tej točki:

potem se točka imenuje točka odstranljive prekinitve funkcije (v kompleksni analizi odstranljiva singularna točka).

Če funkcijo "popravimo" na točki odstranljive prekinitve in postavimo , potem dobite funkcijo, ki je na tej točki neprekinjena. Takšna operacija na funkciji se imenuje z razširitvijo definicije funkcije na neprekinjeno oz z razširitvijo definicije funkcije z kontinuiteto, ki upravičuje ime točke kot točke za enkratno uporabo zlomiti.

Prelomne točke prve in druge vrste

Če ima funkcija diskontinuiteto na dani točki (to pomeni, da je meja funkcije na dani točki odsotna ali ne sovpada z vrednostjo funkcije v dani točki), potem sta za številske funkcije dve možni možnosti povezane z obstojem številskih funkcij enostranske omejitve:

če obe enostranski meji obstajata in sta končni, se taka točka imenuje prelomna točka prve vrste... Odstranljive prelomne točke so prelomne točke prve vrste;

če vsaj ena od enostranskih mej ne obstaja ali ni končna vrednost, se taka točka imenuje prelomna točka druge vrste.

Asimptota - naravnost z lastnostjo, da je razdalja od točke krivulje do te naravnost teži k nič, ko se točka odmika vzdolž veje v neskončnost.

Navpična

Navpična asimptota - mejna črta .

Praviloma pri določanju vertikalnih asimptot ne iščejo ene meje, temveč dve enostranski (levo in desno). To se naredi, da se ugotovi, kako se funkcija obnaša, ko se z različnih strani približuje navpični asimptoti. Na primer:

Vodoravno

Horizontalna asimptota - naravnost vrste, ki so predmet obstoja omejitev

Poševno

Poševna asimptota - naravnost vrste, ki so predmet obstoja meje

Opomba: funkcija ima lahko največ dve poševni (horizontalni) asimptoti.

Opomba: če vsaj ena od zgornjih dveh mej ne obstaja (ali je enaka), potem poševna asimptota pri (ali) ne obstaja.

če v točki 2.), potem in mejo najdemo s formulo horizontalne asimptote, .

6) Iskanje intervalov monotonosti. Poiščite intervale monotonosti funkcije f(x) (torej intervali naraščanja in padanja). To naredimo tako, da preučimo predznak izpeljanke f(x). Če želite to narediti, poiščite izpeljanko f(x) in reši neenakost f(x) 0. Na intervalih, kjer je ta neenakost izpolnjena, funkcija f(x) poveča. Kjer velja obratna neenakost f(x) 0, funkcija f(x) zmanjša.

Iskanje lokalnega ekstremuma. Ko najdemo intervale monotonosti, lahko takoj določimo točke lokalnega ekstrema, kjer se povečanje nadomesti z zmanjšanjem, se nahajajo lokalni maksimumi in kjer se zmanjšanje nadomesti s povečanjem - lokalni minimumi. Izračunajte vrednost funkcije na teh točkah. Če ima funkcija kritične točke, ki niso lokalne ekstremne točke, je koristno izračunati vrednost funkcije tudi na teh točkah.

Iskanje največjih in najmanjše vrednosti funkcija y = f (x) na segmentu(nadaljevanje)

1. Poiščite izpeljavo funkcije: f(x).

2. Poiščite točke, pri katerih je izpeljanka nič: f(x)=0x 1, x 2 ,...

3. Ugotovite, katere točke pripadajo X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: pustiti x 1a;b, a x 2a;b .

4. Poiščite vrednosti funkcije na izbranih točkah in na koncih segmenta: f(x 1), f(x 2),..., f(x a),f(x b),

5. Izbira največje in najmanjše vrednosti funkcije izmed najdenih.

Komentar. Če na segmentu [ a; b] obstajajo prelomne točke, potem je treba v njih izračunati enostranske meje, nato pa njihove vrednosti upoštevati pri izbiri največje in najmanjše vrednosti funkcije.

7) Iskanje intervalov konveksnosti in konkavnosti... To naredimo tako, da preučimo predznak druge izpeljanke f(x). Poiščite pregibne točke na stičišču konveksnega in konkavnega intervala. Izračunajte vrednost funkcije na pregibnih točkah. Če ima funkcija druge točke kontinuitete (razen pregibnih točk), pri katerih je druga izpeljanka enaka 0 ali pa ne obstaja, je na teh točkah koristno izračunati tudi vrednost funkcije. Ko je našel f(x), rešimo neenakost f(x) 0. Na vsakem od intervalov rešitev bo funkcija konveksna navzdol. Reševanje obratne neenakosti f(x) 0, najdemo intervale, v katerih je funkcija konveksna navzgor (to je konkavna). Pregibne točke definiramo kot tiste točke, na katerih funkcija spremeni smer konveksnosti (in je zvezna).

Pregibna točka funkcije je točka, na kateri je funkcija zvezna in ob prehodu skozi katero funkcija spremeni smer konveksnosti.

Pogoji obstoja

Potreben pogoj za obstoj pregibne točke:če je funkcija dvakrat diferencibilna v neki preluknjani soseščini točke, potem tudi .