Največja in najmanjša funkcija funkcije. Največje in najmanjše vrednosti funkcije najmanjše vrednosti vrednosti f x

Včasih nalog B15 naletijo na "slabe" funkcije, za katere je težko najti derivat. Prej je bilo le na sondah, zdaj pa so te naloge tako pogoste, da se ne morejo več prezreti pri pripravi na to EGE.

V tem primeru, druge tehnike dela, od katerih je eden - monotone..

Funkcija F (X) se imenuje monotonično narašča na segmentu, če je za vse točke x 1 in x 2 tega segmenta, sledi naslednje:

x 1.< x 2 ⇒ f (x 1.) < f (x 2.).

Funkcija f (x) se imenuje monotono zmanjšuje na segmentu, če za vse točke X1 in X2 tega segmenta se imenuje naslednje:

x 1.< x 2 ⇒ f (x 1.)\u003e F ( x 2.).

Z drugimi besedami, za povečanje funkcije, večja X, več F (X). Za zmanjševanje funkcije je druga pot: več X, The manj f (x).

Na primer, logaritem monotonično poveča, če je baza A\u003e 1, in monotono se zmanjša, če je 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) \u003d log a x (a\u003e 0; a ≠ 1; x\u003e 0)

Aritmetični kvadrat (in ne samo kvadratni) koreninsko monotonično povečuje po vsej območju opredelitve:

Okvirna funkcija se obnaša podobno kot logaritem: raste pri A\u003e 1 in se zmanjša pri 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponentna funkcija Opredeljen za vse številke in ne samo za X\u003e 0:

f (x) \u003d a x (a\u003e 0)

Končno, stopnja z negativnim kazalnikom. Lahko jih posnamete kot frakcijo. Imate odmor, v katerem je monotonija zlomljena.

Vse te funkcije niso nikoli v čisti obliki. Dodajajo polinome, frakcije in druge neumnosti, zaradi katerih je težko razmisliti o derivatu. Kaj se zgodi - zdaj bomo pregledali.

Koordinate vozlišča parabole

Najpogosteje se argument funkcije nadomesti z kvadrat Threehlen. Ogled Y \u003d AX 2 + BX + C. Njegov urnik je standardna parabola, v kateri nas zanimajo:

Parabole veje - se lahko dvignejo (na 0) ali navzdol (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
Vrh parabole je ekstremna točka kvadratne funkcije, v kateri ta funkcija traja najmanjše (za A\u003e 0) ali največjega (a< 0) значение.

Največji interes je top Parabolia.Abscisa, ki se izračuna po formuli:

Torej smo našli točko ekstrema kvadratne funkcije. Toda če je začetna funkcija monotonske, za to, bo točka X 0 tudi ekstremna točka. Tako smo oblikovali ključno pravilo:

Ekstruktumske točke kvadratnega tri-style in kompleksna funkcijav katerem vstopa, sovpada. Zato lahko iščete x 0 za kvadratne tri-posnetke, in za doseganje funkcije.

Z zgornjih razlogov ostaja nerazumljivo, katera točka dobimo: največjo ali minimalno. Vendar pa so naloge posebej sestavljene, tako da ni pomembno. Sodnik zase:

Segment manjka v stanju problema. Zato ni treba izračunati F (A) in F (B). Ostaja treba upoštevati samo ekstremne točke;
Toda samo ena točke je vrh parabole x 0, katerih koordinate se izračunajo dobesedno ustno in brez izvedenih finančnih instrumentov.

Tako je rešitev problema močno poenostavljena in se zniža na dva koraka:

Odpišite enačbo parabolla Y \u003d AX 2 + BX + C in jo najdete s formulo: x 0 \u003d -B / 2a;
Poiščite vrednost izvorne funkcije na tej točki: F (X 0). Če ni dodatnih pogojev, bo odgovor.

Na prvi pogled se ta algoritem in njegova utemeljita zdi zapleten. Namerno ne objavljam "gole" sheme odločbe, saj je nesmiselna uporaba takšnih pravil polna napak.

Razmislite o resničnih nalogah iz poskusnega izpita v matematiki - tam je ta tehnika Najpogosteje sreča. Ob istem času, bomo videli, da na ta način veliko nalog B15 postanejo skoraj ustni.

Pod koren je kvadratna funkcija Y \u003d x 2 + 6x + 13. Graf te funkcije je parabola veje, od koeficienta A \u003d 1\u003e 0.

Top Parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 · 1) \u003d -6/2 \u003d -3

Ker so panoge parabole usmerjene navzgor, na točki x 0 \u003d -3, funkcija Y \u003d x 2 + 6x + 13 sprejme najmanjšo vrednost.

Koren monotonično povečuje, kar pomeni x 0 - točka najmanjše celotne funkcije. Imamo:

Nalogo. Poiščite najmanjšo funkcijo funkcije:

y \u003d log 2 (x 2 + 2x + 9)

Pod logaritmom, kvadratna funkcija: y \u003d x 2 + 2x + 9. grafikon - parabola veje, ker A \u003d 1\u003e 0.

Top Parabola:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 · 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Torej, na točki x 0 \u003d -1, kvadratna funkcija traja najmanjšo vrednost. Toda funkcija Y \u003d Log 2 X je monotona, zato:

y min \u003d y (-1) \u003d log 2 ((-1) 2 + 2 · (-1) + 9) \u003d ... \u003d log 2 8 \u003d 3

Kazalnik je kvadratna funkcija y \u003d 1 - 4x - x 2. Ponovno napišite v normalni obliki: y \u003d -x 2 - 4x + 1.

Očitno je urnik te funkcije parabola, veje navzdol (A \u003d -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 \u003d -B / (2a) \u003d - (- 4) / (2 · (-1)) \u003d 4 / (- 2) \u003d -2

Začetna funkcija je indikativna, to je monotonne, tako največja vrednost Bo v meniju X 0 \u003d -2:

Pozorni bralec bo verjetno opazil, da nismo odpisali območja dovoljenih vrednosti korena in logaritma. Toda to ni bilo potrebno: znotraj funkcij, ki so vedno pozitivne.

Posledice funkcije določanja funkcije

Včasih rešiti problem B15 ni dovolj, da bi našli vrh parabole. Želena vrednost lahko laže na koncu rezanjain sploh ne na točki ekstrema. Če naloga sploh ne določa segmenta, gledamo področje dovoljenih vrednosti Izvorna funkcija. Namreč:

Ponovno bodite pozorni: Zero je lahko pod korenino, vendar v logaritmu ali denomoterju, nikoli. Poglejmo, kako deluje na posebnih primerih:

Nalogo. Poiščite največjo vrednost funkcije:

Pod korenino, kvadratna funkcija: y \u003d 3 - 2x - x 2. Njegov graf - parabola, ampak veje navzdol, ker a \u003d -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический kvadratni koren Iz negativnega števila ne obstaja.

Napišemo območje dovoljenih vrednosti (OTZ):

3 - 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x - 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [-3; eno]

Zdaj najdemo vrh parabole:

x 0 \u003d -B / (2a) \u003d - (- 2) / (2 · (-1)) \u003d 2 / (- 2) \u003d -1

Točka x 0 \u003d -1 spada v segment OTZ - in to je dobro. Zdaj menimo, da je vrednost funkcije na točki X 0, kot tudi na koncih OTZ:

y (-3) \u003d y (1) \u003d 0

Torej so prejeli številke 2 in 0. Pozamali smo, da najdemo največjo - to je številka 2.

Nalogo. Poiščite najmanjšo funkcijo funkcije:

y \u003d log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Znotraj logaritma stane kvadratna funkcija y \u003d 6x - x 2 - 5. To je parabola veje navzdol, vendar v logaritmu ne more biti negativnih števil, zato pišemo ...

6x - x 2 - 5\u003e 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Opomba: Neenakost je stroga, zato konci ne pripadajo OTZ. Ta logaritem se razlikuje od korena, kjer so konci segmenta precej primerni.

Iščemo vrh parabole:

x 0 \u003d -B / (2a) \u003d -6 / (2 · (-1)) \u003d -6 / (- 2) \u003d 3

Vrh parabole je primeren za ODZ: x 0 \u003d 3 ∈ (1; 5). Ker pa se konci segmenta ne zanimajo, upoštevajte vrednost funkcije samo v točki X 0:

y min \u003d y (3) \u003d log 0,5 (6 · 3 - 3 2 - 5) \u003d log 0,5 (18 - 9 - 5) \u003d log 0,5 4 \u003d -2

Pustite funkcijo y \u003df. (x) neprekinjeno na segmentu [ a, B.]. Kot je znano, ta funkcija na tem segmentu doseže največje in najmanjše vrednosti. Te vrednosti te vrednosti lahko traja bodisi na notranji točki segmenta [ a, B.], na meji segmenta.

Najti največje in najmanjše vrednosti funkcije na segmentu [ a, B.] Potrebno:

1) Poiščite funkcije kritičnih točk v intervalu ( a, B.);

2) Izračunajte vrednosti funkcije v najdenih kritičnih točkah;

3) Izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta, to je, kdaj x.= zvezek in x \u003d B.;

4) iz vseh izračunanih vrednosti funkcije, da izberejo največje in najmanjše.

Primer. Poiščite največje in najmanjše vrednosti funkcije

na segmentu.

Mi najdemo kritične točke:

Te točke ležijo znotraj segmenta; y.(1) = ‒ 3; y.(2) = ‒ 4; y.(0) = ‒ 8; y.(3) = 1;

na točki x.\u003d 3 in na točki x.= 0.

Preiskava funkcije za izbokline in kontrolo.

Funkcija y. = f. (x.) imenovan stavba V intervalu (a., b.) Če je njegov urnik pod tangento, porabljen na kateri koli točki te vrzeli, in se imenuje konveksna navzdol (konkavna)Če je njegov urnik na tangentu.

Točka pri preklapljanju, skozi katero se izboklina nadomesti s konkretnostjo ali obratno, klicano točkovanje.

Algoritem za raziskave na izbočenju in kontrolni točki: \\ t

1. Poiščite kritične točke druge vrste, to je točke, v katerih je drugi derivat nič ali ne obstaja.

2. Nanesite kritične točke na numerično naravnost in jo razbijte v vrzeli. Poiščite znak drugega derivata v vsakem intervalu; Če je funkcija CONVEX UP, če je funkcija konveksna navzdol.

3. Če bo pri prehodu skozi kritično točko druge vrste spremenila znak in na tej točki, je drugi derivat nič, potem je ta točka abscisa točke napolnjenosti. Poiščite njeno oredite.

Grafika za asimptote. Raziskovalna funkcija na asimptotah.

Opredelitev.Asimptota grafična funkcija se imenuje ravno, ki imajo nepremičnino, da je razdalja od katere koli točke urnika na to naravnost prizadeva za ničla z neomejeno odstranitvijo točke urnika iz izvora.

Obstajajo tri vrste asimptotov: navpično, vodoravno in nagnjeno.

Opredelitev. Neposredno imenovan vertikalno asimptota.funkcijska grafika y \u003d f (x)Če je vsaj ena od enostranskih omejitev delovanja na tej točki neskončnost, to je

kje je točka prekinitve funkcije, ki je, spada v območje definicije.

Primer.

D ( y.) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x.\u003d 2 - točka vrzeli.

Opredelitev.Ravno y \u003dA. imenovan horizontalna asimptota. Funkcijska grafika y \u003d f (x) Kdaj, če.

Primer.

x.
y.

Opredelitev.Ravno y \u003dk.x +.b. (k.≠ 0) Poklican nagnjena asimptota Funkcijska grafika y \u003d f (x) kjer

Splošna shema za raziskovanje funkcij in gradbenih grafov.

Funkcionalne raziskave Algoritm.y \u003d f (x) :

1. Poiščite območje definicije polja D. (y.).

2. Poiščite (če je mogoče) točko presečitve grafa z osi koordinat (Kdaj x. \u003d 0 in. y. = 0).

3. Raziščite pariteto in izčrpanost funkcije ( y. (‒ x.) = y. (x.) ‒ pariteta; y.(‒ x.) = ‒ y. (x.) ‒ natančnost).

4. Poiščite asimptote grafike funkcije.

5. Poiščite monotonske intervale funkcije.

6. Poiščite ekstremne funkcije.

7. Poiščite intervale konveksnosti (konkavity) in točke napolnjenosti grafike funkcije.

8. Na podlagi študij, ki se izvajajo za izgradnjo delovnega razporeda.

Primer.Raziščite funkcijo in zgradite svoj urnik.

1) D. (y.) =

x. \u003d 4 - Točka vrzeli.

2) Za x. = 0,

(0; - 5) - Point križišča z oy..

Za y. = 0,

3) y.(‒ x.)= Funkcijo splošne oblike (niti niti liho).

4) Raziskovanje asimptotov.

a) navpično

b) vodoravno

c) Našli smo nagnjene asimptote, kjer

-Ilacija nagnjenih asimptotov

5) Ta enačba ne zahteva intervalov monotonije funkcij.

Te kritične točke razdelijo celotno področje določanja funkcije v intervalu (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) in (10; + ∞). Dobljeni rezultati so na priročni obliki v obliki naslednje tabele:



				brez ECR.

Iz mize je jasno, da je točka h. \u003d -2 Največja točka na točki h. \u003d 4-No Extrum, h. \u003d Najmanj 10 mm.

Namestimo vrednost (- 3) enačbi:

9 + 24 ‒ 20 > 0

25 ‒ 40 ‒ 20 < 0

121 ‒ 88 ‒ 20 > 0

Največja ta funkcija je enaka

(- 2; - 4) - največji ekstrem.

Najmanjša ta funkcija je enaka

(10; 20) - skrajni minimum.

7) Raziščite zlorabo in točko napak grafike funkcije

V praksi je pogosto potrebno uporabiti derivat, da bi izračunali največjo in najmanjšo funkcijsko vrednost. To dejanje izvajamo, ko ugotovimo, kako zmanjšati stroške, povečati dobiček, izračunati optimalno obremenitev proizvodnje itd., To je, v primerih, ko morate določiti optimalno vrednost kakršnega koli parametra. Če želite pravilno rešiti takšne naloge, je treba dobro razumeti, kaj je največja in najmanjša vrednost funkcije.

Običajno opredelimo te vrednosti v določenem intervalu X, ki se lahko nanašajo na celotno področje opredelitve funkcije ali njegovega dela. To je lahko kot segment [A; b] in odprti interval (A; B), (A; B], [A; B), neskončni interval (A; B), (A; B], [A; B) ali neskončno vrzel - ∞ ; A, (- ∞; a], [A; + ∞), (- ∞; + ∞).

V tem materialu bomo opisali, kako se izračuna največja in najmanjša vrednost izrecno določene funkcije z eno spremenljivko y \u003d f (x) y \u003d f (x).

Glavne definicije

Začnimo, kot vedno, z oblikovanjem osnovnih definicij.

Opredelitev 1.

Največja vrednost funkcije y \u003d f (x) na neki razlikah je maxy \u003d f (x 0) x ∈ x, ki, s katerim koli pomen xx ∈ x, x ≠ x 0 naredi neenakost f (x) ≤ f ( X 0).

Opredelitev 2.

Najmanjša vrednost funkcije Y \u003d F (X) na neki razmike je Minx ∈ XY \u003d F (X 0), ki z vsemi vrednostjo x ∈ X, x ≠ x 0 naredi neenakost f (x f (x) ≥ f (x 0).

Te opredelitve so precej očitne. To je še lažje reči, da: največja vrednost funkcije je najboljša velik pomen V znanem intervalu na abscisu X 0 in najmanjša je najmanjša vrednost v istem intervalu pri X 0.

Opredelitev 3.

Stacionarne točke so vrednosti funkcijskega argumenta, v katerih je njegov derivat naveden 0.

Zakaj moramo vedeti, kakšne točke odlagališč? Da bi odgovorili na to vprašanje, se morate spomniti naorem na kmetiji. Iz tega sledi, da je stacionarna točka takšna točka, v kateri se nahaja ekstrem diferenčne funkcije (to je njen lokalni minimalni ali največ). Posledično bo funkcija v določenem intervalu v eni od stacionarnih točk vzela najmanjše ali najpomembnejše.

Druga funkcija lahko sprejme največjo ali najmanjšo vrednost na teh točkah, v katerih je funkcija, ki je definirana, in njegov prvi derivat ne obstaja.

Prvo vprašanje, ki se pojavi pri preučevanju te teme: V vseh primerih lahko določimo največjo ali najmanjšo vrednost funkcije na določenem segmentu? Ne, tega ne moremo storiti, ko bodo meje določene vrzeli sovpadale z mejami območja opredelitve, ali če se ukvarjamo z neskončnim intervalom. Prav tako se zgodi, da bo funkcija v določenem segmentu ali v neskončnosti neskončno majhna ali neskončno velike vrednosti. V teh primerih ni mogoče določiti največje in / ali najmanjše vrednosti.

Bolj razumljivo, da bodo ti trenutki po sliki na urnikih:

Prva risba nam kaže funkcijo, ki jemljejo največje in najmanjše vrednosti (M a x y in m) v stacionarnih točkah, ki se nahajajo na segmentu [- 6; 6].

Podrobno natančno analiziramo primer, navedeno na drugi grafikonu. Spremenite vrednost segmenta na [1; 6] In dobimo, da bo največja vrednost funkcije dosežena na točki z absciso na desni meji intervala in najmanjša - v stacionarni točki.

V tretji risbi abscisa so točke mejne točke segmenta [- 3; 2]. Ustrezajo največji in najmanjši vrednosti določene funkcije.

Zdaj pa poglej četrto risbo. V njem je funkcija M A X Y (največja vrednost) in M \u200b\u200b(najmanjša vrednost) v stacionarnih točkah v odprtem intervalu (- 6; 6).

Če vzamemo interval [1; 6), lahko rečemo, da bo najmanjša vrednost delovanja na njej dosežena v stacionarni točki. To ne bo znano kot največja vrednost. Funkcija bi lahko vzela najvišjo vrednost pri X, ki je enaka 6, če je X \u003d 6 pripadal intervalu. Ta primer je narisan na grafikonu 5.

Na grafu 6, najmanjša vrednost te funkcije pridobi na desni meji intervala (- 3; 2], in ne moremo sprejeti določenih zaključkov o največji vrednosti.

Na sliki 7 vidimo, da bo funkcija imela m x y v stacionarni točki, ki ima absciso enako 1. Najmanjša funkcija bo dosegla na meji intervala na desni strani. Na minus neskončnosti bodo vrednosti funkcije asimptotično približevale y \u003d 3.

Če vzamemo interval X ∈ 2; + ∞, videli bomo, da podana funkcija ne bo na njej najmanjša ali največja vrednost. Če se X prizadeva za 2, se bodo vrednosti funkcije prizadevale za minus neskončnosti, saj je ravna črta X \u003d 2 navpična asimptota. Če abscisa nagiba k neskončnosti, bodo vrednosti funkcije asimptotično pristopile y \u003d 3. Ta primer je prikazan na sliki 8.

Na tej točki predstavljamo zaporedje ukrepov, ki jih je treba izvesti za iskanje največje ali najmanjše vrednosti funkcije na določenem segmentu.

Za začetek najdemo območje definicije polja. Preverite, ali je v stanju segmenta.
Zdaj izračunamo točke, ki jih vsebuje ta segment, v katerih ni prvega derivata. Najpogosteje jih je mogoče najti v funkcijah, katerih argument se zabeleži pod znakom modula, ali v močnih funkcijah, katerih indikator je frakcijska racionalna številka.
Nato ugotovite, katere stacionarne točke bodo spadale v določen segment. Če želite to narediti, je treba izračunati derivat funkcije, nato pa ga izenačiti na 0 in rešiti enačbo, ki nastane na koncu, potem pa je mogoče izbrati ustrezne korenine. Če ne uspevamo v eni sami stacionarni točki ali pa ne bodo padle v določen segment, potem gremo na naslednji korak.
Določamo, katere vrednosti bodo prejele funkcijo v določenih stacionarnih točkah (če obstajajo), ali na teh točkah, v katerih ni prvega derivata (če sploh), ali izračuna vrednosti za X \u003d A in X \u003d B .
5. Izkazali smo številne funkcije funkcije, od katerih morate zdaj izbrati najbolj in najmanjše. To bodo največje in najmanjše vrednosti funkcij, ki jih moramo najti.

Poglejmo, kako pravilno uporabljati ta algoritem pri reševanju nalog.

Primer 1.

Pogoj: Funkcija Y \u003d x 3 + 4 x 2 je podana. Določiti njegovo največjo in najmanjšo vrednost na segmentih [1; 4] in [- 4; - Ena].

Sklep:

Začnimo z lokacijo območja definicije te funkcije. V tem primeru bo imelo veliko veljavnih številk, razen 0. Z drugimi besedami, d (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Oba segmenta, določena v stanju, bosta v območju opredelitve.

Zdaj izračunajte funkcijo izvedenih finančnih instrumentov v skladu z napakami diferenciacije:

y "\u003d x 3 + 4 x 2" \u003d x 3 + 4 "· x 2 - x 3 + 4 · x 2" x 4 \u003d 3 x 2 · x 2 - (x 3 - 4) · 2 xx 4 \u003d x 3 - 8 x 3

Naučili smo se, da bi izpeljana funkcija obstajala na vseh točkah segmentov [1; 4] in [- 4; - Ena].

Zdaj moramo opredeliti stacionarne točke funkcije. To bomo storili z enačbo x 3 - 8 x 3 \u003d 0. Ima samo en veljaven korenin enak 2. To bo stacionarna točka funkcije in bo spadala v prvi segment [1; štiri].

Izračunajte vrednosti funkcije na koncih prvega segmenta in na tej točki, t.j. Za X \u003d 1, X \u003d 2 in X \u003d 4:

y (1) \u003d 1 3 + 4 1 2 \u003d 5 Y (2) \u003d 2 3 + 4 2 2 \u003d 3 Y (4) \u003d 4 3 + 4 4 2 \u003d 4 1 4

Dobili smo, da je največja vrednost funkcije m a x y x ∈ [1; 4] \u003d Y (2) \u003d 3 bo doseženo pri X \u003d 1, in najmanjši M I N Y X ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3 - pri X \u003d 2.

Drugi segment ne vključuje samostojne stacionarne točke, zato moramo izračunati vrednosti funkcije le na koncih določenega segmenta:

y (- 1) \u003d (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 \u003d 3

To pomeni m a x y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 1) \u003d 3, M I n y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Odgovor:Za segment [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3, m i n y x ∈ [1; 4] \u003d y (2) \u003d 3, za segment [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 1) \u003d 3, M I n y x ∈ [- 4; - 1] \u003d Y (- 4) \u003d - 3 3 4.

Glej sliko:

Pred učenjem ta metodaSvetujemo vam, da ponovite, kako pravilno izračunati enostransko mejo in omejitev na neskončnosti, kot tudi naučiti osnovne metode njihove lokacije. Če želite najti največ in / ali najmanjšo vrednost funkcije na zunanjem ali neskončnim intervalu, izvedite naslednje korake.

Najprej morate preveriti, ali bo določen interval podskupina območja opredelitve te funkcije.
Določamo vse točke, ki so vsebovane v želenem intervalu in v katerih ni prvega derivata. Ponavadi imajo funkcije, kjer se argument zaključi v znaku modula, in v moči na moči s frakcijsko racionalno indikatorjem. Če so te točke odsotne, se lahko premaknete na naslednji korak.
Zdaj definiramo, kaj bodo stacionarne točke padle na dano vrzel. Prvič, izenačite izpeljavo na 0, rešite enačbo in izberite prave korenine. Če nimamo samostojne stacionarne točke ali pa ne spadajo v določen interval, potem takoj pojdite na nadaljnje ukrepe. Določeni so po mnenju intervala.

Če je interval obrazec [A; b), potem moramo izračunati vrednost funkcije na točki X \u003d A in enostransko mejo Lim X → B - 0 F (X).
Če ima interval obrazec (A; B], potem moramo izračunati vrednost funkcije na točki X \u003d B in enostransko mejo Lim X → A + 0 F (X).
Če ima interval obrazec (A; B), potem moramo izračunati enostranske meje lim X → B - 0 F (X), LIM X → A + 0 F (X).
Če je interval obrazec [A; + ∞), potem je treba izračunati vrednost na točki X \u003d A in mejo na Plus Infinity Lim X → + ∞ F (X).
Če je interval izgleda (- ∞; b], izračunamo vrednost na točki x \u003d b in omejitev za minus neskončnost lim x → - ∞ f (x).
Če - ∞; B, potem menimo, da je enostranska omejitev lim X → B - 0 F (X) in omejitev za minus Infinity Lim X → - ∞ F (X)
Če - ∞; + ∞, upoštevamo meje za minus in infinity lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).

Na koncu je treba na podlagi dobljenih in omejitev funkcij zaključiti. Tukaj je veliko možnosti. Torej, če je enostranska meja minus Infinity ali Plus Infinity, je takoj jasno, da se nič ne more reči o najmanjši in največji vrednosti funkcije. V nadaljevanju bomo analizirali en tipičen primer. Podrobnejši opisi Vam bo pomagal razumeti, kaj je kaj. Če je potrebno, se lahko vrnete na slike 4 - 8 v prvem delu materiala.

Primer 2.

Pogoj: Funkcija Y \u003d 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 je podana. Izračunajte svojo največjo in najmanjšo vrednost v intervalih - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).

Sklep

Najprej najdemo območje definicije polja. V denoterja je Fraci kvadratna tri-melana, ki ne bi smela kontaktirati 0:

x 2 + x - 6 \u003d 0 D \u003d 1 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 25 x 1 \u003d - 1 - 52 \u003d -3 x 2 \u003d - 1 + 5 2 \u003d 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)

Dobili smo področje opredelitve funkcije, na katero so vsi intervali, določeni v stanju.

Zdaj izpolnite razlikovanje funkcije in dobite:

y "\u003d 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4" \u003d 3 · E 1 x 2 + X - 6 "\u003d 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6" \u003d \u003d 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 \u003d - 3 · (2 \u200b\u200bx + 1) · E 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Zato obstajajo izvedeni finančni instrumenti v celotni opredelitvi.

Obrnimo se na ugotovitev stacionarnih točk. Derivat se nanaša na 0 pri X \u003d - 1 2. To je stacionarna točka, ki je v intervalih (- 3; 1] in (- 3; 2).

Izračunajte vrednost funkcije pri X \u003d - 4 za vrzel (- ∞; - 4], kot tudi mejo za minus neskončnosti:

y (- 4) \u003d 3 E 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 E 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 LIM X → - ∞ 3 E 1 x 2 + x - 6 \u003d 3 E 0 - 4 \u003d - 1

Od 3 E 1 6 - 4\u003e - 1, torej, maxyx ∈ (- ∞; - 4] \u003d Y (- 4) \u003d 3 E 1 6 - 4. Ne daje nam priložnost, da edinstveno določi najmanjšo vrednost Funkcija. Mi lahko samo zaključek, ki je spodaj omejena - 1, saj je to ravno na tej vrednosti, da funkcija približuje asimptotično za minus neskončnosti.

Značilnost drugega intervala je, da ni samostojne stacionarne točke in ene stroge meje. Zato ne bomo mogli izračunati največje niti najmanjše vrednosti funkcije. Po določitvi meje za minus neskončnost in ko je argument zasnovan tako - 3 na levi strani, dobimo le interval vrednosti:

lIM X → - 3 - 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → - 3 - 0 3 E 1 (x + 3) (X - 3) - 4 \u003d 3 E 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 E 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 E + ∞ - 4 \u003d + ∞ Lim X → - ∞ 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d 3 E 0 - 4 \u003d - 1

To pomeni, da bodo vrednosti funkcije v intervalu - 1; + ∞.

Če želite najti najbolj funkcijo v tretji vrzeli, opredelimo njegovo vrednost v stacionarni točki X \u003d - 1 2, če je X \u003d 1. Prav tako bomo morali poznati enostransko mejo za primer, ko se argument prizadeva - 3 na desni strani:

y - 1 2 \u003d 3 E 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 E 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 Y (1) \u003d 3 E 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 LIM X → - 3 + 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → - 3 + 0 3 E 1 (x + 3) (X - 2) - 4 \u003d 3 E 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 \u003d \u003d 3 E 1 (- 0) - 4 \u003d 3 E - ∞ - 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

Izkazalo se je, da bo največja vrednost sprejeta v stacionarni točki Maxyx ∈ (3; 1] \u003d Y - 1 2 \u003d 3 E - 4 25 - 4. Kar zadeva najmanjšo vrednost, ni mogoče določiti. Vse kar vemo - To je prisotnost omejitve od spodaj - 4.

Za interval (- 3; 2) bomo sprejeli rezultate prejšnjega izračuna in ponovno izračunamo, kar je enako enostranski omejitvi, ko sledite 2 na levi strani:

y - 1 2 \u003d 3 E 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 \u003d 3 E - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 LIM X → - 3 + 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d - 4 LIM X → 2 - 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → - 3 + 0 3 E 1 (x + 3) (X - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 \u003d 3 E 1 - 0 - 4 \u003d 3 E - ∞ - 4 \u003d 3 · 0 - 4 \u003d - 4

Torej, m a x y x ∈ (- 3; 2) \u003d y - 1 2 \u003d 3 E - 4 25 - 4, najmanjša vrednost pa ni mogoča, vrednosti funkcije pa so omejene na dno - 4.

Na podlagi tega, kar smo naredili v dveh prejšnjih izračunih, lahko to trdimo v intervalu [1; 2) Funkcija bo trajala največjo vrednost pri X \u003d 1, in je nemogoče najti najmanjše.

V intervalu (2; + ∞) funkcija ne bo dosegla največje niti najmanjše vrednosti, tj. Vrednosti iz vrzeli - 1; + ∞.

lIM X → 2 + 0 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d LIM X → - 3 + 0 3 E 1 (X + 3) (X - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 \u003d 3 E 1 (+ 0) - 4 \u003d 3 E + ∞ - 4 \u003d + ∞ Lim x → + ∞ 3 E 1 x 2 + X - 6 - 4 \u003d 3 E 0 - 4 \u003d - 1

Izračun, kaj bo vrednost funkcije pri X \u003d 4, ugotovimo, da je m a x y x ∈ [4; + ∞) \u003d y (4) \u003d 3 E 1 14 - 4, določena funkcija na plus neskončnosti pa bo asimptotično približala neposredno y \u003d - 1.

Primerljivo je s tem, kar smo se izkazali za vsak izračun, z grafom dane funkcije. Na sliki Asymptotes kažejo s pikčasto črto.

To je vse, kar smo želeli povedati o iskanju največjih in najmanjših vrednostih funkcije. Poseprijanja dejanj, ki jih vodimo, bodo pomagale, da bodo potrebni izračuni hitro in preprosto. Ampak ne pozabite, da je pogosto koristno, da najprej ugotovite, v kakšnih obdobjih se bo funkcija zmanjšala, in pri tem, kaj povečanje, potem, ko lahko naredite nadaljnje sklepe. Tako lahko natančneje določite največjo in najmanjšo vrednost funkcije in utemeljite dosežene rezultate.

Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter

Julija 2020 je NASA začela odpravo v Mars. Spacecraft bo dostavila elektronske medije Marsu z imeni vseh registriranih udeležencev ekspedicije.

Če je ta objava odločila na vaš problem ali pa vam je bila všeč, delite povezavo z njo s prijatelji na socialnih omrežjih.

Ena od teh možnosti kode je treba kopirati in vstaviti v kodo vaše spletne strani, prednostno med oznakami in ali takoj po oznaki . V skladu s prvo različico je Mathax naložen hitreje in upočasnjuje stran. Toda druga možnost samodejno sledi in naloži najnovejše različice Mathajax. Če vstavite prvo kodo, bo treba redno posodabljati. Če vstavite drugo kodo, bodo strani naložene počasneje, vendar vam ne boste potrebovali nenehno spremljanja posodobitev Mathajaxa.

Connect MathJax je najlažji način za Blogger ali WordPress: Dodajte pripomoček za vstavljanje kode JavaScript tretje osebe, da vstavite prvo ali drugo različico prikazane kode za prenos, ki je prikazana zgoraj in postavite gradnik bližje na začetku predloge (mimogrede , to sploh ni potrebno, saj je matjax scenarij naložen asinhrono). To je vse. Zdaj preberite MATHML, LATEX in ASCIIIMATHML MARKUP SYNTAX, in ste pripravljeni vstaviti matematične formule na spletnih straneh vašega spletnega mesta.

Še eno novo leto ... Frosty vreme in snežinka na okenskem steklu ... vse kar me je pozval, da spet pišem o ... fraktali, in o tem, kaj ve za to alfa tungshes. Ob tej priložnosti obstaja zanimiv članek, v katerem obstajajo primeri dvodimenzionalnih fraktnih struktur. Tu bomo razmislili o bolj zapletenih primerih tridimenzionalnih fraktalov.

Fraktal se lahko vizualno predstavlja (opisuje), kot geometrično obliko ali telo (v mislih, da sta oba veliko, v ta primer, veliko točk), katerih podrobnosti imajo enako obliko kot prvotno sliko. To pomeni, da je samo podobna struktura, glede na podrobnosti, katerih s povečanjem bomo videli enako obliko kot brez povečanja. Ker v primeru navadnega geometrijska slika (Ne fraktal), s povečanjem bomo videli podrobnosti, ki imajo več enostavna oblikaod samega prvotne slike. Na primer, z dovolj velikim povečanjem, del elipse izgleda kot ravna črta. Z fraktali se to ne zgodi: z nobenim povečanjem bomo spet videli isto kompleksno obliko, ki se ponovno ponovi in \u200b\u200bznova.

Benoit Mandelbrot (Benoit Mandelbrot), ustanovitelj znanosti fraktalov, v svojem članku fraktals in umetnost v imenu znanosti je napisal: "Fraktali so geometrijske oblike, ki so v enaka stopnja Podrobnosti, kot v svoji splošni obliki. To je, če se del fraktala poveča na velikost celote, bo izgledala kot celota, ali točno, ali morda z majhno deformacijo. "

S praktičnega vidika je uporaba derivata za iskanje največje in najmanjše funkcije funkcije največje zanimanje. S čim je povezan? Maksimiranje dobička, zmanjšanje stroškov, ki določa optimalno nalaganje opreme ... Z drugimi besedami, na mnogih področjih življenja morate rešiti probleme optimizacije vseh parametrov. In to so naloge iskanja največje in najmanjše funkcije funkcije.

Opozoriti je treba, da se največja in najmanjša vrednost funkcije običajno išče v določenem intervalu X, ki je celotna funkcija določanja funkcije ali dela območja definicije. Interval X je lahko segment, odprti interval , neskončno vrzel.

V tem članku bomo govorili o iskanju največjih in najmanjših vrednosti izrecno določene funkcije ene spremenljivke y \u003d f (x).

Navigacijska stran.

Največja in najmanjša vrednost funkcije je definicija, ilustracija.

Na kratko osredotočiti na osnovne definicije.

Največja vrednost funkcije kaj za vse Poštena neenakost.

Najmanjša vrednost funkcije y \u003d f (x) na intervalu x pokličite tako vrednost kaj za vse Poštena neenakost.

Te opredelitve so intuitivne: največja (najmanjša) vrednost funkcije je največja (majhna) vrednost na intervalu, ki se obravnava med absciso.

Stacionarne točke - To so vrednosti argumenta, v kateri je izpeljana funkcija narisana na nič.

Zakaj imamo nepremične točke pri iskanju največjih in najmanjših vrednot? Odgovor na to vprašanje daje teoremu na kmetiji. Iz tega izreka izhaja, da če ima diferencialna funkcija ekstremna (lokalna minimalna ali lokalna maksimalna) na neki točki, potem je ta točka mirujoča. Tako funkcija pogosto vzame največjo (najmanjšo) vrednost v intervalu X v eni od mirujočih točk od te vrzeli.

Tudi pogosto največja in najmanjša funkcija lahko sprejmejo na točkah, v katerih ni prvega derivata te funkcije, in funkcija je definirana.

Takoj odgovorite na eno od najpogostejših vprašanj na to temo: "Ali lahko vedno določite največjo (najmanjšo) funkcijo"? Ne vedno. Včasih so meje X GAP sovpada z mejami funkcije določanja funkcije ali interval X, neskončne. Nekatere funkcije na neskončnosti in na mejah območja definicije lahko vzamejo kot neskončno velike in neskončne majhne vrednosti. V teh primerih ni mogoče povedati o največji in najmanjši funkciji.

Zaradi jasnosti dajte grafično ilustracijo. Poglej risbe - in veliko bo postalo jasnejše.

Na reza

V prvi risbi je funkcija največja (max y) in najmanjše (MIN Y) vrednosti v stacionarnih točkah znotraj segmenta [-6; 6].

Razmislite o primeru, ki je prikazano v drugi risbi. Spremenite segment. V tem primeru je najmanjša funkcija funkcije dosežena v stacionarni točki, največja - na točki z abstrassa, ki ustreza desni meji intervala.

Slika 2, mejne točke segmenta [-3; 2] so izstop iz točk, ki ustrezajo največji in najmanjši vrednosti funkcije.

Odpri interval

V četrti risbi, funkcija traja največje (max y) in najmanjše vrednosti (MIN Y) v stacionarnih točkah znotraj odprtega intervala (-6; 6).

V intervalu ne morete sprejeti nobenih zaključkov o največji vrednosti.

Na neskončnosti

V primeru, predstavljenega v sedmem vzorcu, funkcija ima najvišjo vrednost (max y) v stacionarni točki z abscissa x \u003d 1, najmanjša vrednost (MIN Y), dosežemo na desni meji intervala. Na minus neskončnosti, vrednosti funkcije so asimptotično približuje y \u003d 3.

V intervalu funkcija ne doseže najmanjše ali največje vrednosti. Ko je X \u003d 2 prizadeva za desno, vrednosti funkcije, ki se nagibajo na minus neskončnosti (Straight X \u003d 2 je navpična asimptota), in ko abscisa si prizadeva za plus neskončnosti, vrednosti Funkcija asimptotično pristopite k y \u003d 3. Grafična ilustracija tega primera je prikazana na sliki št. 8.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše stalne funkcije na segmentu.

Pišemo algoritem, ki vam omogoča, da najdete največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu.

Poiščite funkcijo določanja funkcije in preverite, ali vsebuje celoten segment.
Našli smo vse točke, v katerih ni prvega izpeljanega finančnega instrumenta in ki so vsebovane v segmentu (običajno se take točke uporabljajo v funkcijah z argumentom pod znakom modula in moči z lovnim racionalnim indikatorjem). Če takih točk ni, pojdite na naslednjo točko.
Določamo vse stacionarne točke, ki spadajo v segment. Za to smo jo izenačili na nič, rešimo pridobljeno enačbo in izberete prave korenine. Če ni stacionarnih točk ali jih nobena od njih ne pade v segment, se obrnemo na naslednjo točko.
Izračunajte vrednosti funkcije v izbranih stacionarnih točkah (če obstajajo), na točkah, kjer ni prvega derivata (če obstaja), kot tudi z X \u003d A in X \u003d B.
Od pridobljenih vrednosti funkcije izberite največje in najmanjše - bodo najbolj znane in najmanjše vrednosti funkcije.

Algoritem bomo analizirali pri reševanju zgled, da bi našli največjo in najmanjšo funkcijo funkcije na segmentu.

Primer.

Poiščite največjo in najmanjšo funkcijo

na segmentu;
na segmentu [-4; -1].

Sklep.

Območje definicije polja je vse veliko veljavnih številk, razen nič, to je. Oba segmenta spadata v območje definicije.

Poiščite funkcijo izpeljanja z:

Očitno je, da derivata deluje na vseh točkah segmentov in [-4; -1].

Stacionarne točke, ki jih definiramo iz enačbe. Edina veljavna korenina je x \u003d 2. Ta stacionarna točka vstopi v prvi segment.

V prvem primeru izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta in v stacionarni točki, to je pri X \u003d 1, X \u003d 2 in X \u003d 4:

Zato je največja vrednost funkcije dosežen pri X \u003d 1, in najmanjša vrednost - pri X \u003d 2.

Za drugi primer izračunajte vrednosti funkcije le na koncih segmenta [-4; -1] (ker ne vsebuje samostojne stacionarne točke):

Sklep.

Začnimo z območjem definicije polja. Kvadratna Threethals v denomote denoterja ne bi smela dostaviti nič:

Preprosto je preveriti, ali vsi intervali iz stanja naloge pripadajo območju definicije polja.

Funkcija diferenciacije:

Očitno je, da derivat obstaja na celotnem področju opredelitve funkcije.

Poiščite nepremične točke. Derivat se nanaša na nič. Ta stacionarna točka spada v intervale (-3; 1] in (-3; 2).

In zdaj se lahko ujemajo z rezultati, dobljeni v vsakem elementu s funkcijskim grafom. Modre črtane črte označujejo asimptote.

To se lahko zaključi z ugotovitvijo največje in najmanjše funkcije funkcije. Algoritmi, ki so bili razstavljeni v tem članku, omogočajo doseganje rezultatov na minimum. Vendar pa je koristno, da se najprej določi vrzeli povečevanja in zmanjšanja funkcije in šele po tem, da sklepe o največji in najnižji vrednosti funkcije v katerem koli intervalu. To daje jasnejšo sliko in strogo utemeljitev rezultatov.