Primitiv kvadratnega korena. X koren od x antiderivat

Ste iskali antiderivat x koren od x? . Natančna rešitev z opisom in pojasnili vam bo pomagala pri soočanju tudi z najtežjo nalogo in integral iz korena x ni izjema. Pomagali vam bomo pri pripravi na domače naloge, teste, olimpijade, pa tudi na vpis na univerzo. In ne glede na primer, ne glede na to, katero matematično poizvedbo vnesete, že imamo rešitev. Na primer, "x je koren x-ovega antiderivata".

V našem življenju je zelo razširjena uporaba različnih matematičnih problemov, kalkulatorjev, enačb in funkcij. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Matematiko je človek uporabljal že od antičnih časov, od takrat pa se je njihova uporaba le še povečevala. Vendar zdaj znanost ne miruje in lahko uživamo v sadovih njenih dejavnosti, kot je na primer spletni kalkulator, ki lahko rešuje probleme, kot so x koren x antiderivacija, integral x koren, integral x koren, integral kvadratni koren,integralni koren od 1 x 2,integralni koren od x,integralni koren od x 2 1,integralni koren od x,integralni koren,integralni koren od x,integral kvadratnega korena,integral iz korena,integral iz korena od x,integrali z koreni, koren x integral, koren x antiderivat, koren x integral, koren x antiderivat, primitiv 3 koren x, primitiv x koren x, primitiv koren x, primitiv koren x, primitivni koren x, primitiv koren x, protiizvod korena, antiderivat korena x, koreninski antiderivat od x, antiderivat korena, antiderivat korena x, antiderivat od x je koren x. Na tej strani boste našli kalkulator, ki bo pomagal rešiti katero koli vprašanje, vključno z x korenom od x antiderivatom. (na primer integral iz korena x).

Kje lahko rešim kateri koli problem iz matematike, pa tudi x koren od x antiderivata na spletu?

Na naši spletni strani lahko rešite problem x root of x antiderivative. Brezplačen spletni reševalec vam bo omogočil, da v nekaj sekundah rešite spletno težavo katere koli kompleksnosti. Vse kar morate storiti je, da vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in se naučite, kako pravilno vnesti nalogo na naši spletni strani. Če imate kakršna koli vprašanja, jih lahko postavite v klepetu spodaj levo na strani kalkulatorja.

Opredelitev antiderivacijske funkcije

Funkcija y=F(x) se imenuje antiderivat za funkcijo y=f(x) v danem intervalu X,če za vse X ∈X enakost velja: F′(x) = f(x)

Lahko se prebere na dva načina:

f izpeljanka funkcije F
F antiderivat za funkcijo f

lastnost antiderivatov

Če F(x)- antiderivat za funkcijo f(x) na danem intervalu, potem ima funkcija f(x) neskončno veliko antiderivov in vse te antiderive lahko zapišemo kot F(x) + C, kjer je C poljubna konstanta.

Geometrijska interpretacija

Grafi vseh antiderivov dane funkcije f(x) dobimo iz grafa katerega koli antiderivata vzporedni prenosi vzdolž osi O pri.

Pravila za računanje antiderivatov

Antiderivat vsote je enak vsoti antiderivatov. Če F(x)- primitivno za f(x) in G(x) je antiderivat za g(x), potem F(x) + G(x)- primitivno za f(x) + g(x).
Konstantni faktor je mogoče vzeti iz predznaka izvoda. Če F(x)- primitivno za f(x), In k je torej konstantna kF(x)- primitivno za kf(x).
Če F(x)- primitivno za f(x), In k, b- stalno in k ≠ 0, potem 1/k F(kx + b)- primitivno za f(kx + b).

Zapomni si!

Vsaka funkcija F (x) \u003d x 2 + C , kjer je C poljubna konstanta in le taka funkcija je antiderivat za funkcijo f(x) = 2x.

Na primer:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f(x) = 2x, Ker F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f(x) = 2x, Ker F "(x) \u003d (x 2 -3)" = 2x \u003d f (x);

Razmerje med grafoma funkcije in njenim antiderivatom:

Če je graf funkcije f(x)>0 na intervalu, nato graf njegovega antiderivata F(x) v tem intervalu narašča.
Če je graf funkcije f(x) na intervalu, nato graf njegovega antiderivata F(x) se v tem intervalu zmanjša.
Če f(x)=0, nato graf njegovega antiderivata F(x) na tej točki se spremeni iz naraščajočega v padajoče (ali obratno).

Za označevanje antiderivata se uporablja predznak nedoločenega integrala, to je integral brez označevanja meja integracije.

Nedoločen integral

Opredelitev:

Nedoločen integral funkcije f(x) je izraz F(x) + C, torej množica vseh antiderivov dane funkcije f(x). Nedoločen integral je označen na naslednji način: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x) se imenuje integrand;
f(x) dx- se imenuje integrand;
x- se imenuje spremenljivka integracije;
F(x)- eden od antiderivov funkcije f(x);
IZ je poljubna konstanta.

Lastnosti nedoločnega integrala

Izvod nedoločenega integrala je enak integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Konstantni faktor integranda je mogoče vzeti iz predznaka integrala: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
Integral vsote (razlike) funkcij je enak vsoti(razlike) integralov teh funkcij: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Če k, b so konstante in k ≠ 0, potem \int f(kx + b) dx = \frac (1) (k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabela protiizvodov in nedoločenih integralov

Funkcija f(x)	antiderivat F(x) + C	Nedoločeni integrali \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\ni =-1	F(x) = \frac (x^ (m+1)) (m+1) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac (1) (x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac (dx) (x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac (a^x) (lna) + C	\int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x)=\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac (1) (\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx) (\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac (1) (\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac (dx) (\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt (x)	F(x) =\frac (2x \sqrt (x)) (3) + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (x))	F(x) =2\sqrt (x) + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac (dx) (\sqrt (1-x^2)) =\arcsin x + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac (dx) (\sqrt (1+x^2)) =\arctg x + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x) (a) + C	\int \frac (dx) (\sqrt (a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x) (a) + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x) (a) + C	\int \frac (dx) (\sqrt (a^2+x^2)) = \frac (1) (a) \arctg \frac (x) (a) + C
f(x) =\frac (1) (1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac (dx) (1+x^2) =\arctg + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac (1) (2a) l n \lvert \frac (x-a) (x+a) \rvert + C	\int \frac (dx) (\sqrt (x^2-a^2)) =\frac (1) (2a) l n \lvert \frac (x-a) (x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac (1) (\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac (dx) (\sin x) = l n \lvert \tg \frac (x) (2) \rvert + C
f(x)=\frac (1) (\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac (dx) (\cos x) = l n \lvert \tg (\frac (x) (2) +\frac (\pi) (4)) \rvert + C

Newton-Leibnizova formula

Naj bo f(x) ta funkcija, F njegov poljuben primitiv.

\int_ (a) ^ (b) f(x) dx =F(x)|_ (a) ^ (b)= F(b) - F(a)

kje F(x)- primitivno za f(x)

Se pravi integral funkcije f(x) na intervalu je enaka razliki antiderivov v točkah b in a.

Območje ukrivljenega trapeza

Ukrivljeni trapez se imenuje lik, omejen z grafom nenegativne in neprekinjene funkcije na segmentu f, os Ox in ravne črte x = a in x = b.

Območje ukrivljenega trapeza najdemo s formulo Newton-Leibniz:

S= \int_ (a) ^ (b) f(x) dx

Kompleksni integrali

Ta članek zaključuje temo nedoločenih integralov in vključuje integrale, ki se mi zdijo precej težki. Lekcija je nastala na večkratno željo obiskovalcev, ki so izrazili željo, da bi na strani analizirali težje primere.

Predpostavlja se, da je bralec tega besedila dobro pripravljen in zna uporabiti osnovne tehnike integracije. Tebe in ljudje, ki niso zelo prepričani v integrale, naj se obrnejo na prvo lekcijo - Nedoločen integral. Primeri rešitev kjer se lahko naučite teme skoraj iz nič. Izkušenejši študenti se lahko seznanijo s tehnikami in metodami integracije, ki jih v mojih člankih še nisem srečal.

Kateri integrali bodo upoštevani?

Najprej upoštevamo integrale s koreninami, za rešitev katerih zaporedoma uporabljamo spremenljiva substitucija in integracija po delih. To pomeni, da sta v enem primeru dve metodi združeni hkrati. In še več.

Potem se bomo seznanili z zanimivim in izvirnim metoda reduciranja integrala nase. Ni tako malo integralov rešljivih na ta način.

Tretja številka programa bodo integrali kompleksnih ulomkov, ki so v prejšnjih člankih leteli mimo blagajne.

Četrtič, analizirani bodo dodatni integrali iz trigonometričnih funkcij. Zlasti obstajajo metode, ki se izognejo dolgotrajni univerzalni trigonometrični substituciji.

(2) V integrandu delimo števec z imenovalcem.

(3) Uporabimo lastnost linearnosti nedoločenega integrala. V zadnjem integralu, takoj spravimo funkcijo pod predznak diferenciala.

(4) Vzamemo preostale integrale. Upoštevajte, da lahko uporabite oklepaje v logaritmu in ne v modulu, ker .

(5) Izvedemo obratno zamenjavo, tako da iz neposredne zamenjave "te" izrazimo:

Mazohistični študenti lahko diferencirajo odgovor in dobijo izvirni integrand, kot sem pravkar naredil. Ne, ne, preveril sem v pravem pomenu =)

Kot lahko vidite, je bilo treba pri reševanju uporabiti celo več kot dve metodi reševanja, zato za obravnavo takšnih integralov potrebujete samozavestne integracijske veščine in ne najmanj izkušnje.

V praksi je seveda kvadratni koren pogostejši, tukaj so trije primeri za samostojna odločitev:

Primer 2

Poiščite nedoločen integral

Primer 3

Poiščite nedoločen integral

Primer 4

Poiščite nedoločen integral

Ti primeri so iste vrste, zato bo popolna rešitev na koncu članka samo za primer 2, v primerih 3-4 - en odgovor. Katero zamenjavo uporabiti na začetku odločitev, mislim, da je očitno. Zakaj sem izbral isto vrsto primerov? Pogosto najdemo v njihovih vlogah. Pogosteje morda le nekaj takega .

Toda ne vedno, ko je pod ločnim tangentom, sinusom, kosinusom, eksponentom in drugimi funkcijami koren linearna funkcija, je treba uporabiti več metod hkrati. V številnih primerih je mogoče "lahko izstopiti", torej takoj po zamenjavi dobimo preprost integral, ki je elementarno vzet. Najlažja izmed zgoraj predlaganih nalog je primer 4, v katerem po zamenjavi dobimo razmeroma preprost integral.

Metoda redukcije integrala nase

Pametna in lepa metoda. Oglejmo si klasike žanra:

Primer 5

Poiščite nedoločen integral

Pod korenom in pri poskusu integracije je kvadratni binom naveden primer kotliček lahko trpi ure in ure. Tak integral jemljejo deli in se reducira nase. Načeloma ni težko. Če veš kako.

Označimo obravnavani integral z latinsko črko in začnimo rešitev:

Integracija po delih:

(1) Integrand pripravimo za pojmovno delitev.

(2) Integrand člen delimo na člen. Morda vsi ne razumejo, napisal bom podrobneje:

(3) Uporabimo lastnost linearnosti nedoločenega integrala.

(4) Vzamemo zadnji integral ("dolgi" logaritem).

Zdaj pa poglejmo sam začetek rešitve:

In za konec:

Kaj se je zgodilo? Zaradi naših manipulacij se je integral zmanjšal nase!

Izenačite začetek in konec:

Preidemo na levo stran s spremembo predznaka:

In dvojko porušimo na desno stran. Kot rezultat:

Konstanto bi, strogo gledano, morali dodati prej, vendar sem jo dodal na koncu. Toplo priporočam, da preberete, kakšna je resnost tukaj:

Opomba: Bolj strogo Končna faza rešitev izgleda takole:

V to smer:

Konstanto je mogoče preimenovati z . Zakaj lahko preimenujete? Ker še vedno traja kaj vrednosti in v tem smislu ni razlike med konstantami in.
Kot rezultat:

Podoben trik s stalnim preimenovanjem se pogosto uporablja v diferencialne enačbe. In tam bom strog. In tukaj take svoboščine dopuščam samo zato, da vas ne bi zamenjal z nepotrebnimi stvarmi in se osredotočil na samo metodo integracije.

Primer 6

Poiščite nedoločen integral

Še en tipičen integral za samostojno rešitev. Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije. Razlika z odgovorom prejšnjega primera bo!

Če je pod kvadratnim korenom kvadratni trinom, se rešitev v vsakem primeru reducira na dva analizirana primera.

Na primer, upoštevajte integral . Vse kar morate storiti je vnaprej izberite cel kvadrat:
.
Nato se izvede linearna zamenjava, ki deluje "brez posledic":
, kar ima za posledico integral . Nekaj znanega, kajne?

Ali ta primer s kvadratnim binomom:
Izbira celotnega kvadrata:
In po linearni zamenjavi dobimo integral, ki ga prav tako rešujemo z že obravnavanim algoritmom.

Razmislite še o dveh tipičnih primerih, kako zmanjšati integral na samega sebe:
je integral eksponenta, pomnožen s sinusom;
je integral eksponenta, pomnožen s kosinusom.

V naštetih integralih po delih boste morali integrirati že dvakrat:

Primer 7

Poiščite nedoločen integral

Integrand je eksponent, pomnožen s sinusom.

Integriramo po delih dvakrat in integral reduciramo nase:

Zaradi dvojne integracije po delih se integral reducira nase. Izenačite začetek in konec rešitve:

Preidemo na levo stran s spremembo predznaka in izrazimo naš integral:

Pripravljen. Ob poti je zaželeno počesati desno stran, t.j. izvlecite eksponent iz oklepajev in postavite sinus in kosinus v oklepaje v »lepem« vrstnem redu.

Zdaj pa se vrnimo na začetek primera, oziroma k integraciji po delih:

Ker smo določili razstavljavca. Postavlja se vprašanje, da je eksponent vedno označen z ? Ni potrebno. Pravzaprav v obravnavanem integralu v bistvu ni pomembno, kaj označevati, bi lahko šli v drugo smer:

Zakaj je to možno? Ker se eksponent spremeni vase (pri diferenciaciji in integraciji), se sinus in kosinus medsebojno spremenita (spet tako pri diferenciaciji kot integraciji).

To pomeni, da je mogoče označiti tudi trigonometrično funkcijo. Toda v obravnavanem primeru je to manj racionalno, saj se bodo pojavili ulomki. Če želite, lahko poskusite ta primer rešiti na drugi način, odgovori morajo biti enaki.

Primer 8

Poiščite nedoločen integral

To je primer "naredi sam". Preden se odločite, razmislite, kaj je v tem primeru bolj donosno določiti za eksponentno ali trigonometrično funkcijo? Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

In seveda ne pozabite, da je večino odgovorov v tej lekciji dokaj enostavno preveriti z diferenciacijo!

Primeri niso veljali za najtežje. V praksi so pogostejši integrali, kjer je konstanta tako v eksponentu kot v argumentu trigonometrične funkcije, na primer: . Marsikdo se bo moral zmotiti v takem integralu, sam pa se pogosto zapletem. Dejstvo je, da je v raztopini velika verjetnost pojava frakcij in je zaradi nepazljivosti zelo enostavno nekaj izgubiti. Poleg tega obstaja velika verjetnost napake v predznakih, upoštevajte, da je v eksponentu znak minus, kar povzroča dodatne težave.

Na zadnji stopnji se pogosto izkaže nekaj takega:

Tudi na koncu rešitve morate biti izjemno previdni in pravilno ravnati z ulomki:

Integracija kompleksnih ulomkov

Počasi se približujemo ekvatorju lekcije in začnemo obravnavati integrale ulomkov. Spet niso vsi super zapleteni, samo iz enega ali onega razloga so bili primeri v drugih člankih malo »od teme«.

Nadaljevanje teme korenin

Primer 9

Poiščite nedoločen integral

V imenovalcu pod korenom je kvadratni trinom plus izven korenskega "dodatka" v obliki "X". Integral te oblike se reši s standardno substitucijo.

Odločimo se:

Zamenjava tukaj je preprosta:

Pogled na življenje po zamenjavi:

(1) Po substituciji člene pod korenom zmanjšamo na skupni imenovalec.
(2) Vzamemo ga izpod korena.
(3) Zmanjšamo števec in imenovalec za . Hkrati sem pod korenom prerazporedil izraze v priročnem vrstnem redu. Z nekaj izkušnjami lahko korake (1), (2) preskočite z ustnim izvajanjem komentiranih dejanj.
(4) Nastali integral, kot se spomnite iz lekcije Integracija nekaterih ulomkov, je rešeno metoda izbire polnega kvadrata. Izberite cel kvadrat.
(5) Z integracijo dobimo navaden »dolg« logaritem.
(6) Izvajamo povratno zamenjavo. Če na začetku , potem nazaj: .
(7) Končno dejanje je namenjeno prečesanju rezultata: pod korenom člene spet pripeljemo do skupnega imenovalca in jih vzamemo izpod korena.

Primer 10

Poiščite nedoločen integral

To je primer "naredi sam". Tu je k osamljenemu x dodana konstanta, zamenjava pa je skoraj enaka:

Edina stvar, ki jo je treba narediti dodatno, je izraziti "x" iz zamenjave:

Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Včasih je v takem integralu lahko pod korenom kvadratni binom, to ne spremeni načina reševanja rešitve, še enostavneje bo. Občuti razliko:

Primer 11

Poiščite nedoločen integral

Primer 12

Poiščite nedoločen integral

Kratke rešitve in odgovori na koncu lekcije. Treba je opozoriti, da je primer 11 točno binomski integral, katerega rešitev je bila obravnavana v lekciji Integrali iracionalnih funkcij.

Integral nerazstavljivega polinoma 2. stopnje do stopnje

(polinom v imenovalcu)

Redkejša, vendar se v praktičnih primerih pojavlja oblika integrala.

Primer 13

Poiščite nedoločen integral

A vrnimo se k primeru s srečno številko 13 (resnično, nisem uganila). Tudi ta integral je iz kategorije tistih, s katerimi lahko precej trpiš, če ne znaš rešiti.

Rešitev se začne z umetno preobrazbo:

Mislim, da vsi že razumejo, kako deliti števec z imenovalcem izraz za člen.

Nastali integral se vzame po delih:

Za integral oblike ( je naravno število) smo izpeljali ponavljajoča se formula za znižanje stopnje:
, kje je integral nižje stopnje.

Preverimo veljavnost te formule za rešen integral.
V tem primeru: , , uporabimo formulo:

Kot lahko vidite, so odgovori enaki.

Primer 14

Poiščite nedoločen integral

To je primer "naredi sam". Vzorčna raztopina uporablja zgornjo formulo dvakrat zapored.

Če je pod diplomo nerazgradljiv kvadratni trinom, potem se rešitev zmanjša na binom z ekstrakcijo celotnega kvadrata, na primer:

Kaj pa, če je v števcu dodaten polinom? V tem primeru se uporablja metoda nedoločenih koeficientov, integrand pa se razširi na vsoto ulomkov. Toda v moji praksi tak primer nikoli srečal tako da sem zamudil ta primer v članku Integrali ulomno-racionalne funkcije, zdaj ga bom preskočil. Če se tak integral še vedno pojavi, si oglejte učbenik - tam je vse preprosto. Menim, da ni smotrno vključiti materiala (tudi preprostega), verjetnost srečanja s katerim je enaka nič.

Integracija kompleksnih trigonometričnih funkcij

Pridevnik »težak« je v večini primerov spet v veliki meri pogojen. Začnimo s tangentami in kotangensi v visoke stopnje. Z vidika metod reševanja tangente in kotangensa sta skoraj enaki, zato bom več govoril o tangenti, kar pomeni, da prikazana metoda reševanja integrala velja tudi za kotangens.

V zgornji lekciji smo si ogledali univerzalna trigonometrična substitucija rešiti določeno vrsto integralov iz trigonometrične funkcije. Pomanjkljivost univerzalne trigonometrične substitucije je, da njena uporaba pogosto vodi do okornih integralov s težavnimi izračuni. In v nekaterih primerih se je mogoče izogniti univerzalni trigonometrični zamenjavi!

Razmislite o drugem kanoničnem primeru, integralu enotnosti, deljeno s sinusom:

Primer 17

Poiščite nedoločen integral

Tukaj lahko uporabite univerzalno trigonometrično zamenjavo in dobite odgovor, vendar obstaja bolj racionalen način. Za vsak korak bom zagotovil popolno rešitev s komentarji:

(1) Za sinus dvojnega kota uporabimo trigonometrično formulo.
(2) Izvedemo umetno preoblikovanje: V imenovalcu delimo in pomnožimo s .
(3) Po znani formuli v imenovalcu pretvorimo ulomek v tangento.
(4) Funkcijo postavimo pod predznak diferenciala.
(5) Vzamemo integral.

Par preprosti primeri za samostojno rešitev:

Primer 18

Poiščite nedoločen integral

Namig: Prvi korak je uporaba formule za zmanjšanje in previdno izvajajte dejanja, podobna prejšnjemu primeru.

Primer 19

Poiščite nedoločen integral

No, to je zelo preprost primer.

Popolne rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Mislim, da zdaj nihče ne bo imel težav z integrali:
itd.

Kakšna je ideja za metodo? Ideja je uporabiti transformacije, trigonometrične formule za organizacijo samo tangent in izpeljanko tangente v integrandu. tj. govorimo glede zamenjave: . V primerih 17-19 smo dejansko uporabili to zamenjavo, vendar so bili integrali tako preprosti, da je bilo to storjeno z enakovrednim dejanjem – spravilo funkcije pod diferencialni predznak.

Podobno sklepanje, kot sem že omenil, je mogoče izvesti za kotangens.

Obstaja tudi formalni predpogoj za uporabo zgornje zamenjave:

Vsota potenk kosinusa in sinusa je negativno celo število SODO število, na primer:

za integral celo število negativno SODO število.

! Opomba : če integrand vsebuje SAMO sinus ali SAMO kosinus, potem se integral vzame sodo z negativno liho stopnjo (najpreprostejši primeri so v primerih št. 17, 18).

Razmislite o nekaj bolj smiselnih nalogah za to pravilo:

Primer 20

Poiščite nedoločen integral

Vsota stopenj sinusa in kosinusa: 2 - 6 \u003d -4 - negativno celo število CELO število, kar pomeni, da je integral mogoče zmanjšati na tangente in njegov izvod:

(1) Pretvorimo imenovalec.
(2) Po dobro znani formuli dobimo .
(3) Pretvorimo imenovalec.
(4) Uporabimo formulo .
(5) Funkcijo postavimo pod diferencialni predznak.
(6) Izvedemo zamenjavo. Bolj izkušeni študenti morda ne bodo izvedli zamenjave, vendar je vseeno bolje, da tangento zamenjate z eno črko - manjša je nevarnost zmede.

Primer 21

Poiščite nedoločen integral

To je primer "naredi sam".

Počakaj, prvenstveni krogi se začnejo =)

Pogosto je v integrandu "mogepodge":

Primer 22

Poiščite nedoločen integral

Ta integral na začetku vsebuje tangento, ki takoj pripelje do znane misli:

Umetno preobrazbo na samem začetku in ostale korake bom pustil brez komentarja, saj je bilo vse že povedano zgoraj.

Nekaj ustvarjalnih primerov za samostojno rešitev:

Primer 23

Poiščite nedoločen integral

Primer 24

Poiščite nedoločen integral

Da, v njih lahko seveda znižate stopnje sinusa, kosinusa, uporabite univerzalno trigonometrično substitucijo, vendar bo rešitev veliko učinkovitejša in krajša, če jo potegnete skozi tangente. Celotna rešitev in odgovori na koncu lekcije