Derivat formule logaritme je primer. Formule in primeri izpeljanega logaritma

Se vam zdi, da vam nekaj časa veliko časa? Je to na mesec? Dva? Leto? Praksa kaže, da je študent najbolje spopasti z izpitom v primeru, da se je začel pripravljati nanj vnaprej. V izpitu je veliko kompleksne nalogeki stojijo na poti šolarjev in prihodnjega vlagatelja do najvišjih točk. Te ovire se morajo naučiti premagati, poleg tega pa je enostavno. Razumeti morate načelo dela z različnimi nalogami od vozovnic. Potem se ne bodo pojavili novi problemi.

Logaritmi na prvi pogled se zdi neverjetno zapleten, vendar s podrobno analizo, je stanje močno poenostavljeno. Če želite prenesti izpit najvišja znamkaUpoštevati morate koncept, ki ga ponujamo v tem članku.

Začeti smo, delimo te definicije. Kaj je logaritm (log)? To je kazalnik stopnje, v kateri je treba izvesti bazo, da dobimo določeno številko. Če ni jasno, bomo analizirali osnovni primer.

V tem primeru mora biti osnovna podlaga postavila v drugo stopnjo, da dobi številko 4.

Zdaj se bomo ukvarjali z drugim konceptom. Funkcija derivata v kakršni koli obliki se imenuje koncept, ki označuje spremembo funkcije v tej točki. Vendar pa je to Šolski programIn če imate težave s temi koncepti posebej, je vredno ponoviti teme.

Izpeljan logaritm.

V naloge EGE Na to temo lahko prinesete več nalog kot primer. Začeti z najpreprostejšimi logaritmičnimi derivat. Potrebno je najti derivat naslednje funkcije.

Poiskati moramo naslednji derivat

Obstaja posebna formula.

V tem primeru, x \u003d u, log3x \u003d v. Namestimo vrednosti iz naše funkcije v formuli.

Derivat X bo enak. Z logaritmom malo težje. Toda načelo, ki ga boste razumeli, če preprosto nadomestite vrednosti. Spomnimo se, da se derivat LG X imenuje decimalni logaritem, derivat LN X pa je derivat naravnega logifura (na podlagi E).

Zdaj nadomestite vrednosti v formuli. Poskusite sami, nato pa se nanašajte na odgovor.

Kaj bi lahko bil problem za nekaj tukaj? Uvedli smo koncept naravnega logaritma. O njem bomo povedali, toda hkrati bomo ugotovili, kako rešiti naloge z njim. Ne boste videli ničesar zapletenega, še posebej, ko razumete načelo njegovega dela. Morate se navaditi nanj, saj se pogosto uporablja v matematiki (v višjem izobraževalne ustanove zlasti).

Derivat naravnega logaritma

V bistvu je to logaritem derivat, ki temelji na E (to je iracionalna številka, ki je približno 2,7). Pravzaprav je LN zelo preprost, zato se pogosto uporablja v matematiki kot celoti. Pravzaprav je rešitev problema z njim ne bo problem. Treba je spomniti, da bo derivat naravnega logaritma na bazi E enak enoti, deljena z x. Najbolj natančna bo odločitev naslednjega primera.

Predstavljajte si, da je kompleksna funkcija, ki je sestavljena iz dveh preprostih.

Dovolj za preoblikovanje

Iščemo derivata iz U x

Nadaljujemo z drugim

Uporabljamo metodo reševanja derivata kompleksna funkcijaSubstituiranje u \u003d nx.

Kaj se je zgodilo na koncu?

In zdaj se spomnimo, da je v tem primeru pomenil n? To je vsaka številka, ki se lahko sestane v naravnem logaritem pred X. Pomembno je, da razumete, da odgovor ni odvisen od tega. Namestite vse, odgovor bo še vedno 1 / X.

Kot lahko vidite, nič zapleteno tukaj je dovolj, da razumemo načelo za hitro in učinkovito reševanje problemov na to temo. Zdaj veste teorijo, ostaja je treba konsolidirati v praksi. Usposabljanje pri reševanju problemov, da bi se dolgo zapomnili načelo svoje odločitve. Morda ne boste uporabili tega znanja po diplomi, ampak na izpitu, bo bolj pomembno. Srečno!

Ne pozabite zelo enostavno.

No, ne gremo daleč, takoj bomo razmislili o povratnem funkciji. Kakšna je funkcija okvirna funkcija? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšna logaritem (to je logaritem z bazo) se imenuje "Natural", in za to uporabljamo posebno oznako: namesto pisanja.

Kaj je enako? Seveda, .

Derivat naravnega logaritma je zelo preprost:

Primeri:

1. Iskanje izpeljane funkcije.
2. Kaj je izpeljana funkcija enaka?

Odgovori: Razstavljavec in naravna logaritmi - funkcije so edinstveno preprosto z vidika derivata. Exchange in Logaritmic Funkcije z vsemi drugimi osnovami bodo imeli še en derivat, ki ga bomo pozneje analizirali z vami, po opravljenih pravilih diferenciacije.

Diferenciacijska pravila

Pravila Kaj? Spet nov izraz, spet?!

Diferenciacija - To je proces iskanja derivata.

Samo in vse. In kako drugače poimenujete ta proces v eni besedi? Ni proizvodnja ... Razlika matematike se imenuje največ povečevalec funkcije na. Ta izraz se dogaja iz Latin Diferencea - razlika. Tukaj.

Pri prikazu vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove korake:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je narejena iz znaka derivata.

Če - nekakšna stalna številka (stalna), potem.

Očitno je to pravilo za razliko :. \\ T

Dokazujemo. Ali lažje.

Primeri.

Poiščite izpeljene funkcije:

1. na točki;
2. na točki;
3. na točki;
4. na točki.

Rešitve:

1. (Derivat je enak v vseh točkah, kot je linearna funkcija, Ne pozabite?);

Izpeljano

Tukaj je vse enako: uvajamo nova funkcija in poiščite njen prirast:

Derivat:

Primeri:

1. Poiščite derivate funkcij in;
2. Poiščite derivat funkcije na točki.

Rešitve:

Okvirna funkcija derivata

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite, kako najti derivat katere koli okvirne funkcije, in ne samo razstavljavcev (ne pozabljeno, kaj je?).

Torej, kje je nekaj.

Že vemo, da je izvedena funkcija, zato poskusimo, da našo funkcijo pripelje na novo bazo:

To naredimo, uporabljamo preprosto pravilo :. Nato:

Izkazalo se je. Zdaj poskusite najti derivat in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Se je zgodilo?

Tukaj preverite:

Formula se je izkazala, da je zelo podobna razstavljanju izvedenega finančnega instrumenta: kot je bilo, je ostala, se je pojavil le multiplikator, ki je le številka, vendar ne spremenljivka.

Primeri:
Poiščite izpeljene funkcije:

Odgovori:

To je le številka, ki je ni mogoče šteti brez kalkulatorja, to je, ne za snemanje v enostavnejši obliki. Zato, kot odgovor v tej obliki in dopust.

Upoštevajte, da obstajajo zasebni dve funkciji, zato uporabljata ustrezno pravilo razlikovanja:

V tem primeru je produkt dveh funkcij:

Derivat logaritmična funkcija

Tukaj je podobno: Derivat že poznate iz naravnega logaritma:

Zato, da bi našli samovoljno od logaritma z drugim razlogom, na primer:

Ta logaritem morate prinašati na osnovo. In kako spremeniti osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Šele zdaj bomo napisali:

V imenovalcu se je izkazalo, da je samo konstantno (stalno število, brez spremenljivke). Derivat je zelo preprost:

Derivati \u200b\u200bokvirnih in logaritmičnih funkcij skoraj ni mogoče najti v izpitu, vendar ne bo odveč, da bi jih poznali.

Funkcija izpeljanega kompleksa.

Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ne vezana. Te funkcije so lahko kompleksne za razumevanje (čeprav, če se zdi, da je logaritem težko, preberite temo »Logaritmi« in vse bo prehoda), vendar z vidika matematike Beseda "kompleks" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen transporter: dve osebi sedita in imata nekakšna dejanja z nekaterimi predmeti. Na primer, prva obdaja čokolado v ovojniku, drugi pa to pomeni s trakom. Izkazalo se je, da je tak sestavni predmet: čokolada, zavita in obložena s trakom. Da bi jedli čokolado, morate narediti povratne ukrepe v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični transporter: Najprej bomo našli kosine številke, nato pa je nastala številka, ki je bila postavljena na kvadrat. Torej, dajemo številko (čokolada), najdem njegovo kosinsko (wrap), potem pa boste postavili s tem, kar sem naredil, na trgu (kravata na trak). Kaj se je zgodilo? Funkcija. To je primer kompleksne funkcije: Kdaj najti svoj pomen, ki ga naredimo prvo dejanje neposredno s spremenljivko, nato pa še eno dejanje s tem, kar se je zgodilo kot rezultat prvega.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je še ena značilnost.: .

Za naš primer.

Lahko popolnoma delamo enaka dejanja in v obratnem vrstnem redu: Najprej boste postavljeni na kvadrat, potem pa iščem kosine nastale številke :. To je enostavno uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: Ko se postopek spremeni, se funkcija spremeni.

Drugi primer: (isto). .

Ukrep, ki ga bomo slednji poklicali "Zunanja" funkcija, in dejanje, ki je izvedeno prvi - oziroma "Notranja" funkcija (To so neformalna imena, uporabljam jih samo, da pojasnimo material v preprostem jeziku).

Poskusite se določiti, katera funkcija je zunanja, in ki je notranja:

Odgovori:Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno zamenjavi spremenljivk: na primer v funkciji

1. Najprej bomo izvedli kakšno dejanje? Najprej razmislite o sinusu, vendar le nato postavili v kocko. Torej, notranja funkcija in zunanji.
   In začetna funkcija je njihova sestava :.
2. Notranja:; Zunanji :.
   Preverite :.
3. Notranja:; Zunanji :.
   Preverite :.
4. Notranja:; Zunanji :.
   Preverite :.
5. Notranja:; Zunanji :.
   Preverite :.

izdelujemo zamenjavo spremenljivk in dobite funkcijo.

No, zdaj bomo izvlekli našo čokoladno čokolado - iskanje derivata. Postopek je vedno obrnjen: Najprej iščemo derivat zunanjega delovanja, nato pa pomnožite rezultat na derivat notranje funkcije. V zvezi z izvirnim primerom izgleda takole:

Drug primer:

Tako smo končno oblikovali uradno pravilo:

Algoritem za iskanje derivatnega kompleksa Funkcija:

Zdi se, da je vse preprosto, da?

Preverite primere:

Rešitve:

1) Notranje:;

Zunanji:;

2) notranja:;

(Ne mislite samo na zdaj, da bi se odrezali! Od kosina se nič ne spomni, se spomniš?)

3) notranje:;

Zunanji:;

Takoj je jasno, da je na tri ravni kompleksna funkcija: navsezadnje je že kompleksna funkcija sama, in še vedno odstrani koren od njega, to pomeni, da izvedemo tretjo dejanje (čokolado v ovoju in z trak v portfelj). Vendar ni razloga, da se bojimo: vse iste "razpakirane" ta funkcija bo v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To je, najprej uporabite koren, nato kosine in šele nato ekspresijo v oklepajih. In potem vse te spremenljivke.

V takih primerih je to primerno za oštevilčene ukrepe. To pomeni, da smo znani. Kakšen nalog bomo opravljali ukrepe za izračun vrednosti tega izraza? Preučili bomo na primeru:

Kasneje poteka dejanje, bolj bo "zunanja" ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj - kot prej:

Tu je gnezdenje na splošno 4-ravni. Določimo postopek.

1. Prisilni izraz. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. kvadrat. .

5. Zberemo vse v skupini:

Derivat. Na kratko o glavni stvari

Izpeljana funkcija - Razmerje prirastka funkcije do prirastka argumenta z neskončno majhnim prirasta argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferenciacije:

Konstanta je narejena za znak derivata:

Znesek:

Proizvodno delo:

Zasebni derivat:

Funkcija derivata Funkcija:

Algoritem za iskanje derivata kompleksne funkcije:

1. Določamo funkcijo "notranje", najdemo njegov derivat.
2. Določamo funkcijo "zunanje", najdemo njegov derivat.
3. Pomnožite rezultate prvega in drugega elementa.

Kompleksni derivati. Logaritmični derivat.
Derivat postopne indikativne funkcije

Še naprej povečujemo tehniko diferenciacije. Na tej lekciji bomo utrdili dokončano gradivo, razmislili o bolj zapletenih derivatov in se seznanili z novimi tehnikami in triki iskanja derivata, zlasti z logaritmičnim derivatom.

Tiste bralce, ki imajo nizka stopnja pripravo, se morate sklicevati na članek Kako najti derivat? Primeri rešitevki bo povečala vaše sposobnosti skoraj iz nič. Naprej morate skrbno izvedeti stran Funkcija izvedenega finančnega instrumenta, razumeti in prekiniti vse Primeri, ki so jih dali. Ta lekcija logično je tretja zapored, in po njenem razvoju boste samozavestno razlikovali povsem zapletene funkcije. Potrebno je upoštevati položaj "Kje drugje? Da, in dovolj! ", Ker so vsi primeri in tehnikami vzeti iz resničnega testno delo In se pogosto pojavljajo v praksi.

Začnimo s ponovitvijo. Na lekciji Funkcija izvedenega finančnega instrumentapregledali smo številne primere podrobne komentarje.. Med študijem diferencialnega računa in drugih oddelkov matematične analize je treba zelo pogosto razlikovati, in ni vedno priročno (in ni vedno potrebno), da bi v zelo podrobno barvo primerov. Zato se izvajamo v ustnem temeljih izvedenih finančnih instrumentov. Najbolj primerni "kandidati" za to so derivati \u200b\u200bnajenostavnejših kompleksnih funkcij, na primer:

Glede na pravilo diferenciacije kompleksne funkcije :

Pri preučevanju drugih tem Matan Matan v prihodnosti, takšen podrobni vnos najpogosteje ni potreben, se domneva, da lahko študent najde podobne derivate na avtopilotskem stroju. Predstavljajte si, da je pri 3 uri v noči telefonski klic, in lep glas vprašal: "Kaj je tangentni derivat dveh X?". Treba je upoštevati skoraj trenuten in vljuden odgovor. .

Prvi primer bo takoj namenjen self-se odločite.

Primer 1.

Poiščite naslednje izvedene finančne instrumente, v enem ukrepu, na primer: Za izvedbo naloge morate uporabljati samo tabela derivatov osnovnih funkcij (Če se še ni spominjala). Če je težko, priporočam lekcijo Funkcija izvedenega finančnega instrumenta.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na koncu lekcije

Kompleksni derivati

Po pripravi predhodne umetnosti bodo primeri manj strašni, s 3-4-5 priključki funkcij. Morda se bodo naslednji dve primeri zdeli nekaj zapletenega, če pa jih razumejo (nekdo in špeli), se bo skoraj vse ostalo v diferenčnem računu zdelo kot otroška šala.

Primer 2.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Kot je navedeno, ko najdete funkcijo izvedenega kompleksa, najprej, je to potrebno pravRazumeti naložbe. V primerih, ko obstajajo dvomi, spomnim uporabno recepcijo: eksperimentalni pomen "X", na primer in poskusite (duševno ali na osnutku), da nadomesti to vrednost v "strašnem izražanju".

1) Prvič, moramo izračunati izraz, to pomeni, da je znesek najgloblje naložbe.

2) Potem je treba izračunati logaritem:

4) Potem kosine, da se gradijo v kocko:

5) V petem koraku je razlika:

6) In končno, najbolj zunanja funkcija je kvadratni koren:

Funkcija kompleksne funkcije Uporablja se v obratnem vrstnem redu, od same zunanje funkcije, na najgloblje. Odločamo se:

Zdi se, da ni napak ....

(1) vzemite izvedenega finančnega instrumenta kvadratni koren.

(2) vzeti derivat razliko z uporabo pravila

(3) Derivat trojke je nič. V drugem obdobju, izvedemo derivat na stopnji (Kuba).

(4) Vzemite kosinski derivat.

(5) Vzemite izpeljavo logaritma.

(6) In končno, vzamemo izvedeni finančni instrument najgloblje naložbe.

Morda se zdi preveč težko, vendar to ni najbolj brutalen primer. Vzemite na primer kolekcijo Kuznetsov in boste cenili lepoto in preprostost razstavljenega derivata. Opazil sem, da mi je všeč, da podajo na izpit za preverjanje, razume študenta, kako najti derivat kompleksne funkcije, ali ne razume.

Naslednji primer je za samostojno rešitev.

Primer 3.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Nasvet: Najprej uporabite pravila linearnosti in izpeljavo dela

Popolna rešitev In odgovor na koncu lekcije.

Čas je, da se premaknete na vse bolj kompaktno in lepo.
Položaj ni redka, ko je primer dobil produkt, ki ni dva, ampak tri funkcije. Kako najti derivat iz dela treh multiplikatorjev?

Primer 4.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Prvič, poglejte in ali je nemogoče obrniti delo treh funkcij v delo dveh funkcij? Na primer, če smo imeli dve polinomi v delu, bi bilo mogoče razkriti oklepaje. Toda v tem primeru so vse funkcije različne: stopnje, razstavljavec in logaritem.

V takih primerih je potrebno zaporedjeuporabi proizvodnjo diferenciacije pravila dvakrat

Poudarek je, da za "y" označujemo izdelek dveh funkcij:, in za "ve" - \u200b\u200blogaritem :. Zakaj je to mogoče storiti? In ne - To ni delo dveh multiplikatorjev, pravilo pa ne deluje?! Nič ni zapletenega:

Zdaj ostaja drugič za uporabo pravila V oklelju:

Še vedno lahko dovolite in naredite nekaj za oklepajem, vendar v ta primer Odgovor je bolje oditi v tem obrazcu - lažje bo preveriti.

Upoštevani primer je mogoče rešiti na drugi način:

Obe rešitvi sta popolnoma enaki.

Primer 5.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

To je primer za samostojno rešitev, v vzorcu se rešuje na prvi način.

Razmislite o podobnih primerih z frakcijami.

Primer 6.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Tukaj lahko greš nekaj načinov:

Ali tako:

Toda rešitev bo napisana bolj kompaktna, če najprej uporablja pravilo zasebne diferenciacije , Ki sprejema za celoten števec:

Načeloma je primer rešen, in če ga pustite v tem obrazcu, ne bo napaka. Toda v prisotnosti časa je vedno priporočljivo preveriti osnutek, in je mogoče poenostaviti odgovor? Izraz številke dajemo splošni imenovalcu in znebite se tri-zgodbe frakcij:

Minus dodatnih poenostavitev je, da obstaja tveganje, da lahko napako ne več, ko je derivat že ustanovitev, vendar pri pretvorbi osnovnih šol. Po drugi strani pa učitelji se pogosto spominjajo naloge in prosijo, da "prinesejo" izpeljavo ".

Preprostejši primer za samopodelek:

Primer 7.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Še naprej se naučimo sprejemov izpeljanega finančnega instrumenta, zdaj pa bomo upoštevali tipičen primer, ko je predlagan "Scary" logaritem za razlikovanje

Primer 8.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Tukaj lahko greste dolgo z uporabo pravila diferenciacije kompleksne funkcije:

Toda prvi korak se takoj spremeni v nemoljenost - vzeti neprijeten derivat delne stopnje, nato pa tudi iz frakcije.

zato prej Kako vzeti izvedeni finančni instrument iz "Tricky" Logaritem, je predhodno poenostavljen z uporabo znanih šolskih lastnosti:

! Če ima vaša roka prenosni računalnik s prakso, ta formula prepišite tam. Če ni prenosnika, jih popraviti na navodilu, saj se preostali primeri lekcije vrtijo okoli teh formul.

Samo odločitev se lahko izda nekaj takega:

Funkcijo pretvorimo:

Poiščite derivat:

Predhodna preobrazba same funkcije je bistveno poenostavila rešitev. Tako, ko je predlagan podoben logaritem za diferenciacijo, je vedno priporočljivo "uničiti".

In zdaj par preprostih primerov za samostojno rešitev:

Primer 9.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Primer 10.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Vse transformacije in odgovore na koncu lekcije.

Logaritmični derivat

Če je derivat logaritmov takšna sladka glasba, potem se postavlja vprašanje in ali je nemogoče organizirati logaritem v nekaterih primerih? Lahko! In celo potrebujejo.

Primer 11.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

S tem povezane primere, ki smo jih nedavno obravnavali. Kaj storiti? Možno je dosledno uporabiti pravilo razlikovanja, nato pa pravilo izpeljave izdelka. Pomanjkljivost metode je, da je velik trinatorski posnetek, s katerim se sploh ne želim ukvarjati.

Toda v teoriji in praksi je tako čudovita stvar kot logaritmični derivat. Logaritmi se lahko umetno organizirajo, "navigacijo" na obeh delih:

Opomba : Ker Funkcija lahko sprejme negativne vrednosti, nato pa na splošno, morate uporabiti module: ki bo izginila zaradi diferenciacije. Vendar pa je trenutna dekoracija dovoljena, kjer se privzeto upošteva. complex. vrednote. Ampak, če bi z vsemi strogosti, potem v tem in v drugem primeru rezervacijo.

Zdaj morate "raztrgati" logaritem desne strani (formula pred očmi?). Ta proces bom pogledal zelo podrobno:

Dejansko nadaljujejo z diferenciacijo.
Oba dela zaključimo pod črtno kodo:

Derivat desne strani je precej preprost, na to ne bom komentiral, ker če ste prebrali to besedilo, se morate spopasti z njo.

Kako biti z levo stranjo?

V levem delu nas kompleksna funkcija. Predvidevam vprašanje: "Zakaj, obstaja ena Bukova" Igarek "pod logaritem?".

Dejstvo je, da je to "ena bucch igre" - Sama po sebi je funkcija (Če ni zelo jasno, se nanašajo na članek, ki izhaja iz funkcije, ki je določeno implicitno). Zato je logaritem zunanja funkcija in "IGREK" je notranja funkcija. In uporabljamo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije :

Na levi strani, kot čarobna palica, derivat "Drew" je bil "poslikan". Poleg tega, glede na pravilo deleža, vrgamo "Igarek" iz imenovalca leve strani na vrh desne strani:

In zdaj se spomnim, kaj je bilo "Igrek" -funkcije smo utemeljeni z diferenciacijo? Pogledamo na stanje:

Končni odgovor:

Primer 12.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

To je primer za samostojno rešitev. Vzorec oblikovanja primer te vrste na koncu lekcije.

S pomočjo logaritmičnega derivata, lahko kateri koli primeri št. 4-7 rešil, druga stvar je, da je lažje, in morda uporaba logaritmičnega derivata ni preveč oproščen.

Derivat postopne indikativne funkcije

Te funkcije še nismo upoštevali. Postopna indikativna funkcija je funkcija, ki in stopnja in fundacija sta odvisna od "x". Klasičen primer, ki bo dana v vsakem učbeniku ali na vsakem predavanju:

Kako najti derivat iz postopne indikativne funkcije?

Upoštevati je treba, da je samo preučil sprejem - logaritmični derivat. Dajanje logaritmov na obeh delov:

Praviloma se v desnem delu logaritma doseže diplomo:

Kot rezultat, na desni strani, smo imeli izdelek dveh funkcij, ki se razlikuje po standardni formuli .

Ugotavljamo izvedeni finančni instrument, za to zaključujemo oba dela za dotik:

Naslednji koraki so enostavni:

Končno:

Če nekatera preobrazba ni povsem jasna, pozorno ponovno preberite razlage primera št. 11.

V praktične naloge Postopna indikativna funkcija bo vedno bolj zapletena kot primerni primer predavanja.

Primer 13.

Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Uporabite logaritemski derivat.

V desnem delu imamo konstantno in delo dveh dejavnikov - "Iksa" in "logaritmu logaritmu" (za logaritem še en logaritem). Pri razlikanju konstante, kot se spomnite, je bolje, da takoj vzamete izpeljan znak, da ne posega v noge; In seveda, uporabljamo znano pravilo :

Dokaz in izhod formule za derivat naravnega logaritma in logaritma na podlagi a. Primeri izračuna derivatov iz LN 2x, LN 3x in LN NX. Dokazilo o formuli derivata logaritma N-TI po metodi matematične indukcije.

Vsebina

Poglej tudi: Logaritmu - lastnosti, formule, urnik
Naravni logaritem - lastnosti, formule, urnik

Proizvodnja formul izvedenih finančnih instrumentov naravnega logaritma in logaritma, ki temelji na a

Derivat naravnega logaritma od X je enak enoti, deljeno z X:
(1) (ln x) '\u003d.

Derivat logaritma za bazo A je enak enoti, deljena s spremenljivko X, pomnoženo z naravnim logaritmom iz:
(2) (log a x) '\u003d.

Dokaz

Naj bo nekaj pozitivnega števila, ki ni enaka enemu. Razmislite o funkciji, odvisno od spremenljivke X, ki je logaritem, ki temelji na bazi:
.
Ta funkcija je definirana na. Poiščite njegov derivat v spremenljivki x. Derivat je po definiciji naslednja meja: \\ t
(3) .

Ta izraz preoblikujemo, da ga zmanjšamo na znane matematične lastnosti in pravila. To storiti, moramo vedeti naslednja dejstva:
Vendar) Lastnosti logaritma. Potrebujemo naslednje formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuiteta logaritma in premoženja omejitev za neprekinjeno delovanje:
(7) .
Tukaj je nekaj funkcije, ki ima omejitev, ta meja pa je pozitivna.
V) Vrednost druge izjemne omejitve: \\ t
(8) .

Te dejstva uporabljamo na naši meji. Najprej spremenimo algebrski izraz
.
Za to, uporabite lastnosti (4) in (5).

.

Uporabljamo nepremičnino (7) in drugo izjemno omejitev (8):
.

In končno, uporabljamo nepremičnino (6):
.
Logaritem, ki temelji na e. imenovan naravna logaritm.. Označena je kot:
.
Potem;
.

Tako smo pridobili formulo (2) derivata logaritma.

Derivat naravnega logaritma

Ponovno, odbijam formulo derivata logaritma, ki temelji na:
.
Ta formula ima najlažji pogled na naravni logaritem, za katerega. Potem
(1) .

Zaradi take enostavnosti se naravni logaritem zelo pogosto uporablja matematična analiza in v drugih oddelkih matematike, povezane z diferencialnim računom. Logaritemske funkcije z drugimi bazami se lahko izrazijo z naravnim logaritmom z uporabo nepremičnine (6):
.

Derivat logaritma na osnovi je mogoče najti s formulo (1), če naredimo stalni znak diferenciacije:
.

Drugi načini za dokaz iz derivata logaritma

Tukaj domnevamo, da smo znani formule izvedene razstavljavce:
(9) .
Potem lahko prinesemo formulo za derivat naravnega logaritma, glede na to, da je logaritem povratna funkcija eksponenten.

Dokazujemo formulo derivata naravnega logaritma, uporaba napotitvene derivatne formule:
.
V našem primeru. Inverzna funkcija Na naravni logaritem je razstavljavec:
.
Njegov derivat se določi s formulo (9). Spremenljivke lahko označijo z vsako črko. V formuli (9) zamenjajte spremenljivko X na Y:
.
Od takrat
.
Potem
.
Formula je dokazana.

Zdaj dokazujemo formulo derivata naravnega logaritma razlikovalna pravila kompleksne funkcije. Ker se funkcije in se vrnejo drug na drugega,
.
Razlikovanje te enačbe s spremenljivko X:
(10) .
Derivat Iqua je enak:
.
Uporabite pravilo diferenciacije kompleksne funkcije:
.
Tukaj. Nadomestek v (10):
.
Od tod
.

Primer

Poiščite derivate Ot. ln 2x, ln 3x. in ln nx..

Izvorne funkcije imajo podoben videz. Zato bomo našli derivat funkcije. y \u003d ln nx . Nato nadomestimo n \u003d 2 in n \u003d 3. In zato dobimo formulo za derivate ln 2x. in ln 3x. .

Torej iščemo izhaja iz funkcije
y \u003d ln nx .
Predstavljajte si to funkcijo kot kompleksno funkcijo, ki je sestavljena iz dveh funkcij:
1) Funkcije, odvisno od spremenljivke:;
2) Funkcije, odvisno od spremenljivke :. \\ T
Nato je začetna funkcija sestavljena iz funkcij in:
.

Poiščite derivat funkcije s spremenljivko X:
.
Poiščite derivat funkcije s spremenljivko:
.
Uporabite formulo funkcije izvedenih kompleksov.
.
Tu smo se naselili.

Torej smo našli:
(11) .
Vidimo, da derivat ni odvisen od n. Ta rezultat je povsem naravno, če pretvorbo funkcije izvora, z uporabo logaritme formule iz dela:
.
To je stalno. Njegov derivat je nič. Potem, glede na obseg diferenciacije, imamo:
.

; ; .

Modul modul derivat.

Našli bomo derivat druge zelo pomembne funkcije - naravni logaritem iz X modula X:
(12) .

Upoštevajte primer. Potem je funkcija:
.
Njegov derivat se določi s formulo (1):
.

Zdaj razmislite o primeru. Potem je funkcija:
,
kje.
Toda derivat te funkcije smo našli tudi v zgornjem primeru. To ni odvisno od n in enako
.
Potem
.

Ta dva primera združujemo v eni formuli:
.

V skladu s tem, za logaritem, ki temelji na A, imamo:
.

Izvedeni finančni instrumenti najvišjih naročil naravnega logaritma

Razmislite o funkciji
.
Našli smo njen izvedeni finančni instrument prvega naročila:
(13) .

Poišči drugi derivat naročila:
.
Poiščite derivat tretjega reda:
.
Poiščite izvedeni finančni instrument četrtine:
.

Videti je, da ima izvedeni finančni instrument N-Trn obrazca:
(14) .
To dokazujemo z uporabo matematične indukcije.

Dokaz

Namestnik v formuli (14) Vrednost n \u003d 1:
.
Od takrat, ko n \u003d 1 , Formula (14) velja.

Recimo, da se formula (14) izvede pri N \u003d K. Dokažemo, da iz tega sledi, da je formula veljavna za n \u003d K + 1 .

Dejansko z n \u003d K imamo:
.
Razlikovanje s spremenljivko X:

.
Torej imamo:
.
Ta formula sovpada s formulo (14) pri n \u003d k + 1 . Tako je od predpostavke, da je formula (14) veljavna za n \u003d K, sledi, da je formula (14) veljavna za N \u003d K + 1 .

Zato je formula (14), za izvedenega finančnega instrumenta N-TH naročila, velja za katero koli n.

Derivati \u200b\u200bnajvišjih naročil logaritma na osnovi

Da bi našli derivat N-TH naročila iz Logaritma, ki temelji na A, morate ga izraziti preko naravnega logaritma:
.
Uporaba formule (14), najdemo N-M derivat:
.

Poglej tudi:

Delovanje iskanja derivata se imenuje diferenciacija.

Zaradi reševanja problemov iskanja izvedenih finančnih instrumentov iz najpreprostejših (in ne zelo preprostih) funkcij za določitev derivata kot meje odnosa do argumenta, tabela izvedenih finančnih instrumentov in natančno opredeljena pravila razlikovanja. Isaac Newton (1643-1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) je bil prvi za področje ugotovitev izvedenih finančnih instrumentov.

Zato, v našem času, da bi našli derivat katere koli funkcije, ni treba izračunati zgornje meje razmerja prirastka funkcije, da bi povečali argument, in morate uporabiti le tabelo izvedenih finančnih instrumentov in diferenciacijskih pravil . Da bi našli derivat, je primeren naslednji algoritem.

Najti derivat, potrebno je izraz pod znakom kapi razstavite komponente preprostih funkcij in ugotovite, kakšne ukrepe (Delo, znesek, zasebno) Te funkcije so povezane. Nato se derivati \u200b\u200bosnovnih funkcij najdemo v tabeli izvedenih finančnih instrumentov, in formule izvedenih finančnih instrumentov, zneskov in zasebnih - v pravilih za diferenciacijo. Tabela izvedenih finančnih instrumentov in pravil diferenciacije so podana po prvih dveh primerih.

Primer 1. Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Sklep. Iz pravil diferenciacije ugotovimo, da je derivat funkcije funkcij količina izvedenih finančnih instrumentov, tj.

Iz tabele izvedenih finančnih instrumentov ugotavljamo, da je izvedeni finančni instrument "ICCA" enak enemu, in sinusni derivat je kosin. Te vrednosti nadomeščamo v količini izvedenih finančnih instrumentov in najdemo zahtevani pogoj izvedenega finančnega instrumenta nalog:

Primer 2. Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Sklep. Razlikovanje kot izvedeni znesek, v katerem lahko drugi izraz s stalnim faktorjem doseže z derivatskim znakom:

Če še obstajajo vprašanja, od kod, ki jo jemljemo, ponavadi pojasnjujejo po seznanjanju z izvedenimi finančnimi instrumenti tabele in najpreprostejšimi pravili razlikovanja. Zdaj gremo k njim.

Tabela izpeljanih preprostih funkcij

1. RIRVITIVNA KONSTANT (ŠTEVILKE). Vsaka številka (1, 2, 5, 200 ...), ki je v izrazu funkcije. Vedno enaka nič. Zelo pomembno je, da se spomnite, ker je to potrebno zelo pogosto
2. Derivat neodvisne spremenljivke. Najpogosteje "Iksa". Vedno enaka. Pomembno je tudi, da se dolgo zapomnimo.
3. Izvedena stopnja. Stopnja pri reševanju nalog, ki jih potrebujete za pretvorbo nekdanjih korenin.
4. Spremenljivi derivat do stopnje -1
5. Kvadrni korenski derivat
6. Sinusni derivat
7. Kosinski derivat
8. Derivat Tangent.
9. Derivat kotangens
10. Derivat arksinusa
11. derivat Arckosinus.
12. derivat Arctangen.
13. Derivat Arkkotagen
14. Derivat naravnega logaritma
15. Derivat logaritmična funkcija
16. Razstavni derivat
17. Okvirna funkcija izvedenih derivatov

Diferenciacijska pravila

1. Znesek izvedenega finančnega instrumenta ali razlike
2. Derivativno delo
2a. Derivat izraza, pomnožen s stalnim multiplikatorjem
3. Zasebni derivat
4. Funkcija izpeljanega kompleksa

Pravilo 1. Če funkcije

na neki točki, nato pa na isti točki razlikujejo in funkcije

in

ti. Derivat algebrske količine funkcij je enak algebrski količini izvedenih finančnih instrumentov teh funkcij.

Posledica. Če se dve različni funkciji razlikujejo po stalnem obdobju, so njihovi derivati \u200b\u200benaki.

Pravilo 2.Če funkcije

drugačno na neki točki, nato pa na isti točki drugače in njihovo delo

in

ti. Derivat obeh funkcij je enak količini del vsake od teh funkcij na različnih derivat.

Colorlary 1. Stalni multiplikator se lahko izvede za izvedeno oznako:

Colorlary 2. Derivat dela več diferencialnih funkcij je enak znesku proizvodov izvedenega finančnega instrumenta vsakega od dejavnikov za vse druge.

Na primer, za tri multiplikatorje:

Člen 3.Če funkcije

na neki točki in , nato na tej točki drugače in njihova zasebnau / v, in

ti. Derivat zasebnih dveh funkcij je enak frakciji, katerega števca je razlika v proizvodih imenovalca na derivatu števca in števca na derivatu imenovalca, imenovalec pa je kvadrat prejšnjega števec .

Kjer je treba iskati na drugih straneh

Pri iskanju derivata dela in zasebnega pri dejanskih nalogah se lahko vedno uporabi več pravil diferenciacije, zato več primerov za te derivate - v članku"Derivativno delo in zasebne funkcije".

Komentar.Ne bi smelo biti zmeden s konstanto (to je številka) kot izraz v količini in kot stalni multiplikator! V primeru temeljev je njegov derivat nič, v primeru nenehnega multiplikatorja pa je predložen za znak izvedenih finančnih instrumentov. to tipična napakaki se srečuje v začetni fazi proučevanja izvedenih finančnih instrumentov, vendar je že več rešenih primerov enostopenjskih primerov, povprečni študent ne uspe te napake.

In če, z diferenciacijo dela ali zasebnega, imate izraz u."v. , v kateri u. - Število, na primer, 2 ali 5, to pomeni, da bo konstanta, derivat te številke nič in zato bo celoten izraz nič (tak primer je razstavljen v primeru 10).

Drugo pogosta napaka - Mehanska raztopina derivatnega kompleksa deluje kot derivat preproste funkcije. zato funkcija izvedenega finančnega instrumenta Posebni ločen članek. Najprej se bomo naučili najti derivate preprostih funkcij.

V teku, ne delajte brez preobrazbe izrazov. Če želite to narediti, boste morda morali odpreti prednosti v novih oknih. Dejanja z stopnjami in koreninami in Dejanja z frakcijami .

Če iščete rešitve izvedenih finančnih instrumentov s stopinjami in koreninami, to je, ko je funkcija kot nekakšna , Sledite okupaciji "Derivat frakcij s stopinjami in koreninami".

Če imate nalogo , potem ste na "derivatih enostavnih trigonometričnih funkcij".

Primeri po korakih - kako najti derivat

Primer 3. Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Sklep. Določamo del izražanja funkcije: celoten izraz predstavlja delo, njegovi dejavniki pa so zneski, v drugem od katerih eden od izrazov vsebuje stalni multiplikator. Uporabljamo izpeljavo izdelka: derivat dela dveh funkcij je enak količini del vsake od teh funkcij na različnih derivat:

Nato uporabite količino razlikovalnega zneska: derivat algebrske količine funkcij je enak algebrski količini izvedenih finančnih instrumentov teh funkcij. V našem primeru je vsaka vsota drugi izraz z minus znak. V vsaki vsoti vidimo in neodvisno spremenljivko, katerih derivat je enak enemu, in stalni (število), katerih derivat je nič. Torej, "x" se spremenimo v eno in minus 5 - v nič. V drugem izrazu se "X" pomnoži z 2, tako da se obe enoti pomnoži z isto enoto kot derivat "IKSA". Pridobimo naslednje vrednosti izvedenih finančnih instrumentov:

Namestimo ugotovljene derivate v količini del in pridobite zahtevani pogoj za problem derivata celotne funkcije:

Rešitev lahko preverite na problem izvedenega finančnega instrumenta.

Primer 4. Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Sklep. Moramo najti zasebni derivat. Uporaba formule za diferenciacijo zasebnega: derivat zasebnih dveh funkcij je enak frakciji, katerega števec je razlika proizvodov imenovalca na derivatu številke in številke na derivatu imenovalca in Imenovalnik je kvadrat prejšnjega števec. Dobimo:

Našli smo že izvedeni derivat dejavnikov v nutertelu v primeru 2. Ne bom nikoli pozabil, da je delo, ki je druga tovarna v številu v sedanjem primeru, jemljemo z minus znak:

Če iščete rešitve za takšne naloge, v katerih je potrebno najti izpeljano funkcijo, kjer trdne dirke korenin in stopenj, kot na primer, na primer, , potem dobrodošli na poklic "Derivat frakcij s stopinjami in koreninami" .

Če se morate izvedeti več o sinusnih derivatov, kosina, tangentih in drugih trigonometrične funkcije, to je, ko se zdi, da je funkcija Potem ste na lekciji "Derivati \u200b\u200bpreprostih trigonometričnih funkcij" .

Primer 5. Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Sklep. V tej funkciji vidimo delo, eden od dejavnikov, ki je kvadratni koren neodvisne spremenljivke, z derivatom, od katerih smo prebrali tabelo izvedenih finančnih instrumentov. Glede na izpeljavo izdelka in tabele vrednosti kvadratnega korena derivata, dobimo:

Preverite rešitev problema na derivatu, ki je lahko vklopljen derivati \u200b\u200bkalkulatorja na spletu. .

Primer 6. Poiščite funkcijo izvedenega finančnega instrumenta

Sklep. V tej funkciji vidimo zasebno, ki je kvadratni koren iz neodvisne spremenljivke. Po pravilu diferenciacije zasebnega, ki smo jih ponovimo in se uporabljali v primeru 4, dobimo vrsto tabletable vrednost kvadratnega korenskega derivata:

Da se znebite frakcije v števcu, pomnožite števca in imenovalca.