Vse o izpeljanki za izpit. Derivat kompleksne funkcije
Prikazuje povezavo med predznakom izpeljanke in naravo monotonosti funkcije.
Prosimo, bodite izjemno previdni pri naslednjem. Poglejte, urnik KAJ vam je dano! Funkcija ali njen derivat
Če je podan graf odvoda, potem nas bodo zanimali le predznaki funkcije in ničle. Nobeni "hribčki" in "kotline" nas načeloma ne zanimajo!
Cilj 1.
Slika prikazuje graf funkcije, definirane na intervalu. Določite število celih točk, pri katerih je izpeljanka funkcije negativna.
rešitev:
Na sliki so območja padajoče funkcije označena z barvo:
4 cele vrednosti spadajo v ta področja padajoče funkcije.
Cilj 2.
Slika prikazuje graf funkcije, definirane na intervalu. Poiščite število točk, pri katerih je tangenta na graf funkcije z njim vzporedna ali sovpada.
rešitev:
Ker je tangenta na graf funkcije vzporedna (ali sovpada) z ravno črto (ali, kar je enako), ima naklon enaka nič, potem ima tudi tangenta naklon.
To pa pomeni, da je tangenta vzporedna z osjo, saj je naklon tangenta kota nagiba tangente na os.
Zato na grafu najdemo točke ekstrema (največje in minimalne točke), - v njih bodo tangente na graf funkcije vzporedne z osjo.
Obstajajo 4 take točke.
Cilj 3.
Slika prikazuje graf odvoda funkcije, definirane v intervalu. Poiščite število točk, pri katerih je tangenta na graf funkcije z njim vzporedna ali sovpada.
rešitev:
Ker je tangenta na graf funkcije vzporedna (ali sovpada) z ravno črto, ki ima naklon, ima tangenta naklon.
To pa pomeni, da so stične točke.
Zato pogledamo, koliko točk na grafikonu ima enako ordinato.
Kot lahko vidite, obstajajo štiri takšne točke.
4. naloga.
Slika prikazuje graf funkcije, definirane na intervalu. Poiščite število točk, pri katerih je izpeljanka funkcije 0.
rešitev:
Izvod je na točkah ekstrema nič. Imamo jih 4:
5. naloga.
Slika prikazuje graf funkcije in enajst točk na abscisni osi :. V koliko od teh točk je izpeljanka funkcije negativna?
rešitev:
V intervalih padajoče funkcije ima njen izvod negativne vrednosti. In funkcija se na točkah zmanjša. Obstajajo 4 take točke.
6. naloga.
Slika prikazuje graf funkcije, definirane na intervalu. Poiščite vsoto točk ekstrema funkcije.
rešitev:
Ekstremne točke So največje točke (-3, -1, 1) in minimalne točke (-2, 0, 3).
Vsota točk ekstrema: -3-1 + 1-2 + 0 + 3 = -2.
7. naloga.
Slika prikazuje graf odvoda funkcije, definirane v intervalu. Poiščite intervale naraščajoče funkcije. V odgovoru navedite vsoto celih točk, vključenih v te intervale.
rešitev:
Slika prikazuje intervale, na katerih je izpeljanka funkcije nenegativna.
Na majhnem intervalu naraščajočih celih točk ni celih točk, na naraščajočem intervalu so štiri cele vrednosti:,, in.
Njihova vsota:
8. naloga.
Slika prikazuje graf odvoda funkcije, definirane v intervalu. Poiščite intervale naraščajoče funkcije. V odgovoru navedite dolžino najdaljšega od njih.
rešitev:
Na sliki so označeni vsi intervali, v katerih je izpeljanka pozitivna, kar pomeni, da se v teh intervalih sama funkcija povečuje.
Najdaljši med njimi je 6.
Problem 9.
Slika prikazuje graf odvoda funkcije, definirane v intervalu. Na kateri točki segmenta je največja vrednost.
rešitev:
Pogledamo, kako se graf obnaša na segmentu, in sicer nas zanima samo izpeljan znak .
Predznak odvoda je minus, saj je graf na tem segmentu pod osjo.
Cilji lekcije:
Učni načrt: Ponovite teoretične informacije na temo »Uporaba izpeljanke« posplošiti, utrditi in izboljšati znanje o tej temi.
Naučite se uporabljati prejeto teoretično znanje pri odločanju različni tipi matematične težave.
Razmislite o metodah za reševanje nalog USE, povezanih s konceptom derivata osnovne in povečane stopnje kompleksnosti.
Izobraževalni:
Usposabljanje veščin: načrtovanje aktivnosti, delo v optimalnem tempu, delo v skupini, povzemanje.
Razviti sposobnost ocenjevanja svojih sposobnosti, sposobnost komuniciranja s tovariši.
Spodbujati občutek odgovornosti in empatije Spodbujati sposobnost timskega dela; spretnosti .. se nanaša na mnenje sošolcev.
Razvijanje: biti sposoben oblikovati ključne koncepte obravnavane teme. Razvijte sposobnosti timskega dela.
Vrsta lekcije: kombinirana:
Posploševanje, utrjevanje veščin, uporaba lastnosti elementarnih funkcij, uporaba že oblikovanega znanja, sposobnosti in veščin, uporaba derivata v nestandardnih situacijah.
Oprema: računalnik, projektor, platno, izročki.
Učni načrt:
1. Organizacijske dejavnosti
Odraz razpoloženja
2. Posodabljanje učenčevega znanja
3. Ustno delo
4. Samostojno delo v skupinah
5. Zaščita opravljenega dela
6. Samostojno delo
7. Domača naloga
8. Povzetek lekcije
9. Odraz razpoloženja
Med poukom
1. Odraz razpoloženja.
Fantje, dobro jutro, na vašo lekcijo sem prišel s tem razpoloženjem (pokaže podobo sonca)!
Kakšno si razpoloženje?
Na mizi imate kartice s podobami sonca, sonca za oblaki in oblakov. Pokažite, kakšno je vaše razpoloženje.
2. Analiza rezultatov poizkusne izpite in enaki rezultati končno certificiranje zadnja leta lahko sklepamo, da z nalogami matematične analize, iz delo na izpitu ne več kot 30% -35% diplomantov se spopada.Tu v našem razredu, glede na rezultate usposabljanja in diagnostično delo ne delajo vsi pravilno. To je razlog za našo izbiro. Pri reševanju bomo vadili veščino uporabe izpeljanke naloge izpita.
Poleg težav pri končnem certificiranju se porajajo vprašanja in dvomi, koliko znanja, pridobljena na tem področju, lahko in bodo v prihodnosti povpraševana, kako upravičeni so tako čas kot zdravstveni izdatki za študij te tematike.
Za kaj je izpeljanka? Kje srečamo izpeljanko in jo uporabimo? Ali je mogoče brez tega pri matematiki in ne samo?
Študentsko sporočilo 3 minute -
3. Ustno delo.
4. Samostojno delo v skupinah (3 skupine)
Naloga 1. skupine
) Kakšen je geometrijski pomen izpeljanke?
2) a) Slika prikazuje graf funkcije y = f (x) in tangento na ta graf, narisan v točki z absciso x0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f (x) v točki x0.
b) Slika prikazuje graf funkcije y = f (x) in tangento na ta graf, narisan v točki z absciso x0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f (x) v točki x0.
Odgovor skupine 1:
1) Vrednost odvoda funkcije v točki x = x0 je enaka pogojnemu koeficientu tangente, narisane na graf te funkcije v točki z absciso x0. Ničelni koeficient je enak tangentu kot nagiba tangente (ali z drugimi besedami) na tangento kota, ki ga tvorita tangenta in .. smer osi Ox)
2) A) f1 (x) = 4/2 = 2
3) B) f1 (x) = - 4/2 = -2
Naloga 2. skupine
1) Kakšen je fizični pomen izpeljanke?
2) Materialna točka se giblje v ravni črti v skladu z zakonom
x (t) = - t2 + 8t-21, kjer je x razdalja od referenčne točke v metrih, t je čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 3 s.
3) Materialna točka se giblje v ravni črti v skladu z zakonom
x (t) = ½ * t2-t-4, kjer je x razdalja od referenčne točke v metrih, t čas v sekundah, merjen od začetka gibanja. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 6 m / s?
Odgovor skupine 2:
1) Fizični (mehanski) pomen izpeljanke je naslednji.
Če je S (t) zakon premočrtnega gibanja telesa, potem izvod izraža trenutno hitrost v času t:
V (t) = - x (t) = - 2t = 8 = -2 * 3 + 8 = 2
3) X (t) = 1 / 2t ^ 2-t-4
Naloga 3. skupine
1) Premica y = 3x-5 je vzporedna s tangento na graf funkcije y = x2 + 2x-7. Poiščite absciso dotične točke.
2) Slika prikazuje graf funkcije y = f (x), definirane na intervalu (-9; 8). Določite število celih točk na tem intervalu, v katerem je izvod funkcije f (x) pozitiven.
Odgovor 3. skupine:
1) Ker je premica y = 3x-5 vzporedna s tangento, je naklon tangente enak naklonu premice y = 3x-5, to je k = 3.
Y1 (x) = 3, y1 = (x ^ 2 + 2x-7) 1 = 2x = 2 2x + 2 = 3
2) Celoštevilske točke so točke s celimi vrednostmi abscise.
Odvod funkcije f (x) je pozitiven, če se funkcija povečuje.
Vprašanje: Kaj lahko rečete o izpeljanki funkcije, ki jo opisuje rek "Dlje v gozd, več drv"
Odgovor: Izvod je pozitiven na celotnem področju definicije, ker se ta funkcija monotono povečuje
6. Samostojno delo (6 možnosti)
7. Domača naloga.
Odgovori na usposabljanje:
Povzetek lekcije.
»Glasba lahko povzdigne ali pomiri dušo, slikanje lahko razveseli oko, poezija lahko prebudi občutke, filozofija lahko zadovolji potrebe uma, inženiring lahko izboljša materialno plat življenja ljudi. Toda matematika lahko doseže vse te cilje."
Tako je rekel ameriški matematik Maurice Kline.
Hvala za vaše delo!
Predstavljajte si naravnost po hribovitem terenu. To pomeni, da gre gor in dol, vendar se ne obrne v desno ali levo. Če je os usmerjena vzdolž ceste vodoravno in - navpično, bo cestna črta zelo podobna grafu neke neprekinjene funkcije:
Os je določena raven ničelne višine, v življenju kot to uporabljamo morsko gladino.
Ko se premikamo naprej po takšni cesti, se premikamo tudi navzgor ali navzdol. Lahko tudi rečemo: ko se spremeni argument (gibanje vzdolž abscise), se spremeni vrednost funkcije (gibanje vzdolž ordinate). Zdaj pa pomislimo, kako določiti "strmino" naše ceste? Kakšna vrednost bi lahko bila? Zelo preprosto je: za koliko se bo spremenila višina, ko se premaknete naprej za določeno razdaljo. Dejansko se bomo na različnih odsekih ceste, ki se premikamo naprej (po abscisi) za en kilometer, dvignili ali padli za različno število metrov glede na gladino morja (po ordinati).
Označili bomo gibanje naprej (bere se "delta x").
Grška črka (delta) se v matematiki običajno uporablja kot predpona, ki pomeni "sprememba". To je - to je sprememba vrednosti, - sprememba; kaj je potem? Tako je, sprememba velikosti.
Pomembno: izraz je ena celota, ena spremenljivka. Nikoli ne smete odtrgati "delte" od "x" ali katere koli druge črke! To je na primer.
Torej, premaknili smo se naprej, vodoravno, naprej. Če primerjamo cestno črto z grafom funkcije, kako potem označimo vzpon? Seveda, . Se pravi, ko se premikamo naprej, se dvignemo višje.
Vrednost je enostavno izračunati: če smo bili na začetku na višini, po premikanju pa na višini, potem. Če je končna točka nižja od začetne, bo negativna - to pomeni, da ne gremo navzgor, ampak navzdol.
Nazaj na "strmo": to je vrednost, ki označuje, za koliko (strmo) se višina poveča, ko se premikate naprej za eno enoto razdalje:
Recimo, da se na nekem delu poti, ko se premikate po km, cesta dvigne za km. Potem je strmina na tej točki. In če se je cesta med premikanjem za m spustila za km? Potem je naklon.
Zdaj razmislite o vrhu hriba. Če vzamete začetek odseka pol kilometra pred vrhom, konec pa pol kilometra za njim, lahko vidite, da je višina tako rekoč enaka.
Se pravi, po naši logiki se izkaže, da je strmina tukaj skoraj nič, kar očitno ni res. Samo na razdalji v km se lahko marsikaj spremeni. Za ustreznejšo in natančnejšo oceno strmine je treba upoštevati manjše odseke. Na primer, če izmerite spremembo višine, ko se premaknete za en meter, bo rezultat veliko natančnejši. A tudi ta natančnost nam morda ne bo dovolj – navsezadnje, če je sredi ceste steber, se lahko preprosto zdrsnemo skozi. Kakšno razdaljo bomo potem izbrali? Centimeter? Milimeter? Manj je bolje!
V resnično življenje za merjenje razdalje z milimetrsko natančnostjo je več kot dovolj. Toda matematiki vedno stremijo k popolnosti. Zato je bil koncept izumljen neskončno majhna, to pomeni, da je velikost manjša od katerega koli števila, ki ga lahko poimenujemo. Na primer, pravite: en trilijon! Koliko manj? In to število deliš s - in bo še manj. itd. Če želimo zapisati, da je vrednost neskončno majhna, zapišemo takole: (beremo "x teži k nič"). Zelo pomembno je razumeti da ta številka ni nič! Ampak zelo blizu njega. To pomeni, da ga lahko delite.
Koncept, ki je nasproten neskončno majhnemu, je neskončno velik (). Verjetno ste že naleteli na to, ko ste se ukvarjali z neenakostmi: to število je po modulu večje od katerega koli števila, ki si ga lahko zamislite. Če dobite največje možno število, ga samo pomnožite z dva in dobite še več. In neskončnost je celo večja od tistega, kar dobiš. Pravzaprav sta neskončno veliko in neskončno majhno inverzno drug drugemu, to je pri, in obratno: at.
Zdaj pa se vrnimo na našo pot. Idealno izračunana strmina je ukrivljenost, izračunana za neskončno majhen odsek poti, to je:
Upoštevajte, da bo pri neskončno majhnem premiku tudi sprememba višine neskončno majhna. Ampak naj vas spomnim, da neskončno majhno ne pomeni enako nič. Če neskončno majhna števila delite med seboj, lahko dobite kar precej redna številka, na primer, . To pomeni, da je lahko ena majhna vrednost natanko dvakrat večja od druge.
Čemu je vse to? Cesta, strmina ... Ne gremo na avtorally, ampak poučujemo matematiko. In v matematiki je vse popolnoma enako, le da se imenuje drugače.
Izpeljan koncept
Derivat funkcije je razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta pri neskončno majhnem prirastku argumenta.
Po prirastku v matematiki se imenuje sprememba. Imenuje se, koliko se je argument () spremenil med premikanjem vzdolž osi povečanje argumenta in je označeno Obseg, do katerega se je funkcija (višina) spremenila pri premikanju naprej vzdolž osi za razdaljo, se imenuje povečanje funkcije in je označen z.
Torej je izpeljanka funkcije relacija do at. Izpeljanko označimo z isto črko kot funkcija, le s praštevilom v zgornjem desnem kotu: ali preprosto. Torej, zapišimo izpeljanko z uporabo teh zapisov:
Tako kot v analogiji s cesto je tudi tukaj, ko se funkcija povečuje, izpeljanka pozitivna, ko se funkcija zmanjšuje, pa negativna.
Ali obstaja izpeljanka enaka nič? Seveda. Na primer, če vozimo po ravni, vodoravni cesti, je strmina nič. Dejansko se višina sploh ne spremeni. Tako je z izpeljanko: izpeljanka konstantne funkcije (konstante) je enaka nič:
saj je prirast takšne funkcije nič za katero koli.
Spomnimo se primera z vrha hriba. Tam se je izkazalo, da je bilo mogoče razporediti konce segmenta na nasprotnih straneh oglišča tako, da se višina na koncih izkaže za enako, to je, da je segment vzporeden z osjo:
Toda veliki raztežaji so znak netočne meritve. Naš segment bomo dvignili vzporedno s seboj, nato se bo njegova dolžina zmanjšala.
Sčasoma, ko smo neskončno blizu vrha, bo dolžina segmenta postala neskončno majhna. Toda hkrati je ostal vzporeden z osjo, to pomeni, da je višinska razlika na njenih koncih nič (ne teži, je pa enaka). Zato izpeljanka
To lahko razumete tako: ko stojimo na samem vrhu, majhen premik v levo ali desno našo višino zanemarljivo malo spremeni.
Obstaja tudi čisto algebraična razlaga: levo od oglišča se funkcija poveča, desno pa zmanjša. Kot smo že ugotovili prej, je z naraščanjem funkcije izpeljanka pozitivna, ko se funkcija zmanjšuje, pa negativna. A spreminja se gladko, brez skokov (saj cesta nikjer ne spremeni naglo naklona). Zato mora biti med negativnimi in pozitivnimi vrednostmi nujno. To bo tam, kjer se funkcija ne poveča niti ne zmanjša - na točki vrha.
Enako velja za dno (območje, kjer funkcija pada na levi in narašča na desni):
Malo več podrobnosti o prirastkih.
Torej spremenimo argument v vrednost. Sprememba od katere vrednosti? Kaj je on (argument) zdaj? Izberemo lahko katero koli točko, zdaj pa bomo plesali iz nje.
Razmislite o točki s koordinato. Vrednost funkcije v njej je enaka. Nato naredimo enak prirast: koordinato povečamo za. Čemu je zdaj argument enak? Zelo enostavno: . Kakšna je vrednost funkcije zdaj? Kjer gre argument, gre tudi funkcija:. Kaj pa prirast funkcije? Nič novega: to je še vedno znesek, za katerega se je funkcija spremenila:
Vadite iskanje korakov:
- Poiščite prirast funkcije v točki, pri čemer je prirast argumenta enak.
- Enako velja za funkcijo na točki.
rešitve:
Na različnih točkah z enakim prirastkom argumenta bo prirast funkcije drugačen. To pomeni, da je izpeljanka na vsaki točki drugačna (o tem smo razpravljali že na začetku – strmina ceste je na različnih točkah različna). Zato, ko pišemo izpeljanko, moramo navesti, na kateri točki:
Funkcija moči.
Funkcija se imenuje močnostna funkcija, kjer je argument do neke mere (logičen, kajne?).
In - v kateri koli meri:.
Najpreprostejši primer je, ko je eksponent:
Na točki poiščimo njeno izpeljanko. Spomnimo se definicije izpeljanke:
Torej se argument spremeni od do. Kakšen je prirast funkcije?
Prirast je tale. Toda funkcija je na kateri koli točki enaka njenemu argumentu. Zato:
Izpeljanka je enaka:
Derivat od je enak:
b) Zdaj razmislite o kvadratni funkciji ():.
Zdaj pa se spomnimo tega. To pomeni, da je vrednost prirastka mogoče zanemariti, saj je neskončno majhna in zato nepomembna glede na drug izraz:
Torej imamo naslednje pravilo:
c) Nadaljujemo z logičnim nizom:.
Ta izraz je mogoče poenostaviti na različne načine: odpreti prvi oklepaj s formulo za skrajšano množenje kocke vsote ali pa celoten izraz faktorizirati s formulo za razliko med kockami. Poskusite to narediti sami na katerega koli od predlaganih načinov.
Tako sem končal z naslednjim:
In še enkrat, spomnite se tega. To pomeni, da lahko zanemarite vse izraze, ki vsebujejo:
Dobimo:.
d) Podobna pravila je mogoče dobiti za višje stopnje:
e) Izkazalo se je, da je to pravilo mogoče posplošiti za potencialno funkcijo s poljubnim eksponentom, niti celim številom:
| (2) |
Pravilo je mogoče oblikovati z besedami: "stopnja se poda kot koeficient, nato pa se zmanjša za".
To pravilo bomo dokazali kasneje (skoraj na samem koncu). Zdaj pa si poglejmo nekaj primerov. Poiščite izpeljanko funkcij:
- (na dva načina: s formulo in z uporabo definicije izvoda - z izračunom prirastka funkcije);
Trigonometrične funkcije.
Tukaj bomo uporabili eno dejstvo iz višje matematike:
Ko izražanje.
Dokaz se boste naučili v prvem letniku inštituta (in da pridete tja, morate dobro opraviti izpit). Zdaj bom samo grafično prikazal:
Vidimo, da ko funkcija ne obstaja - je točka na grafu preluknjana. Toda bližje kot je vrednost, bližje je funkcija. To je tisto, kar si "stremi".
Poleg tega lahko to pravilo preverite s kalkulatorjem. Da, da, ne bodite sramežljivi, vzemite kalkulator, še nismo na izpitu.
Torej, poskusimo:;
Ne pozabite preklopiti kalkulatorja v način radianov!
itd. Vidimo, da manj, tem bližji pomen odnos do.
a) Razmislite o funkciji. Kot običajno poiščemo njegov prirast:
Pretvorimo razliko sinusov v produkt. Za to uporabljamo formulo (ne pozabite na temo ""):.
Zdaj izpeljanka:
Naredimo zamenjavo:. Potem je za neskončno majhno tudi neskončno majhno:. Izraz za ima obliko:
In zdaj se tega spomnimo pri izražanju. In tudi, kaj, če lahko neskončno malo vrednost zanemarimo v vsoti (to je pri).
Tako dobimo naslednje pravilo: sinusni derivat je enak kosinus:
To so osnovne ("tabelarne") izpeljanke. Tukaj so na enem seznamu:
Kasneje jih bomo dodali še nekaj, vendar so ti najpomembnejši, saj se najpogosteje uporabljajo.
vaja:
- Poiščite izvod funkcije v točki;
- Poiščite izvod funkcije.
rešitve:
Eksponent in naravni logaritem.
V matematiki obstaja taka funkcija, katere izvod za katero koli je enak vrednosti same funkcije. Imenuje se "eksponentna" in je eksponentna funkcija
Osnova te funkcije je konstantna - je neskončna decimalka, torej iracionalno število (kot npr.). Imenuje se "Eulerjeva številka" in je zato označena s črko.
Torej pravilo je:
Zelo enostavno si je zapomniti.
No, ne gremo daleč, takoj bomo razmislili inverzna funkcija... Za katero funkcijo je inverzna eksponentna funkcija? Logaritem:
V našem primeru je osnova število:
Takšen logaritem (to je logaritem z bazo) se imenuje "naravni", zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto pisanja.
Čemu je enako? Seveda, .
Izvod naravnega logaritma je tudi zelo preprost:
Primeri:
- Poiščite izvod funkcije.
- Kaj je izpeljanka funkcije?
odgovori: Eksponent in naravni logaritem sta edinstveno enostavni funkciji glede na odvod. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo bazo bodo imele drugačno izpeljanko, ki jo bomo analizirali kasneje, ko bomo prebrali pravila diferenciacije.
Pravila diferenciacije
Pravila česa? Spet nov mandat, spet?!...
Diferenciacija je proces iskanja izpeljanke.
To je vse. Kako drugače poimenovati ta postopek z eno besedo? Ne izpeljava ... Diferencial matematike se imenuje enak prirast funkcije pri. Ta izraz izvira iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.
Ko bomo izpeljali vsa ta pravila, bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebujemo tudi formule za njihove prirastke:
Skupno je 5 pravil.
Konstanta se premakne izven predznaka izpeljanke.
Če je neko konstantno število (konstanta), potem.
Očitno to pravilo deluje tudi za razliko:.
Dokažimo. Naj ali lažje.
Primeri.
Poiščite izpeljanke funkcij:
- na točki;
- na točki;
- na točki;
- na točki.
rešitve:
Izpeljanka dela
Tukaj je vse enako: predstavljamo nova funkcija in poiščite njegov prirast:
Izpeljanka:
Primeri:
- Poiščite izpeljanke funkcij in;
- Poiščite izvod funkcije v točki.
rešitve:
Izpeljanka eksponentne funkcije
Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite najti izvod katere koli eksponentne funkcije, ne samo eksponenta (ste pozabili, kaj je to?).
Torej, kje je kakšna številka.
Izpeljanko funkcije že poznamo, zato poskusimo našo funkcijo pretvoriti v novo osnova:
Za to bomo uporabili preprosto pravilo:. Nato:
No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija zapletena.
Se je zgodilo?
Tukaj preverite sami:
Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, je ostala, pojavil se je le množitelj, ki je le število, ne pa spremenljivka.
Primeri:
Poiščite izpeljanke funkcij:
odgovori:
Izpeljanka logaritemske funkcije
Tukaj je podobno: izpeljanko naravnega logaritma že poznate:
Torej, če želite najti poljuben logaritem z drugačno bazo, na primer:
Ta logaritem morate prinesti na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:
Šele zdaj bomo namesto tega napisali:
Imenovalec je samo konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanka je zelo preprosta:
Izvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij v USE skoraj nikoli ne najdemo, vendar jih ne bo odveč poznati.
Derivat kompleksne funkcije.
Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ne arktangens. Te funkcije je lahko težko razumeti (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo minilo), vendar z vidika matematike beseda "težko" ne pomeni "težko" .
Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in izvajata nekakšno akcijo z nekaterimi predmeti. Prvi na primer čokoladno ploščico zavije v ovoj, drugi pa jo zaveže s trakom. Izkazalo se je tako sestavljen predmet: čokoladna ploščica, zavita in vezana s trakom. Če želite jesti čokoladico, morate narediti obratne korake v obratnem vrstnem redu.
Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila, nato pa bomo dobljeno število kvadrirali. Torej, dobimo številko (čokoladna ploščica), najdem njen kosinus (ovitek), nato pa kvadriraš, kar sem dobil (zavežeš ga s trakom). Kaj se je zgodilo? Funkcija. To je primer kompleksna funkcija: ko, da najdemo njeno vrednost, naredimo prvo dejanje neposredno s spremenljivko, nato pa še drugo dejanje z rezultatom prvega.
Lahko naredimo enaka dejanja v obratnem vrstnem redu: najprej kvadratirate, nato pa poiščem kosinus nastalega števila:. Preprosto je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko spremenite vrstni red dejanj, se funkcija spremeni.
Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .
Za prvi primer,.
Drugi primer: (enako). ...
Akcija, ki jo naredimo nazadnje, bo poklicana "Zunanja" funkcija, in ukrep, sprejet prvi - oz "Notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).
Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:
odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji
spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.
No, zdaj bomo izvlekli našo čokoladico - poiščite izpeljanko. Postopek je vedno obrnjen: najprej poiščemo izpeljanko zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z izpeljanko notranje funkcije. Glede na izvirni primer je videti takole:
Še en primer:
Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:
Algoritem za iskanje izvoda kompleksne funkcije:
Zdi se, da je vse preprosto, kajne?
Preverimo s primeri:
IZVEDEN. NAKRATKO O GLAVNEM
Izpeljanka funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta pri neskončno majhnem prirastku argumenta:
Osnovne izpeljanke:
Pravila diferenciacije:
Konstanta se premakne izven predznaka izpeljanke:
Izpeljanka zneska:
Izpeljanka dela:
Izpeljanka količnika:
Izpeljanka kompleksne funkcije:
Algoritem za iskanje izvoda kompleksne funkcije:
- Definiramo "notranjo" funkcijo, najdemo njeno izpeljanko.
- Definiramo "zunanjo" funkcijo, najdemo njeno izpeljanko.
- Rezultate prve in druge točke pomnožimo.
No, tema je končana. Če berete te vrstice, potem ste zelo kul.
Ker le 5 % ljudi je sposobno nekaj obvladati sam. In če prebereš do konca, potem si v teh 5%!
Zdaj prihaja najpomembnejše.
Ugotovil si teorijo na to temo. In spet, to je ... to je preprosto super! Ste že zdaj boljši od velike večine svojih vrstnikov.
Težava je v tem, da to morda ne bo dovolj ...
Za kaj?
Za uspešno opraviti izpit, za sprejem na inštitut na proračun in, kar je najpomembneje, za življenje.
Ne bom vas v nič prepričeval, povedal bom samo eno stvar ...
Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To so statistike.
A tudi to ni glavno.
Glavna stvar je, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre toliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem...
Ampak pomislite sami ...
Kaj je potrebno, da bi bili na izpitu zagotovo boljši od drugih in na koncu ... bolj srečni?
ROČNO REŠITE TEŽAVE NA TEMO.
Na izpitu od vas ne bodo zahtevali teorije.
Boste potrebovali nekaj časa reševati naloge.
In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo šli nekam neumno napačno ali preprosto ne boste pravočasno.
To je kot v športu – to moraš ponavljati znova in znova, da zagotovo zmagaš.
Poiščite zbirko, kjer želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odloči se, odloči se, odloči!
Uporabite lahko naše naloge (neobvezno) in jih seveda priporočamo.
Da bi si napolnili roko s pomočjo naših nalog, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.
Kako? Obstajata dve možnosti:
- Delite vse skrite naloge v tem članku -
- Odklenite dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 člankih vadnice - Kupite učbenik - 499 rubljev
Da, v našem učbeniku imamo 99 takšnih člankov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih je mogoče odpreti naenkrat.
Dostop do vseh skritih opravil je zagotovljen za celotno življenjsko dobo spletnega mesta.
V zaključku...
Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne zadržujte se na teoriji.
"Razumem" in "sposoben sem rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebuješ oboje.
Poiščite težave in jih rešite!
Premica y = 3x + 2 je tangentna na graf funkcije y = -12x ^ 2 + bx-10. Poiščite b, glede na to, da je abscisa dotične točke manjša od nič.
Pokaži rešitevRešitev
Naj bo x_0 abscisa točke na grafu funkcije y = -12x ^ 2 + bx-10, skozi katero poteka tangenta na ta graf.
Vrednost izvoda v točki x_0 je enaka naklonu tangente, to je y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Po drugi strani pa tangentna točka pripada obema grafoma funkcije in tangenta, to je -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. Dobimo sistem enačb \ začetek (primeri) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ konec (primeri)
Če rešimo ta sistem, dobimo x_0 ^ 2 = 1, kar pomeni bodisi x_0 = -1 ali x_0 = 1. Glede na pogoj je abscisa dotične točke manjša od nič, torej x_0 = -1, potem je b = 3 + 24x_0 = -21.
Odgovori
Stanje
Slika prikazuje graf funkcije y = f (x) (ki je lomljena črta, sestavljena iz treh ravnih odsekov). S pomočjo slike izračunajte F (9) -F (5), kjer je F (x) eden od antiderivov od f (x).
Pokaži rešitevRešitev
Po formuli Newton-Leibniz je razlika F (9) -F (5), kjer je F (x) eden od antiderivov funkcije f (x), enaka površini omejenega krivolinijskega trapeza z grafom funkcije y = f (x), z ravnimi črtami y = 0 , x = 9 in x = 5. Glede na graf ugotovimo, da je navedeni ukrivljeni trapez trapez z osnovama 4 in 3 ter višino 3.
Njeno območje je \ frac (4 + 3) (2) \ cdot 3 = 10,5.
Odgovori
Vir: »Matematika. Priprave na izpit 2017. Raven profila". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Stanje
Slika prikazuje graf y = f "(x) - odvod funkcije f (x), definiran na intervalu (-4; 10). Poiščite intervale padanja funkcije f (x). V odgovor, navedite dolžino največjega od njih.
Rešitev
Kot veste, funkcija f (x) pada na tistih intervalih, v vsaki točki katerih je izpeljanka f "(x) manjša od nič. Ob upoštevanju, da je treba najti dolžino največjega od njih, so trije takšni intervali se naravno razlikujejo od slike: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9).
Dolžina največjega od njih - (5; 9) je enaka 4.
Odgovori
Vir: »Matematika. Priprave na izpit 2017. Raven profila". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Stanje
Slika prikazuje graf y = f "(x) - izvod funkcije f (x), definirane na intervalu (-8; 7). Poiščite največje število točk funkcije f (x), ki pripadajo interval [-6; -2].
.png)
Rešitev
Graf kaže, da izpeljanka f "(x) funkcije f (x) spremeni predznak iz plusa v minus (na takih točkah bo maksimum) na točno eni točki (med -5 in -4) od interval [-6; -2]. Zato je na intervalu [-6; -2] natanko ena največja točka.
Odgovori
Vir: »Matematika. Priprave na izpit 2017. Raven profila". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Stanje
Slika prikazuje graf funkcije y = f (x), definirane na intervalu (-2; 8). Določite število točk, pri katerih je izvod funkcije f (x) 0.
Rešitev
Enakost izvoda v točki nič pomeni, da je tangenta na graf funkcije, narisana na tej točki, vzporedna z osjo Ox. Zato najdemo točke, pri katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna z osjo Ox. Na tem grafikonu so takšne točke skrajne točke (točke maksimuma ali minimuma). Kot lahko vidite, obstaja 5 ekstremnih točk.
Odgovori
Vir: »Matematika. Priprave na izpit 2017. Raven profila". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Stanje
Premica y = -3x + 4 je vzporedna s tangento na graf funkcije y = -x ^ 2 + 5x-7. Poiščite absciso dotične točke.
Pokaži rešitevRešitev
Naklon ravne črte na graf funkcije y = -x ^ 2 + 5x-7 na poljubni točki x_0 je enak y "(x_0). Toda y" = - 2x + 5, torej y "(x_0 ) = - 2x_0 + 5. Kotni koeficient premice y = -3x + 4, določen v pogoju, je enak -3. Vzporedne premice imajo enak naklon. Zato najdemo takšno vrednost x_0, da je = -2x_0 + 5 = -3.
Dobimo: x_0 = 4.
Odgovori
Vir: »Matematika. Priprave na izpit 2017. Raven profila". Ed. FF Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Stanje
Slika prikazuje graf funkcije y = f (x), na abscisni osi pa so označene točke -6, -1, 1, 4. Na kateri od teh točk je vrednost izpeljanke najmanjša? To točko navedite v svojem odgovoru.
Geometrični pomen odvoda XY 0 tangenta α k je naklon premice (tangenta) Geometrični pomen izvoda: če lahko na graf funkcije y = narišemo tangento, ki ni vzporedna z osjo y. f (x) v točki z absciso, potem izraža naklon tangente, tj. Ker je potem enakost resnična Enačba premice
X y Če je α 0. Če je α> 90 °, potem k 90 °, nato k 90 °, nato k 90 °, nato k 90 °, nato k naslov = "(! JEZIK: x y Če α 0. Če α> 90 °, nato k
X y Naloga 1. Slika prikazuje graf funkcije y = f (x) in tangento na ta graf, narisan v točki z absciso -1. Poiščite vrednost odvoda funkcije f (x) v točki x =
Y x x0x Slika prikazuje graf funkcije y = f (x) in tangento nanjo v točki z absciso x 0. Poišči vrednost odvoda funkcije f (x) v točki x 0. Odgovor: -0,25
Slika prikazuje graf odvoda funkcije f (x), definirane na intervalu (-6; 6). Poiščite intervale naraščanja funkcije f (x). V odgovoru navedite vsoto celih točk, vključenih v te intervale. B = ...
