Določite paritetno funkcijo. Tudi in liho funkcije

Funkcija - To je eden najpomembnejših matematičnih konceptov. Funkcija - Spremenljiva odvisnost w. iz spremenljivke x.Če je vsaka vrednost h. ustreza eni vrednosti w.. Spremenljivka h. Imenovana neodvisna spremenljivka ali argument. Spremenljivka w. Imenovana odvisna spremenljivka. Vse vrednosti neodvisne spremenljivke (spremenljivke x.) Funkcija določanja funkcije. Vse vrednosti, ki so sprejele odvisne spremenljivke (spremenljivka y.) Oblikujte območje vrednosti funkcij.

Graf graf. Pokličite nabor vseh točk koordinatne ravnine, katerih absks so enaka vrednosti argumenta, in kodirate - ustrezne vrednosti funkcije, tudi na osi abscisa, vrednosti Spremenljivka so odložena x.in vrednosti spremenljivke so preložene po osi y.. Za izgradnjo funkcije grafa morate poznati lastnosti funkcije. Glavne lastnosti funkcije bodo obravnavane spodaj!

Za izgradnjo grafa vam svetujemo, da uporabite naš program - Gradbene grafe funkcij na spletu. Če imate vprašanja o študiju gradiva na tej strani, jih lahko vedno vprašate na naš forum. Tudi na forumu vam bo pomagal rešiti probleme v matematiki, kemiji, geometriji, teoriji verjetnosti in mnogih drugih predmetov!

Glavne lastnosti funkcij.

1) Opredelitev funkcij in vrednosti funkcij.

Funkcija določanja funkcije je niz vseh dovoljenih veljavne vrednosti Prepir x. (spremenljivka x.), v katerem je funkcija y \u003d f (x) Opredeljeno.
Obseg vrednosti funkcij je niz vseh veljavnih vrednosti. y.ki prevzame funkcijo.

Pri osnovni matematiki se funkcije preučujejo le na množici veljavnih številk.

2) Funkcija ZEROS.

Vrednote h.za katero y \u003d 0., imenovan funkcija ZEROS.. To so izvzkov točke presečišča grafa Funkcije z osi OH.

3) Intervali funkcije simbola.

Intervali funkcij funkcije - taki intervali vrednosti x.na kateri vrednosti funkcije y. bodisi le pozitivne ali samo negativne intervalih funkcij.

4) Monotonija.

Povečana funkcija (v določenem intervalu) je funkcija, ki ima večjo vrednost argumenta iz te vrzeli, ustreza večji vrednosti funkcije.

Zmanjšanje funkcije (v nekem intervalu) je funkcija, ki ima večjo vrednost argumenta iz te vrzeli, ustreza manjši vrednosti funkcije.

5) Funkcije paritete (nenavadnost).

Celo funkcija je funkcija, ki je območje določanja simetrično glede na začetek koordinat in za vse h. f (-x) \u003d f (x). Graf celo funkcije je simetričen glede osi ordinate.

Čudna funkcija je funkcija, ki ima področje določanja simetrične glede na začetek koordinat in za vse h. Enakost je iz območja opredelitve f (-x) \u003d - f (x). Razpored čudne funkcije je simetričen na začetku koordinat.

Celo funkcijo
1) Območje opredelitve je simetrično glede na točko (0; 0), ki je, če je točka a. pripada območju opredelitve, nato pa točko -A. spada tudi na področje opredelitve.
2) Za vsako vrednost x. f (-x) \u003d f (x)
3) Celo delujoč graf je simetričen glede na osi ou.

Druga funkcija Ima naslednje lastnosti:
1) Območje opredelitve je simetrično glede na točko (0; 0).
2) Za vsako vrednost x.Območje opredelitve je izvedena enakost f (-x) \u003d - f (x)
3) tabela čudne funkcije je simetrična glede na začetek koordinat (0; 0).

Ni nobena funkcija niti liho. Funkcije splošni pogled niti niti ne čudni.

6) Omejene in neomejene funkcije.

Funkcija se imenuje omejena, če je pozitivno število m, ki | f (x) | ≤ m za vse vrednosti x. Če take številke ni, je funkcija neomejena.

7) periodična funkcija.

Funkcija F (x) je periodična, če je taka drugačna številka t, ki je za katero koli X iz funkcije določanja funkcije poteka: f (x + t) \u003d f (x). Takšno najmanjše število se imenuje delovno obdobje. Vse trigonometrične funkcije so periodične. (Trigonometrične formule).

Funkcija f. se imenuje periodična, če je taka številka x. Enakost se izvaja iz območja opredelitve f (x) \u003d f (x - t) \u003d f (x + t). T. - To je delovno obdobje.

Vsaka periodična funkcija ima neskončni niz obdobij. V praksi se običajno obravnava najmanjše pozitivno obdobje.

Vrednosti periodične funkcije skozi interval, ki je enaka obdobju, se ponavljajo. To se uporablja pri gradnji grafi.

Skrij Show.

Načini, da nastavite funkcijo

Recimo, da je funkcija definirana s formulo: y \u003d 2x ^ (2) -3. Dodelitev kakršnih koli vrednosti neodvisne spremenljivke X se lahko izračuna z uporabo te formule ustrezne vrednosti odvisne spremenljivke y. Na primer, če je X \u003d -0.5, nato s formulo, smo dobili, da je ustrezna vrednost Y je enaka y \u003d 2 cdot (-0,5) ^ (2) -3 \u003d -2.5.

Če vzamete kakršno koli vrednost, ki jo je sprejel argument X v formuli Y \u003d 2x ^ (2) -3, lahko izračunate samo vrednost funkcije, ki ustreza njej. Funkcijo je lahko zastopana kot tabela:

x.	−2	−1	0	1	2	3
y.	−4	−3	−2	−1	0	1

Z uporabo te tabele se lahko razstavi, da bo za vrednost argumenta -1 ustrezala vrednosti funkcije -3; In vrednost X \u003d 2 bo ustrezala y \u003d 0, itd. Pomembno je tudi vedeti, da vsaka vrednost argumenta v tabeli ustreza samo eni funkciji.

Več funkcij lahko nastavite z grafov. Uporaba grafa je nastavljena na to, na katero funkcijsko vrednost je povezana z določeno vrednostjo x. Najpogosteje bo približna vrednost funkcije.

Tudi funkcija

Funkcija je celo funkcijoKo f (-x) \u003d f (x) za katero koli X iz območja definicije. Ta funkcija bo simetrična glede na ojšo osi.

Funkcija je Čudno funkcijoKo f (-x) \u003d - f (x) za katero koli X iz območja definicije. Ta funkcija bo simetrična glede na začetek koordinate O (0; 0).

Funkcija je niti niti, niti čudno in imenovan funkcija skupnega tipaKo nima simetrije glede na os ali začetek koordinat.

Spodaj preučujemo pariteto:

f (x) \u003d 3x ^ (3) -7x ^ (7)

D (f) \u003d (- inmty, + inmty) s simetrično površino definicije glede na začetek koordinat. f (-x) \u003d 3 CDOT (-X) ^ (3) -7 CDOT (-X) ^ (7) \u003d -3x ^ (3) + 7x ^ (7) \u003d - (3x ^ (3) -7x ^ (7)) \u003d -f (x).

Torej, funkcija f (x) \u003d 3x ^ (3) -7x ^ (7) je liho.

Periodična funkcija

Funkcija y \u003d f (x), v območju definicije, katerih za katero koli X, enakost f (x + t) \u003d f (x - t) \u003d f (x) se imenuje periodična funkcija Z obdobjem t \\ t-

Ponavljanje grafa funkcije na katerem koli rezanju osi abscisa, ki ima dolžino t.

Vrzeli, kjer je funkcija pozitivna, t.e. f (x)\u003e 0 - kosi osi abscisa, ki ustrezajo točkam grafa funkcije, ki ležijo nad osi abscisa.

f (x)\u003e 0 na (x_ (1); x_ (2)) skodelica (x_ (3); + \\ t

Vrzeli, kjer je funkcija negativna, to je, f (x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f (x)< 0 на (- Ingty; x_ (1)) skodelico (x_ (2); x_ (3))

Omejite funkcije

Omejena spodaj To je običajno, da pokličete funkcijo y \u003d f (x), x v x, ko je taka številka, za katero je neenakost f (x) geq a, ki se izvede za katero koli X \\ t

Primer omejenega dna funkcije: Y \u003d SQRT (1 + X ^ (2)) kot Y \u003d SQRT (1 + X ^ (2)) GEQ 1 za katero koli X.

Omejena od zgoraj Funkcija y \u003d f (x), x v X se imenuje, ko je taka številka B, za katero se neenakost f (x) neq b izvede za katero koli X v X.

Primer omejene funkcije spodnjega dela: y \u003d sqrt (1-x ^ (2)), x v [-1; 1] Ker Y \u003d SQRT (1 + x ^ (2)) neq 1 za katero koli X v [-1; 1].

Omejeno To je običajno, da pokličete funkcijo y \u003d f (x), x v x, ko je taka številka K\u003e 0, za katero se izvede neenakost F (x) Pravica | Neq K za katero koli X \\ t

Primer omejene funkcije: Y \u003d Sin X je omejen na celotno številčno os, od takrat Levo | Sin X \\ t Neq 1..

Povečanje in zmanjševanje funkcije

O funkciji, ki se povečuje na obravnavanem intervalu, je običajno govoriti povečanje funkcije Potem, ko večja vrednost X ustreza večji vrednosti funkcije y \u003d f (x). Od tu se izkaže, da jemlje dve poljubni vrednosti argumenta X_ (1) in X_ (2) iz obravnavanega intervala, z X_ (1)\u003e X_ (2), bo Y (X_ (1) )\u003e Y (x_ (2)).

Funkcija, ki se zmanjšuje na obravnavanem intervalu, se imenuje zmanjševanje funkcije Potem, ko večja vrednost X ustreza manjši vrednosti funkcije Y (X). Od tu se izkaže, da sta dve poljubni vrednosti argumenta X_ (1) in X_ (2), z X_ (1)\u003e X_ (2), bo Y (X_ (2), bo iz tega< y(x_{2}) .

Funkcija korenin To je običajno, da pokličete točke, v katerih funkcija F \u003d Y (X) prečka osi abscisa (dobijo kot posledica reševanja enačbe Y (X) \u003d 0).

a) Če je na X\u003e 0, se celo funkcija poveča, potem se zmanjšuje z x< 0

b) Kdaj z x\u003e 0 deluje celo funkcija, nato pa se poveča z x< 0

c) Ko se z X\u003e 0 poveča liho funkcijo, se poveča z x< 0

d) Ko se bo zmanjšala čudna funkcija z X\u003e 0, se bo zmanjšala z x< 0

Ekstremna funkcija

Najmanjša funkcija Y \u003d f (x) Običajno je, da pokličete to točko x \u003d x_ (0), v kateri bo njena soseska imela druge točke (razen točke X \u003d x_ (0)), in neenakosti f (x)\u003e f bo izveden (x_ (0)). y_ (min) - funkcija označevanja na min točki.

Točka največje funkcije Y \u003d f (x) Običajno je, da pokličete tako točko X \u003d x_ (0), v kateri bo njena soseska imela druge točke (razen točke X \u003d x_ (0)), nato pa neenakost f (x) bo izveden< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Predpogoji

Po navedbah kmetije Therem: F "(x) \u003d 0 Ko je funkcija F (X), ki se diferencira na točki X_ (0), se ekstrem prikaže na tej točki.

Zadostno stanje

Ko se izvedena vrednost spremeni iz plus na minus, bo X_ (0) minimalna točka;
x_ (0) - To bo največja točka le, če se derivat spremeni znak iz minus plus, ko preklapljate skozi stacionarno točko X_ (0).

Največja in najmanjša vrednost funkcije na intervalu

Računalniški koraki:

Išče je izpeljan f "(x);
Obstajajo stacionarne in kritične točke funkcije in izberite segment, ki pripada;
Obstajajo vrednosti funkcije F (x) v stacionarnih in kritičnih točkah in segmentih. Manj od dobljenih rezultatov najmanjši pomen Funkcijein več - super.

. Če želite to narediti, uporabite milimeter ali grafični kalkulator. Izberite nekaj številskih vrednosti neodvisne spremenljivke. X (DisplayStyle X) in jih nadomestite, da se izračunajo vrednosti odvisne spremenljivke Y (displaystyle y). Najdene koordinate točk veljajo za koordinatno ravnino, nato pa povežejo te točke za izgradnjo funkcijskega grafa.

Funkcija pozitivne številske vrednosti X (DisplayStyle X) in ustrezne negativne številske vrednosti. Na primer, funkcija je podana f (x) \u003d 2 x 2 + 1 (displaystyle f (x) \u003d 2x ^ (2) +1). V njej nadomestite naslednje vrednosti. X (DisplayStyle X):

Preverite, ali je graf funkcije simetrično glede na os y. Simetrija pomeni zrcalno podobo grafa glede na osi ordinate. Če del grafa na desni strani Y osi (pozitivne vrednosti neodvisne spremenljivke) sovpada z delom grafa na levi strani y osi (negativne vrednosti neodvisne spremenljivke), je graf simetričen v zvezi z osjo Y. Če je funkcija simetrična glede na oredično os, tako enako funkcijo.

Preverite, ali je urnik simetrično glede na začetek koordinat. Izvor koordinat je točka s koordinatami (0,0). Simetrija glede na začetek koordinat pomeni, da je pozitivna vrednost Y (displaystyle y) (s pozitivno vrednostjo X (DisplayStyle X)) ustreza negativni vrednosti Y (displaystyle y) (z negativno vrednostjo X (DisplayStyle X)), in obratno. Neparne funkcije imajo simetrijo glede na začetek koordinat.

Preverite, ali urnik vsebuje nekaj simetrije. Zadnja vrsta funkcije je funkcija, ki nima simetrije, to je, da je zrcalna slika manjkajo v primerjavi z osjo ordinate in glede na začetek koordinat. Na primer, funkcija je podana.

Funkcijo za nadomestitev več pozitivnih in ustreznih negativnih vrednosti. X (DisplayStyle X):
Glede na dobljene rezultate ni simetrije. Vrednote Y (displaystyle y) Za nasprotne pomene X (DisplayStyle X) Ne sovpadajte in niso nasproti. Tako funkcija ni niti niti liho.
Upoštevajte, da je funkcija f (x) \u003d x 2 + 2 x + 1 (disnestyle f (x) \u003d x ^ (2) + 2x + 1) Tako lahko pišete: f (x) \u003d (x + 1) 2 (displaystyle f (x) \u003d (x + 1) ^ (2)). Zabeleži se v tem obrazcu, funkcija se zdi tudi, ker obstaja celo kazalnik stopnje. Toda ta primer dokazuje, da je oblika funkcije ni mogoče hitro določiti, če je v oklepajih priložena neodvisna spremenljivka. V tem primeru morate razkriti oklepaje in analizirati pridobljene stopnje stopnje.

Pariteta in čudnosti funkcije sta ena od njegovih glavnih lastnosti, v pariteju pa zavzema impresiven del Šolski tečaj matematika. Določa naravo vedenja funkcije in močno olajša gradnjo ustreznega urnika.

Določiti pariteto funkcije. Na splošno se funkcija v študiji šteje, tudi če za nasprotne vrednosti neodvisne spremenljivke (X), ki so v območju definicije, ustrezne vrednosti Y (funkcije) enake.

Dali bomo strožjo definicijo. Razmislite o nekaterih funkcijah F (X), ki je nastavljena v regiji D. To bo celo, če je za katero koli točko X na področju opredelitve:

-x (nasprotna točka) leži tudi na tem področju opredelitve,

f (-x) \u003d f (x).

Iz dane definicije je sleden stanju, ki je potreben za določitev take funkcije, in sicer, simetrijo glede na točko začetka koordinat, saj če je določena točka B vsebovana na področju določanja celo funkcije, ustrezno točko je tudi na tem področju. Od zgoraj navedenega torej zaključek pomeni: celo funkcija je simetrična na osi (OY) osi.

Kako vaditi pariteto funkcije?

Pustiti je treba dati s formulo H (X) \u003d 11 ^ x + 11 ^ (- x). Po algoritmu, ki se pojavi neposredno iz opredelitve, preučimo predvsem njegovo definicijsko območje. Očitno je, da je definiran za vse vrednosti argumenta, to je prvi pogoj izpolnjen.

Naslednji korak bo nadomestil namesto argumenta (x) nasprotno vrednost (-X).
Dobimo:
h (-x) \u003d 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Ker dodatek izpolnjuje komentarski (prehodni) zakon, potem je očitno H (-X) \u003d H (X) in podana funkcionalna odvisnost je celo.

Preverite pariteto funkcije h (x) \u003d 11 ^ x-11 ^ (-x). Po istem algoritmu, smo dobili H (-X) \u003d 11 ^ (- X) -11 ^ x. Posledično bom naredil minus
h (-x) \u003d - (11 ^ x-11 ^ (-x)) \u003d - h (x). Posledično je H (x) liho.

Mimogrede, opozoriti, da obstajajo funkcije, ki jih ni mogoče razvrstiti v skladu s temi funkcijami, se imenujejo niti niti liho.

Tudi funkcije imajo številne zanimive lastnosti:

zaradi dodatka takšnih funkcij se pridobiva tudi;
kot rezultat, odštevanje takih funkcij prejme tudi;
Tudi, tudi;
zaradi pomnoževanja dveh takih funkcij se pridobiva tudi;
zaradi množenja lihih in celo funkcij je dobil liho;
kot posledica delitve čudnih in celo funkcij, prejmejo čudno;
derivat take funkcije je liho;
Če gradimo neh celo funkcijo Na trgu, dobimo celo.

Pripravljenost funkcije se lahko uporabi pri reševanju enačb.

Reševanje enačbe tipa G (X) \u003d 0, kjer je levi del enačbe je celo funkcija, bo dovolj, da najdete IT rešitve za ne-negativne vrednosti spremenljivke. Pridobljene korenine enačbe je treba kombinirati z nasprotnimi številkami. Eden od njih je predmet preverjanja.

To se uspešno uporablja za reševanje nestandardnih nalog s parametrom.

Na primer, ali obstaja vrednost parametra A, v kateri enačba 2x ^ 6-x ^ 4-AX ^ 2 \u003d 1 bo imela tri korenine?

Če menimo, da spremenljivka vstopi v enačbo v celoti, je jasno, da se zamenjava X določene enačbe ne bo spremenila. Iz tega sledi, da če je določena številka njegova koren, potem je tudi nasprotna številka. Zaključek je očiten: korenine enačbe, ki niso nič, so vključene v številne rezultate svojih "parov".

Jasno je, da številka 0 sama ni, to je, da je število korenin podobne enačbi lahko samo celo in, seveda, nobena od vrednosti parametrov ne more imeti treh korenin.

Toda število korenin enačbe 2 ^ x + 2 ^ (-x) \u003d AX ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 je lahko liho in za vsako vrednost parametra. Dejansko je enostavno preveriti, da niz korenin te enačbe vsebuje rešitve za "pare". Preverite, ali je 0 koren. Pri zamenjavi v enačbo dobimo 2 \u003d 2. Poleg tega je poleg "seznanjenega" 0, je tudi koren, ki dokazuje svoj čuden znesek.

Funkcija se imenuje enako (liho), če se za vsakogar izvede enakost

Celo funkcijski graf je simetričen glede osi
.

Razpored čudne funkcije je simetričen na začetku koordinat.

Primer 6.2. Raziščite pariteto ali izčrpanost funkcije

1)
; 2)
; 3)
.

Sklep.

1) Funkcija se določi, ko
. Najti
.

Ti.
. Torej je ta funkcija celo.

2) Funkcija je definirana, ko

Ti.
. Tako je ta funkcija liha.

3) Funkcija je definirana za, tj. za

,
. Zato funkcija ni niti niti liho. Kličemo ga skupno funkcijo tipa.

3. Preiskava funkcije na monotoniji.

Funkcija
v nekaterih intervalov se imenuje povečanje (zmanjševanje), če v tem intervalu vsaka večja vrednost argumenta ustreza večji (manjši) vrednosti funkcije.

Funkcije povečanja (zmanjševanja) se v nekaterih intervalu imenujejo monotono.

Če je funkcija
razlika v intervalu
in ima pozitiven (negativni) derivat
, nato funkcijo
povečanje (zmanjša) v tem intervalu.

Primer 6.3.. Poiščite intervale funkcij Monotonija

1)
; 3)
.

Sklep.

1) Ta funkcija se določi na celotni številski osi. Poiščite derivat.

Derivat je nič, če
in
. Območje opredelitve je numerična os, razdeljena po točkah
,
v intervalih. V vsakem intervalu določite znak derivata.

V intervalu
derivat je negativen, funkcija v tem intervalu se zmanjšuje.

V intervalu
derivat je pozitiven, zato se funkcija v tem intervalu poveča.

2) Ta funkcija je opredeljena, če
ali

V vsakem intervalu določite znak kvadratnih treh napak.

Tako je območje definicije polja

Poiščite derivat
,
, če
.
, Ampak
. Določite znak derivata v intervalih
.

V intervalu
derivat je zato negativen, zato se funkcija zmanjša na intervalu
. V intervalu
derivat je pozitiven, funkcija se poveča na interval
.

4. Študija funkcije za ekstremno.

Točka
imenovane najvišje točke (minimalne) funkcije
Če obstaja takšna sosedska točka to za vse
neenakost se izvaja iz te soseske

.

Najvišje točke in minimalne funkcije se imenujejo ekstremne točke.

Če je funkcija
na točki ima ekstrem, izvedena funkcija na tej točki je nič ali ne obstaja (potreben pogoj za obstoj ekstremnega).

Točke, v katerih je derivat enak nič ali se ne imenuje kritična.

5. Za zadostne pogoje za obstoj ekstrema.

Pravilo 1.. Če je med prehodom (od leve proti desni) skozi kritično točko derivat.
spremeni znak iz "+" na "-", nato pa na točki funkcija
ima največ; Če z "-" na "+", potem minimum; če
ne spremeni znaka, potem pa ekstrem ni.

Pravilo 2.. Naj v točki
prva derivata
enaka nič
in drugi derivat obstaja in se razlikuje od nič. Če
T. - Največja točka, če
T. - točka minimalne funkcije.

Primer 6.4 . Raziščite najvišjo in minimalno funkcijo:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Sklep.

1) Funkcija je določena in neprekinjena na intervalu
.

Poiščite derivat
in reševanje enačbe
.
.Otyud.
- kritične točke.

Določite znak derivata v intervalih,
.

Ko se premaknete skozi točke
in
izvedeni finančni instrument spremeni znak iz "-" "na" + ", zato v skladu s pravilom 1
- Minimalne točke.

Pri prehodu skozi točko
izvedeni finančni instrument spremeni znak iz "+" na "-", torej
- Največja točka.

,
.

2) Funkcija je definirana in neprekinjena v intervalu
. Poiščite derivat
.

Odločanje enačbe
Najdemo
in
- kritične točke. Če je imenovalec
.
, derivat ne obstaja. Tako,
- Tretja kritična točka. Določite znak derivata v intervalih.