Dağılım yoğunluğu örneklerinde sürekli bir rastgele değişken verilmektedir. Matematik ve bilgisayar bilimi
9. Sürekli rastgele değişken, sayısal özellikleri
Sürekli bir rastgele değişken iki fonksiyon kullanılarak belirtilebilir. Rastgele değişken X'in integral olasılık dağılım fonksiyonu eşitlikle tanımlanan bir fonksiyon denir 
.
İntegral fonksiyonu şunu verir genel yöntem hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenlerin atamaları. Sürekli bir rastgele değişken durumunda. Tüm olaylar: bu aralıktaki integral fonksiyonunun artışına eşit, aynı olasılığa sahiptir, yani. Örneğin, örnek 26'da belirtilen ayrık rastgele değişken için elimizde:
Dolayısıyla, söz konusu fonksiyonun integral fonksiyonunun grafiği, iki ışının ve Ox eksenine paralel üç parçanın birleşimidir.
Örnek 27. Sürekli rastgele değişken X, integral olasılık dağılım fonksiyonu tarafından belirtilir
.
İntegral fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun ve test sonucunda rastgele değişken X'in (0,5;1,5) aralığında bir değer alma olasılığını bulun.
Çözüm. Aralıkta 
grafik y = 0 düz çizgisidir. 0'dan 2'ye kadar olan aralıkta bir parabol vardır, denklem tarafından verilen 
. Aralıkta 
Grafik y = 1 düz çizgisidir.
Test sonucunda rastgele değişken X'in (0,5;1,5) aralığında değer alma olasılığı formül kullanılarak bulunur.
Böylece, .
İntegral olasılık dağılım fonksiyonunun özellikleri:
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasasını başka bir fonksiyon kullanarak belirlemek uygundur: olasılık yoğunluk fonksiyonları
.
Rastgele değişken X tarafından varsayılan değerin aralık dahilinde olma olasılığı 
, eşitlikle belirlenir 
.
Fonksiyonun grafiği denir dağıtım eğrisi. Geometrik olarak, rastgele bir X değişkeninin aralığa düşme olasılığı, dağılım eğrisi, Ox ekseni ve düz çizgilerle sınırlanan karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir. 
.
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri:
9.1. Sürekli rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri
Beklenen değer Sürekli bir rastgele değişken X'in (ortalama değeri) eşitlikle belirlenir 
.
M(X) şu şekilde gösterilir: A. Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, ayrık bir değişkeninkine benzer özelliklere sahiptir:
Varyans ayrık rastgele değişken X, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir, yani. . Sürekli bir rastgele değişken için varyans aşağıdaki formülle verilir: 
.
Dispersiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:
Son özelliğin sürekli bir rastgele değişkenin varyansını bulmak için kullanılması çok uygundur.
Standart sapma kavramı da benzer şekilde tanıtılmıştır. Süreklinin standart sapması Rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir, yani 
.
Örnek 28. Sürekli bir rastgele değişken X, bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ile belirtilir 
(10;12) aralığında, bu aralığın dışında fonksiyonun değeri 0'dır. Bul 1) parametrenin değeri A, 2) matematiksel beklenti M(X), varyans 
, standart sapma, 3) integral fonksiyonu 
İntegral ve diferansiyel fonksiyonların grafiklerini oluşturabilir ve oluşturabilirsiniz.
1). Bir parametre bulmak için A formülü kullan 
. Alacağız. Böylece, 
.
2). Matematiksel beklentiyi bulmak için şu formülü kullanırız: 
.
Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı bulacağız: 
, yani .
Bunu elde ettiğimiz formülü kullanarak standart sapmayı bulalım: 
.
3). İntegral fonksiyonu olasılık yoğunluk fonksiyonu aracılığıyla aşağıdaki şekilde ifade edilir: 
. Buradan, 
en 
, = 0 
sen = 1 
.
Bu fonksiyonların grafikleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 4. ve Şek. 5.
Şekil 4 Şekil 5.
9.2. Sürekli bir rastgele değişkenin düzgün olasılık dağılımı
Sürekli rastgele değişken X'in olasılık dağılımı eşit olarak olasılık yoğunluğu bu aralıkta sabitse ve bu aralığın dışında sıfıra eşitse, yani aralıkta; . Bu durumda bunu göstermek kolaydır. 
.
Aralık ise 
aralığın içinde yer alıyorsa, o zaman 
.
Örnek 29. Anlık bir sinyal olayı saat bir ile saat beş arasında gerçekleşmelidir. Sinyal bekleme süresi bir X rastgele değişkenidir. Sinyalin öğleden sonra saat iki ile üç arasında algılanma olasılığını bulun.
Çözüm. Rastgele değer X'in düzgün bir dağılımı var ve formülü kullanarak sinyalin öğleden sonra saat 2 ile 3 arasında olma olasılığının şuna eşit olduğunu buluyoruz: 
.
Eğitim ve diğer literatürde, genellikle literatürde şu şekilde belirtilirler: 
.
9.3. Sürekli bir rastgele değişkenin normal olasılık dağılımı
Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı, eğer olasılık dağılım yasası olasılık yoğunluğu ile belirleniyorsa normal olarak adlandırılır. 
. Bu miktarlar için A- beklenen değer, 
- standart sapma.
Teorem. Normal dağılmış sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı 
formülle belirlenir 
, Nerede 
- Laplace fonksiyonu.
Bu teoremin bir sonucu üç sigma kuralıdır; Normal dağılım gösteren, sürekli bir rasgele değişken olan X'in değerlerini aralıkta alması hemen hemen kesindir. 
. Bu kural formülden türetilebilir 
formüle edilmiş teoremin özel bir durumudur.
Örnek 30. TV'nin ömrü bir X rastgele değişkenidir. normal hukuk garanti süresi 15 yıl ve standart sapması 3 yıl olan dağıtım. Televizyonun 10 yıldan 20 yıla kadar dayanma olasılığını bulun.
Çözüm. Problemin koşullarına göre matematiksel beklenti A= 15, standart sapma.
Bulalım . Yani TV'nin 10 ila 20 yıl arasında çalışma olasılığı 0,9'dan fazladır.
9.4 Chebyshev eşitsizliği
Meydana gelmek Chebyshev'in lemması. Rastgele bir değişken X yalnızca negatif olmayan değerler alıyorsa ve matematiksel bir beklentiye sahipse, o zaman herhangi bir pozitif için V
.
Zıt olayların olasılıklarının toplamı olarak şunu elde ederiz: 
.
Chebyshev'in teoremi. Rastgele değişken X'in sonlu varyansı varsa 
ve matematiksel beklenti M(X), o zaman herhangi bir pozitif için 
eşitsizlik doğrudur
.
Buradan şu sonuç çıkıyor 
.
Örnek 31. Bir parça parça üretildi. Parçaların ortalama uzunluğu 100 cm, standart sapması 0,4 cm'dir. Rastgele alınan bir parçanın uzunluğunun en az 99 cm olma olasılığının altında tahmin yapın. ve 101 cm'den fazla olmamalıdır.
Çözüm. Varyans. Matematiksel beklenti 100'dür. Dolayısıyla söz konusu olayın olasılığının altından tahmin yapmak 
Chebyshev eşitsizliğini uygulayalım; 
, Daha sonra 
.
10. Matematiksel istatistiğin unsurları
İstatistiksel toplam Bir dizi homojen nesne veya olguyu adlandırın. Sayı P Bu kümenin elemanlarına koleksiyonun hacmi denir. Gözlemlenen değerler 
X özelliğine denir seçenekler. Seçenekler artan sırayla düzenlenirse, o zaman şunu elde ederiz: ayrık varyasyon serisi. Gruplandırma durumunda aralıklara göre seçenek şu şekilde ortaya çıkar: aralık varyasyon serisi. Altında frekans karakteristik değerler, belirli bir değişkene sahip popülasyonun üye sayısını anlar.
İstatistiksel bir popülasyonun sıklığının hacmine oranına denir göreceli frekans imza: 
.
Bir varyasyon serisinin varyantları ile bunların frekansları arasındaki ilişkiye denir. numunenin istatistiksel dağılımı. İstatistiksel dağılımın grafiksel bir temsili şu şekilde olabilir: çokgen sıklık
Örnek 32. 25 birinci sınıf öğrencisiyle anket yapılarak yaşlarına ilişkin aşağıdaki veriler elde edildi: 
. Öğrencilerin yaşlarına göre istatistiksel dağılımını derleyin, varyasyon aralığını bulun, bir frekans poligonu oluşturun ve bir dizi göreceli frekans dağılımını derleyin.
Çözüm. Anketten elde edilen verileri kullanarak örneklemin istatistiksel dağılımını oluşturacağız.
|
Varyasyon örneğinin aralığı 23 – 17 = 6'dır. Bir frekans poligonu oluşturmak için koordinatları olan noktalar oluşturun 
ve bunları seri olarak bağlayın.
Bağıl frekans dağılım serisi şu şekildedir:
|
10.1.Varyasyon serisinin sayısal özellikleri
Örnek X özelliğinin bir dizi frekans dağılımıyla verilsin:
|
|
|
|
||
|
|
|
Tüm frekansların toplamı eşittir P.
Numunenin aritmetik ortalaması miktarı adlandırın 
.
Varyans veya bir X karakteristiğinin değerlerinin aritmetik ortalamasına göre dağılım ölçüsüne değer denir 
. Standart sapma, varyansın kareköküdür, yani. .
Yüzde olarak ifade edilen standart sapmanın numunenin aritmetik ortalamasına oranına denir. varyasyon katsayısı:
.
Ampirik bağıl frekans dağılım fonksiyonu her değer için olayın göreceli sıklığını belirleyen bir fonksiyon çağırın 
, yani 
, Nerede 
- seçenek sayısı, daha küçük X, A P- örnek boyut.
Örnek 33.Örnek 32'nin koşulları altında sayısal özellikleri bulun 
.
Çözüm. Formülü kullanarak numunenin aritmetik ortalamasını bulalım, sonra .
X özelliğinin varyansı şu formülle bulunur: , yani. Numunenin standart sapması 
. Değişim katsayısı 
.
10.2. Göreceli frekansa göre olasılık tahmini. Güven aralığı
Gerçekleştirilmesine izin ver P Her birinde A olayının meydana gelme olasılığının sabit ve eşit olduğu bağımsız denemeler R. Bu durumda, bağıl frekansın, her denemede A olayının meydana gelme olasılığından mutlak değerde farklı olma olasılığı, Laplace integral fonksiyonunun değerinin yaklaşık olarak iki katına eşit olacaktır: 
.
Aralık tahminiİstatistiksel popülasyonun tahmini parametresini kapsayan aralığın sonu olan iki sayı ile belirlenen böyle bir tahmini çağırın.
Güven aralığı
belirli bir güven olasılığı ile bir aralıktır 
istatistiksel popülasyonun tahmini parametresini kapsar. Bilinmeyen miktarı değiştirdiğimiz formüle bakıldığında R yaklaşık değerine 
örnek verilerden elde ettiğimizde şunu elde ederiz: 
. Bu formül göreceli sıklığa göre olasılığı tahmin etmek için kullanılır. Sayılar 
Ve 
sırasıyla alt ve üst olarak adlandırılır güven sınırları, - belirli bir güven olasılığı için maksimum hata 
.
Örnek 34. Fabrika atölyesi ampul üretiyor. 625 lamba kontrol edilirken 40 tanesinin arızalı olduğu tespit edildi. Fabrika atölyesinde üretilen kusurlu ampullerin yüzdesinin hangi sınırlar içinde olduğunu 0,95 güven olasılığıyla bulun.
Çözüm. Görevin koşullarına göre. Formülü kullanıyoruz 
. Ekteki Tablo 2'yi kullanarak Laplace integral fonksiyonunun değerinin 0,475'e eşit olduğu argümanın değerini buluyoruz. Bunu anlıyoruz 
. Böylece, . Dolayısıyla atölyeden kaynaklanan kusurların payının yüksek olduğunu, yani %6,2 ile %6,6 arasında değiştiğini 0,95 olasılıkla söyleyebiliriz.
10.3. İstatistikte parametre tahmini
İncelenen tüm popülasyonun niceliksel özelliği X olsun ( nüfus) normal dağılıma sahiptir.
Standart sapma biliniyorsa matematiksel beklentiyi kapsayan güven aralığı A 
, Nerede P- örnek boyut, 
- örnek aritmetik ortalama, T Laplace integral fonksiyonunun argümanıdır, burada 
. Bu durumda sayı 
tahmin doğruluğu denir.
Standart sapma bilinmiyorsa, örnek verilerden Öğrenci dağılımına sahip bir rastgele değişken oluşturmak mümkündür. P– Yalnızca bir parametreyle belirlenen 1 serbestlik derecesi P ve bilinmeyenlere bağlı değildir A Ve . Küçük örnekler için bile Öğrenci t dağılımı 
oldukça tatmin edici derecelendirmeler veriyor. Daha sonra matematiksel beklentiyi kapsayan güven aralığı A Bu özelliğin belirli bir güven olasılığı ile koşulundan bulunur 
burada S düzeltilmiş ortalama karedir, 
- Verilerden bulunan öğrenci katsayısı 
ekteki tablo 3'ten.
Bu özelliğin standart sapmasını bir güven olasılığıyla kapsayan güven aralığı şu formüller kullanılarak bulunur: ve, burada 
değerler tablosundan bulundu Q
buna göre .
10.4. İstatistiksel yöntemler rastgele değişkenler arasındaki bağımlılıkları incelemek
Y'nin X'e korelasyon bağımlılığı, koşullu ortalamanın fonksiyonel bağımlılığıdır 
itibaren X. Denklem 
Y'nin X üzerindeki regresyon denklemini temsil eder ve 
- X'in Y üzerindeki regresyon denklemi.
Korelasyon bağımlılığı doğrusal veya eğrisel olabilir. Doğrusal korelasyon bağımlılığı durumunda, düz regresyon çizgisinin denklemi şu şekildedir: 
eğim nerede A X üzerindeki Y regresyonunun düz çizgisi, X üzerindeki Y örnek regresyon katsayısı olarak adlandırılır ve gösterilir 
.
Küçük numuneler için veriler gruplandırılmaz, parametreler 
normal denklem sisteminden en küçük kareler yöntemi kullanılarak bulunur:
, Nerede P– birbiriyle ilişkili büyüklük çiftlerinin değerlerinin gözlem sayısı.
Örnek doğrusal korelasyon katsayısı 
Y ve X arasındaki yakın ilişkiyi gösterir. Korelasyon katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak bulunur 
, Ve 
, yani:
X üzerindeki Y düz regresyon çizgisinin örnek denklemi şu şekildedir:
.
Şu tarihte: çok sayıda X ve Y işaretlerinin gözlemleri, aynı değere sahip iki girişle bir korelasyon tablosu derlenir X gözlemlendi 
kez, aynı anlam en gözlemlendi 
kez, aynı çift 
gözlemlendi 
bir kere.
Örnek 35. X ve Y işaretlerinin gözlem tablosu verilmiştir.
|
X üzerindeki Y düz regresyon çizgisinin örnek denklemini bulun.
Çözüm. İncelenen özellikler arasındaki ilişki, Y'nin X: üzerinde düz bir regresyon çizgisi denklemi ile ifade edilebilir. Denklemin katsayılarını hesaplamak için bir hesaplama tablosu oluşturalım:
Gözlem no. |
|
|
||
Matematiksel beklenti kavramları M(X) ve varyans D(X Daha önce ayrık bir rastgele değişken için tanıtılan ), sürekli rastgele değişkenlere genişletilebilir.
· Matematiksel beklenti M(X) sürekli rastgele değişken X eşitlikle belirlenir:
bu integralin yakınsaması şartıyla.
· Varyans D(X) sürekli rastgele değişken X eşitlikle belirlenir:
· Standart sapmaσ( X) sürekli rastgele değişken eşitlikle belirlenir:
Daha önce ayrık rastgele değişkenler için tartışılan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir.
Sorun 5.3. Rastgele değer X bir diferansiyel fonksiyon tarafından verilir F(X):
Bulmak M(X), D(X), σ( X), Ve P(1 < X< 5).
Çözüm:
M(X)= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
D(X)=
= = /
P 1 =
Görevler
5.1. X
F(X), Ve
R(‒1/2 < X< 1/2).
5.2. Sürekli rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilir:
Diferansiyel dağılım fonksiyonunu bulun F(X), Ve
R(2π /9< X< π /2).
5.3. Sürekli rastgele değişken X
Bul: a) sayı İle; B) M(X), D(X).
5.4. Sürekli rastgele değişken X dağıtım yoğunluğu ile verilir:
Bul: a) sayı İle; B) M(X), D(X).
5.5. X:
Bulmak bir) F(X) ve grafiğini oluşturun; B) M(X), D(X), σ( X); c) dört bağımsız denemede değerin ortaya çıkma olasılığı X(1;4) aralığına ait değerin tam olarak 2 katını alacaktır.
5.6. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir. X:
Bulmak bir) F(X) ve grafiğini oluşturun; B) M(X), D(X), σ( X); c) üç bağımsız denemede değerin ortaya çıkma olasılığı X segmente ait değerin tam 2 katını alacaktır.
5.7. İşlev F(X) şu şekilde verilir:
İle X; b) dağıtım fonksiyonu F(X).
5.8. İşlev F(X) şu şekilde verilir:
Bul: a) sabitin değeri İle burada fonksiyon bazı rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluğu olacaktır. X; b) dağıtım fonksiyonu F(X).
5.9. Rastgele değer X(3;7) aralığı üzerinde yoğunlaşan, dağılım fonksiyonu tarafından belirtilir F(X)= Xşu değeri alacaktır: a) 5'ten az, b) 7'den az değil.
5.10. Rastgele değer X(-1;4) aralığına ortalanmış, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir F(X)= . Rasgele değişkenin olasılığını bulun Xşu değeri alacaktır: a) 2'den küçük, b) 4'ten küçük.
5.11.
Bul: a) sayı İle; B) M(X); olasılık R(X > M(X)).
5.12. Rastgele değişken diferansiyel dağılım fonksiyonu ile belirlenir:
Bulmak bir) M(X); olasılık R(X ≤ M(X)).
5.13. Rem dağılımı olasılık yoğunluğu ile verilir:
Kanıtla F(X) aslında bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
5.14. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir. X:
Numarayı bul İle.
5.15. Rastgele değer X Simpson kanununa göre dağıtılır ( ikizkenar üçgen) [-2;2] segmentinde (Şekil 5.4). Olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun F(X) tüm sayı doğrusunda.
Pirinç. 5.4 Şek. 5.5
5.16. Rastgele değer X kanuna uygun olarak dağıtılır" dik üçgen" (0;4) aralığında (Şekil 5.5). Olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun. F(X) tüm sayı doğrusunda.
Yanıtlar
P (-1/2<X<1/2)=2/3.
P(2π /9<X< π /2)=1/2.
5.3. A) İle=1/6, b) M(X)=3 ,c) D(X)=26/81.
5.4. A) İle=3/2,b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.
B) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.
B) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.
5.7. a)c = ; B)
5.8. A) İle=1/2; B)
5.9. a)1/4; b) 0.
5.10. a)3/5; 1.
5.11. A) İle= 2; B) M(X)= 2; 1-'de içinde 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. A) M(X)= π /2; b) 1/2
Bölüm 6. Sürekli rastgele değişkenler.
§ 1. Sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluk ve dağılım fonksiyonu.
Sürekli bir rastgele değişkenin değer kümesi sayılamaz ve genellikle sonlu veya sonsuz bir aralığı temsil eder.
Bir olasılık uzayında (W, S, P) tanımlanan bir rastgele değişken x(w) olarak adlandırılır sürekli(mutlak sürekli) W, herhangi bir x için Fx(x) dağılım fonksiyonunun bir integral olarak temsil edilebildiği negatif olmayan bir fonksiyon varsa
Fonksiyona fonksiyon denir olasılık dağılım yoğunlukları.
Tanım, dağıtım yoğunluk fonksiyonunun özelliklerini ima eder:
1..gif" genişlik = "97" yükseklik = "51">
3. Süreklilik noktalarında dağıtım yoğunluğu, dağıtım fonksiyonunun türevine eşittir: .
4. Dağılım yoğunluğu, bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirler, çünkü bir rastgele değişkenin aralığa düşme olasılığını belirler:
5. Sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir değeri alma olasılığı sıfırdır: . Bu nedenle aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
Dağılım yoğunluğu fonksiyonunun grafiği denir dağıtım eğrisi ve dağılım eğrisinin ve x ekseninin sınırladığı alan birliğe eşittir. O halde geometrik olarak Fx(x) dağılım fonksiyonunun x0 noktasındaki değeri, dağılım eğrisi ve x ekseni tarafından sınırlanan ve x0 noktasının solunda kalan alandır.
Görev 1. Sürekli bir rastgele değişkenin yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:
C sabitini belirleyin, Fx(x) dağılım fonksiyonunu oluşturun ve olasılığı hesaplayın.
Çözüm. C sabiti elimizdeki koşuldan bulunur:
dolayısıyla C=3/8.
Fx(x) dağıtım fonksiyonunu oluşturmak için aralığın, x argümanının değer aralığını (sayısal eksen) üç parçaya böldüğünü unutmayın: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" genişlik = "264 " yükseklik = "49">
yarı eksendeki yoğunluk x sıfır olduğundan. İkinci durumda
Son olarak son durumda x>2 olduğunda,
Yoğunluk yarı eksende sıfır olduğundan. Böylece dağıtım fonksiyonu elde edilir
Olasılık Formülü kullanarak hesaplayalım. Böylece,
§ 2. Sürekli rastgele değişkenin sayısal özellikleri
Beklenen değer sürekli dağıtılan rastgele değişkenler için https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> formülüyle belirlenir,
sağdaki integral mutlak yakınsaksa.
Dağılım x aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir 
ve ayrıca ayrı durumda olduğu gibi https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> formülüne göre.
Bölüm 5'te kesikli rastgele değişkenler için verilen matematiksel beklenti ve dağılım özelliklerinin tümü, sürekli rastgele değişkenler için de geçerlidir.
Sorun 2. Problem 1'deki rastgele değişken x için matematiksel beklentiyi ve varyansı hesaplayın .
Çözüm.
Ve bu demek ki
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width = "184" height = "69 src = ">
Düzgün bir dağılım yoğunluğu grafiği için bkz. .
Şekil 6.2. Dağıtım fonksiyonu ve dağıtım yoğunluğu. tek tip yasa
Düzgün dağıtılmış bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu Fx(x) şuna eşittir:
Fx(x)= 
Beklenti ve varyans; .
Üstel (üstel) dağılım. Negatif olmayan değerler alan sürekli bir rastgele değişken x, eğer rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu eşitse, l>0 parametresi ile üstel bir dağılıma sahiptir.
рx(x)= 
Pirinç. 6.3. Üstel yasanın dağılım fonksiyonu ve dağılım yoğunluğu.
Üstel dağılımın dağılım fonksiyonu şu şekildedir:
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width = "17" height = "41">.gif" width = "13" yükseklik = "15"> ve dağıtım yoğunluğu eşitse
.
Through, parametreler ve parametreleriyle normal bir yasaya göre dağıtılan tüm rastgele değişkenlerin kümesini belirtir.
Normal dağılmış bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu şuna eşittir:
.
Pirinç. 6.4. Dağıtım fonksiyonu ve normal dağılım yoğunluğu
Normal dağılımın parametreleri matematiksel beklentidir https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
Özel durumda ne zaman https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width = "44" height = "21 src = "> normal dağılım denir standart ve bu tür dağıtımların sınıfı https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> ile gösterilir,
ve dağıtım fonksiyonu
Böyle bir integral analitik olarak hesaplanamayacağından (“karelemelerde” alınmaz) bu nedenle fonksiyona yönelik tablolar derlenmiştir. İşlev, Bölüm 4'te tanıtılan Laplace işleviyle ilgilidir.
,
aşağıdaki ilişkiyle 
. Rastgele parametre değerleri durumunda https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width = "21" height = "21 src = "> rastgele bir değişkenin dağıtım işlevi, aşağıdaki ilişkiyi kullanarak Laplace işleviyle ilişkilidir:
.
Bu nedenle normal dağılmış bir rastgele değişkenin bir aralığa düşme olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
.
Negatif olmayan bir x rastgele değişkeni, eğer logaritması h=lnx normal yasaya uyuyorsa, lognormal dağılımlı olarak adlandırılır. Lognormal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin beklenen değeri ve varyansı Mx= ve Dx='dir.
Görev 3. https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> rastgele bir değişken verilsin.
Çözüm.İşte https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Laplace dağılımı fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> fonksiyonu tarafından verilir ve basıklık gx=3'tür.
Şekil 6.5. Laplace dağılım yoğunluk fonksiyonu.
Rastgele değişken x dağıtılır Weibull yasası, https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> değerine eşit bir dağıtım yoğunluğu işlevine sahipse
Weibull dağıtımı birçok teknik cihazın hatasız çalışma sürelerini yönetir. Bu profildeki problemlerde önemli bir özellik, l(t)= ilişkisiyle belirlenen, t yaşındaki incelenen unsurların başarısızlık oranıdır (ölüm oranı) l(t). Eğer a=1 ise, Weibull dağılımı üstel bir dağılıma dönüşür ve eğer a=2 ise sözde dağılıma dönüşür. Rayleigh.
Weibull dağılımının matematiksel beklentisi: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width = "219" height = "45 src = ">, burada Г(а) Euler'dir işlev. .
İÇİNDE çeşitli görevler Uygulamalı istatistiklerde “kesilmiş” dağılımlar olarak adlandırılan dağılımlarla sıklıkla karşılaşılmaktadır. Örneğin vergi makamları, yıllık gelirleri vergi kanunları tarafından belirlenen belirli bir c0 eşiğini aşan bireylerin gelir dağılımıyla ilgilenmektedir. Bu dağılımlar yaklaşık olarak Pareto dağılımına denk gelmektedir. Pareto dağılımı fonksiyonlar tarafından verilen
Fx(x)=P(x
İşte https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Görev 4. Rastgele değişken segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Rasgele bir değişkenin yoğunluğunu bulun.
Çözüm. Sorun koşullarından şu sonuç çıkıyor:
Daha sonra fonksiyon bir aralıkta monoton ve türevlenebilir bir fonksiyondur ve ters fonksiyon 
türevi eşittir Bu nedenle,
§ 5. Sürekli rastgele değişken çifti
İki sürekli rastgele değişken x ve h verilsin. Daha sonra (x, h) çifti düzlemde “rastgele” bir nokta tanımlar. (x, h) çiftine denir rastgele vektör veya iki boyutlu rastgele değişken.
Ortak dağıtım fonksiyonu rastgele değişkenler x ve h'dir ve fonksiyona F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> adı verilir. eklem yoğunluğu Rastgele değişkenler x ve h'nin olasılık dağılımına öyle bir fonksiyon denir ki 
.
Ortak dağıtım yoğunluğunun bu tanımının anlamı aşağıdaki gibidir. Bir "rastgele noktanın" (x, h) düzlemdeki bir bölgeye düşme olasılığı, https://pandia.ru/ yüzeyiyle sınırlanan "eğrisel" bir silindir olan üç boyutlu bir şeklin hacmi olarak hesaplanır. text/78/107/images/image098_3.gif" genişlik = "211" yükseklik = "39 src = ">
İki rastgele değişkenin ortak dağılımının en basit örneği iki boyutludur. sette düzgün dağılımA. Sınırlı bir M kümesinin alanıyla verilebilmesine izin verin. Bu, aşağıdaki eklem yoğunluğu ile tanımlanan (x, h) çiftinin dağılımı olarak tanımlanır:
Görev 5.İki boyutlu rastgele bir vektörün (x, h) üçgenin içinde düzgün şekilde dağıldığını varsayalım. x>h eşitsizliğinin olasılığını hesaplayın.
Çözüm. Belirtilen üçgenin alanı eşittir (bkz. Şekil No.?). İki boyutlu tekdüze dağılım tanımı gereği, x, h rastgele değişkenlerinin ortak yoğunluğu şuna eşittir:
Bir olay bir diziye karşılık gelir 
bir düzlemde, yani yarım düzlemde. O halde olasılık
Yarım düzlem B'de, bağlantı yoğunluğu https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> kümesinin dışında sıfırdır. yarım düzlem B iki kümeye bölünmüştür ve https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> ve ikinci integral şuna eşittir: sıfır, çünkü oradaki eklem yoğunluğu sıfıra eşittir. Bu yüzden
Bir (x, h) çifti için ortak dağılım yoğunluğu verilirse, hem x hem de h bileşenlerinin yoğunlukları denir. özel yoğunluklar ve aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" genişlik = "224" yükseklik = "23 src = ">
Yoğunlukları рx(х), рh(у) olan sürekli dağıtılmış rastgele değişkenler için bağımsızlık şu anlama gelir:
Görev 6.Önceki problemin koşullarında, x ve h rastgele vektörünün bileşenlerinin bağımsız olup olmadığını belirleyin?
Çözüm. Kısmi yoğunlukları ve hesaplayalım. Sahibiz:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" genişlik = "283" yükseklik = "61 src = ">
Açıkçası, bizim durumumuzda https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> x ve h miktarlarının ortak yoğunluğudur ve j( x, y) iki bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur, o halde
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" genişlik = "184" yükseklik = "152 src = ">
Görev 7.Önceki problemin koşullarında hesaplayın.
Çözüm. Yukarıdaki formüle göre elimizde:
.
Üçgeni şu şekilde temsil etmek
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. İki sürekli rastgele değişkenin toplamının yoğunluğu
X ve h, https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25"> yoğunluklarına sahip bağımsız rastgele değişkenler olsun. Rastgele değişkenin yoğunluğu x + h formülle hesaplanır evrişim
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width = "39" height = "19 src = ">. Toplamın yoğunluğunu hesaplayın.
Çözüm. x ve h parametresi ile üstel yasaya göre dağıtıldıkları için yoğunlukları eşittir.
Buradan,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
eğer x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">negatiftir ve bu nedenle . Bu nedenle, https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101"> ise
Böylece cevabı aldık:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> normal olarak 0 ve 1 parametreleriyle dağıtılır. Rastgele değişkenler x1 ve x2 bağımsızdır ve normaldir Sırasıyla a1 ve a2 parametreli dağılımlar x1 + x2'nin normal dağılıma sahip olduğunu kanıtlayın. x1, x2, ... xn rastgele değişkenleri dağıtılmış ve bağımsızdır ve aynı dağılım yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.
.
Değerlerin dağılım fonksiyonunu ve dağılım yoğunluğunu bulun:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = maksimum (x1,x2, ... xn)
Rastgele değişkenler x1, x2, ... xn bağımsızdır ve [a, b] aralığında düzgün bir şekilde dağılmıştır. Büyüklüklerin dağılımlarının dağılım fonksiyonlarını ve yoğunluk fonksiyonlarını bulun
x(1) = min (x1,x2, ... xn) ve x(2)= maks(x1, x2, ...xn).
Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> olduğunu kanıtlayın.
Rastgele değişken Cauchy yasasına göre dağıtılır Bul: a) katsayı a; b) dağıtım işlevi; c) (-1, 1) aralığına düşme olasılığı. X'in matematiksel beklentisinin olmadığını gösterin. Rastgele değişken l(l>0) parametresi ile Laplace yasasına tabidir: a katsayısını bulun; dağıtım yoğunluk grafikleri ve dağıtım fonksiyonlarını oluşturmak; Mx ve Dx'i bulun; olayların olasılıklarını bulun (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Dağıtım yoğunluğu için bir formül yazın, Mx ve Dx'i bulun.
Hesaplamalı görevler.
Rastgele bir A noktası, R yarıçaplı bir daire içinde düzgün bir dağılıma sahiptir. Noktanın çemberin merkezine olan uzaklığı r'nin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun. r2 değerinin parça üzerinde düzgün dağıldığını gösterin. 
Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu şu şekildedir: 
C sabitini, F(x) dağılım fonksiyonunu ve olasılığı hesaplayın 
Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu şu şekildedir: 
C sabitini, F(x) dağılım fonksiyonunu ve olasılığı hesaplayın 
Rastgele bir değişkenin dağılım yoğunluğu şu şekildedir: 
C sabitini, F(x) dağılım fonksiyonunu, varyansı ve olasılığı hesaplayın. Bir rastgele değişkenin bir dağılım fonksiyonu vardır. 
Rastgele bir değişkenin yoğunluğunu, matematiksel beklentiyi, varyansı ve olasılığı hesaplayın. Fonksiyonun = olup olmadığını kontrol edin 
rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu olabilir. Bu miktarın sayısal özelliklerini bulun: Mx ve Dx. Rastgele değişken segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Dağıtım yoğunluğunu yazın. Dağıtım fonksiyonunu bulun. Bir rastgele değişkenin parçaya ve parçaya düşme olasılığını bulun. Dağıtım yoğunluğu x eşittir
.
Sabit c'yi, dağılım yoğunluğunu h = ve olasılığı bulun
P (0,25 Bir bilgisayarın hatasız çalışma süresi, l = 0,05 (saat başına arıza) parametresi ile üstel yasaya göre dağıtılır, yani bir yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. p(x) = Belirli bir sorunun çözümü, makinenin 15 dakika boyunca sorunsuz çalışmasını gerektirir. Bir problemi çözerken bir arıza meydana gelirse, hata ancak çözüm tamamlandıktan sonra tespit edilir ve problem tekrar çözülür. Bulgular: a) problemin çözümü sırasında tek bir arızanın meydana gelmeme olasılığı; b) Sorunun çözüleceği ortalama süre. 24 cm uzunluğundaki bir çubuk iki parçaya bölünüyor; Kırılma noktasının çubuğun tüm uzunluğu boyunca eşit olarak dağıldığını varsayacağız. Çubuğun çoğunun ortalama uzunluğu nedir? 12 cm uzunluğunda bir parça rastgele iki parçaya ayrılıyor. Kesim noktası, segmentin tüm uzunluğu boyunca eşit olarak dağıtılır. Segmentin küçük kısmının ortalama uzunluğu nedir? Rastgele değişken segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunu bulun a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = . X'in sürekli bir dağılım fonksiyonuna sahip olup olmadığını gösterin F(x) = P(x) Segmentler üzerinde tekdüze dağılım yasalarına sahip iki bağımsız x ve h büyüklüğünün toplamının yoğunluk fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu bulun. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve sırasıyla ve bölümlere eşit şekilde dağıtılır. x+h toplamının yoğunluğunu hesaplayın. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve sırasıyla ve bölümlere eşit şekilde dağıtılır. x+h toplamının yoğunluğunu hesaplayın. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve sırasıyla ve bölümlere eşit şekilde dağıtılır. x+h toplamının yoğunluğunu hesaplayın. Rastgele değişkenler bağımsızdır ve yoğunluğa sahip üstel bir dağılıma sahiptir Sürekli rastgele değişkenler - Bunlar, olası değerleri belirli bir sonlu veya sonsuz aralık oluşturan miktarlardır. Kümülatif dağılım fonksiyonu, hem ayrık hem de sürekli bir rastgele değişkeni belirleyebileceğiniz rastgele bir değişkenin dağılım yasasıdır. Kümülatif dağılım fonksiyonu her x değeri için rastgele değişken X'in x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen F(x) fonksiyonu olarak adlandırılır; . Geometrik olarak bunun anlamı şudur: F(x), X rastgele değişkeninin sayı ekseninde x noktasının solunda yer alan bir nokta tarafından temsil edilen değeri alma olasılığıdır. Rastgele değer integral fonksiyonu F(X) sürekli türevlenebilirse sürekli olarak adlandırılır. İntegral fonksiyonunun özellikleri. 10. İntegral fonksiyonunun değerleri 0'dan 1'e kadar olan segmente aittir. 20. İntegral fonksiyonu azalmayan bir fonksiyondur, yani eğer , o zaman Sonuçlar: 1. SV'nin (a; b) aralığında yer alan değeri alma olasılığı, integral fonksiyonunun bu aralıktaki artışına eşittir: 2. NSV'nin belirli bir değeri alma olasılığı 0'dır. 3. NSV'nin olası değerleri sayı doğrusu boyunca yer alıyorsa, aşağıdaki limit ilişkileri geçerlidir: İntegral fonksiyon grafiği. İntegral fonksiyonunun grafiği, özelliklerine göre oluşturulur. Birinci özelliğe göre grafik y=0 ve y=1 doğruları arasında yer alır. ikinci özellikten - artan bir fonksiyon olduğu sonucu çıkar, yani (a, b) aralığındaki grafiği sağa ve yukarıya doğru yükselir. 3 0 mülküne göre Şekil 5. İntegral fonksiyonunun grafiği. Örnek 31. DSV dağıtım kanunu tarafından verilmektedir Kümülatif dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini çizin. 1. Eğer öyleyse, her biri 3 0. 2. Eğer , . 3. Eğer , . 4. Eğer öyleyse, her biri 3 0. DSV(CH) integral fonksiyonunun grafiğini çizelim (Şekil 6). Şekil 6. Ayrık bir rastgele değişken için integral fonksiyonunun grafiği. NSV'nin diferansiyel dağılım fonksiyonu. Diferansiyel dağıtım fonksiyonunu kullanarak NSV'yi belirtmenin başka bir yolu vardır. Diferansiyel Dağılım fonksiyonu, integral fonksiyonunun birinci türevine eşit bir fonksiyondur, yani. Diferansiyel dağılım fonksiyonuna olasılık yoğunluk fonksiyonu da denir. Teorem 17. NSV X'in (a, b) aralığına ait bir değer alma olasılığı, diferansiyel fonksiyonun a'dan b'ye kadar olan aralıkta alınan belirli bir integraline eşittir. Örnek 32. NSV, kümülatif dağıtım işleviyle belirtilir Diferansiyel dağılım fonksiyonunu ve NSV'nin aralığa düşme olasılığını bulun. Çözüm. Diferansiyel dağılım fonksiyonunun özellikleri. 10. Diferansiyel fonksiyon negatif olmayan bir fonksiyondur: . 20. (Normalleştirme koşulu.) Diferansiyel fonksiyonun -∞ ila +∞ aralığındaki uygun olmayan integrali 1'e eşittir, yani: Özellikle, NSV'nin tüm olası değerleri (a, b) aralığına aitse, o zaman Örnek 33. Parametre değerini bulun A. Diferansiyel dağılım fonksiyonunu bilerek integral fonksiyonunu aşağıdaki formülü kullanarak bulabileceğinizi unutmayın: Örnek 34. NSV, diferansiyel dağıtım fonksiyonuyla belirtilir: kümülatif dağılım fonksiyonunu bulun. Çözüm. 1. 3. NSV'nin sayısal özellikleri. Rastgele değişken
çeşitli koşullara bağlı olarak belirli değerleri alabilen bir değişkendir ve rastgele değişkene sürekli denir
, herhangi bir sınırlı veya sınırsız aralıktan herhangi bir değer alabiliyorsa. Sürekli bir rastgele değişken için olası tüm değerleri belirtmek imkansızdır, bu nedenle bu değerlerin belirli olasılıklarla ilişkili aralıklarını belirleriz. Sürekli rastgele değişkenlerin örnekleri şunları içerir: belirli bir boyuta göre taşlanan bir parçanın çapı, bir kişinin boyu, bir merminin uçuş menzili, vb. Sürekli rastgele değişkenler için fonksiyon F(X), Farklı ayrık rastgele değişkenler, hiçbir yerde sıçrama yoksa, sürekli bir rastgele değişkenin herhangi bir bireysel değerinin olasılığı sıfırdır. Bu, sürekli bir rastgele değişken için, değerleri arasındaki olasılık dağılımından bahsetmenin bir anlamı olmadığı anlamına gelir: her birinin olasılığı sıfırdır. Ancak bir anlamda sürekli bir rastgele değişkenin değerleri arasında “daha fazla ve daha az olası” olanlar vardır. Örneğin, pratikte her iki değer de ortaya çıkabilse de, rastgele bir değişkenin değerinin - rastgele karşılaşılan bir kişinin boyu - 170 cm - 220 cm'den daha muhtemel olduğundan neredeyse hiç kimse şüphe duymaz. Yalnızca sürekli rastgele değişkenler için anlamlı olan bir dağılım yasası olarak dağılım yoğunluğu veya olasılık yoğunluğu kavramı tanıtılmıştır. Sürekli bir rastgele değişken ve kesikli bir rastgele değişken için dağılım fonksiyonunun anlamını karşılaştırarak yaklaşalım. Yani, bir rastgele değişkenin (hem kesikli hem de sürekli) dağılım fonksiyonu veya integral fonksiyonu Rastgele bir değişkenin değerinin olma olasılığını belirleyen fonksiyona denir. X sınır değerinden küçük veya ona eşit X. Değer noktalarında ayrık bir rastgele değişken için X1
, X 2
, ..., X Ben,... olasılık kitleleri yoğunlaşmıştır P1
, P 2
, ..., P Ben,... ve tüm kütlelerin toplamı 1'e eşittir. Bu yorumu sürekli rastgele değişken durumuna aktaralım. 1'e eşit bir kütlenin bireysel noktalarda yoğunlaşmadığını, apsis ekseni boyunca sürekli olarak "yayıldığını" hayal edelim. Ah bazı düzensiz yoğunluklarla. Rasgele bir değişkenin herhangi bir alana düşme olasılığı Δ X bölüm başına kütle ve o bölümdeki ortalama yoğunluk, kütlenin uzunluğa oranı olarak yorumlanacaktır. Az önce olasılık teorisinde önemli bir kavramı tanıttık: dağıtım yoğunluğu. Olasılık yoğunluğu F(X Sürekli bir rastgele değişkenin ) dağılım fonksiyonunun türevidir: Yoğunluk fonksiyonunu bilerek, sürekli bir rastgele değişkenin değerinin kapalı aralığa ait olma olasılığını bulabilirsiniz [ A; B]: sürekli bir rastgele değişkenin olasılığı X[ aralığından herhangi bir değer alacaktır A; B], olasılık yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir Aönce B: Bu durumda fonksiyonun genel formülü F(X) yoğunluk fonksiyonu biliniyorsa kullanılabilecek sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı F(X)
: Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk grafiğine dağılım eğrisi denir (aşağıdaki şekil). Bir eğri ile sınırlanmış bir şeklin alanı (şekilde gölgeli), noktalardan çizilen düz çizgiler A Ve B x eksenine dik ve eksen Ah, sürekli bir rastgele değişkenin değerinin olasılığını grafiksel olarak görüntüler X aralığındadır Aönce B. 1. Rastgele bir değişkenin aralıktan (ve fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan şeklin alanından) herhangi bir değer alma olasılığı F(X) ve eksen Ah) bire eşittir: 2. Olasılık yoğunluk fonksiyonu negatif değerler alamaz: ve dağıtımın varlığı dışında değeri sıfırdır Dağıtım yoğunluğu F(X) ve dağıtım fonksiyonunun yanı sıra F(X), dağıtım yasasının biçimlerinden biridir, ancak dağıtım fonksiyonundan farklı olarak evrensel değildir: dağıtım yoğunluğu yalnızca sürekli rastgele değişkenler için mevcuttur. Uygulamada sürekli bir rastgele değişkenin en önemli iki dağılım türünden bahsedelim. Dağıtım yoğunluğu fonksiyonu ise F(X) sonlu bir aralıkta sürekli rastgele değişken [ A; B] sabit bir değer alır C ve aralığın dışında sıfıra eşit bir değer alırsa bu dağılıma tekdüze denir . Dağılım yoğunluk fonksiyonunun grafiği merkeze göre simetrik ise, ortalama değerler merkeze yakın yoğunlaşır ve merkezden uzaklaştıkça ortalamadan daha farklı olanlar toplanır (fonksiyonun grafiği bir kesite benzer) zil), o zaman bu dağılıma normal denir . Örnek 1. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu bilinmektedir: İşlev bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu. Her iki fonksiyonun grafiklerini oluşturun. Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ila 8 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: . Çözüm. Olasılık dağılım fonksiyonunun türevini bularak olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ederiz: Bir fonksiyonun grafiği F(X) - parabol: Bir fonksiyonun grafiği F(X) - dümdüz: Sürekli bir rastgele değişkenin 4 ila 8 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım: Örnek 2. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilir: Katsayıyı hesapla C. İşlev bul F(X) sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı. Her iki fonksiyonun grafiklerini oluşturun. Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ila 5 aralığında herhangi bir değer alma olasılığını bulun: . Çözüm. Katsayı C olasılık yoğunluk fonksiyonunun 1. özelliğini kullanarak şunu buluruz: Dolayısıyla sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir: İntegral alarak fonksiyonu buluyoruz F(X) olasılık dağılımları. Eğer X < 0
, то
F(X) = 0 . 0 ise< X < 10
, то X> 10, o zaman F(X) = 1
. Dolayısıyla olasılık dağılım fonksiyonunun tam kaydı şu şekildedir: Bir fonksiyonun grafiği F(X)
: Bir fonksiyonun grafiği F(X)
: Sürekli bir rastgele değişkenin 0 ile 5 arasında herhangi bir değer alma olasılığını bulalım: Örnek 3. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu X eşitlikle verilir ve . Katsayıyı bul A sürekli bir rastgele değişkenin olasılığı X sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olan ]0, 5[ aralığından herhangi bir değeri alacaktır X. Çözüm. Koşullu olarak eşitliğe ulaşırız Bu nedenle, nereden . Bu yüzden, Şimdi sürekli bir rastgele değişkenin olasılığını buluyoruz X]0, 5[ aralığından herhangi bir değer alacaktır: Şimdi bu rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu elde ediyoruz: Örnek 4. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunu bulun X Yalnızca negatif olmayan değerleri alan ve dağıtım işlevi 
.
. Toplamlarının dağılım yoğunluğunu bulun. Bağımsız rasgele değişkenler x ve h'nin toplamının dağılımını bulun; burada x, aralıkta tekdüze bir dağılıma sahiptir ve h, l parametresi ile üstel bir dağılıma sahiptir. P'yi bul 
, eğer x aşağıdakilere sahipse: a) a ve s2 parametreleriyle normal dağılım; b) l parametresi ile üstel dağılım; c) [-1;1] segmentinde düzgün dağılım. x, h'nin ortak dağılımı kare düzgündür
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Olasılığı bul 
. x ve h bağımsız mıdır? Bir çift rastgele değişken x ve h, K= üçgeni içinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. x ve h yoğunluklarını hesaplayın. Bu rastgele değişkenler bağımsız mıdır? Olasılığı bulun. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve segmentler ve [-1,1] üzerinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. Olasılığı bulun. İki boyutlu bir rastgele değişken (x, h), köşeleri (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) olan bir kareye düzgün şekilde dağıtılır. (1, -1) noktasındaki ortak dağılım fonksiyonunun değerini bulun. Rastgele bir vektör (x, h), merkezi orijin olan 3 yarıçaplı bir dairenin içine eşit olarak dağıtılmıştır. Ortak dağılım yoğunluğu için bir ifade yazın. Bu rastgele değişkenlerin bağımlı olup olmadığını belirleyin. Olasılığı hesaplayın. Bir çift rastgele değişken x ve h, köşeleri (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) noktalarında olan bir yamuk içinde düzgün bir şekilde dağılmıştır. Bu rastgele değişken çifti için ortak dağılım yoğunluğunu ve bileşenlerin yoğunluğunu bulun. X ve h bağımlı mıdır? Rastgele bir (x, h) çifti yarım daire içinde eşit şekilde dağılmıştır. X ve h yoğunluklarını bulun, bağımlılık sorununu araştırın. İki rastgele değişken x ve h'nin ortak yoğunluğu şuna eşittir: 
.
x, h yoğunluklarını bulun. X ve h'nin bağımlılığı sorusunu araştırın. Rastgele bir (x, h) çifti kümeye düzgün şekilde dağılmıştır. X ve h yoğunluklarını bulun, bağımlılık sorununu araştırın. M(xh)'yi bulun. Rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır ve Bul parametresi ile üstel yasaya göre dağıtılır.
.
Ve
, ve ne zaman 
(Şekil 5).
0,2
0,5
0,3
.
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluğu
.
.
.
Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri
.
.
.