Числовите отсечки, интервали, полуинтервали и лъчи се наричат ​​числови интервали. Числови обхвати Обобщена таблица на числови обхвати

Б) Числова ос

Помислете за числовата линия (фиг. 6):

Разгледайте набора от рационални числа

Всяко рационално число е представено от някаква точка на числовата ос. И така, числата са отбелязани на фигурата.

Нека докажем това.

Доказателство.Нека има дроб: . Имаме право да считаме тази дроб за несъкратима. Тъй като , тогава - числото е четно: - нечетно. Заменяйки израза вместо него, намираме: , откъдето следва, че е четно число. Получихме противоречие, което доказва твърдението.

Така че не всички точки от числовата ос представляват рационални числа. Тези точки, които не представляват рационални числа, представляват извиканите числа ирационален.

Всяко число от формата , , е или цяло число, или ирационално.

Числови обхвати

Числовите отсечки, интервали, полуинтервали и лъчи се наричат ​​числови интервали.

Неравенство, определящо числова празнина	Нотация за празнина в числата	Името на диапазона от числа	Той гласи така:
a ≤ x ≤ b	[а; b]	Числен сегмент	Отсечка от a до b
а< x < b	(а; b)	Интервал	Интервал от a до b
a ≤ x< b	[а; b)	Половин интервал	Половин интервал от апреди b, включително а.
а< x ≤ b	(а; b]	Половин интервал	Половин интервал от апреди b, включително b.
x ≥ a	[а; +∞)	номер лъч	Номер лъч от адо плюс безкрайност
x > a	(а; +∞)	Отворен номер лъч	Отворен номер лъч от адо плюс безкрайност
x ≤ a	(-∞; а]	номер лъч	Числов лъч от минус безкрайност до а
х< a	(-∞; а)	Отворен номер лъч	Отворен числов лъч от минус безкрайност до а

Нека представим на координатната права числата аИ b, както и броят хмежду тях.

Наборът от всички числа, които отговарят на условието a ≤ x ≤ b, е наречен числов сегментили просто разрез. Маркира се така: а; b]-Чете се така: отсечка от a до b.

Наборът от числа, които отговарят на условието а< x < b , е наречен интервал. Маркира се така: а; b)

Той се чете така: интервалът от a до b.

Набори от числа, отговарящи на условията a ≤ x< b или а<x ≤ b, са наречени полуинтервали. Обозначения:

Задайте a ≤ x< b обозначается так:[а; b), се чете така: половин интервал от апреди b, включително а.

Няколко а<x ≤ bотбелязани така: а; b], се чете така: половин интервал от апреди b, включително b.

Сега си представете Рейс точка а, отдясно и отляво на който има набор от числа.

а, отговарящи на условието x ≥ a, е наречен номер лъч.

Маркира се така: а; +∞) - Чете се така: числова греда от адо плюс безкрайност.

Много числа вдясно от точката асъответстваща на неравенството x > a, е наречен отворен номер лъч.

Маркира се така: а; +∞) - Чете се така: отворен цифров лъч от адо плюс безкрайност.

а, отговарящи на условието x ≤ a, е наречен числова линия от минус безкрайност доа .

Етикетирано е така: -∞; а]-Чете се така: числов лъч от минус безкрайност до а.

Набор от числа вляво от точката асъответстваща на неравенството х< a , е наречен отворен цифров лъч от минус безкрайност доа .

Маркира се така: -∞; а) - Чете се така: отворен числов лъч от минус безкрайност до а.

Наборът от реални числа е представен от цялата координатна линия. Наричат ​​го числова линия. Етикетирано е така: - ∞; + ∞ )

3) Линейни уравнения и неравенства с една променлива, техните решения:

Уравнение, съдържащо променлива, се нарича уравнение с една променлива или уравнение с едно неизвестно. Например уравнение с една променлива е 3(2x+7)=4x-1.

Коренът или решението на уравнение е стойността на променлива, при която уравнението става истинско числово равенство. Например числото 1 е решението на уравнението 2x+5=8x-1. Уравнението x2+1=0 няма решение, т.к лявата страна на уравнението винаги е по-голяма от нула. Уравнението (x+3)(x-4)=0 има два корена: x1= -3, x2=4.

Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или доказване, че няма корени.

Уравненията се наричат ​​еквивалентни, ако всички корени на първото уравнение са корени на второто уравнение и обратно, всички корени на второто уравнение са корени на първото уравнение или ако и двете уравнения нямат корени. Например уравненията x-8=2 и x+10=20 са еквивалентни, т.к коренът на първото уравнение x=10 също е коренът на второто уравнение и двете уравнения имат един и същ корен.

При решаване на уравнения се използват следните свойства:

Ако прехвърлите члена от една част в друга част на уравнението, като промените знака му, ще получите уравнение, което е еквивалентно на това.

Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, тогава се получава уравнение, което е еквивалентно на даденото.

Уравнението ax=b, където x е променлива и a и b са някои числа, се нарича линейно уравнение с една променлива.

Ако a¹0, тогава уравнението има уникално решение.

Ако a=0, b=0, тогава всяка стойност на x удовлетворява уравнението.

Ако a=0, b¹0, тогава уравнението няма решения, защото 0x=b не се изпълнява за нито една стойност на променливата.
Пример 1. Решете уравнението: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Нека отворим скобите в двете части на уравнението, преместим всички членове с x в лявата страна на уравнението, а членовете, които не съдържат x в дясната страна, получаваме:

16x-15x=88-40-12

Пример 2. Решете уравнения:

x3-2x2-98x+18=0;

Тези уравнения не са линейни, но ще покажем как могат да бъдат решени такива уравнения.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Произведението е равно на нула, ако един от множителите е равен на нула, получаваме x1=0; x2= .

Отговор: 0; .

Факторизиране на лявата страна на уравнението:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), т.е. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Това показва, че решенията на това уравнение са числата x1=2, x2=3, x3=-3.

в) Нека представим 7x като 3x+4x, тогава имаме: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4) = 0, следователно x1=-3, x2=-4.

Отговор: -3; - 4.
Пример 3. Решете уравнението: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Припомнете си дефиницията на модула на число:

Например: ½3½=3, ½0½=0, ½-4½= 4.

В това уравнение под знака на модула са числата x-1 и x + 1. Ако x е по-малко от -1, тогава x+1 е отрицателно, тогава ½x+1½=-x-1. И ако x>-1, тогава ½x+1½=x+1. За x=-1 ½x+1½=0.

По този начин,

по същия начин

а) Помислете дадено уравнение½x+1½+½x-1½=3 за x£-1, то е еквивалентно на уравнението -x-1-x+1=3, -2x=3, x= , това число принадлежи на множеството x£-1 .

б) Нека -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

в) Разгледайте случая x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Това число принадлежи на множеството x>1.

Отговор: x1=-1,5; х2=1,5.
Пример 4. Решете уравнението:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Нека покажем кратък запис на решението на уравнението, разширявайки знака на модула "с интервали".

x £-2, -(x + 2) -3x \u003d -2 (x-1), - 4x \u003d 4, x \u003d -2О (-¥; -2)

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=-4, x=-2W(1; +¥)

Отговор: [-2; 0]
Пример 5. Решете уравнението: (a-1) (a + 1) x \u003d (a-1) (a + 2), за всички стойности на параметъра a.

Това уравнение всъщност има две променливи, но счита, че x е неизвестното, а a е параметърът. Необходимо е да се реши уравнението за променливата x за всяка стойност на параметъра a.

Ако a=1, тогава уравнението има формата 0×x=0, всяко число удовлетворява това уравнение.

Ако a \u003d -1, тогава уравнението има формата 0 × x \u003d -2, това уравнение не отговаря на нито едно число.

Ако a¹1, a¹-1, тогава уравнението има уникално решение.

Отговор: ако a=1, то x е произволно число;

ако a=-1, тогава няма решения;

ако a¹±1, тогава .

б) Линейни неравенства с една променлива.

Ако на променливата x се даде някаква числена стойност, тогава получаваме числено неравенство, изразяващо или вярно, или невярно твърдение. Нека например е дадено неравенството 5x-1>3x+2. При x=2 получаваме 5 2-1> 3 2+2 - вярно твърдение (вярно числово твърдение); за x=0 получаваме 5·0-1>3·0+2 – грешно твърдение. Всяка стойност на променлива, за която дадено неравенство с променлива се превръща в истинско числово неравенство, се нарича решение на неравенството. Решаването на неравенство с променлива означава намиране на множеството от всички негови решения.

Две неравенства с една променлива x се наричат ​​еквивалентни, ако наборите от решения на тези неравенства са еднакви.

Основната идея за решаване на неравенството е следната: заменяме даденото неравенство с друго, по-просто, но еквивалентно на даденото; полученото неравенство отново се заменя с по-просто еквивалентно неравенство и т.н.

Такива замени се извършват въз основа на следните твърдения.

Теорема 1. Ако който и да е член на неравенство с една променлива се прехвърли от една част на неравенството в друга с противоположен знак, като остави знака на неравенството непроменен, тогава ще се получи неравенство, еквивалентно на даденото.

Теорема 2. Ако двете части на неравенство с една променлива се умножат или разделят на едно и също положително число, като се остави знакът на неравенството непроменен, тогава ще се получи неравенство, еквивалентно на даденото.

Теорема 3. Ако двете части на неравенство с една променлива се умножат или разделят на едно и също отрицателно число, като знакът на неравенството се промени на противоположния, тогава ще се получи неравенство, еквивалентно на даденото.

Неравенство от вида ax+b>0 (съответно ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Пример 1. Решете неравенството: 2(x-3) + 5(1-x)³3(2x-5).

Отваряйки скобите, получаваме 2x-6 + 5-5x³6x-15,

Числовите интервали включват лъчи, сегменти, интервали и полуинтервали.

Видове числови интервали

Име	Изображение	Неравенство	Обозначаване
отворена греда		х > а	(а; +∞)
		х < а	(-∞; а)
затворена греда		х ⩾ а	[а; +∞)
		х ⩽ а	(-∞; а]
Линеен сегмент		а ⩽ х ⩽ b	[а; b]
Интервал		а < х < b	(а; b)
Половин интервал		а < х ⩽ b	(а; b]
		а ⩽ х < b	[а; b)

Таблица аИ bса граничните точки и х- променлива, която може да вземе координатата на всяка точка, принадлежаща на числовия интервал.

гранична точкае точка, която определя границата на числовия интервал. Граничната точка може или не може да принадлежи на цифровия интервал. На чертежите граничните точки, които не принадлежат към разглеждания цифров интервал, са обозначени с незапълнен кръг, а тези, които принадлежат към запълнен кръг.

Отворена и затворена греда

отворена гредае набор от точки на права, които лежат от едната страна на гранична точка, която не е включена в даденото множество. Лъчът се нарича отворен именно поради граничната точка, която не му принадлежи.

Помислете за набор от точки на координатната линия, които имат координата по-голяма от 2 и следователно разположени вдясно от точка 2:

Такова множество може да бъде определено от неравенството х> 2. Отворените лъчи се означават със скоби - (2; +∞), този запис гласи следното: отворен цифров лъч от две до плюс безкрайност.

Множеството, съответстващо на неравенството х < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:

затворена гредае набор от точки на права, които лежат от една и съща страна на гранична точка, принадлежаща на даденото множество. На чертежите граничните точки, принадлежащи на разглежданото множество, са обозначени със запълнен кръг.

Затворените числови лъчи се определят от нестроги неравенства. Например неравенствата х 2 и х 2 може да се покаже така:

Тези затворени лъчи се означават по следния начин: , чете се така: цифров лъч от две до плюс безкрайност и цифров лъч от минус безкрайност до две. Квадратната скоба в нотацията показва, че точка 2 принадлежи на числовата празнина.

Линеен сегмент

Линеен сегменте множеството от точки на права, които лежат между две гранични точки, принадлежащи на даденото множество. Такива множества са дадени от двойни нестроги неравенства.

Помислете за сегмент от координатната линия с краища в точки -2 и 3:

Множеството от точки, които съставляват дадена отсечка, може да се определи чрез двойното неравенство -2 х 3 или обозначават [-2; 3], такъв запис гласи следното: сегмент от минус две до три.

Интервал и полуинтервал

Интервале множеството от точки на права, които лежат между две гранични точки, които не принадлежат на даденото множество. Такива множества се определят от двойни строги неравенства.

Помислете за сегмент от координатната линия с краища в точки -2 и 3:

Множеството от точки, които съставляват този интервал, може да бъде определено чрез двойното неравенство -2< х < 3 или обозначить (-2; 3). Такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.

Половин интервале множеството от точки на права, които лежат между две гранични точки, едната от които принадлежи на множеството, а другата не. Такива множества се дават чрез двойни неравенства:

Тези полуинтервали са обозначени както следва: (-2; 3] и [-2; 3). Той се чете така: полуинтервал от минус две до три, включително 3, и полуинтервал от минус две до три, включително минус две.

"Таблици по алгебра 7 клас" - Разликата на квадратите. Изрази. Съдържание. Таблици по алгебра.

„Числени функции“ - Наборът X се нарича област на задачите или област на дефиниране на функцията f и се обозначава с D (f). Функционална графика. Въпреки това, не всеки ред е графика на някаква функция. Пример 1. Парашутист скача от зависнал хеликоптер. Само едно число. Частична спецификация на функциите. Природните явления са тясно свързани помежду си.

"Числени редици" - Урок-конференция. „Поредици от числа“. Геометрична прогресия. Методи на задачите. Аритметична прогресия. Числови последователности.

"Граница на числова редица" - Решение: Методи за задаване на редица. Ограничена числова последователност. Стойността уn се нарича общ член на редицата. Границата на числовата последователност. Непрекъснатост на функция в точка. Пример: 1, 4, 9, 16, ..., n2, ... - ограничено отдолу 1. Чрез задаване на аналитична формула. Ограничете свойствата.

"Поредица от числа" - Числова последователност(серия от числа): числа, записани в определен ред. 2. Методи за задаване на последователности. 1. Определение. Нотация на последователност. Последователности. 1. Формула на n-тия член на редицата: - ви позволява да намерите всеки член на редицата. 3. Графика на числовата редица.

"Таблици" - Добив на нефт и газ. Таблица 2. Таблица 5. Таблични информационни модели. Ред за изграждане на таблица тип OS. Таблица 4. Годишни оценки. Номер на масата. Таблици от типа "Обекти - обекти". Ученици от 10 "Б" клас. Структура на таблицата. Таблици от типове обекти-свойства. Описват се двойки предмети; Има само един имот.

Сред наборите от числа, т.е комплекти, чиито обекти са числата, разграничават т.нар пропуски в числата. Тяхната стойност е, че е много лесно да си представим набор, съответстващ на определен числов диапазон, и обратно. Следователно с тяхна помощ е удобно да се запише множеството от решения на неравенството.

В тази статия ще анализираме всички видове числови интервали. Тук даваме имената им, въвеждаме нотация, начертаваме цифрови интервали на координатната линия и също така показваме кои най-прости неравенства им съответстват. В заключение визуално ще представим цялата информация под формата на таблица с числови интервали.

Навигация в страницата.

Видове числови интервали

Всеки числов интервал има четири неразривно свързани неща:

• името на числовия диапазон,
• съответно неравенство или двойно неравенство,
• обозначаване,
• и неговия геометричен образ под формата на изображение върху координатна права.

Всеки числов интервал може да бъде определен по който и да е от последните три начина в списъка: или чрез неравенство, или чрез нотация, или чрез изображението му върху координатна линия. И според този методзадачи, например по неравенство, други се възстановяват лесно (в нашия случай нотацията и геометричното изображение).

Да преминем към конкретика. Нека опишем всички числови интервали от четирите страни, посочени по-горе.

Нека започнем с описание на числовия интервал, наречен отворен номер лъч. Обърнете внимание, че прилагателното "числов" често се пропуска, оставяйки името отворена греда.

Този числов интервал съответства на най-простите неравенства с една променлива от вида x a , където a е някакво реално число. Тоест, според смисъла на написаните неравенства, отвореният числов лъч е съставен от всички, които са по-малки от числото a (в случая на неравенството x а).

Наборът от числа, удовлетворяващи неравенството x a , като (a, +∞) .

Остава да се покаже геометричното изображение на отворения лъч, от него ще стане ясно, че разглежданият цифров интервал е получил такова име неслучайно. Да се ​​обърнем към. Известно е, че между неговите точки и реални числа има взаимно еднозначно съответствие, което позволява координатната права да се нарича числова права. И когато говорим за сравняване на числаотбелязахме това Повече ▼се намира на координатната линия вдясно от по-малката, а по-малката е вляво от по-голямата. Въз основа на тези съображения неравенството x a - точки, лежащи вдясно от точка a. Самото число a не удовлетворява тези неравенства, за да се подчертае това на чертежа, то е изобразено като точка с празен център. Над точките, които съответстват на числа, които отговарят на неравенството, изобразете наклонено засенчване:

От горните чертежи може да се види, че тези цифрови интервали съответстват на части от числовата линия, които са лъчизапочвайки от точка a, но изключвайки самата точка a. С други думи, те са лъчи без начало. Оттук и името - отворен номер лъч.

Ето няколко конкретни примериотворени числови редове. По този начин строгото неравенство x>−3 дефинира отворен числов лъч. Той също така се определя от нотацията (−3, ∞) . И на координатната права този числов интервал е набор от точки, разположени вдясно от точката с координата −3, без самата тази точка. Друг пример: неравенство x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


Преминаваме към числовите интервали от следната форма - числови лъчи. Геометрично те се различават от отворените греди по това, че началото на гредата не се изхвърля. С други думи, геометричният образ на числови интервали от този тип е пълноценен лъч.

Що се отнася до определянето на числови лъчи с помощта на неравенства, те съответстват на нестроги неравенства x≤a или x≥a. Те се означават с (−∞, a] и . А геометричният образ на числова отсечка е отсечка заедно с нейните краища:


Например, числова отсечка, която е дадена от двойно неравенство, може да бъде означена като , на координатната права съответства на отсечка с краища в точки с координати корен от две и корен от три.

Остава само да се каже за наречените числови интервали полуинтервали. Те представляват, така да се каже, междинна опция между интервал и сегмент, тъй като включват една от граничните точки. Полуинтервалите са дадени с двойни неравенства a

Таблица с числови интервали

И така, в предишния параграф дефинирахме и описахме следните цифрови интервали:

• отворен номер лъч;
• номер лъч;
• интервал;
• полуинтервал.

За удобство обобщаваме всички данни за числови интервали в таблица. Нека поставим в него името на числовия интервал, съответстващото му неравенство, обозначението и изображението върху координатната права. Получаваме следното таблица с диапазони:

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., Sr. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.