В аритметичната прогресия на XN. Количество аритметична прогресия

Сумата на аритметичната прогресия.

Количеството аритметична прогресия е просто. И по значение, и по формулата. Но задачите по тази тема са всякакви видове. От елементарно до доста твърдо вещество.

Първо ще се справим със значението и обобщената формула. И след това се бръснат. В моето удоволствие.) Значението на количеството е просто като сапун. За да намерите количеството аритметична прогресия, просто трябва да сгънете внимателно всичките му членове. Ако тези членове са малки, можете да поставите без никакви формули. Но ако много, или много ... допълнителни щамове.) В този случай формулата спасява.

Сумата от сумата изглежда проста:

Нека да разпознаем, че човките са включени във формулата. Това ще изясни много.

S N. - Размер на аритметичната прогресия. Резултат от добавянето всичко Членове, S. първо до последно. Важно е. Това е точно всичко Членове подред, без прескачане и скокове. И е, започвайки с първо. В задачи, като например намиране на сумата на третия и осмия членове, или размера на членовете от петата на двадесетия, прякото използване на формулата ще разочарова.)

а 1. - първо Член на прогресията. Тук всичко е ясно, това е просто първо брой редове.

н. - последно Член на прогресията. Последния брой редове. Не е много познато име, но, приложено към сумата, тя е много добра. Освен това ще видите.

н. - броя на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата този номер съвпада с броя на сгънатата членове.

Защита с концепцията последно Член н.. Архивен въпрос: Какъв ще бъде член последно Ако Дана безкраен Аритметична прогресия?)

За сигурен отговор трябва да разберете елементарния смисъл на аритметичната прогресия и ... внимателно прочетете задачата!)

В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия винаги се появява (пряко или непряко) последният член които трябва да бъдат ограничени до. В противен случай крайната, конкретна сума просто не съществува. За да разрешите, е важно прогресията да бъде настроена: крайната или безкрайна. Важно е да се попита: близо до номерата или формулата на N-тия член.

Най-важното е да се разбере, че формулата работи с първия член на прогресията към член с номера н. Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата на първите членове на аритметичната прогресия. Броя на тези първи членове, т.е. н.се определя единствено от задачата. В задачата, цялата тази ценна информация често е криптирана, да ... но нищо, в примерите по-долу, ние премахваме тези тайни.)

Примери за задачи за количеството аритметична прогресия.

Преди всичко, полезна информация:

Основната сложност в задачите за количеството аритметична прогресия е правилно определение Формулни елементи.

Тези много елементи на компилаторите на задачите са криптирани с безкрайна фантазия.) Основното нещо не е да се страхуваме. Разбиране на същността на елементите, достатъчно е да ги дешифрирате. Ние анализираме подробно няколко примера. Нека започнем със задача, основана на Real GIA.

1. Аритметичната прогресия се дава чрез условие: N \u003d 2N-3.5. Намерете размера на първите 10 на своите членове.

Добра задача. Светлината.) За да определим сумата по формулата на това, което трябва да знаете? Първи член а 1., последен пик н.да броя на последния член н.

Къде да получите номера на последния член н.? Да, там, в състоянието! Той казва: Намерете сумата първите 10 членове. Е, с какъв номер ще бъде последно, Десети член?) Няма да повярваш на номера му - десетата!) Тя стана вместо н. Във формулата ще заменим 10.и вместо н. - дузина. Повтарям, броят на последния член съвпада с броя на членовете.

Остава да се определи а 1. и 10.. Това лесно се разглежда с формулата на N-тия член, която е дадена в състоянието на проблема. Не знаете как да го направите? Посетете предишния урок, без това - по никакъв начин.

а 1.\u003d 2 · 1 - 3.5 \u003d -1.5

10.\u003d 2 · 10 - 3.5 \u003d 16.5

S N. = S 10..

Открихме стойността на всички елементи на формулата на сумата на аритметичната прогресия. Остава да ги замени, но граф:

Това са всичко. Отговор: 75.

Друга задача, основана на GIA. Малко по-сложно:

2. се дава аритметичната прогресия (N), разликата от която е 3.7; А 1 \u003d 2.3. Намерете размера на първите 15 от членовете му.

Незабавно напишете обобщената формула:

Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки член по своя номер. Търсим просто заместване:

а 15 \u003d 2.3 + (15-1) · 3,7 \u003d 54.1

Остава да се замени всички елементи във формулата на аритметичната прогресия и да се изчисли отговорът:

Отговор: 423.

Между другото, ако в сумата на сумата вместо това н. Просто замени формулата на N-тия член, получаваме:

Даваме други подобни, получаваме нова формула на сумата на членовете на аритметичната прогресия:

Както можете да видите, не се изисква n-ти член н.. В някои задачи тази формула помага на страхотно, да ... можете да си спомните тази формула. И можете просто да го получите в подходящия момент, както тук. В края на краищата, формулата на сумата и формулата на N-тия член трябва да бъдат запомнени.)

Сега задача под формата на кратко криптиране):

3. Намерете сумата от всички положителни двуцифрени числа, множествени три.

В това как! Нито първият ви член, нито последната, нито прогресия като цяло ... как да живеем!?

Трябва да мислите главата си и да извадите всички елементи на сумата от аритметична прогресия от състоянието. Какви са двуцифрените числа - знаем. На двата Циферок се състоят.) Какво ще бъде двуцифрено първо? 10, необходимо е да се вярва.) И последно нещо Двуцифрено число? 99, разбира се! Зад него вече трицифрени ...

Натиснете три ... хм ... това са числата, които са разделени на три насочени, тук! Десетина не е разделена на три, 11 не е разделена ... 12 ... разделени! Така че нещо се изпарява. Вече можете да запишете редица състояние на задача:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Ще постигнат ли този диапазон от аритметичен напредък? Сигурен! Всеки член се различава от предишния строго на първите три. Ако добавите 2 или 4 към член, да речем, резултатът, т.е. Нов номер, вече не е насочен към 3. преди купчината, можете веднага и разликата в аритметичната прогресия да определите: d \u003d 3. Сбъдвам!)

Така че можете безопасно да напишете някои параметри на прогресиране:

И какъв ще бъде номерът н. последния член? Този, който мисли, е, че 99 - Фатално погрешно ... Стаите - те винаги отиват подред и имаме членове - скочи над първите три. Те не съвпадат.

Има два начина за решаване. Един от начините - за ремонт. Можете да рисувате прогресията, цялата гама от числа и да изчислите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислено. Необходимо е да се припомни формулата на N-тия член. Ако формулата се прилага за нашата задача, ние получаваме, че 99 е тридесети член на прогресията. Тези. n \u003d 30.

Разглеждаме формулата сума на аритметична прогресия:

Ние гледаме и се радваме.) Извадихме задачата от условията на задачата всичко, от което се нуждаете, за да изчислите сумата:

а 1.= 12.

а 30.= 99.

S N. = S 30..

Елементарни аритметични останки. Заместваме номера във формулата и вярваме:

Отговор: 1665.

Друг вид популярна задача:

4. Аритметична прогресия на Дана:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Намерете размера на членовете от двадесетия до трийсет четвърти.

Разглеждаме сумата на сумата и ... са разстроени.) Формула, напомням, счита, че сумата от първия Член. И задачата трябва да бъде разгледана с двадесети ... Формулата не работи.

Можете, разбира се, да рисувате цялата прогресия в един ред, но да публикувате членовете от 20 до 34. Но ... някак си глупав и дълго се оказва, нали?)

Има по-елегантно решение. Ние разбиваме нашия ред на две части. Първата част ще бъде от първия член на деветнадесетия. Втората част на - от двадесетия до тридесет използвани. Ясно е, че ако разгледаме размера на членовете първо S 1-19., да, да се събере с сумата на членовете на втората част S 20-34., Ще получа размера на прогресията от първия член на тридесетте четвърти S 1-34.. Като този:

S 1-19. + S 20-34. = S 1-34.

Оттук може да се види, че намирането на сумата S 20-34. Можете лесно да извадите

S 20-34. = S 1-34. - S 1-19.

Разглеждат се и двете суми в дясната част от първия Член, т.е. Тя е доста приложима към стандартната обобщена формула. Започнете?

Издърпайте проблема с проблема за прогресирането на проблема:

d \u003d 1.5.

а 1.= -21,5.

За да изчислим сумите от първите 19 и първите 34 членове, ще се нуждаем от 19-ти и 34-и членове. Считаме ги според формулата на N-тия член, както в задачата 2:

а 19.\u003d -21,5 + (19-1) · 1,5 \u003d 5.5

а 34.\u003d -21,5 + (34-1) · 1,5 \u003d 28

Няма нищо. От сумата от 34 членове да извадят сумата от 19 члена: \\ t

S 20-34 \u003d s 1-34 - s 1-19 \u003d 110.5 - (-152) \u003d 262.5

Отговор: 262.5.

Една важна забележка! При решаването на тази задача има много полезен чип. Вместо директно изчисление какво е необходимо (S 20-34), Преброихме какво изглежда е необходимо - s 1-19. И след това се определя и S 20-34., привличане от пълния резултат ненужен. Такива "уши за зъби често спестяват в зли задачи.)

В този урок преразгледахме задачите, за които е достатъчно, за да разберем смисъла на сумата на аритметичната прогресия. Е, няколко формули трябва да знаят.)

Практически съвети:

Когато решавате всяка задача за количеството аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да се освободи от двете основни формули от тази тема.

Формулата на N-тия член:

Тези формули незабавно ще започнат да търсите, в каква посока да мислите за решаване на задачата. Помага.

И сега задачи за решения за саморешения.

5. Намерете сумата от всички две цифри, които не са разделени на три.

Cool?) Съветът е скрит в коментар към задачата 4. Е, задачата 3 ще помогне.

6. Аритметичната прогресия се определя чрез състояние: a 1 \u003d -5.5; N + 1 \u003d N +0.5. Намерете размера на първите 24 на членовете му.

Необичайно?) Това е повтаряща се формула. За това може да бъде прочетено в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, често се срещат такива задачи в GIA.

7. Вася се натрупа за празника на парите. Цели 4550 рубли! И реших да дам любимия си човек (себе си) за няколко дни щастие). Да живееш красиво, без да отказваш. Прекарайте 500 рубли на първия ден, а във всеки следващ ден прекарвате 50 рубли повече, отколкото в предишния! Докато запасът от пари приключи. Колко дни на щастието идва Васи?

Трудно?) Допълнителна формула ще помогне от задачата 2.

Отговори (в разстройство): 7, 3240, 6.

Ако ви харесва този сайт ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Той може да бъде достъпен в решаването на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Научете - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и деривати.

Така че седнете и започнете да пишете никакви номера. Например:
Можете да пишете каквито и да са цифри и те могат да бъдат такава (в нашия случай). Колко числа не сме написали, винаги можем да кажем коя от тях е втората и така на последната, т.е. можем да ги вкопаем. Това е пример за цифрова последователност:

Последователност на числа
Например, за нашата последователност:

Целевият номер е характерно само за един брой последователности. С други думи, няма три втора числа в последователността. Второто число (като номер) винаги е едно.
Номерът с номера се нарича член на последователността.

Обикновено наричаме цялата последователност (например) и всеки член на тази последователност е същата буква с индекс, равен на броя на този член :. \\ t

В нашия случай:

Да предположим, че имаме цифрова последователност, в която разликата между съседните числа е една и съща и еднаква.
Например:

и т.н.
Такава цифрова последователност се нарича аритметичен напредък.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор на Boeziem през 6-ти век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна цифрова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията на непрекъснатите пропорции, които са били ангажирани в древните гърци.

Това е цифрова последователност, всеки член е равен на предишния, сгънат със същия номер. Този номер се нарича разлика в аритметичната прогресия и е посочена.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметичен напредък и които не са:

а)
б)
° С)
д)

Измислени? Сравнете нашите отговори:
Е Аритметичен прогрес - B, c.
Не е Аритметична прогресия - а, д.

Нека да се върнем към дадена прогресия () и да се опитаме да намерим значението му - член. Съществува две Как да го намерим.

1. Метод

Можем да добавим към предишната стойност на броя на прогресията, докато не го направим преди прогресията на прогресията. Добре е, че трябва да обобщим малко ляво - само три значения:

Така че член на описаната аритметична прогресия е равен.

2. Метод

И какво, ако трябва да намерим значението на член на прогресията? Сумирането ще отнеме с нас не един час, а не факта, че няма да бъдем погрешни при добавяне на числа.
Разбира се, математиката излезе с метод, в който не е необходимо да се добавя разликата в аритметичната прогресия към предишната стойност. Погледнете внимателно на рисунката ... със сигурност вече сте забелязали някаква редовност, а именно:

Например, нека да видим каква е стойността на член на тази аритметична прогресия:

С други думи:

Опитайте се да намерите значението на член на тази аритметична прогресия по този начин.

Изчислени? Сравнете записите си с отговора:

Моля, обърнете внимание, че имате точно същия номер, както в предишния метод, когато последователно добавихме към предишната стойност на членовете на аритметичната прогресия.
Нека се опитаме да "открием" тази формула - Даваме го на общ поглед и получавам:

Уравнение на аритметичната прогресия.

Аритметичната прогресия нараства и намалява.

Повишаване на - прогресии, при които всяка последваща стойност на членовете е повече от предишната.
Например:

Низходящ - прогресии, при които всяка последваща стойност на членовете е по-малка от предишната.
Например:

Извлечената формула се прилага при изчисляването на членовете както в увеличаване, така и в намаляването на членовете на аритметичната прогресия.
Проверете го на практика.
Получаваме аритметична прогресия, състояща се от следните номера: проверете какъв е броят на тази аритметична прогресия, ако използвате нашата формула при изчисляване:

От тогава:

Така се уверихме, че формулата действа както в низходящата, така и в увеличаването на аритметичната прогресия.
Опитайте се да намерите собствените ми членове на тази аритметична прогресия.

Сравнете получените резултати:

Собственост на аритметична прогресия

Завършете задачата - оттеглите собствеността на аритметичната прогресия.
Да предположим, че ни е дадено такова условие:
- аритметична прогресия, намерете стойност.
Лесно, ще кажете и ще започнете да обмисляте вече известната формула ви:

Нека и след това:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо откриваме, след това го добавим към първия номер и получаваме желаното. Ако прогресията е представена от малки стойности, в това няма нищо сложно и ако номерът ни бъде даден? Съгласен съм, има шанс да направите грешка в изчисленията.
И сега мисля, че е възможно да се реши този проблем в едно действие, използвайки всякаква формула? Разбира се, да, и тя е, че ще се опитаме да го донесем точно сега.

Означаваме желания член на аритметичната прогресия като, формулата за нейното местоположение ни е известна - това е самата формула, получена от нас в началото:
, тогава:

прогресията предишната термин е:
следващ член на прогресия Това е:

Ние обобщаваме предишните и последващите членове на прогресията:

Оказва се, че сумата от предишните и последващите членове на прогресията е двойната стойност на член на прогресията, която е между тях. С други думи, да се намери стойността на член на прогресията с добре познатите предишни и последователни стойности, е необходимо да ги добавите и разделени от.

Точно така, имаме същия номер. Закрепете материала. Изчислете стойността за прогресията сами, защото тя е доста проста.

Много добре! Знаете почти всичко за прогресията! Оставаше да открие само една формула, която на легендите без затруднения води един от най-големите математици по всяко време, "цар на математиците" - Карл Гаус ...

Когато Carl Gaussu е на 9 години, учител, който проверява работата на учениците от други класове, зададе следната задача на урока: "Пребройте сумата от всички естествени числа от до (от други източници) включително." Каква беше изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) в минута даде правилния отговор на зададената задача, докато повечето от съучениците на Mozelchka след дълго изчисление получиха грешен резултат ...

Млад Карл Гаус забеляза някаква редовност, която лесно можете да забележите.
Да предположим, че имаме аритметична прогресия, състояща се от член: трябва да намерим размера на тези членове на аритметична прогресия. Разбира се, можем да обобщим ръчно всички ценности, но какво да правим, ако в задачата ще бъде необходимо да се намери сумата на нейните членове, как е търсил Гаус?

Ще изобразя прогресията, дадена за нас. Погледнете внимателно специалните номера и се опитайте да произведете различни математически действия с тях.

Опитах? Какво забелязахте? Право! Техните суми са равни

И сега отговорете, колко са тези двойки в прогресията ни дадени? Разбира се, точно половината от всички номера, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от двама членове на аритметичната прогресия е равна на и такива равни двойки, ние получаваме, че общата сума е:
.
Така формулата за сумата на първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде такава:

В някои задачи ние ни неизвестни, но разликата в прогресията е известна. Опитайте се да замените обобщената формула, формула на член.
Какво направи?

Много добре! Сега ще се върнем към задачата, която Karl Gauss беше настроен: брое самостоятелно, което е равно на количеството на броя, започвайки от -го и количеството номера, вариращи от -го.

Колко сте направили?
Гаус се оказа, че размерът на членовете е равен и размерът на членовете. Решен ли сте?

Всъщност формулата на сумата на членовете на аритметичната прогресия е доказана от древния гръцки учен дифанта през III век, а през това време остроуменните хора са се използвали със свойствата на аритметичната прогресия.
Например, да се появи древен Египет и най-мащабното изграждане на това време - изграждането на пирамидата ... Фигурата показва едната му страна.

Къде ми казва прогресията? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.

Какво не е аритметична прогресия? Изчислете колко блокове са необходими за конструкцията на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да преброите, водещ пръст върху монитора, помните последната формула и всичко, което говорихме за аритметична прогресия?

В този случай Прогресията изглежда така :.
Разликата в аритметичната прогресия.
Брой на членовете на аритметичната прогресия.
Ние заменим данните си в последните формули (изчисляваме броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега е възможно да се изчисли на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Кеширан? Добре направено, вие усвоите сумата на аритметичната аритметична прогресия.
Разбира се, от блоковете в дъното на пирамидата няма да се изгради, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с такова състояние.
Cope?
Правилния отговор - блокове:

Тренировка

Задачи:

Маша идва във форма до лятото. Всеки ден увеличава броя на кляката. Колко пъти Masha ще бъде зашита след седмици, ако тя направи клякам в първата тренировъчна сесия.
Каква е сумата от всички нечетни числа.
Loggers при съхранение на трупи ги постави по такъв начин, че всички горния слой Съдържа един дневник по-малък от предишния. Колко дневници са в една зидария, ако основата на зидария служи в дневника.

Отговори:

Ние определяме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
(седмици \u003d дни).
Отговор:Две седмици Маша трябва да кляска веднъж на ден.
Първото странно число, последният номер.
Разликата в аритметичната прогресия.
Броят на нечетните номера в половината обаче ще проверят този факт, използвайки формулата на лихвите на аритметичната прогресия:
Числата наистина съдържат нечетни числа.
Наличните данни за заместване във формулата:
Отговор:Сумата от всички нечетни числа, съдържащи се, е равна.
Припомни задачата за пирамидата. За нашия случай, а, тъй като всеки горен слой намалява на един дневник, след това само в куп слоеве, т.е.
Заместващи данни във формулата:
Отговор:В зидария е дневник.

Да обобщим

- Последователност на числата, в която разликата между съседните числа е една и съща и еднаква. Това се случва да расте и намалява.
Престой на формула "Член на аритметична прогресия се записва по формулата -, където - броят на номерата в прогресията.
Собственост на членове на аритметична прогресия - - Къде - броят на номерата в прогресията.
Сумата на членовете на аритметичната прогресия Може да се намери по два начина:

където - броя на стойностите.

Аритметична прогресия. Средно ниво

Последователност на числа

Нека да седнем и да започнем да пишем никакви номера. Например:

Можете да напишете произволен брой и може да има навсякъде. Но винаги можете да кажете кой от тях, какъв е вторият и т.н., това е, можем да ги вкопчат. Това е пример за цифрова последователност.

Последователност на числа - Това е много числа, всеки от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всеки брой може да бъде поставен в съответствие с определен естествен брой и единственият. И този номер няма да приложим друг номер от този набор.

Номерът с номера се нарича член на последователността.

Много удобно, ако член на последователността може да бъде поискан за някаква формула. Например, формула

определя последователността:

И формулата е такава последователност:

Например, аритметичната прогресия е последователността (първият термин тук е равен и разликата). Или (, разлика).

Формула N-ти елемент

Ние наричаме такава формула, в която трябва да знаете предишните или повече известни по-рано:

Да се \u200b\u200bнамери за такава формула, например член на прогресията, ще трябва да изчислим предишния девет. Например, нека. Тогава:

Е, какво е ясно сега каква формула?

Във всеки ред добавяме умножено по някакъв брой. Какво? Много просто: това е броят на текущия член минус:

Сега много по-удобно, нали? Проверка:

Споделете себе си:

В аритметична прогресия намират формулата на N-тия член и намиране на стотен член.

Решение:

Първият член е равен. И каква е разликата? Но какво:

(Това е така, защото се нарича разлика, която е равна на разликата в последователните членове на прогресията).

Така, формула:

След това стотен член е:

Каква е сумата от всички естествени числа?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, счита за това количество след няколко минути. Той отбеляза, че сумата на първия и последен номер е равна на сумата на втория и предпоследната - сумата от третия и 3 от края е и така нататък. Колко са такива двойки? Точно така, точно половината от броя на всички номера, т.е. Така,

Общата формула за сумата на първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде такава:

Пример:
Намерете сумата от всички две цифри, няколко.

Решение:

Първият такъв номер е. Всеки следващ се получава чрез добавяне към предишния номер. По този начин, номерата, които се интересувате от аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формула - член на този прогресия:

Колко членове в прогресията, ако всички трябва да бъдат двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. Тогава сумата:

Отговор:.

Сега ще реша:

Всеки ден един спортист работи на m по-голям от предишния ден. Колко цели километра работи за една седмица, ако на първия ден той е бил на кил m m?
Велосипедистът се движи всеки ден до км повече, отколкото в предишния. На първия ден той караше километър. Колко дни трябва да отиде да преодолее km? Колко километра ще премине през последния ден от пътя?
Цената на хладилника в магазина ежегодно намалява със същата сума. Определете колко цената на хладилника намалява всяка година, ако е изложена на продажбата за рубли, шест години се продава за рубли.

Отговори:

Тук най-важното е да се признае аритметичната прогресия и да се определят нейните параметри. В този случай (седмици \u003d дни). Необходимо е да се определи размерът на първите членове на тази прогресия:
.
Отговор:
Тук се дава:, трябва да намерите.
Очевидно е, че трябва да използвате същата обобщаваща формула, както в предишната задача:
.
Ние заменим стойностите:
Коренът очевидно не е подходящ, това означава, че отговорът.
Изчислете пътя, преминал през последния ден с помощта на формула на член:
(км).
Отговор:
Дано: Да намеря: .
Това не се случва:
(RUB).
Отговор:

Аритметична прогресия. Накратко за най-важното нещо

Това е цифрова последователност, в която разликата между съседните числа е една и съща и еднаква.

Аритметичната прогресия нараства () и намалява ().

Например:

Формула за намиране на N-Bous член на аритметичната прогресия

той е написан с формулата, където - броя на номерата в прогресията.

Собственост на членове на аритметична прогресия

Това улеснява намирането на член на прогресията, ако съседните му членове са известни - къде - броят на броя на прогресията.

Размер на членовете на аритметичната прогресия

Има два начина за намиране на сумата:

Където - броя на стойностите.

Останалите 2/3 статии са достъпни само за учениците от вас!

Станете ученик със себе си,

Подгответе се за OGE или EGE по математика на цената "чаша кафе на месец",

И също така да се получи незабележим достъп до учебника "Youclever", програмата за обучение (RESBNIK) "100ргия", неограничен изпит и Oge, 6000 задачи с решения за решения и други услуги и 100рджийски услуги.

Вид на урока: Изучаване на нов материал.

Цели Урок:

разширяване и задълбочаване на учениците идеи за задачите, решени с аритметична прогресия; Организиране на търсенето на студенти в сключването на формулата на сумата на първите членове на аритметичната прогресия;
развитие на умения за независимо придобиване на нови знания, за постигане на задачата на вече придобитите знания;
развитие на желанието и трябва да обобщят получените факти, развитието на независимостта.

Задачи:

обобщават и систематизират съществуващите знания по темата "аритметична прогресия";
да изтеглят формулата за изчисляване на количеството n първи членове на аритметична прогресия;
преподават използването на получените формули в решаването различни задачи;
да привлече вниманието на учениците към процедурата при намиране на стойността на числения израз.

Оборудване:

карти с задачи за работа в групи и двойки;
хартия за оценка;
представяне "Аритметична прогресия".

I. Актуализиране на референтните знания.

1. Независима работа По двойки.

1-ва възможност:

Дайте дефиницията за аритметична прогресия. Запишете повтарящата се формула, с която е зададена аритметичната прогресия. Третирайте пример за аритметична прогресия и посочете нейната разлика.

2-ра опция:

Записва формулата на N-тия член на аритметичната прогресия. Намерете 100-ия член на аритметичната прогресия ( н.}: 2, 5, 8 …
По това време двама ученици назад Дъските подготвят отговори на едни и същи въпроси.
Учениците оценяват работата на партньор, като се изкривиха с дъската. (Листа с отговори).

2. същия момент.

Упражнение 1.

Учител. Замислих някаква аритметична прогресия. Попитайте ми само два въпроса, така че след като отговорите бързо да можете да назовете 7-ми член на тази прогресия. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Въпроси на учениците.

Какво е шестият член на прогресията и каква е разликата?
Какво е осмият член на прогресията и каква е разликата?

Ако няма повече въпроси, учителят може да ги стимулира - "забрана" на D (разликата), т.е. не е позволено да питайте каква е разликата. Можете да зададете въпроси: Какво е шефът на прогресията и какво е 8-ми член на прогресията?

Задача 2.

На борда записа 20 номера: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Учителят се връща на дъската. Учениците наричат \u200b\u200bномера на номера и учителят незабавно извиква номера. Обяснете как го управлявам?

Учителят помни формулата на N-тия член n \u003d 3N - 2и, заместване на дефинираните стойности n, намира съответните стойности n.

II. Организиране на учебна задача.

Предлагам да решавам старата задача, свързана с II-MU хилядолетие пр. Хр., Намерена в египетския папирус.

Задача: "Нека се каже: разделих 10-те ечемик между 10 души, разликата между всеки човек и неговия съсед е 1/8 от мярката."

Как тази задача е свързана с темата за аритметична прогресия? (Всеки следващ получава 1/8 повече мерки, това означава разликата d \u003d 1/8, 10 души, което означава n \u003d 10.)
И какво мислите, означава броя на 10 мерки? (Сумата от всички членове на прогресията.)
Какво друго трябва да знае, че е лесно и просто разделен ечемик според състоянието на задачата? (Първи член на прогресия.)

Урок по задание - получаване на зависимостта на сумата на прогресирането на техния брой, първия термин и разликата, и проверката на това дали в древни времена те решават задачата.

Преди да направите изхода на формулата, да видим как древните египтяни решават задачата.

И го решават, както следва:

1) 10 мерки: 10 \u003d 1 мярка - среден дял;
2) 1 мярка ∙ \u003d 2 мерки - двойно средно аритметично Дял
Съмнение средно аритметично Делът е сумата от 5-ти и 6-ия човек.
3) 2 мерки - 1/8 мерки \u003d 1 7/8 мерки - удвоиха частта от петия човек.
4) 1 7/8: 2 \u003d 5/16 - частта от петата; И така нататък, можете да намерите дела на всеки предишен и последващ човек.

Получаваме последователност:

III. Решаване на задачата.

1. Работа в групи

I-I Група: Намерете сумата от 20 последователни естествени числа: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Общо взето

II Група: Намерете сумата от естествени числа от 1 до 100 (легенда за малка Гаус).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Изход:

III Група: Намерете сумата от естествени числа от 1 до 21.

Решение: 1 + 21 \u003d 2 + 20 \u003d 3 + 19 \u003d 4 + 18 ...

Изход:

IV-I Група:Намерете сумата от естествени числа от 1 до 101.

Изход:

Този метод за решаване на разглежданите задачи се нарича "Гаус метод".

2. Всяка група представлява решението на задачата на дъската.

3. Обобщението на предложените решения за произволна аритметична прогресия: \\ t

а 1, А2, А3, ..., N-2, N-1, N.
S N \u003d A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + ... + A N-3 + N-2 + N-1 + AN.

Ще открием, че тази сума спори по подобен начин:

4. Решихме задачата? (Да.)

IV. Първоначално разбиране и прилагане на получените формули при решаване на проблеми.

1. Проверка на решението на стара задача според формулата.

2. Използване на формула при решаване на различни задачи.

3. Упражнения за формиране на способността да се прилага формулата при решаване на проблеми.

А) №613.

Даново: ( a n) -аритметична прогресия;

(A n): 1, 2, 3, ..., 1500

Да намеря: S 1500.

Решение: , 1 \u003d 1 и 1500 \u003d 1500,

Б) дадено: ( a n) -аритметична прогресия;
(A n): 1, 2, 3, ...
S n \u003d 210

Да намеря: н.
Решение:

V. Независима работа с взаимен тест.

Денис отиде на работа с куриер. През първия месец заплатата му възлиза на 200 рубли, във всяка следваща тя нарасна с 30 рубли. Колко е спечелил годишно?

Даново: ( a n) -аритметична прогресия;
a 1 \u003d 200, d \u003d 30, n \u003d 12
Да намеря: S 12.
Решение:

Отговор: 4380 рубли получиха Денис за годината.

VI. Инструкция за шиене.

клауза 4.3 - Научете изхода на формулата.
№№ 585, 623 .
Направете задача, която беше решена, използвайки формулата на първите членове на аритметичната прогресия.

VII. Обобщаване на урока.

1. Лист за оценка

2. Продължаване на изреченията

Днес научих в урока ...
Научени формули ...
Мисля, че …

3. Можете ли да намерите количеството числа от 1 до 500? Какъв метод ще решите тази задача?

Библиография.

1. Алгебра, 9 клас. Урок за общи образователни институции. Ед. G.V. Дорофейев. М.: "Просвещение", 2009.

При изучаване на алгебра в средно училище (9-ти клас) Една от важните теми е изследването на числените последователности, към които прогресията е -ометрична и аритметика. В тази статия обмислете аритметичната прогресия и примери с решения.

Какво е аритметичната прогресия?

За да разберем това, е необходимо да се определи прогресията на прогресията, както и да се донесат основните формули, които допълнително ще бъдат използвани при решаване на проблеми.

Аритметиката или алгебричната прогресия е такъв набор от поръчани рационални числа, всеки член, който е различен от предишното на някаква постоянна стойност. Тази стойност се нарича разлика. Това е, което знае всеки член на поръчаната серия от числа и разлика, човек може да възстанови цялата аритметична прогресия.

Нека да дадем пример. Следващата последователност от числа ще бъде прогресията на аритметика: 4, 8, 12, 16, ..., тъй като разликата в този случай е 4 (8 - 4 \u003d 12 - 8 \u003d 16 - 12). Но наборът от числа 3, 5, 8, 12, 17 не може да се приписва на вида на разглежданата прогресия, тъй като разликата за това не е постоянна стойност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега представяме основните формули, които ще са необходими за решаване на проблеми с аритметичната прогресия. Означават със символа N N-ти член на последователността, където п е цяло число. Разликата се обозначава с латинската буква d. Тогава са следните следните изрази:

За да се определи стойността на N-The член, формулата е подходяща: N \u003d (N- 1) * D + A 1.
За да се определи количеството на първия N на компонентите: s n \u003d (N + a 1) * п / 2.

За да се разберат всички примери за аритметична прогресия с решение в 9 клас 9, е достатъчно да запомните тези две формули, тъй като са изградени никакви задачи на разглеждания тип. Не трябва да забравяме, че разликата в прогресията се определя по формулата: D \u003d A N - N-1.

Пример №1: Намиране на неизвестен член

Ние даваме прост пример за прогресията на аритметиката и формулите, които трябва да се използват за решаване.

Позволете на последователността от 10, 8, 6, 4, ... е необходимо да се намерят пет члена в нея.

От състоянието на проблема вече следва, че първите 4 компонента са известни. Петата може да се определи по два начина:

Изчисляване, за да започнете разлика. Имаме: D \u003d 8 - 10 \u003d -2. По същия начин можете да вземете двама други членове, които стоят един до друг. Например, d \u003d 4 - 6 \u003d -2. Тъй като е известно, че d \u003d a n-a n-1, след това d \u003d a 5 - A 4, от където получаваме: a 5 \u003d 4 + d. Заместител известни ценности: A 5 \u003d 4 + (-2) \u003d 2.
Вторият метод също изисква знанията за разликата в разглежданата прогресия, следователно е необходимо първо да се определи, както е показано по-горе (d \u003d -2). Знаейки, че първият термин е 1 \u003d 10, ние използваме формулата за n брой последователност. Имаме: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Заместване в последния израз n \u003d 5, получаваме: a 5 \u003d 12-2 * 5 \u003d 2.

Както може да се види, и двата метода за решаване доведоха до същия резултат. Имайте предвид, че в този пример разликата d на прогресията е отрицателна стойност. Такива последователности се наричат \u200b\u200bнамаляването, тъй като всеки следващия термин е по-малък от предишния.

Пример номер 2: Разликата на прогресията

Сега усложнявайте малко задача, ние даваме пример като

Известно е, че в около 1-ви член е 6 и 7-ми член е 18. Необходимо е да се намери разлика и да се възстанови тази последователност до 7 членове.

Използваме формулата, за да определим неизвестния елемент: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Ние заменяме добре познатите данни от състоянието, т.е. числата 1 и 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: D \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Така те отговориха на първата част от проблема.

За да възстановите последователност от до 7 члена, тя трябва да се използва от определението за алгебрична прогресия, т.е. 2 \u003d a 1 + d, 3 \u003d a 2 + d и така нататък. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14 , 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, 7 \u003d 18.

Пример номер 3: Производство на прогресия

Нека усложним още по-силно условието на задачата. Сега е необходимо да се отговори на въпроса как да се намери аритметична прогресия. Можете да дадете следния пример: дадени два номера, например, - 4 и 5. Необходимо е да се направи прогресия на алгебричния, така че да бъдат поставени още трима членове.

Преди да започнете да решавате тази задача, е необходимо да се разбере какво място ще бъде дадените номера в бъдещата прогресия. Тъй като между тях ще има още трима членове, след това 1 \u003d -4 и 5 \u003d 5. Като го инсталирате, ние се обръщаме към задачата, която е подобна на предишната. Отново за N-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Местоположение: D \u003d (5 - А 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Тук не получихме цялата стойност на разликата, но тя е рационално числоСледователно формулите за алгебрична прогресия остават същите.

Сега добавете разликата, намерена на 1 и възстановете липсващия член на прогресията. Получаваме: a 1 \u003d - 4, 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1.75, a 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0.5, 4 \u003d 0.5 + 2.25 \u003d 2.75, 5 \u003d 5, + 2.25 \u003d 5, което съвпадна с състоянието на проблема.

Пример №4: първи член на прогресията

Продължаваме да въвеждаме примери за аритметична прогресия с решението. Във всички предишни задачи е известна първия брой алгебрична прогресия. Сега разгледайте задачата на различен тип: Нека да бъдат дадени две числа, където 15 \u003d 50 и 43 \u003d 37. Необходимо е да се намери, от коя дата започва тази последователност.

Използваните досега формули предполагат знания 1 и D. В състоянието на проблема с тези числа нищо не е неизвестно. Въпреки това, ние ще напишем изразите за всеки член, който има информация: a 15 \u003d a 1 + 14 * d и 43 \u003d a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които 2 неизвестни стойности (a 1 и d). Това означава, че задачата се намалява до решаване на система от линейни уравнения.

Посочената система е най-лесно да реши дали да експресира във всяко уравнение a 1 и след това да сравни получените изрази. Първото уравнение: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; Второто уравнение: a 1 \u003d 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Приравняването на тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, където d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (42 - 14) \u003d - 0.464 (само 3 знака на точност след запетая).

Знаете, че можете да използвате някоя от двете изрази по-горе за 1. Например, първо: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56,496.

Ако в резултат на това се появят съмнения, можете да го проверите например, за да определите 43 членове на прогресията, която е зададена в състоянието. Получаваме: A 43 \u003d A 1 + 42 * D \u003d 56,496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Малка грешка е свързана с факта, че когато изчисленията се използват за закръгляване до хилядни фракции.

Пример номер 5: Сума

Сега разгледайте няколко примера с решения за количеството аритметична прогресия.

Оставете следното прогресиране на следната форма: 1, 2, 3, 4, ... ,. Как да изчислим количеството 100 от тези числа?

Благодарение на разработването на компютърни технологии, можете да решите тази задача, т.е. последователно сгънете всички числа, които компютвателната машина ще го направи веднага след като човек натисне клавиша Enter. Въпреки това, задачата може да бъде решена, ако обърнете внимание, че броят на представените числа е прогресията на алгебриката и нейната разлика е 1. Използване на формулата за сумата, получаваме: s n \u003d n * (a 1 +) AN) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Любопитно е да се отбележи, че тази задача се нарича "Гаусс", тъй като в началото на XVIII век известният немски все още е на възраст от 10 години, успя да го реши в ума за няколко секунди. Момчето не знае формулата за количеството алгебрична прогресия, но забеляза, че ако сгънем номерата в краищата на последователността, тогава един резултат винаги се получава, т.е. 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ... и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100/2), тогава е достатъчно да се умножи 50 до 101, за да получи правилния отговор.

Пример №6: количество членове от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметичната прогресия е следният: Дан Такива номера обхват: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите това, което сумата от нейните членове от 8 до 14 ще бъде еднаква.

Задачата се решава по два начина. Първият предполага откриването на неизвестни членове от 8 до 14 години и след това тяхното последователно обобщение. Тъй като термините са малко, този метод не е доста труден. Въпреки това се предлага да се реши този проблем с втория метод, който е по-гъвкав.

Идеята е да се получи формула за сумата от алгебрична прогресия между членове m и n, където n\u003e m е цели числа. Пиехме две изрази и за двата случая:

S m \u003d m * (m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като N\u003e m е очевидно, че количеството на сумата включва първото. Последното заключение означава, че ако имате разлика между тези суми, и добавете член към него (в случай на разлика, тя се приспада от сумата), след това получаваме необходимия отговор на задачата. Имаме: s mn \u003d s n-s m + am \u003d n * (a 1 + AN) / 2 - m * (A 1 + AM) / 2 + Am \u003d A 1 * (N- m) / 2 + AN * N / 2 + AM * (1- m / 2). В този израз е необходимо да се замени формулата за N и m. След това получаваме: s mn \u003d a 1 * (n- m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е малко тромав, въпреки това сумата s mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай, 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. заместваме тези числа, получаваме: s mn \u003d 301.

Както може да се види от дадените решения, всички задачи се основават на познаването на експресията за N-тия член и формулата за количеството на набора от първите компоненти. Преди да започнете да решавате някоя от тези задачи, се препоръчва внимателно да се чете състоянието, ясно е да се разбере какво трябва да бъде намерено и след това продължете към решението.

Друг съвет е в желанието за простота, т.е. ако можете да отговорите на въпроса, без да се прилагат сложни математически изчисления, е необходимо да се действа по този начин, тъй като в този случай вероятността е по-малка от грешка. Например, в пример за аритметична прогресия с Решение № 6, би било възможно да се спре на формулата S MN \u003d N * (A 1 + AN) / 2 - M * (A 1 + AM) / 2 + AM и разделят общата задача за отделните подзадачи (в този случай, първо ще намерите членове и AM).

Ако има съмнения относно резултата, се препоръчва да го проверите, както е направено в някои от дадените примери. Как да намерим аритметична прогресия, разбрана. Ако разберете, не е толкова трудно.

В какво основна същност Формули?

Тази формула ви позволява да намерите . \\ t На неговия номер " н " .

Разбира се, трябва да знаете друг първи член. А 1. и разликата в прогресията д.Е, така че без тези параметри определена прогресия и няма да запишат.

За да научите (или сапархима) тази формула не е достатъчна. Необходимо е да се научат нейната същност и да подготви формулата в различни задачи. Да, и не забравяйте в подходящия момент, да ...) как не забравям - Не знам. И тук как да запомните Ако е необходимо, ще ви кажа точно. За тези, които са по-малко от урока за овладяване.)

Така че, нека се занимаваме с формулата на N-тия член на аритметичната прогресия.

Какво е формула като цяло - ние си представяме.) Какво е аритметична прогресия, номер на член, разликата в напредъка - е налична в предишния урок. Погледнете, между другото, ако не се чете. Всичко е просто там. Остава да разберем какво n-ти член.

Прогресията като цяло може да бъде написана под формата на редица числа:

a 1, a 2, a 3, 4, 5, .....

а 1. - обозначава първия мандат на аритметичната прогресия, а 3. - третия пишка, а 4. - Четвърто, и т.н. Ако се интересуваме от петия пишка, да кажем, с които работим а 5.Ако сто двадесет - с 120..

И как да се определи като цяло . \\ t член на аритметична прогресия, с всеки номер? Много просто! Като този:

н.

Това е това n-ти член на аритметичната прогресия. Под буквата N, всички членове на членовете са скрити наведнъж: 1, 2, 3, 4 и т.н.

И какво ни дава такъв запис? Помислете, вместо цифрата, записаните букви ...

Този запис ни дава мощен инструмент за работа с аритметичен напредък. Използване на обозначението н.можем бързо да намерим . \\ t член . \\ t Аритметична прогресия. А също и куп задачи за решаване. Вие ще видите.

Във формулата на N-тия член на аритметичната прогресия:

n \u003d a 1 + (n-1) d

а 1. - първия мандат на аритметичната прогресия;

н. - номер на член.

Формулата свързва ключовите параметри на всяка прогресия: n; А 1; Д. и н.. Около тези параметри и всички задачи за прогресия се въртят.

Формулата на N-тия член може да се използва за записване на специфична прогресия. Например, в задачата може да се каже, че прогресията се определя от условието:

n \u003d 5 + (N- 1) · 2.

Такава задача може да бъде поставена и в задънена улица ... няма ред, няма разлика ... но, сравнявайки състоянието с формулата, е лесно да се разбере, че в тази прогресия 1 \u003d 5 и d \u003d 2.

И това се случва повече!) Ако вземете същото състояние: n \u003d 5 + (N-1) · 2,разкривате ли скоби и донасяте подобно? Получаваме нова формула:

n \u003d 3 + 2N.

то Само не е общо, но за конкретна прогресия. Тук е подводният камък. Някои смятат, че първият член е троен. Въпреки че първият член е Fidder ... точно по-долу ще работим с такава модифицирана формула.

В задачите на прогресията има друго наименование - n + 1. Това, както предполагате, "EN плюс първия" член на прогресията. Това е просто и безвредно.) Това е член на прогресията, чийто брой е повече от n числа на единица. Например, ако вземем всяка задача н. Тогава пети пишка n + 1 Това ще бъде шести член. И т.н.

Най-често, обозначението n + 1 Намира се в повтарящи се формули. Не плаши тази ужасна дума!) Това е просто начин за изразяване на член на аритметична прогресия през предишния. Да предположим, че ни се дава аритметична прогресия в тази форма, използвайки повтаряща се формула:

n + 1 \u003d a n +3

a 2 \u003d A 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8

a 3 \u003d a 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11

Четвърто - през третата, пета - през четвъртата, и така нататък. И как да се изчисли незабавно, да кажем двадесети член, 20. ? Но!) Докато 19-ият член не знае, 20-та не се брои. Това е фундаменталната разлика между повтарящата се формула от формулата на N-тия член. Повтарящите се работи само чрез предишен Член и формулата на N-тия член - чрез първо и позволява незабавно намери всеки пишка на номера му. Без изчисляване на целия брой числа в няколко.

В аритметична прогресия, повтарящата се формула е лесна за превързване в нормален. Изчислете няколко последователни члена, изчислете разликата д, Намерете, ако е необходимо, първи член а 1., Напишете формулата в обичайната форма и работим с нея. В GIA често се срещат такива задачи.

Използването на формулата на N-тия член на аритметичната прогресия.

За да започнете, помислете за директното прилагане на формулата. В края на предишния урок имаше задача:

Дадена е аритметична прогресия (N). Намерете 121, ако 1 \u003d 3, и d \u003d 1/6.

Този проблем може да бъде решен без никакви формули, просто въз основа на значението на аритметичната прогресия. Добави, да добавите ... Autov-other.)

И според формулата, решението ще отнеме по-малко минута. Можете да проверите времето.) Решаваме.

Условията съдържат всички данни за използването на формулата: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Остава да разберем това, което е равно н. Няма проблем! Трябва да намерим 121.. Тук пишем:

Моля, обърни внимание! Вместо индекс н. Появи се конкретно число: 121. Какво е доста логично.) Ние се интересуваме от член на аритметична прогресия. номер сто двадесет. Това ще бъде нашето н. Това е тази стойност н. \u003d 121 Ще заменим по-нататък във формулата в скоби. Заменяваме всички числа във формулата и вярваме:

a 121 \u003d 3 + (121-1) · 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23

Това са всичко. Също така може да бъде възможно да се намери петстотин десети член и хиляда трета, която и да е. Вместо това поставяме н. Желания номер в индекса в писмото " а " И в скоби и вярваме.

Напомням ви за същността: Тази формула ви позволява да намерите . \\ t Член на аритметична прогресия На неговия номер " н " .

Ще реша задачата на по-твърда. Имаме ли такава задача:

Намерете първия мандат на аритметичната прогресия (AN), ако 17 \u003d -2; D \u003d -0.5.

Ако беше трудно, ще ви кажа първата стъпка. Запишете формулата на N-тия член на аритметичната прогресия! Да да. Напишете ръцете си, точно в преносимия компютър:

n \u003d a 1 + (n-1) d

И сега, гледайки буквите на формулата, ние мислим какви са данните, които имаме, и какво липсва? На разположение d \u003d -0.5,има седемнадесети член ... всичко? Ако мислите, че всичко, задачата не решава, да ...

Все още имаме стая н.! В състояние a 17 \u003d -2 Скрит два параметъра. Това е стойността на седемнадесетия член (-2) и нейният номер (17). Тези. n \u003d 17. Тази "дреболия" често прескача покрай главата и без нея (без "малки неща", не главата!) Задачата не е да се решава. Въпреки че ... и без глава.)

Сега можете просто глупаво да замените нашите данни във формулата:

a 17 \u003d A 1 + (17-1) · (-0,5)

О да, 17. Ние знаем това -2. Е, заместваме:

-2 \u003d A 1 + (17-1) · (-0,5)

Тук по същество и това е. Остава да изрази първия мандат на аритметичната прогресия от формулата, но да се брои. Ще отговорят: a 1 \u003d 6.

Такова приемане е запис на формула и просто заместване на известни данни - здрави помага при прости задачи. Е, необходимо е, разбира се, да може да изрази променливата от формулата и какво да прави!? Без това умение математиката не може да бъде изучавана изобщо ...

Друга популярна задача:

Намерете разликата в аритметичната прогресия (AN), ако 1 \u003d 2; 15 \u003d 12.

Какво правиш? Ще бъдете изненадани, напишете формулата!)

n \u003d a 1 + (n-1) d

Смятаме, че знаем: 1 \u003d 2; 15 \u003d 12; И (специално разпределени!) n \u003d 15. Смело заместител във формулата:

12 \u003d 2 + (15-1) d

Считаме аритметика.)

12 \u003d 2 + 14D

д.=10/14 = 5/7

Това е правилният отговор.

Така че, задачите n, A 1и Д. Те похвалиха. Остава да научите номера, за да намерите:

Числото 99 е член на аритметичната прогресия (AN), където 1 \u003d 12; d \u003d 3. Намерете този член.

Заместваме във формулата на N-тия член, известен на нас:

n \u003d 12 + (N-1) · 3

На пръв поглед има две неизвестни стойности: n и n. Но н. - Това е член на броя на прогресията н.... и ние знаем този член на прогресията! Това е 99. Ние не знаем броя му н,така че този номер е необходим. Ние заменяме член на прогресията от 99 във формулата:

99 \u003d 12 + (N-1) · 3

Експрес от формула н., вярвам. Ще получим отговора: n \u003d 30.

И сега задачата на една и съща тема, но по-креативна):

Да определи дали броят 117 ще бъде член на аритметична прогресия (AN):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Отново пишем формула. Какво, без параметри? GM ... И за нас Защо имахме предвид?) Виждам първия член на прогресията? Виждаме. Това е -3.6. Можете спокойно да пишете: 1 \u003d -3.6. Разлика д. Мога ли да дефинирам от номер? Лесно, ако знаете какво е разликата в аритметичната прогресия:

d \u003d -2.4 - (-3,6) \u003d 1,2

Така че, най-простият направен. Остава да се справи с неизвестен брой н. И неразбираем номер 117. В предишния проблем, поне беше известно, че е член на прогресията. И тук не знаем ... как да бъдем!? Е, как да бъдем как да бъдем ... включват творчески способности!)

Ние да предположим В края на краищата 117 е член на нашата прогресия. С неизвестен номер н.. И точно както в предишната задача, нека се опитаме да намерим тази стая. Тези. Ние пишем формула (да!)) И ние заменим нашите номера:

117 \u003d -3,6 + (N-1) 1,2

Експрес отново от формулатан., вярвам и получавате:

Опа! Стаята се случи фракция! Сто и половина. И частични числа в процес на изпълнение не може да бъде. Какво заключение ще направим? Да! Номер 117. не е Член на нашата прогресия. Той е някъде между сто първи и сто втори член. Ако номерът се оказа естествен, т.е. Положително цяло, номерът ще бъде член на прогресията с намерения номер. И в нашия случай, задачата за отговор ще бъде: не.

Задача въз основа на реален вариант GIA:

Аритметичната прогресия се определя чрез условие:

n \u003d -4 + 6.8N

Намерете първите и десети прогресивни членове.

Тук прогресията не е напълно позната тук. Някаква формула ... се случва.) Въпреки това, тази формула (както съм написал по-горе) - също така, формулата на N-тия член на аритметичната прогресия! Той също така позволява намерете всеки член на прогресия по своя номер.

Търсим първия член. Който мисли Че първият член е минус четири, фатално погрешно!), Защото формулата в проблема е променена. Първият член на аритметичната прогресия в нея скрит. Нищо, сега откритие.)

Също така, както в предишни задачи, ние заменяме n \u003d 1. В тази формула:

a 1 \u003d -4 + 6.8 · 1 \u003d 2.8

Тук! Първият член е 2.8, а не -4!

Подобно на търсенето на десети член:

10 \u003d -4 + 6.8 · 10 \u003d 64

Това са всичко.

И сега, тези, които са прочели до тези линии - обещания бонус.)

Да предположим, че в комплекса бойна атмосфера на GIA или EGE сте забравили полезната формула на N-тия член на аритметичната прогресия. Нещо се помни, но по някакъв начин по някакъв начин ... н. Тогава там n + 1, тогава n-1 ... Как да бъдем!?

Спокойствие! Тази формула е лесна за оттегляне. Не е много стриктно, но за доверие и право решение За сигурно!) За извеждане е достатъчно да запомните елементарния смисъл на аритметичната прогресия и да имате няколко пъти. Просто трябва да нарисувате снимка. За яснота.

Ние нарисуваме числова ос и празнуваме първата. второ, трето и т.н. Членове. И отбелязване на разликата д. между членовете. Като този:

Разглеждаме картината и мислим: какъв е вторият член? Втори един д.:

а. 2 \u003d A 1 + 1 · Д.

Какъв е третият пишка? Третият Член е равен на първи член и плюс две д..

а. 3 \u003d A 1 + 2 · Д.

Улов? Аз не съм напразно някои думи, които разпределят смели шрифтове. Е, добре, още една стъпка).

Какво е четвъртият пишка? Четвърто Член е равен на първи член и плюс три д..

а. 4 \u003d A 1 + 3 · Д.

Време е да разберем, че броят на пропуските, т.е. д., винаги по-малко от броя на желания член н.. Тези., Към номера n, брой интервалище бъде n-1. Следователно формулата (без опции!):

n \u003d a 1 + (n-1) d

Като цяло, визуалните снимки са много полезни за решаване на много задачи по математика. Не пренебрегвайте снимките. Но ако картината е трудна за рисуване, тогава ... само формула!) В допълнение, формулата на N-тия член ви позволява да свържете целия мощен арсенал на математиката към решението - уравнения, неравенства, системи и др. Картината не се вмъква в уравнението ...

Задачи за самостоятелни решения.

За тренировка:

1. в аритметична прогресия (a n) А2 \u003d 3; 5 \u003d 5.1. Намерете 3.

Съвет: На снимката задачата е решена секунди за 20 ... по формулата - тя се оказва по-трудно. Но за да овладеете формулата - тя е по-полезна.) В раздел 555 тази задача се решава на снимката и по формулата. Почувствай разликата!)

И това вече не е тренировка.)

2. в аритметична прогресия (AN) 85 \u003d 19.1; 236 \u003d 49, 3. Намерете 3.

Какво не желае да направи снимка?) Все още! По-добре е във формулата, да ...

3. Аритметичната прогресия се дава чрез условие:a 1 \u003d -5.5; N + 1 \u003d N +0.5. Намерете сто двадесет пети член на тази прогресия.

В тази задача прогресията се определя по повтарящ се начин. Но да преброи до сто и двадесет пети член ... не цялата такава вражда под власт.) Но формулата на N-ти елементите на всички!

4. аритметична прогресия на Дана (AN):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Намерете броя на най-малкия положителен член на прогресията.

5. При условията на задача 4 намират размера на най-малките положителни и най-големи отрицателни членове на прогресията.

6. Продуктът на петия и дванадесетия членове на нарастващата аритметична прогресия е -2.5, а сумата на третия и единадесетия членове е нула. Намерете 14.

Не е най-лесната задача, да ...) Тук начинът "на пръстите" няма да се търкаля. Формулите ще трябва да пишат Да уравнения, за да решат.

Отговори (в разстройство):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Се случи? Това е хубаво!)

Не всичко работи? Случва се. Между другото, в последната задача има един фин момент. При четене на задачата ще се изисква. И логика.

Решението на всички тези задачи се разглоби подробно в раздел 555. и елемента на фантазията за четвъртия и финия момент за шестия и общите подходи за решаване на всякакви задачи на N-та-та-точен формула - всичко е боядисано . Препоръчвам.

Ако ви харесва този сайт ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да се запознаете с функции и деривати.